# 내부 수치 기준과 FEAST controls

- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen2`; Owner: `numerical-review-agent`; revision `r1`.
- 기본 보고서: [numerical-review](numerical-review.md); 수식: [새 formulation](formulation.md).
- IEEE binary64의 내부 검증 계약이며 [외부 TOLERANCE](../TOLERANCE.md)를 변경하지 않는다.

## C1–C4, C6, C7의 독립 검토 후 명시 채택

[이전 controls](../mitc4-shell-feast-eigen/numerical-review-controls.md)의 C1, C2-01~14와
nodal rcond 절, C3-01~08와 raw classification, C4, C6의 seed/QR/thread/storage,
C7의 retained static 기준을 전부 읽고 새 M/S/E 식에 대조하여 **수치 정의만 채택**한다.
이것은 과거 판정·runtime·reference pass의 승계가 아니다. 다음 적용 경계가 우선한다.

- E/V/S 식 번호는 [새 formulation](formulation.md)과 그 문서가 명시 채택한
  [V1–V5 측정식](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation-verification.md)에 대응한다.
- 이전 C5 전체와 lower/empty-prefix search는 채택하지 않는다. 아래 C5가 완전히 대체한다.
- C6 count `n×n`은 이번의 보수적 allocation 선택이며 Intel의 최소 workspace 의무가 아니다.
  Count input capacity `n`, 반환 count, solve capacity `m0`, 요청 `N`은 서로 다른 값이다.
- C7는 `shell`, `shellNL`, linear-limit 및 내부 synthetic 의무에만 적용한다.
  이전 문서의 제외 예제·고정 검사 수·고정 workflow는 채택하지 않는다.
- Runtime/ABI/thread의 설치 확인은 **NOT RUN**이며 후속 implementation 의무다.

| 분류 | 채택한 기준과 근거 |
| --- | --- |
| 단위·zero branch | `ell=max active edge length`, `D=diag(ell I3,I3)` congruence 뒤 norm. Finite-first; 분자=분모=0이면 항등식 metric0, 분모0·분자비영이면 failure. Zero vector/nonpositive mass는 실패. Floor/clamp 없음 |
| 대수 C1/C2 | Symmetry·oracle·moment·covariance·null/PZ·Cholesky reconstruction `<=1e-12`; `u=2^-53`, `gamma4096≈4.55e-13`와 기존 linear algebra 기준. 어려운 geometry의 forward accuracy 보장 아님 |
| 질량 C2 | Scalar Ck entry error를 `m_e(t/2)^k`로 나눔; first moment는 `m_e ell`. Strict `mi,ji,ji-hi²/mi>0`; analytic rank와 director constraint exact-zero intersection. Nodal scaled positive block `rcond_inf>=2^-32`; 작으면 failure이며 rank 변경 금지 |
| Modal C3 | Original free residual·whitened residual·`norm(Bx-mu x)/norm(x)`·normalization·pairwise orthogonality·Gram·energy·rigid/scaling `<=1e-10`; FEAST stopping `1e-12`와 별도 독립 후검증 |
| Known spectrum | Error/s `<=1e-10`, known distinct gap 존재 시 error `<=gap/8`; exact repeated subspace projector `<=1e-6`는 isolated known gap `>=1e-3 s`인 검증군에만 적용 |
| Raw 분류 | `mu=lambda/s`, `tau_zero=1e-9`, `tau_cluster=1e-8`; `mu<-tau_zero`는 실패, 양끝 포함 near-zero는 분류만. Raw 부호·값 보존, 작은 양수 mode 삭제 금지, 음수 frequency 생성 금지 |
| 결정론 C4/C6 | Stable raw sort, equal tie는 solver column; connected cluster 평균/merge 금지. Source 최대 scaled component sign·첫 tie. 같은 runtime/thread/input 세 반복의 structure/order exact; repeated vector는 projector 비교 |
| 정적 C7 | Linear symmetry/frame/energy `1e-12`, full residual/equilibrium `1e-10`. Nonlinear directional tangent `1e-6`, zero direction `1e-10`, objectivity `1e-10`, factor-one force/moment balance 각각 `1e-8`; 기존 typed Newton zero/100-iteration/no-cutback 계약 유지 |

C6의 seed `0x4D495443344D4645`, uint64 recurrence
`z=6364136223846793005*z+1442695040888963407 mod 2^64`, column-major
`x=2*(double(z>>11)*2^-53)-1`, nonpivoted Householder QR 및 positive R diagonal을 채택한다.
`m0=n`은 identity. QR relative pivot `<=1e-12`는 실패, post-QR Gram `<=1e-12`다.
Seed 변경으로 통과를 찾지 않는다. oneMKL thread-local 1을 설정하고 모든 exit에서 반환된
이전 설정을 복원한다. 이 반환 의미는 이번 [Intel 원문](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/mkl-set-num-threads-local.html)에서 재확인했다.

## C5. Fixed lower enclosure와 bounded upper search

실제 backend는 `dfeast_scsrgv(B,I)`, `uplo='U'`, sorted duplicate-free 1-based CSR이다.
각 call에 `feastinit` 후 C-index fpm을 다음과 같이 다시 설정한다.

| Index | 값 |
| --- | --- |
| `[0],[1],[2],[3]` | `0,16,12,20` |
| `[4],[5],[13]` | `1,1,0` |
| `[26],[27]` | `1,1` |
| `[49]` | Count `1`, solve `0` |
| `[63]` | `0` |

나머지는 해당 설치의 초기값을 유지·기록한다. 이번 [Intel parameter table](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/extended-eigensolver-input-parameters.html)의 허용 contour16,
trace stopping, CSR/SPD checks와 count flag reset을 확인했다. 위 값은 FESA의 고정
제어 선택이며 어떤 matrix에서도 수렴한다는 vendor 보장이 아니다.

Gershgorin off-diagonal absolute row sum은 매 합산 뒤 `nextafter(+infinity)`로 outward
누적하고 diagonal±sum도 바깥 한 ULP를 적용한다. `beta=norm(B,inf)`도 outward로 구한다.
`B=0`의 algorithmic enclosure에서만 beta=1이며 physical mass/λ floor가 아니다.
`ulp(v)`는 양쪽 finite adjacent spacing의 큰 값,
`delta(v)=1e-8 beta+64 ulp(v)`로 고정한다. Finite overflow/underflow로 strict bound를
구성할 수 없으면 failure다. `a0=nextafter(gL-16delta(gL),-inf)`,
`b0=nextafter(gU+16delta(gU),+inf)`로 spectrum을 엄밀히 포함한다.
정확한 B=0은 별도 결정론 branch로 **초기 (a0,b0)=(-1,1)**를 사용하며 위 gL/gU padding
식을 적용하지 않는다. 초기 endpoint 재시도 j=0,1,2에서는 `(-2^j,2^j)`를 사용한다.
이 branch에서도 beta=1의 동일 delta·count/solve·분리·raw 검증을 적용한다.

**하한은 a0로 고정한다.** 바깥 spectral bound가 lower completeness를 증명하므로
empty-prefix count를 의무로 호출하지 않는다. 최초 `(a0,b0)` count는 `info=0,c=n`이어야
한다. 초기 endpoint 재시도는 최초 포함 최대3회이며 `info=1,-5` 또는 성공 count!=n에만
허용한다. Attempt j=0,1,2에서 최초 16delta padding을 `2^j`배로 넓히고 outward 처리한다.
최종 성공 enclosure를 a0,b0로 고정한다. 그 외 status·3회 소진은 failure다.
이 성공 bracket은 항상 fallback 후보로 보존한다.

Upper candidate v의 세 intervals `(a0,v-delta(v))`, `(a0,v)`, `(a0,v+delta(v))`가
strict하고 enclosing 범위 안에 있으며 모두 `info=0`이고 같은 count c이면 guarded endpoint다.
`c>=N`이면 certified upper로 저장하고 더 낮은 v를 탐색한다. `c<N`은 탐색 왼쪽만
갱신하며 최종 a0를 움직이지 않는다. 서로 다른 successful count의 monotonicity 모순은
즉시 failure다. `info=1`은 empty 증명이 아니고 optional search를 종료한다.
Optional 후보의 `info=2,3,-5`도 search를 종료하고 이미 certified bracket을 유지한다.
그 외 invalid/inner-solver/SPD/index/allocation 오류는 즉시 failure다.

| 제어 | 고정 한계·처리 |
| --- | --- |
| Count 전체 | 초기·실패·guard·최종·retry를 모두 포함 최대512 calls |
| Optional upper search | 최대32 midpoint, optimization 최대384 calls; 나머지128은 최종·retry 예약 |
| Collision 후보 | midpoint에서 `0,+1,-1,+2,-2,+4,-4` times delta 순서 최대7; bracket 내부만 |
| Search 종료 | `N<=c<=min(n,2N+8)`, 폭 `<=8delta(mid)`, representable midpoint 없음 또는 optimization budget; 저장한 가장 작은 certified b 사용, 없으면 b0 |
| 최종 count | `(a0,b)` 성공 count=c>=N 재확인; interior b는 세 guard 재확인. b0는 outward bound가 margin 증거이며 outside empty count를 요구하지 않음 |
| Solve capacity | `m0=min(n,max(c+8,ceil(3c/2)))`; c=n이면 n. Overflow 전 exact integer 검사 |
| Solve 횟수 | 최초 포함 최대3, 각 refinement 최대20 |
| Solve retry | `info=1,2,3`, count/returned-m mismatch, endpoint separation failure에만 저장한 더 큰 certified b 선택 후 재count; 최종 b0. `m0=min(n,max(new formula,2*previous m0))` |
| Retry 종료 | 더 큰 certified bracket/증가 capacity 등 바뀐 입력이 없으면 동일 실패 call 반복 금지; 최종 검증·budget 부족이면 failure |
| 즉시 실패 | Nonfinite eigenpair, Gram/residual 실패, 유의한 negative spectrum, invalid/SPD/inner-solver/index/allocation 오류. Mass/seed/backend/threshold 변경 금지 |

Returned `m=c`, 전체 c개 독립 Gram/residual 및 `mu-a0>=delta(a0)`,
`b-mu>=delta(b)`를 검사하고 첫 N개만 공개한다. N번째가 반복군 안이면 전체 c를
검사하되 외부 requested rows는 N개다. Bounds/status/count/m0/m/loops/epsout/최종 ranks와
모든 실패·fallback을 기록한다. 초기 total count=n만으로 floating API의 무오류를 주장하지
않으며 known spectra/runtime probes로 구현을 반증 가능하게 검증한다.

## Storage와 미실행 위험

Count `x[n*n]`, `e[n]`, `res[n]` 보수 storage와 identity initial subspace를 사용한다.
`1<=N<=n<=MKL_INT_MAX`, `nnz+1`, `n+1`, `6*nodes`, `n*m0`, `n*n`, byte product,
container max_size 및 `min(SIZE_MAX,PTRDIFF_MAX)`를 overflow **전** 검사한다.
Global inverse를 만들지 않으며 allocation/shifted factorization 실패는 명시적으로 종료한다.
Count n² scratch는 최소 memory 보장이나 전체 peak memory 추정이 아니다.
[Research G01/G02](research-evidence.md)의 installed empty/occupied/endpoint/count reset,
workspace·header/runtime probes는 **NOT RUN**이다. Safe enclosing fallback으로 빈 count 성공이
수학적 전제에서는 제거됐지만 실제 FEAST 실행·메모리·cluster 동작 검증 의무는 남는다.