docs: reset mitc4 formulation baseline
This commit is contained in:
NINI
@@ -0,0 +1,178 @@
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| MODE | Present | ABAQUS |
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| 1 | 1.67189 | 1.6736 |
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| 2 | 1.69982 | 1.7033 |
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| 3 | 2.01893 | 2.0198 |
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| 4 | 2.57052 | 2.5706 |
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| 5 | 3.30094 | 3.3003 |
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| 6 | 3.46471 | 3.4751 |
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| 7 | 4.2056 | 4.2041 |
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| 8 | 5.29042 | 5.2879 |
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| 9 | 6.47877 | 6.5154 |
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| 10 | 6.56839 | 6.5648 |
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## 3.3.2 Cylindrical Shell
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정적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 Fig. 22과 같은 원통형 쉘(cylindrical shell) 형상에 대해 정적 좌굴 해석을 수행하였다. 크기는 직경 0.3m, 길이 2m이고, 두께는 0.005m로 4노드 쉘 40x80 격자로 모델링 하였으며, 재료의 물성치는 탄성계수 71GPa, 푸아송 비는 0.3을 적용하였다. 경계 조건은 한 면은 XYZ방향의 변위를 구속하였고, 반대쪽 면은 XY방향의 변위를 구속하였으며, 하중은 YZ방향의 변위를 구속한 면에 X방향으로 총 40000N의 압축력을 가하였다.
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해석 결과 고유치는 Table. 8과 같으며, ABAQUS 해석 결과와 유사하게 나옴을 확인할 수 있다. 또한 고유치 벡터(eigenvector)로부터 확인할 수 있는 좌굴 형상 역시 ABAQUS와 유사함을 확인할 수 있다.(Table. 10)
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이 때 정적 좌굴 해석으로부터 나온 고유치를 식(2.83)에 대입하면, Table. 9와 같은 임계 좌굴 압력(critical buckling pressure)을 구할 수 있으며, 이론값[6]과 비교했을 때 유사한 결과가 나옴을 알 수 있고 더불어 ABAQUS 해석 결과보다 오차가 적음을 알 수 있다.
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| MODE | Present | ABAQUS |
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| 1 | 1204.05 | 1242.9 |
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| 3 | 1418.57 | 1442.7 |
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| 5 | 1502.83 | 1534.4 |
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| 7 | 1564.76 | 1626.3 |
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| 9 | 1616.48 | 1641.0 |
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| MODE | Pcr*109 [N/m2 ] (Present) | Pcr*109 [N/m2 ] (Analytical) | Pcr*109 [N/m2 ] (ABAQUS) |
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| 1 | 1.0220 | 0.9926 | 1.0550 |
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| 3 | 1.2041 | 1.1641 | 1.2246 |
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| 5 | 1.2756 | 1.1722 | 1.3024 |
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| 7 | 1.3282 | 1.2602 | 1.3804 |
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| 9 | 1.3721 | 1.2993 | 1.3929 |
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| MODE | Present | ABAQUS |
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| 1 | | |
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| 3 | | |
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| 5 | | |
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## 3.3.3 Stiffened Square Plate Shell
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정적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 Fig. 23과 같은 보강된 정사각형 평판 쉘(stiffened square plate shell) 형상에 대해 정적 좌굴 해석을 수행하였다. 평판은 가로 10m, 세로 10m, 두께 0.01m이고, 보강재(stiffener)는 가로 10m, 세로 1m, 두께 0.01m이며, 4노드 쉘 4000개 요소로 모델링 하였다. 재료의 물성치는 탄성계수 71GPa, 푸아송 비 0.3을 적용하였다. 경계 조건은 한 면은 XYZ방향의 변위를 구속하였고, 반대쪽 면은 XZ방향의 변위를 구속하였으며, 하중은 XZ방향의 변위를 구속한 면에 Y방향으로 총 80N의 압축력을 가하였다.
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해석 결과 고유치는 Table. 11과 같으며, ABAQUS 해석 결과와 유사하게 나옴을 확인할 수 있다. 또한 고유치 벡터(eigenvector)로부터 확인할 수 있는 좌굴 형상 역시 ABAQUS와 유사함을 확인할 수 있다. (Table. 12)
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| MODE | Present | ABAQUS |
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| 1 | 9640.01 | 9694.7 |
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| 2 | 9908.3 | 9965.8 |
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| 3 | 10106.5 | 10167. |
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| 4 | 10424 | 10483. |
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| 5 | 10476 | 10531. |
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| 6 | 10894.6 | 10970. |
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| 7 | 11054.2 | 11118. |
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| 8 | 11250 | 11307. |
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| 9 | 11357.8 | 11400. |
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| 10 | 11615.1 | 11657. |
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## 3.4 Dynamic Buckling Analysis
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### 3.4.1 Dynamic Buckling Analysis of Beam
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동적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 먼저 Fig. 24와 같은 보(beam) 형상에 대한 동적 좌굴 이론값과 유한요소해석 결과를 비교해 보았다. 보의 크기는 먼저 가로 800mm, 세로 30mm, 두께 3mm 이고, 요소는 4노드 쉘 요소 160x6격자를 사용하였다. 탄성계수(Young's modulus)는 68.9GPa이고, 프아송 비(Poisson's ration)는 0.33, 밀도는 2700kg/m³의 물성치를 주었다. 경계조건은 왼쪽 면은 XYZ방향의 변위를 구속하였고, 오른쪽 면은 YZ방향의 변위를 구속하였다. 하중은 식 (3.3)와 같은 시간에 따른 하중을 가하였으며, 이 때 동적 좌굴 해석을 위한 방정식은 식 (3.4)와 같다. 이 때 $P_0$ 는 정적 하중, $P_i$ 는 동적 하중의 크기, $\theta$ 는 가진 주파수(excitation frequency), $\beta$ 는 동적 매개변수(Dynamic parameter), K는 강성 행렬(stiffness matrix), $\mathbf{K}_g^{(s)}$ 는 동적 하중에 대한 기하 강성 행렬(geometric stiffness matrix), $\mathbf{K}_g^{(d)}$ 는 동적 하중에 대한 기하 강성 행렬, M은 질량 행렬(Mass matrix)을 의미하며, 고유치 해석(eigenvalue analysis)을 통해 가진 주파수를 구할 수 있다.
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P(t) = P_0 + P_t \beta \cos(\theta t) \tag{3.3}
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$$
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\left| \mathbf{K} + \mathbf{K}_{g}^{(s)} \pm \frac{\beta}{2} \mathbf{K}_{g}^{(d)} - \frac{\theta^{2}}{4} \mathbf{M} \right| = 0 \tag{3.4}
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$$
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Fig. 24와 같은 보 모델에 대해 유한요소해석을 이용한 고유치 해석 결과 고유진동수(natural frequency)는 10.7Hz이고, 임계좌굴하중(critical buckling loads) 71.73N으로 계산되었다. 그리고 동적 좌굴 해석을 수행하여 불안정 경계 영역(instability region)을 구하고, 이를 이론값과 비교한 결과 Fig. 25과 같이 나타낼 수 있으며, 유사한 결과가 나옴을 확인할 수 있다. 이 때 P 0 =0, 1 인 경우 이다. 그리고 Fig. 25에서 하중이 0일 때 구조물이 불안정 해지는 가진 주파수는 고유진동수의 두 배임을 확인 할 수 있으며, 동적 하중의 크기가 증가할수록 불안정 경계 영역이 넓어짐을 확인할 수 있다.
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## 3.4.2 Dynamic Buckling Analysis of Plate
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동적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 Fig. 26과 같은 판(plate) 형상에 대한 동적 좌굴 실험값과 유한요소해석 결과를 비교해 보았다. 판의 크기는 먼저 가로 1000mm, 세로 250mm, 두께 1mm 이고, 요소는 4노드 쉘 요소 100x25격자(mesh)를 사용하였다. 탄성계수(Young"s modulus)는 63.3GPa이고, 프아송 비(Poisson"s ration)는 0.33, 밀도는 2678.4kg/m 3 의 물성치를 주었다. 경계조건은 실험 모델을 바탕으로 한쪽 면은 양 끝 단의 50x50mm 2 영역을 고정 구속하였고, 반대쪽 면은 한쪽 끝 단의 50x50mm 2 영역을 XZ방향의 변위에 대해 구속하였다. 하중은 식 (3.3)와 같은 시간에 따른 하중을 가하였으며, 이 때 동적 좌굴 해석을 위한 방정식은 식 (3.4)와 같다.
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Fig. 26과 같은 판(plate) 형상에 대해 유한요소해석을 이용한 고유치 해석 결과 고유진동수(natural frequency)는 5.17Hz이고, 임계 좌굴 하중(critical buckling loads)는 49.6N으로 계산되었다. 그리고 동적 하중에 대한 동적 좌굴 해석을 수행하여 불안정 경계 영역(instability region)을 구한 결과 Fig. 27과 같은 결과를 얻을 수 있으며, 실험값과 유한요소해석 결과가 유사한 경향성을 보이는 것을 확인 할 수 있다. 이 때 실선이 유한요소해석 결과이고 사각형 모양의 점들이 실험결과를 나타낸다.[11]
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1954
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## 3.4.3 Dynamic Buckling Analysis of Stiffened Plate
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동적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 Fig. 28과 같은 보강된 판(stiffened plate) 형상에 대한 동적 좌굴 실험값과 유한요소해석 결과를 비교해 보았다. 판의 크기는 먼저 가로 1000mm, 세로 250mm, 두께 1mm 이고, 요소는 4노드 쉘 요소 100x25개를 사용하였다. 보강재는 가로 1000mm, 세로 10mm, 두께 1mm이고, 요소는 4노드 쉘 요소 100x1개를 사용하였다. 탄성계수(Young"s modulus)는 62.4GPa이고, 프아송 비(Poisson"s ration)는 0.33, 밀도는 2696.7kg/m 3 의 물성치를 주었다. 경계조건은 실험 모델을 바탕으로 한쪽 면은 양 끝 단의 50x50mm 2 영역을 고정 구속하였고, 반대쪽 면은 한쪽 끝 단의 50x50mm 2 영역을 XY방향의 변위에 대해 구속하였다. 하중은 식 (3.3)와 같은 시간에 따른 하중을 가하였으며, 이 때 동적 좌굴 해석을 위한 방정식은 식 (3.4)와 같다.
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동적 하중에 대한 동적 좌굴 해석을 수행하여 불안정 경계 영역(instability region)을 구한 결과 실험값과 유한요소해석 결과가 평판에 비해 다소 차이가 남을 볼 수 있다.(Fig. 29) 그 이유는 유한요소해석의 경우 모델이 "균질하다(homogeneous)"는 가정하에 해석이 이루어지지만
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실제 구조물의 경우 다양한 결함(imperfection)이 존재하므로 이러한 차이가 발생할 수 있다. 특히 보강된 판의 경우 일반 평판에 비해 보강재를 만드는 과정에서 구조물에 결함(imperfection)이 발생할 가능성이 높기 때문에 이러한 결과가 나타날 수 있다. 하지만 두 결과값에 대한 전체적인 경향성은 유사함을 알 수 있다. 또한 앞서 해석한 평판과보강된 평판을 비교해 보면 보강된 평판의 임계 좌굴 하중이 증가하고,불안정 경계 영역이 전체적으로 상승함을 알 수 있다.[11]
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# 4. 결 론
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동적 좌굴 현상은 구조물이 동적 압축 하중을 받을 때 발생하는 동적 불안정 현상으로서, 특히 큰 동적 압축 하중 환경하에 노출되어 있는 초음속 항공기나 탄도 미사일, 발사용 로켓과 지구 대기권 재돌입체 그리고 고속의 수중운동체 등을 설계할 때 반드시 고려되어야 하는 현상이다. 이에 본 연구에서는 동적 압축 하중을 받는 구조물의 동적 좌굴 해석을 위한 프로그램을 개발하였다.
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본 연구를 위해 MITC4 쉘 요소를 사용하여 3차원 쉘 구조물을 모델링 하였으며, 고유치 해석 시 필요한 기하 강성 행렬(Geometric stiffness matrix)을 구하기 위해 Total Lagrangian 방법을 사용하여 기하 비선형 해석을 구현하였다. 그리고 질량 행렬은 구조물을 유연하게 하기 위해서 집중 질량 행렬(Lumped mass matrix)을 사용하였다. 또한 진동 및 정적/동적 좌굴 해석 시 필요한 고유치 해석 솔버(Eigenvalue analysis solver)는 Block Laczos 방법을 사용한 "BLZPACK"이라는 오픈 소스(Open source)를 사용하여 해석 프로그램을 구현하였다.
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본 연구에서 개발한 해석 프로그램을 사용하여 선형/비선형 정적 해석과 진동 해석 그리고 정적 좌굴 해석을 수행하였고, 이를 이론값 및 상용유한요소해석 프로그램 해석 결과와 비교하여 프로그램의 타당성과 정확성을 검증하였다. 또한 보의 동적 좌굴 이론으로부터 구한 이론값과 평판 그리고 보강된 평판의 동적 좌굴 실험을 통해 구한 실험값을 유한요소해석 프로그램 결과와 비교하여 본 연구에서 개발한 동적 좌굴 해석 프로그램의 타당성을 검증하였다.
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본 연구에서 개발한 동적 좌굴 해석을 위한 유한요소해석 프로그램을 사용하여 구조물 설계 시 동적 좌굴 해석이 필요한 구조물에 대해 해석을 수행 할 수 있으며, 이를 통해 불안정 경계 영역을 예측하고 구조물의 안정화 방안을 모색할 수 있을 것으로 기대된다.
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## 참고문헌
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- [1] Eduardo N. Dvorkin and Klaus-Jurgen Bathe, "A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear analysis", Eng. Comput. , Vol. 1, No. 1, pp.77-88, 1984.
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||||
- [2] Robert D. Cook, David S. Malkus, Michael E. Plesha, Robert J. Witt, Concepts and application of finite element analysis. , John Wiley & Sons, 2001.
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||||
- [3] Thomas J.R. Hughes, The Finite Element Method : Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. , Prentice-Hall, 1987.
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- [4] O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, The Finite Element Method : Basic Formulation and Linear Problems. , McGraw-Hill, 1989.
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||||
- [5] O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, The Finite Element Method : Solid and Fluid Mechanics Dynamics and Non-linearity. , McGraw-Hill, 1991.
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- [6] M. Ruzzene, "Dynamic buckling of periodically stiffened shells : application to supercavitating vehicles", International Journal of Solids and Structures , Vol. 41, No.3-4, pp.1039-1059, 2004.
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||||
- [7] V. V. Bolotin, The Dynamic Stability of Elastic System. , Holden-Day, 1964.
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- [8] Leonard Meirovitch, Method of Analytical Dynamics. , McGraw-Hill, 1985.
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||||
- [9] Eduardo N. Dvorkin, "Nonlinear Analysis of Shells Using the MITC Formulation", Archives of Computational Methods in Engineering , Vol. 2, No. 2, pp.1-50, 1995.
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||||
- [10] J. Argyris, "An excursion into large rotations", Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Vol. 32, No. 1-3, pp.85-155, 1982.
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||||
- [11] Minho Chung, Hee Jun Lee, Woo-Bin Lim, Jin Yeon Cho, Wanil Byun, Seung Jo Kim and Sung-Han Park, "Experimental study on dynamic buckling phenomena for supercavitating underwater vehicle", International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering , submitted.
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#### 부 록
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#### 1. Strain/Stress Vector
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\text{Strain } \left\{ \mathbf{E} \right\} = \begin{cases} E_{\xi\xi} \\ E_{\eta\eta} \\ E_{\zeta\zeta} \\ 2E_{\eta\zeta} \\ 2E_{\xi\zeta} \\ 2E_{\xi\eta} \end{cases}, \qquad \text{Stress } \left\{ \mathbf{S} \right\} = \begin{cases} S_{\xi\xi} \\ S_{\eta\eta} \\ S_{\zeta\zeta} \\ 2S_{\eta\zeta} \\ 2S_{\zeta\zeta} \\ 2S_{\xi\eta} \end{cases}
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$$
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#### 2. Shape Function
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N_{1}(\xi,\eta) = \frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta), \qquad N_{2}(\xi,\eta) = \frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta)
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N_{3}(\xi,\eta) = \frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta), \qquad N_{4}(\xi,\eta) = \frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)
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$$
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### 3. Jacobian Matrix
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[J] = \begin{bmatrix} X_{,\xi} & Y_{,\xi} & Z_{,\xi} \\ X_{,\eta} & Y_{,\eta} & Z_{,\eta} \\ X_{,\varsigma} & Y_{,\varsigma} & Z_{,\varsigma} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial X}{\partial \xi} & \frac{\partial Y}{\partial \xi} & \frac{\partial Z}{\partial \xi} \\ \frac{\partial X}{\partial \eta} & \frac{\partial Y}{\partial \eta} & \frac{\partial Z}{\partial \eta} \\ \frac{\partial X}{\partial \zeta} & \frac{\partial Y}{\partial \zeta} & \frac{\partial Z}{\partial \zeta} \end{bmatrix} \\
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= \begin{bmatrix} \frac{\partial N_1}{\partial \xi} & \frac{\partial N_2}{\partial \xi} & \frac{\partial N_3}{\partial \xi} & \frac{\partial N_4}{\partial \xi} \\ \frac{\partial N_1}{\partial \eta} & \frac{\partial N_2}{\partial \eta} & \frac{\partial N_3}{\partial \eta} & \frac{\partial N_4}{\partial \eta} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \\ X_3 & Y_3 & Z_3 \\ X_4 & Y_4 & Z_4 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \varsigma & \frac{\partial N_1}{\partial \xi} t_1 & \varsigma & \frac{\partial N_2}{\partial \xi} t_2 & \varsigma & \frac{\partial N_3}{\partial \xi} t_3 & \varsigma & \frac{\partial N_4}{\partial \xi} t_4 \\ \varsigma & \frac{\partial N_1}{\partial \eta} t_1 & \varsigma & \frac{\partial N_2}{\partial \eta} t_2 & \varsigma & \frac{\partial N_3}{\partial \eta} t_3 & \varsigma & \frac{\partial N_4}{\partial \eta} t_4 \\ N_1 t_1 & N_2 t_2 & N_3 t_3 & N_4 t_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{Y}_1^n \\ \mathbf{Y}_2^n \\ \mathbf{Y}_3^n \\ \mathbf{Y}_4^n \end{bmatrix} \\
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= \begin{bmatrix} \mathbf{G}_1 \\ \mathbf{G}_2 \end{bmatrix}
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## 감사의 글
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이렇게 밤늦게 실험실에서 책상 앞에 앉아 있는 날도 얼마 남지 않았습니다. 이제는 졸업을 앞두고 논문의 마지막 장을 써 내려간다는 것이 실감나지 않고 아쉬운 마음이 크지만 다사다난했던 지난 2년의 시간들은 아마도 제 인생 중에 큰 전환점이었으며 귀중한 발판으로 삼으려 합니다.
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아직은 부족하지만 제가 이렇게 많은 발전과 함께 자그마한 결실을 맺고 졸업을 앞두게 되어 이 자리까지 도움을 주신 고마운 분들에게 감사의 글로써 졸업논문을 맺으려 합니다.
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먼저, 너무도 부족했던 저를 대학원 짧은 기간 동안에 이렇게 발전하도록 일일이 깨우쳐주시고 함께 고민해 주시며 아낌없이 지도해주신 조진연 교수님께 심심한 감사를 드립니다. 그리고 학부시절 공학도의 길을 제시해주시고 저에게 큰 힘이 되어주신 김기욱 교수님, 항상 항공과의 발전을 위해 헌신적으로 학생들을 지도해 주시는 김범수 교수님, 최동환 교수님, 최기영 교수님, 노태성 교수님, 이승수 교수님, 유창경 교수님께 감사와 존경을 전합니다.
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실험실에서 동고동락했던 민환이형, 민호, 순신이, 연철이, 재연이, 이제 대학원 생활을 시작하게 될 소영이, 우빈이 모두에게 고마운 마음을 전하며 모두들에게 앞으로도 좋은 일이 가득하길 바랍니다. 그리고 대학원에 입학하여 도움을 주신 장훈이형, 형수형, 영민이형, 규원이형에게도 감사의 뜻을 전합니다.
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초등학교 때부터 지금까지도 변치 않는 우정을 나누고 있는 동현이, 용덕이, 항상 자기자리에서 최선을 다하는 대학 친구들 상형이형, 재필이, 광규, 영민이에게도 감사의 뜻을 전합니다.
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그리고 저의 소중한 가족들에게 감사합니다. 어려운 여건에서도 항상 큰아들을 믿어주시고 노심초사 걱정해 주시며 뒷바라지 해주신 부모님의 은혜에 깊은 감사를 드립니다. 또한 멀리 있고 잘해주지도 못하는 오빠를 믿고 따라주는 동생 진아, 민희에게도 고마움을 전하며 항상 사랑으로 지켜봐 주고 힘이 되어준 저의 가장 소중한 친구이자 연인인 미연이에게 고마움을 전합니다.
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마지막으로 저를 믿어주시고 사랑해주신 많은 분들의 기대에 보답하도록 사회에 꼭 필요한 일꾼이 되며 항상 최선을 다하는 모습을 보여드림을 다짐하겠습니다.
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> 2011년 12월 이 희 준
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