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유한회전 관성·초기화·HHT 상세

주 정식화의 구현 수식 상세다. 상태와 미결정 항목은 주 문서를 따른다. 아래 전개는 명시한 FESA 운동학에서의 자체 유도이며 Abaqus 내부 절차의 기술이 아니다.

2026-10-11 승인 HHT-ADR-012에 따라 이번 HHT 질량은 nodal lumped T_L/M_L다. Consistent 식은 비교와 미분 유도 이력으로 보존한다. 다른 physics·알고리즘·공개 output의 승인은 이 선택과 별개다.

1. 회전과 관성의 미분

P=[phi]_×, theta=|phi|에 대해

[ J_l=I+\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}P +\frac{\theta-\sin\theta}{\theta^3}P^2,\qquad B=Dd=-[d]_\times J_l. ]

0에서 scalar coefficient는 analytic series를 사용한다. v_phi,a_phi는 fixed-chart 시간미분이다. 방향 p,s,r에 대한 director 미분을 B p=Dd[p], C[p,s]=D²d[p,s], D3[p,s,r]=D³d[p,s,r]라 정의하면

[ C[p,s]=(DJ_l[s]p)\times d+(J_lp)\times((J_ls)\times d), ] [ \begin{aligned} D3[p,s,r]={}&(D^2J_l[s,r]p)\times d+(DJ_l[s]p)\times B r\ &+(DJ_l[r]p)\times B s+(J_lp)\times C[s,r]. \end{aligned} ]

방향 교환에 대한 대칭성이 필요하다. 정확한 미분을 scalar coefficient의 비특이 series까지 구현하기 위한 동등한 정의는

[ D^k\exp_P[H_1,\ldots,H_k] =\sum_{m=k}^{\infty}\frac1{m!} \sum_{\sigma\in S_k}\ \sum_{r_0+\cdots+r_k=m-k} P^{r_0}H_{\sigma(1)}P^{r_1}\cdots H_{\sigma(k)}P^{r_k},\quad k=1,2,3. ]

여기서 H=[direction]_×이고 오른쪽에 d0를 곱하면 필요한 director derivative다. 이는 수렴하는 해석적 정의이며 production에서 무한합을 그대로 계산하라는 뜻이 아니다. Rodrigues/Fréchet/정확한 미분으로 같은 도함수를 계산하고 finite difference는 독립 검증에 사용한다.

물질점에 대해 H=D_q x, B_x[p,s]=D²_q x[p,s], C_x[p,s,r]=D³_q x[p,s,r]로 쓰면

[ H p=\sum_iN_i(p_{ui}+zB_i p_{\phi i}),\quad B_x[p,s]=\sum_iN_i z C_i[p_{\phi i},s_{\phi i}], ] [ C_x[p,s,r]=\sum_iN_i zD3_i[p_{\phi i},s_{\phi i},r_{\phi i}],\quad \dot x=Hv,\quad \ddot x=Ha+B_x[v,v]. ]

Consistent 관성 covector와 partial derivative action은 다음으로 직접 조립 가능하다:

[ I_C=\int\rho H^T{Ha+B_x[v,v]},dV_0, \quad M_C=\int\rho H^TH,dV_0, ] [ \begin{aligned} D_qI_C[p]=\int\rho\big(&B_x[p,\cdot]^T{Ha+B_x[v,v]}\ &+H^T{B_x[p,a]+C_x[p,v,v]}\big)dV_0,\ D_vI_C[p]&=2\int\rho H^TB_x[v,p],dV_0,\qquad D_aI_C[p]=M_Cp. \end{aligned} ]

첫 항 B_x[p,·]^T ẍ를 빼면 단순 current-mass tangent에 불과하다. B_x[p,a], C_x[p,v,v], 2B_x[v,δv]도 생략하지 않는다. T의 Euler–Lagrange 전개에서 D H의 대칭성에 의해 d(H^T)/dt와 ∂q T 항이 상쇄되어 위 식을 얻는다. 원형상 밀도·measure는 시간에 따라 갱신하지 않는다.

채택한 nodal lumped 식에는 x_i(z)=X_i+u_i+z d_i, H_i=D_q x_i를 사용하여 위 적분을 Σ_i ∫rho N_i (·)_i dV_0로 바꾼다. N_i는 q와 무관하므로 동일한 derivative action이 성립한다. 별도의 경험적 gyroscopic 또는 Coriolis 보정항을 추가하지 않는다.

구체적인 현재 채택식은 다음과 같다. B_i^x=D_q²x_i, C_i^x=D_q³x_i이며 각 nodal mapping의 도함수는 해당 node의6개 성분에만 작용한다.

[ T_L=\tfrac12\sum_i\int\rho N_i|H_iv|^2dV_0,\quad M_L=\sum_i\int\rho N_iH_i^TH_i dV_0, \quad I_L=\sum_i\int\rho N_iH_i^T{H_ia+B_i^x[v,v]}dV_0. ] [ c_L=I_L(q,v,0),\quad D_qI_L[p]=\sum_i\int\rho N_i\left((B_i^x[p,\cdot])^T\ddot x_i +H_i^T{B_i^x[p,a]+C_i^x[p,v,v]}\right)dV_0, ] [ D_vI_L[p]=2\sum_i\int\rho N_iH_i^TB_i^x[v,p]dV_0, \qquad D_aI_L[p]=M_Lp. ]

현재 위치·속도도 같은 nodal measure로 P/L을 계산한다. Geometry/Jacobian은 원래 bilinear shell 보간으로 검사하며 nodal kinetic mapping으로 geometry를 교체하지 않는다. 이를 통해 M만 바꾸고 기존 보간 기반 c/접선/에너지를 남기는 혼합 모델을 방지한다.

2. 채택 질량·비교식과 적분

주 문서의 scalar moment로

[ (M_C){ij}=\begin{bmatrix} C{ij}^{(0)}I_3&C_{ij}^{(1)}B_j\ C_{ij}^{(1)}B_i^T&C_{ij}^{(2)}B_i^TB_j \end{bmatrix},\quad (M_L){ii}=\begin{bmatrix}m_iI_3&s_iB_i\s_iB_i^T&j_iB_i^TB_i\end{bmatrix}, \quad (M_L){ij}=0\ (i\ne j). ]

rho의 차원은 mass/length³, (C0,C1,C2) 및 (m,s,j)의 차원은 (mass,mass·length,mass·length²)다. M_uu/M_uphi/M_phiphi는 각각 같은 세 차원, residual translation은 force, rotation은 force·length이다. v_u,a_u는 length/time,length/time²; v_phi,a_phi,omega,omega_dot는 1/time,1/time². 각도 단위는 rad이며 SI를 추정하지 않는다.

Moments는 현행 eigen2 mass 계약 M2–M3의 3×3×3 Gauss–Legendre를 기준으로 하며, 그 scalar-moment lumping을 현재 HHT의 nodal kinetic measure에도 사용한다. 긴 유도는 선행 mass 계약 M3에 있다. 점은 −sqrt(3/5),0,+sqrt(3/5), weight는 5/9,8/9,5/9, 순서는 증가하는 xi→eta→zeta다. Geometry가 bilinear degenerated shell이고 rho/t가 일정할 때 Ni Nj z^k J0의 축별 차수는 최대 4여서 이 moment 적분은 정확하다. B_i와 그 도함수는 nodal 값이므로 현재 관성과 tangent도 같은 moment를 사용한다.

모든 27 mass 점에서 finite positive J0와 기존 geometry predicate를 확인한다. Current trial도 내력 8점·tying·center·recovery와 추가 inertia 평가점에서 허용 geometry를 만족해야 한다. abs(J), 점 생략, 강제 평면화는 없다. 물리 내력·물리 에너지와 section recovery는 기존 2×2×2 적분, drill potential은 기존 element-level 합을 보존한다.

Lumped positivity 조건은 m_i>0, j_i−s_i²/m_i>0다:

[ 2T_{L,i}=m_i\left|v_{ui}+(s_i/m_i)B_iv_{\phi i}\right|^2 +(j_i-s_i^2/m_i)|B_iv_{\phi i}|^2. ]

두 질량식은 총질량 Σm_i=∫rho dV0, uniform translation energy, scalar thickness moments를 공유한다. 일반 속도장과 rigid angular motion의 orbital inertia는 다르다. 같은 현재 nodal w_i=v_ui+z dDot_i에 대해

[ T_L-T_C=\frac14\int\rho\sum_{i,j}N_iN_j|w_i-w_j|^2dV_0\ge0. ]

따라서 consistent와 lumped의 동적 응답이나 spectrum 동일성을 가정하지 않는다. 평판의 s_i=0, j_i=t²m_i/12를 warped geometry 일반식으로 사용하지 않는다. 사용자는 현재 nodal lumped kinetic mass를 선택했으며 기존 eigen의 lumped 계약은 변경하지 않는다.

3. 객관성·운동량·회복

공간에서 강체속도를 가하면 v_ui=V+Omega×(Xi+ui), v_phii=J_l^−1 Omega이고 dDot_i=Omega×d_i다. Consistent는 xDot=V+Omega×x를 재현하고, lumped는 각 x_i(z)의 같은 강체속도를 적분한다. 따라서 각자의 운동에너지 measure로 회전 관성을 검증해야 한다.

Consistent의 물리적 총운동량·각운동량은

[ P=\int\rho\dot x,dV_0,\quad L_O=\int\rho(x-O)\times\dot x,dV_0. ]

Lumped는 Σ_i ∫rho N_i xDot_i dV0, Σ_i ∫rho N_i(x_i−O)×xDot_i dV0다. 이 정의에서 시간미분한 Pdot,Ldot와 외력·support reaction의 총 force/moment를 대조한다. Kinematic 변환은 algorithmic A가 아닌 물리적 a로 평가한다. Objective U_phys+U_drill의 전체 내력은 강체 가상운동에 일을 하지 않아야 한다. Numerical drill의 개별 nodal moment를 physical stress/resultant로 오인하지 않는다.

고정 proper global frame change 아래 모든 벡터·구속·하중을 함께 변환하면 scalar T, U와 virtual work가 불변이어야 한다. 기준축 일부만 회전시킨 비교는 이 검증에 해당하지 않는다. 중간 회전 branch를 통과하는 rechart는 지원하지 않는다.

4. Mass-null과 초기 일관성

B_i는 rank 2이며 instantaneous drilling 방향은

[ n_i(q)=\begin{bmatrix}0\J_l(\phi_i)^{-1}d_i\end{bmatrix},\quad B_iJ_l^{-1}d_i=0. ]

Consistent와 lumped 모두 이 방향에 M n_i=0, n_i^T I=0이다. 이 null은 일반적으로 [0;d0] 또는 고정 global UR3가 아니다. 필요한 geometry/rank 조건 아래 물리적 5 DOF/node 외 추가 null이 없는지 검사한다. 구속 후에는 M_ff와 free admissible variation 안에서의 null basis N(q)를 사용하며, constrained component를 단순 삭제한 nodal null을 그대로 basis라 부르지 않는다.

g=f_int−F라 두면 연속 대수 조건은

[ \psi(q,t):=N(q)^Tg_f(q,t)=0. ]

Physical energy는 director-parallel virtual work가 0이다. 본 force-only subset에서 psi는 numerical drill channel의 stationarity를 포함한다. Drilling stiffness는 algebraic coordinate를 결정할 수 있지만 mass rank를 바꾸지는 않는다. N의 q 미분도 포함하여

[ \psi_q v_f+\psi_t=0,\qquad \psi_q a_f+\psi_{qq}[v_f,v_f]+2\psi_{qt}v_f+\psi_{tt}=0 ]

를 초기 연속 일관성으로 요구한다. 첫 시간은 0+이며 이후 constant load의 우측 도함수 Fdot=Fddot=0를 사용한다. STEP jump를 impulse로 해석하여 초기 velocity를 바꾸지 않는다.

q0=v0=0, 고정 zero boundary에서는 다음 절차로 a0를 정할 수 있다.

1. psi(q0,0+)=0와 1차 조건을 확인한다. 여기서 물리적 initial acceleration을 풀기 전부터 불일관하면 실패다.
2. b=F_f0−f_int,f(q0)−c_f(q0,v0)에 N0^T b=0이 필요하다. 양의 질량 부분공간에서 M_ff a_P=b, N0^T a_P=0인 particular solution을 구한다.
3. a_f0=a_P+N0 eta를 놓고

[ (\psi_qN0)\eta=-\psi_q a_P-\psi_{qq}[v0,v0]-2\psi_{qt}v0-\psi_{tt} ]

를 푼다. 이 subset에서 우변 뒤 세 항은 0이다. psi_qN0가 nonsingular여야 초기 acceleration이 유일하게 정해진다. 단순 Moore–Penrose solve 결과를 그대로 가속도라고 채택하거나 massless acceleration을 0으로 놓지 않는다.

초기점에서는 g0가 병진 force를 포함하므로 D N 항을 형식적으로 삭제하지 않는다. 다만 zero rotation에서 실제 vanished 항은 식으로 확인할 수 있다. Null basis의 normalization/부호는 물리적 판정에 영향을 주지 않으며 source identity와 결정적 순서를 유지한다.

Bounds/regularity는 다음을 포함한다: 양의 rho,t; reference/current valid geometry; ||phi||<pi와 기존 swing/twist 경계; 예상 mass rank의 국소 불변성; positive non-null inertia; nonsingular psi_qN; finite well-conditioned local branch. 시간 수렴 논의에는 해당 구간에서 이 positive/invertibility 조건이 균일하게 유지되어야 한다. 거리·rank·조건수 threshold의 수치는 Numerical Review 소유다. 실패를 small inertia, diagonal shift 또는 유령 drill torque로 보정하지 않는다.

시간적분에서는 endpoint E_f=0가 psi=0를 포함한다. 그러나 finite dt의 psi_q v+psi_t 및 2차 hidden-constraint defect가 자동으로 정확히 0이라는 주장은 하지 않는다. 이 quantity들을 평가하여 q/v/a의 시간 수렴과 함께 검증한다. Position residual이 작다는 사실만으로 massless velocity/acceleration의 안정성을 승인하지 않는다. 추가 projection/condensation이 필요하다는 결과가 나오면 시간 scheme 계약을 독립 검토하여 수정해야 한다.

5. 시간 정확도와 대안의 경계

5.1 일정 질량 HHT의 단순 확대를 배제하는 이유

I=M(q)a+c(q,v), g=f_int−F, b=c+g라 하자. 잘못 확대하기 쉬운 식은

[ M(q_{n+1})A_{n+1}+(1+\alpha)b_{n+1}-\alpha b_n=0, ]

이며 Newmark에는 A를 사용한다. Smooth solution에서 필요한 보조변수의 전개는 A=a+alpha h adot+O(h²)다. 따라서 위 잔차의 leading correction은

[ \alpha h(M\dot a+\dot b)=-\alpha h\dot M a ]

로 일반적으로 0이 아니다. c를 넣고 exact tangent를 계산해도 이 오차는 없어지지 않는다. 이것은 nonlinear solver 수렴 오차가 아니라 시간 scheme의 문제다. 일정 질량 예제의 2차 결과는 이를 검출하지 못한다.

5.2 추천 후보의 근거와 자체 전개

Brüls–Arnold, author postprint pp.3–6, 식 (5)–(10)는 endpoint 동적 평형과 별도 acceleration-like variable을 사용한다. 본 후보는 그 형식의 HHT parameter specialization이다. 해당 문헌의 일반론을 shell의 singular mass에 직접 대입하지 않는다.

다음은 자체 Taylor 검산이다. A_n=(1+alpha)a_n−alpha a_(n−1)이면 smooth 구간에서 A_n=a_n+alpha h adot_n+O(h²)다. Newmark velocity 식의 h² adot coefficient는

[ \alpha+\gamma=1/2, ]

로 정확하다. Position 식은 h²a/2를 재현하고 local defect는 O(h³)다. A0=a0 startup의 velocity defect는 O(h²)로 시작값의 global 2차 요구에 맞는다. 보조 A를 없애면 fixed-step velocity recurrence는

[ v_{n+1}-v_n=h{-\alpha(1-\gamma)a_{n-1} +[(1-\gamma)(1+\alpha)-\alpha\gamma]a_n +\gamma(1+\alpha)a_{n+1}}. ]

세 coefficient 합은 1, a_(n−1),a_n,a_(n+1)의 시간 offset −1,0,+1에 대한 first moment는 alpha+gamma=1/2다. 여기에는 Mdot 잔여항이 없다. Endpoint equation이 nonsingular mass의 smooth a=f(q,v,t)를 정의하면 q/v의 2차 일관성과 안정성 검토를 할 수 있고 physical a도 같은 해의 정확도를 따른다. 이는 nonlinear mass의 smooth manufactured verification을 요구하는 근거이며 독립 수치 검토를 대신하지 않는다.

문헌의 nonsingular mechanical solve 및 regular index-3 조건과 달리 본 shell은 drilling direction에서 singular M을 가진다. §4의 psi_qN regularity와 constant rank의 실제 지원 범위, redundant full-coordinate 구현에서의 hidden-constraint drift·q/v/a 정확도는 구현 후 필수 검증 항목이다. 이 조건으로 reduced smooth dynamics를 설명할 수 있는 범위를 확인하되 모든 shell에 대한 보편 정리를 요구하지 않는다. 독립 검토는 현 수식 후보를 대조했고, 독립 검산의 smooth variable-mass / moving-null 예제는 이를 지지한다. 이 제한된 evidence가 실제 shell/drilling 검증을 대신하지 않으며 유한회전 지원 범위를 축소하는 근거도 아니다.

5.3 다른 후보와 채택하지 않은 이유

후보	수식/장점	남은 충돌
Weighted mass	[(1+alpha)M1−alpha M0] A1+(1+alpha)b1−alpha b0=0; 위 alpha h Mdot a 항을 상쇄	서로 다른 current/old drilling null의 합은 null rank를 lift할 수 있다. Physical/algorithmic 의미와 DAE 정확도 확인 없이 채택하지 않음
Ambient director	독립 y=(u_i,d_i)에 일정 moment mass, d_i·d_i=1 holonomic constraint와 drill orientation의 algebraic equation을 둔 HHT	Newmark ambient director rates의 constraint drift, rotation-vector state와의 정확한 rate mapping, additional multiplier/drill coordinate가 필요. 기존 6DOF state와 단순 동치라고 볼 수 없음
Physical/algorithmic acceleration 분리	주 문서 후보; current M_C(q)만으로 physical endpoint equation을 풀며 null을 보존	Shell mass-null의 시간 정확도·regularity 검증 필요. Consistent mass 선택이 이 시간적분 후보의 채택 승인까지 의미하지는 않음

기존 source는 nonlinear 내부력의 second derivative까지 계산하지만 관성 tangent에는 director의 third derivative가 필요하다. 기존 small-rotation mass kernel의 moment는 재사용 가능한 기준이고 그 initial global mass를 유한회전 전체에 고정하는 것은 본 후보가 아니다. 정적 상태는 a/A distinction을 제공하지 않으므로 현재 구현이 이 알고리즘을 지원한다고 보고하지 않는다.