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docs/hht-implicit-dynamics/research.md

@@ -1,7 +1,13 @@
-# HHT implicit dynamics 연구 근거
+# HHT 연구 근거와 수치 설계
+
+
+
+<a id="research"></a>
+
+<a id="research--hht-implicit-dynamics-연구-근거"></a>
+## HHT implicit dynamics 연구 근거
 
 - Feature: `hht-implicit-dynamics`
-- Owner: `research-agent`
 - Date: `2026-09-22`
 - Status: `Research evidence; formulation and acceptance not approved`
 - 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [PRD](../PRD.md), [ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md), [ADR-028](../ADR.md#adr-028).
@@ -13,17 +19,19 @@ Abaqus 자료는 공개 입력·출력 의미를 해석하는 근거이며 내
 후속 사용자 결정으로 이번 HHT 구현의 질량은 consistent mass로 확정되었다.
 아래 lumped 비교·검증 후보는 연구 이력이며 현재 지원 요구에서 제외한다.
 
-## 1. 결론과 결정 후보
+<a id="research--1-결론과-결정-후보"></a>
+### 1. 결론과 결정 후보
 
 | 질문 | 근거와 결론 | 후속 결정 경계 |
 | --- | --- | --- |
-| HHT 계수 | 원래 음수 alpha 관례의 표준 후보는 `-1/3 ≤ alpha ≤ 0`, `gamma=1/2-alpha`, `beta=(1-alpha)^2/4`다. `alpha=0`이면 평균가속도 Newmark다. [S1](#sources), [S2](#sources) | beta/gamma 독립 입력을 허용할지, 기본 alpha와 허용 범위는 requirement/formulation에서 확정 |
-| 안정성 | 선형 안정성은 큰 dt의 정확도, 비선형 Newton 수렴 또는 임의 유한회전 에너지 안정성을 보장하지 않는다. [S3](#sources), [S8](#sources) | 시간 수렴과 반복 수렴 evidence를 별도로 지정 |
-| reference 하중 | 무접촉 기본 application은 transient fidelity이고 무 amplitude 하중은 STEP이다. 공개 기본 계수는 `(-0.05,0.275625,0.55)`다. [S4](#sources), [S5](#sources) | FESA의 지원 의미와 첫 시점 하중/초기 가속도 계약을 명시 |
-| shell mass | 현재 eigen의 consistent 원본·derived nodal lumping·drilling null은 재사용 검토 근거다. [L1](#local-evidence) | 후속 사용자 결정: shell 속도 보간의 운동에너지를 그대로 적분하는 consistent mass 채택; lumped는 이번 지원 요구에서 제외 |
+| HHT 계수 | 원래 음수 alpha 관례의 표준 후보는 `-1/3 ≤ alpha ≤ 0`, `gamma=1/2-alpha`, `beta=(1-alpha)^2/4`다. `alpha=0`이면 평균가속도 Newmark다. [S1](research.md#research), [S2](research.md#research) | beta/gamma 독립 입력을 허용할지, 기본 alpha와 허용 범위는 requirement/formulation에서 확정 |
+| 안정성 | 선형 안정성은 큰 dt의 정확도, 비선형 Newton 수렴 또는 임의 유한회전 에너지 안정성을 보장하지 않는다. [S3](research.md#research), [S8](research.md#research) | 시간 수렴과 반복 수렴 evidence를 별도로 지정 |
+| reference 하중 | 무접촉 기본 application은 transient fidelity이고 무 amplitude 하중은 STEP이다. 공개 기본 계수는 `(-0.05,0.275625,0.55)`다. [S4](research.md#research), [S5](research.md#research) | FESA의 지원 의미와 첫 시점 하중/초기 가속도 계약을 명시 |
+| shell mass | 현재 eigen의 consistent 원본·derived nodal lumping·drilling null은 재사용 검토 근거다. [L1](research.md#research) | 후속 사용자 결정: shell 속도 보간의 운동에너지를 그대로 적분하는 consistent mass 채택; lumped는 이번 지원 요구에서 제외 |
 | reference coverage | 작은 변위, 성긴 dt, 9개 절점 U/UR만 확인한다. 큰 회전·가속도·에너지 검증은 부족하다. | 아래 독립 검증 후보와 함께 사용 |
 
-## 2. HHT 이론 및 잔차 후보
+<a id="research--2-hht-이론-및-잔차-후보"></a>
+### 2. HHT 이론 및 잔차 후보
 
 **사실.** S1은 HHT 원논문의 서지·초록을 확인한 근거이고, 이번 열람에서는 본문 PDF가
 초록 페이지로 이동했다. 계수 관계는 공식 S2 §4.11.1.3에서 교차 확인했다.
@@ -69,7 +77,8 @@ Abaqus 공개 허용범위 `[-1/2,0]` 및 moderate-dissipation 기본값을 원
 에너지 보존 검증 후보이나, 비선형에서 같은 결론을 자동 적용할 수 없다. S8은
 Newmark 계열의 비선형 에너지·각운동량 보존 한계를 직접 다룬다.
 
-## 3. reference 입력의 공개 의미
+<a id="research--3-reference-입력의-공개-의미"></a>
+### 3. reference 입력의 공개 의미
 
 **사실: Abaqus 2025 문서 기준.** 버전 metadata를 reference readiness의 추가 조건으로
 요구하지 않는다. 아래 기본값을 기존 CSV에서 역으로 식별했다는 주장도 하지 않는다.
@@ -91,9 +100,10 @@ history와 가속도 초기화의 결합은 formulation/I/O owner가 명시해
 공개 STEP 문구와 U/UR CSV만으로 Abaqus의 첫 residual history 생성 절차는 확인할 수 없다.
 초기 U/UR=0은 초기 a=0의 증거가 아니다.
 
-## 4. shell mass와 유한회전 관성
+<a id="research--4-shell-mass와-유한회전-관성"></a>
+### 4. shell mass와 유한회전 관성
 
-**사실: 기존 FESA 계약.** [L1](#local-evidence)의 M1–M7은 작은 회전의
+**사실: 기존 FESA 계약.** [L1](research.md#research)의 M1–M7은 작은 회전의
 `v=H q_dot`, `M_C=integral rho H^T H dV`와 scalar thickness-moment 기반
 nodal block lumping을 정의한다. 일반 global-component row sum이 아니다.
 Consistent와 lumped는 총질량·uniform translation energy를 공유하지만 일반 속도장의
@@ -122,7 +132,8 @@ Basis가 configuration에 따라 회전하면 그 시간미분도 검토해야
 정한다. 후자를 지원한다면 기존 비선형 static internal force에 초기 M만 더하는 방식을
 독립적으로 정당화해야 한다. 이 문서는 mass 종류·drilling 처리·회전 적분을 채택하지 않는다.
 
-## 5. 현재 reference의 evidence와 한계
+<a id="research--5-현재-reference의-evidence와-한계"></a>
+### 5. 현재 reference의 evidence와 한계
 
 <a id="local-evidence"></a>
 
@@ -151,7 +162,8 @@ V/A/energy/reaction은 이 CSV에 없다.
 `UR1/UR2/UR3` warning-only 분류를 보존한다. Numerical Review는 이 분류와
 [공통 tolerance 정책](../TOLERANCE.md) 안에서 구체적인 family와 mapping을 확정한다.
 
-## 6. 독립 검증 후보 및 공백
+<a id="research--6-독립-검증-후보-및-공백"></a>
+### 6. 독립 검증 후보 및 공백
 
 아래는 **검증 설계 후보**이며 실행·통과 기록이 아니다. 허용오차와 영속 schema는 정하지 않는다.
 
@@ -177,7 +189,8 @@ Numerical Review: nonlinear convergence와 time convergence의 판정·reference
 
 <a id="sources"></a>
 
-## 출처와 열람 범위
+<a id="research--출처와-열람-범위"></a>
+### 출처와 열람 범위
 
 모든 web source의 `accessed: 2026-09-22`. ID는 본문에서 사용한 안정적인 locator다.
 
@@ -192,3 +205,162 @@ Numerical Review: nonlinear convergence와 time convergence의 판정·reference
 | S7 | Dassault Systèmes, Abaqus 2025, [*CLOAD](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2025/English/SIMACAEKEYRefMap/simakey-r-cload.htm), AMPLITUDE/FOLLOWER | 입력 의미만 |
 | S8 | Simo, J.C., Tarnow, N., Wong, K.K. (1992), *Exact energy-momentum conserving algorithms and symplectic schemes for nonlinear dynamics*, CMAME 100, 63–116. [DOI:10.1016/0045-7825(92)90115-Z](https://doi.org/10.1016/0045-7825(92)90115-Z), Abstract | 비선형 보존 한계의 1차 논문 근거; 대체 integrator 채택 아님 |
 | S9 | Idaho National Laboratory, MASTODON, [Hilber-Hughes-Taylor (HHT) Time Integration Verification](https://mastodon.inl.gov/sqa/v_and_v/kernels/time_integration/hht.html), Problem Statement and Results/Complete Input File | 재현 가능한 검증 설계 후보; 외부 solver 실행하지 않음 |
+
+<a id="numerical-research"></a>
+
+<a id="numerical-research--hht-수치-제어검증-설계-추가-근거"></a>
+## HHT 수치 제어·검증 설계 추가 근거
+
+- Feature: `hht-implicit-dynamics`
+- Date: `2026-09-22`
+- Status: `Evidence and verification candidates; numerical thresholds not selected`
+- 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [PRD](../PRD.md), [ADR](../ADR.md#adr-028), [기존 연구](research.md#research).
+
+[관성 정식화](formulation-inertia.md)와 [독립 probe](numerical-review.md#numerical-review-probes)를 읽고
+남은 질문만 조사했다. 기존 SDOF/moving-null 계산은 재실행하지 않았다.
+**사실**은 열람한 일차 자료, **도출**은 명시한 수학적 계산, **후보**는 검증 제안이다.
+수치 threshold·질량 채택·물리 범위·입출력 계약은 이 문서에서 결정하지 않는다.
+현재 질량 선택은 사용자 결정으로 consistent mass가 확정되었다. Shell 속도 보간의
+운동에너지를 그대로 적분하며, lumped는 이번 HHT 구현의 지원 요구에서 제외한다.
+
+<a id="numerical-research--1-physical-acceleration-startup와-dae-적용-경계"></a>
+### 1. Physical acceleration, startup와 DAE 적용 경계
+
+**사실 [N1].** Brüls–Arnold (2008) author postprint pp.3–4, Eq. (5)–(8)은
+물리적 `q_ddot`와 보조 acceleration-like variable을 구분하고 보조 초기값을
+물리적 초기 가속도와 같게 둔다. 이 문서의 `A`가 논문의 보조 `a`에 대응한다.
+`alpha_m=0`, `alpha_f=-alpha`를 대입하면 현재 후보의
+`A_(n+1)=(1+alpha)a_(n+1)-alpha a_n`이다. 같은 논문은 variable M일 때 이를
+force-level 가중 평형과 동일시할 수 없다고 명시한다. 이 질문에는 기존 출처가 충분하다.
+
+**사실 [N1]: 정리의 가정은 정확히 구분한다.** Printed p.6, “Equivalent model”은
+`[[M,-L],[-h_qddot,I-h_y]]` block의 비특이성과 index-3 조건
+`Phi_q g*_lambda`의 비특이성을 사용한다. 여기의 `h`는 논문 Eq. (4)의 algebraic
+output function이며 시간간격이 아니다. Controller/algebraic coupling을 제거한
+특수형에서는 첫 조건이 M의 비특이성으로 줄어든다. 논문 전체가 무조건 “M만
+비특이이면 충분”하다고 읽어서는 안 된다. “Initial value condition”의 초기 오차 조건과
+“Constrained case”의 정칙성 하에서 얻은 수렴 결과를 singular drilling에 자동 적용할 수 없다.
+
+**도출/수치 제어에의 함의.** 현재 shell의 `psi=N(q)^T g=0`는 논문의 holonomic
+`Phi=0`와 동일한 모델임이 아직 증명되지 않았다. 따라서 다음을 분리해서 관찰한다.
+
+| 관찰 대상 | 필요한 검증 후보 | 남은 한계 |
+| --- | --- | --- |
+| 첫 시점 | `a0`는 우측 물리 평형·초기 대수조건으로 결정한 뒤 `A0=a0`; 첫 step과 이후 오차를 분리 | 작은 Newton residual로 불일관 초기값이 정당화되지 않음 |
+| 물리 a와 A | 동일 시각 정확해에 대한 q/v/physical a 차수와 `A-a`를 별도 측정 | A를 물리 출력·각운동량 미분에 대입하면 안 됨 |
+| Current null | 매 configuration에서 `MN`, `N^T I`, `psi`, 양의 부분공간 mass 및 `psi_q N` 정칙성 | 이전 시점 null, 고정 UR3, 전체 M의 역행렬로 대체 불가 |
+| Hidden constraints | `psi_q v+psi_t`와 `psi_q a+psi_qq[v,v]+2psi_qt v+psi_tt`의 최대·종단 결함과 dt 수렴 | 위치 평형만 만족해도 두 결함이 0인 것은 아님 |
+| 반례 coverage | 현재 움직이는 영공간 예제를 full redundant coordinates로 풀어 기존 reduced-angle probe와 대조 | 기존 probe는 위치조건을 정확히 강제했으므로 full-coordinate Newton 구현 검증이 아님 |
+| 고정 간격 | 기존 후보에서 dt를 줄여 같은 물리 종단시각 비교 | adaptive dt·startup 재설정은 별도 scope이며 이번 근거로 추가하지 않음 |
+
+**도출.** Chart 내부의 smooth q에서 projector와 null basis는 같은 물리 영공간을 나타내야
+한다. Null vector의 부호·정규화 변경 자체와 rank 손실을 구분해야 한다.
+`psi_q`에는 `DN`이 들어가므로 basis를 고정한 finite difference는 별도 식을 검증하게 된다.
+투영 오차·hidden defect가 큰 결과를 발견하면 정확한 projection/condensation의 채택 여부는
+formulation owner에게 돌린다. 여기서는 추가 projection을 자동 제안·채택하지 않는다.
+
+<a id="numerical-research--2-double-precision-conditioning-및-미분-검증"></a>
+### 2. Double precision, conditioning 및 미분 검증
+
+**사실 [N2–N4].** IEEE double의 정상수 significand는 53 bits다. LAPACK DGECON은
+선택한 1/∞ norm의 reciprocal condition number **추정값**을 반환한다. DGESVX는
+equilibration 여부를 구별하고, factor pivot이 정확히 0인 경우와 reciprocal condition이
+machine precision보다 작은 경우를 서로 다른 INFO로 보고한다. 후자는 해·오차 추정을
+계속 계산할 수 있는 warning이다. 이 공개 library 동작은 FESA failure threshold를
+자동 승인하지 않으며 vendor routine 채택 요구도 아니다.
+
+**도출.** Binary64에서 1의 다음 표현수 간격 `eps=2^-52`, round-to-nearest 정상 범위의
+unit roundoff `u=2^-53`를 구분한다. 문헌의 “machine epsilon” 정의와 library 반환 의미를
+확인하지 않고 두 값을 혼용하면 안 된다. 작은 perturbation의 forward error는
+대략 `condition × backward error`로 증폭되므로 residual 하나로 해의 정확도를 보장하지 못한다.
+
+| 질문 | 근거에 따른 분리 및 검사 후보 |
+| --- | --- |
+| Physical mass-null인가? | `n=[0;J_l^-1 d]`, admissible free-space intersection 같은 분석적 운동학을 원본으로 삼는다. `MN`의 수치 결함과 양의 complement의 conditioning을 각각 검사한다. |
+| 작은 양의 eigenvalue인가? | 단위·두께 때문에 작은 inertia를 rcond 하나로 drilling null로 바꾸지 않는다. 예상 추가 null/geometry 이상과 positive-space accuracy loss를 구분한다. |
+| 어느 rcond인가? | Full singular M의 rcond는 positive inertia 품질을 설명하지 못한다. Positive-space mass, 초기화 algebraic block, effective Newton matrix를 각각 이름 붙이고 norm·scaling을 기록한다. |
+| 단위를 바꾸면? | 병진·회전 단위가 섞인 원행렬 condition은 단위 선택에 의존한다. `q=D qhat`, `Rhat=D^T R/Escale`이면 `Khat=D^T K D/Escale`라는 virtual-work 일관 scaling을 대조 후보로 삼는다. 기준 scale의 수치 선택은 NR 소유다. |
+| Library equilibration이면 충분한가? | Row/column equilibration은 solver conditioning 도구다. 물리적 nondimensionalization이나 예상 null proof와 동일하지 않다. 원·scaled 행렬 중 무엇을 추정했는지 보존한다. |
+
+**사실 [N5].** GSL의 central differentiation은 truncation과 roundoff를 함께 추정하여
+step을 고르며, 5-point와 3-point 차이를 오차 추정에 쓴다. 따라서 가장 작은 step을
+항상 정답으로 간주하지 않는 독립 derivative 검사 설계가 공식 수치 library의 접근과 부합한다.
+
+**도출/후보.** Dimensionless direction p에 대해 scaled 잔차의 중심차분과 `Khat p`를
+비교하면 일반적인 smooth·비상쇄 구간에서 오차형은 `C_t delta²+C_r u/delta`다.
+최적 step의 `u^(1/3)` 크기는 이 가정에서의 점근적 안내일 뿐 공통 고정값이 아니다.
+Zero derivative, 큰 residual cancellation, branch 접근에서는 계수와 error floor가 달라진다.
+여러 delta를 sweep하여 감소구간·최저 plateau·roundoff 증가구간을 기록하고, 모든 sample이
+같은 허용 chart와 geometry 안에 있는지 확인한다. Unit-aware scale을 쓰고 임의
+`max(1, norm)`로 작은 문제를 덮지 않는다.
+
+Inertia partial derivative 검사에서는 q/v/physical a 중 하나만 바꾸고 나머지는 고정한다.
+Effective tangent 검사에서는 같은 trial q에 연동되는 v, A, physical a를 모두 갱신한다.
+두 검사는 서로 다른 미분이므로 섞지 않는다. 작은 dt의 acceleration 재구성에는
+위치 차분 오차가 `1/dt²`로 증폭되므로 시간 차수 측정에서 너무 미세한 dt의 plateau를
+수학적 차수 저하로 오인하지 않는다. 기준 oracle 정밀도와 nonlinear solve 오차도 분리한다.
+
+<a id="numerical-research--3-3차-회전-미분과-운동량에너지-case-후보"></a>
+### 3. 3차 회전 미분과 운동량·에너지 case 후보
+
+**사실 [N6].** Higham–Relton의 Theorem 3.5/Algorithm 3.6은 고차 Fréchet derivative를
+재귀 block matrix function의 우상단 block으로 구한다. Matrix exponential은 smoothness
+조건을 만족한다. `P=[phi]_cross` 및 세 방향 행렬에 적용하면 24×24 exponential 하나의
+3×3 우상단 block이 3차 혼합 미분을 준다.
+
+**후보.** 이 방식에 `d0`를 곱한 결과를 Rodrigues/회전 Jacobian의 해석 미분과 비교하면
+동일 scalar coefficient 도함수를 재사용하는 자기검증을 피할 수 있다. “Exact derivative”는
+수학적 항등식을 뜻하며 부동소수점 exp 계산까지 오차가 없다는 뜻은 아니다.
+Production 의존성 추가나 24×24 exp의 runtime 사용은 요구하지 않는다.
+
+**자체 도출: 영회전의 유한 다항 oracle.** `H_p=[p]_cross` 등으로 쓰면
+
+\[
+D^3d(0)[p,s,r]=\frac16\sum_{\sigma\in S_3}
+H_{\sigma(p)}H_{\sigma(s)}H_{\sigma(r)}d_0.
+\]
+
+이는 exponential Taylor series의 cubic 항에서 바로 얻는다. 방향 permutation 대칭,
+각 방향의 선형성, 동일 방향 3회 `H_p³ d0`를 함께 검사할 수 있다. 비영 phi의
+block-exponential oracle와 `D²d`의 방향 중심차분을 추가해 영점 특례만 맞는 오류를 검출한다.
+Chart 경계 안쪽, 작은 phi, 서로 비평행한 방향을 포함하되 경계를 넘어 차분하지 않는다.
+
+| ID | 실행 가능한 검증 설계 후보 | 판정에 필요한 한계 |
+| --- | --- | --- |
+| NR-E01 | 임의 유효 shell 상태에서 spatial rigid velocity를 부여하여 kinetic energy·총 P·총 L을 독립 volume integration과 대조 | Rigid velocity는 순간 운동학 검사다. 회전하는 탄성 shell이 자유운동에서도 강체를 유지한다는 가정은 하지 않음. Consistent/lumped 각각 자신의 measure를 사용 |
+| NR-E02 | `I(q,v,a)`를 q/v/a별 미분하고 전체 effective tangent도 별도 directional check | 3차 director 항과 `D(H^T)` 누락을 분리 검출 |
+| NR-E03 | 작은 smooth 회전 구간의 자유 shell에 일관된 initial velocity를 부여하거나 짧은 smooth loading 후 unload, P/L/총에너지·work와 dt 수렴 관찰 | 초기조건/시간하중이 CLI 범위 밖이면 kernel/procedure verification 후보로만 유지. 승인 input subset 확대 금지 |
+| NR-E04 | 같은 spatial problem에 alpha=0 및 승인된 음수 alpha를 적용하고 저주파 해상 case와 높은 modal content case를 분리 | 일반 비선형 HHT의 총에너지 매 step 감소 또는 정확한 각운동량 보존을 무조건 요구하지 않음 |
+| NR-E05 | 문헌 free-flying single-layer plate를 후속 benchmark 후보로 검토 | 아래 N7은 large rotation/energy 사례의 출처다. 현재 fixed chart를 넘어서는 tumble·장시간 운동은 그대로 채택할 수 없음 |
+
+**사실 [N7].** Vu-Quoc–Tan (2003), §5.1.2/Figs.9–12는 free-flying single-layer plate의
+큰 전체 운동과 P/L/에너지 및 dissipative/nondissipative integrator 결과를 비교한다.
+해당 요소는 rotation DOF가 없는 solid-shell이므로 그 mass·응력 모델과 여기의 director shell은
+다르다. Author-uploaded 본문의 관련 절을 확인했으나 그림의 하중 위치·수치 history를
+독립 추출하지 않았다. 따라서 현 단계에서는 case family 근거이며 완성된 reference artifact가 아니다.
+
+**추론.** 현재 shell 운동학에서는 `Pdot/Ldot`에 physical a를 사용하고 numerical drill
+potential을 포함한 에너지·내력 일을 일관되게 대조해야 한다. N7의 보존형 integrator가
+보이는 exact conservation을 HHT의 요구조건으로 옮길 수 없다. [기존 연구 S8](research.md#research)의
+비선형 Newmark 보존 한계 근거는 그대로 충분하다. 추가 shell 연구는 기하·하중·시간 구간이
+승인된 chart와 입력 범위 안에 있는지 결정한 뒤에만 구체화할 필요가 있다.
+
+<a id="numerical-research--출처열람-한계와-인계"></a>
+### 출처·열람 한계와 인계
+
+`accessed: 2026-09-22`. 문서 정적 검사만 수행하며 solver/build/test/reference 생성은 수행하지 않았다.
+
+| ID | Stable citation / locator | 열람 범위 |
+| --- | --- | --- |
+| N1 | Brüls, O.; Arnold, M. (2008), *The generalized-alpha scheme as a linear multistep integrator: Toward a general mechatronic simulator*, J. Computational and Nonlinear Dynamics 3, 041007, [DOI:10.1115/1.2960475](https://doi.org/10.1115/1.2960475), [author PDF](https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/27088/1/pa_BrulsArnold2008_TheGeneralizedAlphaSchemeAsALinearMultistepIntegrator.pdf) | Printed pp.3–6 Eq.5–8/Equivalent model, Initial value condition/Constrained case. Shell singular-mass 정리 아님 |
+| N2 | Oracle, *Numerical Computation Guide*, [§2.2.3 Double Format](https://docs.oracle.com/cd/E37069_01/html/E39019/z4000ac019269.html) | 53-bit significand 설명. IEEE 표준 전체 적합성 시험을 수행한 것은 아님 |
+| N3 | LAPACK, [DGECON](https://netlib.org/lapack/explore-html/d4/daf/group__gecon_ga4f9b830e19e12c7f082ddb497a57af18.html), Purpose/NORM/ANORM/RCOND | Normwise reciprocal condition estimate |
+| N4 | LAPACK, [DGESVX](https://netlib.org/lapack/explore-html/d5/dbe/group__gesvx_ga82173a93234afc15d70b64233b3e5bc8.html), Description steps 1–6/INFO | Equilibration, singular pivot와 working-precision warning 구별 |
+| N5 | GNU Scientific Library 2.8, [Numerical Differentiation](https://www.gnu.org/software/gsl/doc/html/diff.html), `gsl_deriv_central` | Truncation/roundoff 기반 step/error estimate. FESA tolerance 원본 아님 |
+| N6 | Higham, N.J.; Relton, S.D. (2014), *Higher Order Fréchet Derivatives of Matrix Functions and the Level-2 Condition Number*, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 35, 1019–1037, [DOI:10.1137/130945259](https://doi.org/10.1137/130945259), [author PDF](https://eprints.maths.manchester.ac.uk/2066/1/paper.pdf), Theorem 3.5/Algorithm 3.6 | 2013 author version printed pp.5–6; oracle identity와 계산법 |
+| N7 | Vu-Quoc, L.; Tan, X.G. (2003), *Optimal solid shells for non-linear analyses of multilayer composites. II. Dynamics*, CMAME 192, 1017–1059, [DOI:10.1016/S0045-7825(02)00336-5](https://doi.org/10.1016/S0045-7825(02)00336-5), [author-uploaded text](https://www.researchgate.net/publication/222546721_Optimal_solid_shells_for_non-linear_analyses_of_multilayer_composites_II_Dynamics), §5.1.2/Figs.9–12 | Relevant text 확인; 하중 figure·곡선 digitization 미수행, exact benchmark reproduction 미정 |
+
+Numerical Review에 인계할 결정은 scaling·conditioning/hidden-defect 판정·FD sweep과
+시간 수렴 구간·case 최소 조합이다. Formulation에 남는 사항은 singular-mass regularity의
+실제 shell 적용과 full-coordinate hidden constraint 검증이다. 사용자 결정에 따라 이번
+HHT 구현은 consistent mass를 사용한다. 위 lumped 비교 근거는 연구 이력이며 현재 지원 요구가 아니다.