<!-- source-page: 51 -->

<table><tr><td>두께</td><td>NODE</td><td>x-coord.</td><td> $\beta$ </td><td> $\rho$ </td></tr><tr><td rowspan="6">1.0</td><td>2</td><td>2.0</td><td>0.0011429</td><td>1750</td></tr><tr><td>3</td><td>10.0</td><td>0.0057143</td><td>1750</td></tr><tr><td>4</td><td>8.0</td><td>0.0045714</td><td>1750</td></tr><tr><td>6</td><td>4.0</td><td>0.0022857</td><td>1750</td></tr><tr><td>7</td><td>10.0</td><td>0.0057143</td><td>1750</td></tr><tr><td>8</td><td>8.0</td><td>0.0045714</td><td>1750</td></tr><tr><td rowspan="6">0.001</td><td>2</td><td>2.0</td><td>0.114286</td><td>17.50</td></tr><tr><td>3</td><td>10.0</td><td>0.571429</td><td>17.50</td></tr><tr><td>4</td><td>8.0</td><td>0.457143</td><td>17.50</td></tr><tr><td>6</td><td>4.0</td><td>0.228571</td><td>17.50</td></tr><tr><td>7</td><td>10.0</td><td>0.571429</td><td>17.50</td></tr><tr><td>8</td><td>8.0</td><td>0.457143</td><td>17.50</td></tr></table>

Table. 1 Constant Curvature Patch Test Results

Table. 1은 constant curvature 패치 테스트 결과로 두 가지 두께에 대해구속조건이 적용된 절점을 제외한 나머지 절점에서 모두 일정한 곡률이나오는 것을 볼 수 있다.

# 3.1.1.2 Constant Shear Patch Test

![](images/page-051_7437aa69d3ca380949c5c6675030071df961bd6b511226d8ab2c4c76f6bd67c0.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

U₃ = 0
SHEAR
U₁₋₂ = 0
β = 0
U₃ = 0
Q
</details>

Fig. 9 Constant Shear Patch Test Model

<!-- source-page: 52 -->

Constant shear 패치 테스트 모델에 대한 경계조건은 우선 1번과 5번절점에 대해 3 방향의 변위를 구속하였고, 모든 절점에 대해 1,2 방향의변위와 2 방향의 회전을 구속하였다. 또한 외력은 3번, 7번 절점에 3방향의 집중 하중을 가하였으며, 이 때 힘의 크기는 두께 1.0일 때Q=2000, 두께 0.001일 때 Q=2.0을 가하였다. 이러한 경계 조건과 외력은Fig. 9로부터 확인할 수 있으며, constant shear 패치 테스트 해석 결과는Table. 2와 같다.

<table><tr><td>두께</td><td>NODE</td><td>x-coord.</td><td>z-disp. (w)</td><td>dw/dx</td></tr><tr><td rowspan="6">1.0</td><td>2</td><td>2.0</td><td>0.000495238</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>3</td><td>10.0</td><td>0.00247619</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>4</td><td>8.0</td><td>0.00198095</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>6</td><td>4.0</td><td>0.000990476</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>7</td><td>10.0</td><td>0.00247619</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>8</td><td>8.0</td><td>0.00198095</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td rowspan="7">0.001</td><td>2</td><td>2.0</td><td>0.000495238</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>3</td><td>10.0</td><td>0.00247619</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>4</td><td>8.0</td><td>0.00198095</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>5</td><td>4.0</td><td>0.000990476</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>6</td><td>10.0</td><td>0.00247619</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>7</td><td>10.0</td><td>0.00247619</td><td>2.47619E-04</td></tr><tr><td>8</td><td>8.0</td><td>0.00198095</td><td>2.47619E-04</td></tr></table>

Table. 2 Constant Shear Patch Test Results

Constant shear 패치 테스트 결과로 두 가지 두께에 대해 구속조건이적용된 절점을 제외한 나머지 절점에서 모두 일정한 기울기가 나타나는것을 확인할 수 있으며, 실제로 3 방향 변위는 식(3.2)를 사용하여 계산할수 있다.

$$
\tau = \frac {V}{A} = G \gamma , \quad \gamma = \frac {w}{L}, \quad G = \frac {E}{2 (1 + \nu)} \quad \Rightarrow \quad w = \frac {2 (1 + \nu) V L}{E A} \tag {3.2}
$$

<!-- source-page: 53 -->

# 3.1.1.3 Constant Twist Patch Test

![](images/page-053_a67d8b522896c8b34a1424a628f080f8afa42b9ab5ecb2f46d336c9a45f1941b.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

U₃ = 0
P
TWISTING
U₁₋₂ = 0
U₃ = 0
U₃ = 0
</details>

Fig. 10 Constant Twist Patch Test Model

Constant twist 패치 테스트 모델에 대한 경계조건은 우선 1, 3, 5번절점에 대해 3 방향의 변위를 구속하였고, 모든 절점에 대해 1,2 방향의변위를 구속하였다. 또한 외력은 7번 절점에 3 방향의 집중 하중을가하였으며, 이 때 힘의 크기는 두께 1.0일 때 P=1000, 두께 0.001일 때P=1.0E-06을 가하였다. 이러한 경계 조건과 외력은 Fig. 10으로부터확인할 수 있으며, constant twist 패치 테스트 해석 결과는 Table. 3과 같다.

<table><tr><td>두께</td><td>NODE</td><td>x-coord.</td><td> $\alpha$ </td><td> $\rho_1$ </td><td>y-coord.</td><td> $\beta$ </td><td> $\rho_2$ </td></tr><tr><td rowspan="5">1.0</td><td>2</td><td>2.0</td><td>0.00751761</td><td>266.04</td><td>2.0</td><td>0.0075345</td><td>265.45</td></tr><tr><td>4</td><td>8.0</td><td>0.03103950</td><td>257.74</td><td>3.0</td><td>0.0114079</td><td>262.98</td></tr><tr><td>6</td><td>4.0</td><td>0.01518240</td><td>263.46</td><td>7.0</td><td>0.0272324</td><td>257.05</td></tr><tr><td>7</td><td>10.0</td><td>0.03767130</td><td>265.45</td><td>10.0</td><td>0.0379748</td><td>263.33</td></tr><tr><td>8</td><td>8.0</td><td>0.03104290</td><td>257.71</td><td>7.0</td><td>0.0272190</td><td>257.17</td></tr><tr><td rowspan="5">0.001</td><td>2</td><td>2.0</td><td>0.00742857</td><td>269.23</td><td>2.0</td><td>0.00742857</td><td>269.23</td></tr><tr><td>4</td><td>8.0</td><td>0.02971430</td><td>269.23</td><td>3.0</td><td>0.0111429</td><td>269.23</td></tr><tr><td>6</td><td>4.0</td><td>0.01485710</td><td>269.23</td><td>7.0</td><td>0.0260000</td><td>269.23</td></tr><tr><td>7</td><td>10.0</td><td>0.03714290</td><td>269.23</td><td>10.0</td><td>0.0371429</td><td>269.23</td></tr><tr><td>8</td><td>8.0</td><td>0.02971430</td><td>269.23</td><td>7.0</td><td>0.0260000</td><td>269.23</td></tr></table>

Table. 3 Constant Twist Patch Test Results

<!-- source-page: 54 -->

Constant twisting 테스트 결과를 보면 두께가 0.001일 때 x와 y방향에대해 일정한 곡률이 나오는 것을 볼 수 있지만 두께가 1.0일 때는 그렇지않음을 알 수 있다. 이 문제는 두께가 두꺼울 때 횡 전단 변형(transverseshear deformation)이 지배적으로 나타나기 때문에 발생하는 것으로 전단보정 계수(shear correction factor)를 사용하여 전단 변형(shear deformation)을억제하거나 사각형 요소를 사용함으로써 이 문제를 해결할 수 있다.[1]

# 3.1.2 Pinched Cylinder

![](images/page-054_c96037aeca2cdff42c52ed06354ae6fb9cb2290b53cbd2d037e28e0795343bc5.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

P
D
C
R
A
B
End
diaphragm
End
diaphragm
P
</details>

Fig. 11 Pinched Cylinder Model

![](images/page-054_fa626a0d336adc88792ee5552a20af6c950d37f0824274263bbbc09fdb2948fd.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

P/4
Sym.
Sym.
BC(12)
Sym.
y
z
x
</details>

Fig. 12 Pinched Cylinder 1/8 Model

Fig. 11과 같이 양 끝에 막이 있는 pinched cylinder 쉘은 이론적인 해를비교할 수 있기 때문에 쉘 검증 문제에 적합하다. 이 때 하중은중간면에서 서로 반대 방향으로 집중 하중 P가 가해지고 있으며, 형상 및하중이 대칭이기 때문에 Fig. 12와 같이 1/8 모델을 사용하였다.

Pinched cylinder 쉘의 형상은 길이(L) 600, 반경(R) 300, 두께(t) 3이고,재료 특성은 탄성 계수(Young‟s modulus) 3.0E+06, 푸아송 비(Poisson‟s ratio)0.3이며, 외력 P의 크기는 1이다. 격자(mesh)는 20x20, 30x30, 40x40 격자를사용하였으며, 경계 조건은 절단면은 각각 대칭 경계 조건을적용하였으며, pinched cylinder 쉘의 end diaphragm 부분은 X와 Y 방향의변위를 구속하였다.

해석 결과 Table. 4 로부터 ABAQUS와 현재 쉘 모두 이론적인 해와유사하게 나옴을 확인할 수 있으며, ABAQUS결과가 보다 이론적인 해에

<!-- source-page: 55 -->

가까움을 확인할 수 있다. 이는 쉘 요소가 다르기 때문에 발생하는차이로 ABAQUS 쉘 요소가 현재 쉘 요소에 비해 보다 유연함을 알 수있다. 그리고 Fig. 13으로부터 요소의 수가 증가함에 따라 ABAQUS와현재 쉘의 결과가 모두 이론적인 해에 수렴함을 알 수 있다. 또한 Fig.14는 Y방향의 변위에 대해 해석 결과를 도시한 그림으로 변형 형상이유사하게 나옴을 확인할 수 있다.

<table><tr><td>Mesh</td><td>Exact</td><td>Present</td><td> $W_{present}$ / $W_{exact}$ </td><td>ABAQUS</td><td> $W_{abaqus}$ / $W_{exact}$ </td></tr><tr><td>20x20</td><td rowspan="3">1.8248E-05</td><td>1.74362E-05</td><td>0.9555</td><td>1.77866E-05</td><td>0.9747</td></tr><tr><td>30x30</td><td>1.79593E-05</td><td>0.9842</td><td>1.81676E-05</td><td>0.9956</td></tr><tr><td>40x40</td><td>1.81878E-05</td><td>0.9967</td><td>1.82150E-05</td><td>0.9982</td></tr></table>

Table. 4 Comparison of Linear Static Analysis for Pinched Cylinder with Exact Solution

![](images/page-055_7a7972ecc99093be92b2351247263cc4f518f1ae1b6313d57820e26c69c9e3fe.jpg)

<details>
<summary>line</summary>

| Number of elements per side | Present | ABAQUS |
| --------------------------- | ------- | ------ |
| 20                          | 0.955   | 0.975  |
| 30                          | 0.985   | 0.995  |
| 40                          | 0.998   | 0.999  |
</details>

Fig. 13 Comparison of Convergence for Pinched Cylinder with ABAQUS

<!-- source-page: 56 -->

![](images/page-056_4d3e19a9e3285506c0fff929f8e03b5a403f1b6d2c9df512530e9b5a2a71b54f.jpg)  
Fig. 14 Comparison of Linear Static Analysis for Pinched Cylinder with ABAQUS

# 3.1.3 Hemispherical Shell

![](images/page-056_df796ac2e35030758d83f8ec769d60e13478da3be1305dc7b7ccd299cddd12d9.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

Sym.
Sym.
P
P
x
y
z
</details>

Fig. 15 Hemispherical Shell Model

Fig. 15와 같은 반구형(hemispherical) 쉘의 1/4 모델을 사용하여이론적인 해와 ABAQUS 결과값에 대해 비교해 보았다. 먼저 반경은 10m,두께는 0.04m이고, 요소는 한 면당 9개, 17개 격자(mesh)를 사용하였다.탄성계수는 68.25MPa이고, 푸아송 비는 0.3의 물성치를 주었다.경계조건은 좌우 면에 대해 대칭 경계조건을 적용하였고, 하중은 Fig.15와 같은 지점에 (+)Z, (-)X방향으로 각각 1씩 가하였다. 해석 결과 Table.

<!-- source-page: 57 -->

5로부터 ABAQUS는 이론값보다 큰 값이 나오고, 현재 코드 결과는이론값보다 작은 값이 나옴을 알 수 있는데 이는 사용한 쉘 요소가다르므로 요소의 특성에 따른 차이로 볼 수 있다. 하지만 Fig. 16로부터두 결과값 모두 요소 수가 증가함에 따라 이론값에 수렴함을 확인할 수있으며, Fig. 17은 Y방향 변위에 대해 ABAQUS와 현재 코드의 해석결과를 직접 도시한 그림으로 서로 유사한 결과가 나옴을 알 수 있다.

<table><tr><td>Node/side</td><td>Exact</td><td>Present</td><td> $W_{present}$ / $W_{exact}$ </td><td>ABAQUS</td><td> $W_{abaqus}$ / $W_{exact}$ </td></tr><tr><td>9</td><td rowspan="3">0.0924</td><td>0.0888439</td><td>0.9615</td><td>0.0941153</td><td>1.0186</td></tr><tr><td>17</td><td>0.0919091</td><td>0.9947</td><td>0.0933083</td><td>1.0098</td></tr><tr><td>25</td><td>0.0921386</td><td>0.9972</td><td>0.0928799</td><td>1.0052</td></tr></table>

Table. 5 Comparison of Linear Static Analysis for Hemispherical Shell with Exact Solution

![](images/page-057_e01f38ae80ca9e3efac4c4342ef66ba8fade9195c30f63268506c341a2f29cf4.jpg)

<details>
<summary>line</summary>

| Number of nodes per side | Present | ABAQUS |
| ------------------------ | ------- | ------ |
| 9                        | 0.96    | 1.02   |
| 17                       | 0.995   | 1.01   |
| 25                       | 0.998   | 1.005  |
</details>

Fig. 16 Comparison of Convergence for Hemispherical Shell with ABAQUS

<!-- source-page: 58 -->

![](images/page-058_d94a9a81dc807b91bb65c57b1b5b57fce656f369bfbbb0c11b04f19c86c4a5c4.jpg)  
Fig. 17 Comparison of Linear Static Analysis for Hemisphrical Shell with ABAQUS

# 3.2 Geometric Nonlinear Analysis

![](images/page-058_121dd25446c976f330becfc0905b54b3ea6b25cad4f75d4d3791fc39e6c34945.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

BC(Fixed)
y
x
Moment
</details>

Fig. 18 Beam Model for Geometric Nonlinear Analysis

Fig. 18과 같은 보(beam) 형상에 대해 기하비선형 정적 해석(geometricnonlinear static analysis)을 수행하여 ABAQUS와 그 결과를 비교해 보았다.먼저 가로 12m, 세로 1m, 두께 0.01m 이고, 요소는 총 12개를사용하였다. 탄성계수는 1.0MPa이고, 푸아송 비는 0.0의 물성치를 주었다.경계조건은 한 면은 XYZ방향의 변위와 회전을 모두 구속하였고, 다른 한면은 Y방향으로 모멘트를 가하였다. 그리고 물체가 Y방향에 대해 회전할때 X방향의 회전으로 인한 형상의 뒤틀림을 방지하기 위해 모든 절점에

<!-- source-page: 59 -->

대해 X방향 회전을 구속하였다. 해석 결과 Fig. 19로부터 ABAQUS 해석결과와 유사한 결과가 나옴을 확인 할 수 있으며, 이 때 힘의 증가에따른 형상 변화는 Fig. 20과 같다.

![](images/page-059_3df9745334afc5e1729f42e8dac6b1abdee78b0d767ed5d6877e162da4f871fe.jpg)

<details>
<summary>line</summary>

| Displacement & Rotation | Present_Disp.X | Present_Disp.Z | Present_Rota.Y | Abaqus_Disp.X | Abaqus_Disp.Z | Abaqus_Rota.Y |
| ----------------------- | -------------- | -------------- | -------------- | ------------- | ------------- | ------------- |
| 0                       | 0.0000         | 0.0000         | 0.0000         | 0.0000        | 0.0000        | 0.0000        |
| 2                       | 0.0070         | 0.0020         | 0.0100         | 0.0080        | 0.0040        | 0.0060        |
| 4                       | 0.0100         | 0.0050         | 0.0200         | 0.0120        | 0.0080        | 0.0140        |
| 6                       | 0.0150         | 0.0080         | 0.0300         | 0.0160        | 0.0120        | 0.0220        |
| 8                       | 0.0180         | 0.0120         | 0.0350         | 0.0200        | 0.0160        | 0.0280        |
| 10                      | 0.0200         | 0.0160         | 0.0380         | 0.0240        | 0.0200        | 0.0320        |
| 12                      | 0.0220         | 0.0200         | 0.0400         | 0.0280        | 0.0240        | 0.0360        |
| 14                      | 0.0250         | 0.0240         | 0.0420         | 0.0320        | 0.0280        | 0.0400        |
| 16                      | 0.0280         | 0.0280         | 0.0440         | 0.0360        | 0.0320        | 0.0440        |
</details>

Fig. 19 Comparison of Geometric Nonlinear Analysis for Beam with ABAQUS

![](images/page-059_4b7590bcc293d5f6eb41f747a43988e7a1b5d0087b90d0a8972ec210e6158ab2.jpg)

<details>
<summary>line</summary>

| M     | Value |
|-------|-------|
| 0.04  | 1.0   |
| 0.03  | 0.8   |
| 0.02  | 0.6   |
| 0.01  | 0.4   |
</details>

Fig. 20 Geometry Change of Beam According to Loads Increase

<!-- source-page: 60 -->

# 3.3 Static Buckling Analysis

# 3.3.1 Rectangular Plate Shell

정적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 먼저 Fig. 21과 같은 직사각형평판 쉘(rectangular plate shell) 형상에 대해 정적 좌굴 해석을 수행하였다.크기는 가로 20m, 세로 8m이고, 두께는 0.01m로 4노드 쉘 40x16 격자로모델링 하였으며, 재료의 물성치는 탄성계수 29MPa, 푸아송 비는 0.3을적용하였다. 경계 조건은 한 면은 XYZ방향의 변위를 구속하였고, 반대쪽면은 YZ방향의 변위를 구속하였다. 그리고 나머지 두 면은 Z방향의변위를 구속하였다. 마지막으로 하중은 YZ방향의 변위를 구속한 면에X방향으로 총 8N의 압축력을 가하였다.

![](images/page-060_15245d58568e3fbbd37222b6a830741c514df6b83cabeb987fcb107945a81103.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

BC(23)
F
BC(3)
BC(3)
BC(123)
Z
X Y
</details>

Fig. 21 Rectangular Plate Shell Model

해석 결과 나오는 고유치(eigenvalue) $\lambda _ { i }$ 는 Table. 6과 같고, ABAQUS와유사한 결과가 나옴을 확인할 수 있다. 또한 고유치 벡터(eigenvector)로부터 확인할 수 있는 좌굴 형상 역시 ABAQUS와 유사함을 확인할 수있다.(Table. 7)
