FESADev/docs/hex8-structural-analysis/formulation.md

Hex8 정식화와 검증 불변량

현재 구현·검증은 기능 요약을 먼저 따른다. 아래 준비 상태·owner 인계와 옛 source 문서명은 작성 당시 이력이며, 원문은 Git 이력에서 확인한다.

적용: PRD의 FEM-REQ-HEX8-002–007,012–018,021. 물리 선택은 ADR에 있다. 이 문서는 승인된 식의 구현용 유도이며 외부 결과에 맞추어 physics를 바꾸는 권한이 아니다. 수치 controls는 별도 원본, 출력 tensor/identity는 I/O를 따른다. 2026-10-09 승인된 Solid HHT 내부 정밀도 변경의 구현 계약은 precision formulation이다. 동적 paired 경로의 상대변위 gradient, 전체 상태·계수 연산과 반올림 출력 의미는 해당 문서를 함께 적용한다. 사용자 선택 B로 승인된 현재 모델은 8점 deviatoric 적분 + 기준 체적가중 평균 Green trace energy다. 선형/비선형 정적, 무응력 원형상 frequency, 선형/비선형 HHT 모두 같은 energy의 선형극한·내력·Hessian을 사용한다. 이전 비수정 pointwise full8의 수식/evidence는 변경 전 이력이며 현재 모델의 PASS로 승계하지 않는다. Fbar·평균 determinant·log-strain law는 아니다.

Shape·기준 geometry·적분

절점 signs는 ---,+--,++-,-+-,--+,+-+,+++,-++다. Point signs는 ---,+--,-+-,++-,--+,+-+,-++,+++, coordinate는 각 ±1/√3이고 weight1이다.

[ N_a={1\over8}(1+\xi_a\xi)(1+\eta_a\eta)(1+\zeta_a\zeta),\quad J_{0,iJ}=\sum_aX_{ai}N_{a,J},\quad G_a=J_0^{-T}\nabla_\xi N_a. ]

J0 column은 자연 ξ/η/ζ 미분이다. Gauss reference 위치는 ΣNaXa, volume weight는 det J0다. Translation 차이를 먼저 사용해 large coordinate offset의 취소 오차를 줄일 수 있지만 기준 좌표와 source identity는 변경하지 않는다. Shape의 partition of unity·linear reproduction와 gradient 합0을 검증한다. Invalid det/inverse는 abs/clamp나 corner 재배열로 숨기지 않는다.

실제 상대변위 계산과 그 미분을 모든 절차에서 일치시킨다. Local 절점 index는0–7이다. 기존 immutable F64 cache의 (G_{ag},w_g)를 그대로 사용하고

[ H_g=\sum_{a=1}^7(u_a-u_0)\otimes G_{ag},\quad \widehat G_{ag}=G_{ag}\ (a>0),\quad \widehat G_{0g}=-\sum_{a=1}^7G_{ag},\quad D_g[p]=\sum_{a=0}^7p_a\otimes\widehat G_{ag}. ]

(D_g[p])는 방향 p에 대한 (\delta F_g=\delta H_g)다. F64 static/frequency 및 paired dynamic은 각 경로의 산술로 같은 순서의 coefficient 합을 평가한다. Relative H를 사용하고 force/tangent에는 별도의 cached (G_{0g})를 쓰는 혼합은 허용하지 않는다. 새 quadrature로 coefficient를 재생성하지 않으며 coefficient/합산 roundoff는 독립 검증한다.

Cell 전체의 Jacobian 인증

Trilinear map의 det J는 각 자연 좌표에 대해 최대2차인 tensor polynomial이다. s=(ξ+1)/2,t=(η+1)/2,r=(ζ+1)/2에서 degree(2,2,2) Bernstein basis로 표현할 수 있다. 각 축 -1/0/+1의27개 determinant 값에서 다음1D 변환을 세 축에 적용한다.

[ b_0=p(-1),\quad b_2=p(1),\quad b_1=2p(0)-(p(-1)+p(1))/2. ]

Bernstein basis는 nonnegative이고 합1이므로 모든 coefficient의 양의 lower bound는 cell 전체 det>0를 보증한다. 모든 sample가 양수인 것만으로는 충분하지 않다. Coefficient bound가 불확실하면 de Casteljau midpoint subdivision 후 child cell을 검사한다. Sample의 nonpositive upper bound 또는 완전히 nonpositive cell은 invalid이며, depth/resource 한계에서도 positive를 인증하지 못하면 uncertain geometry failure다.

인증용 연산은 outward-rounded interval arithmetic으로 수행한다. Addition/subtraction/ multiplication·변환·subdivision·current Xa+ua까지 실제 FP 오차를 포함하며 NaN/Inf/overflow를 거부한다. 단순 coefficient estimate에 임의 epsilon을 더해 positive라고 선언하지 않는다. Current geometry에도 같은 인증을 적용하고 point det F>0를 확인한다. Trial failure가 reference cache나 accepted state를 변경하지 않는다. 세부 종료 controls는 numeric-controls를 따른다.

재료·체적 평균 energy·선형 K0

(\mu=E/[2(1+\nu)]), (\lambda=E\nu/[(1+\nu)(1-2\nu)]), (\kappa=\lambda+2\mu/3=E/[3(1-2\nu)])는 실수 수학 identity다. 실행 coefficient는 (\nu\to-1)에서 (\lambda+2\mu/3)의 취소를 피하도록 E/ν에서 직접 F64 (\kappa=E/[3(1-2\nu)])를 한 번 계산하고 finite positive를 검증한다. 계산 순서는 2*nu, 1-(2*nu), 3*(1-(2*nu)), E/denominator의 RN64 연산이다. E/3 선계산 등으로 재배열하지 않는다. Overflow/nonfinite 및 underflow-to-zero κ는 지원 산술 실패이며 값 보정은 없다. 기존 λ 조합의 bulk guard로 유효한 직접 κ를 다시 거부하지 않는다. 현재 실행 coefficient는 기존 정의의 F64 μ와 직접 F64 κ다. λ는 위 실수 identity와 변경 전 이력을 설명하는 기호이며 새 law의 별도 실행 cache/guard가 아니다. Paired 경로는 μ/κ를 exact lift한다. 변경 전 rounded μ/λ로 다시 만든 κ와의 bit equality를 요구하지 않으며 near-bound coefficient 오차를 독립 검토한다. (E>0,-1<\nu<.5)와 실제 positive finite shear/bulk를 요구하며 새로운 ν 범위 제한이나 clamp는 없다. λ 조합이나 3*kappa 등의 파생 overflow로 material 범위를 추가로 제한하지 않는다. 실제 element/trial 연산 graph가 nonfinite/지원 범위 실패이면 해당 평가를 실패시킨다. (\operatorname{dev}T=T-\operatorname{tr}(T)I/3)다. (w_g=\det J_{0g}>0), (V=\sum_{g=1}^8w_g>0)는 불변 기준 coefficient다. Deviatoric 항·평균의 numerator/denominator 모두 동일 2×2×2 점을 사용한다. 평균은 기준 volume-weighted 값이며 center strain·단순8점 평균·current-volume 평균으로 바꾸지 않는다.

선형은 실제 (\epsilon_g=\operatorname{sym}H_g)에서

[ \bar\theta_{lin}=\sum_gw_g\operatorname{tr}\epsilon_g/V,\quad U_{lin}=\mu\sum_gw_g\operatorname{dev}\epsilon_g:\operatorname{dev}\epsilon_g +\kappa V\bar\theta_{lin}^2/2, ] [ \sigma_g=2\mu\operatorname{dev}\epsilon_g+\kappa\bar\theta_{lin}I, \quad f_{ai}=\sum_gw_g\sigma_{g,iJ}\widehat G_{ag,J},\quad f=K_0u,\quad U_{lin}=u^TK_0u/2. ]

Engineering strain vector는 [ε11,ε22,ε33,2ε12,2ε13,2ε23]이고 stress의 shear는 실제 값이다. (Q_g^{ai}=\operatorname{sym}(e_i\otimes\widehat G_{ag})), (b^0_{ai}=\sum_gw_g\widehat G_{ag,i})이면 zero-state Hessian은

[ (K_0){ai,bk}=2\mu\sum_gw_g\operatorname{dev}Q_g^{ai}:\operatorname{dev}Q_g^{bk} +\kappa b^0{ai}b^0_{bk}/V. ]

첫 항의 point block은 (\mu\delta_{ik}\widehat G_a\cdot\widehat G_b+ \mu\widehat G_{a,k}\widehat G_{b,i}-(2\mu/3)\widehat G_{a,i}\widehat G_{b,k})다. 마지막 체적 외적은 모든 GP의 coupling을 포함한다. 기존 비수정 point-local (\sum B^TCB w)를 선형 정적·frequency·linear HHT의 K0로 재사용하지 않는다.

Total Lagrangian energy·내력·전체 Hessian

[ F_g=I+H_g,\quad E_g=\operatorname{sym}H_g+H_g^TH_g/2=(F_g^TF_g-I)/2, \quad\theta_g=\operatorname{tr}E_g,\quad\bar\theta=\sum_gw_g\theta_g/V, ] [ U=\mu\sum_gw_g\operatorname{dev}E_g:\operatorname{dev}E_g +\kappa V\bar\theta^2/2, \quad S_g=2\mu\operatorname{dev}E_g+\kappa\bar\theta I,\quad P_g=F_gS_g. ]

이 식은 요소의 discrete nonlocal energy다. Homogeneous material과 reference coefficient 외에 소성/history state는 없다. 매 trial의8점 E를 평가한 뒤 같은 trial의 평균/S/P를 계산한다. (Z_g[p]=\operatorname{sym}(F_g^TD_g[p])), (Y_g[p,q]=\operatorname{sym}(D_g[p]^TD_g[q]))라 두면

[ \delta U[p]=\sum_gw_gS_g:Z_g[p],\quad f_{ai}=\sum_gw_gP_{g,iJ}\widehat G_{ag,J}, ] [ \delta^2U[p,q]=\sum_gw_g{2\mu\operatorname{dev}Z_g[p]:\operatorname{dev}Z_g[q] +S_g:Y_g[p,q]} +\frac{\kappa}{V}\Big(\sum_gw_g\operatorname{tr}Z_g[p]\Big) \Big(\sum_hw_h\operatorname{tr}Z_h[q]\Big). ]

(Z_g^{ai}=\operatorname{sym}(F_g^T(e_i\otimes\widehat G_{ag}))), (b_{ai}=\sum_gw_g(F_g\widehat G_{ag})_i)를 사용한 구현용 block은

[ (K_{mat}){ai,bk}=2\mu\sum_gw_g\operatorname{dev}Z_g^{ai}:\operatorname{dev}Z_g^{bk} +\kappa b{ai}b_{bk}/V, ] [ (K_{geo}){ai,bk}=\delta{ik}\sum_gw_g\widehat G_{ag}^TS_g\widehat G_{bg}, \quad K_t=K_{mat}+K_{geo}. ]

(\delta S_g=2\mu\operatorname{dev}\delta E_g+\kappa\delta\bar\theta I)이며 (\delta\bar\theta=\sum_hw_h\operatorname{tr}\delta E_h/V)다. 체적 Hessian은 (g\ne h)도 포함한다. 평균을 Newton 동안 고정하거나 GP별 기존 StVK C로 접선을 만들거나 stress만 평균화하면 이 energy의 내력·Hessian이 아니다. Kt는 symmetric energy Hessian이나 stressed trial에서 SPD라고 가정하지 않는다. Load-independent CLOAD tangent는0이고, zero state에서 F=I/S=0/Kgeo=0/Kt=K0다.

객관성·rank·복구 의미

실수 연산과 exact geometric completeness (\sum_a\widehat G_{ag}=0), (\sum_aX_a\otimes\widehat G_{ag}=I)에서 (u_a=(R-I)X_a+c)이면 F=R/E=0/U=f=0이다. Cached F64 coefficient/gradient 합/paired 반올림의 실제 rigid rotation은 coefficient와 연산 roundoff의 bounded 검사 대상이다. Gradient partition sum만으로 affine reproduction/exact0을 주장하지 않는다. 이미 주어진 F를 global R로 회전하면 E/평균/U는 invariant이고 force/tangent는 covariant다. 이 객관성은 평균 Green trace에 관한 것이며 determinant 평균화가 아니다.

K0는 nonnegative quadratic energy의 Hessian이다. 유효 brick의 local6 rigid modes/rank18, warped cell의 추가 영모드·conditioning 및 실제 BC 뒤 mechanism/singularity를 검증한다. 특정 brick rank를 모든 admissible cell의 엄격 coercivity 증명으로 대신하지 않는다. (U_{old}-U=\kappa\sum_gw_g(\theta_g-\bar\theta)^2/2\ge0)에서 Uold는 변경 전 비수정 pointwise full8의 같은 μ/κ로 쓴 수학적 energy다. 이전 실제 λ/μ rounded cache와 현재 직접 κ의 bit equality를 이 항등식에서 추론하지 않는다. 체적변형률 변동의 energy가 감소하므로 새 잠김·공간수렴·rank 검사가 필요하다. Affine F에서는 위 같은 μ/κ/gradient로 정의한 Uold의 U/force/stress와 수학적으로 일치하지만 이전 rounded λ/raw G0 경로와의 byte equality나 모든 비affine direction의 Hessian 일치를 뜻하지 않는다.

공식 비선형 stress는 실제 (\sigma_g=F_gS_gF_g^T/\det F_g), strain은 실제 기준 global Green E다. S의 isotropic 항이 요소 내 공통이어도 finite Cauchy pressure가 반드시 상수는 아니다. 선형 공식 strain은 실제 infinitesimal tensor이며 stress는 위 평균 trace law다. 8점 [11,22,33,12,13,23] 실제 tensor shear를 그대로 저장하고 평균/외삽/nodal smoothing하지 않는다. 저장 strain을 (\operatorname{dev}E+\bar\theta I/3)로 치환하지 않는다. Point stress는 같은 point의 strain만으로 결정되는 이전 pointwise law가 아니라 element mean에 의존한다.

Reference row-sum lumped mass와 generalized eigen

[ (M_C){ai,bj}=\delta{ij}\sum_g\rho_0N_aN_bw_g, \quad m_a=\sum_b(M_C){ai,bi}=\sum_g\rho_0N_aw_g, \quad (M_L){ai,bj}=\delta_{ab}\delta_{ij}m_a, \quad T={1\over2}v^TM_Lv. ]

M은 reference-state 상수다. Positive weights와8점 interpolation matrix의 full rank에서 SPD가 따른다. Axis-aligned brick의 scalar block은 (\rho V/216)에 각 축 sign이 같으면2/다르면1인 세 factor의 곱이다. Direction별 총합은 rho V, row sum은 rho V/8다. 2026-10-11 HEX8-ADR-010 승인에 따라 production은 full24×24 M_C의 행 합 M_L을 사용한다. 행 합은 BC restriction 전에 계산한다. Warped 요소에서는 일반적으로 m_a가 같지 않다. Positive rho/N/weights에서 m_a>0이며 M_L은 diagonal SPD다.

같은 nodal v에서 T_L−T_C=0.25*sum_g rho*w_g*sum_ab N_a*N_b*|v_a−v_b|²>=0이다. 따라서 M_L−M_C는 positive semidefinite이며 다음 consistent lower bound는 M_L에도 보수적으로 유효하다. Uniform translation energy와 총질량을 보존하지만 일반 속도장의 에너지·orbital inertia·고유치는 달라진다. Shell의 finite-rotation nodal block 방식과 구별한다.

8점 shape evaluation의 minimum singular value 제곱은1/27이다. Exact local quadrature에서 (m_{e,lower}=\rho\min_gw_g/27)는 local M의 positive lower bound다. Global scatter·principal free restriction에도 active-node incidence를 고려한 lower bound가 보존된다. 예를 들어 모든 active node에 적어도 하나의 element가 있는 경우 min_e bound는 conservative global lower bound다. 실제 FP matrix의 기존 roundoff guard에는 full row-sum 누적/조립 graph를 포함해 검토하고 SPD evidence를 확인해야 한다. 이 수학적 식만으로 설치 backend의 실행을 검증했다고 주장하지 않는다.

무응력 원형상에서 위 새 energy의 K0를 사용해 (K_{ff}\phi=\lambda M_{ff}\phi)를 풀며 constrained component0으로 복구하고 (\phi^TM\phi=1), (f=\sqrt\lambda/(2\pi))를 구분한다. Proven mass lower bound가 있다면 (\lambda_{max}\le|K_{ff}|\infty/m{lower})는 search upper-bound 근거가 된다. Diagonal ratio classification scale 자체는 upper bound가 아니다. 검색/count의 실제 증거와 모든 backend pair의 original K/M 잔차·mass norm/Gram을 검증한 뒤 최저 N을 공개한다. Repeated modes는 cluster/subspace로 판단하며 arbitrary rotation의 개별 vector를 외부 비교하지 않는다.

Static partition과 accepted 상태

Linear은 Kff uf=Ff−Kfc uc다. Nonlinear free residual은 fint−F이고 Ktff correction을 풀되 prescribed 값을 factor별 absolute target으로 복구한다. 외력과 prescribed target을 같은 factor로 증가시키며 이전 accepted state로부터 trial을 시작한다. Empty free solve는 유효한 recovery 경로다. Constrained reaction/full residual을 구분하고 모든 required recovery가 끝나야 commit한다.

HHT constant-mass 식

Public alpha=−.05, beta=(1−alpha)²/4=.275625, gamma=.5−alpha=.55다. Algorithmic A와 physical endpoint a를 구분한다.

[ u_p=u_n+hv_n+h^2(.5-\beta)A_n,\quad v_p=v_n+h(1-\gamma)A_n, ] [ A_{n+1}=(u_{n+1}-u_p)/(\beta h^2),\quad v_{n+1}=v_p+\gamma hA_{n+1},\quad a_{n+1}=(A_{n+1}+\alpha a_n)/(1+\alpha). ] [ R=MA_{n+1}+(1+\alpha)(f_{n+1}-F_{n+1})-\alpha(f_n-F_n), \quad K_{eff}=M/(\beta h^2)+(1+\alpha)K_t. ]

f/U/Kt는 위 평균 trace energy에서 함께 평가한다. Linear HHT는 그 zero-state K0, 비선형 HHT는 trial의 cross-GP 전체 Hessian이다. M은 상수 reference lumped M_L이며 계수·고정 h· 100회·strict physical/correction/update 판정은 변경하지 않는다.

이전 free endpoint가 (Ma_n+f_n-F_n=0)이면 R=(1+alpha)(Ma_next+f_next−F_next)다. Endpoint 표현을 쓰면 tangent도1/(1+alpha)로 함께 환산해야 한다. Incomplete previous endpoint를 동등하다고 가정하거나 weighted force에서 reaction을 계산하지 않는다. Physical reaction은 Ma+f−F의 constrained projection이다. Initial u/v0에서 Mff a0=Ff(0+)−ff(0), A0=a0다. 곡선은 endpoints에서 실제 평가하며 prescribed dynamic q/v/a/A는 exact0다.

Physical momenta는 current nodal x/v와 같은 reference lumped measure를 사용해 (p=\sum_a m_av_a), (L=\sum_a x_a\times m_av_a)다. Rates는 (\dot p=\sum_a m_aa_a), (\dot L=\sum_a x_a\times m_aa_a)이며 각 node에서 v×v 항은0이다. 독립 oracle도 같은 rho*N_a*dV0 적분을 사용한다. External/support moment는 같은 current 위치로 구한다. HHT 및 force trapezoid work는 frame별 exact energy conservation을 의미하지 않는다. Wext는 endpoint force·du trapezoid 누적, error=T+U−T0−U0−Wext다. Alpha0 linear unforced benchmark에서는 독립 보존을 확인한다.

Current moment의 검사에는 선형화의 적용 범위를 구분한다. Full physical residual을 (r=Ma+f_{int}-F), 공개 constrained reaction을 (Q=\Pi_c r), free residual을 (e=\Pi_f r)라 하면 (B_x=\sum x_a\times(F_a+Q_a)-\dot L =\sum x_a\times f_{int,a}-\sum x_a\times e_a)다. 정적에서는 관성항을0으로 둔다. TL은 유한회전 불변성으로 (\sum x\times f_{int}=0)지만 선형 K0는 (\sum X\times K_0u=0)이며 (\sum x\times K_0u=\sum u\times K_0u)가 일반적으로 O(u²)이다. 선형 current 수지 차이를 exact0으로 보정하거나 roundoff gate로 거부하지 않는다. Current moment와 momentum은 그대로 계산하고 이 차이와 reference-arm identity를 내부 evidence/로그로 설명한다. Newton 허용오차의 free residual 기여도 함께 남긴다. 시간차분 (\Delta L/h)를 instantaneous (\dot L)와 exact equality로 판정하지 않는다.

정식화 검증 경계

Analytic brick/affine energy, independent tensor polynomial integrals,6 rigid modes/rank, scaling/ covariance, node0 포함 gradient/tangent signed directional step sweep와 small-load limit를 결합한다. Compatible 비균일 trace field에서 reference-weighted mean과 center/unweighted mean의 차이, cross-GP outer product, 위 weighted-variance energy 차이와 linear–NL zero-state 일치를 검사한다. GP-local bulk tangent를 사용하는 대조는 방향 미분 검사에서 실패해야 한다. Warped geometry는 independent higher-order quadrature로 평균과 deviatoric 적분의 discretization error를 보고하되 production8점 규칙을 바꾸지 않는다. Extra-null·conditioning·굽힘/체적 잠김과 spatial refinement를 별도로 검사한다. Generalized eigen은 작은 independent dense oracle와 original sparse-pencil metrics로 검증한다. HHT는 analytic oscillator/비선형 constant-mass 제조해에서 u/v/physical a·h/h2/h4 수렴을 검증한다. 외부 comparison의5%/1%로 이 내부 검사를 대신하지 않는다.