# 대수좌표 제거 DAE 연구: 수식과 실행 결과

상태: 연구 후보·독립 검토 대기. Owner: formulation, 2026-10-12. [연구의 권장 후보](README.md)를 소형 문제로 비교했다. Production·tests·PRD·ADR·reference·tolerance는 수정하지 않았다. 실제 shell 검증이나 새 적분법 채택이 아니다.

재현 자료는 [Decimal80 probe](README.md), [실제 native 기록](README.md), [stdout](README.md), [전체 grid·오차·조건 결과](README.md)다. `python -B compare.py` 실행 native0이며 FESA build/CTest는 실행하지 않았다. 모든 문제는 `t∈[0,1]`, `h=1/16,...,1/256`, exact frame0의 q/v/a와 `A0=a0`, `alpha=-.05,beta=.275625,gamma=.55`를 사용했다. 초기 구간을 제외하지 않고 모든 `n+1` endpoint의 component infinity-norm 최대 오차를 구했다. 이 raw absolute error는 FESA N7의 normalized/noise-certified metric이 아니다.

## 1. 관찰과 범위

| 소형 문제·적분 | h=1/256 전체 최대 q / v / a 오차 | 마지막 q / v / a 차수 |
| --- | --- | --- |
| Cubic, full-coordinate | 0 / 1.532799e-5 / .032218337 | 미정 / 2 / 1 |
| Cubic, reduced+미분 복구 | 0 / 0 / 0 | 오차0이므로 미정 |
| Explicit-time, full-coordinate | 0 / 1.532799e-5 / .032218337 | 미정 / 2 / 1 |
| Explicit-time, reduced+미분 복구 | 0 / 0 / 0 | 오차0이므로 미정 |
| Moving-null oscillator, full-coordinate | 1.286321e-5 / 2.430511e-5 / .032224263 | 2.001052 / 2.000946 / 1.000776 |
| Moving-null oscillator, reduced+미분 복구 | 1.977078e-6 / 3.548473e-6 / 9.930913e-6 | 1.999855 / 1.999676 / 1.999113 |
| Moving-null+spectator BC | 각 적분의 바로 위 moving-null 결과와 동일 | 동일 |

Moving-null reduced 결과의 finest hidden0/1/2 최대는 각각 `2e-80/2e-80/2e-79`; 원 free endpoint E는 `1.4e-79` 이하다. Full-coordinate의 원 free E도 `3.22e-75` 이하지만 hidden1/2는 약 `1.53276e-5/.03222480`다. 따라서 이 probe에서는 endpoint 평형의 높은 정확도와 full-coordinate 가속도의 1차 startup 오차가 공존한다.

이 결과는 고정 null의 exact 해에 국한되지 않는 후보 근거다. 그러나 shell의 구성·하중·회전 branch·coupled modes·stiff frequency를 포함하지 않는다. 실제 C08a/C08b PASS, 일반 DAE 수렴 정리, production 알고리즘 승인을 주장하지 않는다. Decimal80 precision과 작은 root 잔차가 자체 독립 numerical review를 대신하지 않는다.

## 2. 공통 원 방정식과 국소 제거 계약

소형 모델은 dimensionless 좌표·시간·에너지를 사용하며 물리적 shell 단위나 재료모형을 대체하지 않는다. 원 covector residual은 `E(q,v,a,t)=I(q,v,a)+g(q,t)`, `I=M(q)a+c(q,v)`, `g=f_int-F`이다. 실제 admissible mass-null N에 대해 `N^T I=0`이고 원 대수 조건은

\[
\psi(q,t)=N(q)^Tg(q,t)=0.
\]

고정 BC를 정확히 lift한 free chart에서 `q=Q(p,t)`가 같은 ψ=0 branch를 parameterize한다고 가정한다. 독립 좌표 p의 dimension은 physical mass rank이다. `Q_p`가 full column rank이고 `[Q_p,N]`가 free space를 span해야 한다. 이때 ψ=0와

\[
\boxed{R(p,\dot p,\ddot p,t)=Q_p^TE(Q,Q_p\dot p+Q_t,a,t)=0}
\]

은 원 free E=0와 동등하다. 새로운 holonomic reaction multiplier를 넣거나 ψ를 다른 constraint로 교체하지 않는다. `M_r=Q_p^TMQ_p`는 positive definite이어야 한다. Numerical rank·regularity threshold는 이 문서에서 만들지 않는다.

독립 좌표에서만 기존 HHT의 physical/auxiliary acceleration recurrence를 적용한다.

\[
\mathcal A_{n+1}=(1+\alpha)\ddot p_{n+1}-\alpha\ddot p_n,
\quad p_{n+1}=p_n+h\dot p_n+h^2[(1/2-\beta)\mathcal A_n+\beta\mathcal A_{n+1}],
\]
\[
\dot p_{n+1}=\dot p_n+h[(1-\gamma)\mathcal A_n+\gamma\mathcal A_{n+1}].
\]

Full 좌표와 물리적 rate는 완전한 chain rule로 복구한다.

\[
\boxed{q=Q(p,t),\quad v=Q_p\dot p+Q_t,\quad
a=Q_p\ddot p+Q_{pp}[\dot p,\dot p]+2Q_{pt}\dot p+Q_{tt}.}
\]

따라서 매끄러운 정확 embedding에서는 hidden0/1/2가 해석적으로 0이다. Full q/v/a는 일반적으로 기존 component별 Newmark recurrence를 만족하지 않는다. 이는 output-only null-a recovery와 다른 새 시간적분 계약이다. Full auxiliary A/history에 affine mapping으로 reduced `mathcal A`를 대입해서는 안 된다. 공개 state/schema와 production history 선택은 미결정이다.

국소 split `(p,z)`에는 같은 branch의 `G=psi_z` 가역성이 필요하다. `z_p=-G^-1 psi_p`, `z_t=-G^-1 psi_t`이며 고차 미분은 ψ=0를 미분해 구한다. `psi_q N` 가역성은 transversality 근거이지만 선택한 전역 `(p,z)` chart를 제공하지 않는다. Basis·branch·patch 전환에는 계약이 필요하며 constant rank, bounded derivative, M_r positivity가 전 구간에서 유지되어야 한다.

## 3. 정확한 reduced tangent 인계

고정 endpoint t에서 `c_v=gamma/(beta h)`, `c_a=1/[(1+alpha)beta h²]`다. HHT 종속 reduced rate와 Newton 좌표 변화 ξ에 대해

\[
\delta q=Q_p\xi,\quad
\delta v=Q_{pp}[\xi,\dot p]+Q_pc_v\xi+Q_{pt}\xi,
\]
\[
\begin{aligned}
\delta a={}&Q_{pp}[\xi,\ddot p]+Q_pc_a\xi+Q_{ppp}[\xi,\dot p,\dot p]
+2Q_{pp}[c_v\xi,\dot p]\\
&+2Q_{ppt}[\xi,\dot p]+2Q_{pt}c_v\xi+Q_{ptt}\xi.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\delta R=(DQ_p[\xi])^TE+
Q_p^T\{(D_qI+D_qg)\delta q+D_vI\delta v+M\delta a\}.}
\]

`DQ_p` 항은 평형 밖에서 0이 아니다. 기존 내력 tangent가 낮은 차수의 미분을 쓴다고 embedding의 3차 미분과 explicit-time mixed 항을 생략할 수 없다. Shell 구현 전 analytic implicit differentiation 또는 독립 검증한 미분 경로가 필요하다. Exact frame0 q/v/a는 같은 branch와 미분 일관성 조건에 있어야 하며 reduced 초기값으로 그 값을 정확히 복구해야 한다.

## 4. 실험 모델과 full-coordinate 비교의 의미

**Cubic (NR-009 재현).** `q=(x,z)`, `T=xdot²/2`, `U=(z-x³)²/2`, `F=0`, `M=diag(1,0)`, `N=e_z`다. Exact 해는 `x=t,z=t³`, 초기값은 `x0=z0=0,vx0=1,vz0=0,a0=0`이다. Embedding `Q(p)=(p,p³)`에서 `M_r=1`, physical reduced equation은 `pddot=0`이다. Full-coordinate 비교는 exact endpoint q가 E=0을 만족하되 x와 z 모두 기존 Newmark rate를 유지한다. 기존 가속도 최대가 increment10에서 나타나는 결과를 재현했으며 finest에서는 t=10/256이다.

**Explicit time.** `T=xdot²/2`, synthetic `U(q,t)=(z-tx)²/2`, `F=(2,0)`, exact `x=t²,z=t³`, `a0=(2,0)`다. 시간 의존 potential 연구 모델이며 FESA 현 force-only 공개 입력의 확장이 아니다. `Q(p,t)=(p,tp)`이므로 `vz=p+t pdot`, `az=2 pdot+t pddot`다. Explicit/mixed-time 항을 빼면 oracle이 무효다. `M_r=1`, `pddot=2`이다.

**Moving-null oscillator.** `y=x+z²/2`, `T=ydot²/2`로 놓으면

\[
U=\tfrac12y^2+\tfrac12(z-y^3)^2,\quad
H=(1,z),\quad M=H^TH,\quad N=(-z,1)^T,
\quad\psi=N^T\nabla U=z-y^3.
\]
\[
I=H^T(a_x+za_z+v_z^2),\quad
E=H^T(\ddot y+y)+(z-y^3)\nabla(z-y^3).
\]

Exact reduced 해는 `y=sin(t),ydot=cos(t),yddot=-sin(t)`이며 Decimal80 sin/cos는 수렴하는 Taylor series로 계산했다. `Q(y)=(y-y⁶/2,y³)`는 `H Q_y=1`이므로 해석적으로 `M_r=1`, `MN=0`이다. Null 방향이 이동하며 그 미분과 embedding 곡률은 0이 아니다. 계산에서는 실제 full M과 N을 곱해 MN을 평가하고 `Q_y^T M Q_y`를 계산한다. M_r의 80자리 반올림 편차는 raw JSON에 보존한다.

**Production Newton의 수렴과 시간적분을 분리해 비교하기 위해** full-coordinate moving-null 쪽은 정확 endpoint-root oracle을 사용했다. Root finder에서 ψ=0을 대수적으로 대입하고 `a_x(q)+z a_z(q)+v_z(q)²+y=0`를 풀지만 **모든 full 좌표의 v/a/A는 기존 recurrence와 history**로 계산한다. 위치만 대수 제거한 root solve는 chain-rule rate를 쓰지 않으므로 reduced time integrator와 다르다. 이 residual/root 결과는 production Newton trial 경로를 검증하지 않는다.

**Spectator BC의 제한된 범위.** 독립 w에 `T_w=wdot²` (mass2), force3와 `w=0` BC를 추가했다. 최종 probe는 실제 3성분 q/v/a/A, full 3×3 M, full E를 구성하며 `L=[e_x,e_z]`로 free equation을 선택하고 constrained residual에서 reaction을 구한다. `E_w=R_w=-3`이고 원 full E max3은 그대로 보존하며 free E와 `E-R`은 near-zero다. Admissible null은 `(-z,1,0)`, reduced mass는1이다. 이는 분리된 spectator의 projection·reaction 검사일 뿐 **moving-null을 가르는 shell partial rotational BC의 검증이 아니다.** Rank 전환·구속 성분 변경도 검사하지 않았다. 최초 하드코딩 bookkeeping 버전은 `v1-bookkeeping-*` 원본 기록으로 보존하고 현재 검증과 구분한다.

## 5. 다음 검증과 미결정

- 독립 reviewer가 Decimal80 recurrence, moving-null full E, embedding 미분, exact startup과 all-time 차수를 재현해야 한다. 저장된 native0은 실행 완료만 뜻한다.
- 실제 shell에는 locally integrable physical chart, 대수 branch solve, 하중의 explicit-time 의존성을 포함한 Q 미분, positive reduced mass와 admissible partial-BC null이 필요하다. 소형 모델 결과로 충분하지 않다.
- 같은 계수와 exact frame0을 쓴다고 reduced history가 승인된 full-coordinate history와 같아지지 않는다. Production 채택에는 수식·수치 검토와 명시적인 algorithm/state 결정이 필요하다. Tolerance/reference 변경은 제안하지 않는다.
- Full E·반력·hidden0/1/2·물리적 a와 공간 rate·energy/P/L·현행 C08·원본 비교는 각각 필수 evidence다. 이 oscillator는 frequency1이므로 C08b의 stiff-mode 시간 해상도 문제를 해결하지 않는다.

## 6. 실제 shell chart 후보와 구현-ready capability gap

현재 source는 읽기만 했다. [shell evaluator API](README.md)와 [내부 Jet·scalar constraint](README.md), [관성 API](README.md)를 대조했다. 소형 prototype가 구현한 것은 해석적으로 알려진 polynomial Q와 독립 scalar reduced HHT뿐이다. Actual shell algebraic branch solver·Q 미분·reduced trial/state·assembly·tangent는 **구현하지 않았다**.

### 6.1 Chart 선택과 물리 동등성의 조건

| 후보 | 필요한 국소 조건 | 관성과 실제 구현 영향 |
| --- | --- | --- |
| `p=(u3,phi_x,phi_y)`, 대수 `z=phi_z` | Assembled coupled `G=psi_z` 가역성, 같은 branch, `psi_q N` 가역성, positive M_r 및 기존 chart/geometry | p의 회전2개는 director의 physical coordinates가 아니다. Algebraic branch에 따라 d와 M_r가 달라질 수 있으나 전체 Q/곡률/convective terms를 유지하면 원 full E와 동등할 수 있음 |
| Initial-director 기준 η2와 fiber spin σ | Smooth director patch, swing·principal Log 및 spin branch 유효성, `psi_sigma` 가역성, positive physical mass | Director mapping은 σ와 무관하여 kinetic fiber를 명시적으로 분리. Rotation-vector mapping·미분·patch 전환의 새 계약 필요 |

첫 후보는 모든 node의 φz를 **전역 coupled vector z**로 대수 제거한다. G를 각 node의 scalar derivative로 대신하지 않는다. `G=psi_z` 가역성만으로 `[Q_p,N]` 가역성이 따라오지는 않는다. `ker(M)=span(N)`과 `psi_q Q_p=0` 아래에서는 M_r의 positivity가 `range(Q_p)∩span(N)={0}`를 확인하며 이 transversality가 원 잔차 동등성에 필요하다. `psi_q N` 가역성이 같은 조건을 표현한다.

C08b의 현재 수용된 회전이 약 .27rad라는 사실은 locality 근거이지 위 G/positivity의 증명이 아니다. Actual trajectory의 처음·최대·끝·원 실패 부근에서 root branch, G, M_r, `[Q_p,N]`를 확인하면 그 fixture의 bounded local prototype를 시작할 근거가 될 수 있다. 전 구간·일반 mesh·부분 회전 BC·다른 하중까지 승인되는 것은 아니다.

둘째 후보의 예시는 `d=eta_1 e_1+eta_2 e_2+sqrt(1-|eta|²)d0`, `d·d0>0`의 초기 director hemisphere와

\[
R(d,\sigma)=R_{swing}(d;d_0)\exp([d_0]_\times\sigma),\qquad
\phi=\operatorname{Log}R
\]

이다. `R_swing d0=d`이므로 d·시간 rate와 kinetic mapping은 σ와 무관하다. 이 frame의 local M_r는 대수 spin branch와 무관하지만 η에 따른 configuration dependence와 관성 곡률은 남는다. Existing principal rotation/swing/twist 범위를 통과해야 하며 η hemisphere 또는 Log branch가 바뀌면 silent rechart할 수 없다. 고정 generalized force를 이 chart로 옮길 때에는 원 covector를 `Q_p^T F`로 pullback한다. 임의의 spatial torque로 재해석하지 않는다.

### 6.2 실제 보유 operator와 부족한 operator

| 수식 operator | 현재 확인된 capability | Reduced exact full Newton의 gap |
| --- | --- | --- |
| g, Dg | Internal force와 K_int, 외력은 별도 owner | 기존 force/assembly 의미 보존하여 사용 가능 |
| D²g[v,v] | Optional `coordinate_direction`의 `force_directional_second`; U의3차 contraction | Mixed D²g[p,r]는 polarization으로 구할 수 있지만 비용·산술을 검토해야 함. D³g는 API에 없음 |
| Internal ψ, Dψ, D²ψ | `drilling_constraint`, gradient, Hessian에 **raw γ가 아닌** `k_de*S_i*gamma_ei`를 저장 | Shared node assembly·동일 unit n 확인 필요. Full ψ에는 external null work가 추가됨 |
| D³ψ 방향 contractions | Scalar Jet 내부 `mixed_second[j]`는 `D³scalar[e_j,v,v]`를 수송하지만 constraint용 반환 field에는 노출되지 않음 | 실제 scalar ψ에 대한 third contraction과 mixed polarization의 의미·finite 여부·독립 검산이 필요. Production API 추가는 미승인 |
| n, Dn, D²n[v,v] | `DynamicRotationKinematics`의 unit null, gradient, directional_second | Force가 있는 ψ의 D³n와 일반 mixed second contraction 공개 operator가 없음 |
| I, DqI, DvI, M | 기존 nonlinear inertia evaluation | Q·rate를 적용한 전체 chain rule와 DQ_p 항을 새 reduced assembly에서 연결해야 함 |
| Force의 시간미분 | 현재 C08a oracle는 Fdot/Fddot | Mixed-time third ψ에는 F'''까지 필요할 수 있음. 현 oracle를 F'''가 이미 있는 것으로 보고하지 않음 |

일반적인 `psi=N^Tg`의 직접 미분은

\[
D\psi[p]=(DN[p])^Tg+N^TDg[p],
\]
\[
D^2\psi[p,r]=(D^2N[p,r])^Tg+(DN[p])^TDg[r]
+(DN[r])^TDg[p]+N^TD^2g[p,r],
\]
\[
\begin{aligned}
D^3\psi[p,r,s]={}&(D^3N[p,r,s])^Tg
+\sum_{sym}(D^2N[p,r])^TDg[s]\\
&+\sum_{sym}(DN[p])^TD^2g[r,s]+N^TD^3g[p,r,s].
\end{aligned}
\]

마지막 식의 각 `sum_sym`은 서로 다른3항의 합이다. 이 경로는 D³g, 즉 내부 energy의4차 미분까지 요구한다. 그러나 **현 shell의 정확 scalar identity로 더 낮은 차수 경로가 가능하다.** Source는 `n_i^T grad(U_phys)=0`, `Dgamma_ej[n_i]=delta_ij*S_i`, `S_i=1/|J_l^-1 d_i|`를 사용하여

\[
\psi_i(q,t)=\sum_{e\ni i}k_{de}S_i(q)\gamma_{ei}(q)-n_i(q)^TF_i(t)
\]

를 직접 평가한다. 이 identity와 assembled nodal null convention을 독립 검증하면 scalar ψ의3차 미분으로 충분하며 generic U의4차 tensor를 만들 필요가 없다. C08b의 F=0에서는 ψ의 내부 scalar 3차 contraction이 핵심 gap이다. API의 `drilling_constraint_gradient/Hessian`를 raw γ의 미분이라 오해하지 않는다. 원 ψ의 단순화는 내력에서 U_drill를 제거하는 근거가 아니다.

F(t)가 q-independent이고 n은 q-only인 C08a convention에서는

\[
\psi_{qt}[p]=-Dn[p]^TF',\quad
\psi_{qqt}[p,r]=-D^2n[p,r]^TF',\quad
\psi_{qtt}[p]=-Dn[p]^TF'',\quad \psi_{ttt}=-n^TF'''.
\]

Pure q의 third 항에는 `-D³n^T F`도 필요하다. Constant public CLOAD에서는 F'/F''/F'''가0이지만 F가 nonzero이면 pure-q null 미분항은 사라지지 않는다. Synthetic time-dependent potential에는 위 force-only 단축식 대신 전체 ψ 미분을 쓴다.

### 6.3 Implicit embedding 미분의 최소 인계

`tilde Q(p,t)=(Q(p,t),t)`로 time을 추가한 chart를 쓰면 pure/mixed derivatives를 같은 규칙으로 처리할 수 있다. `A=D tilde Q[a]`, `B=D tilde Q[b]`, `C=D tilde Q[c]`라 놓으면 대수 좌표의2차·3차 방향 미분은

\[
G\,D^2z[a,b]=-D^2\psi[A,B],
\]
\[
G\,D^3z[a,b,c]=-D^3\psi[A,B,C]
-\sum_{sym}D^2\psi[D^2\tilde Q[a,b],C].
\]

p/t의 affine identity 부분은2차 이상에서0이며 RHS는 이전 단계의 Q 미분을 포함한다. 이 규칙은 Q_pp, Q_pt, Q_tt와 δR에 필요한 Q_ppp/Q_ppt/Q_ptt를 제공한다. Dense global3·4차 tensor 전체를 요구하는 것은 아니지만, 실제 필요한 mixed directional contractions와 같은 G의 정확한 solve가 필요하다. Perturbed algebraic root solve를 사용한 FD reduced tangent는 **private diagnostic** 경로로 연구할 수 있다. 이는 production analytic δR의 capability gap을 닫거나 새 수치기준을 승인하지 않는다.

부분 BC에서는 먼저 exact zero-constrained lift를 정의하고 실제 admissible null의 dimension을 정해야 한다. Constraint가 nodal null을 가르면 단순히 그 null의 constrained 성분을 삭제해서는 안 된다. p/z 수와 G 크기는 실제 rank와 함께 정하며 rank·pivot·chart 변경 규약을 정하지 않은 채 all-free5/node를 보편적으로 쓰지 않는다. Empty-null은 기존 full-coordinate 문제로 환원된다.

이 후보가 C08b의 큰 physical-complement fixed-grid 오차를 고친다는 보장은 없다. Actual prototype에는 current5grids의 full q/v/physical-a 및 공간 rates, 초기/최대/최종 오차 위치, dynamic spectrum·mode amplitude·omega*h, 원 free E/reaction, hidden0/1/2, energy/P/L을 함께 비교하는 조건을 남긴다. 국소 제거의 null-rate 개선과 고주파 temporal resolution의 개선 여부를 별도로 판단해야 한다.