docs: define covariant MITC4 stabilization formulation

docs/mitc4-shell-feast-eigen/formulation.md

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 - Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
 - Owner: `formulation-agent`
-- Input contract revision: `r1`
+- Input contract revision: `r2`
 - 요청 outcome: `pass`; 다음 owner: `numerical-review-agent`.
 - 상태: 독립 numerical review 요청이며 자기 승인이나 workflow 전이가 아니다.
 
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 ## 핵심 계약
 
-1. 기존 원형상 MITC4 운동학·강성·director·global 6 DOF 의미를 유지한다.
+1. 기존 원형상 MITC4 운동학·physical stiffness·director·global 6 DOF 의미를 유지한다.
    Physical 3 translation/2 tangent rotation의 consistent mass와 구성 scalar moments를
    같은 Jacobian으로 계산한다. Trilinear mapping의 mass integrand는 각 축 최대 4차이므로
    mass는 3×3×3 Gauss로 충분하며 곡면의 odd-thickness coupling을 유지한다.
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    일반 운동에너지 차이는 nonnegative Jensen identity로 명시한다.
    보존/근사 범위와 독립 평판 oracle: [mass M6~M10](formulation-mass.md).
 3. 실제 homogeneous global constraints를 먼저 적용한다. Free space에 완전히 포함된
-   director null만 분리한다. 기존 nodal stabilization에 의해 Kpz=0, Kzz>0임을 입증하여
+   director null만 분리한다. 개선된 nodal stabilization에서도 Kpz=0, Kzz>0임을 입증하여
    finite spectrum을 nodal projection으로 보존하며 부분 BC에 남는 stabilization은 유지한다.
    Sparse block whitening, rank 예외와 global 복원: [eigen E1~E5](formulation-eigen.md).
 4. Actual FEAST mass와 모든 modal 검증은 derived lumped다. `.inp`의 N을 유지하고
    finite enclosure·prefix count·cluster capacity·count/solve 일치와 독립 eigenpair 검증을
    결합한다. Endpoint/conditioning 한계를 count theorem으로 과장하지 않는다.
    Backend 경계와 bounded search, 상태 보존: [eigen E6~E8](formulation-eigen.md).
+5. 사용자 승인 r2의 numerical scale은 초기 physical K20의 여덟 접평면 회전 대각의
+   평균 `k_ref=sum_i tr(R_i)/8`, `k_d=10^-3 k_ref`로 고정한다. Zero diagonal을 포함한
+   전체 inventory를 사용하며 접평면 기저·전역 좌표에 불변이다. 선형/eigen의 nodal drill
+   map과 nonlinear의 objective potential·초기 고정 lifecycle은 각각 유지한다.
+   양의 inventory, 재계산 공변성, rigid modes, 반례의 exact target과 적용 경계는
+   [stabilization S1~S7](formulation-stabilization.md)에 있다.
 
 ## Requirement coverage
 
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 | IDs | 정식화/검증 연결 | 후속 확인 |
 | --- | --- | --- |
-| `001`, `002`, `004` | mass M1~M4: 원형상, 기존 MITC4·director·재료·기하·단위 | NR, I/O |
+| `001`, `002`, `004` | mass M1~M4, stabilization S1/S2: 원형상, physical kernel·director·재료·기하 보존, numerical scale 교체 | NR, I/O |
 | `003` | mass M1/M5: 양의 일정 rho와 section별 연결 전제 | I/O semantic validation |
 | `005`, `006`, `026` | mass M5~M10, verification V2: consistent→lumped, coupling, positivity/null, 보존/근사 | NR independent oracle |
-| `007`, `008` | eigen E1~E5, verification V3: stable assembly, 실제 BC/null, finite spectrum 및 복원 | NR rank/conditioning |
+| `007`, `008` | eigen E1~E5, stabilization S4, verification V3: 실제 BC 뒤 개선된 pencil 보존, stable assembly/복원 | NR rank/conditioning |
 | `009`, `010`, `011`, `012` | eigen E6~E8, verification V6: 낮은 N, multiplicity, 실제 FEAST, 유한 실패 | NR numerical controls, real runtime |
-| `013`, `014`, `018` | verification V1~V5: lumped residual/Gram/energy/rigid/density/좌표, source/global 복원 | NR, Physics |
+| `013`, `014`, `018` | verification V1~V5, stabilization S3/S6: lumped 검증과 complete K/지원 partial BC 재계산 공변성 | NR, Physics |
 | `015`, `016` | mass M2 및 eigen E1/E6: 무감쇠 단일 procedure·동차 BC·input N authority | I/O exact syntax/no-op/exclusion |
 | `017`, `019` | eigen E8: lambda/normalization 의미, source identity, candidate/final 보존 | I/O additive schema/failure |
 | `020`, `021`, `022` | verification V6: 지정 TXT Value-only, identity 사전검사/common tolerance | NR family, I/O mapping |
-| `023`, `024`, `025` | 기존 K 경로 유지 및 owned 수식/evidence 연결; 실행 결과는 주장하지 않음 | Planning TDD/MSVC/회귀, Physics/Release closure |
+| `023`, `024`, `025` | stabilization S5/S7, verification V8: 기존 linear/nonlinear scale 적용·correctness/reference 재검증 | Planning TDD/MSVC/회귀, Physics/Release closure |
+| `027` | stabilization S1~S7: 단일 공변 scale·positive/null/rigid 역할과 기존 고정식 대체 경계 | NR 독립 검토, Implementation/Physics |
 
 ## Evidence와 handoff
 
-실제 kernel의 PhysicalTransformation20/DrillingTransformation4와 kd 선택식,
-ElementFactory의 공통 nodal director 전달을 대조했다. 원본 두 reference의 SHA-256은
-requirements/research와 일치한다. 출처와 실제 read/hash 명령·미실행/위험은
-[verification V7](formulation-verification.md)에 있다.
+실제 linear의 kd 선정 및 nonlinear 생성 시 초기 계수 전달·저장 경로를 대조했다.
+r1의 mass M5~M10, FEAST E6~E8, full residual·transaction 수식과 NR의 독립 mass oracle
+근거를 영향 확인 후 보존한다. 원본 reference hash는 r1 관찰 이력이며 재조회하지 않았다.
+출처·명령·미실행은 [verification V7/V8](formulation-verification.md)에 있다.
 Source/reference/upstream을 편집하지 않았고 수치 실행 결과를 통과로 보고하지 않는다.
 
-현재 새 physics/scope/compatibility 선택이나 사용자 미결정은 없다.
+현재 새 physics/scope/compatibility 선택이나 사용자 미결정은 없다. r2 수식은 NR-MFE-001에
+대한 algebraic target을 제공하며 그 반례의 독립 해소 판정이나 runtime 통과를 주장하지 않는다.
 Numerical Review는 [verification V6](formulation-verification.md)의 dimensionless metric,
 zero branch, analytic rank와 finite algorithm을 독립 검토하여 threshold, FEAST control/budget,
 필수 benchmark 및 reference mode/frame family를 고정한다. I/O는 영속 schema를 정의한다.