# 2절점 3D Timoshenko Beam 정식화

## 1. 범위와 가정

FESA Phase 1 Beam은 소변형, 선형 탄성의 2절점 직선
isoparametric Timoshenko 요소다. 단면은 도심과 전단중심이 일치하는 주축 단면이며
\(I_{yz}=0\)이다. 단면 offset, warping, 기하·재료 비선형은 포함하지 않는다.
FESA는 단위 변환을 하지 않으므로 모든 입력은 하나의 일관 단위계를 사용해야 한다.

정식화의 유한요소 이산화와 수치적분은 Bathe,
*Finite Element Procedures*, 2판과 Hughes,
*The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element
Analysis*를 따른다. 3차원 isoparametric Beam의 국부 좌표계는 Bathe와
Bolourchi(1979)의 선형화된 부분을 사용한다. 선택적 감차적분은 Hughes, Taylor와
Kanoknukulchai(1977)의 원칙을 Beam 전단항에 적용한다. Plate 운동학은 사용하지
않는다.

## 2. 국부 좌표계와 자유도

절점 1에서 절점 2로 향하는 단위벡터를 \(\mathbf e_x\)로 둔다. 입력 orientation
벡터에서 \(\mathbf e_x\) 성분을 Gram-Schmidt로 제거하고 정규화한 벡터를
\(\mathbf e_y\)로 두며,

\[
\mathbf e_z=\mathbf e_x\times\mathbf e_y
\]

로 정의한다. 따라서 \((\mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z)\)는 오른손 직교
기저다. 길이가 0인 요소, 길이가 0인 orientation, 요소축과 평행한 orientation은
오류다.

국부 요소 자유도 벡터의 순서는 다음과 같다.

\[
\mathbf q_l =
\begin{bmatrix}
u_1&v_1&w_1&\theta_{x1}&\theta_{y1}&\theta_{z1}&
u_2&v_2&w_2&\theta_{x2}&\theta_{y2}&\theta_{z2}
\end{bmatrix}^{T}.
\]

\(u,v,w\)는 각각 국부 \(x,y,z\) 병진이고
\(\theta_x,\theta_y,\theta_z\)는 오른손 규칙의 회전 성분이다. 전역 자유도도 절점별
\([u_x,u_y,u_z,r_x,r_y,r_z]\) 순서를 사용한다.

기준축에서 떨어진 점 \((0,y,z)\)의 선형화된 변위장은

\[
U_x=u+z\theta_y-y\theta_z,\qquad
U_y=v-z\theta_x,\qquad
U_z=w+y\theta_x
\]

이다.

## 3. 변형률과 부호

일반화 변형률과 대응 단면력의 component 순서는

\[
\boldsymbol\varepsilon_s =
\begin{bmatrix}
\epsilon&\gamma_y&\gamma_z&\kappa_x&\kappa_y&\kappa_z
\end{bmatrix}^{T},
\qquad
\mathbf s =
\begin{bmatrix}
N&V_y&V_z&T&M_y&M_z
\end{bmatrix}^{T}
\]

로 고정한다. 위 변위장과 오른손 회전 부호로부터

\[
\begin{aligned}
\epsilon &= \frac{du}{dx},&
\gamma_y &= \frac{dv}{dx}-\theta_z,&
\gamma_z &= \frac{dw}{dx}+\theta_y,\\
\kappa_x &= \frac{d\theta_x}{dx},&
\kappa_y &= \frac{d\theta_y}{dx},&
\kappa_z &= \frac{d\theta_z}{dx}
\end{aligned}
\]

를 사용한다. 양의 \(N,V_y,V_z,T,M_y,M_z\)는 위 일반화 변형률과 양의 내부
일률 \(\delta\boldsymbol\varepsilon_s^T\mathbf s\)을 이루는 방향이다. 이 부호에서
단면 축응력은

\[
\sigma_{xx}=E\left(\epsilon+z\kappa_y-y\kappa_z\right)
\]

이고 \(M_y=\int_A z\sigma_{xx}\,dA\),
\(M_z=-\int_A y\sigma_{xx}\,dA\)이다.

## 4. 재료와 단면 constitutive matrix

등방성 선형 탄성의 전단계수는 입력 \(E,\nu\)로부터

\[
G=\frac{E}{2(1+\nu)}
\]

로 계산한다. 일반화 constitutive 관계는

\[
\mathbf s=\mathbf D\boldsymbol\varepsilon_s,\qquad
\mathbf D=
\operatorname{diag}
\left(EA,\;GA_{sy},\;GA_{sz},\;GJ,\;EI_y,\;EI_z\right).
\]

\(A,I_y,I_z,J,A_{sy},A_{sz}\)는 양의 값이어야 한다. 명시적인 전단강성이 없는
입력은 semantic mapper가 커널 호출 전에
\(A_{sy}=A_{sz}=5A/6\), `SCF=0`으로 정규화한다. 커널은 Abaqus의 slenderness
compensation을 추가하지 않는다.

## 5. 자연좌표, 형상함수와 Jacobian

자연좌표는 \(\xi\in[-1,1]\)이고 두 절점의 선형 형상함수는

\[
N_1(\xi)=\frac{1-\xi}{2},\qquad
N_2(\xi)=\frac{1+\xi}{2}.
\]

모든 여섯 component를 같은 형상함수로 보간한다. 직선 요소 길이를 \(L\)이라 하면

\[
J=\frac{dx}{d\xi}=\frac{L}{2},\qquad
\frac{dN_a}{dx}=\frac{1}{J}\frac{dN_a}{d\xi}
\]

이다.

절점 \(a\)의 자유도 순서
\([u_a,v_a,w_a,\theta_{xa},\theta_{ya},\theta_{za}]\)에 대한
strain-displacement block은

\[
\mathbf B_a(\xi)=
\begin{bmatrix}
N_{a,x}&0&0&0&0&0\\
0&N_{a,x}&0&0&0&-N_a\\
0&0&N_{a,x}&0&N_a&0\\
0&0&0&N_{a,x}&0&0\\
0&0&0&0&N_{a,x}&0\\
0&0&0&0&0&N_{a,x}
\end{bmatrix},
\qquad
\mathbf B=\begin{bmatrix}\mathbf B_1&\mathbf B_2\end{bmatrix}.
\]

## 6. 선택적 감차적분과 요소 강성

Constitutive matrix를 축·비틀림·굽힘 부분과 전단 부분으로 나눈다.

\[
\begin{aligned}
\mathbf D_{ab}&=
\operatorname{diag}(EA,0,0,GJ,EI_y,EI_z),\\
\mathbf D_s&=
\operatorname{diag}(0,GA_{sy},GA_{sz},0,0,0).
\end{aligned}
\]

국부 강성은

\[
\mathbf K_l =
\sum_{g=1}^{2}
\mathbf B(\xi_g)^T\mathbf D_{ab}\mathbf B(\xi_g)Jw_g
+
\sum_{g=1}^{1}
\mathbf B(\xi_g)^T\mathbf D_s\mathbf B(\xi_g)Jw_g
\]

로 직접 적분한다. 축·비틀림·굽힘은
\(\xi=\pm1/\sqrt{3},w=1\)인 2점 Gauss rule을 사용하고, 전단은
\(\xi=0,w=2\)인 1점 Gauss rule만 사용한다. 전단항을 2점 적분하지 않는다.
선형 회전장에서 1점 전단 적분은 요소 중앙의 평균 회전을 사용하므로 일정곡률
굽힘 mode의 불필요한 전단에너지를 제거한다.

`Matrix12`는 `matrix[row][column]`의 12행 12열 고정 크기 저장을 사용한다. 적분은
각 Gauss point에서 \(\mathbf B^T\mathbf D\mathbf B\)의 상삼각 entry를 고정된
부동소수점 연산 순서로 누적한 뒤 하삼각에 복사한다.

## 7. 전역 변환

기존 `beam_transformation`이 만드는 \(\mathbf T\)는 각 병진·회전 3-vector를
전역 성분에서 국부 성분으로 투영한다.

\[
\mathbf q_l=\mathbf T\mathbf q_g.
\]

따라서 전역 강성과 에너지 관계는

\[
\mathbf K_g=\mathbf T^T\mathbf K_l\mathbf T,\qquad
\frac12\mathbf q_g^T\mathbf K_g\mathbf q_g
=\frac12\mathbf q_l^T\mathbf K_l\mathbf q_l
\]

이다.

## 8. 구현과 검증 invariant

커널은 위 적분식으로 local stiffness를 계산하고 변환식으로 global stiffness를
계산한다. 다음 invariant가 정식화 검증 기준이다.

- local/global stiffness는 roundoff 이내에서 대칭이다.
- 세 병진과 세 회전 강체 mode의 변형에너지는 0이다.
- 축 및 비틀림 submatrix는 각각 \(EA/L\), \(GJ/L\)을 재현한다.
- 일정곡률 단축·이축 굽힘 에너지는 각각
  \(EI_y\kappa_y^2L/2\), \(EI_z\kappa_z^2L/2\)이다.
- 일정전단 mode의 에너지는 각각
  \(GA_{sy}\gamma_y^2L/2\), \(GA_{sz}\gamma_z^2L/2\)이다.
- 일정곡률 mode의 전단에너지는 slenderness 변화와 무관하게 0이며 전체 에너지는
  해석값과 일치한다.
- 요소와 자유도를 같은 강체 회전으로 회전하면 변형에너지가 보존된다.

## 9. 참고문헌과 FESA 차이

- K. J. Bathe, *Finite Element Procedures*, 2nd ed.
- T. J. R. Hughes, *The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic
  Finite Element Analysis*.
- K. J. Bathe and S. Bolourchi, “Large Displacement Analysis of
  Three-Dimensional Beam Structures,” 1979. FESA는 이 문헌의 선형화된 국부
  좌표와 변환만 사용한다.
- T. J. R. Hughes, R. L. Taylor, and W. Kanoknukulchai, “A Simple and
  Efficient Finite Element for Plate Bending,” 1977. FESA는 selective
  integration 원칙만 사용한다.
- Abaqus 2024, “Choosing a Beam Element” 및 “BEAM GENERAL SECTION.”
  FESA의 \(5A/6\) 생략값과 `SCF=0`은 Phase 1 명시적 계약이며 임의 일반 단면의
  보편적인 Abaqus 기본값이 아니다. Abaqus B31 slenderness compensation도
  구현하지 않는다.
