# 유한회전 관성·초기화·HHT 상세 읽기 구분: 현재 채택한 nodal-lumped kinetic 관성의 수식 원본이다. Consistent 식과 full-coordinate 시간정확도 논의는 비교 이력이다. 현재 시간적분은 [축소 좌표](formulation-reduced-coordinate.md)·[고정 null 기저](formulation-fixed-null-basis.md), 구현·검증 상태는 [기능 요약](README.md)을 따른다. 본문의 검토·ADR·N1–N7 등 과거 기록명은 당시 근거의 식별명이며, 이 문서의 현재 요약 링크가 원자료 전문을 제공한다는 뜻은 아니다. [주 정식화](formulation.md)의 구현 수식 상세다. 현재 채택·구현·검증 상태는 [기능 요약](README.md)을 따른다. 아래 전개는 명시한 FESA 운동학에서의 자체 유도이며 Abaqus 내부 절차의 기술이 아니다. 2026-10-11 승인 `HHT-ADR-012`([현재 요약](README.md))에 따라 이번 HHT 질량은 nodal lumped `T_L/M_L`다. Consistent 식은 비교와 미분 유도 이력으로 보존한다. 다른 physics·알고리즘·공개 output의 승인은 이 선택과 별개다. ## 1. 회전과 관성의 미분 2026-10-20 drilling 선택 변경은 아래 관성의 수학 유도나 현행 cubic 근사 차수를 바꾸지 않는다. 기본 직접 스프링의 hidden 미분은 실제 cubic 관성 null을 사용한다. 아래 정확 SO(3) 유도와 현재 근사 구현의 D3/null 항등식 검증 상태를 구분한다. 직접 스프링은 유한 강체 회전에서 인공 내부 spatial moment `Mdrill`을 허용하므로, 아래 objective total energy의 무일 가정은 직접 drilling에 적용하지 않는다. Raw 관성 포함 평형을 보존하고 직접 방식의 기존 전역 gate에는 moment에서 `Mdrill`을 차감한다. 기존 방식은 raw 판정이며 physical mass·momentum·a/A·history 정의는 그대로다. `P=[phi]_×`, `theta=|phi|`에 대해 \[ J_l=I+\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}P +\frac{\theta-\sin\theta}{\theta^3}P^2,\qquad B=Dd=-[d]_\times J_l. \] 0에서 scalar coefficient는 analytic series를 사용한다. `v_phi,a_phi`는 fixed-chart 시간미분이다. 방향 `p,s,r`에 대한 director 미분을 `B p=Dd[p]`, `C[p,s]=D²d[p,s]`, `D3[p,s,r]=D³d[p,s,r]`라 정의하면 \[ C[p,s]=(DJ_l[s]p)\times d+(J_lp)\times((J_ls)\times d), \] \[ \begin{aligned} D3[p,s,r]={}&(D^2J_l[s,r]p)\times d+(DJ_l[s]p)\times B r\\ &+(DJ_l[r]p)\times B s+(J_lp)\times C[s,r]. \end{aligned} \] 방향 교환에 대한 대칭성이 필요하다. 정확한 미분을 scalar coefficient의 비특이 series까지 구현하기 위한 동등한 정의는 \[ D^k\exp_P[H_1,\ldots,H_k] =\sum_{m=k}^{\infty}\frac1{m!} \sum_{\sigma\in S_k}\ \sum_{r_0+\cdots+r_k=m-k} P^{r_0}H_{\sigma(1)}P^{r_1}\cdots H_{\sigma(k)}P^{r_k},\quad k=1,2,3. \] 여기서 `H=[direction]_×`이고 오른쪽에 `d0`를 곱하면 필요한 director derivative다. 이는 수렴하는 해석적 정의이며 production에서 무한합을 그대로 계산하라는 뜻이 아니다. Rodrigues/Fréchet/정확한 미분으로 같은 도함수를 계산하고 finite difference는 독립 검증에 사용한다. 물질점에 대해 `H=D_q x`, `B_x[p,s]=D²_q x[p,s]`, `C_x[p,s,r]=D³_q x[p,s,r]`로 쓰면 \[ H p=\sum_iN_i(p_{ui}+zB_i p_{\phi i}),\quad B_x[p,s]=\sum_iN_i z C_i[p_{\phi i},s_{\phi i}], \] \[ C_x[p,s,r]=\sum_iN_i zD3_i[p_{\phi i},s_{\phi i},r_{\phi i}],\quad \dot x=Hv,\quad \ddot x=Ha+B_x[v,v]. \] Consistent 관성 covector와 partial derivative action은 다음으로 직접 조립 가능하다: \[ I_C=\int\rho H^T\{Ha+B_x[v,v]\}\,dV_0, \quad M_C=\int\rho H^TH\,dV_0, \] \[ \begin{aligned} D_qI_C[p]=\int\rho\big(&B_x[p,\cdot]^T\{Ha+B_x[v,v]\}\\ &+H^T\{B_x[p,a]+C_x[p,v,v]\}\big)dV_0,\\ D_vI_C[p]&=2\int\rho H^TB_x[v,p]\,dV_0,\qquad D_aI_C[p]=M_Cp. \end{aligned} \] 첫 항 `B_x[p,·]^T ẍ`를 빼면 단순 current-mass tangent에 불과하다. `B_x[p,a]`, `C_x[p,v,v]`, `2B_x[v,δv]`도 생략하지 않는다. `T`의 Euler–Lagrange 전개에서 `D H`의 대칭성에 의해 `d(H^T)/dt`와 `∂q T` 항이 상쇄되어 위 식을 얻는다. 원형상 밀도·measure는 시간에 따라 갱신하지 않는다. 채택한 nodal lumped 식에는 `x_i(z)=X_i+u_i+z d_i`, `H_i=D_q x_i`를 사용하여 위 적분을 `Σ_i ∫rho N_i (·)_i dV_0`로 바꾼다. `N_i`는 q와 무관하므로 동일한 derivative action이 성립한다. 별도의 경험적 gyroscopic 또는 Coriolis 보정항을 추가하지 않는다. 구체적인 현재 채택식은 다음과 같다. `B_i^x=D_q²x_i`, `C_i^x=D_q³x_i`이며 각 nodal mapping의 도함수는 해당 node의6개 성분에만 작용한다. \[ T_L=\tfrac12\sum_i\int\rho N_i|H_iv|^2dV_0,\quad M_L=\sum_i\int\rho N_iH_i^TH_i dV_0, \quad I_L=\sum_i\int\rho N_iH_i^T\{H_ia+B_i^x[v,v]\}dV_0. \] \[ c_L=I_L(q,v,0),\quad D_qI_L[p]=\sum_i\int\rho N_i\left((B_i^x[p,\cdot])^T\ddot x_i +H_i^T\{B_i^x[p,a]+C_i^x[p,v,v]\}\right)dV_0, \] \[ D_vI_L[p]=2\sum_i\int\rho N_iH_i^TB_i^x[v,p]dV_0, \qquad D_aI_L[p]=M_Lp. \] 현재 위치·속도도 같은 nodal measure로 P/L을 계산한다. Geometry/Jacobian은 원래 bilinear shell 보간으로 검사하며 nodal kinetic mapping으로 geometry를 교체하지 않는다. 이를 통해 M만 바꾸고 기존 보간 기반 c/접선/에너지를 남기는 혼합 모델을 방지한다. ## 2. 채택 질량·비교식과 적분 주 문서의 scalar moment로 \[ (M_C)_{ij}=\begin{bmatrix} C_{ij}^{(0)}I_3&C_{ij}^{(1)}B_j\\ C_{ij}^{(1)}B_i^T&C_{ij}^{(2)}B_i^TB_j \end{bmatrix},\quad (M_L)_{ii}=\begin{bmatrix}m_iI_3&s_iB_i\\s_iB_i^T&j_iB_i^TB_i\end{bmatrix}, \quad (M_L)_{ij}=0\ (i\ne j). \] `rho`의 차원은 `mass/length³`, `(C0,C1,C2)` 및 `(m,s,j)`의 차원은 `(mass,mass·length,mass·length²)`다. `M_uu/M_uphi/M_phiphi`는 각각 같은 세 차원, residual translation은 force, rotation은 force·length이다. `v_u,a_u`는 `length/time,length/time²`; `v_phi,a_phi,omega,omega_dot`는 `1/time,1/time²`. 각도 단위는 rad이며 SI를 추정하지 않는다. Moments는 현행 [eigen2 mass 계약 M2–M3](../mitc4-shell-feast-eigen2/formulation-mass-stabilization.md#m2-consistent-scalar-moments와-적분)의 `3×3×3` Gauss–Legendre를 기준으로 하며, 그 scalar-moment lumping을 현재 HHT의 nodal kinetic measure에도 사용한다. 긴 유도는 선행 [mass 계약 M3](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation.md#formulation-mass--m3-consistent-matrix와-충분한-quadrature)에 있다. 점은 `−sqrt(3/5),0,+sqrt(3/5)`, weight는 `5/9,8/9,5/9`, 순서는 증가하는 `xi→eta→zeta`다. Geometry가 bilinear degenerated shell이고 rho/t가 일정할 때 `Ni Nj z^k J0`의 축별 차수는 최대 4여서 이 moment 적분은 정확하다. `B_i`와 그 도함수는 nodal 값이므로 현재 관성과 tangent도 같은 moment를 사용한다. 모든 27 mass 점에서 finite positive `J0`와 기존 geometry predicate를 확인한다. Current trial도 내력 8점·tying·center·recovery와 추가 inertia 평가점에서 허용 geometry를 만족해야 한다. `abs(J)`, 점 생략, 강제 평면화는 없다. 물리 내력·물리 에너지와 section recovery는 기존 `2×2×2` 적분, drill potential은 기존 element-level 합을 보존한다. Lumped positivity 조건은 `m_i>0`, `j_i−s_i²/m_i>0`다: \[ 2T_{L,i}=m_i\left|v_{ui}+(s_i/m_i)B_iv_{\phi i}\right|^2 +(j_i-s_i^2/m_i)|B_iv_{\phi i}|^2. \] 두 질량식은 총질량 `Σm_i=∫rho dV0`, uniform translation energy, scalar thickness moments를 공유한다. 일반 속도장과 rigid angular motion의 orbital inertia는 다르다. 같은 현재 nodal `w_i=v_ui+z dDot_i`에 대해 \[ T_L-T_C=\frac14\int\rho\sum_{i,j}N_iN_j|w_i-w_j|^2dV_0\ge0. \] 따라서 consistent와 lumped의 동적 응답이나 spectrum 동일성을 가정하지 않는다. 평판의 `s_i=0`, `j_i=t²m_i/12`를 warped geometry 일반식으로 사용하지 않는다. 사용자는 현재 nodal lumped kinetic mass를 선택했으며 기존 eigen의 lumped 계약은 변경하지 않는다. ## 3. 객관성·운동량·회복 공간에서 강체속도를 가하면 `v_ui=V+Omega×(Xi+ui)`, `v_phii=J_l^−1 Omega`이고 `dDot_i=Omega×d_i`다. Consistent는 `xDot=V+Omega×x`를 재현하고, lumped는 각 `x_i(z)`의 같은 강체속도를 적분한다. 따라서 각자의 운동에너지 measure로 회전 관성을 검증해야 한다. Consistent의 물리적 총운동량·각운동량은 \[ P=\int\rho\dot x\,dV_0,\quad L_O=\int\rho(x-O)\times\dot x\,dV_0. \] Lumped는 `Σ_i ∫rho N_i xDot_i dV0`, `Σ_i ∫rho N_i(x_i−O)×xDot_i dV0`다. 이 정의에서 시간미분한 `Pdot,Ldot`와 외력·support reaction의 총 force/moment를 대조한다. Kinematic 변환은 algorithmic `A`가 아닌 물리적 `a`로 평가한다. Objective `U_phys+U_drill`의 전체 내력은 강체 가상운동에 일을 하지 않아야 한다. Numerical drill의 개별 nodal moment를 physical stress/resultant로 오인하지 않는다. 고정 proper global frame change 아래 모든 벡터·구속·하중을 함께 변환하면 scalar `T`, `U`와 virtual work가 불변이어야 한다. 기준축 일부만 회전시킨 비교는 이 검증에 해당하지 않는다. 중간 회전 branch를 통과하는 rechart는 지원하지 않는다. ## 4. Mass-null과 초기 일관성 `B_i`는 rank 2이며 instantaneous drilling 방향은 \[ n_i(q)=\begin{bmatrix}0\\J_l(\phi_i)^{-1}d_i\end{bmatrix},\quad B_iJ_l^{-1}d_i=0. \] Consistent와 lumped 모두 이 방향에 `M n_i=0`, `n_i^T I=0`이다. 이 null은 일반적으로 `[0;d0]` 또는 고정 global `UR3`가 아니다. 필요한 geometry/rank 조건 아래 물리적 5 DOF/node 외 추가 null이 없는지 검사한다. 구속 후에는 `M_ff`와 free admissible variation 안에서의 null basis `N(q)`를 사용하며, constrained component를 단순 삭제한 nodal null을 그대로 basis라 부르지 않는다. `g=f_int−F`라 두면 연속 대수 조건은 \[ \psi(q,t):=N(q)^Tg_f(q,t)=0. \] Physical energy는 director-parallel virtual work가 0이다. 본 force-only subset에서 `psi`는 numerical drill channel의 stationarity를 포함한다. Drilling stiffness는 algebraic coordinate를 결정할 수 있지만 mass rank를 바꾸지는 않는다. `N`의 q 미분도 포함하여 \[ \psi_q v_f+\psi_t=0,\qquad \psi_q a_f+\psi_{qq}[v_f,v_f]+2\psi_{qt}v_f+\psi_{tt}=0 \] 를 초기 연속 일관성으로 요구한다. 첫 시간은 `0+`이며 이후 constant load의 우측 도함수 `Fdot=Fddot=0`를 사용한다. STEP jump를 impulse로 해석하여 초기 velocity를 바꾸지 않는다. `q0=v0=0`, 고정 zero boundary에서는 다음 절차로 `a0`를 정할 수 있다. 1. `psi(q0,0+)=0`와 1차 조건을 확인한다. 여기서 물리적 initial acceleration을 풀기 전부터 불일관하면 실패다. 2. `b=F_f0−f_int,f(q0)−c_f(q0,v0)`에 `N0^T b=0`이 필요하다. 양의 질량 부분공간에서 `M_ff a_P=b`, `N0^T a_P=0`인 particular solution을 구한다. 3. `a_f0=a_P+N0 eta`를 놓고 \[ (\psi_qN0)\eta=-\psi_q a_P-\psi_{qq}[v0,v0]-2\psi_{qt}v0-\psi_{tt} \] 를 푼다. 이 subset에서 우변 뒤 세 항은 0이다. `psi_qN0`가 nonsingular여야 초기 acceleration이 유일하게 정해진다. 단순 Moore–Penrose solve 결과를 그대로 가속도라고 채택하거나 massless acceleration을 0으로 놓지 않는다. 초기점에서는 `g0`가 병진 force를 포함하므로 `D N` 항을 형식적으로 삭제하지 않는다. 다만 zero rotation에서 실제 vanished 항은 식으로 확인할 수 있다. Null basis의 normalization/부호는 물리적 판정에 영향을 주지 않으며 source identity와 결정적 순서를 유지한다. Bounds/regularity는 다음을 포함한다: 양의 `rho,t`; reference/current valid geometry; `||phi||