# 좌표 공변적인 drilling scale과 적용 경계

- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
- Owner: `formulation-agent`
- Input contract revision: `r2`
- 기본 보고서: [formulation.md](formulation.md)

승인 근거는 [MFE-ADR-007](ADR.md#mfe-adr-007--기존-stabilization과-좌표-불변성-acceptance-정합),
`FEM-REQ-MITC4-EIGEN-002/008/014/024/027` 및 [기존 계약 대체 범위](requirements.md#r2의-기존-계약-대체-범위)다.
[연구 R07](research-evidence.md#r07--r2-stabilization-근거와-영향)의 후보에서 아래 하나를 선택한다.
식 S1~S8은 FESA 계약에 대한 유도이며 외부 solver의 stabilization과 동일하다는 주장이 아니다.

## S1. 초기 physical trace로 고정하는 단일 scale

[M4](formulation-mass.md#m2-strongweak-form과-기존-stiffness)의 원형상 physical matrix를
`K20^0`라 한다. 각 source node i의 local physical 순서는 `[uX,uY,uZ,alpha,beta]`이고,
`R_i [2×2]`는 그 matrix에서 `alpha,beta`에 해당하는 principal block이다. 두 회전은
orthonormal tangent basis의 무차원 성분이다. Element별로

\[
k_{ref,e}=\frac18\sum_{i=1}^4\operatorname{tr}R_i,
\qquad k_{d,e}=\eta_d k_{ref,e},\qquad \eta_d=10^{-3},
\qquad K_d^l=k_{d,e}I_4. \tag{S1}
\]

`k_ref,k_d,R_i`의 단위는 force·length=`ML²/T²`다. Translation 대각, lumped/consistent
mass, density, constrained tangent, trial tangent 또는 reference 오차는 이 식의 입력이 아니다.
초기 physical K의 **여덟 회전 대각 전체**를 평균하며 양수인 항만 선별해 분모를 바꾸지 않는다.
기존 coefficient `10^-3`와 네 node에 같은 scalar를 쓰는 numerical 역할을 유지한다.
새 사용자 parameter·coefficient sweep·reference tuning은 없다.

Trace 평균은 모든 방향의 회전 강성을 사용하면서 eigenvalue subtraction과 positive
nodal-block 선별을 피한다. 최소 spectral 값도 불변량이지만 이번 scale에 필요하지 않은
작은 고유값 conditioning 문제를 추가한다. 이는 R07 후보의 단순성에 따른 선택이며,
LAPACK이 FESA의 평균 규칙을 제안한다는 뜻이 아니다. 작은 고유값의 상쇄 한계는
[LAPACK DLAEV2 원문, Further Details](https://www.netlib.org/lapack/explore-html/d4/d5a/dlaev2_8f_source.html)에 있다.

## S2. Positive inventory, 유효 geometry와 계산 순서

기존 승인 geometry·director·section·material 검증을 먼저 적용한다. 기존 8개 stiffness
점에서 `J_g>0,w_g>0`, `t>0,E>0,-1<nu<0.5`이면 `C5≻0`이고 M4에 의해

\[
d_r=(K_{20}^0)_{rr}
=\sum_g J_gw_g\|C_5^{1/2}\bar B_g e_r\|^2\ge0,
\quad r=(\alpha_1,\beta_1,\ldots,\alpha_4,\beta_4). \tag{S2}
\]

따라서 S1이 양수인 필요충분조건은 이 여덟 값 중 적어도 하나가 양수인 것이다.
이는 [기존 요구 034/036](../linear-static-mitc4-shell/requirements.md)의 유효 physical
rotation inventory 조건과 같다. 개별 `R_i`가 모두 PD여야 한다는 새 조건은 없다.
Exact zero diagonal/block도 합에 포함하므로 기존 허용 geometry를 선별해 줄이지 않는다.
유효 geometry는 noncollinear midsurface를 가지며, 기존 physical kernel의 non-rigid
positivity 계약상 translation 0인 비영 tangent-rotation field 전체가 zero-energy일 수 없다.
그 field가 rigid라면 모든 node에서 `c+Omega×X_i=0`이므로 noncollinearity에서 `Omega=c=0`이다.
이것이 기존 물리 rank 조건과 양의 inventory의 연결이다. Geometry predicate만으로 모든
왜곡 element의 rank를 검증했다고 주장하지 않고 기존 physical rank/patch 검증을 유지한다.

계산·실패 순서는 다음으로 고정한다.

1. 기존 순서의 quadrature로 초기 `K20^0`를 완성하고 모든 항의 finiteness를 확인한다.
   Node1→4, 각 node의 alpha→beta 순서로 정확히 여덟 `d_r`를 읽는다.
2. Negative diagonal은 S2와 불일치하는 numerical stiffness failure다. Zero는 허용한다.
   Nonfinite/negative를 생략·절댓값·0으로 보정하지 않는다. Physical symmetry/PSD의 독립
   검증을 양의 trace 하나로 대체하지 않는다.
3. `d_max=max_r d_r`를 구한다. `d_max=0`이면 빈 positive inventory failure다.
   그 외에는 고정된 순서의 안정된 합으로
   `k_ref=d_max*((sum_r(d_r/d_max))/8)`을 평가한다. 이는 S1의 동치 계산이며 임의 floor가 아니다.
   Exact 산술에서 괄호는 `[1/8,1]`이므로 유한한 최댓값보다 큰 중간 trace를 만들 필요가 없다.
4. `k_ref`와 `k_d=10^-3 k_ref`가 각각 finite·strictly positive인지 확인한다.
   Underflow로 0, overflow 또는 invalid가 되면 실패하고 최소 양수로 대체하지 않는다.
   안정된 합도 연산 불능을 감추지 않으며 수치 기준·conditioning은 NR가 고정한다.
5. Source element/node 순서의 기존 reduction으로 조립한다. 임의의 좌표 회전에 대한
   bitwise equality와 고정 입력·reduction 순서의 결정론은 구분한다. 전자는 NR의 정규화
   congruence 기준을 만족해야 하며 기준 밖 실패를 floating-point라는 말로 수용하지 않는다.

Mass나 geometry rank cutoff를 새로 만들지 않는다. 유효한 positive stiffness라도
표현 범위를 넘는 경우의 numerical failure는 지원 geometry 종류를 축소하는 대체 규칙이 아니다.

## S3. 독립 재계산한 complete K와 제약의 공변성

`U_i=[a_i b_i]`, `G∈SO(3)`를 전역 좌표 회전이라 하자. 새 geometry에서 tangent를
독립 생성하면 `U_i'=G U_i O_i`, `d_i'=Gd_i`인 orthogonal `O_i`가 존재한다.
오른손 frame끼리는 `O_i∈SO(2)`다. 각 node의 physical 좌표 변환을
`A_i=diag(G,O_i^T)`, 전체 `A=blockdiag(A_i)`, global 24 DOF 변환을
`S_G=blockdiag_i(G,G)`라 두면 `q20'=A q20`, `q24'=S_G q24`다.

MITC strain은 같은 물리 tensor를 보간하고 isotropic C5의 quadratic work와 J는 회전에
불변이다. 따라서 물리 운동학으로 독립 재계산한 `K20'^0=A K20^0 A^T`이며

\[
R_i'=O_i^T R_i O_i,\quad \operatorname{tr}R_i'=\operatorname{tr}R_i,
\quad k_{d,e}'=k_{d,e},\quad
T_p'S_G=A T_p,\quad T_d'S_G=T_d. \tag{S3}
\]

이 등식을 M4에 대입하면

\[
K_{phys,e}'=S_G K_{phys,e}S_G^T,\quad
K_{drill,e}'=S_G K_{drill,e}S_G^T,\quad
K_e'=S_G K_e S_G^T. \tag{S4}
\]

`G=I`인 독립 node별 tangent basis 변경에도 같다. Element의 local strain frame이
재생성되더라도 isotropic work는 같다. Frame 생성 tie로 basis가 달라지는 것도 포함한다.
이미 계산한 old K에 S를 곱하는 검사만으로 S3를 검증할 수 없다. 새 geometry·frame에서
physical K와 S1을 다시 계산해야 한다. Translation of origin도 geometry derivatives,
K 및 M를 바꾸지 않는다. Mirror reflection·source connectivity reversal은 이 SO(3) 증명의 대상이 아니다.

전체 model의 block rotation을 `S`라 하면 stable assembly 뒤 `K'=S K S^T`, `M'=S M S^T`다.
E1의 `ell`은 회전에 불변이고 D와 S는 commute한다. 같은 물리 free space를 나타내는
`C,C'`에는 `SC=C'W`인 orthogonal W가 있어

\[
K_f'=W K_f W^T,\quad M_f'=W M_f W^T,
\quad y_f'=W y_f,\quad\lambda'=\lambda. \tag{S5}
\]

이는 supported partial rotation BC에도 적용된다. 비교 대상 양쪽의 같은 물리 subspace가
현재 component BC로 표현되어야 한다. 임의 회전 뒤 BC component를 그대로 유지하여 다른
문제를 비교하거나 새 MPC 기능을 요구하지 않는다. NR-MFE-001의 global Z축 회전은 그
URZ free space를 유지하므로 필수 사례다. Complete K 안의 partial-BC stabilization을
삭제하거나 acceptance를 full-free/full-clamp로 한정하지 않는다.

Static load도 `F'=SF`, prescribed displacement도 같은 물리량으로 변환하면 기존
partition/effective RHS의 해와 full residual/reaction이 함께 변환한다. Unique free 해의
경우 `q'=Sq`, `r'=Sr`, physical strain energy는 불변이다. S5는 eigen 근사식이 아니라
개선된 실제 constrained K/M의 congruence다.

## S4. Linear rigid modes와 massless drilling의 다른 의미

Linear/eigen 물리 rigid field는 `u_i=c+Omega×X_i`,
`theta_i=(I-d_i d_i^T)Omega`다. M2에 넣으면 입자 변위는 `c+Omega×X`이고
물리 strain 및 `T_d q`가 모두 0이다. 따라서 S1의 양수 값과 관계없이 `K_e q=0`이다.
비퇴화 shell의 여섯 물리 rigid motions는 positive lumped mass를 가진다. 기존 physical
non-rigid positivity와 함께 complete free element의 nullity가 여섯이라는 검증을 유지한다.

반면 한 node의 pure numerical drill `z_i=[0;d_i]`는 `T_p z_i=0`, `M z_i=0`이고
numerical stiffness만 양수다. Physical recovery에는 strain/stress/resultant를 만들지 않는다.
Full spatial Omega를 linear UR에 넣어 numerical drill까지 가진 field는 위 five-DOF
rigid 대표값과 다르다. 이 구분은 기존 물리 계약이며 새 eigen rigid acceptance의 축소가 아니다.

S1에서 모든 element의 `k_d,e>0`이고 nodal director가 incident element 사이에 공통이므로
[E3/E4](formulation-eigen.md#e3-개선된-stiffness에서-decoupling의-정확한-증명)의
`K_f Z=Z diag(sum_e k_d,e)`, `Kzz≻0`, `Kpz=0`가 그대로 성립한다. E2의 실제
global BC와 null의 교집합을 먼저 구한다. Finite mode의 null coefficient는 0이며
positive 공간으로의 투영은 개선된 원 pencil의 모든 finite spectrum을 보존한다.
Null이 없는 partial BC에는 개선된 drilling term이 finite 공간에 남는다. 이 항을 제거하거나
옛 spectrum과 같게 조정하지 않는다. Consistent→lumped의 spectrum equality는 별개로 요구하지 않는다.

## S5. Nonlinear objective potential와 초기 고정 lifecycle

기존 [nonlinear §10.1~10.4](../nonlinear-static-newton-raphson/formulation.md#10-objective-numerical-drilling-contract)의
polar element corotation `R_e`, total nodal rotation `R_i`, minimal swing `S_ei` 및
`gamma_i=atan2(s_gamma,i,c_gamma,i)`를 그대로 사용한다. 초기 reference physical K20만으로
S1을 한 번 계산하고 모든 trial/commit/increment/iteration 및 rollback 동안 같은 scalar를 쓴다.
State-dependent scale·trial 재선정·기존 objective gamma의 교체는 승인 범위 밖이다.

\[
Dk_{d,e}=D^2k_{d,e}=0,\quad
\Pi_d^e=\tfrac12 k_{d,e}\gamma^T\gamma,\quad
r_d^e=k_{d,e}D_\gamma^T\gamma,
\]
\[
K_d^e=k_{d,e}\left(D_\gamma^TD_\gamma+
\sum_i\gamma_i H_i^\gamma\right),\qquad
D_\gamma=D\gamma,\quad H_i^\gamma=D^2\gamma_i. \tag{S6}
\]

모든 polar/swing/rotation/atan2 미분과 branch validation은 기존 계약을 유지한다.
Positive k_d는 potential 비음성과 pure-drill 양의 작용을 뜻한다. 일반 nonlinear Hessian은
`sum gamma_i H_i` 때문에 모든 상태에서 SPD라는 결론이 없다. 초기 `gamma=0`에서도
`D_gamma`에는 corotation coupling이 있으므로 이를 linear `T_d`와 동일시하지 않는다.
기존 pure-drill directional quadratic form과 physical 선형극한·Newton tangent consistency를
각자의 계약대로 재검증하며 complete nonlinear Hessian의 모든 entry가 linear M4와 같다고 요구하지 않는다.

같은 물리 nonlinear 상태를 G로 표현하면 모든 rotation tensor와 initial director가
conjugation/rotation되고 scalar gamma는 같다. Initial S1도 같으므로 potential은 불변이다.
Work-conjugate Cartesian perturbation에 대해 chain rule로 residual과 tangent의 공변성이 따른다.
Superposed finite rigid motion에서는 기존 `R_e^+=R R_e`, `R_i^+=R R_i`에 의해 gamma가
같고, stress-free rigid state에는 gamma=0·physical strain=0이다. 따라서 finite rigid motion의
영에너지 및 objective rigid orbit를 따른 변분 검증을 유지한다. S4의 linear tangent-projected
UR field를 nonlinear total triad 회전에 대신 넣지 않는다.

현재 [nonlinear 생성 경로](../../src/fesa/elements/nonlinear_mitc4_shell.cpp)의
`NonlinearMitc4Shell::Create`는 초기 linear `Stiffness()`의 `drilling_stiffness`를 받아 저장한다.
이 경계에서 S1의 같은 값을 사용해야 한다. 물리 strain/material, exact external moment work,
Newton/line-search/cutback, accepted state 및 physical output은 기존 계약이다.
S4/E3 projection은 이 nonlinear Hessian·preload·prestressed eigen으로 확장하지 않는다.

## S6. NR-MFE-001의 새 algebraic target과 정적 대응

[NR 소유 반례](numerical-review-evidence.md#nr-mfe-001-직접-계산-반례)의 독립 적분 block을
입력 근거로 사용한다. 그 geometry·source BC·material 및 옛 실패 이력은 보존한다.
각 corner에서 `R_aa=49/12`, `R_bb=23/6`, `R_ab=±1/8`이므로

\[
k_{ref}=95/24,\quad k_d=19/4800,\quad
M_{ff}=3/50,\quad K_{ff}=10369/7500,\quad
\lambda=10369/450=23.042222\ldots . \tag{S7}
\]

Global Z축 45° 회전 뒤 재생성한 tangent basis에서도 trace는 `95/12`이므로 같은 식이다.
이는 production/FEAST 실행 결과가 아닌 r2 formula의 exact target이다. 독립 재계산과
runtime에서 반례가 해소되는지는 NR/Implementation이 각각 검증한다.

정적 대응에는 node1에 `m=(5/3)M0 b`, 다른 load는 0을 사용한다. 여기서
`b=(-4/5,0,3/5)`와 `M0`는 finite 비영 moment amplitude `[force·length]`다.
`d·m=0`, `mZ=M0`이므로 기존 physical moment admissibility를 지킨다. 단순 `m=M0 eZ`는
drilling 성분을 가져 기존 load 계약을 위반하므로 사용하지 않는다. 같은 모든 DOF 고정,
node1 URZ만 free에서

\[
\theta_{1Z}=\frac{M0}{K_{ff}},\quad
q_{constrained}=0,\quad r=Kq-F. \tag{S8}
\]

회전된 input에서는 `m'=Gm`을 component load로 주고, `mZ'=M0`와 같은 BC를 유지한다.
Supported component BC/load만으로 `thetaZ`, complete response·full reaction의 공변성을
검증할 수 있다. Physical recovery와 numerical contribution의 의미는 합치지 않는다.

## S7. 대체·보존 범위와 필수 verification

기존 linear `FESA-REQ-LSMITC4-034`, `056`의 최소 positive diagonal 선정·그 공식 검증만
S1/S2로 대체한다. 기존 `036`의 invalid positive inventory 의미는 S2로 유지한다.
Nonlinear §10.3은 초기 scale 식만 대체하고 §10.1/10.2/10.4 및 frozen lifecycle은 유지한다.
기존 feature 문서·과거 실패 evidence를 소급 수정하지 않는다.

필수 수학 검증은 S1 직접 평균/단위/zero inventory·잘못된 finite/sign 처리,
독립 node별 tangent 재생성과 global geometry 회전의 S3/S4, S7/S8의 supported partial BC,
physical six rigid modes와 pure drilling rank/separation, E3의 KZ/MZ/Kpz/Kzz 및 원 free
residual이다. Nonlinear은 같은 초기 scale·immutability, objective rigid motion,
exact first/second directional derivatives·물리 선형극한·정적 평형/reaction/energy·rollback을
기존 계약으로 재검증한다. Density 없는 기존 static 모델도 계속 유효하다.

실행해야 하는 기존 `shell`, `shellNL`, `shellNL-meshfine` 및 linear-limit closure portfolio와
후속 meshfine-02 이력의 구분, source identity, U blocking/UR warning-only, reaction review-only는
[requirements evidence의 단일 portfolio](requirements-evidence.md#r2-승인-범위와-정적-재검증)를 따른다.
새 eigen 외부 비교는 지정 input/TXT의 10개 Value만 사용한다. Static reference를 eigen
mode-shape gate로 추가하거나 기존 static 회귀를 Value-only를 이유로 삭제하지 않는다.
Numerical threshold·필수 case 구체화·FEAST control/budget/seed와 독립 반례 해소 판정은 NR,
TDD/runtime/reference 실행은 Implementation, 독립 물리 판단은 Physics 소유다.