feat: adopt lumped mass and reduced-coordinate shell HHT
Integrate Hex8 mass verification and fixed-null-basis shell dynamics with numerical and physics handoff evidence. Preserve interrupted reference and full-validation status; full integration validation is deferred until after performance optimization.
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KOKO\Mimi
@@ -2,7 +2,7 @@
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[주 정식화](formulation.md)의 구현 수식 상세다. 상태와 미결정 항목은 주 문서를 따른다. 아래 전개는 명시한 FESA 운동학에서의 자체 유도이며 Abaqus 내부 절차의 기술이 아니다.
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사용자 선택에 따라 이번 HHT 기본 및 구현 질량은 consistent `T_C/M_C`다. Lumped 식은 비교용 이론·기존 eigen 회귀 참고로 보존하며 이번 HHT 구현·검증 요구를 추가하지 않는다. 다른 physics·알고리즘·공개 output의 승인은 이 선택과 별개다.
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2026-10-11 승인 [HHT-ADR-012](ADR.md)에 따라 이번 HHT 질량은 nodal lumped `T_L/M_L`다. Consistent 식은 비교와 미분 유도 이력으로 보존한다. 다른 physics·알고리즘·공개 output의 승인은 이 선택과 별개다.
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## 1. 회전과 관성의 미분
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@@ -64,7 +64,29 @@ D_vI_C[p]&=2\int\rho H^TB_x[v,p]\,dV_0,\qquad D_aI_C[p]=M_Cp.
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첫 항 `B_x[p,·]^T ẍ`를 빼면 단순 current-mass tangent에 불과하다. `B_x[p,a]`, `C_x[p,v,v]`, `2B_x[v,δv]`도 생략하지 않는다. `T`의 Euler–Lagrange 전개에서 `D H`의 대칭성에 의해 `d(H^T)/dt`와 `∂q T` 항이 상쇄되어 위 식을 얻는다. 원형상 밀도·measure는 시간에 따라 갱신하지 않는다.
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비교용 lumped 식에는 `x_i(z)=X_i+u_i+z d_i`, `H_i=D_q x_i`를 사용하여 위 적분을 `Σ_i ∫rho N_i (·)_i dV_0`로 바꾼다. `N_i`는 q와 무관하므로 동일한 derivative action이 성립한다. 별도의 경험적 gyroscopic 또는 Coriolis 보정항을 추가하지 않는다.
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채택한 nodal lumped 식에는 `x_i(z)=X_i+u_i+z d_i`, `H_i=D_q x_i`를 사용하여 위 적분을 `Σ_i ∫rho N_i (·)_i dV_0`로 바꾼다. `N_i`는 q와 무관하므로 동일한 derivative action이 성립한다. 별도의 경험적 gyroscopic 또는 Coriolis 보정항을 추가하지 않는다.
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구체적인 현재 채택식은 다음과 같다. `B_i^x=D_q²x_i`, `C_i^x=D_q³x_i`이며
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각 nodal mapping의 도함수는 해당 node의6개 성분에만 작용한다.
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T_L=\tfrac12\sum_i\int\rho N_i|H_iv|^2dV_0,\quad
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M_L=\sum_i\int\rho N_iH_i^TH_i dV_0,
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\quad I_L=\sum_i\int\rho N_iH_i^T\{H_ia+B_i^x[v,v]\}dV_0.
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c_L=I_L(q,v,0),\quad
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D_qI_L[p]=\sum_i\int\rho N_i\left((B_i^x[p,\cdot])^T\ddot x_i
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+H_i^T\{B_i^x[p,a]+C_i^x[p,v,v]\}\right)dV_0,
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\[
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D_vI_L[p]=2\sum_i\int\rho N_iH_i^TB_i^x[v,p]dV_0,
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\qquad D_aI_L[p]=M_Lp.
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현재 위치·속도도 같은 nodal measure로 P/L을 계산한다. Geometry/Jacobian은 원래
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bilinear shell 보간으로 검사하며 nodal kinetic mapping으로 geometry를 교체하지 않는다.
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이를 통해 M만 바꾸고 기존 보간 기반 c/접선/에너지를 남기는 혼합 모델을 방지한다.
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## 2. 채택 질량·비교식과 적분
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@@ -81,7 +103,7 @@ C_{ij}^{(1)}B_i^T&C_{ij}^{(2)}B_i^TB_j
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`rho`의 차원은 `mass/length³`, `(C0,C1,C2)` 및 `(m,s,j)`의 차원은 `(mass,mass·length,mass·length²)`다. `M_uu/M_uphi/M_phiphi`는 각각 같은 세 차원, residual translation은 force, rotation은 force·length이다. `v_u,a_u`는 `length/time,length/time²`; `v_phi,a_phi,omega,omega_dot`는 `1/time,1/time²`. 각도 단위는 rad이며 SI를 추정하지 않는다.
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Moments는 현행 [eigen2 mass 계약 M2–M3](../mitc4-shell-feast-eigen2/formulation-mass-stabilization.md#m2-consistent-scalar-moments와-적분)의 `3×3×3` Gauss–Legendre를 기준으로 하며, 그 scalar-moment lumping은 비교식에만 사용한다. 긴 유도는 선행 [mass 계약 M3](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation.md#formulation-mass--m3-consistent-matrix와-충분한-quadrature)에 있다. 점은 `−sqrt(3/5),0,+sqrt(3/5)`, weight는 `5/9,8/9,5/9`, 순서는 증가하는 `xi→eta→zeta`다. Geometry가 bilinear degenerated shell이고 rho/t가 일정할 때 `Ni Nj z^k J0`의 축별 차수는 최대 4여서 이 moment 적분은 정확하다. `B_i`와 그 도함수는 nodal 값이므로 현재 관성과 tangent도 같은 moment를 사용한다.
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Moments는 현행 [eigen2 mass 계약 M2–M3](../mitc4-shell-feast-eigen2/formulation-mass-stabilization.md#m2-consistent-scalar-moments와-적분)의 `3×3×3` Gauss–Legendre를 기준으로 하며, 그 scalar-moment lumping을 현재 HHT의 nodal kinetic measure에도 사용한다. 긴 유도는 선행 [mass 계약 M3](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation.md#formulation-mass--m3-consistent-matrix와-충분한-quadrature)에 있다. 점은 `−sqrt(3/5),0,+sqrt(3/5)`, weight는 `5/9,8/9,5/9`, 순서는 증가하는 `xi→eta→zeta`다. Geometry가 bilinear degenerated shell이고 rho/t가 일정할 때 `Ni Nj z^k J0`의 축별 차수는 최대 4여서 이 moment 적분은 정확하다. `B_i`와 그 도함수는 nodal 값이므로 현재 관성과 tangent도 같은 moment를 사용한다.
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모든 27 mass 점에서 finite positive `J0`와 기존 geometry predicate를 확인한다. Current trial도 내력 8점·tying·center·recovery와 추가 inertia 평가점에서 허용 geometry를 만족해야 한다. `abs(J)`, 점 생략, 강제 평면화는 없다. 물리 내력·물리 에너지와 section recovery는 기존 `2×2×2` 적분, drill potential은 기존 element-level 합을 보존한다.
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@@ -98,7 +120,7 @@ Lumped positivity 조건은 `m_i>0`, `j_i−s_i²/m_i>0`다:
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T_L-T_C=\frac14\int\rho\sum_{i,j}N_iN_j|w_i-w_j|^2dV_0\ge0.
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따라서 consistent와 lumped의 동적 응답이나 spectrum 동일성을 가정하지 않는다. 평판의 `s_i=0`, `j_i=t²m_i/12`를 warped geometry 일반식으로 사용하지 않는다. 사용자는 보간된 shell 속도의 운동에너지를 직접 적분하는 consistent mass를 선택했으며 기존 eigen의 lumped 계약은 변경하지 않는다.
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따라서 consistent와 lumped의 동적 응답이나 spectrum 동일성을 가정하지 않는다. 평판의 `s_i=0`, `j_i=t²m_i/12`를 warped geometry 일반식으로 사용하지 않는다. 사용자는 현재 nodal lumped kinetic mass를 선택했으며 기존 eigen의 lumped 계약은 변경하지 않는다.
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## 3. 객관성·운동량·회복
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