feat(fem-and-beam-kernel): step 3 — timoshenko-stiffness-kernel
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# 2절점 3D Timoshenko Beam 정식화
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## 1. 범위와 가정
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FESA Phase 1 Beam은 소변형, 선형 탄성의 2절점 직선
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isoparametric Timoshenko 요소다. 단면은 도심과 전단중심이 일치하는 주축 단면이며
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\(I_{yz}=0\)이다. 단면 offset, warping, 기하·재료 비선형은 포함하지 않는다.
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FESA는 단위 변환을 하지 않으므로 모든 입력은 하나의 일관 단위계를 사용해야 한다.
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정식화의 유한요소 이산화와 수치적분은 Bathe,
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*Finite Element Procedures*, 2판과 Hughes,
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*The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element
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Analysis*를 따른다. 3차원 isoparametric Beam의 국부 좌표계는 Bathe와
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Bolourchi(1979)의 선형화된 부분을 사용한다. 선택적 감차적분은 Hughes, Taylor와
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Kanoknukulchai(1977)의 원칙을 Beam 전단항에 적용한다. Plate 운동학은 사용하지
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않는다.
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## 2. 국부 좌표계와 자유도
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절점 1에서 절점 2로 향하는 단위벡터를 \(\mathbf e_x\)로 둔다. 입력 orientation
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벡터에서 \(\mathbf e_x\) 성분을 Gram-Schmidt로 제거하고 정규화한 벡터를
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\(\mathbf e_y\)로 두며,
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\[
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\mathbf e_z=\mathbf e_x\times\mathbf e_y
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\]
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로 정의한다. 따라서 \((\mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z)\)는 오른손 직교
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기저다. 길이가 0인 요소, 길이가 0인 orientation, 요소축과 평행한 orientation은
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오류다.
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국부 요소 자유도 벡터의 순서는 다음과 같다.
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\[
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\mathbf q_l =
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\begin{bmatrix}
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u_1&v_1&w_1&\theta_{x1}&\theta_{y1}&\theta_{z1}&
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u_2&v_2&w_2&\theta_{x2}&\theta_{y2}&\theta_{z2}
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\end{bmatrix}^{T}.
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\]
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\(u,v,w\)는 각각 국부 \(x,y,z\) 병진이고
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\(\theta_x,\theta_y,\theta_z\)는 오른손 규칙의 회전 성분이다. 전역 자유도도 절점별
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\([u_x,u_y,u_z,r_x,r_y,r_z]\) 순서를 사용한다.
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기준축에서 떨어진 점 \((0,y,z)\)의 선형화된 변위장은
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\[
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U_x=u+z\theta_y-y\theta_z,\qquad
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U_y=v-z\theta_x,\qquad
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U_z=w+y\theta_x
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\]
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이다.
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## 3. 변형률과 부호
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일반화 변형률과 대응 단면력의 component 순서는
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\[
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\boldsymbol\varepsilon_s =
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\begin{bmatrix}
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||||
\epsilon&\gamma_y&\gamma_z&\kappa_x&\kappa_y&\kappa_z
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\end{bmatrix}^{T},
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\qquad
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\mathbf s =
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\begin{bmatrix}
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N&V_y&V_z&T&M_y&M_z
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||||
\end{bmatrix}^{T}
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\]
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로 고정한다. 위 변위장과 오른손 회전 부호로부터
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\[
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\begin{aligned}
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\epsilon &= \frac{du}{dx},&
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||||
\gamma_y &= \frac{dv}{dx}-\theta_z,&
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||||
\gamma_z &= \frac{dw}{dx}+\theta_y,\\
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||||
\kappa_x &= \frac{d\theta_x}{dx},&
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||||
\kappa_y &= \frac{d\theta_y}{dx},&
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||||
\kappa_z &= \frac{d\theta_z}{dx}
|
||||
\end{aligned}
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\]
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를 사용한다. 양의 \(N,V_y,V_z,T,M_y,M_z\)는 위 일반화 변형률과 양의 내부
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일률 \(\delta\boldsymbol\varepsilon_s^T\mathbf s\)을 이루는 방향이다. 이 부호에서
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단면 축응력은
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\[
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\sigma_{xx}=E\left(\epsilon+z\kappa_y-y\kappa_z\right)
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\]
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이고 \(M_y=\int_A z\sigma_{xx}\,dA\),
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\(M_z=-\int_A y\sigma_{xx}\,dA\)이다.
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## 4. 재료와 단면 constitutive matrix
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등방성 선형 탄성의 전단계수는 입력 \(E,\nu\)로부터
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\[
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G=\frac{E}{2(1+\nu)}
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\]
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로 계산한다. 일반화 constitutive 관계는
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\[
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\mathbf s=\mathbf D\boldsymbol\varepsilon_s,\qquad
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\mathbf D=
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\operatorname{diag}
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\left(EA,\;GA_{sy},\;GA_{sz},\;GJ,\;EI_y,\;EI_z\right).
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\]
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\(A,I_y,I_z,J,A_{sy},A_{sz}\)는 양의 값이어야 한다. 명시적인 전단강성이 없는
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입력은 semantic mapper가 커널 호출 전에
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\(A_{sy}=A_{sz}=5A/6\), `SCF=0`으로 정규화한다. 커널은 Abaqus의 slenderness
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compensation을 추가하지 않는다.
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## 5. 자연좌표, 형상함수와 Jacobian
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자연좌표는 \(\xi\in[-1,1]\)이고 두 절점의 선형 형상함수는
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\[
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N_1(\xi)=\frac{1-\xi}{2},\qquad
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||||
N_2(\xi)=\frac{1+\xi}{2}.
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\]
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모든 여섯 component를 같은 형상함수로 보간한다. 직선 요소 길이를 \(L\)이라 하면
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\[
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J=\frac{dx}{d\xi}=\frac{L}{2},\qquad
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\frac{dN_a}{dx}=\frac{1}{J}\frac{dN_a}{d\xi}
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\]
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이다.
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절점 \(a\)의 자유도 순서
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\([u_a,v_a,w_a,\theta_{xa},\theta_{ya},\theta_{za}]\)에 대한
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strain-displacement block은
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\[
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\mathbf B_a(\xi)=
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\begin{bmatrix}
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N_{a,x}&0&0&0&0&0\\
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0&N_{a,x}&0&0&0&-N_a\\
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||||
0&0&N_{a,x}&0&N_a&0\\
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||||
0&0&0&N_{a,x}&0&0\\
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||||
0&0&0&0&N_{a,x}&0\\
|
||||
0&0&0&0&0&N_{a,x}
|
||||
\end{bmatrix},
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||||
\qquad
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||||
\mathbf B=\begin{bmatrix}\mathbf B_1&\mathbf B_2\end{bmatrix}.
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\]
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## 6. 선택적 감차적분과 요소 강성
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Constitutive matrix를 축·비틀림·굽힘 부분과 전단 부분으로 나눈다.
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\[
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\begin{aligned}
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\mathbf D_{ab}&=
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||||
\operatorname{diag}(EA,0,0,GJ,EI_y,EI_z),\\
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||||
\mathbf D_s&=
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||||
\operatorname{diag}(0,GA_{sy},GA_{sz},0,0,0).
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||||
\end{aligned}
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\]
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국부 강성은
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\[
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\mathbf K_l =
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\sum_{g=1}^{2}
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\mathbf B(\xi_g)^T\mathbf D_{ab}\mathbf B(\xi_g)Jw_g
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||||
+
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||||
\sum_{g=1}^{1}
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||||
\mathbf B(\xi_g)^T\mathbf D_s\mathbf B(\xi_g)Jw_g
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\]
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로 직접 적분한다. 축·비틀림·굽힘은
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\(\xi=\pm1/\sqrt{3},w=1\)인 2점 Gauss rule을 사용하고, 전단은
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\(\xi=0,w=2\)인 1점 Gauss rule만 사용한다. 전단항을 2점 적분하지 않는다.
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선형 회전장에서 1점 전단 적분은 요소 중앙의 평균 회전을 사용하므로 일정곡률
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굽힘 mode의 불필요한 전단에너지를 제거한다.
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`Matrix12`는 `matrix[row][column]`의 12행 12열 고정 크기 저장을 사용한다. 적분은
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각 Gauss point에서 \(\mathbf B^T\mathbf D\mathbf B\)를 대칭 양쪽 entry에 같은
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부동소수점 연산 순서로 누적한다.
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## 7. 전역 변환
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기존 `beam_transformation`이 만드는 \(\mathbf T\)는 각 병진·회전 3-vector를
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전역 성분에서 국부 성분으로 투영한다.
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\[
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\mathbf q_l=\mathbf T\mathbf q_g.
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\]
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따라서 전역 강성과 에너지 관계는
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\[
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\mathbf K_g=\mathbf T^T\mathbf K_l\mathbf T,\qquad
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\frac12\mathbf q_g^T\mathbf K_g\mathbf q_g
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=\frac12\mathbf q_l^T\mathbf K_l\mathbf q_l
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\]
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이다.
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## 8. 구현과 검증 invariant
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커널은 위 적분식으로 local stiffness를 계산하고 변환식으로 global stiffness를
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계산한다. 다음 invariant가 정식화 검증 기준이다.
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- local/global stiffness는 roundoff 이내에서 대칭이다.
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- 세 병진과 세 회전 강체 mode의 변형에너지는 0이다.
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- 축 및 비틀림 submatrix는 각각 \(EA/L\), \(GJ/L\)을 재현한다.
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- 일정곡률 단축·이축 굽힘 에너지는 각각
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\(EI_y\kappa_y^2L/2\), \(EI_z\kappa_z^2L/2\)이다.
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- 일정전단 mode의 에너지는 각각
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\(GA_{sy}\gamma_y^2L/2\), \(GA_{sz}\gamma_z^2L/2\)이다.
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- 일정곡률 mode의 전단에너지는 slenderness 변화와 무관하게 0이며 전체 에너지는
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해석값과 일치한다.
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- 요소와 자유도를 같은 강체 회전으로 회전하면 변형에너지가 보존된다.
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## 9. 참고문헌과 FESA 차이
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- K. J. Bathe, *Finite Element Procedures*, 2nd ed.
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- T. J. R. Hughes, *The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic
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Finite Element Analysis*.
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||||
- K. J. Bathe and S. Bolourchi, “Large Displacement Analysis of
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||||
Three-Dimensional Beam Structures,” 1979. FESA는 이 문헌의 선형화된 국부
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좌표와 변환만 사용한다.
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||||
- T. J. R. Hughes, R. L. Taylor, and W. Kanoknukulchai, “A Simple and
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Efficient Finite Element for Plate Bending,” 1977. FESA는 selective
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integration 원칙만 사용한다.
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||||
- Abaqus 2024, “Choosing a Beam Element” 및 “BEAM GENERAL SECTION.”
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FESA의 \(5A/6\) 생략값과 `SCF=0`은 Phase 1 명시적 계약이며 임의 일반 단면의
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보편적인 Abaqus 기본값이 아니다. Abaqus B31 slenderness compensation도
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구현하지 않는다.
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