docs: add MITC4 shell numerical review

2026-08-11 14:39:51 +09:00
parent 67251e0507
commit 0a5aad427e
1 changed files with 673 additions and 0 deletions
@@ -0,0 +1,673 @@
 # Linear Static MITC4 Shell Numerical Review
 ## Metadata
 - feature_id: `linear-static-mitc4-shell`
 - source_requirement: `docs/requirements/linear-static-mitc4-shell.md`
 - source_research: `docs/research/linear-static-mitc4-shell-research.md`
 - source_formulation: `docs/formulations/mitc4-shell-formulation.md`
 - source_commits: requirements `5c3025a`, research `02680dc`, formulation `67251e0`
 - status: `needs-formulation-revision`
 - owner_agent: `numerical-review-agent`
 - date: `2026-08-11`
 - implementation_planning_authorized: `false`
 - review_scope: `현재 선형 정적 formulation 전체 및 미래 기하비선형 tangent 절의 수학 구조`
 ## Review Verdict
 - verdict: `needs-formulation-revision`
 - primary_reason: 현재 geometry near-singularity 지표가 길이 방향 collapse를 검출하지
  못하고, drilling 후보 비교가 공통 무차원 척도로 정규화되지 않았으며, rank와
  conditioning 판정에 혼합 단위 DOF를 제거하는 scaling 계약이 없다.
 - secondary_dependencies: `needs-numerical-calibration`, `needs-reference-model`
 - current_linear_kernel_assessment: MITC4의 20-DOF 물리 kinematics, covariant shear
  tying, plane-stress constitutive law, `2 x 2 x 2` integration, 24-DOF 변환 및 recovery의
  중심 수학 구조는 타당하다.
 - future_nonlinear_assessment: Total Lagrangian residual과 material/geometric tangent의
  변분 구조는 타당하지만, finite-director chart와 global 24-DOF 일관 선형화가
  확정되지 않아 미래 구현용 정식화로는 아직 불완전하다.
 따라서 현재 문서는 유용한 formulation baseline이지만 Implementation Planning으로
 넘길 수 없다. 아래 confirmed defect를 Formulation Agent가 수정하고, drilling 및
 director/geometry calibration evidence가 준비된 뒤 Numerical Review를 다시 수행해야
 한다.
 ## 1. Review Method and Evidence Boundary
 검토는 다음 순서로 수행했다.
 1. 요구조건의 단위, DOF, rigid mode, tolerance 및 output 계약을 formulation과 대조했다.
 2. 원 MITC4 문헌의 director interpolation, edge-midpoint shear tying, full integration,
   rigid mode 및 nonlinear incremental 식과 대조했다.
 3. 각 matrix block의 차원, 변환의 virtual-work 보존, 부호 및 component order를
   독립적으로 재유도했다.
 4. geometry 및 drilling 후보에 대해 formulation이 통과시키면 안 되는 극한 예를
   구성했다.
 5. 확인된 결함, 알려진 위험, 근거가 부족한 open decision을 분리했다.
 코드, Harness, Abaqus 및 reference solver는 실행하지 않았고 formulation 문서는
 수정하지 않았다. 이 리포트는 reference comparison이나 release 승인이 아니다.
 ## 2. Critical Findings
 ### NR-C01 — Critical — 현재 Jacobian 지표가 직교 collapse를 검출하지 못함
 Formulation은
 $$
 j_s=\frac{J}
 {\|\mathbf G_\xi\|\,\|\mathbf G_\eta\|\,\|\mathbf G_\zeta\|}
 $$
 와 `J_min/J_max`를 제안한다. 다음 직교 mapping을 고려한다.
 $$
 \mathbf G_\xi=(1,0,0),\qquad
 \mathbf G_\eta=(0,\varepsilon,0),\qquad
 \mathbf G_\zeta=(0,0,t/2),\qquad \varepsilon>0.
 $$
 그러면
 $$
 J=\varepsilon t/2,
 \qquad j_s=1,
 \qquad J_{min}/J_{max}=1
 $$
 이므로 `epsilon -> 0`인 near-collapsed element도 두 무차원 지표를 모두 완전히
 통과한다. `J>0`은 exact zero만 배제하고 user-consistent unit에서 near-zero를 판정할
 기준이 되지 않는다. Formulation에 “degenerate area를 별도 거부”한다고 적혀 있지만
 그 scale-aware measure와 threshold가 수식 또는 알고리즘으로 정의되지 않았다.
 이는 `FESA-REQ-LSMITC4-016`의 near-singular Jacobian 거부를 구현할 수 없게 하는
 confirmed defect다. [[MITC Shell Kinematics]]의 degenerated mapping은 valid reciprocal
 basis를 전제로 하고, [[Shell Locking Phenomenon]]이 지적하는 distortion 위험도
 geometry acceptance가 실제 collapse를 식별할 것을 요구한다.
 Required revision:
 - 다음 세 종류를 분리해 모두 정의해야 한다.
  - angular/director measure: 현재 `j_s` 계열;
  - surface-collapse/aspect measure:
 $$
 a_g=\frac{\|\mathbf A_\xi\times\mathbf A_\eta\|}{L_e^2},
 \qquad
 L_e=\max_{edge\ (I,J)}\|\mathbf X_J-\mathbf X_I\|;
 $$
  - variation/warp measure: `J_min/J_max`와 Gauss/center normal deviation.
 - exact threshold는 distortion sweep에서 정하되, measure 자체는 formulation에 먼저
  고정해야 한다.
 - center, Gauss, tying 및 committed recovery point가 동일한 orientation/validity
  inventory를 사용해야 한다.
 ### NR-C02 — Critical — drilling 후보가 공통 물리 척도로 정규화되지 않음
 Formulation의 후보 A와 B는 모두 `force*length` 차원을 가져 dimensional consistency는
 만족한다. 그러나 얇은 쉘 극한에서 두 기준의 크기는 매우 다르다. 후보 A는
 $$
 k_{ref}^{(A)}
 =\frac{GtA}{1+qA/t^2}
 \xrightarrow[A/t^2\to\infty]{}
 \frac{Gt^3}{q},
 $$
 후보 B는
 $$
 D_{iso}=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}.
 $$
 따라서
 $$
 \boxed{
 \frac{k_{ref}^{(A)}}{D_{iso}}
 \to\frac{6(1-\nu)}{q}}
 $$
 이고 `nu=0.3`, `q=2.5e-5`이면 그 비는 `168000`이다. 동일한
 `alpha_d=1e-3`을 곱하면 후보 A의 drilling stiffness는 약 `168 D_iso`가 되지만
 후보 B는 `0.001 D_iso`가 된다. 동일한 `10^-3` 중심 sweep은 서로 같은 “작은
 drilling” 영역을 비교하지 않는다.
 Formulation 17.4절의 “모든 후보를 research order 주변에서 sweep”은 이 차이를
 제거하지 못한다. `10^-3`은 thesis의 다른 reference scale에 붙은 사례이며 후보 A와
 B의 공통 coefficient가 아니다.
 Required revision:
 - 후보 비교의 독립 변수는 raw `alpha_d`가 아니라
 $$
 \rho_{d,I}=\frac{k_{d,I}}{D_{iso}}
 $$
  또는 승인된 physical rotational-block scale에 대한 동등한 무차원 비로 정의한다.
 - 각 후보의 `alpha_d <-> rho_d` 변환을 명시한다.
 - sweep은 하나의 임의 중심값을 공유하지 말고, 낮은 쪽 rank/conditioning 실패와
  높은 쪽 physical response contamination을 모두 관찰할 때까지 로그 범위를
  확장한다.
 - nominal value는 stable plateau의 가장 작은 값으로 선택하고, 인접 decade에서
  `U/N/M/Q`와 energy의 민감도를 기록한다.
 Research는 exact Abaqus small factor를 제공하지 못하며 이 gap을 정직하게 기록했다.
 따라서 source 인용만으로 coefficient를 고를 수 없고 numerical calibration evidence가
 필요하다.
 ### NR-C03 — Critical — rank와 conditioning 판정에 DOF scaling이 없음
 Shell stiffness의 block 단위는 서로 다르다.
 | block | units |
 | --- | --- |
 | translation-translation | `force/length` |
 | translation-rotation | `force` |
 | rotation-rotation | `force*length` |
 따라서 raw `K20` 또는 `K24`의 singular value/eigenvalue와 condition number는 길이
 단위 변경에 불변하지 않다. Formulation은 혼합 단위 diagonal minimum을 올바르게
 금지했지만, rank/conditioning study에는 같은 문제를 해결하는 scaling을 정의하지
 않았다.
 Required revision:
 $$
 \mathbf q=\mathbf S_e\widehat{\mathbf q},
 \qquad
 \mathbf S_e=\operatorname{blockdiag}_{I=1}^{4}
 \left(L_e\mathbf I_3,\mathbf I_3\right),
 $$
 $$
 \boxed{
 \widehat{\mathbf K}_e=\mathbf S_e^T\mathbf K_e\mathbf S_e}.
 $$
 `K_hat`의 모든 성분은 `force*length` 단위를 가지므로 normalized rank와 spectrum을
 비교할 수 있다. `L_e`는 Section NR-C01의 scale-aware element length와 일치시켜야
 한다. Physical `20 x 20` matrix에는 노드당 `(L_e I3, I2)` scaling을 적용한다.
 수치 rank, drilling-mode separation 및 condition evidence는 raw matrix가 아니라 이
 scaled matrix에서 정의해야 한다. Global `Kff`에도 model-level translational/rotational
 scaling 계약이 필요하다.
 ### NR-C04 — Major — linear weak form이 20-DOF와 24-DOF 시험공간을 혼용함
 Formulation 7.1절은
 ```text
 delta epsilon_bar^{,T} C5 epsilon_bar
 ```
 로 기록되어 있다. 쉼표는 미분 index가 아니며 의도한 식은
 $$
 \delta W_{int}^{phys}
 =\int_{\Omega_0}
 (\delta\overline{\boldsymbol\epsilon})^T
 \mathbf C_5\overline{\boldsymbol\epsilon}\,dV
 $$
 이다. 이후 `B^T C B` 식은 올바르므로 부호나 kernel 자체의 결함으로 전파되지는
 않는다.
 그러나 notation 오기 외에도 test-space mismatch가 있다. 물리 평형을
 `delta q20 in V20`에 대해 선언한 뒤 external work를 `delta qg^T f_CLOAD`로 쓰고,
 drilling variation을 별도 절에 두었지만 하나의 complete 24-DOF weak form으로
 결합하지 않았다. Rectangular `T_p`를 사용하는 현재 계약에서는 다음과 같이 전역
 시험공간을 명시해야 한다.
 $$
 \delta\mathbf q_g^T\left[
 \mathbf T_p^T\mathbf f_{int}^{20}
 +\mathbf T_d^T\mathbf K_d^l\boldsymbol\gamma
 -\mathbf f_e^{CLOAD}\right]=0
 \qquad\forall\delta\mathbf q_g\in V_{24}^0,
 $$
 $$
 \mathbf f_{int}^{20}
 =\int_{\Omega_0}\overline{\mathbf B}^T
 \mathbf C_5\overline{\mathbf B}\mathbf q_{20}\,dV.
 $$
 동등하게 physical part만 쓸 때는
 `delta q20^T f_int20 = delta qg^T T_p^T f_int20`을 명시해야 한다. Element
 equation은 이 global form과 일치하지만 weak-form source of truth가 다른 시험공간을
 혼용하므로 formulation revision이 필요하다.
 ### NR-C05 — Future-only Major — nonlinear 20-to-24 DOF tangent mapping이 미완성
 Future section의 covariant Green-Lagrange first/second derivative와
 $$
 K^{mat}_{AB}=\int B_A^T C_T B_B\,dV,
 \qquad
 K^{geo}_{AB}=\int s^T G_{AB}\,dV
 $$
 는 Total Lagrangian virtual work와 일관된다. 이는
 [[Total Lagrangian Shell Formulation]] 및 [[Green-Lagrange Strain Linearization]]과
 부합한다.
 그러나 nonlinear physical coordinate는 20개 director-chart coordinate로 정의된
 반면, linear limit에서 곧바로 `K_phys^24`로 환원된다고 서술한다. Finite rotation에서
 global `[URX,URY,URZ]`와 two-parameter director chart 사이의 mapping, 그 mapping의
 first/second derivative, chart update 및 objective drilling potential이 정의되지 않아
 이 환원은 현재 증명되지 않는다.
 이 finding은 승인 범위인 linear-static implementation을 차단하지 않지만, Section 15를
 미래 nonlinear implementation-ready formulation으로 사용할 수 없게 한다. 미래
 nonlinear gate 전에 별도 formulation revision이 필요하다.
 ## 3. Confirmed Consistent Parts
 ### 3.1 DOF ordering, director sign, and transformation
 - Global order `[UX,UY,UZ,URX,URY,URZ]`와 physical local order
  `[uX,uY,uZ,alpha,beta]`는 요구조건과 일치한다.
 - Right-handed `(a,b,d)`에서
 $$
 \delta\mathbf d
 =\boldsymbol\theta\times\mathbf d
 =-\alpha\mathbf b+\beta\mathbf a
 $$
  이므로 rotation sign은 원 MITC4 문헌과 일치한다.
 - `T_p=P T`, `T_d=D_gamma T`의 크기는 각각 `20 x 24`, `4 x 24`이며
  virtual work를 보존한다.
 - Orthonormal frame과 disjoint selector 때문에
 $$
 \mathbf T_p\mathbf T_d^T=\mathbf0.
 $$
  따라서 `rank(K20)=14`, `k_d,I>0`을 전제로 physical rank 14와 drill rank 4가
  서로 중첩되지 않아 exact-arithmetic stabilized rank는 18, nullity는 6이다.
 - Physical rigid mode에서
 $$
 \boldsymbol\theta_I
 =\boldsymbol\omega-(\boldsymbol\omega\cdot\mathbf d_I)\mathbf d_I
 $$
  로 `gamma=0`을 구성하는 규약은 approved five-DOF gauge contract와 일치한다.
 수치적으로 이 rank를 판정하는 방법은 NR-C03 수정과 drilling calibration 이후에만
 승인할 수 있다.
 ### 3.2 MITC tying and B operator
 Tying alias를 원 논문의 A/B/C/D로 다시 쓰면
 | FESA location | source alias | component |
 | --- | --- | --- |
 | `T_xi+ = (0,+1,0)` | A | `epsilon_xi-zeta` |
 | `T_xi- = (0,-1,0)` | C | `epsilon_xi-zeta` |
 | `T_eta+ = (+1,0,0)` | D | `epsilon_eta-zeta` |
 | `T_eta- = (-1,0,0)` | B | `epsilon_eta-zeta` |
 이므로 interpolation weight와 edge inventory는 원 MITC4 식과 일치한다.
 Direct covariant strain column
 $$
 B^{DI}_{\alpha\beta,A}
 =\frac12(\mathbf G_\alpha\cdot\mathbf h_{A,\beta}
 +\mathbf G_\beta\cdot\mathbf h_{A,\alpha})
 $$
 도 small-strain covariant relation과 일치한다. Tied covariant tensor를 reciprocal
 basis로 복원하고 engineering shear factor를 적용하는 순서가 명확하며, residual과
 stiffness가 같은 projection을 사용한다. 이는 [[Assumed Transverse Shear Strain
 Interpolation]]의 핵심 consistency 요구를 만족한다.
 ### 3.3 Constitutive matrix and units
 - `Cps`의 engineering `gamma12` coefficient는 `G`이고 transverse shear block은
  `(5/6)G I2`다.
 - `-1 < nu < 0.5`, `E>0`에서 `C5`는 symmetric positive definite다.
 - `sigma33=0`, thickness strain 제외, centered homogeneous layer boundary가
  요구조건과 일치한다.
 - `K20`, force, resultant, curvature 및 energy의 차원은 다음과 같이 일관된다.
 | quantity | units |
 | --- | --- |
 | membrane/shear strain | `1` |
 | curvature | `1/length` |
 | `N`, `Q` | `force/length` |
 | `M` | `force` |
 | physical/drilling energy | `force*length` |
 `5/6`은 승인된 homogeneous rectangular-thickness 범위에만 사용하므로 범위 확장도
 없다.
 ### 3.4 Integration and hourglass assessment
 - `xi,eta,zeta = +/-1/sqrt(3)`, 모든 weight `1`인 `2 x 2 x 2` 규칙은 원 elastic
  MITC4의 `2 x 2` midsurface와 두 thickness point 근거에 부합한다.
 - Tying shear는 midsurface edge 값으로부터 만들어 두 thickness point에서 공통으로
  사용하며, 나머지 mapping과 in-plane strain은 실제 thickness point에서 평가한다.
 - `S4`와 `S4R`이 동일한 full-integration path를 사용한다는 product mapping이
  명확하다.
 - `1 x 1` reduced integration이 없으므로 별도 hourglass control은 `N/A`다.
 이는 [[MITC4 Shell Element]]의 full `B^T D B` 경로 및 원 문헌의 no-spurious-mode
 관찰과 일치한다. 다만 실제 rank는 distortion 및 drilling scaling을 포함한 test로
 확인해야 한다.
 ### 3.5 Recovery signs and locations
 정의
 $$
 \boldsymbol\epsilon_0=\frac1t\int\mathbf e_m\,dz,
 \qquad
 \boldsymbol\kappa=\frac{12}{t^3}\int z\mathbf e_m\,dz
 $$
 로부터 `e_m(z)=epsilon0+z kappa`이면 정확히 원래 `epsilon0`, `kappa`를 복구한다.
 동일한 fixed midsurface local frame과 동일한 thickness quadrature를 사용하므로
 $$
 \mathbf N=\mathbf A\boldsymbol\epsilon_0,
 \qquad
 \mathbf M=\mathbf D\boldsymbol\kappa,
 \qquad
 \mathbf Q=\mathbf A_s\boldsymbol\gamma_0
 $$
 가 centered homogeneous layer에서 일관된다. Bottom `z=-t/2`, top `z=+t/2`,
 `M=integral(z sigma dz)`의 부호도 서로 모순되지 않는다. Output order와 위치는
 요구조건과 일치한다.
 ### 3.6 Linear reaction and equilibrium sign
 Full residual을 `r=K d-F`로 정의했으므로 constrained component는 반력이고 free
 component는 equilibrium evidence다. 전역 force/moment balance에서 applied load와
 reaction을 더해 zero를 확인하는 부호도 이 정의와 일치한다.
 ## 4. Numerical Decisions
 ### 4.1 Approved in this review
 #### NR-D01 — Drilling-direction nodal moment projection
 Nonzero nodal moment에 대해
 $$
 \rho_M=\frac{|\mathbf d_I\cdot\mathbf M_I|}{\|\mathbf M_I\|}
 $$
 를 사용하고 `rho_M <= 1e-12`인 경우에만 tangent-plane moment로 수용한다. Zero moment는
 별도 exact-zero case로 수용하며 denominator를 clamp하지 않는다. 이 기준은
 `FESA-REQ-LSMITC4-051`의 normalized frame/orthogonality 기준과 일치하고 길이/힘
 단위에 불변이다.
 #### NR-D02 — Algebraic normalized checks
 Formulation revision에서 다음 normalization을 명시한다.
 $$
 e_{sym}=\frac{\|\widehat K-\widehat K^T\|_F}{\|\widehat K\|_F}
 \le10^{-12},
 $$
 $$
 e_{rigid}=\frac{\|\widehat K\widehat r\|_2}
 {\|\widehat K\|_2\|\widehat r\|_2}\le10^{-10},
 $$
 $$
 e_{frame}=\|R^TR-I\|_F\le10^{-12}.
 $$
 Zero matrix/vector denominator는 pass로 clamp하지 않고 invalid test construction으로
 분류한다. Transformation-energy check는 nonzero reference energy에 대해
 $$
 e_T=\frac{|E_g-E_l|}{|E_g|+|E_l|}\le10^{-12}
 $$
 를 적용하며 양쪽 energy가 exact zero인 rigid/pure-null case는 별도 action test로
 판정한다.
 ### 4.2 Not approved — blocking evidence gaps
 #### NR-O01 — Drilling reference family, nominal coefficient, and plateau
 NR-C02/NR-C03을 반영한 normalized sweep 결과가 없으므로 후보 A/B/physical-block
 중 어느 것도 승인하지 않는다. Exact-arithmetic positivity만으로 practical
 factorization과 physical contamination을 동시에 보장할 수 없다.
 #### NR-O02 — Drilling energy warning ratio
 Source는 static drill-specific acceptable ratio를 제공하지 않는다. Nominal plateau에서
 `U/N/M/Q` 민감도와 함께 calibrate해야 하며, 현 단계에서 `1%`, `5%` 등의 임의 값을
 승인하지 않는다. `Ephys`가 zero/near-zero이면 ratio를 만들지 않고 두 energy와 case
 classification을 보고하는 formulation 원칙은 승인한다.
 #### NR-O03 — Smooth-director angle
 `20 degrees`는 usable initial candidate이나 Abaqus grouping heuristic을 FESA hard
 rejection으로 바꾸는 결정이다. Pinched cylinder와 LE3의 coarse-to-fine mesh에서 incident
 normal deviation 분포와 false-fold/false-smoothing case를 확인하기 전에는 승인하지
 않는다.
 #### NR-O04 — Geometry thresholds
 NR-C01의 measure가 먼저 추가되어야 한다. 그 뒤 valid distortion/warp sweep과
 collapsed negative sequence가 pass/fail 사이에 분리 영역을 제공해야 threshold를
 승인할 수 있다.
 #### NR-O05 — U tolerance and UR warning threshold
 이 값은 Reference Model과 공동 소유이며 artifact/mesh evidence가 없다. U-only blocking,
 UR warning-only라는 정책은 승인하지만 수치값은 승인하지 않는다.
 ## 5. Numerical Risk Assessment
 | risk | assessment | status/control |
 | --- | --- | --- |
 | rigid body modes | 물리 20-DOF rank 14와 4 drill mode의 algebraic 분리는 타당 | scaled spectrum과 explicit six mode test 필요 |
 | patch test | membrane, bending, shear, twist field 정의가 가능 | 구현 전 component/sign별 exact field test 필요 |
 | symmetry | `B^T C B`, orthogonal congruence, diagonal drill로 구조상 symmetric | NR-D02 normalized check 적용 |
 | positive definiteness | free element는 six-mode semidefinite, valid constrained `Kff`는 positive definite 기대 | geometry/drill calibration 뒤 확인 |
 | hourglass | full `2 x 2` midsurface integration | `N/A`; spurious-mode eigencheck는 유지 |
 | shear locking | MITC tying으로 목표 현상을 완화 | thickness/mesh sequence 없이는 통과 주장 금지 |
 | membrane locking | original MITC4의 distorted curved-shell known limitation | curved/distorted convergence와 known limitation 기록 |
 | volumetric locking | approved plane-stress shell 범위 | `N/A`; 3D incompressible 의미로 확장 금지 |
 | distortion | 현재 measure가 collapse를 누락 | NR-C01 critical revision |
 | singular Jacobian | sign check는 있으나 near-singular scale가 불완전 | NR-C01 critical revision |
 | conditioning | drilling과 mixed-unit DOF에 민감 | NR-C02/NR-C03 critical revision |
 | linear solve convergence | direct linear solve에서는 Newton convergence N/A | residual/equilibrium `1e-10` 확인 |
 | mesh convergence | shear/membrane locking 및 curved response에 필수 | pinched cylinder/LE3 sequence 필요 |
 | nonlinear tangent | 물리 20-DOF variation 구조는 타당 | NR-C05 때문에 future implementation blocked |
 ## 6. Consistency Checks
 | check | result | evidence/comment |
 | --- | --- | --- |
 | material/section units | pass | `E, G, t`, `A/D/As`와 output units 일치 |
 | drilling dimensions | pass | 모든 후보와 `Kd`는 `force*length` |
 | rank/conditioning dimensional invariance | fail | DOF scaling 미정의, NR-C03 |
 | rotation/director signs | pass | `delta d=-alpha b+beta a` |
 | tying signs and inventory | pass | A/C/D/B alias와 weight 일치 |
 | DOF ordering | pass | global 6, physical 5 per node 정확 |
 | coordinate transforms | conditional pass | linear `T_p/T_d` 타당; future nonlinear mapping 미완성 |
 | matrix/vector dimensions | pass | 20/24/4 block 크기 일치 |
 | constitutive symmetry/positivity | pass | approved `E,nu` 범위 |
 | integration points/weights | pass | `2 x 2 x 2`, weight 1 |
 | Jacobian near-singularity contract | fail | orthogonal collapse counterexample, NR-C01 |
 | stiffness/residual sign | pass | `r=Kd-F`, reaction/equilibrium 일치 |
 | output component order | pass | generalized/resultant/stress order 일치 |
 | output locations | pass | four midsurface points와 bottom/mid/top 분리 |
 | weak-form test space/notation | fail | 20/24-DOF variation 혼용과 erroneous `^{,T}`, NR-C04 |
 | future material/geometric tangent | conditional pass | 20-DOF variation 타당, 24-DOF chart mapping 미완성 |
 ## 7. Verification Readiness
 - unit_tests: Section 7.1의 algebraic, frame, tying, rank, energy 및 geometry tests.
 - patch_tests: Section 7.2의 membrane, bending, shear, twist 및 rigid/drill states.
 - mms_or_mes: CLOAD-only 범위에서는 prescribed polynomial element state를 이용한
  manufactured element solution을 사용하며 distributed-load full-domain MMS는 `N/A`다.
 - benchmark_reference_comparison: Section 7.3의 pinched cylinder, LE3 및 S4/S4R
  displacement evidence.
 - missing_evidence: Section 7.5의 drilling, geometry, director-angle, reference 및
  future nonlinear evidence.
 ### 7.1 Unit and algebraic tests required
 1. Shape partition, Kronecker delta, derivative sum.
 2. Nodal/integration frame orthonormality, handedness, deterministic tie break.
 3. `T_p T_d^T=0`, virtual work 및 energy congruence.
 4. Source A/C/D/B tying value를 독립 hand calculation과 비교.
 5. `K20`, `Kphys`, `Kdrill`, `Ke` symmetry와 separate energy.
 6. Six physical rigid vectors, four pure drill vectors, scaled spectrum/rank.
 7. Force/length 단위 변경 후 `K_hat`, rank decision, displacement/resultant invariance.
 8. NR-C01 직교 collapse sequence와 inverted/warped/opposed-normal negative cases.
 9. Bottom/mid/top stress와 thickness moment recovery의 analytical cross-check.
 10. S4/S4R source type만 바꾼 동일 model의 internal-row equality.
 ### 7.2 Patch and manufactured element states
 - constant `E11`, `E22`, `G12` membrane states;
 - `K11`, `K22` pure bending과 top/bottom stress reversal;
 - `K12` pure twist;
 - `G13`, `G23` constant transverse shear;
 - physical rigid motion과 pure drilling separation.
 Distributed load가 없어도 prescribed nodal field와 element action으로 patch algebra를
 검증할 수 있다. 각 test는 component order와 sign을 별도로 판정해야 한다.
 ### 7.3 Locking and benchmark evidence required
 - thin/thick cantilever 또는 plate의 thickness 및 mesh sequence;
 - regular/distorted pinched cylinder sequence;
 - NAFEMS LE3 coarse-to-fine sequence와 incident-normal angle inventory;
 - 필요 시 equivalent nodal loads를 명시한 Scordelis-Lo 보조 sequence;
 - S4 및 S4R source artifact 각 하나 이상.
 [[Shell Locking Phenomenon]]에 따라 한 개 mesh의 displacement 일치만으로 locking
 absence를 주장하지 않는다. [[MITC4 Shell Element]]의 patch 및 Scordelis-Lo 근거는
 element family의 타당성을 지지하지만 FESA의 director/drilling/output convention을
 자동 검증하지 않는다.
 ### 7.4 Drilling calibration evidence required
 NR-C02의 `rho_d`를 사용해 다음 두 실패 경계를 모두 포착해야 한다.
 - low side: scaled positive spectrum이 solver rank threshold 아래로 내려가거나
  `Kff` conditioning/factorization이 불안정해지는 지점;
 - high side: U 또는 physical `N/M/Q`가 인접 decade에서 승인된 contamination bound를
  넘거나 drilling energy가 physical response를 지배하는 지점.
 Stable interval이 존재하지 않으면 선택한 diagonal absolute-drill 방법 자체를
 Requirements/Formulation으로 되돌려 재검토해야 한다.
 ### 7.5 Missing evidence
 - dimensionally normalized drilling sweep 결과;
 - revised geometry metric의 valid/invalid separation data;
 - curved benchmark별 incident-normal angle distribution;
 - reference `S4`/`S4R` artifact inventory와 U/UR scale;
 - future nonlinear 24-DOF objective tangent evidence.
 ## 8. Required Revisions
 ### Formulation Agent
 1. NR-C01의 `L_e`, normalized surface-area/aspect, angular/director 및 variation/warp
   measure를 분리해 정의한다.
 2. NR-C02의 `rho_d` 공통 물리 척도와 후보별 coefficient 변환을 정의하고 공통
   `10^-3` 중심 sweep 문구를 제거한다.
 3. NR-C03의 element DOF scaling과 normalized rank/conditioning 정의를 추가한다.
 4. NR-C04에 따라 global 24-DOF complete weak form으로 test space를 통일하고
   transpose 오기를 수정한다.
 5. incident normal의 opposed-orientation 검사를 평균 이전에 수행하는 exact pair/reference
   규칙을 명시한다.
 6. NR-D01/NR-D02의 projection 및 normalized algebraic metric을 반영한다.
 7. Future-only 절에서 20-coordinate tangent와 global 24-DOF mapping의 경계를 명확히
   하고, 미확정 chart를 구현 가능하다고 읽을 수 있는 linear-limit 표현을 수정한다.
 ### Research Agent
 - MITC4 core theory의 추가 일반 조사는 필요하지 않다.
 - Exact drill coefficient에 대한 authoritative 공개 근거가 새로 확인되지 않는 한
  문헌 수치로 gap을 억지로 닫지 않는다.
 - 추가 근거가 필요하다면 normal-angle hard rejection과 drilling normalization에 직접
  적용 가능한 primary source만 보강한다.
 ### Reference Model Agent
 - `reference/shell/`을 read-only로 다시 inventory하고 S4R 선언 artifact의 실제 파일,
  provenance, input subset 및 displacement row를 확인한다.
 - 별도 S4 artifact를 준비한다.
 - LE3/pinched-cylinder mesh마다 incident-normal angle, mesh size 및 U reference scale을
  metadata/evidence로 남긴다.
 - U mixed tolerance와 nonblocking UR warning threshold를 제안한다.
 ### Numerical Review Rerun
 - Formulation revision diff를 확인한다.
 - Geometry negative sequence와 drilling normalized sweep evidence를 검토한다.
 - Section 4.2의 open decision을 닫거나 명시적으로 다시 반환한다.
 - 그 전에는 `pass-for-implementation-planning`을 부여하지 않는다.
 ## 9. Downstream Handoff
 ### Implementation Planning Agent
 - **현재 handoff 금지.** `implementation_planning_authorized=false`다.
 - Numerical Review rerun이 통과한 뒤에만 Section 7의 test inventory를
  `RED -> GREEN -> VERIFY` 순서로 변환한다.
 - Future nonlinear state/tangent는 현재 linear implementation plan에 포함하지 않는다.
 ### I/O Definition Agent
 - 수학적 blocker와 독립적인 schema 설계 초안은 가능하지만, geometry threshold,
  drilling coefficient/energy warning, U/UR tolerance를 implementation default로
  선점하지 않는다.
 - NR-D01의 normalized drilling-load projection과 exact-zero handling을 diagnostic
  contract에 반영한다.
 ### Reference Model Agent
 - Section 8의 read-only inventory 및 benchmark evidence를 준비한다.
 - Abaqus S4/S4R formulation equivalence를 주장하지 않고 global U만 blocking evidence로
  사용한다.
 ### Coordinator Agent
 - workflow를 Formulation revision으로 되돌린다.
 - `needs-numerical-calibration`과 `needs-reference-model`을 병렬 dependency로 추적한다.
 - 세 dependency가 닫히기 전에 Implementation Planning gate를 열지 않는다.
 ## 10. Evidence
 ### Repository sources
 - `docs/formulations/mitc4-shell-formulation.md`
 - `docs/research/linear-static-mitc4-shell-research.md`
 - `docs/requirements/linear-static-mitc4-shell.md`
 - `docs/reference-papers/MITC4/AContinuumMechanicsBasedFourNodeShell/`
 - `docs/reference-papers/MITC4/FourNodeQuadrilateralShellElementMITC4/`
 - `docs/reference-papers/MITC4/유한요소해석법을이용한쉘구조물의동적좌굴해석/`
 ### FEM wiki cross-checks
 - [[MITC4 Shell Element]] — physical five-DOF kinematics, edge-midpoint tying,
  `B^T D B`, patch 및 convergence evidence.
 - [[MITC Shell Kinematics]] — midsurface/director/thickness mapping.
 - [[Assumed Transverse Shear Strain Interpolation]] — shear-locking remedy와 projection
  consistency.
 - [[Shell Locking Phenomenon]] — transverse-shear 및 curved-shell membrane locking 구분.
 - [[Total Lagrangian Shell Formulation]] — reference-configuration residual/tangent.
 - [[Green-Lagrange Strain Linearization]] — material/geometric tangent 분리.
 Wiki는 교차 확인 근거이며 최종 project authority는 approved requirements, research 및
 reviewed formulation이다.