# Step 0: Quadrature and Shape Functions

## 읽어야 할 파일

- `/AGENTS.md`
- `/docs/PRD.md`
- `/docs/ARCHITECTURE.md`
- `/docs/ADR.md`
- `/docs/superpowers/plans/2026-07-29-fesa-phase-1.md`
- `/include/fesa/core/vec3.hpp`

## 작업

특정 analysis에 종속되지 않는 1D Gauss quadrature와 2절점 선형 shape function을
`fem` 모듈에 구현한다.

```cpp
struct GaussPoint1D final { double xi; double weight; };
[[nodiscard]] std::span<const GaussPoint1D> gauss_rule_1d(int order);
[[nodiscard]] std::array<double, 2> line2_shape(double xi);
[[nodiscard]] std::array<double, 2> line2_shape_derivative(double xi);
[[nodiscard]] double line2_jacobian(double length);
```

- partition of unity, endpoint interpolation, derivative sum zero, 1점/2점 적분의
  정확도, length/2 Jacobian, invalid order/length를 실패 테스트로 먼저 작성한다.

## Acceptance Criteria

```powershell
cmake --build --preset windows-debug
ctest --preset windows-debug -R "Quadrature|ShapeFunction|Jacobian" --output-on-failure
ctest --preset windows-debug --output-on-failure
```

## 검증 절차

1. 수학 invariant 테스트의 실패를 확인한다.
2. 고정 크기 값 타입과 최소 함수만 구현한다.
3. tolerance 근거를 테스트 이름 또는 주석에 명시한다.
4. 전체 CTest와 index 갱신을 수행한다.

## 금지사항

- Beam stiffness를 이 step에 구현하지 마라. 이유: 수학 primitive 경계를 유지한다.
- runtime quadrature registry를 만들지 마라. 이유: 1점과 2점만 필요하다.
- 잘못된 길이에 임의 epsilon을 더하지 마라. 이유: model 오류를 숨긴다.