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docs/hht-implicit-dynamics/ADR.md

@@ -33,7 +33,7 @@ Feature 범위·상태는 [PRD](PRD.md), 상세 acceptance intent는 [requiremen
 - 상태: `researched-input-interpretation`; FESA 정식화·전체 입력 지원 승인과 구별.
 - 날짜: 2026-09-22
 - Owner: 메인 assistant; 근거 수집은 research-agent.
-- 근거: [Research §3 및 S4–S7](research.md)의 공식 Abaqus 2025 공개 문서와 원본 INP 대조.
+- 근거: [Research §3 및 S4–S7](research.md#research)의 공식 Abaqus 2025 공개 문서와 원본 INP 대조.
 - 해석: 무접촉 기본 application은 TRANSIENT FIDELITY/HHT-TF이고 `alpha=-0.05`, `beta=0.275625`, `gamma=0.55`다. 명시 amplitude가 없는 집중하중은 STEP이며 첫 증분부터 전체 크기다. DIRECT는 이 모델에서 고정 시간간격이고, 기본 INITIAL 의미는 초기 가속도 계산이다.
 - 영향: 이 공개 의미는 CSV fitting으로 정하지 않으며 기본값을 정하기 위한 반복 사용자 질문도 필요하지 않다. FESA 최초 old-force history, `t0-/t0+`와 frame 0, mass-null 초기화는 명시적으로 정식화해야 한다. 공개 의미만으로 reference를 생성한 solver의 내부 초기화·관성 알고리즘을 확인했다고 주장하지 않는다.
 
@@ -49,7 +49,7 @@ Feature 범위·상태는 [PRD](PRD.md), 상세 acceptance intent는 [requiremen
 
 - 상태: `recommended-after-formulation-review`; 물리·구현 범위의 사용자 승인과 구별.
 - Owner: 메인 assistant; 수식 owner는 formulation-agent, 독립 검토는 numerical-review-agent.
-- 근거: [정식화](formulation.md), [관성 상세](formulation-inertia.md), [독립 검토](numerical-review.md), [Brüls–Arnold (2008) 원문 식 (5)–(8)](https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/27088/1/pa_BrulsArnold2008_TheGeneralizedAlphaSchemeAsALinearMultistepIntegrator.pdf).
+- 근거: [정식화](formulation.md), [관성 상세](formulation-inertia.md), [독립 검토](numerical-review.md#numerical-review), [Brüls–Arnold (2008) 원문 식 (5)–(8)](https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/27088/1/pa_BrulsArnold2008_TheGeneralizedAlphaSchemeAsALinearMultistepIntegrator.pdf).
 - 추천: `a`는 물리적 좌표 가속도, `A`는 Newmark에 쓰는 보조량으로 정의하고 `A_(n+1)=(1+alpha)a_(n+1)-alpha a_n`와 endpoint 동적 평형을 함께 푼다. `M(q)` 및 convective inertia의 정확한 미분을 접선에 포함한다.
 - 이유: 단순 current-mass 대입은 variable-mass 제조해에서 1차로 떨어졌다. 두 시점 질량의 가중은 회전하는 질량 영공간을 소실시킬 수 있다. 추천 후보는 제한된 variable-mass 및 moving-null 사례에서 2차 수렴을 보이고 일정 질량 HHT로 환원한다.
 - 영향: `A`를 physical acceleration으로 출력하지 않는다. 초기화는 전값 STEP force의 `0+` 동적 평형과 대수 일관성을 함께 만족하도록 제안한다. 원문 nonsingular-mass 수렴 결과를 실제 shell의 drilling DAE에 자동 적용하지 않으며 구현 후 별도 시간 수렴·관성·반력·에너지 검증이 필요하다.
@@ -68,7 +68,7 @@ Feature 범위·상태는 [PRD](PRD.md), 상세 acceptance intent는 [requiremen
 - 상태: `accepted-for-current-task`; 수치 검증 설계와 실제 solver 통과를 구별.
 - Owner: 메인 assistant; 독립 수치 기준·검증 설계는 numerical-review-agent, 추가 근거는 research-agent.
 - 승인 근거: 사용자의 “numerical research 단계도 진행하세요” 요청과 프로젝트의 독립 수치 검토 원칙.
-- 결정: [수치 기준](numerical-controls.md), [검증 사례](verification-cases.md), [추가 연구](numerical-research.md), [reference 비교 계약](reference-model.md)을 작성한다. User-selected consistent mass에 대해 Newton·초기 대수조건·질량 영공간·conditioning·관성 접선·시간수렴의 반증 가능한 기준을 정의한다.
+- 결정: [수치 기준](numerical-controls.md), [검증 사례](verification-cases.md), [추가 연구](research.md#numerical-research), [reference 비교 계약](reference-model.md)을 작성한다. User-selected consistent mass에 대해 Newton·초기 대수조건·질량 영공간·conditioning·관성 접선·시간수렴의 반증 가능한 기준을 정의한다.
 - 이유·영향: 외부 reference 공통 tolerance를 유지하면서 내부 계산 정확도와 별도의 물리 coverage를 검증한다. 제한된 수식 probe의 실행 결과를 전체 shell·구현·reference 검증으로 승계하지 않는다. I/O field binding과 실제 구현·build/test·reference 비교는 후속 작업이다.
 
 ## HHT-ADR-009 — I/O·구현·Physics Evaluation 수행
@@ -77,7 +77,7 @@ Feature 범위·상태는 [PRD](PRD.md), 상세 acceptance intent는 [requiremen
 - Owner: 메인 assistant; I/O 정의·구현·독립 physics review는 각 할당 담당자.
 - 승인 근거: 사용자의 “I/O definition, implementation, physics evaluation gate 모두 진행하세요” 및 후속 “깃에 커밋 하면서 진행하세요”.
 - 결정: HHT-ADR-006의 검토된 physical a/auxiliary A 분리, 0+ full STEP 초기화, HHT-ADR-007의 consistent mass를 실제 구현 대상으로 채택한다. 공개 입력은 [I/O 계약](io-contract.md)의 단일 NLGEOM shell DIRECT·기본 계수·zero 초기조건/고정 BC·constant force CLOAD subset이다. 별도 dynamic state와 dynamic-only HDF5 schema v1을 추가하고 기존 static/eigen 계약은 보존한다.
-- 영향: [구현 계획](implementation-plan.md)에 따라 MSVC Debug build/CTest, 독립 수치·물리 검증과 지정 원본 reference 비교를 수행한다. 확인된 문서·검증된 구현 묶음을 현 branch에서 순차 커밋한다. 외부 solver 실행·reference 보정·push/release는 포함하지 않는다. 실패·미실행 검증을 통과로 표시하지 않는다.
+- 영향: [구현 계획](README.md#재사용-handoff)에 따라 MSVC Debug build/CTest, 독립 수치·물리 검증과 지정 원본 reference 비교를 수행한다. 확인된 문서·검증된 구현 묶음을 현 branch에서 순차 커밋한다. 외부 solver 실행·reference 보정·push/release는 포함하지 않는다. 실패·미실행 검증을 통과로 표시하지 않는다.
 
 
 ## HHT-ADR-010 — Newton 시작 형상과 영변형 산술

docs/hht-implicit-dynamics/FEATURED_AGENTS.md

@@ -1,43 +1,22 @@
-# HHT Implicit Dynamics 작업 지침
+# hht-implicit-dynamics 문서·작업 지침
 
 - Feature ID: `hht-implicit-dynamics`
-- Owner: 메인 assistant
-- 목적: 지정 shell reference를 대상으로 HHT implicit 동적 해석의 요구사항·정식화·수치 검증 계약을 마련한다.
-- 현재 작업 범위: I/O definition·implementation·physics evaluation 전체 수행 및 검증 묶음별 Git commit.
-- 현재 상태와 유일한 checklist: [PRD](PRD.md#현재-checklist).
+- 문서 진입점·목적·사용법·Handoff: [README](README.md).
+- 현재 범위·checklist: [PRD](PRD.md); 결정·승인·대체 이력: [ADR](ADR.md).
+- 적용 범위: 해당 기능의 문서. 자동 로드되는 코드 영역 `AGENTS.md`가 아니다.
 
-기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [프로젝트 PRD](../PRD.md),
-[공통 ADR](../ADR.md#adr-028), [ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md),
-[TOLERANCE](../TOLERANCE.md), [Feature 문서 관리](../FEATURE_DOCUMENTATION.md).
+기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md),
+[Feature 문서 관리](../FEATURE_DOCUMENTATION.md), [공통 tolerance](../TOLERANCE.md).
 
-## 지역 지침
+## 보존할 계약과 인계
 
-- 기준 코드는 `dev` commit `23b37ca644563b51472654af3b22811f077f15f6`다. `hht-implicit-dynamics` worktree에서 구현·검증한다.
-- 사용자가 지정한 `reference/shellNL-dyn-meshfine`의 INP와 CSV를 그대로 조사한다. 원본 reference는 보존하고 FESA solver 구현·실행·비교를 수행한다. Reference 재생성·외부 solver 실행은 포함하지 않는다.
-- 요구사항은 관찰 가능한 동작과 검증 의도를, 연구는 일차 출처의 사실·계산·추론·남은 공백을 소유한다. 연구식을 승인된 구현 정식화로 취급하지 않는다.
-- 이전 논문 재현 실험의 drilling·질량·접선 변경과 dev 일관질량 eigen 진단은 이 기능의 물리 선택이나 구현 승인으로 이어지지 않는다.
-- 사용자가 [HHT-ADR-007](ADR.md)에서 consistent kinetic mass를 선택했다. 이번 HHT 구현 범위는 일관질량이며 lumped는 비교 연구·기존 eigen 회귀의 경계에서만 다룬다.
-- `NLGEOM=YES`, `DIRECT` 시간 의미와 전체 reference 이력을 보존한다. Abaqus 입력 subset 지원은 내부 요소·시간적분 구현 동등성 약속이 아니다.
-- 공통 tolerance와 shell U blocking / UR warning-only 분류를 유지한다. Eigen 전용 RMS 5% 예외를 동적 해석에 확대하지 않는다.
-- 미결정 물리 범위와 근거 부족을 명시하며 결과에 맞추어 alpha·질량·하중 이력을 변경하지 않는다. 공개 문헌으로 확정되는 입력 의미에는 불필요한 재승인 절차를 추가하지 않는다.
+수식·I/O·수치 기준의 원본은 README에서 연결한 전문 문서를 따른다. 기능을 재개할 때
+관련 계약과 실제 실행 revision·미해결 항목을 함께 읽는다. 과거 stage pass나 현재 문서
+정리를 solver 검증 통과로 계산하지 않는다. 요구사항·ADR ID와 승인 이력을 유지한다.
+메인은 PRD·ADR·진입점·문서 참조를 관리하고 전문 작업자는 할당한 본문과 관련 범위만 수정한다.
+기존 개인 설정·reference·다른 작업자의 변경을 보존하며 실패를 tolerance 완화로 숨기지 않는다.
+문서만 수정하면 정적 검토를 수행하고, 동작 변경에는 관련 검사와 필요한 독립 검토를 수행한다.
 
-## 문서 소유권
-
-[구현 계획](implementation-plan.md)은 메인 소유다. [I/O 계약](io-contract.md)은 io-definition-agent, 코드·시험은 메인이 지정한 input/inertia/state-output/procedure 소유권을 따른다. 최종 물리 평가는 독립 physics-evaluation-agent가 맡는다.
-
-| 문서 | Owner | 책임 |
-| --- | --- | --- |
-| [FEATURED_AGENTS.md](FEATURED_AGENTS.md) | 메인 assistant | 지역 지침과 할당 |
-| [PRD.md](PRD.md) | 메인 assistant | 요청·범위·현재 checklist·현행 코드와의 차이 |
-| [ADR.md](ADR.md) | 메인 assistant | 결정·승인 근거와 미결정 경계 |
-| [requirements.md](requirements.md) | requirement-agent | 원자적 요구사항·acceptance intent·reference inventory |
-| [research.md](research.md), [numerical-research.md](numerical-research.md) | research-agent | HHT·공개 입력 의미·수치 근거·검증 후보·근거 공백 |
-| [formulation.md](formulation.md), [formulation-inertia.md](formulation-inertia.md) | formulation-agent | HHT 시간적분·초기화·shell 관성·잔차와 접선·검증 불변식 |
-| [numerical-review.md](numerical-review.md), [numerical-review-probes.md](numerical-review-probes.md) | numerical-review-agent | 정식화와 수치 계약의 독립 검토·반례·재현 가능한 수식 검산 |
-| [numerical-controls.md](numerical-controls.md), [verification-cases.md](verification-cases.md) | numerical-review-agent | 내부 수치 기준과 반증 가능한 검증 사례 |
-| [reference-model.md](reference-model.md) | 메인 assistant; numerical-review-agent 검토 | 원본 inventory·시간·identity·수치 비교 계약; I/O binding은 후속 |
-| [implementation-numerical-review.md](implementation-numerical-review.md) | numerical-review-agent | 구현 독립 검토·C08 실패 반례·복구 후보 검토 |
-| [physics-evaluation.md](physics-evaluation.md) | physics-evaluation-agent | 실제 HDF5·독립 적분·reference와 물리 coverage 평가 |
-| [formulation-acceleration-recovery.md](formulation-acceleration-recovery.md) | formulation-agent | HHT-ADR-011의 별도 가속도 복구 후보; 채택 전 정식화·불변식·한계 |
-
-담당자는 할당 문서만 수정하고 peer를 재위임하지 않는다. 현재 I/O·구현·solver 물리 검증을 수행하며 빈 보고서는 생성하지 않는다. 수식 검산은 solver build/test나 지정 reference의 동적 해석 통과 evidence와 구별한다.
+Consistent kinetic mass, 물리적 a/보조 A, generalized/spatial moment, full residual을 구분한다.
+C08a/C08b 실패·C04a SKIP과 가속도 복구 후보의 미채택을 유지한다. 원본 변위 비교 PASS와
+굽힘 단면력 계수 수정은 실제 shell 시간수렴 또는 동해석 전체 완료를 뜻하지 않는다.

docs/hht-implicit-dynamics/PRD.md

@@ -7,9 +7,9 @@
 
 ## 사용자 요청과 범위
 
-사용자는 HHT implicit 적분법을 사용한 dynamic 해석 구현을 준비하기 위해 requirement/research, formulation, numerical research를 차례로 요청했고, 검증 모델로 `reference/shellNL-dyn-meshfine`을 지정했다. 현재 산출물은 요구사항·근거·정식화·독립 수치 검토와 검증 계약이다. 사용자의 후속 I/O definition·implementation·physics evaluation 전체 진행 요청에 따라 [I/O 계약](io-contract.md)과 [구현 계획](implementation-plan.md)을 작성하고 실제 solver 구현·검증을 진행한다.
+사용자는 HHT implicit 적분법을 사용한 dynamic 해석 구현을 준비하기 위해 requirement/research, formulation, numerical research를 차례로 요청했고, 검증 모델로 `reference/shellNL-dyn-meshfine`을 지정했다. 현재 산출물은 요구사항·근거·정식화·독립 수치 검토와 검증 계약이다. 사용자의 후속 I/O definition·implementation·physics evaluation 전체 진행 요청에 따라 [I/O 계약](io-contract.md)과 [구현 계획](README.md#재사용-handoff)을 작성하고 실제 solver 구현·검증을 진행한다.
 
-[시간적분 정식화](formulation.md)와 [shell 관성 상세](formulation-inertia.md)의 후속으로 [독립 수치 검토](numerical-review.md), [수치 기준](numerical-controls.md), [검증 사례](verification-cases.md), [추가 연구](numerical-research.md)를 작성한다. 사용자가 **consistent kinetic mass**를 선택했으며 이번 HHT 구현 범위는 일관질량이다. 후속 전체 gate 진행 요청에 따른 구현 대상·공개 subset·출력 schema는 [HHT-ADR-009](ADR.md)에 기록한다.
+[시간적분 정식화](formulation.md)와 [shell 관성 상세](formulation-inertia.md)의 후속으로 [독립 수치 검토](numerical-review.md#numerical-review), [수치 기준](numerical-controls.md), [검증 사례](verification-cases.md), [추가 연구](research.md#numerical-research)를 작성한다. 사용자가 **consistent kinetic mass**를 선택했으며 이번 HHT 구현 범위는 일관질량이다. 후속 전체 gate 진행 요청에 따른 구현 대상·공개 subset·출력 schema는 [HHT-ADR-009](ADR.md)에 기록한다.
 
 최소 구현 목표 후보는 기존 FESA-MITC4 shell의 선형 탄성 재료·기하비선형 동적 해석이다. 단일 step의 `*Dynamic,direct`, 초기 정지 상태, 고정 외곽 경계와 집중하중에 필요한 지원을 우선 정의한다. 질량·회전 관성·HHT 생략값·공식 동적 결과 범위는 근거를 확인하여 후속 정식화와 연결한다. 임의 amplitude, 시간변화 경계, 물리적 damping, contact, 소성, explicit, 다중 step/restart 또는 다른 요소의 dynamics는 이번 요청에서 지원을 약속하지 않는다.
 
@@ -45,7 +45,7 @@ Density 허용과 HHT update 식 추가만으로 기능이 완성되는 것은
 
 결정 기록은 [ADR](ADR.md), 결정 항목의 원본은 [requirements의 HHT-OPEN-001–006](requirements.md#범위-경계와-미결정-사항)이다. 질량 종류는 사용자 결정으로 확정했다. 수식과 수치 검증 계약을 연결하되 공개 parameter·결과 범위 및 I/O binding은 후속으로 확정한다. 문서 검토만으로 구현이 검증되었다고 표시하지 않는다.
 
-이번 [Research](research.md)에서 확인한 공개 입력 의미는 무접촉 기본 HHT-TF 계수 `alpha=-0.05`, `beta=0.275625`, `gamma=0.55`, amplitude 생략 시 STEP 하중, DIRECT 고정 증분 및 기본 초기 가속도 계산이다. 최초 HHT force history와 초기 frame의 결합, FESA 질량·유한회전 관성 및 공개 결과 범위는 여전히 후속 계약이 필요하다. 원 HHT의 표준 결합 계수 범위와 vendor가 허용하는 전체 parameter 범위를 혼동하지 않는다.
+이번 [Research](research.md#research)에서 확인한 공개 입력 의미는 무접촉 기본 HHT-TF 계수 `alpha=-0.05`, `beta=0.275625`, `gamma=0.55`, amplitude 생략 시 STEP 하중, DIRECT 고정 증분 및 기본 초기 가속도 계산이다. 최초 HHT force history와 초기 frame의 결합, FESA 질량·유한회전 관성 및 공개 결과 범위는 여전히 후속 계약이 필요하다. 원 HHT의 표준 결합 계수 범위와 vendor가 허용하는 전체 parameter 범위를 혼동하지 않는다.
 
 Reference의 `max|U3|/thickness≈9.84e-5`, 기존 동일 mesh eigen reference에 대한 `dt/T1=7.4567`은 작은 응답과 성긴 시간간격을 보여준다. 이 CSV와의 일치만으로 큰 회전 관성, V/A 또는 시간 정확도를 검증할 수 없다. 단위계는 입력의 일관된 단위를 따르며 SI로 단정하지 않는다.
 
@@ -53,7 +53,7 @@ Reference의 `max|U3|/thickness≈9.84e-5`, 기존 동일 mesh eigen reference
 
 [정식화](formulation.md)의 추천 후보는 유한회전 kinetic energy의 정확한 관성력과 물리적 가속도 `a` / 적분용 보조 가속도 `A`의 분리다. `A_(n+1)=(1+alpha)a_(n+1)-alpha a_n`를 Newmark update에 사용하고 endpoint 물리 평형을 푼다. 일정 질량에서는 기존 HHT 식으로 환원한다. 비선형 내력은 현행 dev의 objective drilling을 포함한 에너지 미분을 보존하며 이전 논문 실험의 접선·drilling 변경을 도입하지 않는다.
 
-[독립 수식 검토](numerical-review.md)와 [재현 가능한 검산](numerical-review-probes.md)은 일정 질량 HHT 식에 `M(q)`만 대입하면 일반적으로 1차 오차가 남음을 확인했다. 추천 후보는 smooth variable-mass 제조해와 영질량 방향이 회전하는 제한된 모델에서 U/V/물리적 a의 2차 수렴을 보였다. 메인도 공개된 재현 코드를 실행하여 표의 결과를 확인했다. 이는 실제 MITC4 shell의 동적 해석 또는 보편적인 singular-DAE 증명의 대체물이 아니다.
+[독립 수식 검토](numerical-review.md#numerical-review)와 [재현 가능한 검산](numerical-review.md#numerical-review-probes)은 일정 질량 HHT 식에 `M(q)`만 대입하면 일반적으로 1차 오차가 남음을 확인했다. 추천 후보는 smooth variable-mass 제조해와 영질량 방향이 회전하는 제한된 모델에서 U/V/물리적 a의 2차 수렴을 보였다. 메인도 공개된 재현 코드를 실행하여 표의 결과를 확인했다. 이는 실제 MITC4 shell의 동적 해석 또는 보편적인 singular-DAE 증명의 대체물이 아니다.
 
 | 기존 open 항목 | 이번 정식화에서 구체화한 후보 | 남은 결정/검증 |
 | --- | --- | --- |
@@ -72,7 +72,7 @@ Reference의 `max|U3|/thickness≈9.84e-5`, 기존 동일 mesh eigen reference
 
 [검증 사례 C01–C12](verification-cases.md)는 oscillator·STEP 초기화·variable mass·moving null, 운동에너지 적분·관성 접선, 반력·에너지·실제 shell 유한회전, 실패 보존·결정론·전체 reference 이력을 포함한다. D3 회전 미분에는 독립 block-exponential oracle를 지정했다. 문서 gate 당시 신규 solver 사례는 모두 NOT RUN이었다. 현재 실행 결과는 아래 checklist와 [독립 수치 검토](implementation-numerical-review.md), [물리 평가](physics-evaluation.md)에 구분한다.
 
-추가 full Cartesian moving-null 수식 probe는 전체 시점 최대 오차에서 q/v/물리적 a의 최종 refinement 차수 `1.99985/1.99992/1.99834`를 보였고 독립 reviewer가 재현했다. 이는 기하학적 normalization이나 각도 축약 없이 계산한 제한된 수식 evidence다. 전체 N1–N7 구현 검사와 실제 shell·reference 통과를 의미하지 않는다. 자세한 실행 범위는 [수식 검산](numerical-review-probes.md)에 기록한다.
+추가 full Cartesian moving-null 수식 probe는 전체 시점 최대 오차에서 q/v/물리적 a의 최종 refinement 차수 `1.99985/1.99992/1.99834`를 보였고 독립 reviewer가 재현했다. 이는 기하학적 normalization이나 각도 축약 없이 계산한 제한된 수식 evidence다. 전체 N1–N7 구현 검사와 실제 shell·reference 통과를 의미하지 않는다. 자세한 실행 범위는 [수식 검산](numerical-review.md#numerical-review-probes)에 기록한다.
 
 ## 현재 checklist
 

docs/hht-implicit-dynamics/README.md

@@ -0,0 +1,36 @@
+# HHT implicit dynamics
+
+## 목적과 현재 상태
+
+Consistent kinetic mass, 정확한 유한회전 관성·convective 항, HHT 잔차·접선·증분 state와
+HDF5를 구현했다. 원본 U의101-frame 비교 PASS와 UR 경고200건 기록이 있지만 실제 shell의
+C08a/C08b 시간수렴 실패는 미해결이다. 구현됨과 기능 검증 완료를 구분한다.
+
+## 계약과 사용법
+
+- [PRD](PRD.md)·[ADR](ADR.md)·[요구사항](requirements.md): 범위·미해결·현재 checklist.
+- [정식화](formulation.md), [유한회전 관성](formulation-inertia.md),
+  [가속도 복구 후보](formulation-acceleration-recovery.md): 채택식과 미채택 후보 구분.
+- [I/O](io-contract.md), [reference 계약](reference-model.md),
+  [전체 변위 비교표](displacement-comparison-tables.md).
+- [수치 기준](numerical-controls.md), [검증 사례](verification-cases.md),
+  [수학 검산](numerical-review.md#numerical-review), [연구](research.md#research).
+- [구현 검토·실패·수정](implementation-numerical-review.md), [물리 평가](physics-evaluation.md).
+
+환경·명령은 [operations](../operations.md)를 따른다. I/O의 지원 `*DYNAMIC, DIRECT` subset과 고정 HHT 계수,
+출력의 물리적 가속도와 보조 acceleration 구분을 확인한다.
+
+## 재사용 Handoff
+
+Eigen derived lumped mass와 HHT consistent kinetic mass는 목적이 다르다. Total rotation-vector
+chart의 generalized moment와 spatial moment도 다르다. Physical a와 algorithmic A를 바꾸어
+쓰지 않으며 moving-null 제약과 동적·대수 초기평형을 유지한다. 같은 trial에서 full residual,
+inertia와 tangent를 계산하고 실패 candidate가 accepted history를 변경하지 않게 한다.
+
+## 실패·시행착오·다음 작업
+
+C08 두 실패는 열해석 전후 전체617개 회귀에서도 baseline metric과 동일했다.
+가속도 복구 후보는 아직 채택하지 않았다. C09–C11의 잔여 coverage와 전체 physics 완료도
+남아 있다. 굽힘 단면력의 두께 계수 `M=t^3 C kappa/12` 수정은14 focused tests 및 원본
+HDF5 대조의 별도 evidence이며 동해석 전체의 완료를 뜻하지 않는다.
+과거475 PASS/1 SKIP의 제외 실행과 최신 전체 회귀를 합치지 않는다.

docs/hht-implicit-dynamics/formulation-inertia.md

@@ -81,7 +81,7 @@ C_{ij}^{(1)}B_i^T&C_{ij}^{(2)}B_i^TB_j
 
 `rho`의 차원은 `mass/length³`, `(C0,C1,C2)` 및 `(m,s,j)`의 차원은 `(mass,mass·length,mass·length²)`다. `M_uu/M_uphi/M_phiphi`는 각각 같은 세 차원, residual translation은 force, rotation은 force·length이다. `v_u,a_u`는 `length/time,length/time²`; `v_phi,a_phi,omega,omega_dot`는 `1/time,1/time²`. 각도 단위는 rad이며 SI를 추정하지 않는다.
 
-Moments는 현행 [eigen2 mass 계약 M2–M3](../mitc4-shell-feast-eigen2/formulation-mass-stabilization.md#m2-consistent-scalar-moments와-적분)의 `3×3×3` Gauss–Legendre를 기준으로 하며, 그 scalar-moment lumping은 비교식에만 사용한다. 긴 유도는 선행 [mass 계약 M3](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation-mass.md#m3-consistent-matrix와-충분한-quadrature)에 있다. 점은 `−sqrt(3/5),0,+sqrt(3/5)`, weight는 `5/9,8/9,5/9`, 순서는 증가하는 `xi→eta→zeta`다. Geometry가 bilinear degenerated shell이고 rho/t가 일정할 때 `Ni Nj z^k J0`의 축별 차수는 최대 4여서 이 moment 적분은 정확하다. `B_i`와 그 도함수는 nodal 값이므로 현재 관성과 tangent도 같은 moment를 사용한다.
+Moments는 현행 [eigen2 mass 계약 M2–M3](../mitc4-shell-feast-eigen2/formulation-mass-stabilization.md#m2-consistent-scalar-moments와-적분)의 `3×3×3` Gauss–Legendre를 기준으로 하며, 그 scalar-moment lumping은 비교식에만 사용한다. 긴 유도는 선행 [mass 계약 M3](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation.md#formulation-mass--m3-consistent-matrix와-충분한-quadrature)에 있다. 점은 `−sqrt(3/5),0,+sqrt(3/5)`, weight는 `5/9,8/9,5/9`, 순서는 증가하는 `xi→eta→zeta`다. Geometry가 bilinear degenerated shell이고 rho/t가 일정할 때 `Ni Nj z^k J0`의 축별 차수는 최대 4여서 이 moment 적분은 정확하다. `B_i`와 그 도함수는 nodal 값이므로 현재 관성과 tangent도 같은 moment를 사용한다.
 
 모든 27 mass 점에서 finite positive `J0`와 기존 geometry predicate를 확인한다. Current trial도 내력 8점·tying·center·recovery와 추가 inertia 평가점에서 허용 geometry를 만족해야 한다. `abs(J)`, 점 생략, 강제 평면화는 없다. 물리 내력·물리 에너지와 section recovery는 기존 `2×2×2` 적분, drill potential은 기존 element-level 합을 보존한다.
 
@@ -196,7 +196,7 @@ v_{n+1}-v_n=h\{-\alpha(1-\gamma)a_{n-1}
 
 세 coefficient 합은 1, `a_(n−1),a_n,a_(n+1)`의 시간 offset `−1,0,+1`에 대한 first moment는 `alpha+gamma=1/2`다. 여기에는 `Mdot` 잔여항이 없다. Endpoint equation이 nonsingular mass의 smooth `a=f(q,v,t)`를 정의하면 q/v의 2차 일관성과 안정성 검토를 할 수 있고 physical a도 같은 해의 정확도를 따른다. 이는 nonlinear mass의 smooth manufactured verification을 요구하는 근거이며 독립 수치 검토를 대신하지 않는다.
 
-문헌의 nonsingular mechanical solve 및 regular index-3 조건과 달리 본 shell은 drilling direction에서 singular `M`을 가진다. §4의 `psi_qN` regularity와 constant rank의 실제 지원 범위, redundant full-coordinate 구현에서의 hidden-constraint drift·q/v/a 정확도는 **구현 후 필수 검증 항목**이다. 이 조건으로 reduced smooth dynamics를 설명할 수 있는 범위를 확인하되 모든 shell에 대한 보편 정리를 요구하지 않는다. [독립 검토](numerical-review.md)는 현 수식 후보를 대조했고, [독립 검산](numerical-review-probes.md)의 smooth variable-mass / moving-null 예제는 이를 지지한다. 이 제한된 evidence가 실제 shell/drilling 검증을 대신하지 않으며 유한회전 지원 범위를 축소하는 근거도 아니다.
+문헌의 nonsingular mechanical solve 및 regular index-3 조건과 달리 본 shell은 drilling direction에서 singular `M`을 가진다. §4의 `psi_qN` regularity와 constant rank의 실제 지원 범위, redundant full-coordinate 구현에서의 hidden-constraint drift·q/v/a 정확도는 **구현 후 필수 검증 항목**이다. 이 조건으로 reduced smooth dynamics를 설명할 수 있는 범위를 확인하되 모든 shell에 대한 보편 정리를 요구하지 않는다. [독립 검토](numerical-review.md#numerical-review)는 현 수식 후보를 대조했고, [독립 검산](numerical-review.md#numerical-review-probes)의 smooth variable-mass / moving-null 예제는 이를 지지한다. 이 제한된 evidence가 실제 shell/drilling 검증을 대신하지 않으며 유한회전 지원 범위를 축소하는 근거도 아니다.
 
 ### 5.3 다른 후보와 채택하지 않은 이유
 

docs/hht-implicit-dynamics/formulation.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 - 상태: `independently-reviewed-candidate; physics-and-validation-pending`.
 - Owner: `formulation-agent`, 2026-09-22. 문서 gate 산출물이며 구현 승인이나 수치 검증 통과가 아니다.
-- 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [제품 PRD](../PRD.md), [공통 ADR](../ADR.md#adr-028), [Feature PRD](PRD.md), [요구사항](requirements.md), [연구](research.md).
+- 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [제품 PRD](../PRD.md), [공통 ADR](../ADR.md#adr-028), [Feature PRD](PRD.md), [요구사항](requirements.md), [연구](research.md#research).
 - 관성의 전개식·초기 일관성·정확도 근거는 [formulation-inertia](formulation-inertia.md)가 소유한다. 영속 schema, C++ 저장 구조와 tolerance는 정의하지 않는다.
 
 ## 1. 결론과 적용 범위
@@ -117,7 +117,7 @@ T_L=\frac12\sum_i\left(m_i|v_{ui}|^2+2s_i v_{ui}\cdot B_iv_{\phi i}
 \beta=\frac14(1-\alpha)^2.
 \]
 
-기본값은 `alpha=−0.05`, `beta=0.275625`, `gamma=0.55`다. [공개 기본값 근거](research.md#3-reference-입력의-공개-의미)와 [Sandia의 결합계수](https://www.sandia.gov/files/sierra/SM_Users_5_20/main/implicit/integration.html)를 따른다. `alpha=0`은 평균가속도 Newmark다. 이 범위는 일반 유한회전 문제의 무조건 안정성이나 큰 시간간격의 정확도를 보증하지 않는다. 별도 `beta/gamma` 입력을 승인한 의미도 아니다.
+기본값은 `alpha=−0.05`, `beta=0.275625`, `gamma=0.55`다. [공개 기본값 근거](research.md#research--3-reference-입력의-공개-의미)와 [Sandia의 결합계수](https://www.sandia.gov/files/sierra/SM_Users_5_20/main/implicit/integration.html)를 따른다. `alpha=0`은 평균가속도 Newmark다. 이 범위는 일반 유한회전 문제의 무조건 안정성이나 큰 시간간격의 정확도를 보증하지 않는다. 별도 `beta/gamma` 입력을 승인한 의미도 아니다.
 
 **FESA 초기화 후보 계약:** frame 0은 `t=0+`, `q_0=v_0=0`, 전값 `F_0=F*`다. `M_ff(q_0)a_f0=F_f0−f_int,f(q_0)`와 [mass-null 일관성](formulation-inertia.md#4-mass-null과-초기-일관성)을 함께 풀어 `a_0`를 구한다. `A_0=a_0`, `g_0=f_int(q_0)−F_0`를 정의한다. `g_0=0` 또는 `a_0=0`을 임의 대입하지 않는다. 이는 공개 STEP 의미에 맞춘 FESA 계약 제안이며 Abaqus의 숨은 첫 history 생성 절차를 확인한 주장이 아니다.
 
@@ -210,6 +210,6 @@ W_{0\to n}=F^{\star T}(q_n-q_0),\quad
 | 구현 lifecycle | 동일 state tangent, 실패 rollback, time/frame 순서, deterministic assembly와 반복 결과 |
 | 외부 reference | 지정 원본 101 frames × 9 nodes, frame/instance/node/component의 exact mapping; U blocking / UR warning-only 및 공통 TOLERANCE. V/A/energy correctness는 해당 CSV에 coverage 없음 |
 
-수식 후보의 [독립 검토](numerical-review.md)는 완료되었으며 표시된 수식에서 새 오류는 발견되지 않았다. 질량 선택은 consistent로 확정되었다. 구현 전 남은 계약은 (1) HHT 확장·초기화의 FESA 채택과 나머지 physics 범위, (2) initial algebraic regularity와 trial 실패 판정의 수치 기준, (3) 공식 output 의미의 공개 범위/I/O다. 이 선택 후 구현할 수 있는 수식 후보이며, 실제 유한회전 shell의 drilling DAE·관성 tangent·q/v/a 시간 수렴은 **구현 후 기능 acceptance에 필요한 검증**이다. 부모 문헌의 nonsingular-mass 조건을 shell mass-null에 자동 적용하지 않되, 모든 shell DAE의 보편적 수렴 증명을 코드 작성의 선행 조건으로 요구하지 않는다. 현재 문서 완료나 제한된 probe를 전체 solver 승인·검증 통과로 표시하지 않는다.
+수식 후보의 [독립 검토](numerical-review.md#numerical-review)는 완료되었으며 표시된 수식에서 새 오류는 발견되지 않았다. 질량 선택은 consistent로 확정되었다. 구현 전 남은 계약은 (1) HHT 확장·초기화의 FESA 채택과 나머지 physics 범위, (2) initial algebraic regularity와 trial 실패 판정의 수치 기준, (3) 공식 output 의미의 공개 범위/I/O다. 이 선택 후 구현할 수 있는 수식 후보이며, 실제 유한회전 shell의 drilling DAE·관성 tangent·q/v/a 시간 수렴은 **구현 후 기능 acceptance에 필요한 검증**이다. 부모 문헌의 nonsingular-mass 조건을 shell mass-null에 자동 적용하지 않되, 모든 shell DAE의 보편적 수렴 증명을 코드 작성의 선행 조건으로 요구하지 않는다. 현재 문서 완료나 제한된 probe를 전체 solver 승인·검증 통과로 표시하지 않는다.
 
-이번 owner 작업은 기존 정식화·source 대조, 일차 문헌 대조와 수식 유도 및 문서 정적 검토다. [독립 시간정확도 검산](numerical-review-probes.md)은 variable-mass SDOF와 moving-null 예제에서 추천 후보의 약 2차 q/v/physical-a 수렴을 관찰했고 naive 확대의 약 1차 오차를 구별했다. 이는 shell solver 검증이나 일반 drilling DAE 증명을 대신하지 않는다. Build/test·solver/reference 실행은 문서 작업 범위가 아니므로 미실행이다. 독립 검산과 Numerical Review 결과는 해당 owner의 보고서가 소유하며 본 문서가 스스로 승인하지 않는다.
+이번 owner 작업은 기존 정식화·source 대조, 일차 문헌 대조와 수식 유도 및 문서 정적 검토다. [독립 시간정확도 검산](numerical-review.md#numerical-review-probes)은 variable-mass SDOF와 moving-null 예제에서 추천 후보의 약 2차 q/v/physical-a 수렴을 관찰했고 naive 확대의 약 1차 오차를 구별했다. 이는 shell solver 검증이나 일반 drilling DAE 증명을 대신하지 않는다. Build/test·solver/reference 실행은 문서 작업 범위가 아니므로 미실행이다. 독립 검산과 Numerical Review 결과는 해당 owner의 보고서가 소유하며 본 문서가 스스로 승인하지 않는다.

docs/hht-implicit-dynamics/implementation-numerical-review.md

@@ -38,13 +38,13 @@ NR-006의 최소 exact 구현 경로는 공개 moment-load가 0이고 동일 nod
 
 Newmark의 q/v는 A를 사용하고 물리 a는 `(A+alpha*a_old)/(1+alpha)`로 회복한다. Effective tangent의 rate 계수, force/moment 별 uncancelled Newton scale, 네 correction gate, 100번째 correction 뒤 재평가, fixed DIRECT `n*h`, endpoint reaction 및 현재 arm/`Jl^-T` spatial moment balance를 대조했다. Constant STEP load의 work `F·q`와 `T+Uphys+Udrill−E0−W`는 현 하중 범위와 맞으며 energy 감소를 강제하지 않는다. 이것은 실제 moving-shell 시간 정확도 인증이 아니다.
 
-메인 실행 로그를 독립 열람했다. [focused.log](../../.harness/build/hht-numerical/focused.log)는 관성 8 tests와 일반 finite-rotation internal D3 sweep, HHT helper 3 tests의 통과를 보인다. 같은 실행 전체는 당시 mapper/writer 7 failures가 있어 전체 PASS가 아니다. `DynamicRotation.*`의 inverse/null/D3 oracle suite는 이 로그에 없어 별도 실행 확인이 필요하다. 당시 없었던 internal 작은각 threshold fixture는 아래 후속 로그에서 통과했다.
+메인 실행 로그를 독립 열람했다. focused.log（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/focused.log`, 현재 checkout에 없음）는 관성 8 tests와 일반 finite-rotation internal D3 sweep, HHT helper 3 tests의 통과를 보인다. 같은 실행 전체는 당시 mapper/writer 7 failures가 있어 전체 PASS가 아니다. `DynamicRotation.*`의 inverse/null/D3 oracle suite는 이 로그에 없어 별도 실행 확인이 필요하다. 당시 없었던 internal 작은각 threshold fixture는 아래 후속 로그에서 통과했다.
 
-[focused-procedure.log](../../.harness/build/hht-numerical/focused-procedure.log)는 algebra 7/8, all-fixed procedure, state/writer/log 통과와 총 37개 중 2개 실패를 보인다. Algebra 경계 fixture는 이후 `W=I`, `diag(1,2^-k)`로 binary-exact threshold를 검사하도록 고쳤으나 이 보고서 시점 재실행 evidence는 대기다. 나머지 실패는 mapper diagnostic fixture다. 기존 로그를 새 소스 전체 통과로 소급하지 않는다.
+focused-procedure.log（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/focused-procedure.log`, 현재 checkout에 없음）는 algebra 7/8, all-fixed procedure, state/writer/log 통과와 총 37개 중 2개 실패를 보인다. Algebra 경계 fixture는 이후 `W=I`, `diag(1,2^-k)`로 binary-exact threshold를 검사하도록 고쳤으나 이 보고서 시점 재실행 evidence는 대기다. 나머지 실패는 mapper diagnostic fixture다. 기존 로그를 새 소스 전체 통과로 소급하지 않는다.
 
-후속 [focused-exact-constraint.log](../../.harness/build/hht-numerical/focused-exact-constraint.log)는 internal residual 7 tests의 통과를 보이며, NR-005의 작은각 4 fixtures와 NR-006의 finite/warped exact ψ·gradient·Hessian 검사를 포함한다. [zero-trial-red.log](../../.harness/build/hht-numerical/zero-trial-red.log)의 기존 영변형 spurious force 실패도 확인했다. 수정 `CovariantIncrement`의 `2E=G·δg+δg·G+δg·δg`, drilling `F=I+δg⊗Gdual`는 큰 기준값의 뺄셈을 피하는 동일 수식이다. `q=0`의 exact-zero 회복은 force clamp나 tolerance 완화가 아니다. 새 zero-trial test의 통과를 확인했다. Recovery·기존 정적 영향은 전체 회귀 검사 대상이다.
+후속 focused-exact-constraint.log（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/focused-exact-constraint.log`, 현재 checkout에 없음）는 internal residual 7 tests의 통과를 보이며, NR-005의 작은각 4 fixtures와 NR-006의 finite/warped exact ψ·gradient·Hessian 검사를 포함한다. zero-trial-red.log（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/zero-trial-red.log`, 현재 checkout에 없음）의 기존 영변형 spurious force 실패도 확인했다. 수정 `CovariantIncrement`의 `2E=G·δg+δg·G+δg·δg`, drilling `F=I+δg⊗Gdual`는 큰 기준값의 뺄셈을 피하는 동일 수식이다. `q=0`의 exact-zero 회복은 force clamp나 tolerance 완화가 아니다. 새 zero-trial test의 통과를 확인했다. Recovery·기존 정적 영향은 전체 회귀 검사 대상이다.
 
-C04a는 판정을 분리한다. 위 로그에서 finest binary64 full/reduced acceleration 차이 약 `3.079e-10`이 `1e-10`을 넘었지만 N7 해상도 약 `6.296e-10` 이하다. q/v/physical-a의 시간차수·오차/noise 검사와 coarse reduction은 별개다. N7에 따라 finest reduction은 **INCONCLUSIVE**로 남길 수 있으며 threshold를 바꾸지 않는다. [decimal80 독립 검산](../../.harness/build/hht-numerical/c04a-decimal-reduction.json)의 full 2×2/scalar recurrence 차이 `<=1.70e-73`은 수학적 reduction을 지지하지만 FESA binary64의 `1e-10` 통과를 대신하지 않는다. 새 test는 시간수렴/coarse gate와 finest `GTEST_SKIP`을 분리했으며 이 보고서에서는 새 바이너리 재실행을 아직 확인하지 않았다. C04a 전체를 무조건 PASS로 합치지 않는다.
+C04a는 판정을 분리한다. 위 로그에서 finest binary64 full/reduced acceleration 차이 약 `3.079e-10`이 `1e-10`을 넘었지만 N7 해상도 약 `6.296e-10` 이하다. q/v/physical-a의 시간차수·오차/noise 검사와 coarse reduction은 별개다. N7에 따라 finest reduction은 **INCONCLUSIVE**로 남길 수 있으며 threshold를 바꾸지 않는다. decimal80 독립 검산（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c04a-decimal-reduction.json`, 현재 checkout에 없음）의 full 2×2/scalar recurrence 차이 `<=1.70e-73`은 수학적 reduction을 지지하지만 FESA binary64의 `1e-10` 통과를 대신하지 않는다. 새 test는 시간수렴/coarse gate와 finest `GTEST_SKIP`을 분리했으며 이 보고서에서는 새 바이너리 재실행을 아직 확인하지 않았다. C04a 전체를 무조건 PASS로 합치지 않는다.
 
 Build/CTest는 메인/구현 owner가 담당하며 reviewer가 별도 C++ 실행을 했다고 주장하지 않는다. 문서 `git diff --check`는 exit 0이다. NR-008 문서 정합성, 새 algebra/rotation oracle 실행, 실제 shell의 시간수렴·energy·moving-null·reference 검증이 남는다. 본 보고서는 전체 기능/물리 gate 통과 판정이 아니다.
 
@@ -119,7 +119,7 @@ print(json.dumps(result, indent=2))
 
 [C08 source](../../tests/unit/analysis/hht_shell_physics_test.cpp)의 `RunPlate`, `InitializeNullVelocity`, `Differences`, `RecordNoise`를 대조했다. q0=0에서 null=e_phi3, f=0이므로 stiffness phi3 행으로 초기 ψ_q를 구성하는 식은 맞다. Initial physical director/null velocity, physical/hidden2 a0, A0=a0, old physical-a history, correction length scaling, `fine.history[2*frame]` 시간 대응과 T/T² normalization도 일치한다. `RecordNoise`의 free-vector nodal indexing은 이 all-free fixture에서는 유효하며 partial BC로 일반화하면 안 된다. **큰 rotational-rate 비수렴을 설명하는 구체적인 driver 인덱스·산술 오류는 찾지 못했다.**
 
-[최신 optimized 진단](../../.harness/build/hht-numerical/c08-diagnostic-20260926.log)의 C08a finest angular-a 최대는 `n=10,t=.0390625`로 scalar transient peak와 일치한다. Total error `5.67565924e-4` 중 current-null 성분은 `5.58582318e-4`, physical complement는 `1.00582661e-4`다. Startup 가설을 지지하지만 physical 성분도 해당 node/time에서 이미 `1e-4`를 넘는다. 전체 node/time physical maximum 및 recovery 결과가 없으므로 null-only 회복으로 C08a가 통과한다고 예측할 수 없다.
+최신 optimized 진단（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c08-diagnostic-20260926.log`, 현재 checkout에 없음）의 C08a finest angular-a 최대는 `n=10,t=.0390625`로 scalar transient peak와 일치한다. Total error `5.67565924e-4` 중 current-null 성분은 `5.58582318e-4`, physical complement는 `1.00582661e-4`다. Startup 가설을 지지하지만 physical 성분도 해당 node/time에서 이미 `1e-4`를 넘는다. 전체 node/time physical maximum 및 recovery 결과가 없으므로 null-only 회복으로 C08a가 통과한다고 예측할 수 없다.
 
 같은 로그의 C08b finest rotational q/v/a self difference는 `1.38700902e-4 / 1.15434080e-2 / .868938812`다. 마지막 acceleration noise 합은 약 `5.426e-6`이므로 큰 차이를 N7 산술/solve 해상도로 설명할 수 없다. Cubic 반례는 q가 exact하므로 C08b q plateau까지 증명한 원인은 아니다. 다음 진단은 처음/최대/후반/최종 오차의 node·시간과 analytic null/physical complement별 q/v/a 차이, 초기값 grid independence, 대표 frame의 residual/effective tangent 대조다. Alpha·grid·fixture를 바꿔 기존 FAIL을 지워서는 안 된다.
 
@@ -143,9 +143,9 @@ Null acceleration correction은 `B*N=0`이므로 현재 q/v의 director accelera
 
 **HHT-IMP-NR-011 — source corrected; optimized focused regression passed.** Main이 식별한 [RecoverState](../../src/fesa/elements/nonlinear_mitc4_shell.cpp)의 bending resultant 계수를 독립 검산했다. `z=t*zeta/2`, `dz=t/2*d(zeta)`이므로 `M=∫z*S*dz=(t²/4)*Σw*zeta*S`다. 기존 `t/4`는 두께 1개가 누락되어 moment per length의 단위 `[force]` 대신 membrane resultant와 같은 `[force/length]`가 된다. 현재 소스의 `0.25*thickness_*thickness_*thickness_sign*gauss*stress` 수정은 부호·단위·두께 적분과 맞는다.
 
-[새 test](../../tests/unit/elements/nonlinear_mitc4_shell_test.cpp)의 flat reference, quadratic-through-thickness stress에서 `t²/12*(S_top-S_bottom)`은 odd first moment의 정확한 별도 샘플 oracle다. `t=.2,.5,2` 선택은 t=1이 누락 계수를 숨기는 문제를 피한다. [수정 전 로그](../../.harness/build/hht-numerical/bending-moment-red.log)의 t=2에서 계산값 `4.36084804185815`, oracle `8.72169608371628`의 factor2 실패도 식과 일치한다. 수정 후 실행 및 기존 static recovery 영향은 owner 검증 대기다. 이 변경은 recovery의 section resultant에 한정되며 internal force/tangent 식이나 HHT recurrence를 변경하지 않는다. C08 시간수렴 FAIL의 해결로 분류하면 안 된다.
+[새 test](../../tests/unit/elements/nonlinear_mitc4_shell_test.cpp)의 flat reference, quadratic-through-thickness stress에서 `t²/12*(S_top-S_bottom)`은 odd first moment의 정확한 별도 샘플 oracle다. `t=.2,.5,2` 선택은 t=1이 누락 계수를 숨기는 문제를 피한다. 수정 전 로그（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/bending-moment-red.log`, 현재 checkout에 없음）의 t=2에서 계산값 `4.36084804185815`, oracle `8.72169608371628`의 factor2 실패도 식과 일치한다. 수정 후 실행 및 기존 static recovery 영향은 owner 검증 대기다. 이 변경은 recovery의 section resultant에 한정되며 internal force/tangent 식이나 HHT recurrence를 변경하지 않는다. C08 시간수렴 FAIL의 해결로 분류하면 안 된다.
 
-후속 [optimized recovery 실행](../../.harness/build/hht-numerical/recovery-green-optimized.log)을 독립 열람하여 **13 tests PASS**를 확인했다. 새 thickness moment test와 기존 small-rotation/objectivity/recovery/patch가 포함된다. 위 “검증 대기”는 최초 검토 시점 기록이며, 현재 확인한 범위는 이 focused optimized 실행이다. 전체 Debug 및 다른 reference 검증의 대체 evidence는 아니다.
+후속 optimized recovery 실행（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/recovery-green-optimized.log`, 현재 checkout에 없음）을 독립 열람하여 **13 tests PASS**를 확인했다. 새 thickness moment test와 기존 small-rotation/objectivity/recovery/patch가 포함된다. 위 “검증 대기”는 최초 검토 시점 기록이며, 현재 확인한 범위는 이 focused optimized 실행이다. 전체 Debug 및 다른 reference 검증의 대체 evidence는 아니다.
 
 ## 가속도 복구 후보 독립 검토 — HHT-ADR-011
 
@@ -179,7 +179,7 @@ NR-013의 **explicit-time post-check 수정은 source에서 확인**했다. Manu
 
 별도 `RecoveredAcceleration` 저장, const assembly 입력과 copied frame 사용을 대조했으며 q/v/a_h/A에 recovered 값을 대입하는 경로는 없다. 기존 acceptance assertions는 원 a_h 결과를 계속 검사한다. `CheckLinearSolve`는 recovery solve의 N2-L backward check를 수행하지만 이것만으로 N7 forward noise/시간차수를 인증할 수 없다. `Mdeltaa=||M*delta a||/(||M||*||delta a||)`는 null-action 진단이며 large correction을 고려한 실제 full E/reaction의 전후 오차 평가를 대신하지 않는다.
 
-[최초 recovery-probe 로그](../../.harness/build/hht-numerical/c08-recovery-probe-20260926.log)의 C08a 전체 recovered angular-a maximum은 h=1/16..1/256에서 `.01351694529 / .004558583885 / .001373166739 / .0004000031671 / .0001005829141`이다. 이 값으로 계산한 마지막 두 raw order는 **1.77942349 / 1.99162617**, finest는 **1.005829141e-4**다. 따라서 기존 `>=1.8`, `<=1e-4`를 충족하지 않으며 후보 PASS가 아니다. 이 숫자는 아직 N7로 인증된 차수 evidence도 아니다.
+최초 recovery-probe 로그（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c08-recovery-probe-20260926.log`, 현재 checkout에 없음）의 C08a 전체 recovered angular-a maximum은 h=1/16..1/256에서 `.01351694529 / .004558583885 / .001373166739 / .0004000031671 / .0001005829141`이다. 이 값으로 계산한 마지막 두 raw order는 **1.77942349 / 1.99162617**, finest는 **1.005829141e-4**다. 따라서 기존 `>=1.8`, `<=1e-4`를 충족하지 않으며 후보 PASS가 아니다. 이 숫자는 아직 N7로 인증된 차수 evidence도 아니다.
 
 같은 로그의 C08a `angular_a_null=0,angular_a_physical=0`는 **무효 diagnostic**이다. Analytic frame의 비어 있는 `nodal_internal_order`로 loop가 0회 실행됐기 때문이다. Full recovered error를 계산하는 `FrameError`는 vector size를 사용하므로 위 maximum 숫자에는 이 문제가 없다. 수정 source는 `generalized_coordinates.Size()/6`와 vector-size guard를 사용한다. 수정 후 C08a split 실행 evidence는 별도 확인해야 하며 이전 0을 exact branch로 해석하면 안 된다. C08b의 실제 accepted frame metadata는 채워져 있어 이 특정 zero-loop 문제와 구별한다.
 
@@ -189,7 +189,7 @@ NR-013의 **explicit-time post-check 수정은 source에서 확인**했다. Manu
 
 C08b post-hidden2 ratio는 네 pair에서 `6.06e-17..1.45e-16`, normalized Mdeltaa는 약 `5e-20`이다. 수정된 autonomous scale와 null correction의 제한 consistency evidence를 지지하지만 full N7 검증이나 a 정확도 PASS가 아니다. 회복 후보 자체의 후속 검증과 별도로 C08b의 physical dynamics/rate 비수렴 원인을 조사해야 한다. 이 결론은 production recovery 채택 또는 새 integrator 선택을 승인하지 않는다.
 
-후속 [C08a split 수정 실행](../../.harness/build/hht-numerical/c08-recovery-split-spectrum-20260927.log)은 **2 tests / 1 PASS / 1 FAIL**로 완료됐고 C08a temporal FAIL을 유지했다. Recovered full maximum은 이전 실행과 같으며, finest exact-state common projector의 angular-a null/physical maximum은 각각 **`4.64641213e-7 / 1.00582661e-4`**다. False-zero split 문제는 이 실행으로 수정 확인했다. 남은 C08a recovered maximum도 physical complement가 지배하며 finest `1e-4` 초과는 그대로다. 별도 matrix dump test의 PASS는 spectral/시간해상도 결론을 뜻하지 않으며 이 검토에서 spectrum 계산을 수행하지 않았다.
+후속 C08a split 수정 실행（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c08-recovery-split-spectrum-20260927.log`, 현재 checkout에 없음）은 **2 tests / 1 PASS / 1 FAIL**로 완료됐고 C08a temporal FAIL을 유지했다. Recovered full maximum은 이전 실행과 같으며, finest exact-state common projector의 angular-a null/physical maximum은 각각 **`4.64641213e-7 / 1.00582661e-4`**다. False-zero split 문제는 이 실행으로 수정 확인했다. 남은 C08a recovered maximum도 physical complement가 지배하며 finest `1e-4` 초과는 그대로다. 별도 matrix dump test의 PASS는 spectral/시간해상도 결론을 뜻하지 않으며 이 검토에서 spectrum 계산을 수행하지 않았다.
 
 ### C08b 초기 spectrum 독립 재현
 
@@ -208,7 +208,7 @@ C08b post-hidden2 ratio는 네 pair에서 `6.06e-17..1.45e-16`, normalized Mdelt
 | Full generalized residual maximum | `2.62506622e-15` |
 | `||Phi^T*M*Phi-I||F` | `8.78577073e-15` |
 
-Full residual metric은 각 mode의 `||K*phi-lambda*M*phi||2 / [(||K||2+abs(lambda)*||M||2)*||phi||2]`다. 독립 `eigh`의 최저 여섯 raw eigenvalue는 `[-1.63581e-11,-7.39169e-12,-7.29645e-12,2.01889e-12,3.26844e-12,8.09326e-12]`, 그 다음은 `44.22815124448042`였다. [Main eigvalsh JSON](../../.harness/build/hht-numerical/c08b-initial-spectrum-20260927.json)의 raw 값과 전체 최대 차이는 `7.276e-11`이며 최대 ω는 표시 precision에서 동일하다. 음수 값을 0으로 바꾸거나 그 제곱근을 계산하지 않았다. 별도로 3 translations와 `u=Omega×X,phi=Omega`의 3 analytic rigid fields는 `||K*R||F/(||K||F*||R||F)=2.27995067e-17`이었다. 이는 여섯 near-zero 값의 rigid-mode 해석을 지지하며 nonlinear stability 인증은 아니다.
+Full residual metric은 각 mode의 `||K*phi-lambda*M*phi||2 / [(||K||2+abs(lambda)*||M||2)*||phi||2]`다. 독립 `eigh`의 최저 여섯 raw eigenvalue는 `[-1.63581e-11,-7.39169e-12,-7.29645e-12,2.01889e-12,3.26844e-12,8.09326e-12]`, 그 다음은 `44.22815124448042`였다. Main eigvalsh JSON（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c08b-initial-spectrum-20260927.json`, 현재 checkout에 없음）의 raw 값과 전체 최대 차이는 `7.276e-11`이며 최대 ω는 표시 precision에서 동일하다. 음수 값을 0으로 바꾸거나 그 제곱근을 계산하지 않았다. 별도로 3 translations와 `u=Omega×X,phi=Omega`의 3 analytic rigid fields는 `||K*R||F/(||K||F*||R||F)=2.27995067e-17`이었다. 이는 여섯 near-zero 값의 rigid-mode 해석을 지지하며 nonlinear stability 인증은 아니다.
 
 | h | omega_max*h |
 | --- | ---: |

docs/hht-implicit-dynamics/implementation-plan.md

@@ -1,43 +0,0 @@
-# HHT Implementation Plan
-
-**Goal:** 일관질량 HHT shell 동적 해석을 원본 입력부터 공식 HDF5·전체 reference 비교·독립 물리 평가까지 구현한다.
-
-**Architecture:** Domain의 별도 dynamic step과 별도 동적 state/procedure/writer를 연결한다. 기존 MITC4 내력·objective drilling은 보존하고 유한회전 consistent 관성을 정확히 미분한다. 물리적 a와 보조 A를 분리하고 candidate 검증 후에만 frame·최종 파일을 반영한다.
-
-**Tech Stack:** C++17, MSVC x64 Debug, CMake/Ninja/CTest, MKL/TBB/HDF5.
-
-**Spec:** [정식화](formulation.md), [관성](formulation-inertia.md), [내부 기준](numerical-controls.md), [검증 사례](verification-cases.md), [I/O](io-contract.md), [Reference](reference-model.md).
-
-## 실행 범위와 소유권
-
-사용자가 I/O definition, implementation, physics evaluation을 모두 요청했으므로 기존 정식화의 추천 a/A 분리와 0+ 초기화를 구현 대상으로 채택한다. 메인은 통합·procedure·검증을 맡고 독립적인 kernel/input/writer 묶음만 구현 담당자에게 할당한다. 현재 checklist는 [PRD](PRD.md)에만 유지한다. 후속 사용자 요청에 따라 검증 묶음별 로컬 commit을 수행하며 push는 포함하지 않는다.
-
-| 묶음 | 파일·책임 | 검증 |
-| --- | --- | --- |
-| 입력 | `model_types.h`, `domain.h/.cpp`, Abaqus mapping: `DynamicStepDefinition`, `StepDefinition::Dynamic/IsDynamic`, `Domain::Dynamic` | 원본 INP, STEP·DIRECT·density·zero BC·force subset, unsupported·invalid input; static/eigen 회귀 |
-| 관성 | `elements/nonlinear_mitc4_inertia.h/.cpp`: `Create(nodes,frames,section,material,density)`, `Evaluate(trial,v24,a24)` → M/I/c/DqI/DvI/T/P/L/rates | C05–C06 독립 volume·미분·null·좌표/단위 oracle |
-| 상태·출력 | `analysis/dynamic_analysis_state.h/.cpp`, `results/dynamic_results_writer.h`, `io/hdf5/dynamic_hdf5_results_writer.h/.cpp` | frame0 포함 commit/rollback, finite/identity/schedule 검증, schema readback·atomic failure |
-| 시간적분 | `analysis/hht_time_integration.h/.cpp`와 tests | C01–C04 정확해·HHT 환원·moving-null·초기화·소산 |
-| 동적 절차 | `analysis/hht_dynamic_procedure.h/.cpp` 및 필요한 internal assembly/constraint helper | 초기 positive-range/null solve, 정확한 유효 접선, N1–N7, C07–C11 shell·관성반력·에너지·실패 |
-| 통합 | `prepared_analysis.h/.cpp`, application, CMake 등록 | 원본 CLI 실행·진단·최종 HDF5; 기존 procedures 보존 |
-| 비교·물리 | `tests/reference/hht_dynamic_reference_*`, 보고서와 ignored 실행 evidence | C12 202 comparison families, 101 frames 전부, 독립 physics evaluation |
-
-## 구현·검증 순서
-
-각 묶음은 관찰 가능한 실패 사례를 먼저 추가하고 구현 후 관련 CMake target/CTest filter로 확인한다. 아직 없는 API의 컴파일 실패와 수치 oracle 실패를 구별해 기록한다. 코드 소유권이 겹치는 변경은 메인이 직렬로 통합한다. Build는 메인이 단일 경로에서 실행한다.
-
-1. I/O 계약의 필드·진단·source/time 연결을 정의하고 기존 문서와 대조한다.
-2. Input/관성 kernel/동적 state를 구현한다. 관성의 director D3와 convective 항은 production finite difference로 대체하지 않는다.
-3. HHT predictor와 물리적 endpoint 평형을 연결한다. `A=(q-q_p)/(beta*h*h)`, `v=v_p+gamma*(q-q_p)/(beta*h)`, `a=(A+alpha*a_n)/(1+alpha)`이며 tangent는 `DqI+gamma/(beta*h)*DvI+M/((1+alpha)*beta*h*h)+Kint`다.
-4. N2 잔차·correction/rate AND 판정, N3 초기 대수조건, N4 analytic null·positive mass·regularity 및 실패 보존을 검증한다. Backend 성공만으로 frame을 commit하지 않는다.
-5. Official HDF5 writer와 deterministic comparator를 연결한다. Reference의 source increment로 대응하고 시간 보간·행 평균·값 보정은 하지 않는다.
-6. 수정 영향에 맞는 검사를 수행하고 최종 `python scripts/execute.py`로 전체 MSVC Debug build/CTest를 한 번 수행한다. 필수 원본 dynamic reference는 별도 비교 evidence를 남긴다.
-7. 독립 physics reviewer가 실제 결과의 평형·운동량·에너지·coverage를 평가한다. 실패는 현 owner가 수정하며 tolerance를 결과에 맞추어 변경하지 않는다.
-
-## Review focus
-
-- a/A 혼동 또는 current M만의 naive HHT 확대: C01–C04와 output readback으로 검출한다.
-- 질량 영공간을 작은 질량·fixed UR3 삭제로 처리: C04–C06의 초기·moving-null 사례로 검출한다.
-- Initial full STEP force와 초기 acceleration 누락: C02와 원본 frame0의 U/V/A 의미를 대조한다.
-- 실패 trial·불완전 HDF5 노출: state/writer 실패 주입 및 기존 최종 파일 보존을 검사한다.
-- 101-frame identity·reference subset 오류: C12의 누락·추가·중복·nonfinite·wrong-time mutation을 사용한다.

docs/hht-implicit-dynamics/io-contract.md

@@ -6,7 +6,7 @@
 
 ## 1. 입력과 호환성
 
-기존 [비선형 I/O](../nonlinear-static-newton-raphson/io.md)의 lexical parsing, source target resolution, part/identity instance, node/set, S4/S4R → FESA-MITC4, centered homogeneous shell, isotropic elastic material, geometry와 chart 검증을 상속한다. 아래 절차 차이만 dynamic에 적용한다. 기존 static/frequency 입력·결과의 의미나 schema는 바꾸지 않는다. Source S4/S4R 표기는 보존하며 Abaqus 내부 요소·관성·시간 알고리즘 동등성을 주장하지 않는다. 공개 Abaqus 관례의 근거는 이미 조사한 [research](research.md)의 관측 가능한 입력 의미에 한정한다.
+기존 [비선형 I/O](../nonlinear-static-newton-raphson/io.md)의 lexical parsing, source target resolution, part/identity instance, node/set, S4/S4R → FESA-MITC4, centered homogeneous shell, isotropic elastic material, geometry와 chart 검증을 상속한다. 아래 절차 차이만 dynamic에 적용한다. 기존 static/frequency 입력·결과의 의미나 schema는 바꾸지 않는다. Source S4/S4R 표기는 보존하며 Abaqus 내부 요소·관성·시간 알고리즘 동등성을 주장하지 않는다. 공개 Abaqus 관례의 근거는 이미 조사한 [research](research.md#research)의 관측 가능한 입력 의미에 한정한다.
 
 | 구문 | 이번 지원 의미 / 검증 |
 | --- | --- |

docs/hht-implicit-dynamics/numerical-controls.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 # HHT 내부 수치 판정
 
-[Numerical Review](numerical-review.md)의 구현용 계약이다. IEEE binary64를 기준으로 하며 [정식화](formulation.md), [관성 상세](formulation-inertia.md), [검증 사례](verification-cases.md)를 함께 적용한다. 사용자 결정 [HHT-ADR-007](ADR.md)에 따라 이번 HHT 구현은 **consistent kinetic mass**를 사용한다. 아래 lumped 대조는 기존 eigen/대안 evidence의 경계이며 새 HHT lumped 지원 요구가 아니다. 외부 reference는 [TOLERANCE](../TOLERANCE.md)만 따른다.
+[Numerical Review](numerical-review.md#numerical-review)의 구현용 계약이다. IEEE binary64를 기준으로 하며 [정식화](formulation.md), [관성 상세](formulation-inertia.md), [검증 사례](verification-cases.md)를 함께 적용한다. 사용자 결정 [HHT-ADR-007](ADR.md)에 따라 이번 HHT 구현은 **consistent kinetic mass**를 사용한다. 아래 lumped 대조는 기존 eigen/대안 evidence의 경계이며 새 HHT lumped 지원 요구가 아니다. 외부 reference는 [TOLERANCE](../TOLERANCE.md)만 따른다.
 
 ## N1. Scale와 공통 규칙
 

docs/hht-implicit-dynamics/numerical-research.md

@@ -1,152 +0,0 @@
-# HHT 수치 제어·검증 설계 추가 근거
-
-- Feature: `hht-implicit-dynamics`
-- Owner: `research-agent`
-- Date: `2026-09-22`
-- Status: `Evidence and verification candidates; numerical thresholds not selected`
-- 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [PRD](../PRD.md), [ADR](../ADR.md#adr-028), [기존 연구](research.md).
-
-[관성 정식화](formulation-inertia.md)와 [독립 probe](numerical-review-probes.md)를 읽고
-남은 질문만 조사했다. 기존 SDOF/moving-null 계산은 재실행하지 않았다.
-**사실**은 열람한 일차 자료, **도출**은 명시한 수학적 계산, **후보**는 검증 제안이다.
-수치 threshold·질량 채택·물리 범위·입출력 계약은 이 문서에서 결정하지 않는다.
-현재 질량 선택은 사용자 결정으로 consistent mass가 확정되었다. Shell 속도 보간의
-운동에너지를 그대로 적분하며, lumped는 이번 HHT 구현의 지원 요구에서 제외한다.
-
-## 1. Physical acceleration, startup와 DAE 적용 경계
-
-**사실 [N1].** Brüls–Arnold (2008) author postprint pp.3–4, Eq. (5)–(8)은
-물리적 `q_ddot`와 보조 acceleration-like variable을 구분하고 보조 초기값을
-물리적 초기 가속도와 같게 둔다. 이 문서의 `A`가 논문의 보조 `a`에 대응한다.
-`alpha_m=0`, `alpha_f=-alpha`를 대입하면 현재 후보의
-`A_(n+1)=(1+alpha)a_(n+1)-alpha a_n`이다. 같은 논문은 variable M일 때 이를
-force-level 가중 평형과 동일시할 수 없다고 명시한다. 이 질문에는 기존 출처가 충분하다.
-
-**사실 [N1]: 정리의 가정은 정확히 구분한다.** Printed p.6, “Equivalent model”은
-`[[M,-L],[-h_qddot,I-h_y]]` block의 비특이성과 index-3 조건
-`Phi_q g*_lambda`의 비특이성을 사용한다. 여기의 `h`는 논문 Eq. (4)의 algebraic
-output function이며 시간간격이 아니다. Controller/algebraic coupling을 제거한
-특수형에서는 첫 조건이 M의 비특이성으로 줄어든다. 논문 전체가 무조건 “M만
-비특이이면 충분”하다고 읽어서는 안 된다. “Initial value condition”의 초기 오차 조건과
-“Constrained case”의 정칙성 하에서 얻은 수렴 결과를 singular drilling에 자동 적용할 수 없다.
-
-**도출/수치 제어에의 함의.** 현재 shell의 `psi=N(q)^T g=0`는 논문의 holonomic
-`Phi=0`와 동일한 모델임이 아직 증명되지 않았다. 따라서 다음을 분리해서 관찰한다.
-
-| 관찰 대상 | 필요한 검증 후보 | 남은 한계 |
-| --- | --- | --- |
-| 첫 시점 | `a0`는 우측 물리 평형·초기 대수조건으로 결정한 뒤 `A0=a0`; 첫 step과 이후 오차를 분리 | 작은 Newton residual로 불일관 초기값이 정당화되지 않음 |
-| 물리 a와 A | 동일 시각 정확해에 대한 q/v/physical a 차수와 `A-a`를 별도 측정 | A를 물리 출력·각운동량 미분에 대입하면 안 됨 |
-| Current null | 매 configuration에서 `MN`, `N^T I`, `psi`, 양의 부분공간 mass 및 `psi_q N` 정칙성 | 이전 시점 null, 고정 UR3, 전체 M의 역행렬로 대체 불가 |
-| Hidden constraints | `psi_q v+psi_t`와 `psi_q a+psi_qq[v,v]+2psi_qt v+psi_tt`의 최대·종단 결함과 dt 수렴 | 위치 평형만 만족해도 두 결함이 0인 것은 아님 |
-| 반례 coverage | 현재 움직이는 영공간 예제를 full redundant coordinates로 풀어 기존 reduced-angle probe와 대조 | 기존 probe는 위치조건을 정확히 강제했으므로 full-coordinate Newton 구현 검증이 아님 |
-| 고정 간격 | 기존 후보에서 dt를 줄여 같은 물리 종단시각 비교 | adaptive dt·startup 재설정은 별도 scope이며 이번 근거로 추가하지 않음 |
-
-**도출.** Chart 내부의 smooth q에서 projector와 null basis는 같은 물리 영공간을 나타내야
-한다. Null vector의 부호·정규화 변경 자체와 rank 손실을 구분해야 한다.
-`psi_q`에는 `DN`이 들어가므로 basis를 고정한 finite difference는 별도 식을 검증하게 된다.
-투영 오차·hidden defect가 큰 결과를 발견하면 정확한 projection/condensation의 채택 여부는
-formulation owner에게 돌린다. 여기서는 추가 projection을 자동 제안·채택하지 않는다.
-
-## 2. Double precision, conditioning 및 미분 검증
-
-**사실 [N2–N4].** IEEE double의 정상수 significand는 53 bits다. LAPACK DGECON은
-선택한 1/∞ norm의 reciprocal condition number **추정값**을 반환한다. DGESVX는
-equilibration 여부를 구별하고, factor pivot이 정확히 0인 경우와 reciprocal condition이
-machine precision보다 작은 경우를 서로 다른 INFO로 보고한다. 후자는 해·오차 추정을
-계속 계산할 수 있는 warning이다. 이 공개 library 동작은 FESA failure threshold를
-자동 승인하지 않으며 vendor routine 채택 요구도 아니다.
-
-**도출.** Binary64에서 1의 다음 표현수 간격 `eps=2^-52`, round-to-nearest 정상 범위의
-unit roundoff `u=2^-53`를 구분한다. 문헌의 “machine epsilon” 정의와 library 반환 의미를
-확인하지 않고 두 값을 혼용하면 안 된다. 작은 perturbation의 forward error는
-대략 `condition × backward error`로 증폭되므로 residual 하나로 해의 정확도를 보장하지 못한다.
-
-| 질문 | 근거에 따른 분리 및 검사 후보 |
-| --- | --- |
-| Physical mass-null인가? | `n=[0;J_l^-1 d]`, admissible free-space intersection 같은 분석적 운동학을 원본으로 삼는다. `MN`의 수치 결함과 양의 complement의 conditioning을 각각 검사한다. |
-| 작은 양의 eigenvalue인가? | 단위·두께 때문에 작은 inertia를 rcond 하나로 drilling null로 바꾸지 않는다. 예상 추가 null/geometry 이상과 positive-space accuracy loss를 구분한다. |
-| 어느 rcond인가? | Full singular M의 rcond는 positive inertia 품질을 설명하지 못한다. Positive-space mass, 초기화 algebraic block, effective Newton matrix를 각각 이름 붙이고 norm·scaling을 기록한다. |
-| 단위를 바꾸면? | 병진·회전 단위가 섞인 원행렬 condition은 단위 선택에 의존한다. `q=D qhat`, `Rhat=D^T R/Escale`이면 `Khat=D^T K D/Escale`라는 virtual-work 일관 scaling을 대조 후보로 삼는다. 기준 scale의 수치 선택은 NR 소유다. |
-| Library equilibration이면 충분한가? | Row/column equilibration은 solver conditioning 도구다. 물리적 nondimensionalization이나 예상 null proof와 동일하지 않다. 원·scaled 행렬 중 무엇을 추정했는지 보존한다. |
-
-**사실 [N5].** GSL의 central differentiation은 truncation과 roundoff를 함께 추정하여
-step을 고르며, 5-point와 3-point 차이를 오차 추정에 쓴다. 따라서 가장 작은 step을
-항상 정답으로 간주하지 않는 독립 derivative 검사 설계가 공식 수치 library의 접근과 부합한다.
-
-**도출/후보.** Dimensionless direction p에 대해 scaled 잔차의 중심차분과 `Khat p`를
-비교하면 일반적인 smooth·비상쇄 구간에서 오차형은 `C_t delta²+C_r u/delta`다.
-최적 step의 `u^(1/3)` 크기는 이 가정에서의 점근적 안내일 뿐 공통 고정값이 아니다.
-Zero derivative, 큰 residual cancellation, branch 접근에서는 계수와 error floor가 달라진다.
-여러 delta를 sweep하여 감소구간·최저 plateau·roundoff 증가구간을 기록하고, 모든 sample이
-같은 허용 chart와 geometry 안에 있는지 확인한다. Unit-aware scale을 쓰고 임의
-`max(1, norm)`로 작은 문제를 덮지 않는다.
-
-Inertia partial derivative 검사에서는 q/v/physical a 중 하나만 바꾸고 나머지는 고정한다.
-Effective tangent 검사에서는 같은 trial q에 연동되는 v, A, physical a를 모두 갱신한다.
-두 검사는 서로 다른 미분이므로 섞지 않는다. 작은 dt의 acceleration 재구성에는
-위치 차분 오차가 `1/dt²`로 증폭되므로 시간 차수 측정에서 너무 미세한 dt의 plateau를
-수학적 차수 저하로 오인하지 않는다. 기준 oracle 정밀도와 nonlinear solve 오차도 분리한다.
-
-## 3. 3차 회전 미분과 운동량·에너지 case 후보
-
-**사실 [N6].** Higham–Relton의 Theorem 3.5/Algorithm 3.6은 고차 Fréchet derivative를
-재귀 block matrix function의 우상단 block으로 구한다. Matrix exponential은 smoothness
-조건을 만족한다. `P=[phi]_cross` 및 세 방향 행렬에 적용하면 24×24 exponential 하나의
-3×3 우상단 block이 3차 혼합 미분을 준다.
-
-**후보.** 이 방식에 `d0`를 곱한 결과를 Rodrigues/회전 Jacobian의 해석 미분과 비교하면
-동일 scalar coefficient 도함수를 재사용하는 자기검증을 피할 수 있다. “Exact derivative”는
-수학적 항등식을 뜻하며 부동소수점 exp 계산까지 오차가 없다는 뜻은 아니다.
-Production 의존성 추가나 24×24 exp의 runtime 사용은 요구하지 않는다.
-
-**자체 도출: 영회전의 유한 다항 oracle.** `H_p=[p]_cross` 등으로 쓰면
-
-\[
-D^3d(0)[p,s,r]=\frac16\sum_{\sigma\in S_3}
-H_{\sigma(p)}H_{\sigma(s)}H_{\sigma(r)}d_0.
-\]
-
-이는 exponential Taylor series의 cubic 항에서 바로 얻는다. 방향 permutation 대칭,
-각 방향의 선형성, 동일 방향 3회 `H_p³ d0`를 함께 검사할 수 있다. 비영 phi의
-block-exponential oracle와 `D²d`의 방향 중심차분을 추가해 영점 특례만 맞는 오류를 검출한다.
-Chart 경계 안쪽, 작은 phi, 서로 비평행한 방향을 포함하되 경계를 넘어 차분하지 않는다.
-
-| ID | 실행 가능한 검증 설계 후보 | 판정에 필요한 한계 |
-| --- | --- | --- |
-| NR-E01 | 임의 유효 shell 상태에서 spatial rigid velocity를 부여하여 kinetic energy·총 P·총 L을 독립 volume integration과 대조 | Rigid velocity는 순간 운동학 검사다. 회전하는 탄성 shell이 자유운동에서도 강체를 유지한다는 가정은 하지 않음. Consistent/lumped 각각 자신의 measure를 사용 |
-| NR-E02 | `I(q,v,a)`를 q/v/a별 미분하고 전체 effective tangent도 별도 directional check | 3차 director 항과 `D(H^T)` 누락을 분리 검출 |
-| NR-E03 | 작은 smooth 회전 구간의 자유 shell에 일관된 initial velocity를 부여하거나 짧은 smooth loading 후 unload, P/L/총에너지·work와 dt 수렴 관찰 | 초기조건/시간하중이 CLI 범위 밖이면 kernel/procedure verification 후보로만 유지. 승인 input subset 확대 금지 |
-| NR-E04 | 같은 spatial problem에 alpha=0 및 승인된 음수 alpha를 적용하고 저주파 해상 case와 높은 modal content case를 분리 | 일반 비선형 HHT의 총에너지 매 step 감소 또는 정확한 각운동량 보존을 무조건 요구하지 않음 |
-| NR-E05 | 문헌 free-flying single-layer plate를 후속 benchmark 후보로 검토 | 아래 N7은 large rotation/energy 사례의 출처다. 현재 fixed chart를 넘어서는 tumble·장시간 운동은 그대로 채택할 수 없음 |
-
-**사실 [N7].** Vu-Quoc–Tan (2003), §5.1.2/Figs.9–12는 free-flying single-layer plate의
-큰 전체 운동과 P/L/에너지 및 dissipative/nondissipative integrator 결과를 비교한다.
-해당 요소는 rotation DOF가 없는 solid-shell이므로 그 mass·응력 모델과 여기의 director shell은
-다르다. Author-uploaded 본문의 관련 절을 확인했으나 그림의 하중 위치·수치 history를
-독립 추출하지 않았다. 따라서 현 단계에서는 case family 근거이며 완성된 reference artifact가 아니다.
-
-**추론.** 현재 shell 운동학에서는 `Pdot/Ldot`에 physical a를 사용하고 numerical drill
-potential을 포함한 에너지·내력 일을 일관되게 대조해야 한다. N7의 보존형 integrator가
-보이는 exact conservation을 HHT의 요구조건으로 옮길 수 없다. [기존 연구 S8](research.md#sources)의
-비선형 Newmark 보존 한계 근거는 그대로 충분하다. 추가 shell 연구는 기하·하중·시간 구간이
-승인된 chart와 입력 범위 안에 있는지 결정한 뒤에만 구체화할 필요가 있다.
-
-## 출처·열람 한계와 인계
-
-`accessed: 2026-09-22`. 문서 정적 검사만 수행하며 solver/build/test/reference 생성은 수행하지 않았다.
-
-| ID | Stable citation / locator | 열람 범위 |
-| --- | --- | --- |
-| N1 | Brüls, O.; Arnold, M. (2008), *The generalized-alpha scheme as a linear multistep integrator: Toward a general mechatronic simulator*, J. Computational and Nonlinear Dynamics 3, 041007, [DOI:10.1115/1.2960475](https://doi.org/10.1115/1.2960475), [author PDF](https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/27088/1/pa_BrulsArnold2008_TheGeneralizedAlphaSchemeAsALinearMultistepIntegrator.pdf) | Printed pp.3–6 Eq.5–8/Equivalent model, Initial value condition/Constrained case. Shell singular-mass 정리 아님 |
-| N2 | Oracle, *Numerical Computation Guide*, [§2.2.3 Double Format](https://docs.oracle.com/cd/E37069_01/html/E39019/z4000ac019269.html) | 53-bit significand 설명. IEEE 표준 전체 적합성 시험을 수행한 것은 아님 |
-| N3 | LAPACK, [DGECON](https://netlib.org/lapack/explore-html/d4/daf/group__gecon_ga4f9b830e19e12c7f082ddb497a57af18.html), Purpose/NORM/ANORM/RCOND | Normwise reciprocal condition estimate |
-| N4 | LAPACK, [DGESVX](https://netlib.org/lapack/explore-html/d5/dbe/group__gesvx_ga82173a93234afc15d70b64233b3e5bc8.html), Description steps 1–6/INFO | Equilibration, singular pivot와 working-precision warning 구별 |
-| N5 | GNU Scientific Library 2.8, [Numerical Differentiation](https://www.gnu.org/software/gsl/doc/html/diff.html), `gsl_deriv_central` | Truncation/roundoff 기반 step/error estimate. FESA tolerance 원본 아님 |
-| N6 | Higham, N.J.; Relton, S.D. (2014), *Higher Order Fréchet Derivatives of Matrix Functions and the Level-2 Condition Number*, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 35, 1019–1037, [DOI:10.1137/130945259](https://doi.org/10.1137/130945259), [author PDF](https://eprints.maths.manchester.ac.uk/2066/1/paper.pdf), Theorem 3.5/Algorithm 3.6 | 2013 author version printed pp.5–6; oracle identity와 계산법 |
-| N7 | Vu-Quoc, L.; Tan, X.G. (2003), *Optimal solid shells for non-linear analyses of multilayer composites. II. Dynamics*, CMAME 192, 1017–1059, [DOI:10.1016/S0045-7825(02)00336-5](https://doi.org/10.1016/S0045-7825(02)00336-5), [author-uploaded text](https://www.researchgate.net/publication/222546721_Optimal_solid_shells_for_non-linear_analyses_of_multilayer_composites_II_Dynamics), §5.1.2/Figs.9–12 | Relevant text 확인; 하중 figure·곡선 digitization 미수행, exact benchmark reproduction 미정 |
-
-Numerical Review에 인계할 결정은 scaling·conditioning/hidden-defect 판정·FD sweep과
-시간 수렴 구간·case 최소 조합이다. Formulation에 남는 사항은 singular-mass regularity의
-실제 shell 적용과 full-coordinate hidden constraint 검증이다. 사용자 결정에 따라 이번
-HHT 구현은 consistent mass를 사용한다. 위 lumped 비교 근거는 연구 이력이며 현재 지원 요구가 아니다.

docs/hht-implicit-dynamics/numerical-review-probes.md

@@ -1,162 +0,0 @@
-# HHT 독립 시간정확도 검산
-
-[검토 보고서](numerical-review.md)의 상세 evidence다. 2026-09-22 Python 표준 라이브러리만 사용했다. FESA solver, Abaqus 또는 reference 비교 실행이 아니다. 아래 오차는 승인 tolerance를 새로 정하는 값이 아니라 정확해와의 수렴 관찰값이다.
-
-## 모델과 결과
-
-1. Smooth SDOF: `T=.5(1+q²)v²`, `c=qv²`, `q_exact=.4+sin(t)`, `f=(1+q_exact²)a_exact+q_exact v_exact²`, `0≤t≤1`. 초기 `q=.4,v=1,a=0`. 입력은 일관된 무차원 검산 단위다. `alpha=-.05,beta=.275625,gamma=.55`.
-2. Moving-null: `x(q)=q/|q|`, `T=.5|Dx(q)v|²`, `U=.5(|q|-1)²`, `q∈R²\{0}`. `r=|q|`, `d=q/r`, `M=(I-ddᵀ)/r²`, `c=-2(q·v)Mv/r²`, `f_int=(r-1)d`. `ker M=span(q)`가 회전한다. 정확해 `q=(cos t,sin t)`, `v=(-sin t,cos t)`, `a=-q`; 초기 위치·속도·가속도 대수조건은 일관된다. Endpoint 반경 대수조건 `r=1`은 각도 parameterization으로 정확하게 강제하며 tangent 평형만 Newton으로 푼다. 이 모델은 shell/drilling 구현이나 일반 singular-DAE 정리의 대체물이 아니다.
-
-| SDOF 방법 | `h=1/512` U 오차 | `h=1/1024` U 오차 | 관측 차수 |
-| --- | ---: | ---: | ---: |
-| Naive `M1 A1+(1+alpha)g1-alpha g0=0` | 1.0272820368e-5 | 5.2200068232e-6 | 0.976709 |
-| Weighted mass `((1+alpha)M1-alpha M0)A1+(1+alpha)g1-alpha g0=0` | 3.2914014847e-7 | 8.2299941973e-8 | 1.999739 |
-| Endpoint physical `M1 a1+g1=0`, `A1=(1+alpha)a1-alpha a0` | 2.7561411953e-7 | 6.8902116013e-8 | 2.000030 |
-
-`g=c-f`. 마지막 방법의 physical acceleration 오차는 `2.3176116737e-7 → 5.7545108678e-8`로 줄지만 algorithmic `A` 오차는 `5.2612378749e-5 → 2.6344436092e-5`다. 따라서 `A`를 endpoint physical acceleration으로 보고하면 안 된다.
-
-Moving-null 마지막 방법은 같은 두 h에서 U 오차 `4.0606413493e-7 → 1.0152120526e-7`, V 오차 `4.1505360817e-7 → 1.0376522277e-7`, physical a 오차 `4.1511310820e-7 → 1.0262747089e-7`를 보였다. `max|q·v|`는 `8.4282e-11 → 1.0594e-11`, `max|q·a+v²|`는 `7.9368e-7 → 1.9445e-7`다. Endpoint 위치 대수조건을 지켜도 미분된 속도·가속도 조건이 매 frame 정확히 0이 되는 것은 아니다. 이 결함의 시간수렴과 초기 일관성을 별도로 검증해야 한다.
-
-## 독립 수학 대조
-
-Smooth 물리식 `M(q)a+g(q,v,t)=0`에서 Newmark 내부 가속도의 정확해 대응은 `A=a+alpha*h*adot+O(h²)`다. Naive 식의 일차 결함은
-
-`alpha*h*(M*adot+gdot)=-alpha*h*Mdot*a`.
-
-따라서 `Mdot*a≠0`인 일반 문제에서 상수 M 증명을 그대로 사용할 수 없다. Weighted mass는 이 항을 상쇄하지만 `alpha∈(-1,0)`이면 서로 다른 두 시점의 양의 준정부호 질량의 양의 결합이다. 그 영공간은 두 영공간의 교집합이므로, 영공간이 회전하면 rank가 늘어날 수 있다. 단순 SDOF의 2차 결과가 이를 정당화하지 않는다.
-
-Physical/algorithmic 가속도 분리는 [Brüls–Arnold 원문](https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/27088/1/pa_BrulsArnold2008_TheGeneralizedAlphaSchemeAsALinearMultistepIntegrator.pdf)의 Eq. (5), (7), (8)에 `alpha_m=0,alpha_f=-alpha`를 대입한 것이다. 원문의 p.6 equivalent-model/index-3 가정은 비특이 mass 및 제약 정칙성을 사용한다. Singular drilling mass에 그 증명을 직접 적용하지 않는다. 이 문서의 제조해와 결함 계산은 독립 검산이다.
-
-## 재현 코드와 명령
-
-Workspace root에서 다음 명령으로 아래 Python block만 실행한다. 외부 package, 파일 생성 또는 solver 실행은 없다.
-
-```powershell
-python -c 'from pathlib import Path; s=Path("docs/hht-implicit-dynamics/numerical-review-probes.md").read_text(encoding="utf-8"); exec(s.split(chr(96)*3+"python\n",1)[1].split(chr(96)*3,1)[0])'
-```
-
-```python
-import math
-
-alpha = -.05
-beta = (1-alpha)**2/4
-gamma = .5-alpha
-
-def exact(t):
-    return .4+math.sin(t), math.cos(t), -math.sin(t)
-
-def force(t):
-    q, v, a = exact(t)
-    return (1+q*q)*a+q*v*v
-
-def scalar(h, variant):
-    q, v, ap = exact(0)
-    A = ap
-    for n in range(round(1/h)):
-        t = (n+1)*h
-        m0 = 1+q*q
-        g0 = q*v*v-force(n*h)
-        oldap = ap
-        pred = q+h*v+h*h*(.5-beta)*A
-        vpred = v+h*(1-gamma)*A
-        def calc(x):
-            an = (x-pred)/(beta*h*h)
-            vn = vpred+gamma*h*an
-            m = 1+x*x
-            if variant == 'physical':
-                pn = (an+alpha*oldap)/(1+alpha)
-                r = m*pn+x*vn*vn-force(t)
-                dr = 2*x*pn+m/((1+alpha)*beta*h*h)+vn*vn+2*x*vn*gamma/(beta*h)
-            else:
-                me = m if variant == 'naive' else (1+alpha)*m-alpha*m0
-                dm = 2*x if variant == 'naive' else (1+alpha)*2*x
-                r = me*an+(1+alpha)*(x*vn*vn-force(t))-alpha*g0
-                dr = dm*an+me/(beta*h*h)+(1+alpha)*(vn*vn+2*x*vn*gamma/(beta*h))
-                pn = an
-            return r, dr, vn, an, pn
-        x = pred+beta*h*h*A
-        for _ in range(20):
-            r, dr, *_ = calc(x)
-            dx = -r/dr
-            x += dx
-            if abs(dx) < 1e-14:
-                break
-        else:
-            raise RuntimeError('scalar Newton failed')
-        q = x
-        _, _, v, A, ap = calc(q)
-    qe, ve, ae = exact(1)
-    return abs(q-qe), abs(v-ve), abs(ap-ae), abs(A-ae)
-
-def moving_null(h):
-    q, v, ap = [1.,0.], [0.,1.], [-1.,0.]
-    A = ap[:]
-    theta = 0.
-    max_cv = max_ca = 0.
-    dot = lambda x,y: sum(x[i]*y[i] for i in range(2))
-    for _ in range(round(1/h)):
-        pred = [q[i]+h*v[i]+h*h*(.5-beta)*A[i] for i in range(2)]
-        vp = [v[i]+h*(1-gamma)*A[i] for i in range(2)]
-        old = ap[:]
-        theta += h
-        def calc(angle):
-            d = [math.cos(angle),math.sin(angle)]
-            tangent = [-d[1],d[0]]
-            an = [(d[i]-pred[i])/(beta*h*h) for i in range(2)]
-            vn = [vp[i]+gamma*h*an[i] for i in range(2)]
-            pn = [(an[i]+alpha*old[i])/(1+alpha) for i in range(2)]
-            dv, tv = dot(d,vn), dot(tangent,vn)
-            residual = dot(pn,tangent)-2*dv*tv
-            derivative = 1/((1+alpha)*beta*h*h)-dot(pn,d)-2*(tv*tv+dv*(-dv+gamma/(beta*h)))
-            return residual, derivative, d, vn, pn, an
-        for _ in range(15):
-            r, dr, *_ = calc(theta)
-            dx = -r/dr
-            theta += dx
-            if abs(dx) < 1e-14:
-                break
-        else:
-            raise RuntimeError('moving-null Newton failed')
-        _, _, q, v, ap, A = calc(theta)
-        max_cv = max(max_cv,abs(dot(q,v)))
-        max_ca = max(max_ca,abs(dot(q,ap)+dot(v,v)))
-    qe = [math.cos(1),math.sin(1)]
-    ve = [-math.sin(1),math.cos(1)]
-    ae = [-x for x in qe]
-    errors = [math.hypot(*[x[i]-y[i] for i in range(2)]) for x,y in ((q,qe),(v,ve),(ap,ae))]
-    return *errors, max_cv, max_ca
-
-for variant in ('naive','weighted_mass','physical','moving_null'):
-    print(variant)
-    previous = None
-    for k in range(5,11):
-        h = 2**(-k)
-        errors = moving_null(h) if variant == 'moving_null' else scalar(h,variant)
-        order = math.log(previous/errors[0],2) if previous else float('nan')
-        print(f'h={h:.9g} errors='+','.join(f'{x:.10e}' for x in errors)+f' pU={order:.6f}')
-        previous = errors[0]
-```
-
-Newton correction cutoff `1e-14`는 이 독립 double-precision probe의 반복 종료값이다. Solver convergence 또는 reference acceptance tolerance로 채택하지 않는다. 미세 h의 acceleration 오차에는 displacement 차분의 roundoff가 포함되므로 표의 관측값을 정확한 수학 상수로 해석하지 않는다.
-
-## 후속 full Cartesian moving-null 검산
-
-추가 Numerical 작업에서 메인이 [full_coordinate_probe.py](../../.harness/build/hht-numerical/full_coordinate_probe.py)를 작성했고 수치 검토자가 residual/Jacobian 식을 읽고 아래 명령을 재실행했다. Exit `0`, 2026-09-22. 이 script는 ignored build evidence이며 FESA source가 아니다. 위 angle-reduced probe와 달리 q의 두 Cartesian 성분을 직접 Newton으로 풀며 radial projection·normalization을 하지 않는다. 같은 `x=q/|q|` 모델의 exact 2×2 Jacobian을 사용한다.
-
-```powershell
-python .harness/build/hht-numerical/full_coordinate_probe.py
-```
-
-오차는 각 h의 **모든 시점**에서 q/v/physical a의 2-norm 최대다. 앞 절의 종단 오차와 다른 측정량이다.
-
-| h | max q error | max v error | max physical a error | 직전 h 대비 q/v/a 차수 |
-| --- | ---: | ---: | ---: | --- |
-| 1/128 | 6.4948801161e-6 | 6.6395874231e-6 | 1.2690547915e-5 | 1.99932 / 1.99962 / 2.01024 |
-| 1/256 | 1.6240799623e-6 | 1.6601117645e-6 | 3.1667175260e-6 | 1.99968 / 1.99981 / 2.00269 |
-| 1/512 | 4.0606299832e-7 | 4.1505196280e-7 | 7.9259171465e-7 | 1.99985 / 1.99992 / 1.99834 |
-
-마지막 grid의 최대 `||q|-1|=2.22045e-16`, `|q·v|=8.39836e-11`, `|q·a+v²|=7.91118e-7`. 상쇄 전 `Ma`의 entry products·c·f_int를 사용한 최대 normwise residual은 `7.94824e-11`, Newton 최대 3 corrections, 마지막 correction 최대 `4.00220e-16`이었다. 이 probe의 종료는 correction `<=1e-13`이며 N2의 모든 AND gate를 구현한 solver가 아니다. 위 관찰을 N2–N7 전체 통과나 실제 shell 통과로 확대하지 않는다.
-
-별도 trial `q=(.85,.52)`, predictor `(.83,.50)`, velocity predictor `(-.35,.71)`, old physical a `(-.7,-.3)`, h=.1, direction `(.6,-.8)`의 exact effective Jacobian을 중앙차분했다. N5의 j=8,10,12,14,16,18,20 순서에서 상대 오차는 `[3.13656e-5,1.96035e-6,1.22522e-7,7.65779e-9,4.77929e-10,3.25134e-11,1.04250e-11]`이다. 연속한 내부 sweep 점 j=12/14 등이 `1e-6`을 만족한다. 이는 이 2D trial/direction에 대한 미분 evidence이며 shell D3 oracle를 대체하지 않는다.
-
-Full-coordinate 결과는 새로운 [C04b](verification-cases.md)의 moving-null 구조와 max-time 측정을 지지한다. C04b의 전체 prescribed grids, 초기화 실패 mutation, regularity·scale·반복오차 분리 등 모든 판정을 실행한 것은 아니다. 더 미세한 h에서 residual이 증가할 수 있으므로 h=1/1024까지 같은 residual 기준으로 통과했다는 주장을 하지 않는다.

docs/hht-implicit-dynamics/numerical-review.md

@@ -1,11 +1,23 @@
-# HHT 독립 수치 검토·검증 계약
+# HHT 독립 정식화 검토와 제조해 검산
+
+아래 상태와 미실행 표시는 각 검토 당시의 기록이다. 이후 reference 비교와 실제 shell
+검증 결과는 [구현 수치 검토](implementation-numerical-review.md), 현재 실패·잔여 범위는
+[PRD](PRD.md)와 [전체 현황](../tracking/status.md)을 따른다.
+
+
+
+<a id="numerical-review"></a>
+
+<a id="numerical-review--hht-독립-수치-검토검증-계약"></a>
+## HHT 독립 수치 검토·검증 계약
 
 - Feature: `hht-implicit-dynamics`; owner: `numerical-review-agent`; date: `2026-09-22`.
 - 상태: `numerical-contract-defined; io-binding-and-implementation-verification-pending`. 기존 정식화 검토에 후속 Numerical gate의 내부 판정·검증 사례·reference mapping 검토를 추가했다. Solver 기능 통과 또는 I/O schema 승인이 아니다.
-- 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [Feature PRD](PRD.md), [요구사항](requirements.md), [연구 근거](research.md), [공통 tolerance](../TOLERANCE.md).
-- 상세: [내부 수치 기준](numerical-controls.md), [검증 사례](verification-cases.md), [시간정확도 검산](numerical-review-probes.md), [추가 일차 근거](numerical-research.md), [reference mapping](reference-model.md). Solver source/tests/reference/상위 계약은 수정하지 않았다.
+- 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [Feature PRD](PRD.md), [요구사항](requirements.md), [연구 근거](research.md#research), [공통 tolerance](../TOLERANCE.md).
+- 상세: [내부 수치 기준](numerical-controls.md), [검증 사례](verification-cases.md), [시간정확도 검산](numerical-review.md#numerical-review-probes), [추가 일차 근거](research.md#numerical-research), [reference mapping](reference-model.md). Solver source/tests/reference/상위 계약은 수정하지 않았다.
 
-## 결론
+<a id="numerical-review--결론"></a>
+### 결론
 
 [주 정식화](formulation.md)와 [관성 상세](formulation-inertia.md)를 독립 대조했다. **현재 physical/algorithmic 가속도 분리 후보의 표시된 수식에서 새 오류는 발견하지 않았다.** 사용자는 [HHT-ADR-007](ADR.md)에서 consistent kinetic mass를 선택했다. 내부 수치값과 반증 가능한 사례를 구체화했으며 Numerical 계약은 후속 I/O/구현에 인계할 수 있다. 실제 finite-rotation shell의 drilling DAE·시간수렴·reference 검증은 구현 후 필수 evidence다. 이 미실행을 수식 모순이나 코드 작성 금지로 해석하지 않는다.
 
@@ -18,7 +30,8 @@
 
 숫자의 norm·zero branch·단위·실행 상태는 [numerical-controls](numerical-controls.md)가 원본이다. 위 요약의 값만 떼어 다른 metric에 적용하지 않는다. 기존 정적 외력 상대 1%/absolute `1e-3`나 eigen 외부 RMS 예외를 동적 Newton에 승계하지 않았다.
 
-## 위험과 수정 반영
+<a id="numerical-review--위험과-수정-반영"></a>
+### 위험과 수정 반영
 
 | ID | 판단 | 근거·필요 조치 |
 | --- | --- | --- |
@@ -27,7 +40,8 @@
 | HHT-NR-003 | Endpoint physical `a`와 auxiliary `A` 분리 **SUPPORTED CANDIDATE** | `A1=(1+alpha)a1-alpha*a0`, Newmark에는 A, endpoint balance에는 a. Smooth variable-mass와 한 moving-null 제조해에서 U/V/a의 2차 경향 확인. 일반 shell DAE 수렴 증명·구현 통과는 아니다. |
 | HHT-NR-004 | `A`를 physical acceleration으로 출력 **FAIL; 현 후보에서 구분 완료** | 위 후보에서도 A의 endpoint 오차는 1차다. 주 정식화 §§4–6이 a/A와 endpoint reaction을 구분한다. 영속 결과 선택은 I/O owner의 후속 계약이다. |
 
-## 수식 대조 결과
+<a id="numerical-review--수식-대조-결과"></a>
+### 수식 대조 결과
 
 | 검토 항목 | 결과와 evidence |
 | --- | --- |
@@ -39,7 +53,8 @@
 | 반력·에너지·회복 | Endpoint `E=I+f_int-F`, reaction의 support-on-structure 부호, `M_spatial=Jl^-T m_phi`의 가상일 관계는 일관된다. `R_HHT,c`와 endpoint reaction을 구별한다. `T+U_phys+U_drill-W`는 이산 에너지 결함이며 물리 damping이 아니다. Numerical drill을 physical section stress에 넣지 않는다. |
 | State·안정성·coverage | 같은 trial의 q/v/a/A·tangent·recovery, 원자적 commit, 실패 history 보존 및 fixed dt 실패 종료는 수식과 일치한다. 기존 MITC의 locking/왜곡/chart 경계는 사라지지 않는다. U/UR reference만으로 V/A/에너지·큰 회전·hidden constraint를 검증할 수 없다. |
 
-## 계약 결정과 후속 검증의 구분
+<a id="numerical-review--계약-결정과-후속-검증의-구분"></a>
+### 계약 결정과 후속 검증의 구분
 
 | ID | 영향·owner | 필요한 해소 |
 | --- | --- | --- |
@@ -49,16 +64,188 @@
 
 후속 필수 검증은 정식화 §7과 연구 HHT-E01–E10을 따른다. 특히 실제 shell의 3차 director/관성 tangent directional derivative, 초기 drilling acceleration coupling, 좌표변환 후 동일 물리 모델, kinetic-energy derivative·관성 force/moment 평형, 선형 alpha=0 에너지 및 비선형 에너지 결함 시간수렴을 포함해야 한다. 일반 비선형 HHT에 정확 에너지 보존·매 frame 단조감소를 강제하지 않는다.
 
-## Reference tolerance 적용 경계
+<a id="numerical-review--reference-tolerance-적용-경계"></a>
+### Reference tolerance 적용 경계
 
 [reference-model](reference-model.md)을 독립 대조해 수치 비교 정의에 이견이 없음을 확인했다. 원본 inventory의 직접 재집계는 그 문서에 기록된 main evidence다. `Step-1/increment/instance/node/component` identity, frame별 `U-global`/`UR-global` 27 scalars씩 총202 families, 9-node projection 전후 사전검사를 사용한다. CSV decimal time `n/10`과 FESA scheduled binary64 `n*h`를 각각 검증한 뒤 integer increment로 연결하므로 표시 decimal과 부동소수점 곱의 차이를 nearest-time tolerance로 숨기지 않는다. 실제 HDF5 field/schema는 후속 I/O가 연결한다.
 
-[TOLERANCE](../TOLERANCE.md)의 near-zero band `0.01S`, 일반 행 relative `0.05`, relative RMS `0.01`, `S=0` exact-zero를 그대로 사용한다. U blocking, UR warning-only이나 identity/finite 오류는 전체 실패다. Eigen RMS 예외는 적용하지 않는다. Reference 비교는 **미실행**이다. 9개 node가 중심 주변 3×3 patch라는 coverage 한계 및 성긴 `dt/T1≈7.4567`을 보존한다.
+[TOLERANCE](../TOLERANCE.md)의 near-zero band `0.01S`, 일반 행 relative `0.05`, relative RMS `0.01`, `S=0` exact-zero를 그대로 사용한다. U blocking, UR warning-only이나 identity/finite 오류는 전체 실패다. Eigen RMS 예외는 적용하지 않는다. 이 정식화 검토 당시 Reference 비교는 **미실행**이었다. 9개 node가 중심 주변 3×3 patch라는 coverage 한계 및 성긴 `dt/T1≈7.4567`을 보존한다.
 
-## 실행 evidence와 한계
+<a id="numerical-review--실행-evidence와-한계"></a>
+### 실행 evidence와 한계
 
-[독립 검산](numerical-review-probes.md)의 기존 SDOF/angle-reduced moving-null은 **종단 오차** evidence로 재사용했다. 후속 main의 full Cartesian 2×2 residual/Jacobian probe를 읽고 한 번 재실행하여 exit `0` 및 **전체 시점 최대오차**를 확인했다. 마지막 refinement의 q/v/a 차수는 `1.99985/1.99992/1.99834`, full residual 최대 `7.94824e-11`, 최대 Newton3 corrections였다. 별도 Jacobian의 고정 step sweep도 연속한 내부 점에서 `1e-6` 이하를 보였다. 이 관찰은 N2–N7의 모든 gate나 실제 shell을 통과한 실행이 아니다.
+[독립 검산](numerical-review.md#numerical-review-probes)의 기존 SDOF/angle-reduced moving-null은 **종단 오차** evidence로 재사용했다. 후속 main의 full Cartesian 2×2 residual/Jacobian probe를 읽고 한 번 재실행하여 exit `0` 및 **전체 시점 최대오차**를 확인했다. 마지막 refinement의 q/v/a 차수는 `1.99985/1.99992/1.99834`, full residual 최대 `7.94824e-11`, 최대 Newton3 corrections였다. 별도 Jacobian의 고정 step sweep도 연속한 내부 점에서 `1e-6` 이하를 보였다. 이 관찰은 N2–N7의 모든 gate나 실제 shell을 통과한 실행이 아니다.
 
 본 owner의 4개 문서에서 로컬 링크 대상·trailing whitespace를 검사하여 문제 0개였다. Binary64 scalar 계산으로 `gamma4096=4.54747e-13`, `gamma64/(2^-32)=3.05176e-5` 및 `diag(1,c)`의 c=`2^-31,2^-32,2^-33,0`에 대한 conditioning 경계 판정 `pass,pass,fail,fail`을 확인했다. 이는 scalar 산술 확인이며 C05의 실제 mass/condition-estimator 실행 통과가 아니다.
 
 잔여 위험은 선택 consistent mass의 실제 shell constant-rank/regularity, D3 구현과 small-angle 경계, 큰 h의 시간 alias, 초기·finite-dt hidden constraints, 조건수 추정의 forward-error 한계다. C01–C12가 이를 검출하도록 설계됐고 아직 solver 실행 결과는 없다. Build/CTest, FESA 동적 해석, Abaqus, 외부 reference comparison은 이번 문서 작업 범위에서 실행하지 않았다.
+
+<a id="numerical-review-probes"></a>
+
+<a id="numerical-review-probes--hht-독립-시간정확도-검산"></a>
+## HHT 독립 시간정확도 검산
+
+[검토 보고서](numerical-review.md#numerical-review)의 상세 evidence다. 2026-09-22 Python 표준 라이브러리만 사용했다. FESA solver, Abaqus 또는 reference 비교 실행이 아니다. 아래 오차는 승인 tolerance를 새로 정하는 값이 아니라 정확해와의 수렴 관찰값이다.
+
+<a id="numerical-review-probes--모델과-결과"></a>
+### 모델과 결과
+
+1. Smooth SDOF: `T=.5(1+q²)v²`, `c=qv²`, `q_exact=.4+sin(t)`, `f=(1+q_exact²)a_exact+q_exact v_exact²`, `0≤t≤1`. 초기 `q=.4,v=1,a=0`. 입력은 일관된 무차원 검산 단위다. `alpha=-.05,beta=.275625,gamma=.55`.
+2. Moving-null: `x(q)=q/|q|`, `T=.5|Dx(q)v|²`, `U=.5(|q|-1)²`, `q∈R²\{0}`. `r=|q|`, `d=q/r`, `M=(I-ddᵀ)/r²`, `c=-2(q·v)Mv/r²`, `f_int=(r-1)d`. `ker M=span(q)`가 회전한다. 정확해 `q=(cos t,sin t)`, `v=(-sin t,cos t)`, `a=-q`; 초기 위치·속도·가속도 대수조건은 일관된다. Endpoint 반경 대수조건 `r=1`은 각도 parameterization으로 정확하게 강제하며 tangent 평형만 Newton으로 푼다. 이 모델은 shell/drilling 구현이나 일반 singular-DAE 정리의 대체물이 아니다.
+
+| SDOF 방법 | `h=1/512` U 오차 | `h=1/1024` U 오차 | 관측 차수 |
+| --- | ---: | ---: | ---: |
+| Naive `M1 A1+(1+alpha)g1-alpha g0=0` | 1.0272820368e-5 | 5.2200068232e-6 | 0.976709 |
+| Weighted mass `((1+alpha)M1-alpha M0)A1+(1+alpha)g1-alpha g0=0` | 3.2914014847e-7 | 8.2299941973e-8 | 1.999739 |
+| Endpoint physical `M1 a1+g1=0`, `A1=(1+alpha)a1-alpha a0` | 2.7561411953e-7 | 6.8902116013e-8 | 2.000030 |
+
+`g=c-f`. 마지막 방법의 physical acceleration 오차는 `2.3176116737e-7 → 5.7545108678e-8`로 줄지만 algorithmic `A` 오차는 `5.2612378749e-5 → 2.6344436092e-5`다. 따라서 `A`를 endpoint physical acceleration으로 보고하면 안 된다.
+
+Moving-null 마지막 방법은 같은 두 h에서 U 오차 `4.0606413493e-7 → 1.0152120526e-7`, V 오차 `4.1505360817e-7 → 1.0376522277e-7`, physical a 오차 `4.1511310820e-7 → 1.0262747089e-7`를 보였다. `max|q·v|`는 `8.4282e-11 → 1.0594e-11`, `max|q·a+v²|`는 `7.9368e-7 → 1.9445e-7`다. Endpoint 위치 대수조건을 지켜도 미분된 속도·가속도 조건이 매 frame 정확히 0이 되는 것은 아니다. 이 결함의 시간수렴과 초기 일관성을 별도로 검증해야 한다.
+
+<a id="numerical-review-probes--독립-수학-대조"></a>
+### 독립 수학 대조
+
+Smooth 물리식 `M(q)a+g(q,v,t)=0`에서 Newmark 내부 가속도의 정확해 대응은 `A=a+alpha*h*adot+O(h²)`다. Naive 식의 일차 결함은
+
+`alpha*h*(M*adot+gdot)=-alpha*h*Mdot*a`.
+
+따라서 `Mdot*a≠0`인 일반 문제에서 상수 M 증명을 그대로 사용할 수 없다. Weighted mass는 이 항을 상쇄하지만 `alpha∈(-1,0)`이면 서로 다른 두 시점의 양의 준정부호 질량의 양의 결합이다. 그 영공간은 두 영공간의 교집합이므로, 영공간이 회전하면 rank가 늘어날 수 있다. 단순 SDOF의 2차 결과가 이를 정당화하지 않는다.
+
+Physical/algorithmic 가속도 분리는 [Brüls–Arnold 원문](https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/27088/1/pa_BrulsArnold2008_TheGeneralizedAlphaSchemeAsALinearMultistepIntegrator.pdf)의 Eq. (5), (7), (8)에 `alpha_m=0,alpha_f=-alpha`를 대입한 것이다. 원문의 p.6 equivalent-model/index-3 가정은 비특이 mass 및 제약 정칙성을 사용한다. Singular drilling mass에 그 증명을 직접 적용하지 않는다. 이 문서의 제조해와 결함 계산은 독립 검산이다.
+
+<a id="numerical-review-probes--재현-코드와-명령"></a>
+### 재현 코드와 명령
+
+Workspace root에서 다음 명령으로 아래 Python block만 실행한다. 외부 package, 파일 생성 또는 solver 실행은 없다.
+
+```powershell
+python -c 'from pathlib import Path; s=Path("docs/hht-implicit-dynamics/numerical-review-probes.md").read_text(encoding="utf-8"); exec(s.split(chr(96)*3+"python\n",1)[1].split(chr(96)*3,1)[0])'
+```
+
+```python
+import math
+
+alpha = -.05
+beta = (1-alpha)**2/4
+gamma = .5-alpha
+
+def exact(t):
+    return .4+math.sin(t), math.cos(t), -math.sin(t)
+
+def force(t):
+    q, v, a = exact(t)
+    return (1+q*q)*a+q*v*v
+
+def scalar(h, variant):
+    q, v, ap = exact(0)
+    A = ap
+    for n in range(round(1/h)):
+        t = (n+1)*h
+        m0 = 1+q*q
+        g0 = q*v*v-force(n*h)
+        oldap = ap
+        pred = q+h*v+h*h*(.5-beta)*A
+        vpred = v+h*(1-gamma)*A
+        def calc(x):
+            an = (x-pred)/(beta*h*h)
+            vn = vpred+gamma*h*an
+            m = 1+x*x
+            if variant == 'physical':
+                pn = (an+alpha*oldap)/(1+alpha)
+                r = m*pn+x*vn*vn-force(t)
+                dr = 2*x*pn+m/((1+alpha)*beta*h*h)+vn*vn+2*x*vn*gamma/(beta*h)
+            else:
+                me = m if variant == 'naive' else (1+alpha)*m-alpha*m0
+                dm = 2*x if variant == 'naive' else (1+alpha)*2*x
+                r = me*an+(1+alpha)*(x*vn*vn-force(t))-alpha*g0
+                dr = dm*an+me/(beta*h*h)+(1+alpha)*(vn*vn+2*x*vn*gamma/(beta*h))
+                pn = an
+            return r, dr, vn, an, pn
+        x = pred+beta*h*h*A
+        for _ in range(20):
+            r, dr, *_ = calc(x)
+            dx = -r/dr
+            x += dx
+            if abs(dx) < 1e-14:
+                break
+        else:
+            raise RuntimeError('scalar Newton failed')
+        q = x
+        _, _, v, A, ap = calc(q)
+    qe, ve, ae = exact(1)
+    return abs(q-qe), abs(v-ve), abs(ap-ae), abs(A-ae)
+
+def moving_null(h):
+    q, v, ap = [1.,0.], [0.,1.], [-1.,0.]
+    A = ap[:]
+    theta = 0.
+    max_cv = max_ca = 0.
+    dot = lambda x,y: sum(x[i]*y[i] for i in range(2))
+    for _ in range(round(1/h)):
+        pred = [q[i]+h*v[i]+h*h*(.5-beta)*A[i] for i in range(2)]
+        vp = [v[i]+h*(1-gamma)*A[i] for i in range(2)]
+        old = ap[:]
+        theta += h
+        def calc(angle):
+            d = [math.cos(angle),math.sin(angle)]
+            tangent = [-d[1],d[0]]
+            an = [(d[i]-pred[i])/(beta*h*h) for i in range(2)]
+            vn = [vp[i]+gamma*h*an[i] for i in range(2)]
+            pn = [(an[i]+alpha*old[i])/(1+alpha) for i in range(2)]
+            dv, tv = dot(d,vn), dot(tangent,vn)
+            residual = dot(pn,tangent)-2*dv*tv
+            derivative = 1/((1+alpha)*beta*h*h)-dot(pn,d)-2*(tv*tv+dv*(-dv+gamma/(beta*h)))
+            return residual, derivative, d, vn, pn, an
+        for _ in range(15):
+            r, dr, *_ = calc(theta)
+            dx = -r/dr
+            theta += dx
+            if abs(dx) < 1e-14:
+                break
+        else:
+            raise RuntimeError('moving-null Newton failed')
+        _, _, q, v, ap, A = calc(theta)
+        max_cv = max(max_cv,abs(dot(q,v)))
+        max_ca = max(max_ca,abs(dot(q,ap)+dot(v,v)))
+    qe = [math.cos(1),math.sin(1)]
+    ve = [-math.sin(1),math.cos(1)]
+    ae = [-x for x in qe]
+    errors = [math.hypot(*[x[i]-y[i] for i in range(2)]) for x,y in ((q,qe),(v,ve),(ap,ae))]
+    return *errors, max_cv, max_ca
+
+for variant in ('naive','weighted_mass','physical','moving_null'):
+    print(variant)
+    previous = None
+    for k in range(5,11):
+        h = 2**(-k)
+        errors = moving_null(h) if variant == 'moving_null' else scalar(h,variant)
+        order = math.log(previous/errors[0],2) if previous else float('nan')
+        print(f'h={h:.9g} errors='+','.join(f'{x:.10e}' for x in errors)+f' pU={order:.6f}')
+        previous = errors[0]
+```
+
+Newton correction cutoff `1e-14`는 이 독립 double-precision probe의 반복 종료값이다. Solver convergence 또는 reference acceptance tolerance로 채택하지 않는다. 미세 h의 acceleration 오차에는 displacement 차분의 roundoff가 포함되므로 표의 관측값을 정확한 수학 상수로 해석하지 않는다.
+
+<a id="numerical-review-probes--후속-full-cartesian-moving-null-검산"></a>
+### 후속 full Cartesian moving-null 검산
+
+추가 Numerical 작업에서 메인이 full_coordinate_probe.py（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/full_coordinate_probe.py`, 현재 checkout에 없음）를 작성했고 수치 검토자가 residual/Jacobian 식을 읽고 아래 명령을 재실행했다. Exit `0`, 2026-09-22. 이 script는 ignored build evidence이며 FESA source가 아니다. 위 angle-reduced probe와 달리 q의 두 Cartesian 성분을 직접 Newton으로 풀며 radial projection·normalization을 하지 않는다. 같은 `x=q/|q|` 모델의 exact 2×2 Jacobian을 사용한다.
+
+```powershell
+python .harness/build/hht-numerical/full_coordinate_probe.py
+```
+
+오차는 각 h의 **모든 시점**에서 q/v/physical a의 2-norm 최대다. 앞 절의 종단 오차와 다른 측정량이다.
+
+| h | max q error | max v error | max physical a error | 직전 h 대비 q/v/a 차수 |
+| --- | ---: | ---: | ---: | --- |
+| 1/128 | 6.4948801161e-6 | 6.6395874231e-6 | 1.2690547915e-5 | 1.99932 / 1.99962 / 2.01024 |
+| 1/256 | 1.6240799623e-6 | 1.6601117645e-6 | 3.1667175260e-6 | 1.99968 / 1.99981 / 2.00269 |
+| 1/512 | 4.0606299832e-7 | 4.1505196280e-7 | 7.9259171465e-7 | 1.99985 / 1.99992 / 1.99834 |
+
+마지막 grid의 최대 `||q|-1|=2.22045e-16`, `|q·v|=8.39836e-11`, `|q·a+v²|=7.91118e-7`. 상쇄 전 `Ma`의 entry products·c·f_int를 사용한 최대 normwise residual은 `7.94824e-11`, Newton 최대 3 corrections, 마지막 correction 최대 `4.00220e-16`이었다. 이 probe의 종료는 correction `<=1e-13`이며 N2의 모든 AND gate를 구현한 solver가 아니다. 위 관찰을 N2–N7 전체 통과나 실제 shell 통과로 확대하지 않는다.
+
+별도 trial `q=(.85,.52)`, predictor `(.83,.50)`, velocity predictor `(-.35,.71)`, old physical a `(-.7,-.3)`, h=.1, direction `(.6,-.8)`의 exact effective Jacobian을 중앙차분했다. N5의 j=8,10,12,14,16,18,20 순서에서 상대 오차는 `[3.13656e-5,1.96035e-6,1.22522e-7,7.65779e-9,4.77929e-10,3.25134e-11,1.04250e-11]`이다. 연속한 내부 sweep 점 j=12/14 등이 `1e-6`을 만족한다. 이는 이 2D trial/direction에 대한 미분 evidence이며 shell D3 oracle를 대체하지 않는다.
+
+Full-coordinate 결과는 새로운 [C04b](verification-cases.md)의 moving-null 구조와 max-time 측정을 지지한다. C04b의 전체 prescribed grids, 초기화 실패 mutation, regularity·scale·반복오차 분리 등 모든 판정을 실행한 것은 아니다. 더 미세한 h에서 residual이 증가할 수 있으므로 h=1/1024까지 같은 residual 기준으로 통과했다는 주장을 하지 않는다.

docs/hht-implicit-dynamics/physics-evaluation.md

@@ -17,7 +17,7 @@
 
 ## 원본 HDF5 독립 계산
 
-현재 [공식 HDF5](../../reference/shellNL-dyn-meshfine/shellNL-dyn-meshfine_results.h5)의 SHA256은 `f07beddaa232abe314e20210534a243d6deaf1f677c598c64f9334428bbecb56`이다. 9월 26일 volume·평형 계산의 원본은 [수정 전 보관본](../../.harness/build/hht-numerical/reference-before-recovery-fix.h5), SHA256 `23bac93d1f7998b2f74a0f68767ae98a9899ee92c53f5170d08a814d3ee936d4`다. 9월 27일 `uv run --with h5py python -B -`로 두 파일의 2033 datasets를 독립 대조했다. 값이 다른 dataset은 100개 noninitial section resultants뿐이다. 해당 dataset 안의 M 성분은 새 값이 옛 값의 정확히 `.5`배이며 N/Q 성분은 같다. 2025 floating datasets의 byte 비교에서도 그 100개 외 변경은 없다. 따라서 아래 평형·kinetic energy·운동학·stress 계산은 동일 데이터에 관한 근거로 유효하며, 굽힘 결과는 아래 새 재검산으로 대체한다.
+현재 공식 HDF5（당시 경로: `../../reference/shellNL-dyn-meshfine/shellNL-dyn-meshfine_results.h5`, 현재 checkout에 없음）의 SHA256은 `f07beddaa232abe314e20210534a243d6deaf1f677c598c64f9334428bbecb56`이다. 9월 26일 volume·평형 계산의 원본은 수정 전 보관본（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/reference-before-recovery-fix.h5`, 현재 checkout에 없음）, SHA256 `23bac93d1f7998b2f74a0f68767ae98a9899ee92c53f5170d08a814d3ee936d4`다. 9월 27일 `uv run --with h5py python -B -`로 두 파일의 2033 datasets를 독립 대조했다. 값이 다른 dataset은 100개 noninitial section resultants뿐이다. 해당 dataset 안의 M 성분은 새 값이 옛 값의 정확히 `.5`배이며 N/Q 성분은 같다. 2025 floating datasets의 byte 비교에서도 그 100개 외 변경은 없다. 따라서 아래 평형·kinetic energy·운동학·stress 계산은 동일 데이터에 관한 근거로 유효하며, 굽힘 결과는 아래 새 재검산으로 대체한다.
 
 Reviewer는 solver/build 및 artifact 재생성을 실행하지 않았다. 검토는 stdin Python/NumPy 계산과 실행 결과 열람이다. 모든 floating result 값의 finite 확인은 수정 전 audit와 수정 후 finite M 재검산·나머지 데이터 동일성으로 유지된다. 단위는 `consistent-input-units`; 이하 L/F/T는 입력 length/force/time이며 SI로 단정하지 않는다.
 
@@ -49,17 +49,17 @@ Plane-stress `C=E/(1−nu²)[[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1−nu)/2]]`로 모든 101
 
 Frame1, internal element `12`(0-based; source `Part-1-1`, element label `13`), GP2에서 `kappa11=kappa22=−1.72598199555e-5` L^-1이다. `t=.5,E=2.1e11,nu=.3`이면 `M11=M22=−53936.9373610` F다. 수정 전 저장값은 `−107873.8747221` F였고 수정 후 `−53936.93736103468` F로 일치한다. 같은 점의 `S11(bottom,middle,top)=(795234.504841,−499254.790420,−1793738.488372)` F/L²에서 독립 두께 moment `t²(S_top−S_bottom)/12`도 약 `−53936.93736` F다. Source identity는 HDF5 `/model/elements`의 해당 행으로 정한다.
 
-전 frame의 face stress 차분 적분과 수정 M의 최대 절대차는 `4.07217431e-6` F, 위 symmetric relative metric은 `1.93401205e-10`이다. 한쪽 `max|M|`만 분모로 쓰는 [main audit](../../.harness/build/hht-numerical/reference-recovery-audit-20260927.json)의 metric은 `3.86802409e-10`으로 동일 차이를 표현한다. 고 E·작은 strain에서 별도 평가된 face stress의 차감은 curvature 대조보다 민감하다. **Face identity가 전역 `1e-12`로 일치한다고 주장하지 않는다.** 수정 전 2배 오류 해소와 유한정밀도 차감 차이를 구별한다.
+전 frame의 face stress 차분 적분과 수정 M의 최대 절대차는 `4.07217431e-6` F, 위 symmetric relative metric은 `1.93401205e-10`이다. 한쪽 `max|M|`만 분모로 쓰는 main audit（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/reference-recovery-audit-20260927.json`, 현재 checkout에 없음）의 metric은 `3.86802409e-10`으로 동일 차이를 표현한다. 고 E·작은 strain에서 별도 평가된 face stress의 차감은 curvature 대조보다 민감하다. **Face identity가 전역 `1e-12`로 일치한다고 주장하지 않는다.** 수정 전 2배 오류 해소와 유한정밀도 차감 차이를 구별한다.
 
 Generalized strain은 midsurface 값이 아니라 두께 평균/moment다. 따라서 `C epsilon0`와 middle stress의 작은 차이, top/bottom 평균과 middle stress의 작은 차이를 오류로 판정하지 않았다. 최대 membrane strain `5.07413e-6`, curvature `1.72598e-5` L^-1, transverse shear strain `4.28336e-6`, stress `1.79377197e6` F/L²는 작은 탄성 변형률 규모와 일관된다. Numerical drill이 physical stress에 포함됐다고 단정할 근거는 없다.
 
 ## C08 및 제한 evidence
 
-[9월 26일 C08 diagnostic 로그](../../.harness/build/hht-numerical/c08-diagnostic-20260926.log)는 195745 ms에 1 PASS/2 FAIL로 종료해 [이전 로그](../../.harness/build/hht-numerical/c08-optimized.log)의 실패를 재현했다. C08a pointwise 독립 volume force/power/momentum은 최대 회전 `.54757231145` rad에서 PASS다. 시간 이력의 acceleration 차수/오차 실패와 finest N7 noise 분리 미달은 별도로 남는다.
+9월 26일 C08 diagnostic 로그（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c08-diagnostic-20260926.log`, 현재 checkout에 없음）는 195745 ms에 1 PASS/2 FAIL로 종료해 이전 로그（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c08-optimized.log`, 현재 checkout에 없음）의 실패를 재현했다. C08a pointwise 독립 volume force/power/momentum은 최대 회전 `.54757231145` rad에서 PASS다. 시간 이력의 acceleration 차수/오차 실패와 finest N7 noise 분리 미달은 별도로 남는다.
 
 C08b finest q_u/q_phi/v_u/v_phi/a_u/a_phi self-difference는 `(5.54743e-6,1.38701e-4,1.77613e-4,.0115434,.0119796,.868939)`다. q_u 외 채널은 finest `1e-4`를 넘는다. 최대 회전 약 `.27266` rad로 finite-rotation 범위는 도달했다. Energy/L error finest `9.55904e-7/4.29749e-7`, 마지막 refinement 비율 `.248198/.250140`은 C08b bounds와 일치한다. P error는 `3.85047e-14→4.82500e-14→2.00403e-13`으로 작지만 감소 조건에 실패했다. Roundoff 수준이라는 관찰로 승인 감소 조건을 면제하지 않는다. Finest hidden v/a defect `1.46403e-6/.00158291`은 진단량이며 N2 tolerance에 임의 대입하지 않는다.
 
-후속 [회복 후보 probe](../../.harness/build/hht-numerical/c08-recovery-probe-20260926.log)는 3 tests/1 PASS/2 FAIL이며, [C08a split 수정 실행](../../.harness/build/hht-numerical/c08-recovery-split-spectrum-20260927.log)은 2 tests/1 PASS/1 FAIL이다. C08a recovered angular-a finest 최대오차 `1.005829141075e-4`, 마지막 두 raw 차수 `1.77942349/1.99162617`은 기존 bounds를 모두 충족하지 않는다. 수정된 split의 finest null/physical maximum은 `4.64641213e-7/1.00582661e-4`로 physical complement가 지배한다. 최초 probe의 C08a split=0은 loop 누락 diagnostic이므로 근거로 사용하지 않는다.
+후속 회복 후보 probe（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c08-recovery-probe-20260926.log`, 현재 checkout에 없음）는 3 tests/1 PASS/2 FAIL이며, C08a split 수정 실행（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c08-recovery-split-spectrum-20260927.log`, 현재 checkout에 없음）은 2 tests/1 PASS/1 FAIL이다. C08a recovered angular-a finest 최대오차 `1.005829141075e-4`, 마지막 두 raw 차수 `1.77942349/1.99162617`은 기존 bounds를 모두 충족하지 않는다. 수정된 split의 finest null/physical maximum은 `4.64641213e-7/1.00582661e-4`로 physical complement가 지배한다. 최초 probe의 C08a split=0은 loop 누락 diagnostic이므로 근거로 사용하지 않는다.
 
 C08b recovered angular-a self-difference는 `.846306569/.881654308/.982191000/.868938661`로 수렴하지 않는다. Finest physical/null maximum은 `.868938153/.00286332558`이다. q/v를 유지하는 null-only recovery로 이 physical complement 오류가 해소되지 않는다는 근거다. Maximum들은 서로 다른 node/time일 수 있어 제곱합으로 합치지 않는다. Post-hidden2 ratio는 C08a finest `2.81779e-16`, C08b pair별 약 `6.06e-17..1.45e-16`으로 작아졌지만, [독립 수치 검토](implementation-numerical-review.md)의 explicit-time scale·recovery N7 noise qualification이 남는다. **Hidden2 개선은 시간 정확도·후보 채택 승인과 다르며 recovered-a order는 INCONCLUSIVE다.** 원 a_h의 FAIL은 그대로다.
 
@@ -67,8 +67,8 @@ C08b recovered angular-a self-difference는 `.846306569/.881654308/.982191000/.8
 
 ## Evidence와 잔여 위험
 
-- [원본 INP](../../reference/shellNL-dyn-meshfine/shellNL-dyn-meshfine.inp), [CSV](<../../reference/shellNL-dyn-meshfine/shellNL-dyn-meshfine displacements.csv>), [완료 Newton 로그](../../reference/shellNL-dyn-meshfine/shellNL-dyn-meshfine_log.txt), [수정 후 비교 JSON](../../.harness/build/hht-numerical/reference-after-recovery-fix.json): U 101 families PASS/UR warnings 200. [수정 전 비교 JSON](../../.harness/build/hht-numerical/reference-comparison.json)의 precheck 441774 scalars, U RMS 최대 `.00227058974`, UR RMS 최대 `.02533113821` 근거도 U/UR 데이터 동일성 범위에서 유지된다. 원본 9 nodes의 U/UR projection만 비교한다.
-- [Debug focused](../../.harness/build/hht-numerical/focused-debug-complete.log), [stable kernel](../../.harness/build/hht-numerical/focused-stable-kernel.log), [exact constraints](../../.harness/build/hht-numerical/focused-exact-constraint.log), [C04a Decimal80](../../.harness/build/hht-numerical/c04a-decimal-reduction.json), [독립 수치 검토](implementation-numerical-review.md).
-- [Recovery 수정 후 optimized focused](../../.harness/build/hht-numerical/recovery-green-optimized.log): 13 tests PASS. 수정 전 HDF5를 소급하여 수정하지 않으며 공식 재생성 결과의 별도 검산은 위 SHA256과 수치로 구분한다.
+- [원본 INP](../../reference/shellNL-dyn-meshfine/shellNL-dyn-meshfine.inp), [CSV](<../../reference/shellNL-dyn-meshfine/shellNL-dyn-meshfine displacements.csv>), 완료 Newton 로그（당시 경로: `../../reference/shellNL-dyn-meshfine/shellNL-dyn-meshfine_log.txt`, 현재 checkout에 없음）, 수정 후 비교 JSON（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/reference-after-recovery-fix.json`, 현재 checkout에 없음）: U 101 families PASS/UR warnings 200. 수정 전 비교 JSON（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/reference-comparison.json`, 현재 checkout에 없음）의 precheck 441774 scalars, U RMS 최대 `.00227058974`, UR RMS 최대 `.02533113821` 근거도 U/UR 데이터 동일성 범위에서 유지된다. 원본 9 nodes의 U/UR projection만 비교한다.
+- Debug focused（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/focused-debug-complete.log`, 현재 checkout에 없음）, stable kernel（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/focused-stable-kernel.log`, 현재 checkout에 없음）, exact constraints（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/focused-exact-constraint.log`, 현재 checkout에 없음）, C04a Decimal80（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/c04a-decimal-reduction.json`, 현재 checkout에 없음）, [독립 수치 검토](implementation-numerical-review.md).
+- Recovery 수정 후 optimized focused（당시 경로: `../../.harness/build/hht-numerical/recovery-green-optimized.log`, 현재 checkout에 없음）: 13 tests PASS. 수정 전 HDF5를 소급하여 수정하지 않으며 공식 재생성 결과의 별도 검산은 위 SHA256과 수치로 구분한다.
 
 실제 shell의 physical acceleration/무질량 좌표 시간 정확도와 C08b self-convergence는 미해결이다. 원본 굽힘 recovery 수정의 물리 대조는 완료했지만 HDF5에 없는 raw hidden vectors·regularity 조건수·N2-L 원 선형계는 이번 audit로 독립 확인하지 않았다. C09–C11 실패 보존·결정론·전체 rigid-motion coverage와 전체 Debug/CTest는 해당 실행 보고서에서 확인해야 한다. 완료 reference는 이 공백을 해소하지 않는다. 계약·수치 한계·artifact를 변경하지 않았으며 본 문서는 release 승인 문서가 아니다.

docs/hht-implicit-dynamics/reference-model.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 - Feature: `hht-implicit-dynamics`; 정적 inventory·초안 작성: 메인 assistant; 수치 비교 검토: numerical-review-agent.
 - 상태: `numerical-contract-reviewed; io-binding-and-solver-execution-pending`.
-- 기준: [요구사항](requirements.md), [정식화](formulation.md), [수치 검토](numerical-review.md), [공통 TOLERANCE](../TOLERANCE.md).
+- 기준: [요구사항](requirements.md), [정식화](formulation.md), [수치 검토](numerical-review.md#numerical-review), [공통 TOLERANCE](../TOLERANCE.md).
 
 ## 1. 원본과 모델 의미
 

docs/hht-implicit-dynamics/requirements.md

@@ -54,7 +54,7 @@ HHT implicit dynamic analysis를 도입하기 위한 요구조건을 정의한
 
 최소 목표는 원본 모델에 필요한 선형 탄성 shell의 기하비선형 implicit dynamics다. 원본의 Abaqus `S4` 이름을 처리하는 것은 FESA shell과 Abaqus 내부 정식화·적분·stabilization의 동등성 약속이 아니다. 현재 문서는 contact, 소성·손상, explicit dynamics, 다중 step/restart, 시간변화 구속, base excitation, 임의 amplitude, follower load, Rayleigh/modal damping, adaptive stepping 또는 다른 element의 동적 지원을 약속하지 않는다.
 
-[Research](research.md)에서 공식 문서에 따른 원본 입력의 생략 의미를 확인했다. 이는 reference 입력의 해석 근거이며 FESA 구현 승인이나 신규 사용자 결정이 아니다. 아래에서는 확인된 공개 의미와 남은 FESA 계약 결정을 구분한다.
+[Research](research.md#research)에서 공식 문서에 따른 원본 입력의 생략 의미를 확인했다. 이는 reference 입력의 해석 근거이며 FESA 구현 승인이나 신규 사용자 결정이 아니다. 아래에서는 확인된 공개 의미와 남은 FESA 계약 결정을 구분한다.
 
 사용자는 이번 HHT 기본 질량으로 일관질량을 명시 선택했다([HHT-ADR-007](ADR.md)). 이번 HHT의 lumped mass 지원은 제외한다. 이 선택으로 다른 미결정 physics·지원 범위·공식 schema의 승인을 추정하지 않는다.
 

docs/hht-implicit-dynamics/research.md

@@ -1,7 +1,13 @@
-# HHT implicit dynamics 연구 근거
+# HHT 연구 근거와 수치 설계
+
+
+
+<a id="research"></a>
+
+<a id="research--hht-implicit-dynamics-연구-근거"></a>
+## HHT implicit dynamics 연구 근거
 
 - Feature: `hht-implicit-dynamics`
-- Owner: `research-agent`
 - Date: `2026-09-22`
 - Status: `Research evidence; formulation and acceptance not approved`
 - 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [PRD](../PRD.md), [ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md), [ADR-028](../ADR.md#adr-028).
@@ -13,17 +19,19 @@ Abaqus 자료는 공개 입력·출력 의미를 해석하는 근거이며 내
 후속 사용자 결정으로 이번 HHT 구현의 질량은 consistent mass로 확정되었다.
 아래 lumped 비교·검증 후보는 연구 이력이며 현재 지원 요구에서 제외한다.
 
-## 1. 결론과 결정 후보
+<a id="research--1-결론과-결정-후보"></a>
+### 1. 결론과 결정 후보
 
 | 질문 | 근거와 결론 | 후속 결정 경계 |
 | --- | --- | --- |
-| HHT 계수 | 원래 음수 alpha 관례의 표준 후보는 `-1/3 ≤ alpha ≤ 0`, `gamma=1/2-alpha`, `beta=(1-alpha)^2/4`다. `alpha=0`이면 평균가속도 Newmark다. [S1](#sources), [S2](#sources) | beta/gamma 독립 입력을 허용할지, 기본 alpha와 허용 범위는 requirement/formulation에서 확정 |
-| 안정성 | 선형 안정성은 큰 dt의 정확도, 비선형 Newton 수렴 또는 임의 유한회전 에너지 안정성을 보장하지 않는다. [S3](#sources), [S8](#sources) | 시간 수렴과 반복 수렴 evidence를 별도로 지정 |
-| reference 하중 | 무접촉 기본 application은 transient fidelity이고 무 amplitude 하중은 STEP이다. 공개 기본 계수는 `(-0.05,0.275625,0.55)`다. [S4](#sources), [S5](#sources) | FESA의 지원 의미와 첫 시점 하중/초기 가속도 계약을 명시 |
-| shell mass | 현재 eigen의 consistent 원본·derived nodal lumping·drilling null은 재사용 검토 근거다. [L1](#local-evidence) | 후속 사용자 결정: shell 속도 보간의 운동에너지를 그대로 적분하는 consistent mass 채택; lumped는 이번 지원 요구에서 제외 |
+| HHT 계수 | 원래 음수 alpha 관례의 표준 후보는 `-1/3 ≤ alpha ≤ 0`, `gamma=1/2-alpha`, `beta=(1-alpha)^2/4`다. `alpha=0`이면 평균가속도 Newmark다. [S1](research.md#research), [S2](research.md#research) | beta/gamma 독립 입력을 허용할지, 기본 alpha와 허용 범위는 requirement/formulation에서 확정 |
+| 안정성 | 선형 안정성은 큰 dt의 정확도, 비선형 Newton 수렴 또는 임의 유한회전 에너지 안정성을 보장하지 않는다. [S3](research.md#research), [S8](research.md#research) | 시간 수렴과 반복 수렴 evidence를 별도로 지정 |
+| reference 하중 | 무접촉 기본 application은 transient fidelity이고 무 amplitude 하중은 STEP이다. 공개 기본 계수는 `(-0.05,0.275625,0.55)`다. [S4](research.md#research), [S5](research.md#research) | FESA의 지원 의미와 첫 시점 하중/초기 가속도 계약을 명시 |
+| shell mass | 현재 eigen의 consistent 원본·derived nodal lumping·drilling null은 재사용 검토 근거다. [L1](research.md#research) | 후속 사용자 결정: shell 속도 보간의 운동에너지를 그대로 적분하는 consistent mass 채택; lumped는 이번 지원 요구에서 제외 |
 | reference coverage | 작은 변위, 성긴 dt, 9개 절점 U/UR만 확인한다. 큰 회전·가속도·에너지 검증은 부족하다. | 아래 독립 검증 후보와 함께 사용 |
 
-## 2. HHT 이론 및 잔차 후보
+<a id="research--2-hht-이론-및-잔차-후보"></a>
+### 2. HHT 이론 및 잔차 후보
 
 **사실.** S1은 HHT 원논문의 서지·초록을 확인한 근거이고, 이번 열람에서는 본문 PDF가
 초록 페이지로 이동했다. 계수 관계는 공식 S2 §4.11.1.3에서 교차 확인했다.
@@ -69,7 +77,8 @@ Abaqus 공개 허용범위 `[-1/2,0]` 및 moderate-dissipation 기본값을 원
 에너지 보존 검증 후보이나, 비선형에서 같은 결론을 자동 적용할 수 없다. S8은
 Newmark 계열의 비선형 에너지·각운동량 보존 한계를 직접 다룬다.
 
-## 3. reference 입력의 공개 의미
+<a id="research--3-reference-입력의-공개-의미"></a>
+### 3. reference 입력의 공개 의미
 
 **사실: Abaqus 2025 문서 기준.** 버전 metadata를 reference readiness의 추가 조건으로
 요구하지 않는다. 아래 기본값을 기존 CSV에서 역으로 식별했다는 주장도 하지 않는다.
@@ -91,9 +100,10 @@ history와 가속도 초기화의 결합은 formulation/I/O owner가 명시해
 공개 STEP 문구와 U/UR CSV만으로 Abaqus의 첫 residual history 생성 절차는 확인할 수 없다.
 초기 U/UR=0은 초기 a=0의 증거가 아니다.
 
-## 4. shell mass와 유한회전 관성
+<a id="research--4-shell-mass와-유한회전-관성"></a>
+### 4. shell mass와 유한회전 관성
 
-**사실: 기존 FESA 계약.** [L1](#local-evidence)의 M1–M7은 작은 회전의
+**사실: 기존 FESA 계약.** [L1](research.md#research)의 M1–M7은 작은 회전의
 `v=H q_dot`, `M_C=integral rho H^T H dV`와 scalar thickness-moment 기반
 nodal block lumping을 정의한다. 일반 global-component row sum이 아니다.
 Consistent와 lumped는 총질량·uniform translation energy를 공유하지만 일반 속도장의
@@ -122,7 +132,8 @@ Basis가 configuration에 따라 회전하면 그 시간미분도 검토해야
 정한다. 후자를 지원한다면 기존 비선형 static internal force에 초기 M만 더하는 방식을
 독립적으로 정당화해야 한다. 이 문서는 mass 종류·drilling 처리·회전 적분을 채택하지 않는다.
 
-## 5. 현재 reference의 evidence와 한계
+<a id="research--5-현재-reference의-evidence와-한계"></a>
+### 5. 현재 reference의 evidence와 한계
 
 <a id="local-evidence"></a>
 
@@ -151,7 +162,8 @@ V/A/energy/reaction은 이 CSV에 없다.
 `UR1/UR2/UR3` warning-only 분류를 보존한다. Numerical Review는 이 분류와
 [공통 tolerance 정책](../TOLERANCE.md) 안에서 구체적인 family와 mapping을 확정한다.
 
-## 6. 독립 검증 후보 및 공백
+<a id="research--6-독립-검증-후보-및-공백"></a>
+### 6. 독립 검증 후보 및 공백
 
 아래는 **검증 설계 후보**이며 실행·통과 기록이 아니다. 허용오차와 영속 schema는 정하지 않는다.
 
@@ -177,7 +189,8 @@ Numerical Review: nonlinear convergence와 time convergence의 판정·reference
 
 <a id="sources"></a>
 
-## 출처와 열람 범위
+<a id="research--출처와-열람-범위"></a>
+### 출처와 열람 범위
 
 모든 web source의 `accessed: 2026-09-22`. ID는 본문에서 사용한 안정적인 locator다.
 
@@ -192,3 +205,162 @@ Numerical Review: nonlinear convergence와 time convergence의 판정·reference
 | S7 | Dassault Systèmes, Abaqus 2025, [*CLOAD](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2025/English/SIMACAEKEYRefMap/simakey-r-cload.htm), AMPLITUDE/FOLLOWER | 입력 의미만 |
 | S8 | Simo, J.C., Tarnow, N., Wong, K.K. (1992), *Exact energy-momentum conserving algorithms and symplectic schemes for nonlinear dynamics*, CMAME 100, 63–116. [DOI:10.1016/0045-7825(92)90115-Z](https://doi.org/10.1016/0045-7825(92)90115-Z), Abstract | 비선형 보존 한계의 1차 논문 근거; 대체 integrator 채택 아님 |
 | S9 | Idaho National Laboratory, MASTODON, [Hilber-Hughes-Taylor (HHT) Time Integration Verification](https://mastodon.inl.gov/sqa/v_and_v/kernels/time_integration/hht.html), Problem Statement and Results/Complete Input File | 재현 가능한 검증 설계 후보; 외부 solver 실행하지 않음 |
+
+<a id="numerical-research"></a>
+
+<a id="numerical-research--hht-수치-제어검증-설계-추가-근거"></a>
+## HHT 수치 제어·검증 설계 추가 근거
+
+- Feature: `hht-implicit-dynamics`
+- Date: `2026-09-22`
+- Status: `Evidence and verification candidates; numerical thresholds not selected`
+- 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [PRD](../PRD.md), [ADR](../ADR.md#adr-028), [기존 연구](research.md#research).
+
+[관성 정식화](formulation-inertia.md)와 [독립 probe](numerical-review.md#numerical-review-probes)를 읽고
+남은 질문만 조사했다. 기존 SDOF/moving-null 계산은 재실행하지 않았다.
+**사실**은 열람한 일차 자료, **도출**은 명시한 수학적 계산, **후보**는 검증 제안이다.
+수치 threshold·질량 채택·물리 범위·입출력 계약은 이 문서에서 결정하지 않는다.
+현재 질량 선택은 사용자 결정으로 consistent mass가 확정되었다. Shell 속도 보간의
+운동에너지를 그대로 적분하며, lumped는 이번 HHT 구현의 지원 요구에서 제외한다.
+
+<a id="numerical-research--1-physical-acceleration-startup와-dae-적용-경계"></a>
+### 1. Physical acceleration, startup와 DAE 적용 경계
+
+**사실 [N1].** Brüls–Arnold (2008) author postprint pp.3–4, Eq. (5)–(8)은
+물리적 `q_ddot`와 보조 acceleration-like variable을 구분하고 보조 초기값을
+물리적 초기 가속도와 같게 둔다. 이 문서의 `A`가 논문의 보조 `a`에 대응한다.
+`alpha_m=0`, `alpha_f=-alpha`를 대입하면 현재 후보의
+`A_(n+1)=(1+alpha)a_(n+1)-alpha a_n`이다. 같은 논문은 variable M일 때 이를
+force-level 가중 평형과 동일시할 수 없다고 명시한다. 이 질문에는 기존 출처가 충분하다.
+
+**사실 [N1]: 정리의 가정은 정확히 구분한다.** Printed p.6, “Equivalent model”은
+`[[M,-L],[-h_qddot,I-h_y]]` block의 비특이성과 index-3 조건
+`Phi_q g*_lambda`의 비특이성을 사용한다. 여기의 `h`는 논문 Eq. (4)의 algebraic
+output function이며 시간간격이 아니다. Controller/algebraic coupling을 제거한
+특수형에서는 첫 조건이 M의 비특이성으로 줄어든다. 논문 전체가 무조건 “M만
+비특이이면 충분”하다고 읽어서는 안 된다. “Initial value condition”의 초기 오차 조건과
+“Constrained case”의 정칙성 하에서 얻은 수렴 결과를 singular drilling에 자동 적용할 수 없다.
+
+**도출/수치 제어에의 함의.** 현재 shell의 `psi=N(q)^T g=0`는 논문의 holonomic
+`Phi=0`와 동일한 모델임이 아직 증명되지 않았다. 따라서 다음을 분리해서 관찰한다.
+
+| 관찰 대상 | 필요한 검증 후보 | 남은 한계 |
+| --- | --- | --- |
+| 첫 시점 | `a0`는 우측 물리 평형·초기 대수조건으로 결정한 뒤 `A0=a0`; 첫 step과 이후 오차를 분리 | 작은 Newton residual로 불일관 초기값이 정당화되지 않음 |
+| 물리 a와 A | 동일 시각 정확해에 대한 q/v/physical a 차수와 `A-a`를 별도 측정 | A를 물리 출력·각운동량 미분에 대입하면 안 됨 |
+| Current null | 매 configuration에서 `MN`, `N^T I`, `psi`, 양의 부분공간 mass 및 `psi_q N` 정칙성 | 이전 시점 null, 고정 UR3, 전체 M의 역행렬로 대체 불가 |
+| Hidden constraints | `psi_q v+psi_t`와 `psi_q a+psi_qq[v,v]+2psi_qt v+psi_tt`의 최대·종단 결함과 dt 수렴 | 위치 평형만 만족해도 두 결함이 0인 것은 아님 |
+| 반례 coverage | 현재 움직이는 영공간 예제를 full redundant coordinates로 풀어 기존 reduced-angle probe와 대조 | 기존 probe는 위치조건을 정확히 강제했으므로 full-coordinate Newton 구현 검증이 아님 |
+| 고정 간격 | 기존 후보에서 dt를 줄여 같은 물리 종단시각 비교 | adaptive dt·startup 재설정은 별도 scope이며 이번 근거로 추가하지 않음 |
+
+**도출.** Chart 내부의 smooth q에서 projector와 null basis는 같은 물리 영공간을 나타내야
+한다. Null vector의 부호·정규화 변경 자체와 rank 손실을 구분해야 한다.
+`psi_q`에는 `DN`이 들어가므로 basis를 고정한 finite difference는 별도 식을 검증하게 된다.
+투영 오차·hidden defect가 큰 결과를 발견하면 정확한 projection/condensation의 채택 여부는
+formulation owner에게 돌린다. 여기서는 추가 projection을 자동 제안·채택하지 않는다.
+
+<a id="numerical-research--2-double-precision-conditioning-및-미분-검증"></a>
+### 2. Double precision, conditioning 및 미분 검증
+
+**사실 [N2–N4].** IEEE double의 정상수 significand는 53 bits다. LAPACK DGECON은
+선택한 1/∞ norm의 reciprocal condition number **추정값**을 반환한다. DGESVX는
+equilibration 여부를 구별하고, factor pivot이 정확히 0인 경우와 reciprocal condition이
+machine precision보다 작은 경우를 서로 다른 INFO로 보고한다. 후자는 해·오차 추정을
+계속 계산할 수 있는 warning이다. 이 공개 library 동작은 FESA failure threshold를
+자동 승인하지 않으며 vendor routine 채택 요구도 아니다.
+
+**도출.** Binary64에서 1의 다음 표현수 간격 `eps=2^-52`, round-to-nearest 정상 범위의
+unit roundoff `u=2^-53`를 구분한다. 문헌의 “machine epsilon” 정의와 library 반환 의미를
+확인하지 않고 두 값을 혼용하면 안 된다. 작은 perturbation의 forward error는
+대략 `condition × backward error`로 증폭되므로 residual 하나로 해의 정확도를 보장하지 못한다.
+
+| 질문 | 근거에 따른 분리 및 검사 후보 |
+| --- | --- |
+| Physical mass-null인가? | `n=[0;J_l^-1 d]`, admissible free-space intersection 같은 분석적 운동학을 원본으로 삼는다. `MN`의 수치 결함과 양의 complement의 conditioning을 각각 검사한다. |
+| 작은 양의 eigenvalue인가? | 단위·두께 때문에 작은 inertia를 rcond 하나로 drilling null로 바꾸지 않는다. 예상 추가 null/geometry 이상과 positive-space accuracy loss를 구분한다. |
+| 어느 rcond인가? | Full singular M의 rcond는 positive inertia 품질을 설명하지 못한다. Positive-space mass, 초기화 algebraic block, effective Newton matrix를 각각 이름 붙이고 norm·scaling을 기록한다. |
+| 단위를 바꾸면? | 병진·회전 단위가 섞인 원행렬 condition은 단위 선택에 의존한다. `q=D qhat`, `Rhat=D^T R/Escale`이면 `Khat=D^T K D/Escale`라는 virtual-work 일관 scaling을 대조 후보로 삼는다. 기준 scale의 수치 선택은 NR 소유다. |
+| Library equilibration이면 충분한가? | Row/column equilibration은 solver conditioning 도구다. 물리적 nondimensionalization이나 예상 null proof와 동일하지 않다. 원·scaled 행렬 중 무엇을 추정했는지 보존한다. |
+
+**사실 [N5].** GSL의 central differentiation은 truncation과 roundoff를 함께 추정하여
+step을 고르며, 5-point와 3-point 차이를 오차 추정에 쓴다. 따라서 가장 작은 step을
+항상 정답으로 간주하지 않는 독립 derivative 검사 설계가 공식 수치 library의 접근과 부합한다.
+
+**도출/후보.** Dimensionless direction p에 대해 scaled 잔차의 중심차분과 `Khat p`를
+비교하면 일반적인 smooth·비상쇄 구간에서 오차형은 `C_t delta²+C_r u/delta`다.
+최적 step의 `u^(1/3)` 크기는 이 가정에서의 점근적 안내일 뿐 공통 고정값이 아니다.
+Zero derivative, 큰 residual cancellation, branch 접근에서는 계수와 error floor가 달라진다.
+여러 delta를 sweep하여 감소구간·최저 plateau·roundoff 증가구간을 기록하고, 모든 sample이
+같은 허용 chart와 geometry 안에 있는지 확인한다. Unit-aware scale을 쓰고 임의
+`max(1, norm)`로 작은 문제를 덮지 않는다.
+
+Inertia partial derivative 검사에서는 q/v/physical a 중 하나만 바꾸고 나머지는 고정한다.
+Effective tangent 검사에서는 같은 trial q에 연동되는 v, A, physical a를 모두 갱신한다.
+두 검사는 서로 다른 미분이므로 섞지 않는다. 작은 dt의 acceleration 재구성에는
+위치 차분 오차가 `1/dt²`로 증폭되므로 시간 차수 측정에서 너무 미세한 dt의 plateau를
+수학적 차수 저하로 오인하지 않는다. 기준 oracle 정밀도와 nonlinear solve 오차도 분리한다.
+
+<a id="numerical-research--3-3차-회전-미분과-운동량에너지-case-후보"></a>
+### 3. 3차 회전 미분과 운동량·에너지 case 후보
+
+**사실 [N6].** Higham–Relton의 Theorem 3.5/Algorithm 3.6은 고차 Fréchet derivative를
+재귀 block matrix function의 우상단 block으로 구한다. Matrix exponential은 smoothness
+조건을 만족한다. `P=[phi]_cross` 및 세 방향 행렬에 적용하면 24×24 exponential 하나의
+3×3 우상단 block이 3차 혼합 미분을 준다.
+
+**후보.** 이 방식에 `d0`를 곱한 결과를 Rodrigues/회전 Jacobian의 해석 미분과 비교하면
+동일 scalar coefficient 도함수를 재사용하는 자기검증을 피할 수 있다. “Exact derivative”는
+수학적 항등식을 뜻하며 부동소수점 exp 계산까지 오차가 없다는 뜻은 아니다.
+Production 의존성 추가나 24×24 exp의 runtime 사용은 요구하지 않는다.
+
+**자체 도출: 영회전의 유한 다항 oracle.** `H_p=[p]_cross` 등으로 쓰면
+
+\[
+D^3d(0)[p,s,r]=\frac16\sum_{\sigma\in S_3}
+H_{\sigma(p)}H_{\sigma(s)}H_{\sigma(r)}d_0.
+\]
+
+이는 exponential Taylor series의 cubic 항에서 바로 얻는다. 방향 permutation 대칭,
+각 방향의 선형성, 동일 방향 3회 `H_p³ d0`를 함께 검사할 수 있다. 비영 phi의
+block-exponential oracle와 `D²d`의 방향 중심차분을 추가해 영점 특례만 맞는 오류를 검출한다.
+Chart 경계 안쪽, 작은 phi, 서로 비평행한 방향을 포함하되 경계를 넘어 차분하지 않는다.
+
+| ID | 실행 가능한 검증 설계 후보 | 판정에 필요한 한계 |
+| --- | --- | --- |
+| NR-E01 | 임의 유효 shell 상태에서 spatial rigid velocity를 부여하여 kinetic energy·총 P·총 L을 독립 volume integration과 대조 | Rigid velocity는 순간 운동학 검사다. 회전하는 탄성 shell이 자유운동에서도 강체를 유지한다는 가정은 하지 않음. Consistent/lumped 각각 자신의 measure를 사용 |
+| NR-E02 | `I(q,v,a)`를 q/v/a별 미분하고 전체 effective tangent도 별도 directional check | 3차 director 항과 `D(H^T)` 누락을 분리 검출 |
+| NR-E03 | 작은 smooth 회전 구간의 자유 shell에 일관된 initial velocity를 부여하거나 짧은 smooth loading 후 unload, P/L/총에너지·work와 dt 수렴 관찰 | 초기조건/시간하중이 CLI 범위 밖이면 kernel/procedure verification 후보로만 유지. 승인 input subset 확대 금지 |
+| NR-E04 | 같은 spatial problem에 alpha=0 및 승인된 음수 alpha를 적용하고 저주파 해상 case와 높은 modal content case를 분리 | 일반 비선형 HHT의 총에너지 매 step 감소 또는 정확한 각운동량 보존을 무조건 요구하지 않음 |
+| NR-E05 | 문헌 free-flying single-layer plate를 후속 benchmark 후보로 검토 | 아래 N7은 large rotation/energy 사례의 출처다. 현재 fixed chart를 넘어서는 tumble·장시간 운동은 그대로 채택할 수 없음 |
+
+**사실 [N7].** Vu-Quoc–Tan (2003), §5.1.2/Figs.9–12는 free-flying single-layer plate의
+큰 전체 운동과 P/L/에너지 및 dissipative/nondissipative integrator 결과를 비교한다.
+해당 요소는 rotation DOF가 없는 solid-shell이므로 그 mass·응력 모델과 여기의 director shell은
+다르다. Author-uploaded 본문의 관련 절을 확인했으나 그림의 하중 위치·수치 history를
+독립 추출하지 않았다. 따라서 현 단계에서는 case family 근거이며 완성된 reference artifact가 아니다.
+
+**추론.** 현재 shell 운동학에서는 `Pdot/Ldot`에 physical a를 사용하고 numerical drill
+potential을 포함한 에너지·내력 일을 일관되게 대조해야 한다. N7의 보존형 integrator가
+보이는 exact conservation을 HHT의 요구조건으로 옮길 수 없다. [기존 연구 S8](research.md#research)의
+비선형 Newmark 보존 한계 근거는 그대로 충분하다. 추가 shell 연구는 기하·하중·시간 구간이
+승인된 chart와 입력 범위 안에 있는지 결정한 뒤에만 구체화할 필요가 있다.
+
+<a id="numerical-research--출처열람-한계와-인계"></a>
+### 출처·열람 한계와 인계
+
+`accessed: 2026-09-22`. 문서 정적 검사만 수행하며 solver/build/test/reference 생성은 수행하지 않았다.
+
+| ID | Stable citation / locator | 열람 범위 |
+| --- | --- | --- |
+| N1 | Brüls, O.; Arnold, M. (2008), *The generalized-alpha scheme as a linear multistep integrator: Toward a general mechatronic simulator*, J. Computational and Nonlinear Dynamics 3, 041007, [DOI:10.1115/1.2960475](https://doi.org/10.1115/1.2960475), [author PDF](https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/27088/1/pa_BrulsArnold2008_TheGeneralizedAlphaSchemeAsALinearMultistepIntegrator.pdf) | Printed pp.3–6 Eq.5–8/Equivalent model, Initial value condition/Constrained case. Shell singular-mass 정리 아님 |
+| N2 | Oracle, *Numerical Computation Guide*, [§2.2.3 Double Format](https://docs.oracle.com/cd/E37069_01/html/E39019/z4000ac019269.html) | 53-bit significand 설명. IEEE 표준 전체 적합성 시험을 수행한 것은 아님 |
+| N3 | LAPACK, [DGECON](https://netlib.org/lapack/explore-html/d4/daf/group__gecon_ga4f9b830e19e12c7f082ddb497a57af18.html), Purpose/NORM/ANORM/RCOND | Normwise reciprocal condition estimate |
+| N4 | LAPACK, [DGESVX](https://netlib.org/lapack/explore-html/d5/dbe/group__gesvx_ga82173a93234afc15d70b64233b3e5bc8.html), Description steps 1–6/INFO | Equilibration, singular pivot와 working-precision warning 구별 |
+| N5 | GNU Scientific Library 2.8, [Numerical Differentiation](https://www.gnu.org/software/gsl/doc/html/diff.html), `gsl_deriv_central` | Truncation/roundoff 기반 step/error estimate. FESA tolerance 원본 아님 |
+| N6 | Higham, N.J.; Relton, S.D. (2014), *Higher Order Fréchet Derivatives of Matrix Functions and the Level-2 Condition Number*, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 35, 1019–1037, [DOI:10.1137/130945259](https://doi.org/10.1137/130945259), [author PDF](https://eprints.maths.manchester.ac.uk/2066/1/paper.pdf), Theorem 3.5/Algorithm 3.6 | 2013 author version printed pp.5–6; oracle identity와 계산법 |
+| N7 | Vu-Quoc, L.; Tan, X.G. (2003), *Optimal solid shells for non-linear analyses of multilayer composites. II. Dynamics*, CMAME 192, 1017–1059, [DOI:10.1016/S0045-7825(02)00336-5](https://doi.org/10.1016/S0045-7825(02)00336-5), [author-uploaded text](https://www.researchgate.net/publication/222546721_Optimal_solid_shells_for_non-linear_analyses_of_multilayer_composites_II_Dynamics), §5.1.2/Figs.9–12 | Relevant text 확인; 하중 figure·곡선 digitization 미수행, exact benchmark reproduction 미정 |
+
+Numerical Review에 인계할 결정은 scaling·conditioning/hidden-defect 판정·FD sweep과
+시간 수렴 구간·case 최소 조합이다. Formulation에 남는 사항은 singular-mass regularity의
+실제 shell 적용과 full-coordinate hidden constraint 검증이다. 사용자 결정에 따라 이번
+HHT 구현은 consistent mass를 사용한다. 위 lumped 비교 근거는 연구 이력이며 현재 지원 요구가 아니다.

docs/hht-implicit-dynamics/verification-cases.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 # HHT 반증 가능한 검증 사례
 
-[Numerical Review](numerical-review.md)의 사례 계약이다. [N1–N7 내부 기준](numerical-controls.md)과 [reference 계약](reference-model.md)을 적용한다. 아래 synthetic 초기값·제조 하중은 kernel/procedure 검증용이며 공개 INP 지원을 확대하지 않는다. 사용자 결정 [HHT-ADR-007](ADR.md)의 **consistent kinetic mass**가 HHT 필수 검증 대상이다. Lumped 언급은 기존 mass/eigen 대조 또는 선택되지 않은 대안 설명이며 새 동적 지원 의무가 아니다. 모든 신규 solver 사례는 **NOT RUN**이다.
+[Numerical Review](numerical-review.md#numerical-review)의 사례 계약이다. [N1–N7 내부 기준](numerical-controls.md)과 [reference 계약](reference-model.md)을 적용한다. 아래 synthetic 초기값·제조 하중은 kernel/procedure 검증용이며 공개 INP 지원을 확대하지 않는다. 사용자 결정 [HHT-ADR-007](ADR.md)의 **consistent kinetic mass**가 HHT 필수 검증 대상이다. Lumped 언급은 기존 mass/eigen 대조 또는 선택되지 않은 대안 설명이며 새 동적 지원 의무가 아니다. 모든 신규 solver 사례는 **NOT RUN**이다.
 
 ## 공통 측정과 실행 상태
 
@@ -10,7 +10,7 @@ C01–C04의 grid는 `h=1/16,1/32,1/64,1/128,1/256`, `T=1`이다. N7의 마지
 
 | Evidence | 현재 상태와 적용 한계 |
 | --- | --- |
-| [기존 SDOF·moving-null probe](numerical-review-probes.md) | **RUN / 제한된 독립 검산**. h=1/32..1/1024의 **종단 오차** 및 moving-null hidden-defect 최대를 기록했다. 아래 전체 시점 max-error 계약의 실행 통과를 뜻하지 않는다. |
+| [기존 SDOF·moving-null probe](numerical-review.md#numerical-review-probes) | **RUN / 제한된 독립 검산**. h=1/32..1/1024의 **종단 오차** 및 moving-null hidden-defect 최대를 기록했다. 아래 전체 시점 max-error 계약의 실행 통과를 뜻하지 않는다. |
 | C01–C12의 FESA/kernel/procedure 실행 | **NOT RUN**. 구현 후 요구되는 검증 설계다. 기존 Python 수식 계산을 C++ solver 통과로 승계하지 않는다. |
 | 지정 reference inventory | [reference-model §5](reference-model.md)의 main 정적 조사 evidence. Solver/HDF5 comparison은 **NOT RUN**. |
 
@@ -40,7 +40,7 @@ C04b는 position constraint `max|r-1|<=1e-10`. `max|q·v|`, `max|q·a+v²|`의
 
 ## C06. D3·관성·접선 독립 미분
 
-C05 기본/warped geometry와 `phi=(0,0,0)`, `(1e-6,-2e-6,3e-6)`, `(.2,-.3,.4)`를 사용한다. Small-angle boundary에는 `phi=(1e-4*(1±2^-10),0,0)`를 추가한다. Direction은 e1/e2/e3, `(1,2,-1)/sqrt6`; 모든 distinct triple permutation과 pure/mixed actions를 포함한다. 영점 D3 oracle는 [추가 연구 N6](numerical-research.md)의 `sum_permutation H_p H_s H_r d0 / 6`, 비영점은 독립 24×24 block exponential의 high-precision evaluation을 사용한다. Production의 같은 Jl scalar derivative를 oracle에 재사용하지 않는다.
+C05 기본/warped geometry와 `phi=(0,0,0)`, `(1e-6,-2e-6,3e-6)`, `(.2,-.3,.4)`를 사용한다. Small-angle boundary에는 `phi=(1e-4*(1±2^-10),0,0)`를 추가한다. Direction은 e1/e2/e3, `(1,2,-1)/sqrt6`; 모든 distinct triple permutation과 pure/mixed actions를 포함한다. 영점 D3 oracle는 [추가 연구 N6](research.md#numerical-research)의 `sum_permutation H_p H_s H_r d0 / 6`, 비영점은 독립 24×24 block exponential의 high-precision evaluation을 사용한다. Production의 같은 Jl scalar derivative를 oracle에 재사용하지 않는다.
 
 Element state는 `u_i=.01*(i,-i,.5i)`, `phi_i=(.05i,-.03i,.02i)`, `v_ui=(.1,.05i,-.03i)`, `v_phi_i=(.2,-.1i,.04i)`, `a_ui=(.3,-.2,.1i)`, `a_phi_i=(-.07i,.06,.05)`다. q/v/a 중 하나씩 perturb한 DqI/DvI/DaI와 같은 q에서 종속 rate를 갱신한 Keff를 **서로 다른 검사**로 실행한다. Keff에는 `h=.1,.025` 두 값과 N5의 고정 sweep을 쓴다.
 
@@ -68,7 +68,7 @@ Element state는 `u_i=.01*(i,-i,.5i)`, `phi_i=(.05i,-.03i,.02i)`, `v_ui=(.1,.05i
 
 F=0의 positive E0에 대해 `e_E(h)=max|T+U_phys+U_drill-E0|/E0`를 기록한다. 마지막 두 refinement에서 감소, 마지막 ratio `e_E(h/2)/e_E(h)<=.6`, finest `e_E<=1e-3`를 요구한다. Momentum은 P0/L0 및 변화가 존재하는 각 quantity의 자연적인 초기 integrand norm 합으로 정규화해 같은 감소/finest `1e-3`를 확인한다. 초기 합 scale=0인 component는 scalar component floor 대신 vector integral의 sum-of-norm scale를 쓴다. 매 frame energy 단조감소·exact nonlinear momentum 보존은 요구하지 않는다.
 
-문헌 free-flying plate는 [추가 연구 N7](numerical-research.md)의 case-family 근거일 뿐이다. 위 C08은 FESA의 별도 완전 지정 synthetic fixture이며 미열람 문헌 그림의 하중·곡선을 재현한다고 주장하지 않는다.
+문헌 free-flying plate는 [추가 연구 N7](research.md#numerical-research)의 case-family 근거일 뿐이다. 위 C08은 FESA의 별도 완전 지정 synthetic fixture이며 미열람 문헌 그림의 하중·곡선을 재현한다고 주장하지 않는다.
 
 ## C09–C12. 경계·실패·결정론·reference