# 질량과 공변 numerical stabilization

> 현재 구현·검증은 [기능 요약](README.md)을 먼저 따른다. 아래 준비 상태·owner 인계와
> 옛 source 문서명은 작성 당시 이력이며, 원문은 Git 이력에서 확인한다.

Feature `mitc4-shell-feast-eigen2`, formulation r1. [기본 보고서](formulation.md)의 적용·채택 경계를 따른다.

## M1. 운동학과 physical stiffness

길이·질량·시간 차원은 `L,M,T`, 두께는 `t`, 시간은 `tau`다. 일정한 `rho>0 [M/L³]`,
centered constant `t>0 [L]`, `E>0 [M/(LT²)]`, `-1<nu<1/2`를 사용한다.
밀도 필수 조건은 eigen에만 적용한다. 기존 지원 geometry/director·section 조건을 유지한다.
원 node `X_i`, incident element가 공유하는 unit director `d_i`, 오른손 tangent frame
`(a_i,b_i,d_i)`를 사용한다. Corner 순서는 `(-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1)`이다.

\[
N_i=\tfrac14(1+\xi_i\xi)(1+\eta_i\eta),\quad z=t\zeta/2,\quad
X=\sum_iN_i(X_i+z d_i),\quad J=\det[X_{,\xi},X_{,\eta},X_{,\zeta}]. \tag{M1}
\]

전역 `q_i=[u_X,u_Y,u_Z,theta_X,theta_Y,theta_Z]`, `u [L]`, `theta [1]`이며
양의 director 변화는 `theta cross d`다. `S_i=-[d_i]_cross`, `P_i=I-d_i d_i^T=S_i^T S_i`,
`G_i=[I,zS_i]`, `H=[N_1G_1,...,N_4G_4]`에서 `v=H q_dot`이다.
회전 physical 성분 `alpha=a_i^T theta,beta=b_i^T theta`, drilling `gamma=d_i^T theta`다.
`S_i theta=-b_i alpha+a_i beta`, `S_i d_i=0`. 보간 director를 재정규화하지 않는다.

기존 [shell 정식화](../linear-static-mitc4-shell/formulation.md)의 geometry·MITC tying·
20↔24 변환을 그대로 사용한다. Engineering strain 순서
`[epsilon11,epsilon22,gamma12,gamma13,gamma23]`에 대해

\[
C_5=\operatorname{diag}\left(\frac{E}{1-\nu^2}
\begin{bmatrix}1&\nu&0\\\nu&1&0\\0&0&(1-\nu)/2\end{bmatrix},
\frac56\frac{E}{2(1+\nu)}I_2\right),\quad
K_{20}^0=\sum_{g\in2\times2\times2}\bar B_g^TC_5\bar B_gJ_gw_g,
\]
\[
K_e=T_p^TK_{20}^0T_p+T_d^T(k_{d,e}I_4)T_d. \tag{M2}
\]

`T_p` maps to 4×`[uX,uY,uZ,alpha,beta]`; `T_d` maps to four gamma values.
Plane stress `sigma33=0`, 작은 변형·무응력 원형상이다. Parent momentum balance는
`rho u_ddot=div sigma`, 자유 traction은 0이다. MITC admissible variation의 약형은
`integral rho delta u·u_ddot + integral delta e_bar^T C5 e_bar + delta gamma^T kd gamma=0`.
Lumping 후 반이산 잔차 `r=M_L q_ddot+Kq`, tangent는 각각 `M_L,K`이고 harmonic
ansatz에서 `K phi=lambda M_L phi`, `lambda=omega² [T^-2]`다.
Shear factor `5/6`을 velocity/mass에 적용하지 않는다. 새 재료 history·감쇠·prestress·
time integrator 또는 modal stress/reaction recovery는 없다.

## M2. Consistent scalar moments와 적분

\[
C^{(k)}_{ij}=\int\rho N_iN_jz^kJ\,d\xi d\eta d\zeta\quad(k=0,1,2),\qquad
(M_C)_{ij}=\begin{bmatrix}C^{(0)}_{ij}I&C^{(1)}_{ij}S_j\\
C^{(1)}_{ij}S_i^T&C^{(2)}_{ij}S_i^TS_j\end{bmatrix}. \tag{M3}
\]

`T_C=1/2 q_dot^T M_C q_dot`. 각 C는 symmetric 4×4, 차원은 `ML^k`,
mass block 차원은 `M,ML,ML²`다. M1의 J는 각 자연좌표 차수 ≤2이고
`Ni Nj z^k J`는 ≤`(4,4,4)`이므로 3×3×3 Gauss–Legendre로 정확 적분한다
(roundoff 제외). 축별 point `[-sqrt(3/5),0,sqrt(3/5)]`, weight `[5/9,8/9,5/9]`다.
증가 xi→eta→zeta, node/component와 moment 합 순서를 고정한다.
모든 27점에서 기존 geometry predicate·finite·J>0를 검사한다. 이 검사를 전체
volume injectivity theorem으로 확대하지 않는다. Stiffness의 8점 적분은 유지한다.
곡면에서는 `C1`이 비영일 수 있고 `C2=t² C0/12`는 일반식이 아니다.

완성한 C와 M_C를 검증·보존하고 다음 row sum의 실제 원본으로 사용한다.
Mass 원본을 lumped로 덮어쓰거나 독립 mass를 별도로 만들어 derived라 부르지 않는다.

## M3. Derived nodal block lumping과 보존 범위

\[
m_i=\sum_j C^{(0)}_{ij},\quad h_i=\sum_j C^{(1)}_{ij},\quad j_i=\sum_j C^{(2)}_{ij},
\qquad L_i=\begin{bmatrix}m_iI&h_iS_i\\h_iS_i^T&j_iP_i\end{bmatrix},\quad
M_{L,e}=\operatorname{blockdiag}_i L_i. \tag{M4}
\]

전체 24×24 row sum 또는 diagonal scaling이 아니라 **scalar moment row sum 뒤 tensor 재구성**이다.
`L_i=integral rho Ni Gi^T Gi dV`이므로 node 간 coupling은 0, 같은 node의 6×6 coupling은
허용한다. Incident elements는 같은 d_i를 사용하고 stable source 순서로 block을 더한다.

\[
q_i^TL_iq_i=m_i|u_i+(h_i/m_i)S_i\theta_i|^2+
(j_i-h_i^2/m_i)|S_i\theta_i|^2. \tag{M5}
\]

양의 volume measure와 thickness에 의해 `mi>0,ji>0,mi ji-hi²>0`, rank=5,
`ker Li=span([0;di])`다. 부호·finite·variance 검사를 clamp로 통과시키지 않는다.
거의 singular인 양의 mass를 rank cutoff로 제거하지 않고 conditioning 실패를 별도 진단한다.

보존하는 양은 `sum mi=integral rho dV`, `sum hi=integral rho z dV`,
`sum ji=integral rho z² dV`, first spatial moment
`sum(mi Xi+hi di)=integral rho X dV`다. Uniform translation energy는 consistent와 같다.
`ji Pi`는 tangent rotary inertia이며 arbitrary rigid rotation의 **orbital inertia tensor**까지
consistent와 같게 만드는 계약은 아니다. 실제 차이는 `vi=ui_dot+z Si theta_i_dot`에 대해

\[
\dot q^T(M_L-M_C)\dot q=\tfrac12\int\rho\sum_{ij}N_iN_j|v_i-v_j|^2dV\ge0. \tag{M6}
\]

서로 다른 일반 속도장의 energy·spectrum 동일성은 요구하지 않는다.
Affine rectangle 면적 A·평행 director의 독립 oracle은

\[
C^0=\frac{\rho t A}{36}\begin{bmatrix}4&2&1&2\\2&4&2&1\\1&2&4&2\\2&1&2&4\end{bmatrix},
\quad C^1=0,\quad C^2=t^2C^0/12,
\quad(m_i,h_i,j_i)=(\rho t A/4,0,\rho t^3 A/48). \tag{M7}
\]

곡면 oracle는 독립 volume integration으로 C1와 변동 J까지 검사한다.

## S1. 초기 trace 평균 선택과 공변성

`R_i`는 **구속 전 초기 physical** K20의 node i에 대한 2×2 tangent rotary principal block이다.

\[
k_{ref,e}=\frac18\sum_{i=1}^4\operatorname{tr}R_i,\qquad
k_{d,e}=10^{-3}k_{ref,e}>0. \tag{S1}
\]

단위는 `ML²/T²`; 8개 rotary diagonal 전부를 평균한다. Translation diagonal·mass·density·
trial tangent·BC·reference 오차는 입력이 아니다. Negative/nonfinite diagonal은 실패,
exact zero는 평균에 포함, 8개 전부 zero면 positive inventory 실패다. 개별 Ri의 SPD를
새 geometry 조건으로 요구하지 않는다. Overflow 방지 계산은 `dmax*((sum dr/dmax)/8)`이며
고정 node1→4, alpha→beta 순서로 합한다. Underflow/nonpositive kd를 floor로 대체하지 않는다.

Proper global rotation Q와 재생성 tangent `Ui'=Q Ui Oi`에서
`Ri'=Oi^T Ri Oi`, `tr Ri'=tr Ri`. `S_Q=blockdiag_i(Q,Q)`이면
`Kphys'=S_Q Kphys S_Q^T`, `Kdrill'=S_Q Kdrill S_Q^T`, `M'=S_Q M S_Q^T`이다.
Q=I인 독립 tangent basis 변경에도 성립한다. **새 geometry/frame에서 K20·kd·complete K를
모두 다시 계산**해야 하며 이미 계산한 tensor만 회전해서는 이 선택을 검증할 수 없다.
BC가 양쪽의 지원 component subset으로 같은 물리 free space를 표현할 때 constrained
spectrum·static response의 공변성을 검증한다. 다른 BC를 같은 문제로 비교하거나 MPC를 추가하지 않는다.

물리 rigid field는 `ui=c+Omega cross Xi`, `theta_i=Pi Omega`이며 strain=gamma=0이다.
여섯 물리 rigid modes는 양의 mass를 갖는다. Pure numerical drill `[0;di]`는 mass=0,
stiffness>0이다. Linear UR에 full spatial Omega를 넣는 field와 이 physical 대표값을 구분한다.

## S2. 비선형 drilling 선택과 고정 scale

2026-10-20 현재 기본값은 초기 global 단위 director `d_i0`를 사용한 직접 스프링이다.
`gamma_i=d_i0·phi_i`, `Pi_d=0.5*kd*sum(gamma_i²)`,
`r_i=kd*gamma_i*d_i0`, `K_ii=kd*d_i0*d_i0^T`이며 병진·절점 간 coupling은0이다.
Drilling polar/swing/atan2를 평가하지 않고 유한 강체 회전의 인공 모멘트를 허용한다.
S1의 초기 scale과 mass null은 유지한다. 원형상 선형/eigen block은 두 방식에서 같다.
다음 objective 유도는 선택 가능한 기존 상대 비틀림 방식에 한정한다.

기존 [nonlinear 정식화 §10](../nonlinear-static-newton-raphson/formulation.md)의 polar
corotation, total nodal rotation, minimal swing 및 objective `gamma_i=atan2(s_i,c_i)`를
유지한다. S1을 초기 reference에서 한 번 계산하고 모든 trial·commit·increment·rollback에서
그 값을 고정한다. `D kd=D² kd=0`이다.

\[
\Pi_d=\tfrac12 k_d\gamma^T\gamma,\quad r_d=k_dD_\gamma^T\gamma,\quad
K_d=k_d\left(D_\gamma^TD_\gamma+\sum_i\gamma_iD^2\gamma_i\right). \tag{S2}
\]

기존 방식에서는 polar/swing/atan2의 미분과 branch validation을 생략하지 않는다.
현행 구현의 polar1과 미분 정확도 실패를 보존하며 과거 polar12로 복원하지 않는다.
두 방식 모두 trial마다 scale을 바꾸지 않는다.
일반 nonlinear Hessian 전체의 SPD는 주장하지 않는다. 초기에도 Dgamma는 corotation coupling을
포함하므로 linear Td와 동일시하지 않는다. 기존 physical 선형극한, directional residual/Hessian,
objective rigid orbit·state rollback을 검증한다. 새 eigen에는 이 nonlinear state를 전달하지 않는다.
Physical strain/stress/reaction의 의미와 Newton·하중·commit 계약은 보존한다.

## S3. 필수 partial-BC exact target

`a=(0,1,0), b=(-4/5,0,3/5), d=(3/5,0,4/5)`,
`X=(-2a-b,2a-b,2a+b,-2a+b)`, `t=1,E=12,nu=0,rho=1`인 rectangle이다.
모든 DOF를 고정하되 node1 global URZ만 free다. Independent rotary block의
diagonal은 `49/12,23/6`, off-diagonal은 corner에 따라 `±1/8`이다. S1에서

\[
k_{ref}=95/24,\quad k_d=19/4800,\quad M_{ff}=3/50,\quad
K_{ff}=10369/7500,\quad\lambda=10369/450. \tag{S3}
\]

Global Z축 45° 회전 뒤에도 같은 BC를 유지하고 geometry/frame부터 재계산한다.
URZ에 양의 mass가 있으므로 drill 좌표라고 삭제하면 안 된다. 이 값은 `NR-MFE-001`의
새 식 target이며 과거 pass 재사용이 아니다. NR가 독립 재유도한다.
Static 대응 load는 node1의 tangent moment `m=(5/3)M0 b`, 다른 load=0이다.
`d·m=0,mZ=M0`; `theta1Z=M0/Kff`, full residual `r=Kq-F`다.
회전 뒤 `m'=Qm`을 사용한다. Pure global eZ moment는 drilling 성분 때문에 기존 load
계약에 부합하지 않는다. Eigen의 constrained residual을 static reaction으로 출력하지 않는다.

2026-10-20 현재 이 static 사례의 직접 방식은 별도 인공 spatial 모멘트를 차감한 기존
gate를 통과하고, 기존 방식은 raw gate에서 계속 거부된다. S3의 K/M/lambda target이나
partial BC를 바꾼 결과가 아니며 Value 비교 예외를 정적 평형에 적용하지 않는다.