docs: define MITC4 mass and FEAST formulation
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KOKO\Mimi
@@ -52,3 +52,12 @@
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- 결정: 고유치 개수는 `.inp`의 `*FREQUENCY` data를 사용한다. 지정 input의 요청은 `10`개이며 reference 행수나 FEAST 내부 count 추정으로 요청 개수를 역추론하지 않는다.
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- 근거: 2026-09-06 사용자 답변 “inp 파일의 고유치 개수를 사용합니다”; [r1 FEM-REQ-MITC4-EIGEN-009/015](requirements.md#requirement-verification-matrix).
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- 영향: 기존 mode-count 의미의 확인이므로 contract revision은 `r1`을 유지한다. FEAST interval/subspace는 입력 요청의 낮은 N개와 multiplicity·누락 검증을 충족하기 위한 내부 처리이다. 새 입력 설정 기능을 추가하지 않는다.
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## MFE-ADR-006 — 질량 lumping과 질량 없는 좌표의 정식화
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- 상태: Formulation owner의 수학 계약으로 기록; 독립 Numerical Review 대기.
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- 결정 owner: formulation-agent; 기록 owner: coordinator-agent.
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- 결정: Consistent scalar moments를 같은 `3×3×3` volume quadrature로 계산하고 moment row-sum에서 nodal `6×6` block lumped mass를 유도한다. 기존 global 제약 뒤 analytic director null과 기존 stabilization의 decoupling을 이용해 finite 공간을 투영하고 sparse nodal whitening으로 FEAST에 연결한다.
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- 근거: [Formulation 핵심 계약](formulation.md#핵심-계약), [mass M1~M10](formulation-mass.md), [eigen E1~E8](formulation-eigen.md).
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- 영향: 곡면 coupling 및 mass/centroid·energy 차이를 명시하고 인공 drilling mass와 일반 dense Schur는 도입하지 않는다. Numerical Review는 수식·conditioning·FEAST controls·reference 준비를 독립 검토한다.
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- 남은 검토: [V5](formulation-verification.md#v5-rigid-mode-coordinate-및-density-불변식)의 기존 basis-dependent stabilization 한계와 `FEM-REQ-MITC4-EIGEN-014` coordinate-invariance coverage 관계를 NR가 명시적으로 확인해야 한다. 이 기록으로 acceptance 범위를 조용히 좁히지 않는다.
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@@ -37,5 +37,9 @@ Reference artifact와 공통 정책은 수정하지 않는다. 외부 solver 실
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| [requirements-evidence.md](requirements-evidence.md) | requirement-agent | r1 | 원본 관찰·결정·정적 evidence audit 완료 |
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| [research.md](research.md) | research-agent | r1 | Coordinator gate pass; primary source coverage |
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| [research-evidence.md](research-evidence.md) | research-agent | r1 | 수식 후보·API·한계·verification 근거 audit 완료 |
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| [formulation.md](formulation.md) | formulation-agent | r1 | Coordinator gate pass; 독립 NR 인계 |
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| [formulation-mass.md](formulation-mass.md) | formulation-agent | r1 | M1~M10·적분·lumping·보존량 수학 계약 |
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| [formulation-eigen.md](formulation-eigen.md) | formulation-agent | r1 | E1~E8·제약/null·FEAST·복원 수학 계약 |
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| [formulation-verification.md](formulation-verification.md) | formulation-agent | r1 | V1~V7·검증식·NR 수치 기준 인계 |
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아직 작성되지 않은 specialist 보고서는 목록에 승인 산출물로 등록하지 않는다.
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@@ -3,7 +3,7 @@
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- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
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- Owner: `coordinator-agent`
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- Input contract revision: `r1`
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- 검토 상태: requirements 및 research r1 gate pass; 구현용 정식화 준비.
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- 검토 상태: requirements·research·formulation r1 gate pass; 독립 numerical/reference review 진행.
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기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [프로젝트 PRD](../PRD.md), [프로젝트 ADR](../ADR.md).
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지역 지침과 문서 목록은 [FEATURED_AGENTS.md](FEATURED_AGENTS.md), 상태 원본은 [coordination.md](coordination.md)를 따른다.
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@@ -42,3 +42,4 @@ Reference는 선행 preload 없는 단일 frequency step의 10모드이며 상
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두 질량 계산의 연결에 관한 [MFE-ADR-002](ADR.md#mfe-adr-002--mitc4-질량-이산화)는 사용자 후속 요구로 확정되었다.
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실제 FEAST mass는 [MFE-ADR-004](ADR.md#mfe-adr-004--feast에-사용하는-질량행렬)에 따라 lumped로 승인되었다. 상세 lumping 수식은 Research/Formulation owner가 정의한다.
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Primary-source 근거와 적용 한계는 [research](research.md), 상세 근거는 [research-evidence](research-evidence.md)에 있으며 최종 수식·수치 기준의 승인을 대신하지 않는다.
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구현용 수학 계약과 상세 문서의 연결은 [formulation](formulation.md)에 있다. 수치 acceptance 및 reference readiness는 NR 판정 전이다.
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@@ -3,9 +3,9 @@
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- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
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- Owner: `coordinator-agent`
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- Contract revision: `r1` (사용자 최종 질량 요구를 반영한 requirements baseline)
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- Stage: `formulation`
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- Outcome: `pass` (research gate)
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- Next owner: `formulation-agent`
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- Stage: `numerical-review`
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- Outcome: `pass` (formulation gate; 독립 numerical 판정 전)
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- Next owner: `numerical-review-agent`
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- Attempt: `0`
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- Completion: 미완료
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- Failure classification / retry key: `null`
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@@ -23,6 +23,7 @@
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| requirements r0 초안 | [requirements](requirements.md), [관찰·결정 evidence](requirements-evidence.md) | needs-user-decision; 질량 선택 미승인으로 baseline pass 보류 |
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| requirements r1 | [requirements](requirements.md), [관찰·결정 evidence](requirements-evidence.md), MFE-ADR-002/004 사용자 명시 결정 | pass; 26개 must와 owner/revision/hash 검증, 미결정 0 |
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| research r1 | [research](research.md), [primary-source 상세 근거](research-evidence.md) | pass; primary source 11개 그룹·프로젝트 근거2개, 26개 requirement coverage 및 API 보장 한계 확인 |
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| formulation r1 | [기본 수학 계약](formulation.md), [mass](formulation-mass.md), [eigen](formulation-eigen.md), [verification](formulation-verification.md) | pass; owner/revision/상세 수식·26개 coverage·정적 evidence 확인, 독립 수치판정은 NR 소유 |
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공통 문서 및 reference 파일 목록의 read-only 조사 명령은 exit code `0`으로 완료했다.
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확인된 reference 파일은 `shellNL-eigen-meshfine.inp`, `shellNL-eigen-meshfine eigenvalues.txt`이며 실제 의미와 readiness는 담당 owner가 검토한다.
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@@ -31,6 +32,16 @@ Root의 시작 Git 조사에서 worktree clean을 확인했다. 구현·build/te
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## 현재 bounded dispatch
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Formulation owner의 r1 `pass` envelope와 실제 기본/상세 문서 4개를 감사하여 numerical-review로 전이한다.
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Owner 정적 검사는 `4`문서, `38` local links, requirement coverage `26`, issues `0`, `python -B -` exit `0` 및 `git diff --check` exit `0`이다.
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Coordinator는 모든 상세 문서의 metadata·수식/단위/identity/오류/검증/한계 절과 링크를 읽고 필수 항목 존재를 확인했으며 수학적 correctness verdict를 대신하지 않았다.
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NR는 수학 correctness와 reference-model readiness를 모두 검토하고 명시된 metric/zero branch의 수치값, FEAST controls·bounded budgets 및 필수 verification portfolio를 고정한다.
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Root의 두 독립 감사 포인트를 필수 handoff로 포함한다: count 기능의 실제 API 보장보다 강한 completeness를 주장하지 않을 것;
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기존 basis-dependent drilling stabilization과 `FEM-REQ-MITC4-EIGEN-014`의 coordinate-invariance coverage 관계를 명시하여 acceptance의 조용한 축소를 막을 것.
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현재 새 사용자 미결정이나 implementation correction은 없다.
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### Formulation 이력
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Research owner의 r1 `pass` 반환을 Coordinator가 감사하여 formulation으로 전이한다.
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연구 기본/상세 문서의 owner, r1, source locators, Fact/Derivation/Candidate 구분, 실제 명령 exit code 및 미실행 항목을 확인했다.
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연구 문서 SHA-256: `research.md` = `c044031f844798f32bedc95fd998c181f965fbac00c3ed8f594a48d0164b8956`,
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@@ -39,6 +50,10 @@ Coordinator local-link audit은 Feature 8문서/끊긴 링크0, exit code `0`; `
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설치 header와 공식 count 기능 존재는 runtime 또는 완전성의 자동 통과 증거가 아니다. 실제 API의 수치적 한계, endpoint/count 실패, 독립 작은 spectrum 검증이 연구 보고서에 기록되었다.
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Formulation owner는 approved MITC4 geometry에 대한 consistent 적분, derived block lumping·물리 관성·massless drilling/constraints,
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FEAST의 낮은 N개 계산·복원·실패 보존 및 modal evidence 식을 구현 가능한 계약으로 작성한다. 최종 numerical/reference acceptance는 다음 NR가 독립 검토한다.
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Research checkpoint는 Root가 `a7c13ff` (`docs: record MITC4 mass and FEAST research evidence`)로 완료 문서 6개를 커밋했고 이후 clean을 확인했다.
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Formulation owner의 중간 관찰은 기존 `Tphys/Tdrill`과 양의 nodal drilling 강성에 기반한 `Kpz=0` 증명,
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곡면의 `C1` coupling을 유지하는 derived block lumping과 `3×3×3` mass 적분 차수 검토이다.
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이는 작성 중인 정식화의 owner 관찰이며 formulation 또는 numerical gate 통과를 뜻하지 않는다.
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### Research 및 baseline 이력
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@@ -99,6 +114,9 @@ Root read-only 환경 조사에서 다음 설치 경로를 확인했다. 이 목
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VS `18/Community` DevShell script/dll이 존재하며 Ninja는 현재 PATH에 없다. Planning/Executor는 각 실행 subprocess의 MSVC x64 Developer 환경과 dependency 환경을 명시해야 한다.
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Root는 global environment, Hook state/code를 변경하지 않았다.
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추가 Root read-only 확인: Python `3.11.15`, oneMKL `mkl_rt.lib`/`bin/mkl_rt.3.dll` 및 FEAST 선언이 존재한다.
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현재 작업 경로는 primary `C:/git/FESADev`의 linked worktree이며 branch는 `Eigen`이다.
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Implementation profile은 `gpt-5.6-terra` / `xhigh` / `workspace-write`이고 실제 configure/link/runtime는 아직 미실행이다.
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현재 `.harness/config.json`은 없고 preset과 `.harness/config.example.json`은 있다.
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Planning은 자동 감지 결과와 승인 MSVC preset을 대조하여 실행명령 및 Hook backend를 명시해야 한다.
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@@ -0,0 +1,279 @@
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# 제약 후 질량 공간, 유한 spectrum과 FEAST
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- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
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- Owner: `formulation-agent`
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- Input contract revision: `r1`
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- 기본 보고서: [formulation.md](formulation.md)
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[질량 유도 M1~M10](formulation-mass.md), [research evidence](research-evidence.md)의
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`S03`~`S08`, `P01`, `R03/R04`를 적용한다. 아래 reduction은 기존 stabilized stiffness와
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**derived lumped mass**의 pencil에 정확히 대응한다.
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## E1. 조립, 단위 scaling과 실제 global 제약
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Element gather `A_e`를 stable source node/component 순서로 정의하면
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`K=sum A_e^T K_e A_e`, `M=sum A_e^T M_L,e A_e`이다. 이하 `M`은 항상 lumped이다.
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Element contribution→stable COO key→고정 순서 reduction으로 두 행렬을 조립한다.
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Lumped nodal block이므로 `M`의 node 간 block은 0이다. Worker는 global storage를
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동시에 갱신하지 않는다. Source identity와 equation index는 다른 번호다.
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혼합 단위를 가진 6 DOF를 그대로 Euclidean norm으로 합하지 않는다.
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활성 shell의 기존 최대 edge 길이들 중 최대값 `ell>0 [L]`을 characteristic length로
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선택하고 `D=blockdiag(ell I3,I3)`를 node마다 둔다. `q=D y`에서 `y`는 무차원,
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`Khat=D^T K D [ML²/T²]`, `Mhat=D^T M D [ML²]`이다.
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이는 congruence이며 physics와 lambda를 변경하지 않는다.
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원 global homogeneous BC의 free injection을 `C`라 한다. 고정 DOF의 행은 0,
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free DOF의 행은 하나의 1이며 free 순서는 DofManager의 stable 순서다.
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\[
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y=C y_f,\qquad K_f=C^TKhat C,\qquad M_f=C^TMhat C. \tag{E1}
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\]
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Nonzero prescribed base state는 이 procedure의 입력 오류다. 먼저 local 회전을 임의
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삭제한 뒤 global BC를 적용하지 않는다. 특히 global `UR3`와 drilling은 같지 않다.
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## E2. Null/positive basis를 node마다 결정
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각 active node의 원 질량 null은 M8로부터 `z_i=[0;d_i]` 한 방향이다.
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따라서 node별 실제 free 좌표에서 null이 존재하는 필요충분조건은
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**constrained rotational component마다 해당 `d_i` 성분이 정확히 0**인 것이다.
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그때 `Z_i=C_i^T z_i`는 unit null vector이며 otherwise null dimension은 0이다.
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Translation constraint는 이 판정에 영향을 주지 않는다. 모든 회전이 고정이면 null도 없다.
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이 판정은 analytic nullspace와 실제 입력 BC의 교집합이다. 작은 nonzero constrained
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director 성분을 임계값으로 0으로 바꾸지 않는다. 거의 정렬된 경우 작은 양의 physical
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mass가 남을 수 있으며 이를 보존한다. Numerical conditioning 검증을 통과하지 못하면
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명시적 실패로 처리하고 free DOF를 추가 삭제하지 않는다.
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각 node에서 `Z_i`의 Euclidean 직교 여공간 basis를 `P_i^f`라 한다.
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회전 3개가 free이면 기존 tangent basis `(a_i,b_i)`를 사용할 수 있다. Free 회전 2개
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안에 null이 있으면 그 평면에서 `d_i`에 수직인 단위벡터 하나, 회전 1개가 null이면
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positive 회전 basis는 없다. Free translation axis는 그대로 유지한다.
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Null이 없으면 `P_i^f=I`다. Source component 순서, basis sign/tie는 고정한다.
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Householder 등 동등한 작은 orthogonal construction을 쓸 수 있으나 physical rank를
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수치 eigenvalue cutoff로 정하지 않는다.
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\[
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P=\operatorname{blockdiag}(P_i^f),\quad Z=\operatorname{blockdiag}(Z_i),\quad
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[P\ Z]^T[P\ Z]=I,\quad M_p=P^TM_fP\succ0,\quad M_fZ=0. \tag{E2}
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\]
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여기서 `P_i^f`와 [M2의 tangent projector](formulation-mass.md)는 서로 다른 기호다.
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실제 positive dimension `n=cols(P)`, null dimension `nz=cols(Z)`이다.
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Reference의 full clamped flat mesh에서는 625개 interior node,
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`nf=3750`, `nz=625`, `n=3125`가 예상된다. 실제 assembly와 rank evidence로 확인한다.
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## E3. 기존 stiffness에서 decoupling의 정확한 증명
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공통 node director는 [shell geometry](../../src/fesa/model/shell_geometry.cpp)가 한 번
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정의하고 [ElementFactory::CreateShell](../../src/fesa/elements/element_factory.cpp)이
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node identity로 각 element에 전달한다. [MITC4 kernel](../../src/fesa/elements/mitc4_shell.cpp)의
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`PhysicalTransformation20`, `DrillingTransformation4`, `EvaluateStiffness`는 M4를 구현한다.
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한 node에만 `[0;d_i]`가 있는 full vector `z_i`에 대해 `T_p A_e z_i=0`이다.
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Drilling 부분은 해당 node에만 작용하므로
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\[
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Khat z_i=\kappa_i z_i,\qquad
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\kappa_i=\sum_{e\ni i}k_{d,e}>0,\qquad
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K_f Z=Z\operatorname{diag}(\kappa_i). \tag{E3}
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\]
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마지막 등식은 E2에서 `z_i`가 **실제로 free space에 있을 때** 성립한다.
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따라서
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\[
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K_{pz}=P^TK_fZ=0,\quad K_{zz}=Z^TK_fZ=\operatorname{diag}(\kappa_i)\succ0,
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||||
\quad K_p=P^TK_fP,\qquad K_p p=\lambda M_p p. \tag{E4}
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\]
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Finite mode의 massless 성분은 `z=0`이다. 이 projection은 arbitrary small coupling을
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버리는 근사가 아니라 승인된 physical/drilling separation의 항등식이다.
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Null이 없는 부분 제약 node에서는 `P=I`이고 기존 drilling contribution이 `K_p`에
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그대로 남는다. 이를 빼면 원 constrained stabilized pencil을 바꾸므로 금지한다.
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실제 floating-point matrix와 basis의 `M_f Z`, `K_fZ-Z diag(kappa)`, `P^T Z`를
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별도 evidence로 남긴다. 증명된 analytic null만 구조적으로 제거하고 계산된 tiny coupling을
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근거 없이 threshold로 버리지 않는다. 이 항등식의 roundoff 검증 및 복원 후 full free
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residual이 NR 기준을 넘으면 assembly/director/conditioning 실패로 중단한다.
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추가 massless mode를 찾아 제거하거나 기존 K를 재조정하지 않는다.
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## E4. 일반 Schur 식과 비정상 rank의 의미
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E3의 구조가 없는 일반 symmetric pencil을 비교하면, `Kzz`가 가역일 때만
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\[
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z=-K_{zz}^{-1}K_{zp}p,\quad
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(K_{pp}-K_{pz}K_{zz}^{-1}K_{zp})p=\lambda M_p p. \tag{E5}
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\]
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이는 massless row를 푼 정확한 elimination이며 massive DOF의 근사 Guyan reduction이
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아니다. 예를 들어 `K=[[6,2],[2,4]]`, `M=diag(2,0)`이면
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`lambda=5/2`, `z=-p/2`이다. 첫 행만 남기는 `lambda=3`은 잘못이다.
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E5는 independent small-pencil 검산과 잘못된 projection을 잡는 기준이다.
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이 Feature의 production shell 경로에는 E3이 적용되므로 일반 dense Schur 구현을 요구하지
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않는다. E3과 불일치하는 input을 E5로 자동 fallback하여 승인 geometry 문제를 숨기지 않는다.
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- `nz=0`: null 처리 없이 실제 constrained `Kf,Mf`의 문제다.
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- Local positive rank 0: 모든 free DOF가 null이면 해당 node의 finite 좌표는 없고
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양의 `Kzz`에 의해 그 free coordinate는 0으로 복원한다. Fully constrained node도
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finite 좌표 0개다. 다른 node의 유효 finite 좌표는 계속 보존한다.
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- Global `n=0` 또는 `N>n`: 요청 모드가 존재할 수 없으므로 명시적 model/solve 실패다.
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정적 해석의 유효 `0×0 Kff` 계약과 이 양의 mode-count 요구를 혼동하지 않는다.
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- 예상 `Kzz`가 singular/nonpositive이거나 활성 node에 mass contribution이 없음:
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유효 shell의 E3 전제가 깨진 것이다. Common `K/M` null이면 임의 lambda에 대한
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indeterminate direction이며 ordinary finite eigenmode가 아니다. 제거하거나 pseudoinverse,
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stiffness/mass epsilon으로 정규화하지 않고 진단한다.
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- 일반 indefinite `Kzz`의 singular/nonzero `Kpz` case는 descriptor-pencil의 추가
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constraint를 요구한다. 이번 positive stabilized shell과 다른 문제이며 자동 해석하지 않는다.
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||||
## E5. SPD whitening, 복원과 sparsity
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`M_p`는 node별 최대 `6×6` SPD block이다. 각 block을 Cholesky하여
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`M_p=L L^T`를 얻고 다음을 정의한다.
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\[
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A=L^{-1}K_pL^{-T},\quad p=L^{-T}x,\quad
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A x=\lambda I x,\quad
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\phi=D C P L^{-T}x. \tag{E6}
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\]
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Inverse를 dense global matrix로 만들지 않고 작은 block triangular solve로 congruence를
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구성한다. `phi`는 source node의 global 6 DOF로 복원되고 constrained entries는 정확히 0이다.
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`phi^T M phi=x^T x`다. Identity mass를 전달하는 E6도 실제 lumped mass에서 얻은
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generalized SPD 문제다. Consistent mass 또는 인공 unit physical mass로 바꾼 것이 아니다.
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Projection/whitening은 node 간 topology를 늘리지 않는다. 기존 node coupling마다 작은
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dense block만 생기며 전체 `O(n²)` Schur matrix와 dense inverse를 피한다.
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Sparse shifted FEAST factorization 자체의 fill은 별도 존재한다. Full `M_C`는 element별
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`24×24`와 세 `4×4` moment로 검증할 수 있고 global dense consistent matrix는 불필요하다.
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Allocation/nnz/factorization memory 실패는 불완전 모드의 성공이 아니라 명시적 failure다.
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## E6. 유한 search interval과 요청 개수
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요청 `N`은 `.inp *FREQUENCY`의 양의 정수이며 현재 reference는 10이다.
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Reference Value/Freq/행수는 interval, scale, count 또는 parameter 선정에 사용하지 않는다.
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먼저 `s=||A||inf [T^-2]`를 안정된 합으로 계산한다. `s>0`이면 `B=A/s`로 두고,
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반환값은 `lambda=s mu`다. `A=0`이면 `s=min_e E_e/(rho_e ell²)>0`라는
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모델 유래 time scale을 사용하며 `B=0`이다. 이 zero-matrix case도 N개의 0 모드를
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FEAST에서 계산·검증한다. Invalid/underflow/overflow scale을 임의 1로 바꾸지 않는다.
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각 행의 off-diagonal absolute sum을 `r_i`라 하면 Gershgorin에 의해
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`min_i(Bii-ri)<=mu<=max_i(Bii+ri)`다. 안정된 directed-outward accumulation 또는
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동등하게 증명된 roundoff bound를 포함하여 finite enclosure `[gL,gU]`를 만든다.
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`B=0`에서는 알고리즘용 dimensionless enclosure `[-1,1]`을 사용한다.
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Nonzero B의 endpoint margin은 NR가 정할 dimensionless coefficient와 `||B||inf` 및
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endpoint ULP로 결정하고, outward `nextafter`를 적용해 `a0<gL<=gU<b0`를 확보한다.
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이는 물리 mass/eigenvalue floor나 zero clamp가 아니다.
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CSR count `c(a,b)`는 endpoint가 분리된 interval에 대해 Intel `fpm[49]=1`이 반환한
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count와 status다. `c(a0,b0)=n`을 먼저 확인한다. 다음은 finite search의 결정적 규칙이다.
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1. 모든 count는 원 enclosing lower bound `a0`부터의 prefix count로 평가한다.
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`lo=a0`의 알려진 prefix count는 0, `hi=b0`의 count는 n이다.
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Upper search에서 midpoint `v`의 count가 `N` 미만이면 `lo=v`, 아니면 `hi=v`로 둔다.
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성공한 `hi`와 count를 항상 보존한다. `N<=count<=min(n,2N+8)`인 upper endpoint를
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얻으면 이 최적화를 끝낼 수 있다. 이는 workspace 목표이며 N의 변경이나 mode cap이 아니다.
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2. Cluster 때문에 목표 count로 줄일 수 없어도 `count>=N`인 마지막 safe upper를 쓴다.
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Representable midpoint가 없거나 NR endpoint separation 폭에 도달하면 subdivision을
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끝낸다. 경계에 있는 반복 고유치의 일부만 count하도록 tolerance를 조정하지 않는다.
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3. 불필요하게 먼 lower bound를 줄이기 위해 `a=a0`, 위에서 얻은 `b=hi`로 시작한다.
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`v=(a+b)/2`의 prefix count가 0이면 `a=v`로 이동하고, 양수이면 이 하한 축소를 끝낸다.
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따라서 `(a0,a)`의 empty-prefix evidence를 잃지 않는다. 아주 작은 고립 cluster에서
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넓은 구간이 검색 실패를 유발하는 Intel의 경고를 이 과정과 후검증으로 다룬다.
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4. 최종 `(a,b)`에서 다시 count하여 `c>=N`이고 알려진 prefix와 일치함을 확인한다.
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Capacity는 `m0=min(n,max(c+8,ceil(3c/2)))`로 한다. `c=n`이면 `m0=n`이다.
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Checked integer arithmetic을 쓰며 큰 multiplicity도 전체 count를 수용한다.
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5. Solve 성공 후 모든 `c`개를 독립 검증하고 정렬하여 첫 N개를 결과 candidate에 넣는다.
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같은 eigenvalue의 multiplicity를 지우거나 평균내지 않는다. N번째가 repeated/cluster의
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내부에 있으면 내부 계산 group은 보존하고 출력 row는 정확히 N개다.
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Midpoint·endpoint 이동은 overflow-safe하게 수행한다. NR는 count-call budget,
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endpoint separation coefficient와 perturbation 횟수를 구현 전에 고정한다. Budget은
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각 search 및 endpoint 재시도까지 포함하는 유한 정수다. `-5` 등의 endpoint 실패 시
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기록된 bracket 안에서 NR가 정한 간격으로 양옆의 endpoint 후보를 순서대로 평가하며,
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성공한 prefix/count evidence 없이는 bracket을 갱신하지 않는다. 마지막 valid bracket이
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없거나 count monotonicity/total count가 맞지 않으면 실패다. Search 최적화 budget에
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도달하면 이미 검증된 enclosing bracket을 쓸 수 있으나 실패한 count를 성공으로 바꾸지 않는다.
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Postsolve에서는 returned `m=c`, finite paired vectors/values, Gram rank, interval 내부
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및 endpoints와의 separation을 확인한다. Endpoint에 너무 가깝거나 `info=1/2/3`,
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count/solve mismatch이면 NR가 정한 유한 회수 안에서 safe bracket 확대·재count·capacity
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확대만 허용한다. 매번 count/solve history를 보존한다. 그 뒤에도 불일치하면 실패하고
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부분 모드 또는 다른 eigensolver로 fallback하지 않는다. Formulation은 이 수학적 알고리즘을
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NR에 인계한다. 구현 진입 bundle은 다음 stage가 수치값·budget을 고정한 뒤 완성된다.
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Full enclosing bound, empty-prefix, interval count와 solve-count/Gram 검증은 낮은 N개의
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누락을 탐지하는 서로 다른 evidence다. Intel의 documented total count를 모든 conditioning,
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endpoint 및 floating-point 상황의 completeness theorem으로 확대하지 않는다.
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독립 known-spectrum의 zero/negative/cluster/repeated/size1/request=n case와 실제
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설치 runtime 검증이 필수 연결점이며 선택 및 수치 기준은 NR가 소유한다.
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## E7. FEAST 경계와 deterministic 실행
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Actual eigenpairs는 `dfeast_scsrgv`로 E6의 `(A,I)` 또는 E6에서 동일하게 scale한
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`(B,I)`를 풀어 구한다. Real symmetric, SPD second matrix, `n>0`,
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`0<m0<=n`, strict finite `emin<emax`를 만족한다. `uplo=U`로 A와 identity mass의
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각 CSR을 전달하며 row/column 증가 순서, duplicate-free, 1-based row pointer,
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terminal `nnz+1`을 검증한다. 두 pattern이 같을 필요는 없다.
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`MKL_INT`, `n`, `nnz+1`, column index와 `n*m0*sizeof(double)`의 변환/곱은 checked다.
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FEAST vendor type과 scratch resource는 private backend에만 있다.
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Call마다 `feastinit`한 128-entry parameter 배열에서 이번 call의 설정을 채운다.
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CSR check, SPD check를 켜고 subspace-only mode는 끈다. Zero mode에도 적용할 수 있도록
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trace stopping을 사용하고 독립 residual을 반드시 후검증한다. `epsout`만으로 pass하지
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않는다. Contour points, stopping exponent, finite loop bound는 NR가 정한다.
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User initial subspace를 선택하고 고정 seed/명시된 integer generator 및 고정 QR 순서로
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full-column-rank 초기 공간을 만든다. `m0=n`에서는 identity를 쓴다.
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Initial guess가 모든 eigenspace와 충분히 overlap한다는 보장은 없으므로 count/solve/Gram
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검증으로 부족한 projection을 검출한다. Seed를 바꾸며 통과할 때까지 반복하지 않는다.
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Backend의 thread/재현 설정과 seed는 실행 evidence에 기록한다. 동일 source 입력의
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sparse structure, reduction, row 및 diagnostic 순서는 고정하며 repeated mode의 개별
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벡터 방향은 수학적으로 유일하지 않다는 제한을 유지한다.
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Solve는 `e,res`의 m0 entries와 column-major `x[n*m0]`를 준비하며 첫 m columns만
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소비한다. Count call의 m0는 output count로 overwrite되므로 solve 요청수/실제 allocation
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capacity와 분리한다. 설치 API가 count-only workspace의 작은 용량을 명시하지 않은
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경우 보수적으로 count scratch는 `m0=n`, `x[n*n]`까지 준비하고 count 단계 사이에
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재사용한다. Solve 전 해제할 수 있다. Reference n=3125에서 이 scratch는 약 78.1 MB
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(74.5 MiB)이고 10모드의 실제 solve subspace는 이보다 작다. Count용 보수적 allocation은
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dense Schur와 별개지만 `O(n²)` memory 비용이므로 Planning/Implementation이 peak 및
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shifted sparse factorization fill을 측정한다. Allocation 실패 시 N을 줄이지 않는다.
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Intel 근거: [API/storage/capacity](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/feast-scsrgv-feast-hcsrgv.html),
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||||
[C-index parameter와 count](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/extended-eigensolver-input-parameters.html),
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[status/endpoint/고립 cluster 주의](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/extended-eigensolver-output-details.html).
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2026-09-06 확인. `info=0` 이외의 빈 interval, 미수렴, subspace 부족, count/inner solver,
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allocation 또는 SPD 실패는 status와 stage를 보존하여 진단한다. Count success는 eigenpair
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success가 아니며, caller의 count authority는 끝까지 `.inp`다.
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## E8. Mode identity, normalization과 상태
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모든 returned eigenpair를 lambda 오름차순으로 함께 정렬한다. Equal lambda의 tie는
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original solver column order로 안정 정렬한다. Near-equal 값을 평균하거나 merge하지 않는다.
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양의 modal mass로 column별 normalize하고, 가장 큰 absolute scaled global component의
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sign이 양수가 되도록 한다(source DOF 순서로 tie 결정). 서로 다른 eigenvalues의 벡터를
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Gram 보정 목적으로 임의 혼합하지 않는다. Failed orthogonality는 solve/validation 실패다.
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정확한 repeated eigenspace의 다른 orthonormal basis는 같은 해이고 mode-shape external
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matching은 없다. Density scaling/좌표 테스트는 repeated group의 projector로 비교한다.
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Normalized `phi^T M phi=1`의 수치 convention에서 `phi_u`의 차원은 `M^-1/2`,
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`phi_theta`는 `M^-1/2 L^-1`이고 modal amplitude가 `M^1/2 L`를 가진다.
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Mode vector는 실제 응답 변위가 아니다. Scalar `lambda [T^-2]`와 source step/mode
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identity를 분리하고 internal node/equation number를 source label로 노출하지 않는다.
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원형상·density 검증→consistent/moment 검증→lumped 검증→K/M 조립→실제 BC→E2~E6
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admissibility→E6~E7 FEAST→global 복원/독립 검증→candidate 결과 순서다.
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반환 lambda는 부호를 보존한다. NR 기준상 유의한 음수는 불안정/invalid spectrum 실패,
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near-zero는 분류와 raw value를 함께 유지하며 0으로 clamp하지 않는다.
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양수에서만 `f=sqrt(lambda)/(2pi)`를 파생한다. 정확한 0은 f=0이고 작은 음수에는
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실수 frequency를 만들지 않는다. 이 validity의 저장 방식은 I/O owner가 정한다.
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N개 검증이 끝나기 전에 accepted state를 바꾸지 않는다. 검증된 candidate HDF5를
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완성·검증·close한 뒤 final replacement를 수행하고 성공 뒤 준비된 state를 교환한다.
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Replacement 이후 state 교환은 실패하지 않도록 준비한다. 제어된 solve/validation/write/
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finalization failure에서 이전 accepted state와 기존 final HDF5를 보존한다.
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Crash/power loss까지 원자성을 새로 주장하지 않는다. Live log lifecycle은 별도다.
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Modal residual의 constrained 성분을 static reaction으로 출력하지 않는다.
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@@ -0,0 +1,213 @@
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# MITC4 consistent mass와 nodal block lumping 유도
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- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
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- Owner: `formulation-agent`
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- Input contract revision: `r1`
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- 기본 보고서: [formulation.md](formulation.md)
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근거는 [research evidence](research-evidence.md)의 `S01`, `S02`, `P01`, `R01`~`R03`이다.
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아래 유도는 FESA의 승인된 운동학에 대한 것이며 Abaqus 내부 질량과의 동등성 주장이 아니다.
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## M1. 변수, 원형상과 운동학
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길이·질량·시간 차원을 각각 `L`, `M`, `T`라 한다. 각 element는 원형상 좌표
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`X_i [L]`, 기존 patch에서 얻은 공통 unit nodal director `d_i`, 일정한 centered thickness
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`t>0 [L]`, section의 material에서 결정된 일정 density `rho>0 [M/L³]`를 사용한다.
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||||
`E>0 [M/(LT²)]`, `-1<nu<0.5`와 기존 단일층 등방성 plane-stress 재료를 유지한다.
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모든 입력 및 중간 결과는 finite여야 한다. 여기의 `t`는 두께이며 시간은 `tau`로 쓴다.
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자연 좌표는 `(xi,eta,zeta) in [-1,1]^3`, source node 순서는
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`(-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1)`이다. 다음 형상함수와 실제 volume mapping을 사용한다.
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\[
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||||
N_i=\tfrac14(1+\xi_i\xi)(1+\eta_i\eta),\quad z=t\zeta/2,\quad
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||||
X=\sum_iN_i(X_i+z d_i),\quad J=\det[X_{,\xi},X_{,\eta},X_{,\zeta}],
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||||
\quad dV=J\,d\xi d\eta d\zeta. \tag{M1}
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||||
\]
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||||
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||||
`sum Ni=1`, `Ni>=0`이다. Interpolated director를 normalization하여 M1의 geometry를
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변경하지 않는다. 기존 kernel의 `EvaluateGeometry`와 같은 Jacobian 및 부호를 사용한다.
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||||
기존 [정식화](../linear-static-mitc4-shell/formulation.md)의 §§3~5, 8~11이
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||||
director 생성, tangent frame `(a_i,b_i,d_i)`, 기하 허용 조건과 MITC strain을 소유한다.
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||||
전역 nodal 좌표는 `q_i=[u_X,u_Y,u_Z,theta_X,theta_Y,theta_Z]^T`이다.
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||||
`u [L]`, `theta [1]`이고 양의 director 변화는 `theta cross d`이다. 다음 map을 정의한다.
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||||
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||||
\[
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||||
S_i=-[d_i]_\times,\quad P_i=I-d_i d_i^T=S_i^TS_i,\quad
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||||
G_i(z)=[I_3\ \ zS_i],\quad H=[N_1G_1\ \cdots\ N_4G_4]. \tag{M2}
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||||
\]
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||||
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||||
따라서 입자 변위/속도는 `u(X)=Hq`, `v(X)=H q_dot`이다. Physical nodal coordinates
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||||
`[u_X,u_Y,u_Z,alpha,beta]`에서 회전 열은 `[-z b_i, z a_i]`이다.
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||||
`alpha=a_i^T theta`, `beta=b_i^T theta`, `gamma=d_i^T theta`이며
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||||
`S_i d_i=0`이다. 20↔24 변환은 기존 `PhysicalTransformation20`/`DrillingTransformation4`
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||||
그대로이다. MITC assumed shear와 `5/6` shear factor는 strain/stiffness에만 작용한다.
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속도 보간과 질량에 이 factor를 적용하지 않는다.
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## M2. Strong/weak form과 기존 stiffness
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원형상·무응력 상태의 소변형 무감쇠 자유진동에 대해 continuum parent는
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`rho u_ddot = div sigma`, `sigma=C_ps:epsilon`, `sigma_33=0`이다.
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||||
자유 표면·자유 edge의 generalized traction은 0이고 essential data는 동차 global DOF
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||||
제약이다. 허용한 thickness 운동학과 MITC projection에 제한한 약형은
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||||
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||||
\[
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||||
\int_{\Omega_0}\rho\,\delta u^T\ddot u\,dV+
|
||||
\int_{\Omega_0}\delta\bar e^T C_5\bar e\,dV+
|
||||
\delta\gamma^T K_d\gamma=0. \tag{M3}
|
||||
\]
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||||
|
||||
원형상 elastic Hessian은 기존 stiffness다.
|
||||
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||||
\[
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||||
C_5=\operatorname{diag}\left(
|
||||
\frac{E}{1-\nu^2}\begin{bmatrix}1&\nu&0\\\nu&1&0\\0&0&(1-\nu)/2\end{bmatrix},
|
||||
\frac56\frac{E}{2(1+\nu)}I_2\right),
|
||||
\quad K_{20}=\sum_{g\in2\times2\times2}\bar B_g^TC_5\bar B_gJ_gw_g,
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
K_e=T_p^TK_{20}T_p+T_d^T(k_d I_4)T_d,\quad
|
||||
k_d=10^{-3}\min\{(K_{20})_{rr}>0:r\text{는 tangent rotation}}. \tag{M4}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
`bar e=[epsilon11,epsilon22,gamma12,gamma13,gamma23]`이고 M4는 새 선택이 아니라
|
||||
기존 [정식화 §12](../linear-static-mitc4-shell/formulation.md) 및
|
||||
[실제 kernel](../../src/fesa/elements/mitc4_shell.cpp)의 고정 계약이다.
|
||||
Drilling energy는 수치 stabilization이며 물리 strain/stress가 아니다.
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||||
`K_e q_e`는 내부 elastic generalized force, `M_L,e q_ddot,e`는 inertia다.
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||||
최종 반이산식은 `M_L q_ddot + Kq=0`이다. Harmonic ansatz
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||||
`q(phi,tau)=phi cos(omega tau)`에서 `Kphi=lambda M_L phi`, `lambda=omega² [T^-2]`를 얻는다.
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||||
새 constitutive/history state, geometric stiffness, damping, preload, nonlinear tangent,
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||||
time integrator 또는 modal stress/reaction recovery는 없다.
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||||
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||||
## M3. Consistent matrix와 충분한 quadrature
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||||
`T_C=1/2 integral rho |H q_dot|² dV`에서
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||||
|
||||
\[
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||||
C^{(k)}_{ij}=\int_{\Omega_0}\rho N_iN_j z^k dV\quad(k=0,1,2),
|
||||
\qquad
|
||||
(M_C)_{ij}=\begin{bmatrix}
|
||||
C^{(0)}_{ij}I_3&C^{(1)}_{ij}S_j\\
|
||||
C^{(1)}_{ij}S_i^T&C^{(2)}_{ij}S_i^TS_j
|
||||
\end{bmatrix}. \tag{M5}
|
||||
\]
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||||
|
||||
세 scalar moment matrix는 각각 symmetric `4×4`이다. 차원은 `C(k) [M L^k]`,
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||||
mass의 `uu/u-theta/theta-theta` block은 각각 `M/ML/ML²`이다.
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||||
`M_C [24×24]`는 global block 형식이며 20 physical mass의 congruence와 동일하다.
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||||
원본 `M_C`와 그것을 구성한 `C(0..2)`를 완성·검증한 후 lumping 입력으로 사용한다.
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||||
Global consistent sparse matrix를 eigen solve에 조립할 필요는 없지만 계산 원본을
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||||
lumped 결과로 덮어쓰거나 별도의 mass를 생성한 뒤 consistent에서 유도했다고 부르지 않는다.
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||||
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||||
M1은 각 자연 좌표에 최대 1차이다. Jacobian의 세 열의 최대 다항 차수는 각각
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||||
`(0,1,1)`, `(1,0,1)`, `(1,1,0)`이므로 determinant의 성분별 최대 차수는 `(2,2,2)`다.
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||||
`Ni Nj z^k J`의 차수는 최대 `(4,4,k+2)`, 즉 `(4,4,4)`이다. 따라서 **질량에는
|
||||
3×3×3 Gauss–Legendre**를 사용한다. 각 축의 points는
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||||
`[-sqrt(3/5),0,+sqrt(3/5)]`, weights는 `[5/9,8/9,5/9]`이다.
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||||
3-point rule의 5차 정확성으로 M5의 모든 항을 이 geometry에서 정확 적분한다
|
||||
(floating-point roundoff 제외). 추가 density/thickness 변화를 가정한 결론이 아니다.
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||||
|
||||
Loop 순서는 증가하는 `xi`, 그 안의 `eta`, 가장 안의 `zeta`, 이후 `i<=j`, `k=0,1,2`로
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||||
고정하고 대칭 항을 복사한다. Mass 계산의 27개 실제 평가점에서도 기존 geometry
|
||||
predicate를 적용한다. `J<=0`, nonfinite frame/basis 등의 실패를 weight 절댓값,
|
||||
점 생략이나 flat replacement로 수리하지 않는다. 기존 stiffness 8-point 경로는 변경하지
|
||||
않는다. 이 검사는 27점에서의 positivity를 보장하며 volume 모든 위치의 injectivity에
|
||||
대한 새 theorem이나 기존 warp/curvature 범위의 확대를 주장하지 않는다.
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||||
|
||||
왜곡된 flat element라도 같은 식을 쓴다. 서로 다른 director가 있으면 `J(zeta)`의 1차 항
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||||
때문에 `C(1)`이 0이 아닐 수 있다. Centered section만을 이유로 coupling을 버리거나
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||||
`C(2)=t² C(0)/12`를 일반식으로 사용하지 않는다.
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||||
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||||
## M4. 계산된 consistent moment에서 nodal block 유도
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||||
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||||
각 node의 세 row sum과 질량 block을 정의한다.
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||||
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||||
\[
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||||
m_i=\sum_j C^{(0)}_{ij},\quad h_i=\sum_j C^{(1)}_{ij},\quad
|
||||
j_i=\sum_j C^{(2)}_{ij},\qquad
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||||
L_i=\begin{bmatrix}m_iI_3&h_iS_i\\h_iS_i^T&j_iP_i\end{bmatrix},
|
||||
\quad M_{L,e}=\operatorname{blockdiag}(L_1,L_2,L_3,L_4). \tag{M6}
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||||
\]
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||||
|
||||
이는 scalar moment row sum 후 tensor로 재구성하는 **nodal block lumping**이다.
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||||
Global 전체 행의 합, absolute row sum, diagonal scaling 또는 nodal quadrature와
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||||
혼용하지 않는다. 같은 source node의 incident element block은 기존 source element 순서로
|
||||
합한다. 공통 `d_i` 때문에 조립 후에도 M6 형태다. Local와 global에서 diagonal이 아닌
|
||||
`6×6` coupling은 허용한 lumped mass의 일부다.
|
||||
|
||||
`sum Nj=1`을 M5에 대입하면 정확히
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\[
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||||
(m_i,h_i,j_i)=\int\rho N_i(1,z,z^2)dV,\quad
|
||||
L_i=\int\rho N_i G_i(z)^TG_i(z)dV. \tag{M7}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
`m_i>0`, `j_i>0`, `m_i j_i-h_i²>0`이다. 마지막 부등식은 양의 measure에 대해
|
||||
`z`가 상수가 아닌 점(양의 두께 및 서로 다른 thickness Gauss점)과 strict
|
||||
Cauchy–Schwarz에서 따른다. 이를 이용하면
|
||||
|
||||
\[
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||||
q_i^TL_iq_i=m_i\left|u_i+\frac{h_i}{m_i}S_i\theta_i\right|^2+
|
||||
\left(j_i-\frac{h_i^2}{m_i}\right)|S_i\theta_i|^2. \tag{M8}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
따라서 `L_i`의 rank는 5, null은 정확히 `[0;d_i]`의 span이다.
|
||||
`zbar_i=h_i/m_i [L]`, `j_i-h_i²/m_i [ML²]`는 node에 할당된 thickness
|
||||
measure의 centroid와 central tangent inertia다. 음/영 variance나 nonfinite를 clamp하지
|
||||
않고 mass 검증 실패로 처리한다. 모든 노드에 최소 한 활성 shell이 연결되어야 한다.
|
||||
|
||||
M6의 유도 연결은 `C(k)` 원본→row sum→block reconstruction으로 추적한다.
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||||
동시에 M7을 독립 직접 적분하여 두 결과의 일치를 검증할 수 있다.
|
||||
서로 다른 nodal frame의 rotary component를 직접 더하지 않는다.
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||||
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||||
## M5. 보존되는 양과 근사되는 양
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||||
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||||
모든 등식은 동일 원형상·density와 quadrature measure에 관한 것이다.
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||||
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||||
1. 총 병진 질량 `m=sum mi=integral rho dV` 및 모든 uniform translation의 kinetic
|
||||
energy가 consistent와 정확히 같다. 각 방향의 total mass가 `m`이며 `trace(Muu)`를
|
||||
총 질량이라고 정의하지 않는다.
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||||
2. Thickness scalar moment는 `sum hi=integral rho z dV`,
|
||||
`sum ji=integral rho z² dV`다. 각 nodal tangent tensor는 `ji Pi`이고 drilling inertia는
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||||
0이다. 이는 물리 director의 회전 관성 정의이며 모든 rigid rotation의 전체 tensor를
|
||||
consistent와 같게 만드는 계약은 아니다.
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||||
3. Lumping measure의 위치를 `x_i(z)=X_i+z d_i`로 보면 spatial first moment
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||||
`sum_i(mi Xi+hi di)=integral rho X dV`이므로 center of mass가 보존된다.
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Node의 `Xi`에만 `mi`를 놓고 `hi di`를 누락하면 곡면에서 이 등식이 깨진다.
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4. `v_i(z)=u_dot_i+z S_i theta_dot_i`에 대해 Jensen identity가 다음을 준다.
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\[
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\dot q^T(M_L-M_C)\dot q=
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\frac12\int\rho\sum_{i,j}N_iN_j|v_i-v_j|^2dV\ \ge0. \tag{M9}
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\]
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두 kinetic energy의 차이는 M9의 절반이다. Equality는 positive-weight point마다 모든
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`v_i`가 같을 때 성립한다. 일반 속도장 및 rigid angular motion의 orbital inertia는
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달라질 수 있으며 lumped 값이 그 quadratic form에서 작아지지 않는다.
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Rigid spatial rotation은 `u_i=Omega cross Xi`, `theta_i=Pi Omega`로 재현된다.
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이때 M9는 nodal 위치 분산으로 생기는 angular-inertia 차이를 정확히 설명한다.
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두 spectrum의 동일성, arbitrary mesh의 특정 수렴 차수 또는 Abaqus lumping 동등성을
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acceptance로 요구하지 않는다. Smooth refinement에서 차이가 감소하는지는 독립 evidence다.
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Proper orthogonal global rotation `Q`에 대해 `D_Q=blockdiag(Q,Q)`를 두면
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`S(Qd)=Q S(d) Q^T`, `L'_i=D_Q L_i D_Q^T`이며 consistent에도 같은 congruence가
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성립한다. 이는 tangent basis 선택과 독립적이다. Constraint도 같은 물리 공간으로 변환한
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경우에만 spectrum의 좌표 불변성을 비교한다.
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## M6. 직접 적분 가능한 평판 oracle
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평행 director와 affine 직사각형 면적 `A`에서는
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\[
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C^{(0)}=\frac{\rho t A}{36}
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\begin{bmatrix}4&2&1&2\\2&4&2&1\\1&2&4&2\\2&1&2&4\end{bmatrix},
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\quad C^{(1)}=0,\quad C^{(2)}=\frac{t^2}{12}C^{(0)}. \tag{M10}
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\]
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각 node는 `mi=rho t A/4`, `hi=0`, `ji=rho t³ A/48`이다.
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이는 production quadrature를 호출하지 않고 다항 적분으로 얻는 oracle다.
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곡면에서는 M5~M9와 independent volume integration을 사용한다.
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두께 `t` 변경 시 stiffness와 rotary inertia는 다른 차수로 변하므로 전체 spectrum에
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하나의 thickness power law를 강제하지 않는다.
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@@ -0,0 +1,222 @@
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# 질량과 modal candidate의 검증식 및 Numerical Review 인계
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- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
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- Owner: `formulation-agent`
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- Input contract revision: `r1`
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- 기본 보고서: [formulation.md](formulation.md)
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[질량 식 M1~M10](formulation-mass.md), [축소·복원 식 E1~E8](formulation-eigen.md)의
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기호를 사용한다. 이 문서는 측정량과 zero branch를 정의하며 수치 acceptance 값과
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필수 benchmark 선정은 Numerical Review가 독립 검토하여 고정한다.
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외부 기준의 수치는 [TOLERANCE](../TOLERANCE.md)를 그대로 적용한다.
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## V1. 공통 scale과 zero branch
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행렬·벡터 norm을 계산하기 전에 E1의 길이 congruence를 적용한다. 질량은 모두
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`ML²`, stiffness는 `ML²/T²` 단위가 된 행렬에서 norm을 계산한다. Element-only
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oracle에서는 `ell=Le`를 사용하고 assembled 비교에는 동일 global `ell`을 사용한다.
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Norm과 sum-of-squares는 overflow/underflow를 피하는 scaled accumulation을 사용한다.
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입력/행렬/각 eigenpair가 finite인지 먼저 검사한다.
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이 문서의 모든 ratio `a/b`는 `b>0`에서만 계산한다. `a=b=0`이면 해당 항등식의
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zero-case metric은 0이다. `b=0,a!=0`이면 named zero-scale failure이며 무한값/NaN
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metric으로 성공 결과를 만들지 않는다. `max(1,b)`, arbitrary floor 또는 zero clamp는 없다.
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대칭성은 `eta_sym(Q)=||Q-Q^T||F/||Q||F`이다. Diagonal copy로 생성한 symmetry와
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독립 quadratic-work 검증은 구분한다. Cross-basis equality `R=S`는
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`||R-S||F/(||R||F+||S||F)`로 측정한다. Mass/stiffness를 같은 norm의 분모에 직접 더하지
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않고 필요한 lambda나 시간 scale을 곱한다.
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## V2. 질량, rank와 보존 검증
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- M10의 entrywise scalar oracle와 `M_C` quadratic form을 독립 적분과 비교한다.
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계수·부호/두께 차수가 같은지를 component별 확인한 뒤 전체 norm을 사용한다.
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- M5에서 구성한 `M_C`와 원본 moment, M6의 row-sum 결과, M7의 independent direct
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integration을 따로 비교한다. 변조한 C(1)/C(2)가 lumped 결과 및 검증에 반영되는지
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확인하여 두 mass 계산이 끊긴 우회 경로를 잡는다.
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- Mass original과 derived 모두 `d_i` 방향의 null action을 검사한다.
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Element/global scaled matrix에서 `eta_null=||Mhat z||2/(||Mhat||F ||z||2)`를 쓴다.
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Lumped는 M8의 양의 두 항 및 physical positive-space Cholesky로 rank5를 검증한다.
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Consistent physical 20-coordinate matrix도 positive여야 한다. 잘못된 quadrature에
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의한 추가 hourglass/null mass를 허용하지 않는다.
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- `mi>0`, `ji>0`, `zi=hi/mi`, `vi=ji/mi-zi²>0`를 검사한다.
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`vi/ell²`, `|hi|/sqrt(mi ji)`는 dimensionless conditioning evidence다.
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양의 `vi`를 낮은 rank로 바꾸는 기준을 두지 않는다. Direct centered integral
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`integral rho Ni (z-zi)² dV`와 `ji-hi²/mi`의 일치는 cancellation을 드러낸다.
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- Scaled node positive mass의 Cholesky reconstruction error와 reciprocal condition
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estimate를 기록한다. 후자는 작은 block inverse action의 norm으로 계산할 수 있다.
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물리 positive/null rank는 E2로 정하고 ill-conditioning은 별도 실패다.
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- 총 질량은 uniform translation의 `q^TMq/|u|²`, geometry 적분의 `m=sum mi`를
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비교한다. Spatial centroid는 M5의 scalar moment로 얻은
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`sum(mi Xi+hi di)`와 독립 `integral rho X dV`를 비교한다.
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좌표 원점으로 인한 cancellation을 피하려면 한 source node `Xref`를 공통 원점으로
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잡고 first moment 차이를 `m ell`로 나눈다.
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- M9의 `Delta=q_dot^T(M_L-M_C)q_dot`와 nonnegative pairwise integral을 독립 비교한다.
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Scale은 `q_dot^T M_L q_dot + q_dot^T M_C q_dot`이며 zero motion/null-only field는
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별도 zero branch다. Arbitrary velocity에서 equality를 요구하지 않는다.
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## V3. Reduction과 full modal residual
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`y_f=C^T D^-1 phi`, `k=||Kf||F`, `m=||Mf||F`라 두면
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\[
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||||
r_f=K_f y_f-\lambda M_f y_f,\qquad
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||||
\eta_r=\frac{\|r_f\|_2}{(k+|\lambda|m)\|y_f\|_2}. \tag{V1}
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||||
\]
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||||
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||||
이것이 **모든 원 free DOF**의 inertia/elastic force balance다. 물리 공간에
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project한 residual만으로 drilling/null 복원 오류를 놓치지 않는다.
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||||
`Kf y_f` 및 `Mf y_f`를 solve에 사용한 축소 matrix를 재사용하지 않고 원 조립값에서
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||||
검산한다. `Mf`는 actual lumped이며 consistent로 바꾸면 잘못된 metric이다.
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||||
`lambda=0`에서도 `k>0`이면 유효한 denominator가 있다. `Kf=0,lambda=0`은 zero branch,
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||||
zero eigenvector는 normalization 이전부터 실패다.
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||||
Whitened solve의 추가 metric은 `eta_w=||A x-lambda x||2 /
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||||
((||A||F+|lambda|)||x||2)`다. Backend `res/epsout`, eta_w, eta_r은 서로 다른 evidence다.
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||||
E3의 identity도 다음으로 검산한다.
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||||
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||||
\[
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||||
\eta_{KZ}=\frac{\|K_fZ-Z\operatorname{diag}(\kappa)\|_F}
|
||||
{\|K_f\|_F\|Z\|_F+\|Z\operatorname{diag}(\kappa)\|_F},\quad
|
||||
\eta_{MZ}=\frac{\|M_fZ\|_F}{\|M_f\|_F\|Z\|_F},\quad
|
||||
\eta_{PZ}=\|P^TZ\|_F. \tag{V2}
|
||||
\]
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||||
|
||||
`nz=0`이면 V2는 적용 대상 없음으로 기록한다. M8/E3의 analytic proof가 먼저이고
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||||
V2 threshold만으로 새로운 nullspace를 발견하거나 coupling을 생략하지 않는다.
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||||
Kzz positivity와 `n/nz/nf`를 source node별 예상 null 여부와 연결한다.
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||||
Constraint metric은 `||(I-CC^T)D^-1 phi||2/||D^-1 phi||2`이며 source에 복원한
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||||
constrained components 자체도 exact zero를 확인한다.
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||||
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||||
## V4. Mass normalization, Gram, energy와 Rayleigh
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각 mode의 generalized mass `g_i=phi_i^T M phi_i=y_i^T Mf y_i`는 finite, strictly
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||||
positive여야 한다. `phi_i <- phi_i/sqrt(g_i)`로 normalization한 뒤 재계산한다.
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||||
계산된 전체 c개 column에 대해
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||||
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||||
\[
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||||
G_{ij}=\phi_i^T M\phi_j,\quad
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||||
\eta_{norm,i}=|G_{ii}-1|,\quad
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||||
\eta_{orth,ij}=\frac{|G_{ij}|}{\sqrt{G_{ii}G_{jj}}}\ (i\ne j),\quad
|
||||
\eta_G=\frac{\|G-I\|_F}{\sqrt c}. \tag{V3}
|
||||
\]
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||||
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||||
Column pairing과 linear independence를 확인하며 FEAST의 c와 N을 구분한다.
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||||
부족한 rank를 같은 vector 복사로 채우면 V3에서 실패한다.
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||||
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||||
\[
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||||
h_i=y_i^TK_fy_i,\quad R_i=h_i/g_i,\qquad
|
||||
\eta_{energy,i}=\frac{|h_i-\lambda_i g_i|}
|
||||
{(k+|\lambda_i|m)\|y_i\|_2^2}. \tag{V4}
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||||
\]
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||||
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||||
`R_i [T^-2]`는 Rayleigh quotient다. V4는 eigenvalue가 0인 경우에도 쓸 수 있고
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||||
`|R_i-lambda_i|/|lambda_i|`만을 강제하지 않는다. 단위 modal amplitude에서 elastic
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||||
energy는 `h_i/2`, peak kinetic energy는 `lambda_i g_i/2`다. Physical/drilling 분해가
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||||
필요한 내부 검산에서는 `h_phys+h_drill=h_i`를 확인하되 별도의 drilling-energy
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acceptance나 output quantity를 추가하지 않는다.
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## V5. Rigid mode, coordinate 및 density 불변식
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Free valid shell/patch의 rigid fields는 `u_i=c+Omega cross Xi`,
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`theta_i=(I-di di^T)Omega`이다. 그 span에는 세 병진과 세 회전이 있다.
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각 vector의 scaled K action을 `||Khat y||2/(||Khat||F ||y||2)`로 검증하고
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mass Gram rank로 여섯 물리 움직임의 independence를 확인한다.
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`Omega`의 full normal 성분을 UR에 넣어 drilling energy를 자극한 field는 이 테스트가 아니다.
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Physical rigid zero eigenvalues는 finite mass 모드이고 E2의 massless drilling과 다르다.
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Clamped reference에 여섯 zero mode를 요구하지 않는다.
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Global rigid coordinate rotation에서 두 질량과 **physical stiffness**의 congruence 및
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E1~E6 spectrum 불변성을 검사한다. Free rotation 3개 또는 rotation 3개 전체 고정의
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node로 이루어진 사례는 finite 공간의 drilling 항이 0이므로 이 검증에 적합하다.
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||||
기존 `kd=min(physical tangent diagonals)*10^-3`는 선택한 tangent basis에 의존할 수 있다.
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||||
따라서 재계산한 kd까지 임의 회전에서 동일 scalar라 가정하거나 부분 회전 BC에 남는
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stabilization의 좌표 불변성을 새로 주장하지 않는다. 같은 kd를 유지한 단순 tensor
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변환이면 complete K도 congruent하지만 별도 geometry에서 kd를 재선정한 경우와 다르다.
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기존 stabilization 의미를 유지하는 한계이며 coefficient를 바꾸지 않는다.
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Rotation 후 이전 global component BC를 그대로 두고 같은 문제라고 주장하거나
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새 MPC 입력 기능을 추가하지 않는다.
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모든 density를 동일 `c_rho>0`로 바꾸고 geometry/material stiffness/BC를 유지하면
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\[
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M_C'=c_\rho M_C,\quad M_L'=c_\rho M_L,\quad
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||||
\lambda_i'=\lambda_i/c_\rho,\quad
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||||
\Phi'=\Phi Q/\sqrt{c_\rho}. \tag{V5}
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\]
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단일 simple eigenvalue에서는 Q가 sign이고 repeated group에서는 orthogonal mixing이다.
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Eigenvalue scaling error는 `|c_rho lambda_i'-lambda_i|/s`로 측정한다
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(`s`는 baseline E6 operator time scale). Group vector 비교는
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`U=L^T P^T C^T D^-1 Phi`, `U'=L^T P^T C^T D^-1(sqrt(c_rho) Phi')`로 정의한
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projector 차이 `||UU^T-U'U'^T||F/sqrt(2r)`를 사용한다. r은 group dimension이다.
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Dense projector를 구성하지 않고 orthonormal U/U'의 cross-Gram으로 같은 norm을 계산할
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수 있다. Arbitrary clustered-but-distinct vectors를 회전하여 다른 eigenpairs로 만들지 않는다.
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## V6. Lowest N, cluster, near-zero와 오류 판정 소유권
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E6 count/solve history는 각 `(a,b)`, prefix empty evidence, status, count, m0,
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returned m, loop/epsout, bounds source와 final selected ranks를 보존한다.
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모든 returned pair에 interval separation을 검사하고 requested N개만 검사하지 않는다.
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Near-zero/negative 분류 scale은 `s` 또는 그와 동등한 E6 operator scale이며 reference
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최소값이나 arbitrary absolute frequency가 아니다. Raw lambda는 바꾸지 않는다.
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NR가 구현 전에 결정해야 할 항목은 다음과 같다.
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| 대상 | 수치값/필수 검사 소유권과 필요한 scale |
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| --- | --- |
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| Matrix symmetry, moment/oracle/centroid/M9 | V1/V2의 same-unit norm, total mass 및 `m ell`; roundoff/독립 적분 오차 분리 |
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| Null/orthogonal basis, KZ/MZ, mass conditioning | M8/E2 analytic rank, V2 및 작은 positive block condition; near-null 삭제 금지 |
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| Residual, Gram, energy, rigid modes | V1~V4, V5 K-action; machine precision·차원·conditioning 근거 |
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| Near-zero/negative/cluster 분류 | `|lambda|/s`, pairwise `|lambda_i-lambda_j|/s`; raw value 보존 |
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| FEAST control | Contour points/precision exponent/refinement bound, finite count/endpoint/solve retry budget |
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| Endpoint safety | Operator scale와 ULP, count monotonicity, enclosing total n, solve/count 및 full-rank Gram |
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| Independent test portfolio | 평판 M10, warped/director-varying M5~M9, 비축정렬/부분 BC/E5 오류 case, FEAST known spectra, density/rigid/좌표 tests |
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| External reference | 원본 input+TXT Value, mode/frame identity와 singleton 여부, common family 및 blocking 판정 |
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Small independent pencil은 손으로 대각화 가능한 값을 사용하고 동일 production
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mass/reduction/eigensolver를 기대값 계산에 호출하지 않는다. API wrapper의 injected status
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검사와 실제 FEAST runtime known-spectrum 검사는 모두 필요하다. Size1, N=n, repeated
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group>N, tight cluster, zero/negative, empty interval, insufficient subspace, count collision,
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unresolved conditioning 및 allocation/index failure가 해당 공식 계약을 검증한다.
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Case의 구체적 목록·숫자는 NR가 정하고 Planning이 tests와 TDD steps에 연결한다.
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외부 비교는 지정 [원본 input](../../reference/shellNL-eigen-meshfine/shellNL-eigen-meshfine.inp)과
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[원본 TXT](../../reference/shellNL-eigen-meshfine/shellNL-eigen-meshfine%20eigenvalues.txt)의
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`Value`만 사용한다. `lambda [T^-2]`, source `Step-2`, mode 1..10이 의미적 대응이다.
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Frequency 재계산, mode shape correlation이나 다른 mass variant의 더 가까운 결과 선택으로
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이를 대체하지 않는다. Mode/frame은 NR/I/O가 common same-frame family 규칙에 맞춰
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정의하고 missing/extra/duplicate/nonfinite를 tolerance 전에 거부한다.
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Schema 경로/저장 field/public diagnostic 이름은 I/O owner의 계약이다.
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## V7. 실행 evidence와 남는 위험
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Formulation 단계에서는 승인 문서와 실제 source를 read-only로 대조하고 자체 수식을
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전개했다. 다음 입력은 변경하지 않았다: requirements/research, 관리문서, source/tests/build,
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Harness, 공통 tolerance 및 원본 reference. External solver, CMake/CTest, Harness, FEAST
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runtime, numerical reference comparison은 실행하지 않았다. 이 문서는 수치 통과 evidence가 아니다.
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`Get-Content`, scoped `rg`로 M4의 변환·stabilization과 공통 nodal frame 전달을 확인했다.
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한 scoped `rg` 호출은 존재하지 않는 `runtime_element_factory.cpp`와 PowerShell literal
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glob 경로 때문에 exit `1`이었다. `rg --files`/`rg -n ... src/fesa`로 실제
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`element_factory.cpp`, `shell_geometry.cpp`를 찾아 재조회했고 exit `0`이었다.
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||||
Intel parameter/API/status의 공식 문서를 2026-09-06 다시 열어 count 의미,
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endpoint/count failure와 m0 capacity를 확인했다(E7의 URL 및 research S05~S07).
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`Get-FileHash`는 exit `0`이며 원본 SHA-256은 upstream과 같다.
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Input: `913b1abc604e62bc5f995bf5523924e17ea03925102a7bd22d39226ba0ea7339`.
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TXT: `20d97ca3fd51f5b956f2c1ed7565557c68f74e61e41b913748515ef43a0f7f0b`.
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||||
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Owned 4개 문서를 `python -B -` read-only here-script(`pathlib`, `re`,
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||||
`urllib.parse.unquote`)로 정적 검사했다. Owner/Feature/revision, 26개 requirement
|
||||
coverage, 상대 링크 실재, trailing whitespace/final newline, display-math delimiter와
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||||
언어 혼입을 검사했다. Exit `0`, documents `4`, local links `38`, requirements `26`,
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||||
issues `0`이다. `git diff --check`도 exit `0`이며 Coordinator 소유 `coordination.md`의
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LF/CRLF warning만 출력되었다. 새 untracked owned 문서의 whitespace는 위 Python 검사로
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||||
별도 확인했다. `git status --short`에서 owned 4개와 타 owner coordination 변경을 구분했으며
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stage/commit 또는 타 owner 수정은 하지 않았다.
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잔여 위험은 매우 얇은 shell/거의 정렬된 부분 BC의 mass conditioning, geometry quadrature
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검사점 밖의 전역 injectivity 한계, floating-point FEAST count/endpoint와 repeated subspace,
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||||
count scratch 및 shifted factorization memory다. NR가 위 metric·수치 기준·case를 고정하고
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Implementation이 실제 설치 backend와 reference evidence를 제시해야 해소된다.
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@@ -0,0 +1,69 @@
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# MITC4 질량행렬과 FEAST 고유치 정식화
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- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
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- Owner: `formulation-agent`
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- Input contract revision: `r1`
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- 요청 outcome: `pass`; 다음 owner: `numerical-review-agent`.
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- 상태: 독립 numerical review 요청이며 자기 승인이나 workflow 전이가 아니다.
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필수 입력은 [FEATURED_AGENTS](FEATURED_AGENTS.md), [PRD](PRD.md), [ADR](ADR.md),
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||||
[requirements](requirements.md), [requirements evidence](requirements-evidence.md),
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||||
[research](research.md), [research evidence](research-evidence.md)이다.
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||||
[프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [프로젝트 PRD](../PRD.md), [ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md),
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||||
[공통 ADR](../ADR.md), [TOLERANCE](../TOLERANCE.md), [agent 계약](../SOLVER_AGENT_DESIGN.md),
|
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[문서 소유권](../FEATURE_DOCUMENTATION.md)을 적용했다.
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## 핵심 계약
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1. 기존 원형상 MITC4 운동학·강성·director·global 6 DOF 의미를 유지한다.
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Physical 3 translation/2 tangent rotation의 consistent mass와 구성 scalar moments를
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||||
같은 Jacobian으로 계산한다. Trilinear mapping의 mass integrand는 각 축 최대 4차이므로
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mass는 3×3×3 Gauss로 충분하며 곡면의 odd-thickness coupling을 유지한다.
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식과 단위·strong/weak form: [mass M1~M5](formulation-mass.md).
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||||
2. 계산된 consistent moment를 row-sum하여 global nodal 6×6 block lumped mass를 만든다.
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총 병진 질량·spatial centroid·할당된 thickness moments를 보존하고 drilling은 정확한 null이다.
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||||
일반 운동에너지 차이는 nonnegative Jensen identity로 명시한다.
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||||
보존/근사 범위와 독립 평판 oracle: [mass M6~M10](formulation-mass.md).
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3. 실제 homogeneous global constraints를 먼저 적용한다. Free space에 완전히 포함된
|
||||
director null만 분리한다. 기존 nodal stabilization에 의해 Kpz=0, Kzz>0임을 입증하여
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||||
finite spectrum을 nodal projection으로 보존하며 부분 BC에 남는 stabilization은 유지한다.
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||||
Sparse block whitening, rank 예외와 global 복원: [eigen E1~E5](formulation-eigen.md).
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||||
4. Actual FEAST mass와 모든 modal 검증은 derived lumped다. `.inp`의 N을 유지하고
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||||
finite enclosure·prefix count·cluster capacity·count/solve 일치와 독립 eigenpair 검증을
|
||||
결합한다. Endpoint/conditioning 한계를 count theorem으로 과장하지 않는다.
|
||||
Backend 경계와 bounded search, 상태 보존: [eigen E6~E8](formulation-eigen.md).
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## Requirement coverage
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아래 ID는 모두 `FEM-REQ-MITC4-EIGEN-` 접두사다. Requirements matrix의 acceptance 원본을
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복제하지 않으며 formulation의 기여와 다음 owner를 구분한다.
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| IDs | 정식화/검증 연결 | 후속 확인 |
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| `001`, `002`, `004` | mass M1~M4: 원형상, 기존 MITC4·director·재료·기하·단위 | NR, I/O |
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| `003` | mass M1/M5: 양의 일정 rho와 section별 연결 전제 | I/O semantic validation |
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| `005`, `006`, `026` | mass M5~M10, verification V2: consistent→lumped, coupling, positivity/null, 보존/근사 | NR independent oracle |
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| `007`, `008` | eigen E1~E5, verification V3: stable assembly, 실제 BC/null, finite spectrum 및 복원 | NR rank/conditioning |
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| `009`, `010`, `011`, `012` | eigen E6~E8, verification V6: 낮은 N, multiplicity, 실제 FEAST, 유한 실패 | NR numerical controls, real runtime |
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| `013`, `014`, `018` | verification V1~V5: lumped residual/Gram/energy/rigid/density/좌표, source/global 복원 | NR, Physics |
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| `015`, `016` | mass M2 및 eigen E1/E6: 무감쇠 단일 procedure·동차 BC·input N authority | I/O exact syntax/no-op/exclusion |
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| `017`, `019` | eigen E8: lambda/normalization 의미, source identity, candidate/final 보존 | I/O additive schema/failure |
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| `020`, `021`, `022` | verification V6: 지정 TXT Value-only, identity 사전검사/common tolerance | NR family, I/O mapping |
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| `023`, `024`, `025` | 기존 K 경로 유지 및 owned 수식/evidence 연결; 실행 결과는 주장하지 않음 | Planning TDD/MSVC/회귀, Physics/Release closure |
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## Evidence와 handoff
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실제 kernel의 PhysicalTransformation20/DrillingTransformation4와 kd 선택식,
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ElementFactory의 공통 nodal director 전달을 대조했다. 원본 두 reference의 SHA-256은
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requirements/research와 일치한다. 출처와 실제 read/hash 명령·미실행/위험은
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[verification V7](formulation-verification.md)에 있다.
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Source/reference/upstream을 편집하지 않았고 수치 실행 결과를 통과로 보고하지 않는다.
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현재 새 physics/scope/compatibility 선택이나 사용자 미결정은 없다.
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Numerical Review는 [verification V6](formulation-verification.md)의 dimensionless metric,
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zero branch, analytic rank와 finite algorithm을 독립 검토하여 threshold, FEAST control/budget,
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필수 benchmark 및 reference mode/frame family를 고정한다. I/O는 영속 schema를 정의한다.
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이번 formulation stage는 완결된 수학 계약을 NR에 인계하며, 실제 구현 진입에 필요한
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전체 계약 bundle은 NR의 수치 기준과 후속 I/O/planning 이후 완성된다.
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Count의 floating-point 한계, near-null conditioning, shifted sparse fill와 보수적 count
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scratch 비용은 아직 실제 runtime evidence가 필요하다. Release readiness를 주장하지 않는다.
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