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Linear Static MITC4 Shell Numerical Review

Metadata

• feature_id: linear-static-mitc4-shell
• source_requirement: docs/requirements/linear-static-mitc4-shell.md
• source_research: docs/research/linear-static-mitc4-shell-research.md
• source_formulation: docs/formulations/mitc4-shell-formulation.md
• source_commits: requirements 5c3025a, research 02680dc, formulation revision 6cb0302, prior numerical review 0a5aad4
• source_formulation_sha256: 6DD807E7D9D02C2454CAAF0289E391F5812CC309CDF1C00E92ACEAA97841957D
• status: needs-reference-model
• review_iteration: 2
• owner_agent: numerical-review-agent
• date: 2026-08-11
• implementation_planning_authorized: false
• review_scope: 현재 선형 정적 formulation 전체 및 미래 기하비선형 tangent 절의 수학 구조
• reference_artifact_state: rerun workspace에서 reference/shell/ 미관찰; reference artifact는 실행하거나 수정하지 않음

Review Verdict

• verdict: needs-reference-model
• primary_reason: 1차 리뷰의 confirmed formulation defect NR-C01-NR-C05와 결정 NR-D01-NR-D02는 revision 6cb0302에 수학적으로 일관되게 반영되었다. 그러나 Implementation Planning 전에 승인해야 하는 drilling/geometry/director calibration 및 Abaqus reference-model evidence가 아직 없다.
• secondary_dependencies: needs-numerical-calibration
• current_linear_kernel_assessment: MITC4의 20-DOF 물리 kinematics, covariant shear tying, plane-stress constitutive law, 2 x 2 x 2 integration, 24-DOF 변환 및 recovery의 중심 수학 구조와 수정된 weak form, geometry measure, DOF scaling 계약은 타당하다.
• future_nonlinear_assessment: Total Lagrangian residual과 material/geometric tangent의 변분 구조와 일반 좌표 사상 q20=Phi(qg)의 Hessian 항은 타당하다. 다만 실제 finite-director chart/update 및 objective drilling potential은 의도적으로 미확정이며 미래 기하비선형 구현은 계속 금지한다.

현재 선형 정적 정식화에서 새 confirmed mathematical defect는 발견되지 않았다. 그럼에도 요구조건이 Implementation Planning 전 승인을 요구하는 수치 상수와 reference evidence가 없으므로 implementation_planning_authorized=false를 유지한다. 다음 rerun은 Reference Model과 수치 calibration evidence가 준비된 뒤 수행해야 한다.

1. Review Method and Evidence Boundary

검토는 다음 순서로 수행했다.

1. 요구조건의 단위, DOF, rigid mode, tolerance 및 output 계약을 formulation과 대조했다.
2. 원 MITC4 문헌의 director interpolation, edge-midpoint shear tying, full integration, rigid mode 및 nonlinear incremental 식과 대조했다.
3. 각 matrix block의 차원, 변환의 virtual-work 보존, 부호 및 component order를 독립적으로 재유도했다.
4. 1차 리뷰의 geometry collapse, drilling 박판 극한, 혼합 DOF scaling 및 nonlinear coordinate-map 반례를 수정본에 다시 적용했다.
5. 확인된 결함의 해소 여부, 알려진 위험, 근거가 부족한 open decision을 분리했다.

코드, Harness, Abaqus 및 reference solver는 실행하지 않았고 formulation 문서는 수정하지 않았다. 이 리포트는 reference comparison이나 release 승인이 아니다.

2. First-review Findings and Rerun Disposition

이 절은 1차 리뷰의 발견 근거를 보존한다. 각 finding 본문의 현재형 서술과 Required revision은 formulation commit 67251e0에 대한 역사적 기록이며, 현재 판정은 각 항목 끝의 Rerun disposition이 지배한다.

finding	rerun status	revision evidence	remaining boundary
NR-C01	resolved	Sections 9.2-9.3, 16.2, 17.1/17.3	fixed measure threshold calibration
NR-C02	resolved	Sections 12.2, 17.4	drilling family/plateau calibration
NR-C03	resolved	Sections 12.3/12.5, 17.1	numerical rank/conditioning evidence
NR-C04	resolved	Sections 7.1-7.2	none for current linear formulation
NR-C05	resolved at scope boundary	Sections 15.1-15.5, 17.6	actual nonlinear chart/update remains future-only

NR-C01 — Resolved — Jacobian geometry measure completeness

Formulation은

j_s=\frac{J}
{\|\mathbf G_\xi\|\,\|\mathbf G_\eta\|\,\|\mathbf G_\zeta\|}

와 J_min/J_max를 제안한다. 다음 직교 mapping을 고려한다.

\mathbf G_\xi=(1,0,0),\qquad
\mathbf G_\eta=(0,\varepsilon,0),\qquad
\mathbf G_\zeta=(0,0,t/2),\qquad \varepsilon>0.

그러면

J=\varepsilon t/2,
\qquad j_s=1,
\qquad J_{min}/J_{max}=1

이므로 epsilon -> 0인 near-collapsed element도 두 무차원 지표를 모두 완전히 통과한다. J>0은 exact zero만 배제하고 user-consistent unit에서 near-zero를 판정할 기준이 되지 않는다. Formulation에 “degenerate area를 별도 거부”한다고 적혀 있지만 그 scale-aware measure와 threshold가 수식 또는 알고리즘으로 정의되지 않았다.

이는 FESA-REQ-LSMITC4-016의 near-singular Jacobian 거부를 구현할 수 없게 하는 confirmed defect다. MITC Shell Kinematics의 degenerated mapping은 valid reciprocal basis를 전제로 하고, Shell Locking Phenomenon이 지적하는 distortion 위험도 geometry acceptance가 실제 collapse를 식별할 것을 요구한다.

Required revision:

• 다음 세 종류를 분리해 모두 정의해야 한다.
  • angular/director measure: 현재 j_s 계열;
  • surface-collapse/aspect measure:

a_g=\frac{\|\mathbf A_\xi\times\mathbf A_\eta\|}{L_e^2},
\qquad
L_e=\max_{edge\ (I,J)}\|\mathbf X_J-\mathbf X_I\|;

• variation/warp measure: J_min/J_max와 Gauss/center normal deviation.
• exact threshold는 distortion sweep에서 정하되, measure 자체는 formulation에 먼저 고정해야 한다.
• center, Gauss, tying 및 committed recovery point가 동일한 orientation/validity inventory를 사용해야 한다.

Rerun disposition: L_e, a_g, j_s, c_d, r_J, theta_w와 공통 point inventory가 고정되었다. epsilon -> 0 직교 collapse에서 j_s=1이어도 a_g=epsilon/4 -> 0이므로 기존 반례를 검출한다. 정확한 threshold는 여전히 calibration 대상이나 measure 누락 결함은 해소되었다.

NR-C02 — Resolved — common drilling normalization

Formulation의 후보 A와 B는 모두 force*length 차원을 가져 dimensional consistency는 만족한다. 그러나 얇은 쉘 극한에서 두 기준의 크기는 매우 다르다. 후보 A는

k_{ref}^{(A)}
=\frac{GtA}{1+qA/t^2}
\xrightarrow[A/t^2\to\infty]{}
\frac{Gt^3}{q},

후보 B는

D_{iso}=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}.

따라서

\boxed{
\frac{k_{ref}^{(A)}}{D_{iso}}
\to\frac{6(1-\nu)}{q}}

이고 nu=0.3, q=2.5e-5이면 그 비는 168000이다. 동일한 alpha_d=1e-3을 곱하면 후보 A의 drilling stiffness는 약 168 D_iso가 되지만 후보 B는 0.001 D_iso가 된다. 동일한 10^-3 중심 sweep은 서로 같은 “작은 drilling” 영역을 비교하지 않는다.

Formulation 17.4절의 “모든 후보를 research order 주변에서 sweep”은 이 차이를 제거하지 못한다. 10^-3은 thesis의 다른 reference scale에 붙은 사례이며 후보 A와 B의 공통 coefficient가 아니다.

Required revision:

• 후보 비교의 독립 변수는 raw alpha_d가 아니라

\rho_{d,I}=\frac{k_{d,I}}{D_{iso}}

또는 승인된 physical rotational-block scale에 대한 동등한 무차원 비로 정의한다.

• 각 후보의 alpha_d <-> rho_d 변환을 명시한다.
• sweep은 하나의 임의 중심값을 공유하지 말고, 낮은 쪽 rank/conditioning 실패와 높은 쪽 physical response contamination을 모두 관찰할 때까지 로그 범위를 확장한다.
• nominal value는 stable plateau의 가장 작은 값으로 선택하고, 인접 decade에서 U/N/M/Q와 energy의 민감도를 기록한다.

Research는 exact Abaqus small factor를 제공하지 못하며 이 gap을 정직하게 기록했다. 따라서 source 인용만으로 coefficient를 고를 수 없고 numerical calibration evidence가 필요하다.

Rerun disposition: rho_d,I=k_d,I/D_iso, 후보별 변환, logarithmic bracketing 및 smallest-stable-plateau 규칙이 고정되었다. 문서의 박판 극한 6(1-nu)/q=168000도 독립 재계산과 일치한다. 실제 후보/plateau/nominal 값은 의도적으로 needs-numerical-calibration에 남는다.

NR-C03 — Resolved — mixed-DOF scaling contract

Shell stiffness의 block 단위는 서로 다르다.

block	units
translation-translation	force/length
translation-rotation	force
rotation-rotation	force*length

따라서 raw K20 또는 K24의 singular value/eigenvalue와 condition number는 길이 단위 변경에 불변하지 않다. Formulation은 혼합 단위 diagonal minimum을 올바르게 금지했지만, rank/conditioning study에는 같은 문제를 해결하는 scaling을 정의하지 않았다.

Required revision:

\mathbf q=\mathbf S_e\widehat{\mathbf q},
\qquad
\mathbf S_e=\operatorname{blockdiag}_{I=1}^{4}
\left(L_e\mathbf I_3,\mathbf I_3\right),

\boxed{
\widehat{\mathbf K}_e=\mathbf S_e^T\mathbf K_e\mathbf S_e}.

K_hat의 모든 성분은 force*length 단위를 가지므로 normalized rank와 spectrum을 비교할 수 있다. L_e는 Section NR-C01의 scale-aware element length와 일치시켜야 한다. Physical 20 x 20 matrix에는 노드당 (L_e I3, I2) scaling을 적용한다.

수치 rank, drilling-mode separation 및 condition evidence는 raw matrix가 아니라 이 scaled matrix에서 정의해야 한다. Global Kff에도 model-level translational/rotational scaling 계약이 필요하다.

Rerun disposition: element S20, S24와 model-level S_f/L_m가 정의되었고, rank/conditioning evidence는 S^T K S에서만 판정한다. 일관된 길이 단위 변환 시 scaled stiffness가 공통 scalar만 얻는 것을 독립 차원 검산으로 확인했다. 실제 rank와 condition threshold는 calibration evidence가 필요하다.

NR-C04 — Resolved — global 24-DOF weak form

Formulation 7.1절은

delta epsilon_bar^{,T} C5 epsilon_bar

로 기록되어 있다. 쉼표는 미분 index가 아니며 의도한 식은

\delta W_{int}^{phys}
=\int_{\Omega_0}
(\delta\overline{\boldsymbol\epsilon})^T
\mathbf C_5\overline{\boldsymbol\epsilon}\,dV

이다. 이후 B^T C B 식은 올바르므로 부호나 kernel 자체의 결함으로 전파되지는 않는다.

그러나 notation 오기 외에도 test-space mismatch가 있다. 물리 평형을 delta q20 in V20에 대해 선언한 뒤 external work를 delta qg^T f_CLOAD로 쓰고, drilling variation을 별도 절에 두었지만 하나의 complete 24-DOF weak form으로 결합하지 않았다. Rectangular T_p를 사용하는 현재 계약에서는 다음과 같이 전역 시험공간을 명시해야 한다.

\delta\mathbf q_g^T\left[
\mathbf T_p^T\mathbf f_{int}^{20}
+\mathbf T_d^T\mathbf K_d^l\boldsymbol\gamma
-\mathbf f_e^{CLOAD}\right]=0
\qquad\forall\delta\mathbf q_g\in V_{24}^0,

\mathbf f_{int}^{20}
=\int_{\Omega_0}\overline{\mathbf B}^T
\mathbf C_5\overline{\mathbf B}\mathbf q_{20}\,dV.

동등하게 physical part만 쓸 때는 delta q20^T f_int20 = delta qg^T T_p^T f_int20을 명시해야 한다. Element equation은 이 global form과 일치하지만 weak-form source of truth가 다른 시험공간을 혼용하므로 formulation revision이 필요하다.

Rerun disposition: Section 7.1-7.2가 모든 delta q_g in V24^0에 대해 T_p^T f_int20 + T_d^T K_d gamma - f_CLOAD=0을 선언하고 physical virtual-work 동등성을 함께 명시한다. transpose 오기도 제거되어 test-space mismatch가 해소되었다.

NR-C05 — Resolved at scope boundary — nonlinear coordinate mapping

Future section의 covariant Green-Lagrange first/second derivative와

K^{mat}_{AB}=\int B_A^T C_T B_B\,dV,
\qquad
K^{geo}_{AB}=\int s^T G_{AB}\,dV

는 Total Lagrangian virtual work와 일관된다. 이는 Total Lagrangian Shell Formulation 및 Green-Lagrange Strain Linearization과 부합한다.

그러나 nonlinear physical coordinate는 20개 director-chart coordinate로 정의된 반면, linear limit에서 곧바로 K_phys^24로 환원된다고 서술한다. Finite rotation에서 global [URX,URY,URZ]와 two-parameter director chart 사이의 mapping, 그 mapping의 first/second derivative, chart update 및 objective drilling potential이 정의되지 않아 이 환원은 현재 증명되지 않는다.

이 finding은 승인 범위인 linear-static implementation을 차단하지 않지만, Section 15를 미래 nonlinear implementation-ready formulation으로 사용할 수 없게 한다. 미래 nonlinear gate 전에 별도 formulation revision이 필요하다.

Rerun disposition: physical 20-coordinate residual/tangent와 조건부 global map q20=Phi(qg)가 분리되었고, pullback tangent에 A^T K20 A뿐 아니라 residual-weighted map Hessian 항이 포함되었다. scalar nonlinear map으로 재미분한 결과와 식이 일치했다. 실제 Phi, chart update 및 objective drill potential은 future-only open contract로 명시되어 현재 선형 구현 범위를 오염시키지 않는다.

3. Confirmed Consistent Parts

3.1 DOF ordering, director sign, and transformation

• Global order [UX,UY,UZ,URX,URY,URZ]와 physical local order [uX,uY,uZ,alpha,beta]는 요구조건과 일치한다.
• Right-handed (a,b,d)에서

\delta\mathbf d
=\boldsymbol\theta\times\mathbf d
=-\alpha\mathbf b+\beta\mathbf a

이므로 rotation sign은 원 MITC4 문헌과 일치한다.

• T_p=P T, T_d=D_gamma T의 크기는 각각 20 x 24, 4 x 24이며 virtual work를 보존한다.
• Orthonormal frame과 disjoint selector 때문에

\mathbf T_p\mathbf T_d^T=\mathbf0.

따라서 rank(K20)=14, k_d,I>0을 전제로 physical rank 14와 drill rank 4가 서로 중첩되지 않아 exact-arithmetic stabilized rank는 18, nullity는 6이다.

• Physical rigid mode에서

\boldsymbol\theta_I
=\boldsymbol\omega-(\boldsymbol\omega\cdot\mathbf d_I)\mathbf d_I

로 gamma=0을 구성하는 규약은 approved five-DOF gauge contract와 일치한다.

수치적으로 이 rank를 판정하는 방법은 NR-C03 수정과 drilling calibration 이후에만 승인할 수 있다.

3.2 MITC tying and B operator

Tying alias를 원 논문의 A/B/C/D로 다시 쓰면

FESA location	source alias	component
T_xi+ = (0,+1,0)	A	epsilon_xi-zeta
T_xi- = (0,-1,0)	C	epsilon_xi-zeta
T_eta+ = (+1,0,0)	D	epsilon_eta-zeta
T_eta- = (-1,0,0)	B	epsilon_eta-zeta

이므로 interpolation weight와 edge inventory는 원 MITC4 식과 일치한다. Direct covariant strain column

B^{DI}_{\alpha\beta,A}
=\frac12(\mathbf G_\alpha\cdot\mathbf h_{A,\beta}
+\mathbf G_\beta\cdot\mathbf h_{A,\alpha})

도 small-strain covariant relation과 일치한다. Tied covariant tensor를 reciprocal basis로 복원하고 engineering shear factor를 적용하는 순서가 명확하며, residual과 stiffness가 같은 projection을 사용한다. 이는 [[Assumed Transverse Shear Strain Interpolation]]의 핵심 consistency 요구를 만족한다.

3.3 Constitutive matrix and units

• Cps의 engineering gamma12 coefficient는 G이고 transverse shear block은 (5/6)G I2다.
• -1 < nu < 0.5, E>0에서 C5는 symmetric positive definite다.
• sigma33=0, thickness strain 제외, centered homogeneous layer boundary가 요구조건과 일치한다.
• K20, force, resultant, curvature 및 energy의 차원은 다음과 같이 일관된다.

quantity	units
membrane/shear strain	1
curvature	1/length
N, Q	force/length
M	force
physical/drilling energy	force*length

5/6은 승인된 homogeneous rectangular-thickness 범위에만 사용하므로 범위 확장도 없다.

3.4 Integration and hourglass assessment

• xi,eta,zeta = +/-1/sqrt(3), 모든 weight 1인 2 x 2 x 2 규칙은 원 elastic MITC4의 2 x 2 midsurface와 두 thickness point 근거에 부합한다.
• Tying shear는 midsurface edge 값으로부터 만들어 두 thickness point에서 공통으로 사용하며, 나머지 mapping과 in-plane strain은 실제 thickness point에서 평가한다.
• S4와 S4R이 동일한 full-integration path를 사용한다는 product mapping이 명확하다.
• 1 x 1 reduced integration이 없으므로 별도 hourglass control은 N/A다.

이는 MITC4 Shell Element의 full B^T D B 경로 및 원 문헌의 no-spurious-mode 관찰과 일치한다. 다만 실제 rank는 distortion 및 drilling scaling을 포함한 test로 확인해야 한다.

3.5 Recovery signs and locations

정의

\boldsymbol\epsilon_0=\frac1t\int\mathbf e_m\,dz,
\qquad
\boldsymbol\kappa=\frac{12}{t^3}\int z\mathbf e_m\,dz

로부터 e_m(z)=epsilon0+z kappa이면 정확히 원래 epsilon0, kappa를 복구한다. 동일한 fixed midsurface local frame과 동일한 thickness quadrature를 사용하므로

\mathbf N=\mathbf A\boldsymbol\epsilon_0,
\qquad
\mathbf M=\mathbf D\boldsymbol\kappa,
\qquad
\mathbf Q=\mathbf A_s\boldsymbol\gamma_0

가 centered homogeneous layer에서 일관된다. Bottom z=-t/2, top z=+t/2, M=integral(z sigma dz)의 부호도 서로 모순되지 않는다. Output order와 위치는 요구조건과 일치한다.

3.6 Linear reaction and equilibrium sign

Full residual을 r=K d-F로 정의했으므로 constrained component는 반력이고 free component는 equilibrium evidence다. 전역 force/moment balance에서 applied load와 reaction을 더해 zero를 확인하는 부호도 이 정의와 일치한다.

4. Numerical Decisions

4.1 Approved in this review

NR-D01 — Drilling-direction nodal moment projection

Nonzero nodal moment에 대해

\rho_M=\frac{|\mathbf d_I\cdot\mathbf M_I|}{\|\mathbf M_I\|}

를 사용하고 rho_M <= 1e-12인 경우에만 tangent-plane moment로 수용한다. Zero moment는 별도 exact-zero case로 수용하며 denominator를 clamp하지 않는다. 이 기준은 FESA-REQ-LSMITC4-051의 normalized frame/orthogonality 기준과 일치하고 길이/힘 단위에 불변이다.

NR-D02 — Algebraic normalized checks

Formulation revision에서 다음 normalization을 명시한다.

e_{sym}=\frac{\|\widehat K-\widehat K^T\|_F}{\|\widehat K\|_F}
\le10^{-12},

e_{rigid}=\frac{\|\widehat K\widehat r\|_2}
{\|\widehat K\|_2\|\widehat r\|_2}\le10^{-10},

e_{frame}=\|R^TR-I\|_F\le10^{-12}.

Zero matrix/vector denominator는 pass로 clamp하지 않고 invalid test construction으로 분류한다. Transformation-energy check는 nonzero reference energy에 대해

e_T=\frac{|E_g-E_l|}{|E_g|+|E_l|}\le10^{-12}

를 적용하며 양쪽 energy가 exact zero인 rigid/pure-null case는 별도 action test로 판정한다.

4.2 Open decisions — blocking evidence gaps

NR-O01 — Drilling reference family, nominal coefficient, and plateau

NR-C02/NR-C03을 반영한 normalized sweep 결과가 없으므로 후보 A/B/physical-block 중 어느 것도 승인하지 않는다. Exact-arithmetic positivity만으로 practical factorization과 physical contamination을 동시에 보장할 수 없다.

NR-O02 — Drilling energy warning ratio

Source는 static drill-specific acceptable ratio를 제공하지 않는다. Nominal plateau에서 U/N/M/Q 민감도와 함께 calibrate해야 하며, 현 단계에서 1%, 5% 등의 임의 값을 승인하지 않는다. Ephys가 zero/near-zero이면 ratio를 만들지 않고 두 energy와 case classification을 보고하는 formulation 원칙은 승인한다.

NR-O03 — Smooth-director angle

20 degrees는 usable initial candidate이나 Abaqus grouping heuristic을 FESA hard rejection으로 바꾸는 결정이다. Pinched cylinder와 LE3의 coarse-to-fine mesh에서 incident normal deviation 분포와 false-fold/false-smoothing case를 확인하기 전에는 승인하지 않는다.

NR-O04 — Geometry thresholds

NR-C01의 measure inventory는 고정되었다. 이제 valid distortion/warp sweep과 collapsed negative sequence가 pass/fail 사이에 분리 영역을 제공해야 threshold를 승인할 수 있다.

NR-O05 — U tolerance and UR warning threshold

이 값은 Reference Model과 공동 소유이며 artifact/mesh evidence가 없다. U-only blocking, UR warning-only라는 정책은 승인하지만 수치값은 승인하지 않는다.

5. Numerical Risk Assessment

risk	assessment	status/control
rigid body modes	물리 20-DOF rank 14와 4 drill mode의 algebraic 분리는 타당	scaled spectrum과 explicit six mode test 필요
patch test	membrane, bending, shear, twist field 정의가 가능	구현 전 component/sign별 exact field test 필요
symmetry	B^T C B, orthogonal congruence, diagonal drill로 구조상 symmetric	NR-D02 normalized check 적용
positive definiteness	free element는 six-mode semidefinite, valid constrained Kff는 positive definite 기대	geometry/drill calibration 뒤 확인
hourglass	full 2 x 2 midsurface integration	N/A; spurious-mode eigencheck는 유지
shear locking	MITC tying으로 목표 현상을 완화	thickness/mesh sequence 없이는 통과 주장 금지
membrane locking	original MITC4의 distorted curved-shell known limitation	curved/distorted convergence와 known limitation 기록
volumetric locking	approved plane-stress shell 범위	N/A; 3D incompressible 의미로 확장 금지
distortion	measure inventory는 완전하나 calibrated threshold 없음	geometry calibration evidence 필요
singular Jacobian	sign/scale-aware measures 고정, near-singular threshold 미승인	valid/invalid separation sweep 필요
conditioning	scaled matrix 계약은 타당하나 drilling nominal point 미승인	normalized sweep과 factorization evidence 필요
linear solve convergence	direct linear solve에서는 Newton convergence N/A	residual/equilibrium 1e-10 확인
mesh convergence	shear/membrane locking 및 curved response에 필수	pinched cylinder/LE3 sequence 필요
nonlinear tangent	물리 20-DOF 및 conditional global-map variation 구조는 타당	actual chart/update 미정으로 future implementation blocked

6. Consistency Checks

check	result	evidence/comment
material/section units	pass	E, G, t, A/D/As와 output units 일치
drilling dimensions	pass	모든 후보와 Kd는 force*length
rank/conditioning dimensional invariance	pass at contract level	S20/S24/Sf와 S^T K S 정의; 수치 threshold evidence는 미제출
rotation/director signs	pass	delta d=-alpha b+beta a
tying signs and inventory	pass	A/C/D/B alias와 weight 일치
DOF ordering	pass	global 6, physical 5 per node 정확
coordinate transforms	pass for linear scope	linear T_p/T_d 타당; future map은 명시적 conditional contract
matrix/vector dimensions	pass	20/24/4 block 크기 일치
constitutive symmetry/positivity	pass	approved E,nu 범위
integration points/weights	pass	2 x 2 x 2, weight 1
Jacobian near-singularity contract	pass at measure level	a_g가 orthogonal collapse를 검출; threshold calibration은 미제출
stiffness/residual sign	pass	r=Kd-F, reaction/equilibrium 일치
output component order	pass	generalized/resultant/stress order 일치
output locations	pass	four midsurface points와 bottom/mid/top 분리
weak-form test space/notation	pass	complete global 24-DOF variation과 physical virtual-work equivalence
future material/geometric tangent	pass at documented boundary	20-DOF tangent와 map Hessian 포함; actual chart/update는 future-only

7. Verification Readiness

• unit_tests: Section 7.1의 algebraic, frame, tying, rank, energy 및 geometry tests.
• patch_tests: Section 7.2의 membrane, bending, shear, twist 및 rigid/drill states.
• mms_or_mes: CLOAD-only 범위에서는 prescribed polynomial element state를 이용한 manufactured element solution을 사용하며 distributed-load full-domain MMS는 N/A다.
• benchmark_reference_comparison: Section 7.3의 pinched cylinder, LE3 및 S4/S4R displacement evidence.
• missing_evidence: Section 7.5의 drilling, geometry, director-angle, reference 및 future nonlinear evidence.

7.1 Unit and algebraic tests required

1. Shape partition, Kronecker delta, derivative sum.
2. Nodal/integration frame orthonormality, handedness, deterministic tie break.
3. T_p T_d^T=0, virtual work 및 energy congruence.
4. Source A/C/D/B tying value를 독립 hand calculation과 비교.
5. K20, Kphys, Kdrill, Ke symmetry와 separate energy.
6. Six physical rigid vectors, four pure drill vectors, scaled spectrum/rank.
7. Force/length 단위 변경 후 K_hat, rank decision, displacement/resultant invariance.
8. NR-C01 직교 collapse sequence와 inverted/warped/opposed-normal negative cases.
9. Bottom/mid/top stress와 thickness moment recovery의 analytical cross-check.
10. S4/S4R source type만 바꾼 동일 model의 internal-row equality.

7.2 Patch and manufactured element states

• constant E11, E22, G12 membrane states;
• K11, K22 pure bending과 top/bottom stress reversal;
• K12 pure twist;
• G13, G23 constant transverse shear;
• physical rigid motion과 pure drilling separation.

Distributed load가 없어도 prescribed nodal field와 element action으로 patch algebra를 검증할 수 있다. 각 test는 component order와 sign을 별도로 판정해야 한다.

7.3 Locking and benchmark evidence required

• thin/thick cantilever 또는 plate의 thickness 및 mesh sequence;
• regular/distorted pinched cylinder sequence;
• NAFEMS LE3 coarse-to-fine sequence와 incident-normal angle inventory;
• 필요 시 equivalent nodal loads를 명시한 Scordelis-Lo 보조 sequence;
• S4 및 S4R source artifact 각 하나 이상.

Shell Locking Phenomenon에 따라 한 개 mesh의 displacement 일치만으로 locking absence를 주장하지 않는다. MITC4 Shell Element의 patch 및 Scordelis-Lo 근거는 element family의 타당성을 지지하지만 FESA의 director/drilling/output convention을 자동 검증하지 않는다.

7.4 Drilling calibration evidence required

NR-C02의 rho_d를 사용해 다음 두 실패 경계를 모두 포착해야 한다.

• low side: scaled positive spectrum이 solver rank threshold 아래로 내려가거나 Kff conditioning/factorization이 불안정해지는 지점;
• high side: U 또는 physical N/M/Q가 인접 decade에서 승인된 contamination bound를 넘거나 drilling energy가 physical response를 지배하는 지점.

Stable interval이 존재하지 않으면 선택한 diagonal absolute-drill 방법 자체를 Requirements/Formulation으로 되돌려 재검토해야 한다.

7.5 Missing evidence

• dimensionally normalized drilling sweep 결과;
• fixed geometry metric의 valid/invalid separation data;
• curved benchmark별 incident-normal angle distribution;
• reference S4/S4R artifact inventory와 U/UR scale.

Future nonlinear chart/update 및 objective drilling evidence도 아직 없지만 현재 linear gate의 dependency는 아니다. 이를 근거로 기하비선형 구현을 시작해서는 안 된다.

7.6 Gate matrix

gate item	result	consequence
current-linear formulation consistency	pass	추가 formulation revision 불필요
NR-C01-NR-C05 disposition	resolved	1차 confirmed defect 종료
NR-D01-NR-D02 integration	pass	수식/normalized metric 유지
drilling/geometry/director calibration	pending	Implementation Planning 차단
reference model and U/UR thresholds	pending	primary verdict needs-reference-model
future geometric-nonlinear executability	out of current scope	별도 future formulation/review 전 구현 금지

8. Required Revisions

Formulation Agent

• 현재 선형 정적 범위에 필요한 추가 revision은 없다.
• calibration에서 stable drilling interval이 존재하지 않거나 fixed geometry measure가 valid/invalid cases를 분리하지 못할 때에만 Requirements/Formulation으로 되돌린다.
• future nonlinear chart/update/objective drilling potential은 별도 scope 승인과 review 없이는 구체 구현 계약으로 간주하지 않는다.

Research Agent

• MITC4 core theory의 추가 일반 조사는 필요하지 않다.
• Exact drill coefficient에 대한 authoritative 공개 근거가 새로 확인되지 않는 한 문헌 수치로 gap을 억지로 닫지 않는다.
• 추가 근거가 필요하다면 normal-angle hard rejection과 drilling normalization에 직접 적용 가능한 primary source만 보강한다.

Reference Model Agent

• 현재 workspace에 관찰되지 않는 reference/shell/을 artifact가 다시 보일 때 read-only로 inventory하고 S4R 선언 artifact의 실제 파일, provenance, input subset 및 displacement row를 확인한다.
• docs/reference-models/linear-static-mitc4-shell-reference-models.md에 canonical portfolio와 artifact/schema 계약을 작성한다.
• 별도 S4 artifact를 준비한다.
• LE3/pinched-cylinder mesh마다 incident-normal angle, mesh size 및 U reference scale을 metadata/evidence로 남긴다.
• U mixed tolerance와 nonblocking UR warning threshold를 제안한다.

Numerical Review Rerun

• Formulation revision 6cb0302의 defect correction은 이번 rerun에서 확인했다.
• 다음 rerun에서 geometry negative sequence와 drilling normalized sweep evidence를 검토한다.
• Section 4.2의 open decision을 닫거나 명시적으로 다시 반환한다.
• 그 전에는 pass-for-implementation-planning을 부여하지 않는다.

9. Downstream Handoff

Implementation Planning Agent

• 현재 handoff 금지. implementation_planning_authorized=false다.
• Numerical Review rerun이 통과한 뒤에만 Section 7의 test inventory를 RED -> GREEN -> VERIFY 순서로 변환한다.
• Future nonlinear state/tangent는 현재 linear implementation plan에 포함하지 않는다.

I/O Definition Agent

• formal I/O gate handoff는 이번 verdict로 승인하지 않는다. 비권위 schema 메모를 작성하더라도 geometry threshold, drilling coefficient/energy warning, U/UR tolerance를 implementation default로 선점하지 않는다.
• NR-D01의 normalized drilling-load projection과 exact-zero handling을 diagnostic contract에 반영한다.

Reference Model Agent

• Section 8의 read-only inventory 및 benchmark evidence를 준비한다.
• Abaqus S4/S4R formulation equivalence를 주장하지 않고 global U만 blocking evidence로 사용한다.

Coordinator Agent

• Formulation revision loop는 종료한다.
• needs-numerical-calibration과 needs-reference-model을 남은 dependency로 추적한다.
• 두 dependency가 닫히고 Numerical Review가 재승인하기 전에 다음 formal gate를 열지 않는다.

10. Evidence

Repository sources

• docs/formulations/mitc4-shell-formulation.md
• docs/research/linear-static-mitc4-shell-research.md
• docs/requirements/linear-static-mitc4-shell.md
• docs/reference-papers/MITC4/AContinuumMechanicsBasedFourNodeShell/
• docs/reference-papers/MITC4/FourNodeQuadrilateralShellElementMITC4/
• docs/reference-papers/MITC4/유한요소해석법을이용한쉘구조물의동적좌굴해석/

FEM wiki cross-checks

• MITC4 Shell Element — physical five-DOF kinematics, edge-midpoint tying, B^T D B, patch 및 convergence evidence.
• MITC Shell Kinematics — midsurface/director/thickness mapping.
• Assumed Transverse Shear Strain Interpolation — shear-locking remedy와 projection consistency.
• Shell Locking Phenomenon — transverse-shear 및 curved-shell membrane locking 구분.
• Total Lagrangian Shell Formulation — reference-configuration residual/tangent.
• Green-Lagrange Strain Linearization — material/geometric tangent 분리.

Wiki는 교차 확인 근거이며 최종 project authority는 approved requirements, research 및 reviewed formulation이다.