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#

# On the Finite Element Analysis of Shell Structures

\*·\*\*

Lee，Phill-Seung·Noh,Hyuk-Chun

# Abstract

Based onrecent research works,importantconcepts on the finite element analysis ofshellstructures and therelations among themare presented inthis paper.Wereviewthebasicshellmathematical model, which is theunderlyingmathematicalmodel of the contiuum mechanics based shellfiniteelements.Theasymptotic theoryof sellstructures thenis reviewed andwe presenthowtoevaluate theasymptoticbehavior in finiteelementsolutions.S-norm is introducedasaneror measureoffinite elementsolutionsandweshow“locking”in theconvergencecurves ofsellfinite element solutions.Wediscusstheconceptof “uniformoptimalconvergence”infiniteelementanalysisofshels.Wefnallysummarizerequirementsonideal shellfiniteelements and propose how to perform benchmark tests of shell finite elements.

Keywords :shellstructures,finite elements，asymptotic behavioruniformoptimal convergence,benchmark tests

# 刀

본 논문에서는 최근 주요 연구들을 토대로 쉘 구조물의 유한요소해석에 대하여 중요한 개념들과 그 연관관계를 고찰한다감절점 쉘 유한요소의 수학모델인 기본쉘수학모델을 살펴본다 쉘 구조물의 두께가 얇아짐에 따라 일어나는 쉘 구조문제의세가지 극한거동들휨지배거동 막지배거동 혼합지배거동에 대한 쉘의 점근거동 이론을 소개하고 점근거동을 유한요소해석을 통해 찾아내는 방법을 알아본다 유한요소해의 오차를 으로 평가하는 방법을 소개하고 이를 이용하여 쉘 유한요소의 잠김현상이 유한요소해의 수렴곡선에 어떻게 나타나는지 살펴본다 쉘 구조물의 유한요소해석에서 균일최적수렴의 개념을논의한다 마지막으로 이상적인 쉘 유한요소의 조건을 알아보고 쉘 유한요소의 성능평가를 위한 방법론을 제시한다

쉘 구조물 유한요소해석 점근거동 균일최적수렴 성능시험

# 1.

계란의 외피가 얼마나 큰 외력에 견딜 수 있는가 하는 것은 일반 대중들에게도 잘 알려져 있는 사실이다 그 밖에도우리는 자연 속에서 갑각류의 표피나 조개 껍질과 같은 여러 종류의 쉘 구조물들 을 접할 수 있다 이런 자연의 예들은 쉘 구조가 매우 이상적이고 효과적인 구조물의 한 형태라는 것을 간접적으로 증명하고 있다 인간이만들어낸 쉘 구조물들도 셀 수 없이 다양하고 많으며 우리는 쉘 구조물들 속에서 살고 있다고 해도 과언이 아니다

유한요소법 은 쉘 구조물의 선형및 비선형 해석에 가장 널리 쓰이는 방법으로 지난 수십 년동안 쉘 구조물의 유한요소해석에 대한 연구가 활발하게 이루어져 오고 있다 최창근그러나 쉘 구조물은 쉘의형상 경계조건 하중 등에 따라 아주 다양한 거동을 보이며특히 쉘의 두께가 얇을 경우 거동의 특성이 매우 민감해지기 때문에 쉘 구조물의 유한요소해석에 앞서 근본적인 쉘··········································································································이론 및 물리적 거동에 대한 이해가 필수적이다and Bathe,1998；Lee and Bathe,2002；Chapelle and이러한 쉘 구조물의 거동에 대한 이해의 핵심은 쉘 구조물의 두께가 얇아짐에 따라 나타나는 점근거동을 연구하는 것이다2002；Bathe，Chapelle and Lee，2003). 圣号거동은 일반적으로 휨지배 거동 막지배거동 혼합 지배거동 등으로 나누어진다

일반적으로 공학 에서 주어진 문제를 풀기 위한 접근방법은 실험 과 관찰 을 통하여 물리적 거동을 살펴본 후 그 물리문제의 중요한 특성인자를 찾아내고 그에 따른 여러 가지 가정들을 사용하여 문제를 단순화시켜 수학모델을 만든다 수학모델은 주어진 물리문제를 이론적으로접근할 수 있는 방법을 제공해 준다 수학모델의 해는 이론

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적인 방법으로 구해질 수 있으나 풀고자 하는 문제가 매우복잡할 때는 해를 구하기가 거의 불가능하다. 수치해석(numerical analysis)을 이용하면 복잡한 물리문제의 근사해(approximation)를 구할 수 있고 그 결과를 실험/관찰 결과와 비교하면 수학모델이나 수치해석의 적정성을 평가할 수있다.

이와 같은 일련의 작업들, 즉, 물리적 거동, 수학모델, 수치해석은 서로 밀접하게 연관되어 있다. 그러므로, 쉘 구조물의 유한요소해석을 명확하게 이해하기 위해서는 쉘 구조물의 물리적 거동에 대한 이해, 쉘의 수학모델(mathematicalshell model)에 대한 이해와 쉘 유한요소에 대한 이해가 동시에 체계적이고 심도 있게 이루어져야 한다. 세가지 모두에대한 통합적인 이해가 없을 경우 쉘 구조물의 유한요소해석에 있어서 중대한 오류를 범할 수 있다. 본 논문의 목적은이 각각의 세가지 부분에 대한 이해와 이들이 서로 어떻게유기적으로 관계를 맺고 있는지를 최근 주요 연구들(Leeand Bathe, 2002; Chapelle and Bathe, 2003; Bathe,Chapelle and Lee, 2003; Hiller and Bathe, 2003; Leeand Bathe, 2005)을 중심으로 정리하여 고찰해 보고 이상적인 쉘 유한요소의 성질과 쉘 유한요소의 성능평가 방법을제시하는 것이다. 특히 쉘 구조물의 설계를 위하여 유한요소해석을 수행하는 기술자들(engineers)이나 유한요소법을 공부/연구하는 학생/연구자들의 “쉘 구조물의 유한요소해석에 대한 이해”를 돕고자 하는데 글의 초점을 맞추었다.

유한요소법에 의해 쉘 구조물을 효과적으로 해석하기 위해서는 신뢰할 만한 쉘 유한요소를 사용해야 한다는 것은 자명하다. 일반적으로 변위법에 의해 정식화(displacementbased formulation)된 쉘 유한요소는 사용된 근사함수(interpolation function)의 차수(order)에 상관없이 휨지배 및혼합지배거동을 하는 쉘 구조물에 대하여 과도한 강성을 나타낸다(Bathe, 1996; Chapelle and Bathe, 2003). 이를 잠김현상(locking phenomenon)이라 하며 효과적인 쉘 유한요소의 개발에 있어서 극복해야 할 어려운 문제들 중의 하나이다. 이상적인 쉘 유한요소는 여러 가지 점근거동과 다양한형상의 쉘 구조문제에 있어서 균일최적수렴(uniform optimalconvergence)을 보여야 하며 이상적인 쉘 유한요소를 개발하는 것은 매우 어려운 일이다.

본 논문에서는 먼저 쉘의 대표적인 수학모델을 설명하고쉘 구조물의 점근거동에 대한 기본이론을 살펴본 후 임의의쉘 구조물의 점근거동을 어떻게 알아낼 수 있는지를 알아본다. 또한 쉘 유한요소해의 오차(error)를 평가하는 규준을 살펴보고 이를 바탕으로 잠김현상 발생 시의 쉘 유한요소의수렴과 균일최적수렴에 대해 알아본다. 마지막으로 이상적인쉘 유한요소와 쉘 유한요소의 성능평가에 대하여 논한다. 앞으로 논의하는 내용은 등방성재료(isotropic material)에 대한선형탄성(linear elastic)이론에 국한된다.

# 2. 早g(mathematical shell model)

기본쉘수학모델(basic shell mathematical model)은 쉘 구조물의 휨(bending)거동, 면내(membrane)거동, 면외전단(transverse shearing)거동과 그 상호연관(coupling)관계를 모두 표현할 수 있는 가장 일반적인 쉘 수학모델로 3차원 연속체 역학으로부터 유도된 감절점 쉘 유한요소(Ahmad,Irons and Zienkiewicz, 1970; Bathe, 1996)와 동일한 변형률 항들을 가지고 있다(Chapelle and Bathe, 1998; Chapelleand Bathe, 2003; Lee and Bathe, 2005). 즉, 기본쉘수학모델은 감절점 쉘 유한요소의 수학모델인 것이다. 본 장에서는 미분기하학(differential geometry)을 이용하여 쉘의 형상(geometry)과 변형거동(kinematics)을 살펴보고 기본쉘수학모델의 유도를 보여준다.

# 2 . 1   (s h e l l g eo m etry)

쉘은 두께(thickness)가 얇은 3차원 구조물이다. 두께가 얇다는 특징 때문에 쉘의 형상은 쉘의 중심면으로 이루어진 2차원 영역과 두께에 의하여 정의  수 있다. 여기서는 기본쉘수학모델에서 쓰이는 쉘의 형상에 관한 개 을 미분기하학을 통하여 보여준다.

![](images/page-002_34c197da10900820920b2de2867c9e962cee63d23bf27916c5234ee81406902c.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

Z
Y
X
S
ξ³ - curve
ξ² - curve
midsurface
Φ
ξ²
ω
ξ¹
ξ¹ - curve
Φ̄(ξ¹, ξ², ξ³) = φ̄(ξ¹, ξ²) + ξ³ ā₃(ξ¹, ξ²)
</details>

1.

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(Einstein summation convention) }.αβ，μi,j,미분기하학의 정

(midsurface는 에서 지 변하며 는 에서 지 변하는. (covariant base vector)쉘의 중심면

$$
\vec {a} _ {\alpha} = \frac {\partial \vec {\phi} (\xi^ {1} , \xi^ {2})}{\partial \xi^ {\alpha}} \tag {1}
$$

』(covariant) (contravariant base vector).

$$
\vec {a} ^ {\alpha} \cdot \vec {a} _ {\beta} = \delta_ {\beta} ^ {\alpha} \tag {2}
$$

王 $\delta _ { \beta } ^ { \alpha _ { 1 } } \equiv \ \alpha _ { } \mathcal { A }$ 는 다 의 관계에 의하여 어진다βKronecker sybolo．(covariant)]画E] 画音(vector product)여기서

$$
\vec {a} _ {3} = \frac {\vec {a} _ {1} \times \vec {a} _ {2}}{\left\| \vec {a} _ {1} \times \vec {a} _ {2} \right\|} \tag {3}
$$

$$
\vec {\Phi} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}, \xi^ {3}\right) = \vec {\phi} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}\right) + \xi^ {3} \vec {a} _ {3} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}\right) \tag {4}
$$

쉘의 차원 기하형상은 다 식으로 표현된다ξ 1 ξ 2 ξ 3

$$
\Omega = \left\{(\xi^ {1}, \xi^ {2}, \xi^ {3}) \in \Re^ {3} | (\xi^ {1}, \xi^ {2}) \in \omega , \xi^ {3} \in \left[ - \frac {t (\xi^ {1} , \xi^ {2})}{2}, \frac {t (\xi^ {1} , \xi^ {2})}{2} \right] \right\} \tag {5}
$$

』  』 surface(tensors).2Dmetric여기서 는 쉘의 두께이다

$$
a _ {\alpha \beta} = \vec {a} _ {\alpha} \cdot \vec {a} _ {\beta} \tag {6}
$$

서로 공변형 은 다 식과 같다

$$
a ^ {\alpha \beta} = \vec {a} ^ {\alpha} \cdot \vec {a} ^ {\beta} \tag {7}
$$

위 식의 반변형 은 다 과 같이 나타난다.(covariant type）斗.

$$
b _ {\alpha \beta} = \vec {a} _ {3} \cdot \vec {a} _ {\alpha , \beta} \tag {8}
$$

$$
b _ {\beta} ^ {\alpha} = a ^ {\alpha \lambda} b _ {\lambda \beta} \tag {9}
$$

또한 위 식의 합성형 서는 다 식

$$
c _ {\alpha \beta} = b _ {\alpha} ^ {\lambda} b _ {\lambda \beta} \tag {10}
$$

세 기본 서는 다 과 같이 정의 된다 w(covariant derivative)E.

$$
w _ {\alpha | \beta} = w _ {\alpha , \beta} - \Gamma_ {\alpha \beta} ^ {\lambda} w _ {\lambda} \tag {11}
$$

$\Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \lambda } \stackrel { \ll } { = }$ Christoffe symbolo)t.

$$
\Gamma_ {\alpha \beta} ^ {\lambda} = \vec {a} _ {\alpha , \beta} \cdot \vec {a} ^ {\lambda} \tag {12}
$$

여기서 는 면에서의 이다

$$
\vec {g} _ {i} = \frac {\partial \vec {\Phi} (\xi^ {1} , \xi^ {2} , \xi^ {3})}{\partial \xi^ {i}} \tag {13}
$$

$$
\vec {g} _ {\alpha} = \vec {a} _ {\alpha} - \xi^ {3} b _ {\alpha} ^ {\lambda} \vec {a} _ {\lambda} \tag {14}
$$

$$
\vec {g} _ {3} = \vec {a} _ {3} \tag {15}
$$

(contravarianto.

$$
\vec {g} ^ {i} \cdot \vec {g} _ {j} = \delta_ {j} ^ {i} \tag {16}
$$

# 차원 반변 기저 터는 다

쉘의 변형거동

$$
\vec {U} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}, \xi^ {3}\right) = \vec {u} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}\right) + \xi^ {3} \theta_ {\lambda} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}\right) \vec {a} ^ {\lambda} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}\right) \tag {17}
$$

같이 표 $\vec { u } ( \xi ^ { 1 } , \xi ^ { 2 } )$ 』』(infinitesimaltranslation) E $\theta _ { \lambda } ( \xi ^ { 1 } , \xi ^ { 2 } )$ (infinitesimal rotation) E. $\theta _ { \lambda } { \vec { a } } ^ { \lambda } \equiv$ 여기서 는 $\xi ^ { 3 } \theta _ { \lambda } { \vec { a } } ^ { \lambda } \equiv \ I$ 의 미소변위를 나타내고 는 쉘의 중심면에 수u $\vec { \boldsymbol a } ^ { 1 }$ $\scriptstyle { \vec { \alpha } } ^ { 2 }$ 선 $\vec { a } ^ { 3 } ( = \vec { a } _ { 3 }$

전 터 이고 는 그 전 터에 의한 변위를나타낸다 선변위 는 반변 기저 터

$$
e _ {i j} = \frac {1}{2} (\vec {g} _ {i} \cdot \vec {U} _ {, j} + \vec {g} _ {j} \cdot \vec {U} _ {, i}) \tag {18}
$$

$$
\vec {U} _ {, i} = \frac {\partial \vec {U} (\xi^ {1} , \xi^ {2} , \xi^ {3})}{\partial \xi^ {i}}. \tag {19}
$$

(14)，(5)(17)』(18)(covariant）

$$
e _ {\alpha \beta} = \gamma_ {\alpha \beta} (\vec {u}) + \xi^ {3} \chi_ {\alpha \beta} (\vec {u}, \vec {\theta}) - \left(\xi^ {3}\right) ^ {2} \kappa_ {\alpha \beta} (\vec {\theta}) \tag {20a}
$$

$$
e _ {\alpha 3} = \zeta_ {\alpha} (\vec {u}, \vec {\theta}) \tag {20b}
$$

$$
e _ {3 3} = 0 \tag {20c}
$$

$$
\gamma_ {\alpha \beta} (\vec {u}) = \frac {1}{2} (u _ {\alpha | \beta} + u _ {\beta | \alpha}) - b _ {\alpha \beta} u _ {3} \tag {21a}
$$

$$
\chi_ {\alpha \beta} (\vec {u}, \vec {\theta}) = \frac {1}{2} \left(\theta_ {\alpha | \beta} + \theta_ {\beta | \alpha} - b _ {\beta} ^ {\lambda} u _ {\lambda | \alpha} - b _ {\alpha} ^ {\lambda} u _ {\lambda | \beta}\right) + c _ {\alpha \beta} u _ {3} \tag {21b}
$$

$$
\kappa_ {\alpha \beta} (\vec {\theta}) = \frac {1}{2} (b _ {\beta} ^ {\lambda} \theta_ {\lambda | \alpha} - b _ {\alpha} ^ {\lambda} \theta_ {\lambda | \beta}) \tag {21c}
$$

$$
\zeta_ {\alpha} (\vec {u}, \vec {\theta}) = \frac {1}{2} \left(\theta_ {\alpha} + u _ {3, \alpha} + b _ {\alpha} ^ {\lambda} u _ {\lambda}\right) \tag {21d}
$$

(isotropic material)o (plane

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을 적용하면 면에 수 인 력은 이며σ 이때 력과 변형률의 상관관계는 다 과 같다

$$
\sigma^ {\alpha \beta} = C ^ {\alpha \beta \lambda \mu} e _ {\lambda \mu} \tag {22a}
$$

$$
\sigma^ {\alpha 3} = \frac {1}{2} D ^ {\alpha \lambda} e _ {\lambda 3} \tag {22b}
$$

위의 식 에서

$$
C ^ {\alpha \beta \lambda \mu} = \frac {E}{2 (1 - \nu)} \left(g ^ {\alpha \lambda} g ^ {\beta \mu} + g ^ {\alpha \mu} g ^ {\beta \lambda} + \frac {2 \nu}{1 + \nu} g ^ {\alpha \beta} g ^ {\lambda \mu}\right) \tag {23a}
$$

$$
D ^ {\alpha \lambda} = \frac {2 E}{1 + \nu} g ^ {\alpha \lambda} \tag {23b}
$$

여기서 E는 재료의 탄성계수 이고 v는아 비 이며 $g ^ { \alpha \beta } \equiv \ f$ 의 차원 반변기저 터로정의된 서이다 $( g ^ { \alpha \beta } = _ { g } ^ {  \alpha } . _ { g } ^ {  \beta } )$

쉘 구조물에 강체운동 이 일어나지도 적절한 변위경계조건이 주어지면 식 에서 지를 이용하여 기본쉘수학모델의 지배변분식 을 을 수 있다

해를 구하는 과정은 모든 임의의 시험함수에 대하여 다 식 와 변위 경계조건을 만 시 는V미지변위 를 찾는 것으로 나타내어질 수 있다U

$$
\begin{array}{l} \int_ {\Omega} C ^ {\alpha \beta \lambda \mu} e _ {\alpha \beta} (\vec {U}) e _ {\lambda \mu} (\vec {V}) d V + \int_ {\Omega} D ^ {\alpha \lambda} e _ {\alpha 3} (\vec {U}) e _ {\lambda 3} (\vec {V}) d V \\ = \int_ {\Omega} \vec {F} \cdot \vec {V} d V \tag {24} \\ \end{array}
$$

여기서 는 쉘 구조물에 작용하는 외력 F이며 시험함수는 변위경계조건을 만 시켜야 한다

$$
\vec {V} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}, \xi^ {3}\right) = \vec {v} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}\right) + \xi^ {3} \eta_ {\lambda} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}\right) \vec {a} ^ {\lambda} \left(\xi^ {1}, \xi^ {2}\right) \tag {25}
$$

# 3.

휨 막 면외전단작용들은 쉘 구조물이 하중을 지지하는 기본적인 원리이다 그러므로 하중 재하 시 쉘 구조물은 휨막 전단 에 지를 그 내부에 저장하게 된다 쉘의 두께가얇아짐에 따라 쉘의 전단 에 지는 시할 만 작아지므로쉘 구조물의 에 지는 주로 휨 에 지와 막 에 지에 의해구성된다고 할 수 있다

쉘은 그 두께가 얇아짐에 따라 특정한 한계거동 휨지배(bending dominated)号，lu(membrane dominated),혼합 지배거동 을 보이게 되며 이를 쉘의 점근거동이라 한다 쉘의 두께가 얇아짐에 따라쉘 구조물이 주로 휨 거동에 의해 하중을 지 할 경우 그쉘 구조물을 휨지배 쉘 구조물이라 부 며 막거동에 의해 하중을 지 할 경우 막지배 쉘구조물이라 한다 또한 두께가얇아짐에 따라 쉘 구조물이 휨과 막거동 두 가지 모두에 의해 외력을 지지할 경우 혼합 지배 쉘 구조물이라 한다 쉘 구조물의 점근거동은 쉘의 형상 경계조건하중 에 따라 라진다and Bathe，2002；Bathe，Chapelle and Lee，2003；Chapelleand Bathe,2003).

# 3.1

식 에서 구해진 선형 쉘 이론의 변분식을 두께 t에 대하여 정리하여 t의 고차항을 제거하면다 과 같이 간 화하여 나타낼 수 있다

$\mathrm { F i n d ~ } \ \vec { U } { \in } \ \vec { \Psi } \ \mathrm { \ s u c h ~ \ t h a t }$

$$
\varepsilon^ {3} A _ {b} (\vec {U}, \vec {V}) + \varepsilon A _ {m} (\vec {U}, \vec {V}) = \vec {F} (\vec {V}), \forall \vec {V} \in \vec {\Psi} \tag {26}
$$

여기서 ε는 쉘의 두께와 전체 쉘 구조물 기의 비 t Lb m3 A 는 휨 에 지 $\varepsilon A _ { b } ( \cdot , \cdot ) \frac { \circ } { \cdot }$ 막 및 전단 에 지에 대하는 선형식들 이며 는 변위장의 해U는 시험함수 는 공간 1 는 외력V Ψ F( )⋅에 대 하는 선형식 을 나타낸다 일반적으로 쉘의 두께가 얇을 때 전단 에 지는 막 에 지에 비해 매우작으므로 ε A 을 막 에 지에 대 하는 항이라고 부를 수있다

ρ 가 해진 외력 을사용한다

$$
\vec {F} (\vec {V}) = \varepsilon^ {\rho} \vec {G} (\vec {V}) \tag {27}
$$

여기서 는 의 2 에 속하며 ρ는 실수이G Ψ′ Ψ다 식 의 변의 각 항은 ε 3 과 ε에 비 하므로 ρ는보다 거나 같고 보다 작거나 같은 실수임을 알 수 있다

$$
1 \leq \rho \leq 3 \tag {28}
$$

다 의 공간 은 쉘의 점근거동에 중요한 역할을 한다

$$
\overrightarrow {\Psi} _ {0} = \left\{\vec {V} \in \overrightarrow {\Psi} \Big | _ {A _ {m} (\vec {V}, \vec {V}) = 0} \right\} \tag {29}
$$

공간은 순수 휨 을 나타내는 변위의 공간Ψ이며 막 및 전단 에 지를 으로 만들 수 있는 모든 변위의 형태들 을 함한다 이 공간 이 단지 모든변위를 으로 하는 변위의 형태들만을 가지고 있을 때 쉘구조물에서 순수 휨거동이 구속되었다고 하며 그러한 쉘을순수 휨이 구속된 쉘 이라 한다 반면에 쉘이모든 변위가 인 형태 가 아 순수 휨 모를 가지고 있을 경우 그 쉘 구조물을 순수 휨이 구속되지은 쉘 구조물이라 한다 쉘의 점근거

<!-- source-page: 5 -->

1. 

<table><tr><td>경우</td><td>하중</td><td>분류</td></tr><tr><td rowspan="2">순수 힘이 구속되지않은 셀 구조물,  $\vec{\Psi}_{0} \neq \{0\}$ </td><td>순수 힘을 유발하는 외력 $\exists \vec{V} \in \vec{\Psi}_{0}$  such that  $\vec{G}(\vec{V}) \neq 0$ </td><td>(i) 훼지배거동</td></tr><tr><td>순수 힘을 유발하지 않는 외력 $\vec{G}(\vec{V}) = 0, \forall \vec{V} \in \vec{\Psi}_{0}$ </td><td>(ii) 불안정한 막지배 또는 혼합지배거동</td></tr><tr><td rowspan="2">순수 힘이 구속된 셀 구조물,  $\vec{\Psi}_{0} = \{0\}$ </td><td>Admissible membrane loading $\vec{G} \in \vec{\Psi}_{m}'$ </td><td>(iii) 막지배거동</td></tr><tr><td>Non-admissible membrane loading $\vec{G} \notin \vec{\Psi}_{m}'$ </td><td>(iv) 혼합지배거동</td></tr></table>

동은 순수 휨이 구속되어 있는가아 가에 따라 변한다

순수 휨이 구속되지 은 경우즉 $\vec { \Psi } _ { 0 } \not = \{ 0 \}$ 는 주로 쉘구조의 휨지배 상태를 이 어낸다 이때 적 한 ρ의 은이며 식 의 막 에 지 항이 사라지면서 이 경우 식의 쉘 문제는 다 과 같이 표현 수 있다

Find $\vec { U } ^ { 0 } \in \vec { \Psi } _ { 0 }$ such that

$$
A _ {b} (\vec {U} ^ {0}, \vec {V}) = \vec {G} (\vec {V}), \forall \vec {V} \in \vec {\Psi} _ {0} \tag {30}
$$

순수 휨이 구속되지 은 경우의 휨지배 상태는 하중이 휨변위를 유발 시켜야만 일어 수 있다 만일 하중이 휨을유발할 수 없다면 이론적인 점근거동은 휨이 구속된 경우와같게 되나 이 경우 거동은 매우 불안정 하다 즉이런 경우 작은 하중의 변화로 쉘 구조물의 점근거동을 막지배거동에서 휨지배거동으로 바 수 있다

순수 휨이 구속된 경우즉 $\vec { \Psi } _ { 0 } = \{ 0 \} ) ,$ 적정한 ρ 은 이며 막과 전단 에 지만을 유발시 수 있는 변위공간$\overrightarrow { \Psi } _ { m }$ 에 의해 구조물의 거동이 표현 수 있다 그러므로 이공간 의 기는 $\vec { \Psi }$ 보다 다 막지배거동의 한계문제는 다 과 같이 표현된다

Find $\vec { U } ^ { m } \in \vec { \Psi } _ { m }$ such that

![](images/page-005_353fdda2703e77243cf8511ab96f62613679664877506ed583effba7c69fcb9f.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

Z
Y
X
ξ³ -curve
ξ² -curve
u₃
θ₁
u₂
θ₂
S
a₃
a₂
a₁
a₁
u₁
ξ¹ -curve
U̅(ξ¹,ξ²,ξ³)=u̅(ξ¹,ξ²)+ξ³θλ(ξ¹,ξ²) a̅λ(ξ¹,ξ²)
</details>

2.

$$
A _ {m} (\vec {U} ^ {m}, \vec {V}) = \vec {G} (\vec {V}), \forall \vec {V} \in \vec {\Psi} _ {m} \tag {31}
$$

여기서 외력 가m G $\vec { \Psi } _ { m }$ 의 에 속해야만 막지배거동의 한계문제가 잘 정의 되며 이 조건 $\vec { G } \in \vec { \Psi } _ { m } { } ^ { \prime } ) \frac { \circ } { \textsc { i } }$ 다식과 동일하다

$$
\left| \vec {G} (\vec {V}) \right| \leq c \sqrt {A _ {m} (\vec {V} , \vec {V})}, \forall \vec {V} \in \vec {\Psi} \tag {32}
$$

여기서 는 상수이다 위 식은 재하된 외력이 막 력만에의하여 지지 수 있다는 것을 하며 이런 조건을 만 시는 외력을 이라고 부른다}引o] “non-admissible membrane loading $( \vec { G } \in \vec { \Psi } _ { m } ^ { \ \prime } ) ^ { \flat }$ 이라면 이 경우 막지배 문제는 정의 수 없으며 쉘의 점근거동은 막과 휨의 혼합된 형태 를 게 된다

표 은 위에서 언 된 쉘 구조물의 점근거동을 정리요하여 보여준다 쉘 구조물의 설계 시 이러한 점근거동에 대한 지식은 매우 유용하며 필수적이다 주어진 하중에 대하여쉘 구조물의 강성은 ερ 에 비 하여 변한다 즉 쉘 구조물의 거동이 휨에 의해 지배 게 경우 구조물의 강성은에 비 하게 되며 막거동에 의해 지배 경우 강성은에 비 하게 된다 그러므로 효과적인 쉘 구조물은 휨거동이 구속되어 막거동에 의해 지배되는 구조물이며 쉘 구조물은 막지배거동을 하도 설계하는 것이 바 하다 주어진 외력에 대하여 쉘의 형상과 경계조건을 적절히 사용하여최대의 기하학적 강성 을 을 수 있도하여야 한다

![](images/page-005_4b7a60b2a68ea74e63f7c84a9870ada9b1ae5622c5988abd01bc685583130cdd.jpg)

<details>
<summary>natural_image</summary>

3D wireframe model of a dome structure with a highlighted top layer (no text or symbols)
</details>

bdry쉘의

<!-- source-page: 6 -->

# 3.2

쉘의 력/변형률/변위장들은 그 변화가 매 러운 영역들(smooth areas)과 그 지 은 여러 종류의 들(layers)로나누어진다. (layer)은 률(curvature)이나 두께의 변화와같은 쉘의 형상의 변화, 적합하지 은 변위경계조건(incompatible boundary condition), 불규 한 하중(irregularloading) 등에 의하여 유발된다(Lee and Bathe, 2002).(layer)에서는 력/변형률/변위 등이 매우 하게 변하며 변형에 지의 중이 일어난다. 의 특성 이( , characteri-stic length)는 쉘 구조물의 두께에 따라 변하며 쉘의 두께( )와 전체 쉘 구조물 이( )의 함수로 나타나다.

$$
L _ {c} = c t ^ {1 - l} L ^ {l} \tag {33}
$$

여기서 는 상수이며 은 양의 실수 이다.

고문 (Lee and Bathe, 2002)는 쉘의 두께가 얇아짐에따라 나타나는 Scodelis-Lo roof shell problem에서의 경계(boundary layer)과 물면(hyperbolic paraboloid) 쉘구조문제의 내부 (inner layer)을 보여준다. 고문 (Bathe,Chapelle and Lee, 2003)에서는 또 다른 형태의 경계 이쉘의 두께가 얇아짐에 따라 변화하는 것을 보여준다. 그3은 쉘의 변형형상(deformed shape)과 유효 력(effectivestress)분 에 나타난 경계 (boundary layer)의 예를 보여주고 있다.

# 3.3

이론적인 방법으로 일반적인 쉘 구조물의 점근거동을 알아내려는 시도는 Lovadina를 비 한 많은 연구자들에 의해 수행되었으나 운 일이 아니었다(Lovadina, 2001). 근 에 수치적인 방법에 의해 점근거동을 알아내는 연구가 진행되었으며 유한요소해석을 통한 여러 가지 방법이 Lee와 Bathe에의해 제안되었다(Lee and Bathe, 2002; Bathe, Chapelle andLee, 2003). 본 논문에서는 가장 운 한가지 방법을 소개한다.

쉘 구조물의 ρ(load scaling factor) 을 구하게 되면 그구조물의 점근거동을 알아낼 수 있다. 다 은 Lee와 Bathe에 의해 제안된 ρ의 근사 을 구하는 식이다.

$$
\rho \cong \frac {\log E (\varepsilon + \Delta \varepsilon) - \log E (\varepsilon)}{\log (\varepsilon + \Delta \varepsilon) - \log \varepsilon} \tag {34}
$$

여기서 는 ε(= / )에 대한 유한요소해석으로부터 구해진쉘 구조물의 변형에 지(strain energy) 이다. 주어진 ε에대하여 유한요소해의 정확도가 을수 보다 정확한 ρ 을을 수 있다. 계 된 ρ의 이 1일 경우 구조물은 막지배거동을, 3일 경우 휨지배거동을, 1과 3의 중간 일 경우막과 휨의 혼합지배거동을 한다.

Lovadina는 보간이론(interpolation theory)을 사용하여 쉘구조물의 점근거동을 연구하 으며 ρ 과 쉘 구조물에 저장되는 에 지들과의 관계를 나타내는 미로운 식을 제안하다(Lovadina, 2001).

$$
\lim _ {\varepsilon \rightarrow 0} R (\varepsilon) = \frac {\rho - 1}{2} \tag {35}
$$

여기서 (ε)는 쉘 구조물의 전체 변형에 지에 대한 휨 변형에 지의 비이다.

$$
R (\varepsilon) = \frac {\varepsilon^ {3} A _ {b} (\vec {U} , \vec {U})}{\varepsilon^ {3} A _ {b} (\vec {U} , \vec {U}) + \varepsilon A _ {m} (\vec {U} , \vec {U})} \tag {36}
$$

역으로 쉘 구조물의 (ε)를 계 하면 또한 쉘의 점근거동을찾을 수 있는 ρ 을 알 수 있다.

Lee와 Bathe는 쉘 유한요소의 성능을 평가(benchmark)하기 위한 쉘 문제로 널리 알려져 있는 Scodelis-Lo roofshell problem을 대상으로 하여 ρ 을 계 하 으며 그 쉘구조물의 점근거동을 보여주었다(Lee and Bathe, 2002). 그후에 Lovadina는 이론적인 방법을 이용해 같은 문제의 ρ을 구하 고 두 결과는 일치하 다. 쉘 구조물의 휨지배거동과 막지배거동에 대한 보다 자세한 예들을 고문 (Leeand Bathe, 2002)에서  수 있으며, 쉘 두께의 변화에 따라 ρ 이 변동(fluctuation)하는 민감한 쉘 구조물의 점근거동에 대한 해석이 고문 (Bathe, Chapelle and Lee,2003)에 제시되어 있다.

# 4

쉘 구조물의 유한요소해석에서 면한 가장 큰 어려 은잠김현상(locking phenomenon)이다. 잠김현상은 쉘 구조물의두께가 얇을 수 유한요소해의 오차(error)를 매우 게증가시 다. 본 장에서는 쉘의 점근거동에 대한 이해를 바탕으로 쉘 유한요소의 잠김현상과 균일최적수렴에 대하여 살펴본다.

# 4.

쉘 유한요소의 종류는 게 평면 쉘(flat shell) 유한요소그 과 감절점 쉘(degenerated shell or continuum mechanicsbased shell) 유한요소 그 으로 나 어진다(Ahmad, Ironand Zienkiewicz, 1970; Bathe, 1996; Choi, Lee and Park,1999; 최창근, 2002; Chapelle and Bathe, 2003). 평면 쉘유한요소는 평 유한요소와 평면 력 유한요소의 결합에 의해 만들어진다. 면의 쉘 구조물을 여러 개의 평면으로 나누어 표현한다는 물리적 개 에서 발하 다. 장점은 유한요소 정식화가 고 면내 전자유도(drilling degrees offreedom)를 게 도 하여 절점  6개의 자유도를 가질 수있으며 그로 인해 절점  6개의 자유도를 는 (beam)과 같은 유한요소들과 결합이 리하다는 것이다. 그러나, 기본적으로 요소자체의 형상이 평면이기 때문에 복잡한 면형태의 쉘의 형상과 그 거동을 정밀하게 표현하기 어려면 쉘 구조물의 해석 시 수렴이 리며 정확해로의 수렴에 실 하는 경우가 발생하는 단점을 가지고 있다. 반면 3차원 연속체역학에 근거한 감절점 쉘 요소는 절점  5개의자유도를 가지고 있어 과 같은 유한요소들과의 결합 시특 한 인위적인 방법이 필요하지만 쉘 고유의 복잡한 면형상과 그 거동을 잘 표현해 낼 수 있고 정확해로의 수렴속도가 다. 또한, 2장에서 설명된 바와 같이 가장 일반적인 쉘 수학모델(mathematical shell model)인 기본쉘수학모델에 근거한다.

쉘 유한요소를 유한요소의 정식화(formulation)방법에 따라

<!-- source-page: 7 -->

분류하면 게 변위법 에 의한쉘 유한요소와 혼합법 에 의한 쉘 유한요소로나 수 있다 변위법에 근거한 쉘 유한요소는 막지배 구조물들의 해석에 있어서는 이상적인 거동을 보인다 그러나 요소의 종류와 근사차수 에 상관없이 두께가 얇은 휨지배또는 혼합지배 쉘 구조물들의해석에 있어서 유한요소해석의 해가 매우 리게 수렴하는치명적인 단점을 가지고 있는데 이를 잠김 현상이라고 한다 주어진 요소 에 대하여 유한요소해의 정확성이 쉘의 두께가 얇아짐에 따라 속히 나 지는 현상을하며 최 의 경우 쉘의 두께가 얇아짐에 따라 변위장이에 수렴하게 된다

잠김현상은 막잠김 과 전단잠김현상으로 나누어질 수 있으며 잠김현상이 일어나는근본적인 이유는 변위법에 의한 쉘 유한요소가 식 의순수 휨 변위공간 을 분히 근사할 수 없기 때Ψ문이다 즉 잠김현상은 쉘 구조물의 점근거동과 접적인 연관관계를 가지고 있다 쉘 구조물의 점근거동이 쉘의 형상경계조건 하중 등에 따라 변하기 때문에 잠김현상 또한 쉘의 형상 경계조건 하중에 의 적이다 막잠김현상은 률을가진 쉘 구조물에서만 발생하고 평면형상의 쉘 구조물에서는 발생하지 으나 전단잠김현상은 률에 관계없이 발생한다

잠김현상은 휨지배 및 혼합지배거동 시 식 와에 있는 변형률항들로부터 발생한다 고문and Hiller，2003) (Lee and Bathe，2005) 召o]유한요소해에 어떻게 나타나는지를 보여주고 잠김현상이 제거되기 어려운 근본적인 이유를 잘 설명하고 있다

실제 쉘 유한요소해석에 있어서 잠김현상은 과대한 강성또는 그로 인한 과소한 변위 력 변형률 및 변형에 지로나타난다 그러므로 두께가 얇은 쉘 구조물의 설계 시 분하게 조밀하지 한 유한요소 을 사용하여 해석한 결과를이용할 경우강성이 과대평가되어 과소설계의 오류를 범할수 있다 이와 같이 유한요소해의 오차 또는 정확도가 쉘구조물의 두께에 따라 변하는 현상인 잠김현상은 쉘 구조물의 유한요소해석에 있어서 하게 일어나기 때문에 쉘 구조물의 해석에 앞서 잠김현상에 대한 이해는 필수적이다

# 4.2

신뢰할 만한 쉘 유한요소의 해는 사용된 요소의 수가 증가함에 따라 장에서 설명된 쉘 유한요소의 수학모델(mathematical shell model) (exact solution)렴하여야 하며 잠김현상을 알아보기 위해서는 쉘 유한요소해의 수렴 선 을 관찰해야 한다 여기서쉘 유한요소의 수렴을 정하기 위하여 적절한 규준을 사용하는 것이 매우 중요하다 그 규준 은 한 점에서 특정 물리 의 수렴이 아니라 쉘구조물 전체 영역에서의 해의 수렴을 고려할 수 있어야 한다 일반적으로 한 점에서의 변위 력변형률 등을 가지고수렴을 정하는 방법이 많이 사용되어 는데 이는 전체영역에서의 수렴을 대표하지 으므로 적절하지 하다 변형에 지의 술적 차이 또한 규준으로 사용할 수 있지만 변위법 정식화에 근거한 유한요소가 아 경우에는 일반적으로 사용 수 없기 때문에 정식화의 방법에 관계없이 일반적으로 쓰일 수 있는 규준이 필요하다

와 에 의해 제안된 은 쉘 구조물 ⋅전체의 거동을 반영할 수 있을 만 아니라 물리적인 개으로부터 유도되었기 때문에 정식화 방법에 관계없이 사용(Hiller and Bathe,2003).

$$
\left\| \overrightarrow {U} - \overrightarrow {U} h \right\| _ {s} ^ {2} = \int_ {\Omega} \Delta \vec {\mathcal {E}} ^ {T} \Delta \vec {\sigma} d \Omega \tag {37}
$$

여기서 는 정확해이며 는 유한요소해이다 와 는ε σ전체 각 표계 에서 정의된 변형률 터와 력 터이다

$$
\vec {\varepsilon} = \left[ \varepsilon_ {x x}, \varepsilon_ {y y}, \varepsilon_ {z z}, 2 \varepsilon_ {x y}, 2 \varepsilon_ {y z}, 2 \varepsilon_ {z x} \right] ^ {T} \tag {38a}
$$

$$
\vec {\sigma} = \left[ \sigma_ {x x}, \sigma_ {y y}, \sigma_ {z z}, \sigma_ {x y}, \sigma_ {y z}, \sigma_ {z x} \right] ^ {T} \tag {38b}
$$

식 에서 변형률과 력에 대하여 정확해와 유한요소해의차이 는 다 과 같이 구해질 수 있다

$$
\Delta \vec {\mathcal {E}} = \vec {\mathcal {E}} - \vec {\mathcal {E}} _ {h} = \vec {\mathcal {E}} (\vec {x}) - \mathbf {B} _ {h} (\vec {x} _ {h}) \vec {U} _ {h} \tag {39a}
$$

$$
\Delta \vec {\sigma} = \vec {\sigma} - \vec {\sigma} _ {h} = \vec {\sigma} (\vec {x}) - \mathbf {C} _ {h} (\vec {x} _ {h}) \mathbf {B} _ {h} (\vec {x} _ {h}) \vec {U} _ {h} \tag {39b}
$$

여기서 는 재료의 력 변형률 관계 행 이고는 변형률변위 관계 연 자 이다 위치 터 와 는 각각 원 쉘 구조물의 영역과 이 화된 유한요소 모델의 영역에 대 된다 두터의 관계는 일대일 사상 Π에 의하여정의할 수 있다

$$
\vec {x} = \Pi (\vec {x} _ {h}) \tag {40}
$$

일반적인 쉘 구조문제에 있어서 이론적인 방법을 이용하여정확해를 찾아내는 것은 거의 불가능하므로 매우 조밀한 유한요소 을 사용하여 계 된 해를 정확해로 고려하여을 계 하는 것이 실용적이다 정확해로 고려된유한요소해를 라고 하면 위식의 은 다 과 같이나타내어질 수 있다

$$
\left\| \vec {U} _ {r e f} - \vec {U} _ {h} \right\| _ {s} ^ {2} = \int_ {\Omega_ {r e f}} \Delta \vec {\varepsilon} ^ {T} \Delta \vec {\sigma} d \Omega_ {r e f}, \tag {41}
$$

여기서

$$
\Delta \vec {\varepsilon} = \vec {\varepsilon} _ {r e f} - \vec {\varepsilon} _ {h} = \mathbf {B} _ {r e f} (\vec {x} _ {r e f}) \vec {U} _ {r e f} - \mathbf {B} _ {h} (\vec {x} _ {h}) \vec {U} _ {h}, \tag {42a}
$$

$$
\Delta \vec {\sigma} = \vec {\sigma} _ {r e f} - \vec {\sigma} _ {h} = \mathbf {C} _ {r e f} \left(\vec {x} _ {r e f}\right) \mathbf {B} _ {r e f} \left(\vec {x} _ {r e f}\right) \vec {U} _ {r e f} - \mathbf {C} _ {h} \left(\vec {x} _ {h}\right) \mathbf {B} _ {h} \left(\vec {x} _ {h}\right) \vec {U} _ {h}, \tag {42b}
$$

$$
\vec {x} _ {r e f} = \Pi (\vec {x} _ {h}) \tag {42c}
$$

다양한 쉘 구조문제와 여러 경우의 쉘 두께에 대하여 유한요소해의 수렴을 상호 비교 가능하게 하기 위해서는 상대오차 를 사용하여야 한다 상대오차 는 다 과같이 정의된다

$$
E _ {h} = \frac {\left\| \overrightarrow {U} _ {r e f} - \overrightarrow {U} _ {h} \right\| _ {s} ^ {2}}{\left\| \overrightarrow {U} _ {r e f} \right\| _ {s} ^ {2}} \tag {43}
$$

<!-- source-page: 8 -->

![](images/page-008_bf153388c62cf5ffb959fea1f220656f3e2d7098e600523e932f659c60a4481d.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

Z
q
t
X
</details>

![](images/page-008_482a5acd2a2caffb955b8010addd15a3324d6a27a92279398b29b7ab0aacf39d.jpg)

<details>
<summary>text_image</summary>

Y
2L
2L
h
X
</details>

![](images/page-008_d5f36e391a2db6312da04bb7410853f21a580803e3d34ef9b823cd8bfcc06080.jpg)

<details>
<summary>surface_3d</summary>

| X    | Y    | Z    |
|------|------|------|
| -0.5 | 0.0  | 0.0  |
| 0.0  | 0.0  | 0.0  |
| 0.5  | 0.0  | 0.0  |
| 0.5  | 0.5  | 0.0  |
| 0.0  | 0.0  | 0.4  |
| 0.5  | 0.5  | 0.0  |
</details>

(b）

4.：（a）（=.0）（b）(hyperbolic쉘 구조문제들 네 변이 완  
![](images/page-008_bae77c29be22346584cd73116d7f5d92877cdb935440ffd7b96206b10053cad6.jpg)

<details>
<summary>line</summary>

| log(h) | t/L=1/10 | t/L=1/100 | t/L=1/1000 | t/L=1/10000 |
| ------ | -------- | --------- | ---------- | ----------- |
| -1.6   | -1.6     | -0.1      | 0.0        | 0.0         |
| -1.2   | -0.8     | -0.1      | 0.0        | 0.0         |
| -0.8   | -0.4     | -0.1      | 0.0        | 0.0         |
| -0.4   | -0.2     | -0.1      | 0.0        | 0.0         |
| 0.0    | 0.0      | -0.1      | 0.0        | 0.0         |
</details>

(a）

![](images/page-008_9d4f652b3e3d5913766088f8d912b5ae7dcfaa2f377adf6fd5fa6150b5e7eedf.jpg)

<details>
<summary>line</summary>

| log(h) | log(relative error) for t/L=1/10 | log(relative error) for t/L=1/100 | log(relative error) for t/L=1/1000 | log(relative error) for t/L=1/10000 |
| ------ | ------------------------------- | -------------------------------- | --------------------------------- | ---------------------------------- |
| -1.6   | -2.8                            | -2.8                             | -2.8                              | -2.8                               |
| -1.2   | -2.0                            | -2.0                             | -2.0                              | -2.0                               |
| -0.8   | -1.2                            | -1.2                             | -1.2                              | -1.2                               |
| -0.4   | -0.4                            | -0.4                             | -0.4                              | -0.4                               |
</details>

（b）  
두께의 변화에 따른

유한요소해의 이론적인 수렴은 다 과 같다.

$$
E _ {h} \cong c h ^ {2 k} \tag {44}
$$

여기서 는 상수, 는 사용된 유한요소의 기, 는 유한요소의 변위 근사함수(displacement interpolation function)차수이다. 예를 들면 선형(linear) 근사함수를 사용하는 3절점 및 4절점 쉘 유한요소에 대하여 =1이며, 2차의(quadratic) 근사함수를 사용하는 6절점 및 9절점 쉘 유한요소에 대하여 = 2이다. S-norm은 수치적인 방법에 의해 계수 있다(Lee, Noh and Bathe, 2007).

# 4.3

다 으로 2개의 휨지배 쉘 구조문제들의 예를 통하여 잠김현상이 s-norm을 이용하여 구해진 수렴 선에 어떻게 나타나는지를 보여주고 균일최적수렴(uniform optimalconvergence)에 대하여 알아본다.

(plate) 구조는 률이 영인 쉘 구조물로서 쉘 구조의가장 단순한 형태이다.   예로 그 4(a)에 보여진변이 전히 구속된 평 휨(plate bending) 구조문제에대하여 쉘 유한요소해의 수렴 선을 살펴보자. 사용된 탄성계수는 1.7472×10 , 아 비는 0.3, 이 =1.0, 하중은단위 면적 90이 − 방 으로 작용한다. 구조물의 형상,하중, 변위경계조건의 대 성으로 인해 그 4(a)의 된부분만 해석되었다.

주어진 평 휨 문제를 풀기 위하여 변위법(displacementbased formulation)에 의한 4절점 감절점 쉘 유한요소(QUAD4)와 혼합법(mixed formulation)에 의한 4절점 감절점 쉘 유한요소(MITC43 )를 사용하 다(Ahmad, Irons and

<!-- source-page: 9 -->

![](images/page-009_4826d01a3dee7593d28fca891b85e8e57136dd881207104f1eb1701ab6e7afd3.jpg)

<details>
<summary>line</summary>

| log(h) | t/L=1/100 | t/L=1/1000 | t/L=1/10000 |
| ------ | --------- | ---------- | ----------- |
| -1.6   | -1.8      | -0.4       | 0.0         |
| -1.2   | -1.0      | -0.1       | 0.0         |
| -0.8   | -0.4      | 0.0        | 0.0         |
| -0.4   | 0.0       | 0.0        | 0.0         |
</details>

![](images/page-009_694cc196ad8c9d4b86ecbf71ffc2903b3ff0a7bcf55c38766d51a6bf840be433.jpg)

<details>
<summary>line</summary>

| log(h) | t/L=1/100 | t/L=1/1000 | t/L=1/10000 |
| ------ | --------- | ---------- | ----------- |
| -1.6   | -2.4      | -1.6       | -0.8        |
| -1.2   | -1.6      | -1.2       | -0.4        |
| -0.8   | -0.8      | -0.4       | 0.0         |
| -0.4   | -0.2      | 0.0        | 0.2         |
</details>

두께의 변화에 따른

Zienkiewicz, 1970; Bathe and Dvorkin, 1989; Bathe, 1996).각각의 경우 두께 변화에 따른 수렴 선에서 잠김현상이 어떻게 나타나는지를 살펴보자.

그 5는 두 가지 4절점 쉘 유한요소들에 대하여 쉘 두께의 변화( / =1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000)에 따른 수렴선들(convergence curves)을 보여준다. 여기서 는 사용된유한요소의 기를 나타내며 상대오차를 계 하기 위하여 s-norm을 사용하 다. 와 상대오차에 log를 함으로 식(44)의 이론적인 수렴률과 구해진 수렴 선의 수렴률을 비교할 수 있다. 그 5의 각각의 그 에 이론적인 수렴 선의 기 기(2 )가 두께가 은 선으로 그려져 있다.

그 5(a)는 잠김현상이 일어 때의 전형적인 수렴 선들이다. 쉘의 두께가 얇아짐에 따라 상대오차(relative error)가증하는 것을 알 수 있다. 반면에 그 5(b)의 수렴 선들에서는 상대오차가 쉘 두께( )에 영 을 지 고 오 요소의 기 에만 관계함을 알 수 있다. 또한 그 5(b)에서는 수렴 선들이 이론적인 기 기와 같다. 그 5(b)와 같은형태의 쉘 유한요소해의 수렴형태를 균일최적수렴(uniformoptimal convergence)이라고 한다.

두  예제로 그 4(b)는 한 변이 구속된 물면(hyperbolic paraboloid) 쉘 구조문제이다. 쉘의 중심면(midsurface)은 다 과 같이 정의된다.

$$
\left( \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array} \right) = L \left( \begin{array}{c} \xi^ {1} \\ \xi^ {2} \\ \left(\xi^ {1}\right) ^ {2} - \left(\xi^ {2}\right) ^ {2} \end{array} \right); (\xi^ {1}, \xi^ {2}) \in \left[ - \frac {1}{2}, \frac {1}{2} \right] ^ {2} \tag {45}
$$

경계조건은 =−0.5인 변을 따라 전히 구속되며 자중(self-weight)이 − 방 으로 작용한다. 구조물의 형상과 변위 및경계조건이 =0인 면을 따라 대 이므로 그 4(b)의된 부분만 해석되었다. 사용된 탄성계수는 2.0×10 , 아비(Poisson's ratio)는 0.3, 이 =1.0이며 자중은 단위면적80이다.

주어진 휨지배문제를 풀기 위해 변위법(displacement - MITC6based formulation)에 의한 6절점 각형 쉘 유한요소(QUAD6)와 혼합법(mixed formulation)에 의한 6절점 각형 쉘 유한요소(MITC6)를 사용하 다(Ahmad, Irons andZienkiewicz, 1970; Bathe, 1996; Lee and Bathe, 2004).

그 6에서 / 이 1/100, 1/1000, 1/10000인 세가지 경우에 대하여 6절점 각형 쉘 유한요소들의 수렴 선들(convergence curves)을 보여준다. 각각의 그 에 이론적인수렴 선의 기 기(2 )가 두께가 은 선으로 그려져 있다.그 6(a)는 QUAD6 유한요소가 쉘의 두께가 얇아짐에 따라 계 된 해의 오차가 어나는 경 , 즉, 잠김현상을 유발한다는 것을 보여준다. 그 6(b)에서는 MITC6 유한요소를사용 을 때 잠김현상이 전히 제거되지는 으나 QUAD6유한요소에 비하여 상 히 화되었 을 나타낸다.

여기서 우리는 두 가지 쉘 구조문제들을 대상으로 쉘 유한요소해의 수렴 선과 잠김현상에 대하여 알아보 다. 중요한 점은 어 쉘 유한요소가  가지 쉘 구조문제들에 대하여 잠김현상을 일으 지 는다고 해서 다른 쉘 구조문제들에 대하여도 잠김현상을 유발시 지 는다고 할 수 없다는 것이다. 즉,  가지 쉘 구조문제들에 대하여 균일최적수렴을 보이며 잠김현상을 일으 지 는 유한요소도 다른 쉘구조문제들에 대해서 잠김현상을 보일 수 있으며 모든 쉘구조문제들에 대하여 잠김현상을 일으 지 는 쉘 유한요소를 개발하는 것은 극히 어 다. 보다 다양한 쉘 구조문제들에 대한 유한요소해의 수렴 선에 대한 예는 고문 에나와있는 Lee와 Bathe의 논문들에서 찾을 수 있다.

쉘 유한요소의 잠김현상을 알아보기 위해서는 다양한 형상을 가진 휨 및 혼합지배 쉘 구조문제에 대하여 그 5와 6에 보여진 것과 같이 쉘의 두께를 변화시 며 수렴을 시험하여야 한다. 또한 특정 쉘 요소가 휨지배문제에 은 거동을 보인다고 해서 막지배문제에 대해서도 은 거동을 보이는 것은 아니다. 결론적으로 다양한 형상의 쉘 구조문제들을고려하여 휨과 막지배라는 두 가지 양단의 거동에서 이상적인 수렴을 보이는 쉘 유한요소가 가장 바 하고 이런 쉘유한요소는 혼합지배 쉘 구조문제에 대하여도 은 거동을

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보일 것이다. 즉, 이상적인 쉘 유한요소는 여러 가지 점근적인 거동을 보이는 다양한 형상의 쉘 구조문제들에 대하여균일최적수렴을 보여 주어야 한다.

# 5.

나 이 셀 수 없을 만 많은 쉘 유한요소들이 개발되고있지만 쉘 유한요소의 성능평가는 아 도 고전적인 방법을통하여 이루어지고 있다. 본 장에서는 이상적인 쉘 유한요소의 조건과 잠김현상을 화시 는 방법들을 정리하고 쉘 유한요소의 성능평가를 위한 방법론을 제시한다.

# 5.1

유한요소 구조해석 문제는 다 과 같은 변분식(variationalform)으로 나타내어질 수 있다.

$\mathrm { F i n d ~ } \stackrel {  } { U } _ { h } \in \vec { \Psi } _ { h } \mathrm { s u c h ~ t h a t }$

$$
A _ {h} (\vec {U} _ {h}, \vec {V} _ {h}) = \vec {F} (\vec {V} _ {h}), \forall \vec {V} _ {h} \in \vec {\Psi} _ {h}, \tag {46}
$$

여기서 $A _ { h } ( \cdot , \cdot )$ 는 유한요소법으로 이 화(discretization)된선형식(bilinear form)이고 는 유한요소 변위장의 ΨSobolev 공간(space)이다. 물론 $\vec { \Psi } _ { h } \subset \vec { \Psi }$ 이 성 한다.

$$
A _ {h} (\vec {U} _ {h}, \vec {V} _ {h}) = \vec {V} _ {h} ^ {T} \left(\int_ {\Omega_ {h}} \mathbf {B} _ {h} ^ {T} \mathbf {C} _ {h} \mathbf {B} _ {h} d \boldsymbol {\Omega} _ {h}\right) \vec {U} _ {h} \tag {47}
$$

여기서 $\vec { U } _ { h }$ 는 유한요소해(finite element solution), $\vec { \nu } _ { h }$ 는유한요소 시험함수, $\vec { \Psi } _ { h }$ 는 유한요소 변위장의 공간,  ( )⋅는 외력을 나타내는 선형식(linear form)이다. 쉘 유한요소해석일 경우 식 (46)은 식 (26)의 형태로 표현 수 있다.

일반적인 쉘 구조물의 효과적인 유한요소해석에 쓰일 수있는 이상적인 쉘 유한요소의 개발은 매우 어려운 일이다.이상적인 쉘 유한요소의 조건을 다 과 같이 정리할 수 있다.

● , 쉘 유한요소는 거 영에 지모 (spurious zeroenergy mode)를 지 아야 한다. 변위경계조건이 주어지지 은 임의의 형상을 는 개개의 쉘 유한요소는 물리적인 강체운동에 대 하는 6개의 영에 지모 (zero energymode)만을 가져야 한다. 이 조건을 ellipticity(타원 )라 하며 다 과 같이 정의된다.

$$
\exists \alpha > 0 \text {   such   that   } \forall \vec {U} _ {h} \in \vec {\Psi} _ {h}, A _ {h} (\vec {U} _ {h}, \vec {U} _ {h}) \geq \alpha \| \vec {U} _ {h} \| _ {1} ^ {2} \tag {48}
$$

여기서 α는 상수이며 는 1차 Sobolev norm4 이다.⋅

이 조건은 쉘 유한요소 강성행 (stiffness matrix)의 고유치들(eigenvalues) 중 0인 개수와 그에 대 하는 고유 터들(eigenvectors)을 살펴 으로 시험 수 있다. 탄성체는 강체운동이 아 변위에 대하여 변형에 지를 저장한다. 식A(48)의 조건을 만 시 지 하는 유한요소는 강체운동이 아변위에 대하여 변형에 지를 저장할 수 없으며 이는 물리적으로 적합하지 하다.

● , 쉘 유한요소는 쉘 수학모델에 근거하 기 때문에 쉘유한요소해석의 해는 주어진 쉘 구조문제에 대하여 사용된요소의 기( )가 어 에 따라 또는 사용된 요소의 수가증가함에 따라 쉘 수학모델의 정확해에 수렴해야 한다. 이조건을 consistency( 모순성 또는 정합성)라 부 며 다 과같이 정의된다.

$$
\lim _ {h \rightarrow 0} \overrightarrow {U} _ {h} = \overrightarrow {U} \text { or } \lim _ {h \rightarrow 0} A _ {h} (\overrightarrow {U} _ {h}, \overrightarrow {U} _ {h}) = A (\overrightarrow {U}, \overrightarrow {U}) \tag {49}
$$

여기서 (·,·)는 쉘 수학모델의 정확한 선형식(exactbilinear form)이며 는 정확해(exact solution)이다.

이 조건이 만 되지 을 경우 쉘 유한요소의 해는 이론해에 수렴하지  하므로 신뢰할 만한 결과를  수 없다.

● , 쉘 유한요소는 모든 종류의 휨 및 혼합지배 쉘 구조문제에 대하여 균일최적수렴(uniform optimal convergence)을 보여야 한다. 이 조건을 만 시 는 쉘 유한요소는 비로소 쉘의 두께와 상관 없이 전단잠김과 막잠김으로부터자유로운 유한요소가 된다. 이는 본 논문의 4장에서 설명된 방법에 의해 시험 수 있다. 혼합법에 의해 정식화(mixed formulation)된 쉘 유한요소에 대하여 이 조건을“inf-sup condition”이라 부른다(Bathe, 1996; Bathe, Iosilevichand Chapelle, 2000b).

위에서 언 된 세가지 조건을 모두 만 하는 이상적이 쉘유한요소를 개발하는 것은 극히 어 다. 실용적인 쉘 유한요소해석에서는 보다 화된 다 의 조건들을 만 시 는 쉘요소의 사용이 장된다(Lee and Bathe, 2004).

− 거 영에 지모 (spurious zero energy mode) 없(ellipticity조건 만 )  
− Consistency조건 만   
−  문제의 해석에 있어서 전단잠김 없U U A U U A U U  
−막지배거동 쉘 구조물에 대하여 균일최적수렴  
−휨 및 혼합지배거동 쉘 구조물에 대하여 실용적인 / 의범위(1/10\~1/10000)에서 신뢰할 수 있는 결과  
−비선형 해석에 있어서 효 적인 정식화

# 5.2

지난 수십 년 동안 쉘 유한요소의 잠김현상을 제어하기위해 많은 방법들이 고안되어 다. 그 방법들은 게 세가지로 나누어질 수 있다.

− 식 (47)의 변형률-변위 관계 연 자 $\mathbf { B } _ { h }$ 를 변형하여 전단 및 막 변형률장의 차수를 여주는 방법, (예)reduced integration, ANS method, MITC method

− 식 (47)의 $\mathbf { B } _ { h }$ 에 로운 항을 추가하여 전단 및 막 변형률장의 공간(space)을 려주는 방법, (예) EAS method−식 (46)에서 유한요소 변위장 $\vec { U } _ { h }$ 의 공간( )을 려주Ψ는 방법, (예) non-conforming method

쉘 유한요소의 잠김현상을 화시 기 위한 대부분의 방법들은 위의 세 분류들(categories)에 속하며 세 방법들을 복합적으로 이용한 예들도 있다.

가장 운 방법은 감차적분(reduced integration)을 사용하
