<!-- source-page: 11 -->

$$
E _ {k l} = \tilde {E} _ {m n} \underbrace {\left(\mathbf {E} _ {k} \cdot \mathbf {G} ^ {m}\right) \left(\mathbf {E} _ {l} \cdot \mathbf {G} ^ {n}\right)} _ {\equiv \mathbf {T}} = \tilde {E} _ {m n} \left(\mathbf {E} _ {k} \cdot \frac {\partial X ^ {a}}{\partial \xi^ {m}} \mathbf {E} _ {a}\right) \left(\mathbf {E} _ {l} \cdot \frac {\partial X ^ {b}}{\partial \xi^ {n}} \mathbf {E} _ {b}\right) = \frac {\partial X ^ {k}}{\partial \xi^ {m}} \frac {\partial X ^ {l}}{\partial \xi^ {n}}
$$

$$
\left[ \mathbf {T} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c} \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \\ \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} \\ \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} & \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} & \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} \\ \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} & 2 \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} & 2 \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} + \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} + \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} + \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} & \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\bar {\partial} \xi^ {2}} + \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} \\ \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} & 2 \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} & 2 \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} + \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {3}} + \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {2}} + \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {3}}{\partial \xi^ {1}} \\ \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} & 2 \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} & 2 \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} + \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {3}} + \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {3}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} & \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {1}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {2}} + \frac {\partial X ^ {1}}{\partial \xi^ {2}} \frac {\partial X ^ {2}}{\partial \xi^ {1}} \end{array} \right]
$$

# 5. Nonlinear Newmark- $\beta$ integration method

먼저 물체의 비선형 운동방정식은 다음과 같다.

$$
\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} + \mathbf {C} (\dot {\mathbf {u}}) \dot {\mathbf {u}} + \mathbf {K} (\mathbf {u}) \mathbf {u} = \mathbf {P}
$$

여기서 밀도는 시간이나 변위에 따라 변화하지 않는다고 가정하면 M은 항상 일정하다. 또한 구조물의 동적문제이기 때문에 C는 없다고 생각 할 수 있다. $n+1$ 시간에서 평형방정식을 생각하면

$$
\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} + \mathbf {K} \left(\mathbf {u} _ {n + 1}\right) \mathbf {u} _ {n + 1} = \mathbf {P} _ {n + 1}
$$

와 같다. 운동방정식이 비선형이기 때문에 $n+1$ 시간에서 평형을 만족하는 변위와 가속도를 계산하기 위해서 반복 계산이 필요하다. 따라서 Newton-Raphson method를 사용하여 반복계산을 수행하였다. $k+1$ 번째 반복에서 평형이 이루어졌다면 식은 다음과 같다.

$$
\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k + 1} + \mathbf {K} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k + 1}\right) \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k + 1} = \mathbf {P} _ {n + 1} ^ {k + 1}
$$

위 식을 정리하면

$$
\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k + 1} + \mathbf {K} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k + 1}\right) \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k + 1} - \mathbf {P} _ {n + 1} ^ {k + 1} = 0 = \mathbf {R} _ {n + 1} ^ {k + 1}
$$

와 같고 Taylor series expansion을 통해 선형화 시키면

$$
\mathbf {R} _ {n + 1} ^ {k + 1} = \mathbf {R} _ {n + 1} ^ {k} + \frac {\partial \mathbf {R} _ {n + 1} ^ {k}}{\partial \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} + \frac {\partial \mathbf {R} _ {n + 1} ^ {k}}{\partial \dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k}} \Delta \dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \frac {\partial \mathbf {R} _ {n + 1} ^ {k}}{\partial \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k}} \Delta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k}
$$

와 같다. 이를 풀어 쓰면

<!-- source-page: 12 -->

$$
\begin{array}{l} 0 = \mathbf {P} _ {n + 1} ^ {k} + \frac {\partial \mathbf {P} _ {n + 1} ^ {k}}{\partial \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} - \left\{\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \underbrace {\mathbf {K} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right) \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}} _ {\mathbf {f} _ {\text {int}} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right)} \right\} - \left\{\mathbf {M} \Delta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \underbrace {\frac {\partial \left(\mathbf {K} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right) \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right)}{\partial \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}}} _ {\mathbf {K} _ {t}} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} \right\} \\ \Rightarrow \mathbf {M} \Delta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \mathbf {K} _ {t} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} - \mathbf {P} _ {t} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} = \mathbf {P} _ {n + 1} ^ {k} - \left\{\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \mathbf {f} _ {\text { int }} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right) \right\} \\ \end{array}
$$

와 같다. Newmark-β method를 적용하면 $n+1$ 시간에서 변위와 속도를 구할 수 있다.

$$
\mathbf {u} _ {n + 1} = \mathbf {u} _ {n} + h \dot {\mathbf {u}} _ {n} + h ^ {2} \left(\frac {1}{2} - \beta\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} = \mathbf {u} _ {n} + h \dot {\mathbf {u}} _ {n} + \frac {h ^ {2}}{2} \ddot {\mathbf {u}} _ {n} - h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1}
$$

$$
\dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {n} + h (1 - \gamma) \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + h \gamma \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {n} + h \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} - \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

위의 식을 가속도와 속도로 나타내면

$$
h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} = \mathbf {u} _ {n + 1} - \mathbf {u} _ {n} - h \dot {\mathbf {u}} _ {n} - \frac {h ^ {2}}{2} \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

$$
\dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {n} + h \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} - \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

여기서 마찬가지로 $k+1$ 반복에서 평형을 이룬다면

$$
h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k + 1} = \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k + 1} - \mathbf {u} _ {n} - h \dot {\mathbf {u}} _ {n} - \frac {h ^ {2}}{2} \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

$$
\dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k + 1} = \dot {\mathbf {u}} _ {n} + h \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k + 1} - \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

와 같고 반복에 대한 항을 선형화 시키면

$$
h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + h ^ {2} \beta \Delta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} = \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} + \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} - \mathbf {u} _ {n} - h \dot {\mathbf {u}} _ {n} - \frac {h ^ {2}}{2} \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + h ^ {2} \beta \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

$$
\dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \Delta \dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} = \dot {\mathbf {u}} _ {n} + h \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \gamma h \Delta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} - \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

위 식을 다음과 같이 k 번째 반복의 가속도와 속도, k 번째 반복의 미소 가속도와 미소 속도 항으로 분리 할 수 있다.

$$
\ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} = \frac {1}{h ^ {2} \beta} \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} - \frac {1}{h ^ {2} \beta} \mathbf {u} _ {n} - \frac {1}{h \beta} \dot {\mathbf {u}} _ {n} - \frac {1}{2 \beta} \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

$$
\dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} = \dot {\mathbf {u}} _ {n} + h \ddot {\mathbf {u}} _ {n} + \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} - \gamma h \ddot {\mathbf {u}} _ {n} = \frac {\gamma}{h \beta} \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} - \frac {\gamma}{h \beta} \mathbf {u} _ {n} + \left(1 - \frac {\gamma}{\beta}\right) \dot {\mathbf {u}} _ {n} + h \left(1 - \frac {\gamma}{2 \beta}\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {n}
$$

$$
\Delta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} = \frac {1}{h ^ {2} \beta} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}
$$

$$
\Delta \dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} = \gamma h \Delta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} = \frac {\gamma}{h \beta} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}
$$

위의 미소 가속도, 미소 속도를 대입하면

<!-- source-page: 13 -->

$$
\begin{array}{l} \mathbf {M} \Delta \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \mathbf {K} _ {t} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} - \mathbf {P} _ {t} \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} = \mathbf {P} _ {n + 1} ^ {k} - \left\{\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \mathbf {f} _ {\text { int }} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right) \right\} \\ \Rightarrow \left[ \frac {1}{h ^ {2} \beta} \mathbf {M} + \mathbf {K} _ {t} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right) - \mathbf {P} _ {t} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right) \right] \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} = \underbrace {\mathbf {P} _ {n + 1} ^ {k} - \left\{\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k} + \mathbf {f} _ {\text {int}} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right) \right\}} _ {\mathbf {R} \left(\mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k}\right)} \\ \end{array}
$$

여기서 $\mathbf{f}_{\mathrm{int}}\left(\mathbf{u}_{n+1}^{k}\right)$ 와 $\mathbf{K}_{t}\left(\mathbf{u}_{n+1}^{k}\right)$ 는 $u_{n+1}^{k}$ 의 함수이기 때문에 반복이 수행될 때마다 다시 계산해 주어야 한다.
이후 다음 반복에 대한 변위, 속도, 가속도는 다음과 같다.

$$
\begin{array}{l} \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k + 1} = \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} + \Delta \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k} \\ \dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k + 1} = \frac {\gamma}{h \beta} \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k + 1} - \left(\frac {\gamma}{h \beta} \mathbf {u} _ {n} - \left(1 - \frac {\gamma}{\beta}\right) \dot {\mathbf {u}} _ {n} - h \left(1 - \frac {\gamma}{2 \beta}\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {n}\right) \\ \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} ^ {k + 1} = \frac {1}{h ^ {2} \beta} \mathbf {u} _ {n + 1} ^ {k + 1} - \left(\frac {1}{h ^ {2} \beta} \mathbf {u} _ {n} + \frac {1}{h \beta} \dot {\mathbf {u}} _ {n} + \frac {1}{2 \beta} \ddot {\mathbf {u}} _ {n} - \ddot {\mathbf {u}} _ {n}\right) \\ \end{array}
$$
