# HHT 관성 구현 독립 수치 검토

- Owner: `numerical-review-agent`; date: `2026-09-22`.
- 상태: `source-delta-reviewed; runtime-verification-pending`. 수식/API 중간 검토이며 전체 구현 gate 통과 판정이 아니다.
- 범위: [관성 API](../../include/fesa/elements/nonlinear_mitc4_inertia.h), [관성 구현](../../src/fesa/elements/nonlinear_mitc4_inertia.cpp), [관성 tests](../../tests/unit/elements/nonlinear_mitc4_inertia_test.cpp), [비선형 내력](../../src/fesa/elements/nonlinear_mitc4_shell.cpp)의 directional third-derivative, [초기화·null algebra](../../src/fesa/analysis/hht_dynamic_algebra.cpp), [동적 조립](../../src/fesa/analysis/hht_dynamic_assembly.cpp), [HHT procedure](../../src/fesa/analysis/hht_dynamic_procedure.cpp).
- 기준: [정식화](formulation.md), [관성 상세](formulation-inertia.md), [N1–N7](numerical-controls.md), [C01–C12](verification-cases.md). Source/tests/상위 계약은 읽기 전용이다.

## 첫 검토 findings

아래는 작업 중 최초로 관찰한 내용이다. Owner 수정 뒤의 대조·실행 evidence는 별도로 갱신한다.

| ID | 심각도·상태 | 관찰·수정과 필요한 검증 |
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| HHT-IMP-NR-001 | **P1; source corrected, execution pending** | `Inverse(JetMatrix)`의 cyclic minor에 이미 포함된 cofactor 부호를 다시 적용하던 오류가 제거됐다. 새 test가 독립 `Jl^-T`와 현재 null, finite rotation의 `M n=0`을 대조한다. 실행 evidence 확인 전이다. |
| HHT-IMP-NR-002 | **P2; corrected, focused regression passed** | `convective_force=force-M*a` cancellation을 직접 `∫rho Hᵀ B_x[v,v]dV0` 누적으로 수정했다. 같은 q/v에서 a를 `1e15`배 변경해도 c가 동일한지 검사하는 test의 통과 로그를 확인했다. |
| HHT-IMP-NR-003 | **P2; corrected, focused sweep passed** | 최초 raw mixed-unit direction/`1e-5` test를 D scaling/단위 direction, N5 `1e-6`·연속한 두 내부 sweep 점으로 수정했다. Position/velocity/acceleration partial 및 두 h의 dependent-rate effective inertia tangent, pure translation/rotation/mixed 방향과 해당 실행 통과를 확인했다. |
| HHT-IMP-NR-004 | **미완료 coverage; 실행 대기** | 새 N4 guard는 analytic null의 20차원 직교 여공간에서 scaled symmetry/null, positive Cholesky와 `rcond_inf>=2^-32`를 검사한다. 물리 DOF를 numeric rank cutoff로 삭제하지 않는다. C05/C06의 finite rotation·warped/oracle·D3·단위변환 test와 실행 evidence는 owner 완료 후 확인한다. |
| HHT-IMP-NR-005 | **P2; corrected, threshold regression passed** | 작은 각에서 기존 직접 삼각함수 D3의 cancellation 위험을 안정 series로 수정했다. `|phi|<.5`의 squared-norm 9차 coefficient recurrence와 최종 회전행렬 extras 복사를 대조했으며 작은각 경계 양쪽을 포함한 4개 C++ sweep의 통과를 확인했다. |
| HHT-IMP-NR-006 | **P2; closed, exact scale restored** | 기존 `Σe |D²f_e[v,v]|`는 element 내부 coordinate-pair 상쇄를 잃어 N3와 달랐다. 수정본은 아래 exact scalar ψ Hessian을 global `(q_j,q_k)` identity로 합친 **뒤** `Σjk |ψ_qq,jk v_j v_k|`를 누적하고 algebra가 이를 소비한다. N3/[I/O 계약](io-contract.md) 의미와 일치한다. Finite/warped ψ·gradient·Hessian 독립 test 통과도 확인했다. |
| HHT-IMP-NR-007 | **P2; source corrected, execution pending** | 최초 `BuildPhysicalSpace`에 없던 N4 `PᵀZ` 및 `[P Z]` Gram guard가 추가됐다. Nodal sparse block의 실제 free dimension과 global Frobenius 오차, normalized null Gram을 검사하며 `1e-12` 기준을 유지한다. 수정본 실행 evidence는 대기다. |
| HHT-IMP-NR-008 | **수치 절차 변경; 문서 정합성 필요** | Reference의 큰 DIRECT step에서 constant-A 초기 추정이 geometry를 벗어나, Newton 시작 좌표를 `q_n`으로 변경했다. HHT predictor/종속 rates/endpoint 식은 그대로이며 cutback/retry도 없어 수식 변경은 아니다. 다만 N2가 기존 시작값을 명시하므로 새 deterministic 시작값과 실패 동작을 N2에 명시해야 한다. 기존 문구 상태로 계약 일치를 주장하지 않는다. |

NR-001의 독립 scalar 반례: `phi=(.5,0,0)`, `d0=eZ`, Jl의 yz block은 `[[sin(.5)/.5,−(1−cos(.5))/.5],[(1−cos(.5))/.5,sin(.5)/.5]]`다. 관찰한 inverse 식을 적용하면 unit null의 yz 성분이 `(-.6816387600,.7316888689)`이고 `||B n||=||(Jl n)×d||=.4744471057`이다. Python 표준 산술로 실제 계산했다. 이는 zero rotation에서 숨는 부호 오류이며 같은 잘못된 n을 미분한 finite-difference test만으로는 검출되지 않는다.

## 일치한 수식과 남은 대조

최초 snapshot의 `H`, `B_x`, `C_x` 조립과 `I=∫rho Hᵀ(Ha+B_x[v,v])`, `DqI`, `DvI=2∫rho HᵀB_x[v,p]`, `M`의 표시된 index contraction은 정식화와 일치했다. `P/L` 및 `Pdot/Ldot`는 같은 현재 x와 물리적 acceleration을 사용하고 `Ldot=∫rho x×xddot`의 `v×v=0` 항등식과 맞는다. Referenced density/measure, 3³ mass quadrature, current geometry 검사와 fixed-global rate 의미도 대조했다. 이것은 runtime 통과 판정이 아니다.

Internal Jet의 product 6항 및 Compose의 `f''' x_i x_v²+f''(2x_iv x_v+x_i x_vv)+f' x_ivv`를 독립 대조했다. Atan2의 bounded-ratio 미분은 quadrant 상수의 미분이 0인 점과 맞으며 기존 first/second reduction을 유지한다. 반환 `force_directional_second=D²f_int[v,v]`, `drilling_metric=Σkd gradγ⊗gradγ` 및 physical/drilling force·energy 분리는 정식화와 일치한다. 실제 procedure의 hidden-constraint 연결은 이 kernel 범위 밖이며 별도 검증이 필요하다.

NR-005의 독립 scalar 검산은 `phi=(θ,0,0), d0=eZ`에 대해 `D³d_x[eX,eX,eZ]=cosθ/θ−2sinθ/θ²+2(1−cosθ)/θ³`와 안정 전개 `−θ/4+θ³/36−θ⁵/960+θ⁷/50400`를 Python binary64로 비교했다. `θ=1e-4`에서 각각 `−7.7441382018e-5`, `−2.4999999972e-5`, 대칭 상대오차 `0.512`이고 `θ=1e-4*(1+2^-10)`에서 `0.339`다. 이는 algebraic scalar cancellation의 재현이며 수정 전 C++ Jet 출력 자체를 실행했다고 주장하지 않는다. 관성 rotation kernel의 32항 matrix exponential series에는 같은 직접 뺄셈이 없다. `|phi|<pi`에서 그 D3 truncation tail의 exact-arithmetic 상계는 `pi^30/30!/(1−pi/31)<3.45e-18`이며 binary64 roundoff 검증은 별개다.

NR-006의 최소 exact 구현 경로는 공개 moment-load가 0이고 동일 nodal initial director를 공유하는 현 범위에서 `κ_i=||Jl^-1d_i||`, `σ_i=1/κ_i`, `ψ_i=σ_i Σ_(e∋i)kd_e γ_ei`를 2차 미분하는 것이다. `δphi_i=n_i`는 `δtheta_i=σ_i d_i`를 만들어 모든 director와 element polar rotation을 고정하고 nodal R을 오른쪽 drilling 회전시킨다. 따라서 `Dγ_ej[n_i]=δij σ_i`, `n_iᵀf_phys=0`이다. σ는 현재 phi의 함수이므로 Hessian에서 동결하지 않는다. `Jl^-1d=Jr^-1d0=d0+.5 phi×d0+a(phi²)phi×(phi×d0)`로 σ를 안정 계산할 수 있다. 이 scalar ψ의 element-local Hessian을 source identity로 합친 뒤 `Σjk|ψ_i,qjqk||v_j||v_k|`를 계산하면 full energy D3 tensor 없이 N3 분모를 얻는다. 이는 승인 정식화의 항등식이며 scale 계약 변경이 아니다. 실제 code에서는 finite/warped 상태의 `nᵀf` 및 ψ gradient/Hessian과 독립 대조하고 수치 polar가 proper rotation으로 수렴하는 범위를 확인해야 한다.

## 초기화·procedure delta와 실행 evidence

`a_P=D P (Pᵀ DᵀM D P)^-1 PᵀDᵀ(F−f−c)` 뒤 `W^-1 ψ_q N W^-1` solve와 `N W^-1` 복원으로 null acceleration을 구하는 구현은 부호·단위와 맞는다. `ψ_q=DNᵀg+NᵀK`, raw hidden2의 `D²N[v,v]ᵀg+2DN[v]ᵀKv+NᵀD²f[v,v]+ψ_q a`도 일치한다. Null은 현재 `Jl^-1d`와 실제 free BC의 exact intersection으로 결정하며 작은 비영 constrained 성분을 버리지 않는다. Accepted null inventory 변경은 실패한다. Scaled physical mass factor와 W-scaled algebraic rcond 검사에는 epsilon mass/numeric rank deletion이 없다.

Newmark의 q/v는 A를 사용하고 물리 a는 `(A+alpha*a_old)/(1+alpha)`로 회복한다. Effective tangent의 rate 계수, force/moment 별 uncancelled Newton scale, 네 correction gate, 100번째 correction 뒤 재평가, fixed DIRECT `n*h`, endpoint reaction 및 현재 arm/`Jl^-T` spatial moment balance를 대조했다. Constant STEP load의 work `F·q`와 `T+Uphys+Udrill−E0−W`는 현 하중 범위와 맞으며 energy 감소를 강제하지 않는다. 이것은 실제 moving-shell 시간 정확도 인증이 아니다.

메인 실행 로그를 독립 열람했다. [focused.log](../../.harness/build/hht-numerical/focused.log)는 관성 8 tests와 일반 finite-rotation internal D3 sweep, HHT helper 3 tests의 통과를 보인다. 같은 실행 전체는 당시 mapper/writer 7 failures가 있어 전체 PASS가 아니다. `DynamicRotation.*`의 inverse/null/D3 oracle suite는 이 로그에 없어 별도 실행 확인이 필요하다. 당시 없었던 internal 작은각 threshold fixture는 아래 후속 로그에서 통과했다.

[focused-procedure.log](../../.harness/build/hht-numerical/focused-procedure.log)는 algebra 7/8, all-fixed procedure, state/writer/log 통과와 총 37개 중 2개 실패를 보인다. Algebra 경계 fixture는 이후 `W=I`, `diag(1,2^-k)`로 binary-exact threshold를 검사하도록 고쳤으나 이 보고서 시점 재실행 evidence는 대기다. 나머지 실패는 mapper diagnostic fixture다. 기존 로그를 새 소스 전체 통과로 소급하지 않는다.

후속 [focused-exact-constraint.log](../../.harness/build/hht-numerical/focused-exact-constraint.log)는 internal residual 7 tests의 통과를 보이며, NR-005의 작은각 4 fixtures와 NR-006의 finite/warped exact ψ·gradient·Hessian 검사를 포함한다. [zero-trial-red.log](../../.harness/build/hht-numerical/zero-trial-red.log)의 기존 영변형 spurious force 실패도 확인했다. 수정 `CovariantIncrement`의 `2E=G·δg+δg·G+δg·δg`, drilling `F=I+δg⊗Gdual`는 큰 기준값의 뺄셈을 피하는 동일 수식이다. `q=0`의 exact-zero 회복은 force clamp나 tolerance 완화가 아니다. 새 zero-trial test의 통과를 확인했다. Recovery·기존 정적 영향은 전체 회귀 검사 대상이다.

C04a는 판정을 분리한다. 위 로그에서 finest binary64 full/reduced acceleration 차이 약 `3.079e-10`이 `1e-10`을 넘었지만 N7 해상도 약 `6.296e-10` 이하다. q/v/physical-a의 시간차수·오차/noise 검사와 coarse reduction은 별개다. N7에 따라 finest reduction은 **INCONCLUSIVE**로 남길 수 있으며 threshold를 바꾸지 않는다. [decimal80 독립 검산](../../.harness/build/hht-numerical/c04a-decimal-reduction.json)의 full 2×2/scalar recurrence 차이 `<=1.70e-73`은 수학적 reduction을 지지하지만 FESA binary64의 `1e-10` 통과를 대신하지 않는다. 새 test는 시간수렴/coarse gate와 finest `GTEST_SKIP`을 분리했으며 이 보고서에서는 새 바이너리 재실행을 아직 확인하지 않았다. C04a 전체를 무조건 PASS로 합치지 않는다.

Build/CTest는 메인/구현 owner가 담당하며 reviewer가 별도 C++ 실행을 했다고 주장하지 않는다. 문서 `git diff --check`는 exit 0이다. NR-008 문서 정합성, 새 algebra/rotation oracle 실행, 실제 shell의 시간수렴·energy·moving-null·reference 검증이 남는다. 본 보고서는 전체 기능/물리 gate 통과 판정이 아니다.