# 2절점 3D Timoshenko Beam 정식화 ## 1. 범위와 가정 FESA Phase 1 Beam은 소변형, 선형 탄성의 2절점 직선 isoparametric Timoshenko 요소다. 단면은 도심과 전단중심이 일치하는 주축 단면이며 \(I_{yz}=0\)이다. 단면 offset, warping, 기하·재료 비선형은 포함하지 않는다. FESA는 단위 변환을 하지 않으므로 모든 입력은 하나의 일관 단위계를 사용해야 한다. 정식화의 유한요소 이산화와 수치적분은 Bathe, *Finite Element Procedures*, 2판과 Hughes, *The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis*를 따른다. 3차원 isoparametric Beam의 국부 좌표계는 Bathe와 Bolourchi(1979)의 선형화된 부분을 사용한다. 선택적 감차적분은 Hughes, Taylor와 Kanoknukulchai(1977)의 원칙을 Beam 전단항에 적용한다. Plate 운동학은 사용하지 않는다. ## 2. 국부 좌표계와 자유도 절점 1에서 절점 2로 향하는 단위벡터를 \(\mathbf e_x\)로 둔다. 입력 orientation 벡터에서 \(\mathbf e_x\) 성분을 Gram-Schmidt로 제거하고 정규화한 벡터를 \(\mathbf e_y\)로 두며, \[ \mathbf e_z=\mathbf e_x\times\mathbf e_y \] 로 정의한다. 따라서 \((\mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z)\)는 오른손 직교 기저다. 길이가 0인 요소, 길이가 0인 orientation, 요소축과 평행한 orientation은 오류다. 국부 요소 자유도 벡터의 순서는 다음과 같다. \[ \mathbf q_l = \begin{bmatrix} u_1&v_1&w_1&\theta_{x1}&\theta_{y1}&\theta_{z1}& u_2&v_2&w_2&\theta_{x2}&\theta_{y2}&\theta_{z2} \end{bmatrix}^{T}. \] \(u,v,w\)는 각각 국부 \(x,y,z\) 병진이고 \(\theta_x,\theta_y,\theta_z\)는 오른손 규칙의 회전 성분이다. 전역 자유도도 절점별 \([u_x,u_y,u_z,r_x,r_y,r_z]\) 순서를 사용한다. 기준축에서 떨어진 점 \((0,y,z)\)의 선형화된 변위장은 \[ U_x=u+z\theta_y-y\theta_z,\qquad U_y=v-z\theta_x,\qquad U_z=w+y\theta_x \] 이다. ## 3. 변형률과 부호 일반화 변형률과 대응 단면력의 component 순서는 \[ \boldsymbol\varepsilon_s = \begin{bmatrix} \epsilon&\gamma_y&\gamma_z&\kappa_x&\kappa_y&\kappa_z \end{bmatrix}^{T}, \qquad \mathbf s = \begin{bmatrix} N&V_y&V_z&T&M_y&M_z \end{bmatrix}^{T} \] 로 고정한다. 위 변위장과 오른손 회전 부호로부터 \[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{du}{dx},& \gamma_y &= \frac{dv}{dx}-\theta_z,& \gamma_z &= \frac{dw}{dx}+\theta_y,\\ \kappa_x &= \frac{d\theta_x}{dx},& \kappa_y &= \frac{d\theta_y}{dx},& \kappa_z &= \frac{d\theta_z}{dx} \end{aligned} \] 를 사용한다. 양의 \(N,V_y,V_z,T,M_y,M_z\)는 위 일반화 변형률과 양의 내부 일률 \(\delta\boldsymbol\varepsilon_s^T\mathbf s\)을 이루는 방향이다. 이 부호에서 단면 축응력은 \[ \sigma_{xx}=E\left(\epsilon+z\kappa_y-y\kappa_z\right) \] 이고 \(M_y=\int_A z\sigma_{xx}\,dA\), \(M_z=-\int_A y\sigma_{xx}\,dA\)이다. ## 4. 재료와 단면 constitutive matrix 등방성 선형 탄성의 전단계수는 입력 \(E,\nu\)로부터 \[ G=\frac{E}{2(1+\nu)} \] 로 계산한다. 일반화 constitutive 관계는 \[ \mathbf s=\mathbf D\boldsymbol\varepsilon_s,\qquad \mathbf D= \operatorname{diag} \left(EA,\;GA_{sy},\;GA_{sz},\;GJ,\;EI_y,\;EI_z\right). \] \(A,I_y,I_z,J,A_{sy},A_{sz}\)는 양의 값이어야 한다. 명시적인 전단강성이 없는 입력은 semantic mapper가 커널 호출 전에 \(A_{sy}=A_{sz}=5A/6\), `SCF=0`으로 정규화한다. 커널은 Abaqus의 slenderness compensation을 추가하지 않는다. ## 5. 자연좌표, 형상함수와 Jacobian 자연좌표는 \(\xi\in[-1,1]\)이고 두 절점의 선형 형상함수는 \[ N_1(\xi)=\frac{1-\xi}{2},\qquad N_2(\xi)=\frac{1+\xi}{2}. \] 모든 여섯 component를 같은 형상함수로 보간한다. 직선 요소 길이를 \(L\)이라 하면 \[ J=\frac{dx}{d\xi}=\frac{L}{2},\qquad \frac{dN_a}{dx}=\frac{1}{J}\frac{dN_a}{d\xi} \] 이다. 절점 \(a\)의 자유도 순서 \([u_a,v_a,w_a,\theta_{xa},\theta_{ya},\theta_{za}]\)에 대한 strain-displacement block은 \[ \mathbf B_a(\xi)= \begin{bmatrix} N_{a,x}&0&0&0&0&0\\ 0&N_{a,x}&0&0&0&-N_a\\ 0&0&N_{a,x}&0&N_a&0\\ 0&0&0&N_{a,x}&0&0\\ 0&0&0&0&N_{a,x}&0\\ 0&0&0&0&0&N_{a,x} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf B=\begin{bmatrix}\mathbf B_1&\mathbf B_2\end{bmatrix}. \] ## 6. 선택적 감차적분과 요소 강성 Constitutive matrix를 축·비틀림·굽힘 부분과 전단 부분으로 나눈다. \[ \begin{aligned} \mathbf D_{ab}&= \operatorname{diag}(EA,0,0,GJ,EI_y,EI_z),\\ \mathbf D_s&= \operatorname{diag}(0,GA_{sy},GA_{sz},0,0,0). \end{aligned} \] 국부 강성은 \[ \mathbf K_l = \sum_{g=1}^{2} \mathbf B(\xi_g)^T\mathbf D_{ab}\mathbf B(\xi_g)Jw_g + \sum_{g=1}^{1} \mathbf B(\xi_g)^T\mathbf D_s\mathbf B(\xi_g)Jw_g \] 로 직접 적분한다. 축·비틀림·굽힘은 \(\xi=\pm1/\sqrt{3},w=1\)인 2점 Gauss rule을 사용하고, 전단은 \(\xi=0,w=2\)인 1점 Gauss rule만 사용한다. 전단항을 2점 적분하지 않는다. 선형 회전장에서 1점 전단 적분은 요소 중앙의 평균 회전을 사용하므로 일정곡률 굽힘 mode의 불필요한 전단에너지를 제거한다. `Matrix12`는 `matrix[row][column]`의 12행 12열 고정 크기 저장을 사용한다. 적분은 각 Gauss point에서 \(\mathbf B^T\mathbf D\mathbf B\)를 대칭 양쪽 entry에 같은 부동소수점 연산 순서로 누적한다. ## 7. 전역 변환 기존 `beam_transformation`이 만드는 \(\mathbf T\)는 각 병진·회전 3-vector를 전역 성분에서 국부 성분으로 투영한다. \[ \mathbf q_l=\mathbf T\mathbf q_g. \] 따라서 전역 강성과 에너지 관계는 \[ \mathbf K_g=\mathbf T^T\mathbf K_l\mathbf T,\qquad \frac12\mathbf q_g^T\mathbf K_g\mathbf q_g =\frac12\mathbf q_l^T\mathbf K_l\mathbf q_l \] 이다. ## 8. 구현과 검증 invariant 커널은 위 적분식으로 local stiffness를 계산하고 변환식으로 global stiffness를 계산한다. 다음 invariant가 정식화 검증 기준이다. - local/global stiffness는 roundoff 이내에서 대칭이다. - 세 병진과 세 회전 강체 mode의 변형에너지는 0이다. - 축 및 비틀림 submatrix는 각각 \(EA/L\), \(GJ/L\)을 재현한다. - 일정곡률 단축·이축 굽힘 에너지는 각각 \(EI_y\kappa_y^2L/2\), \(EI_z\kappa_z^2L/2\)이다. - 일정전단 mode의 에너지는 각각 \(GA_{sy}\gamma_y^2L/2\), \(GA_{sz}\gamma_z^2L/2\)이다. - 일정곡률 mode의 전단에너지는 slenderness 변화와 무관하게 0이며 전체 에너지는 해석값과 일치한다. - 요소와 자유도를 같은 강체 회전으로 회전하면 변형에너지가 보존된다. ## 9. 참고문헌과 FESA 차이 - K. J. Bathe, *Finite Element Procedures*, 2nd ed. - T. J. R. Hughes, *The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis*. - K. J. Bathe and S. Bolourchi, “Large Displacement Analysis of Three-Dimensional Beam Structures,” 1979. FESA는 이 문헌의 선형화된 국부 좌표와 변환만 사용한다. - T. J. R. Hughes, R. L. Taylor, and W. Kanoknukulchai, “A Simple and Efficient Finite Element for Plate Bending,” 1977. FESA는 selective integration 원칙만 사용한다. - Abaqus 2024, “Choosing a Beam Element” 및 “BEAM GENERAL SECTION.” FESA의 \(5A/6\) 생략값과 `SCF=0`은 Phase 1 명시적 계약이며 임의 일반 단면의 보편적인 Abaqus 기본값이 아니다. Abaqus B31 slenderness compensation도 구현하지 않는다.