# C08b linear momentum: 정확한 이산 불변량과 판정 후보

상태: 수식 검토 후보·독립 numerical review 및 사용자 결정 대기. Owner: formulation, 2026-10-12. 공식 acceptance·tolerance·tests·production은 변경하지 않았다. 현재 C08b FAIL을 유지한다. 이 문서는 새 수치 tolerance를 정하지 않는다.

기준은 [현재 시간적분 정식화](../../../docs/hht-implicit-dynamics/formulation.md), [lumped 관성 상세](../../../docs/hht-implicit-dynamics/formulation-inertia.md), [현재 연구](../../../docs/hht-implicit-dynamics/research.md#temporal-remediation-research)다. 별도 [DAE 비교](formulation.md)는 full-coordinate와 reduced 시간적분의 구별을 소유한다. 아래 증명은 **현재 C08b의 원 full-coordinate HHT**에 대한 자체 유도이며 reduced 후보를 자동 포함하지 않는다.

## 1. 가정과 검산

적용 대상은 flat, centered, all-free C08b; constant reference nodal kinetic measure; 모든 node의 scalar first thickness moment `s_i=0`; 외력·반력 없음이다. 이 경우 병진 질량은 고정 `m_i I3`이고 병진 관성 covector는 정확히 `I_ui=m_i a_ui`다. 회전 관성·convective 항은 병진 행에 결합하지 않는다. 물리적 linear momentum은

\[
P_n=\sum_i m_i v_{ui,n},\qquad [P]=mass\cdot length/time.
\]

Objective physical/drilling potential은 균일 translation `u_i<-u_i+c`에 불변이다. `c`에 대한 directional derivative를 취하면

\[
0=D U[\delta u_i=c]=c\cdot\sum_i f_{int,ui}
\quad\Longrightarrow\quad\sum_i f_{int,ui}=0.
\]

따라서 매 endpoint의 원 방정식 `E_ui=m_i a_ui+f_int,ui=0`를 합하면

\[
S_{a,n}:=\sum_i m_i a_{ui,n}=0.
\]

초기화가 원 dynamic equilibrium을 만족하면 `S_a,0=0`이며 `A0=a0`에서 `S_A,0=0`이다. 고정된 m_i를 HHT 필터 식과 velocity update에 그대로 적용하면

\[
S_{A,n+1}:=\sum_i m_i A_{ui,n+1}
=(1+\alpha)S_{a,n+1}-\alpha S_{a,n}=0,
\]
\[
P_{n+1}-P_n=h\{(1-\gamma)S_{A,n}+\gamma S_{A,n+1}\}=0.
\]

결론은 **유효한 endpoint 해를 수용한 모든 h에서 exact arithmetic의 P_n=P_0**이다. P_0가0일 필요가 없고 fixed-step의 h 크기·alpha 부호도 이 algebraic 보존 증명에 영향을 주지 않는다. 이 증명은 그 h의 비선형 해가 존재하거나 Newton이 수렴한다는 보장은 아니다. Total translation displacement도 `Σm_i u_i,n=Σm_i u_i,0+t_n P_0`로 affine하게 진행한다.

## 2. Strict temporal decrease와 정확 branch의 충돌

각 grid의 error를 기존 방식으로 `e_P(h)=max_n |P_n-P_0|` 또는 같은 norm/scale의 비음수 metric으로 평가하면 exact branch에서 모든 h의 e_P는0이다. 따라서

\[
e_P(h/2)<e_P(h)\quad\Longrightarrow\quad0<0
\]

는 거짓이다. Ratio `e_P(h/2)/e_P(h)`도0/0으로 정의되지 않는다. P를 정확히 보존하는 구현이 strict-decrease를 반드시 통과할 수 있다는 계약은 이 조건 아래 모순이다. 이 결론은 실제 double drift가0이라는 뜻이나 현재 threshold를 면제한다는 뜻은 아니다.

현재 binary의 비영 drift는 finite residual·내력 translation-identity 산술오차·q−q_p 차감·rate/history update·momentum 합산의 noise 또는 구현 오류일 수 있다. 이 각각의 원인을 구분해야 하며 보존 정리만으로 현재 관찰값을 roundoff라고 인증하지 않는다. 다만 원 full-coordinate HHT의 정확 endpoint branch에는 **P의 시간절단 오차가 없으므로**, 작은 nonzero drift의 refinement ratio를 HHT temporal order라고 해석할 수 없다.

## 3. 현재 bound를 보존하는 진단 인계

새 threshold 없이 다음 raw quantity를 같은 state와 같은 nodal measure로 평가할 수 있다.

\[
S_a=\sum_i m_i a_{ui},\quad S_A=\sum_i m_i A_{ui},\quad
F_{sum}=\sum_i f_{int,ui},\quad E_{sum}=\sum_i E_{ui},
\]
\[
r_A=S_{A,n+1}-(1+\alpha)S_{a,n+1}+\alpha S_{a,n},
\]
\[
r_v=P_{n+1}-P_n-h[(1-\gamma)S_{A,n}+\gamma S_{A,n+1}].
\]

원 balance에서는 `S_a=E_sum-F_sum`이다. `r_A/r_v`는 실제 계산한 full rates/history가 이산 관계와 맞는지 검사하며, finite-precision residual/identity/update/aggregation 결함을 분리하는 근거다. Independent high-precision·compensated sum 대조와 실제 native/source identity는 실행 담당자의 별도 evidence로 남긴다. 이 문서 owner는 추가 binary/probe 실행을 하지 않았다.

**계약 검토 후보:** 승인된 현재 absolute P bound `<=1e-3`를 유지하고 P에는 절대 보존·원 balance·update consistency를 검사한다. Temporal-decrease는 이 특수 문제에서 P를 제외하고 기존 E/L quantity에 유지하는 선택을 검토한다. E/L의 기존 acceptance를 새로 증명하거나 완화하는 제안은 아니다. Precision/noise 문제의 처리와 bound 적용 의미는 numerical/I/O review 후 사용자에게 구체적으로 제시해야 한다.

사용자는 연구의 권장 작업 순서를 승인했으며 **이 acceptance 변경을 승인하지 않았다.** 따라서 지금 tests/공식 checklist를 수정하거나 P FAIL을 PASS로 재분류해서는 안 된다.

## 4. 적용 한계

- `s_i!=0`인 일반 geometry에서는 `P=Σ(m_i v_ui+s_i B_i v_phi,i)`이고 구성·속도에 따른 항이 존재한다. 위 constant translational block 증명을 그대로 쓸 수 없다.
- 외력·지지 반력이 있으면 P 변화는 net impulse와 대조해야 하며0 보존 검사를 적용하지 않는다. Constrained equation을 free sum에 넣어 보존을 만들지 않는다.
- Translation invariance는 U_drill까지 포함한 실제 discretization의 identity여야 한다. 회전 객관성만으로 구현된 translation sum의 정확성을 대체하지 않는다.
- Angular momentum L에는 current lever arm·director rate가 들어가며 위 선형 velocity 합산 증명과 다르다. Continuous Noether balance가 HHT의 exact discrete L 보존을 보장하지 않는다. HHT energy도 별도 numerical dissipation·work 검사 대상이다.
- Reduced-coordinate 후보에서 recovered full translation rate가 같은 원 Newmark recurrence를 따르지 않는다면 이 증명을 자동 승계할 수 없다. 실제 reduced residual/translation symmetry·update의 독립 불변량 검산이 필요하다.