# Step 1: Essential BC Elimination

## 읽어야 할 파일

- `/AGENTS.md`
- `/docs/PRD.md`
- `/docs/ARCHITECTURE.md`
- `/docs/ADR.md`
- `/include/fesa/assembly/symmetric_csr.hpp`
- `/include/fesa/assembly/equation_system.hpp`
- `/include/fesa/fem/dof_manager.hpp`
- `/include/fesa/model/step_definition.hpp`

## 작업

0과 비영 지정변위를 지원하는 essential-BC elimination과 full-vector 복원을 구현한다.

```cpp
struct ReducedSystem final {
    SymmetricCsr stiffness;
    std::vector<double> force;
    std::vector<std::size_t> free_to_full;
    std::vector<double> prescribed_full;
};
[[nodiscard]] ConstraintResult eliminate_essential_bcs(
    const EquationSystem& original,
    const DofManager& dofs,
    std::span<const PrescribedDof> prescribed);
[[nodiscard]] std::vector<double> recover_reaction(
    const EquationSystem& original,
    std::span<const double> full_displacement);
```

- 작은 hand calculation으로 RHS shift, 0/비영 prescribed value, all constrained,
  충돌 조건, \(r=Ku-f\) 반력 복원을 먼저 테스트한다.

## Acceptance Criteria

```powershell
cmake --build --preset windows-debug
ctest --preset windows-debug -R "EssentialBc|ConstraintElimination|Reaction" --output-on-failure
ctest --preset windows-debug --output-on-failure
```

## 검증 절차

1. 비영 지정값 테스트의 실패를 먼저 확인한다.
2. 원래 EquationSystem을 보존한 채 reduced system을 생성한다.
3. 복원 변위와 원래 평형식 반력을 assertion한다.
4. 전체 테스트와 index를 갱신한다.

## 금지사항

- penalty나 큰 수를 사용하지 마라. 이유: 승인된 elimination 정책과 다르다.
- 반력을 reduced matrix에서 계산하지 마라. 이유: 원래 \(K,u,f\)가 필요하다.
- MPC/Lagrange multiplier를 추가하지 마라. 이유: 범위 밖이다.
