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Shell 과도 열전달 독립 수치 검토

• 검토일: 2026-09-29. 정식화 일관성 및 구현 전 수치 검증 설계 PASS / solver 구현·정확도·reference·physics 검증 미실행.
• 독립 검토 대상: formulation commit e052b6e, source 접속 범위 보완 efa5403, 입력 rounding-cell 보완 dd409b5의 실제 diff 및 §7.1–7.2. PRD STH-C07의 위임 범위에서 아래 식·상수·fixture·판정 기준을 production kernel 구현 전에 고정한다.
• 상태: DONE_WITH_CONCERNS. 고정 5점의 초기 침투층 및 warped 3×3 적분 오차를 정량 기록했다. 지원 방법·geometry·외부 tolerance 변경을 제안하거나 승인하지 않는다.
• 기준: 정식화, 승인 ADR, 공통 수치 기준, 개발 규칙, 수치 주의점. 재현 계산은 scratch appendix에 있다. Reviewer는 정식화 작성자가 아니며 production·test·reference를 수정하지 않았다.

1. 판정과 이전 검토의 정리

2026-09-28 Proposed 검토는 당시 evidence다. NR-01의 product-domain 및 normalized station 접속, NR-02의 raw 초기값과 BC 상속/override는 현재 승인 계약으로 해결되었다. NR-03의 edge 입력 제안은 011 전체 연기로 대체된다. 과거 edge weight는 이번 구현·검증 요구가 아니다. 종료 시간의 정수배 제한 제안도 폐기되었다.

항목	독립 판단 / 현재 경계
약형·분리 행렬·부호	Q4×두 C0 P2, 실제 midsurface metric, exact Z, consistent C와 BE는 일관된다. 단위·node-major 순서·법선 방향을 확인했다.
Whole patch	affine normal image의 separating vector certificate 및 bilinear midpoint identity의 injectivity 유도가 성립한다. 적분점만 검사하는 것은 불충분하다.
Source 접속	전역 node-edge scan은 disconnected/contact 범위를 침범할 수 있었다. efa5403의 source endpoint를 공유하는 coarse/partial edge 후보 제한을 독립 확인했다.
초기 jump	raw t=0 보존 및 첫 RHS의 C_fc T_c_old 항이 필요하다. Slab의 δ→0 자유 초기 극한은 분석용 oracle이며 raw 초기 dataset을 바꾸는 projection 절차가 아니다.
시간	표현오차 수준 endpoint-close와 실제 shortened δ를 구별하는 predicate를 검산했다. 저장 시각의 subtraction과 연산 δ를 혼동하지 않는다.
Recovery	4 면내점×6 두께 trace의 global q와 R=[e1,n×e1,n], 0−/0+ 분리, full residual 반력 부호가 일관된다. t=0 flux/reaction은 없다.
남는 위험	consistent C의 초기 undershoot, 고정 두께 해상도, metric conditioning, 3×3 유한 적분 오차. Clamp/lumping/차수 변경/지원 축소로 숨길 수 없다.

PASS는 설계의 수학적 일관성과 독립 사전 oracle에 한정한다. 실제 MSVC solver·HDF5·외부 reference 결과가 통과했다는 뜻은 아니다.

2. Geometry와 mesh 판정

2.1 Whole-patch certificate와 uncertainty

정식화 §2.1의 r=a+bξ+cη+dξη, w=w0+uξ+vη를 사용한다. Convex set W={w(ξ,η)}의 원점에 가장 가까운 w는 w·w≥||w*||²를 만족한다. 따라서 네 corner에 대한 같은 고정 double 벡터 s의 양의 interval dot product가 전체 patch를 증명한다. 후보 최소점 계산이 부정확해도 최종 certificate가 양수이면 안전하다. 후보 탐색 실패를 수학적 퇴화의 증명으로 보고하면 안 된다. r(p)−r(q)=Dr((p+q)/2)(p−q)이므로 전체 patch에서 rank(Dr)=2이면 단사다. 이 증명은 bilinear map 전용이며 일반 고차 curved element로 확대하지 않는다.

고정 규칙: binary64, u=2^-53, epsilon=2^-52, round-to-nearest, gradual underflow; 입력 double은 singleton interval이다. 각 사칙연산 endpoint를 양쪽 nextafter로 한 번씩 넓힌다. 0을 포함한 divisor는 사용하지 않는다. sqrt는 비음수 endpoint를 계산한 뒤 같은 방식으로 넓힌다. 재척도는 exact power-of-two이며 손실된 subnormal도 enclosure에 포함한다. Fast-math/FTZ와 증명되지 않은 재결합은 이 bound의 전제가 아니다.

모든 lower(s·w_corner)>0이면 J_lower=min lower(s·w_corner)/upper(sqrt(s·s))>0를 보존한다. 증명되지 않으면 다른 유한 candidate를 시도하고 모두 실패하면 uncertain geometry로 fail closed한다. 정확히 중복된 좌표·source node, 비유한 값, 증명된 w=0은 invalid다. 고정 Jacobian epsilon·warp/aspect cutoff는 0개다. Certificate 뒤에도 각 사용점의 metric inverse/gradient가 유한하고 interval에서 0 divisor가 배제되는지 확인한다. κ(g)는 진단과 오차 전파에 쓰며 지원 cutoff가 아니다.

2.2 Source topology와 T-edge uncertainty

Edge incidence는 1 또는 반대 순서의 2; 3 이상·같은 방향·중복 patch는 거부한다. 각 vertex link는 하나의 path 또는 cycle이며 끊어진 fan·branch·중복 link는 거부한다.

T-edge 후보는 같은 instance에서 source endpoint를 공유한 (p,q)와 (p,v) 또는 (v,q)이고 p,q,v는 서로 다른 node다. Coarse 방향을 양쪽으로 시도한다. a=q−p, b=v−p의 interval에서 |a_j| lower가 가장 큰 성분 j를 택하고 λ=b_j/a_j, 잔여 성분 b_i−λa_i를 계산한다.

• 잔여 성분 interval 하나가 0을 제외하거나 λ가 [0,1] 밖이면 비접합이다.
• 공선 및 0<λ<1이 증명되면 nonconforming T-edge다.
• 공선/열린 구간 포함이 불확실하면 uncertain 접속으로 실패한다. 정확한 끝점 일치는 별도 중복 좌표 진단이며 열린 구간으로 clamp하지 않는다.
• Interval이 0을 포함한다고 exact 공선을 주장하지 않는다. Exact double-rational 검산은 선택 사항이며 새 arbitrary-precision runtime dependency를 요구하지 않는다. Interval fail-closed만으로 계약을 충족한다.

모든 node 대 모든 edge scan, 좌표 welding, source 후보가 없는 component 접촉 검출은 하지 않는다. 같은 component의 멀리 떨어진 부분끼리의 접촉도 대상이 아니다. 이는 global contact 검증을 완료했다는 뜻이 아니다.

2.3 고정 geometry fixture군

군	좌표/변환과 필수 판정
Affine	(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0); 평행사변형 (0,0,0),(2,0,0),(3,1,0),(1,1,0). Certificate PASS.
평면 왜곡	(0,0,0),(2,0,0),(1.5,1,0),(0,1,0). J>0; M exact, S의 3×3 exactness 주장 금지.
Saddle	r=(ξ,η,aξη), a=.1,.5,2; 자연 corner를 node로 사용. w=(-aη,-aξ,1), s=(0,0,1), J_lower=1의 exact 근거. 모두 지원.
긴 aspect	rectangle 1×2^-40; 유효 certificate 필요. 조건수와 metric 계산을 별도 기록하며 aspect만으로 거부 금지.
Scale/이동/회전	유효군의 2^-200,1,2^200배; unit patch에 (2^20,-2^20,2^20) 이동. Signed axis permutation 및 z축 3-4-5 회전. 입력 반올림을 oracle interval에 포함.
적분점 검사의 반례	r=(ξ,(ξ−1/4)η,0). 3×3 모든 점의 J는 비영이지만 ξ=1/4에서 J=0. Whole-patch 거부.
Invalid	bow-tie 순서, 반복 source/좌표, collinear 네 node, NaN/Inf. 자동 재순서/normal flip 금지.
Uncertain	affine b=(1,1,0),c=(1,1+2^-52,0): cancellation interval이 0을 포함할 수 있다. 증명된 certificate 또는 uncertain 실패만 허용; 임의 epsilon/형상 보정 금지.
접속 양성	반대 순서 edge 공유 Q4 두 개, 90도 fold, h=1/2 두께 단차, k=1/10 재료 접속; disconnected 두 patch.
음성/대조	edge 3 incidence, 동일 directed edge, node 하나만 공유한 두 fan; coarse(p,q)/partial(p,v),v=(p+q)/2. 각 음성의 별도 source identity/instance 좌표 접촉 대조군은 자동접속·T-edge 거부가 없어야 함.

3. 내부 roundoff, 행렬 및 solve 기준

3.1 공통 오차 언어

외부 5%/1%와 무관하게 γ_m=mu/(1−mu),u=2^-53이며 mu<1을 요구한다. 행렬/shape는 Frobenius norm, solve는 ∞ norm, 물리 integral은 아래 L2 norm이다. 분모가 0이면 numerator도 정확히 0일 때만 통과한다. max(1,scale)은 금지다.

P_ij는 계산한 signed 합의 절댓값이 아니라 각 quadrature/분리 항의 절댓값 합이다. Cancellation 때문에 P와 |X|를 바꿔 쓰지 않는다. 단위 affine fixture의 closed-form rational oracle에 대한 고정 roundoff bound는 다음과 같다.

검사	고정 bound / 연산 수 근거
M,S,Z 및 분리 C,K	||X_hat−X_exact||F ≤γ_4096||P_X||F. 점당 shape·metric·gradient·weight·entry scalar path128 이하×9+분리/scatter64 이하를 포괄한다.
직접54점 대 분리	||X_54−X_sep||F ≤γ_8192||P_54||F+γ_4096||P_sep||F. 54×128+reduction<8192.
Affine gradient·H·R	component 절댓값 전파 scale P에 error norm≤γ_2048||P||. Partition sum은 P=Σ|H|, gradient sum은 P=Σ||B_p||; 비영 patch는 exact gradient 크기도 포함.
Symmetry	||X−Xᵀ||F≤2E_X. E_X는 위 bound. 강제 대칭화로 검사를 통과시키지 않는다.
상수 null	||K1||2≤sqrt(20)E_K; |1ᵀC1−2|≤20E_C. Fraction 검산은 exact equality.
h scaling	h=1/2,1,2, k/rho/c=1; C와 면내 K는 h, normal K는 1/h. 두 계산의 E를 해당 배율로 더한다.

Operation budget은 단순 loop의 최장 path 상한이다. 실제 경로가 이보다 길면 결과에 맞춰 상수를 늘리지 않고 경로/interval을 다시 검토한다. 일반 warped/translated geometry에는 affine bound를 그대로 쓰지 않는다. §2 interval을 같은 quadrature에 전파하여 X^I를 얻고 E_X=||max(|lower(X^I)−X_mid|,|upper(X^I)−X_mid|)||F를 사용한다. 각 point의 κ2(g)와 κ2(g)γ_64를 기록한다. Inverse perturbation 상대 증폭은 κ2(g)γ_64/(1−κ2(g)γ_64)이고 분모가 양수가 아니면 이 상계는 불확실하다. 직접 interval inverse가 유한 enclosure를 증명하면 사용하고 아니면 uncertain이다. κ를 geometry 지원 조건으로 바꾸지 않는다. Roundoff와 quadrature 절단 차이는 별개다.

3.2 Exact fixture와 rank

단위 square,h=2,k=rho=c=1: M=1/36 4,2,1,2],[2,4,2,1],[1,2,4,2],[2,1,2,4, S=1/6 4,-1,-2,-1],[-1,4,-1,-2],[-2,-1,4,-1],[-1,-2,-1,4.

길이1 ζ 구간의 Z0=1/30 4,2,-1],[2,16,2],[-1,2,4, Z1=1/3 7,-8,1],[-8,16,-8],[1,-8,7을 station(1,2,3),(3,4,5)에 조립한다. C=M⊗Z0,K=S⊗Z0+M⊗Z1, node-major 순서다. 정확 유리수 LDL에서 C의20 pivot>0,K의 leading19 pivot>0,K1=0,1ᵀC1=2를 확인했다. C SPD,K PSD/rank19가 독립 증명된다.

Floating 결과는 matrix bound 외에 C의 λ_min>E_C, K를 1⊥에 제한한 λ_min>E_K와 null eigenvalue 크기≤E_K를 확인한다. Eigen 연산 자체의 backward error enclosure도 더한다. Separation이 불가능하면 rank는 inconclusive이며 clamp로 PASS를 만들지 않는다. 전역 K는 component마다 null mode 하나다.

Gradient fixture는 단위 affine 평판의 접선 b에 대해 T=A+b·r+cz, A=2,b=(3,-2,0),c=4로 q=−k(b+cn)이다. Warped patch의 임의 global b에 같은 식을 강제하지 않으며 그 경우 실제 reciprocal tangent의 projection을 사용한다. Constant T=2, 면내/두께선형도 각각 검사한다. 회전 후 q는 같은 회전, normal 반전 후 station a↔6−a와 조건까지 재매핑한다. RᵀR=I,detR=+1. Trace state(0,0,0,1,2)는 q3(0−)=0,q3(0+)=−4k/h이며 평균하지 않는다.

3.3 Free solve와 conditioning

n=free DOF 수,A=A_ff,b=같은 δ와 full old state로 만든 RHS다. Full residual의 free 성분 및 독립 A T_f−b를 확인한다.

β=||r_f||∞/(||A||∞||T_f||∞+||b||∞), β_limit=nγ_(n+1)+γ_(2n+4)+γ_(4n+8).

첫 항은 Cholesky의 |L||L|ᵀ bound와 || |L||L|ᵀ ||∞≤n||A||∞에서, 나머지는 triangular solves 및 residual 평가의 dot-product bound에서 나온다. Backend가 전제를 충족하지 못하면 더 엄밀한 backward-error evidence가 필요하며 β_limit를 늘리지 않는다. n=0이면 free solve/β를 생략하고 full reaction·수지를 검사한다.

κ∞(A)β_limit<1일 때 forward relative-error bound는 κ∞(A)β_limit/(1−κ∞(A)β_limit). κ는 작은 fixture의 독립 dense inverse norm 또는 검증된 condition estimator의 상계로 구한다. 이 상계가 유효하지 않으면 backward PASS를 온도 정확도 PASS로 바꾸지 않는다. 참값 비교에도 이 forward bound와 coefficient interval을 전파한다.

4. 에너지, 반력과 BE 소산

C=2,1],[1,2,K=1,-1],[-1,1,δ=1/2,Q=0,rawT0=(0,0),g2=1에서 T_f=(-1/5,1/25),Rc=(24/5,36/25)를 exact 확인했다. Raw constrained 항을 빼거나 먼저 g로 projection하면 실패한다. Signed undershoot를 삭제하면 안 된다. 이 fixture와 all-constrained 검사는 algebra다. Full-end strip ΣL/(khw)도 assembly 전용이며 공개 내부 station BC 지원을 뜻하지 않는다.

dT=Tnew−Told,ΔE=1ᵀC dT,Rc=(C dT/δ+K Tnew−Q)_c. 온도 영점을 뺀 두 큰 U를 차분하는 대신 ΔE를 직접 계산해도 같은 물리량이다.

물리 수지 defect D_E=|ΔE−δ(ΣQ+ΣRc)|, S_E=Σ_ij|C_ij dT_j|+δΣ_i|Q_i|+δΣ_c|Rc_i|.

m=전체 DOF 수,D_f=||A_ff||∞||T_f||∞+||b_f||∞라 하면

B_E=δnβ_limit D_f+δ||1ᵀK||1||Tnew||∞+γ_(4m+12)S_E +δγ_(2m+6)(|| |C||dT| ||1/δ+|| |K||Tnew| ||1+||Q||1) +γ_1Σ_ij|C_ij|(|Tnew_j|+|Told_j|).

두 번째 줄은 full residual 평가의 dot-product/division/subtraction 오차이며, 마지막 항은 온도 subtraction 오차다. D_E≤B_E와 free β≤β_limit를 각각 만족해야 한다. K 상수 mode 항은 §3 null bound도 만족해야 하므로 K 오류를 면제하지 않는다. 보고 metric D_E/S_E에서 S_E=0이면 exact-zero 분기다. Actual free residual을 수지에 다시 넣어 0을 만드는 대수 항등식은 물리 평형 판정을 대신하지 않는다.

단열·무입력·무구속의 별도 C-norm 소산 defect는

D_C=|0.5(TnewᵀCTnew−ToldᵀCTold+dTᵀCdT)+δTnewᵀKTnew|.

S_C는 앞의 세 C quadratic form의 성분별 절댓값 합에 각각 0.5를 곱하고, 마지막 K quadratic form의 성분별 절댓값 합에 δ를 곱하여 모두 더한 값이다. B_C=δ||Tnew||1β_limit D_f+γ_(6m+20)S_C +0.5||dT||2||C−Cᵀ||2||Told||2 +γ_1(|Tnew|+|Told|)ᵀ|C||dT|.

Residual work, 합/subtraction, symmetry defect, dT 오차 전파를 구분한 식이다. D_C≤B_C,||Tnew||C²≤||Told||C²+2B_C를 검사하고 S_C=0은 exact-zero다. 이 제곱 norm은 실제 열에너지와 단위가 다르다.

P/−P,constrained DOF의 P,disconnected component를 별도 실행한다. 집중 입력은 signed power 그대로 Q에 가산한다. 단열 균일 T=2 보존,no-BC transient,component별 수지,정상상태 ΣQ+ΣRc=0을 검사한다. Raw flux 경계 적분과 FE 반력의 exact equality를 강제하지 않는다.

5. Warped quadrature의 사전 진단

§2 affine/distorted/saddle a=.1,.5,2에서 k=rho=c=h=1. 각 3/5/7 surface rule과 exact Z로 C_r,K_r를 독립 계산한다. 대표 응답은 old=0,Q=e_(node1,station11),δ=.1,noBC의 한 BE 증분이다.

d_X(r,s)=||X_r−X_s||F/||X_s||F(X=C,K), d_T=||T_r−T_s||2/||T_s||2, d_q=max_trace||q_r−q_s||2/max_trace||q_s||2.

fixture	d_C(3,5)/(5,7)	d_K(3,5)/(5,7)	d_T(3,5)/(5,7)	d_q(3,5)/(5,7)
distorted	roundoff/roundoff	2.189065e-7/5.970737e-12	2.385149e-6/6.505495e-11	1.070060e-6/2.918586e-11
saddle .1	3.944257e-7/7.758135e-13	3.862043e-7/7.500898e-13	7.916236e-7/1.286406e-12	9.283663e-7/1.601583e-12
saddle .5	1.667355e-4/1.431780e-7	1.643476e-4/1.408553e-7	3.301794e-4/2.150240e-7	3.703751e-4/2.649276e-7
saddle 2	5.631484e-3/2.213607e-4	5.618988e-3/2.217451e-4	6.690109e-3/1.033767e-4	5.483294e-3/8.641481e-5

표의 반올림 값을 tolerance로 쓰지 않는다. 판정은 (1) production3점이 독립3점 oracle와 §3 bound로 일치,(2) 각 fixture d(5,7)≤d(3,5)+양쪽 roundoff bound, (3) affine 모든 차이는 roundoff 이내다. Appendix에서 재계산한 metric과 interval을 함께 보고한다. d가 roundoff 이하이면 ratio/order를 만들지 않는다. 독립54점/분리 C,K의 scratch 상대 norm 차이는 최대7.73e-16이었다.

이는 선정 fixture의 적분 수렴 진단이다. 7점을 exact해로 보거나 모든 허용 geometry에 같은 d 상한을 요구하지 않는다. 일반 모델의 진단이 비단조이면 조사·보고하며 지원 geometry cutoff,production 차수 변경/adaptive quadrature로 자동 교체하지 않는다.

6. 시간·면내 수렴

6.1 고정 spatial eigen oracle의 시간1차

Affine 단열 unit square,균일8×8 mesh,h=1,k=rho=c=1, station 동일 v_ij=cos(πi/8)를 쓴다. Consistent Q1의 정확한 discrete eigenvector이며 λ_h=6(1−cos(π/8))/[(1/8)²(2+cos(π/8))]. 독립 assembly로 Kv−λCv 및 C normalization을 §3 bound로 확인한다. τ=1/λ_h,δ=τ/N,N=16,32,64,128,256,INC≥256.

T_exact=e^-1v,T_BE=(1+1/N)^-Nv, e_N=||T_BE−T_exact||C/||v||C,p=log2(e_N/e_2N). 모든 pair의 p 허용구간은 [.97,1.02]. 독립 기대값은 .9817124,.9907338,.9953356,.9976599. log(1+x)의 전개에서 e_N=e^-1/(2N)+O(N^-2)이며 N≥16의 독립 값으로 구간을 고정했다. Roundoff propagation이 e_N/1000을 넘으면 order는 inconclusive다. 공간오차와 시간오차를 분리하는 고정 spatial oracle다.

6.2 Fourier rectangle의 면내2차/gradient1차

Unit square,h=1,k=rho=c=1,noBC/noQ,T0=cos(πx)를 모든 station에 동일하게 둔다. τ=.1에서 연속 T=cos(πx)exp(−π²t),∇T=(-πsin(πx)exp(−π²t),0,0)와 비교한다. Affine n×n,n=8,16,32,64; norm은 product-volume temperature 및 global gradient L2. 평가 적분은 cell별12×12 Gauss×exact thickness다. 12→16점 oracle 변화가 해당 오차의 1e-8 이하인지 확인한다(관찰 order 영향1e-7 미만의 적분 budget).

기본 공간 oracle는 독립 mode의 exp(-λ_hτ)다. 실제 BE run은 N=16n²,δ=τ/N,INC=N으로 고정하고 같은 mode의 BE-exponential temperature L2 차이가 continuum 온도 오차의 1/32 이하임을 확인한다. 시간오차를 공간수렴으로 오인하지 않으며 동일 mesh의 finite-N modal oracle도 함께 비교한다.

n	Semidiscrete temperature L2	Gradient L2
8	6.832505333e-3	9.419553867e-2
16	1.720379027e-3	4.697214677e-2
32	4.308592308e-4	2.346997504e-2
64	1.077625665e-4	1.173296293e-2

모든 pair에서 T p는 [1.95,2.05],gradient p는 [.98,1.03]. 독립 T order=(1.98969,1.99744,1.99936),gradient=(1.00385,1.00099,1.00025). Q1 smooth interpolation O(h²)/O(h),λ_h=π²+O(h²)의 전개 및 위 fixture의 독립 계산에 근거한다. 집중 source의 특이 해에 이 smooth order를 요구하지 않는다.

7. 고정5점 slab: 허용 이산 오차와 plateau

Unit area,h=1,k=rho=c=1,Ti=0,Ts=1,bottom step/top 단열이며 면내 node 조건은 같다. x=(0,1/4,1/2,3/4,1) T,six trace x=(0,1/4,1/2−,1/2+,3/4,1)의 q3, E=1ᵀCT,bottom 전체 Rc를 비교한다. Unit square1요소 및2×2 mesh다. t=0은 rawTi이며 flux/reaction을 생성하지 않는다.

무차원 시간 t*=αt/h²,T/ΔT,q/(kΔT/h),E/(ρc area hΔT),R/(k areaΔT/h). 이 fixture의 척도는 모두1이다. T/flux는 위 위치의 max absolute error, E/R은 absolute error다. Station 상대오차나 near-zero floor를 만들지 않는다.

7.1 Fourier 및 독립 P2 spectral oracle

정식화 §10 series에서 M=80,최소 t*=.001. β=π²t*/4,r=exp[-8β(M+1)]이면 온도 tail≤ 4exp[-β(2M+1)²]/[π(2M+1)(1-r)],flux/reaction tail≤ 2exp[-β(2M+1)²]/(1-r),energy tail≤temperature tail. 최소 시간에서도 모든 무차원 tail은 1e-27 미만이다. 1−r는 -expm1(-8β(M+1))로 계산한다. Summation roundoff는 γ_(8M+16)×absolute term sum으로 전파하며 transcendental 평가의 interval 또는 확인한 library error bound도 더한다.

독립1D P2 FE는 길이1/2인 두 segment를 조립한다. C_seg=(1/2)/30 4,2,-1],[2,16,2],[-1,2,4, K_seg=2/3 7,-8,1],[-8,16,-8],[1,-8,7. Bottom elimination 뒤4×4 generalized eigenproblem의 Cholesky+Jacobi 계산은 3D product kernel을 호출하지 않는다.

Raw 초기 정책에서 δ→0 자유 초기 극한은 T_f(0+)=-C_ff^-1C_fc=(-5/34,3/17,-1/34,1/17). y0=T_f(0+)−1,C-orthonormal v_j의 a_j=v_jᵀC_ff y0로 T_f(t)=1+Σa_jv_j exp(-λ_jt). 이는 첫 finite-step RHS의 극한이며 FESA t=0 state/dataset을 변경하지 않는다.

λ=(2.4686647564,22.9461660098,77.0631371712,198.6985026508). Scratch eigen residual3.994e-16,C-orthogonality8.069e-16. Solver 허용치는 이 숫자 자체가 아니라 §3의 coefficient/eigen/residual enclosure다. BE oracle는 exp(-λt)를 (1+λt/N)^-N으로 대체한다. N>1의 마지막 반력은 modal derivative -λ×final amplitude로 구할 수 있어 작은 δ의 subtraction cancellation을 피한다.

7.2 사전 고정 물리 오차와 허용치

각 t마다 별도 N=4096,8192,δ=t/N,INC=N run. 아래 첫 값은 δ→0 P2 공간오차, 괄호는 위로 반올림한 D_space다. 초기의 큰 허용치는 method의 제한이며 제품 전 범위 정확도 보증이 아니다.

t*/sqrt(t*)	T∞	q∞	E	Rc
.001/.03162	.1399996(.141)	10.64818(10.7)	.03031345(.0304)	10.86927(10.9)
.01/.10000	.01524952(.0153)	1.274464(1.28)	.00467600(.00468)	.823687(.824)
.05/.22361	.00597851(.00598)	.252470(.253)	.00129690(.00130)	.00631488(.00632)
.1/.31623	.001387325(.00139)	.135427(.136)	.000665986(.000666)	.009524106(.00953)
.5/.70711	.000141091(.000142)	.0283969(.0284)	.0000944866(.0000945)	.000525742(.000526)
1/1	.0000413942(.0000414)	.00815759(.00816)	.0000158234(.0000159)	.0000478014(.0000479)

Continuum 오차 허용치는 D_space+D_time(N)+B_oracle+B_solver다. D_time은 독립 modal 차이의 max/absolute norm이다. 온도/flux sampling L, energy row1ᵀC,reaction row K_cf−C_cf C_ff^-1K_ff 각각에 대해 LΣa_jv_j[(1+λ_jt/N)^-N−exp(-λ_jt)]를 계산한다. Cancellation이 불확실하면 Σ|La_jv_j|×|amplitude차이|로 enclosure한다. B_oracle은 series tail+summation/eigen interval,B_solver는 §3 행렬/solve 오차를 L에 전파한 값이다. B_oracle+B_solver>D_space/1000이면 plateau 판정은 inconclusive다. 이 조건은 geometry 지원 cutoff가 아니다.

N=4096의 독립 D_time은 아래와 같다. N=8192에서는 대략 절반이며 appendix가 재현한다.

t*	T∞	q∞	E	Rc
.001	7.5820e-7	8.7770e-6	4.6839e-8	6.0181e-6
.01	1.6648e-5	1.9198e-4	1.8013e-6	1.5383e-4
.05	2.9817e-5	2.2173e-4	7.3403e-6	1.9484e-4
.1	3.0985e-5	1.9790e-4	1.1177e-5	1.6441e-4
.5	6.8903e-5	1.1406e-4	4.3931e-5	1.0879e-4
1	8.0305e-5	1.3224e-4	5.1125e-5	1.2621e-4

물리 오차 허용치 외에 동시에 FESA와 finite-N BE oracle가 B_oracle+B_solver 내에서 일치해야 한다. 큰 초기 공간오차가 잘못 구현된 방법까지 허용하지 않도록 분리했다. Table rounding은 production 결과와 무관하게 고정했다.

7.3 Plateau 정량 보고

E_space=||oracle_P2−Fourier||와 FESA error e_N에 대해 |e_N−E_space|≤D_time+B_oracle+B_solver를 확인한다. 면내1×1과2×2의 slab 차이는 §3 roundoff 이내여야 한다. 두께 지배 해가 면내 refinement로 좋아진다고 판정하면 실패다.

관측 plateau의 기준은 D_time+B_oracle+B_solver≤E_space/10. N=8192에서 .001/.01/.05/.1의 네 quantity는 충족한다. 뒤 시각에서 미충족하는 T/E/R은 미도달로 보고하고 δ→0 spectral 공간오차를 따로 제시한다. 예컨대 t*=1의 E는 시간오차가 공간오차보다 커서 두 N만으로 plateau가 관측되었다고 할 수 없다. 침투 깊이 sqrt(αt),station 간격 h/4,segment 길이 h/2,E_space,D_time을 함께 보고한다. 초기 큰 flux/reaction 오차는 음수 온도 제거로 고칠 수 없다.

8. 시간격자 predicate, count와 재분해

8.1 독립 반증과 수정 범위

Arithmetic-only D≤d rad(q)+rad(p)는 입력 표현오차를 모두 포함하지 않았다. τ=5.351455173733616,d=.17262758624947144,m=31에서 exact |τ−md|=8.326672684688674e-16 > 기존 Bhat=7.507374033534679e-16인데, 입력 rounding-cell I(τ)와 mI(d)는 겹친다. 이 반례를 blocking으로 보고했고 승인된 입력 표현오차 의미에 맞춰 input-cell overlap으로 보완했다. 이전 predicate의 실행 성공을 의미 정합 승인으로 대체하지 않았다. Appendix D는 이 실패 이력을 보존하며 현재 판정은 C를 따른다.

8.2 현재 고정 predicate

입력 double x의 원래 rounding-cell은 L_x=(prev(x)+x)/2,U_x=(x+next(x))/2다. Significand LSB가 짝수면 두 endpoint 포함, 홀수면 두 endpoint 제외(nearest-even). 최대 finite의 U_x는 next=Inf를 평균하지 않고 x+(x−prev(x))/2라는 유한 real dyadic threshold다. 최소 subnormal의 half-ULP도 binary64로 먼저 반올림하지 않는다.

τ,d를 공통 power-of-two로 τ∈[1/2,1)에 옮겨 q=fl(τ/d), m=nearest-even integer(q)를 만든다. 원래 입력의 cell도 동일 scale로 옮긴다. Normal화된 값의 이웃으로 cell을 다시 만들면 subnormal 입력의 표현오차를 축소하므로 잘못이다. Endpoint-close는 I(τ)와 mI(d)의 exact 교집합이 비어 있지 않은 경우다. 두 구간이 한 점에서만 닿으면 그 점이 양쪽에 모두 포함되는지도 확인한다.

INC≤2^32−1,q≤INC+1 및 위 scale에서 cell endpoint는 고정 dyadic 격자 2^-88에 정확히 놓인다. Endpoint 정수와 m곱의 보수적 최대122bit는 두 uint64 또는 네 uint32 limb 안에 들어간다. Carry/shift를 검사하는 bounded 정수 산술이며 새 arbitrary-precision runtime dependency가 아니다. Reviewer의 Fraction은 이 bounded 비교의 독립 oracle다. 나눗셈·곱셈 roundoff는 후보/연산 bound 설명에 쓰고 cell을 더 넓히는 별도 epsilon으로 중복 가산하지 않는다.

q overflow 또는 INC+1 초과는 preflight 실패; close면 N=m이다. Nonclose에서는 X=τs2^88,Y=ds2^88,f=floor(q)로 fY≤X<(f+1)Y를 exact 비교하고 필요하면 f를 한 번 ±1 교정한다. X=fY이면 N=f, 아니면 N=f+1이다. Division 오차를 count에 그대로 전달하지 않는다. d≥τ는 한 증분 δ=τ의 선행 분기다. INC 기본100,양의 uint32,N≤INC. 정상 stored time=fl(jd),마지막=입력τ, strict increase/finite를 검사한다. Close의 마지막 δ는 d 그대로다. 실제 shortened만 fma(-(N−1),d,τ)를 쓰며 A/RHS/reaction/energy/dissipation은 같은 δ다.

fixture	필수 결과
τ=10,d=3	N=4,stored3,6,9,10;δ=3,3,3,1;마지막 refactor
τ=2,d=3 및 d=τ	한 증분 δ=τ
τ=.9,d=.3	N=3,stored 마지막 .9;세 δ=.3,factorization 재사용
τ=1,d=.1	N=10;stored .30000000000000004 등을 보존,δ=.1 유지
nextafter(.9,-∞),d=.3	.8999999999999999:close,N=3,δ=.3
두 ULP 아래 τ,d=.3	.8999999999999998:nonclose,N=3,finalδ=.2999999999999998
nextafter(.9,+∞),d=.3	.9000000000000001:nonclose,N=4,finalδ=1.6653345369377348e-16
기존 반례 τ=5.351455173733616,d=.17262758624947144	input cells overlap,N=31,모든 δ=d;가짜 tiny 증분 제거
Subnormal midpoint	a=최소 positive subnormal:τ=20a,d=6a는 even/even 닫힌 접촉,N=3;τ=17a,d=5a는 odd/odd 열린 접촉,N=4,마지막δ=2a
Scale/최대값	(.9,.3)×2^-1000 및×2^1000은 같은 count/close;τ=1e-323,d=5e-324는 N=2;τ=maxfinite,d=fl(maxfinite/3)는 N=3
INC	N/N−1 경계,생략100;0,-1,1.5,4294967296 실패;τ=2^32,d=1,INC=2^32−1은 사전 count 실패
비유한/비표현	Inf/NaN/0/음수,binary64에서0으로 underflow하는 token 거부;거대한 τ/d는 cast/allocation 전 실패
저장 가능성	finite-positive/uint32 count 제한 아래 정상 간격 d는 ulp(jd)보다 충분히 크다. Generator의 finite/strict-increase 보호 분기는 중복/Inf 시간을 주입한 내부 fixture로 검사;불가능한 정상 공개 입력을 만들지 않음.

특히 nextafter(.9,+∞)/.3의 tiny remainder를 유지하는 근거는 단순 predicate 결과가 아니다. exact |τ−3d|=1.6653345369377348e-16이고 두 입력 cell 반폭 합은 1.3877787807814457e-16이므로 실제 rounding cells가 분리된다. 이를 가짜 표현오차 증분으로 흡수하면 입력 표현오차 범위를 넘는다. 반면 위 m=31 반례는 cells가 겹치므로 추가 tiny 증분을 만들면 안 된다. 작은 실제 δ의 나쁜 conditioning은 §3과 candidate 보존으로 처리하며 nominal δ로 바꾸지 않는다.

현재 predicate의 independent seed901 10,000쌍은 원래 cell Fraction overlap과 2^-88 정수 비교가 모두 일치했고 최대122bit를 넘지 않았다. 원래 subnormal,maxfinite, 열린/닫힌 접촉,반례 및 scale 경계를 따로 검산했다. FMA oracle는 exact Fraction product-sum을 한 번 float로 반올림한다. Production dependency 요구가 아니다.

9. 외부 reference와 evidence 경계

필수 원본은 reference/shell-thermal/shell-thermal.inp와 reference/shell-thermal/shell-thermal NodalTemperature.csv다. 이 검토는 원본 복사·수정·생성 또는 Abaqus 실행을 하지 않았다. 2026-09-28 read-only snapshot(729row,min=-15.5742216,max=1000)은 과거 관찰이며 이번 solver comparison을 대신하지 않는다.

Family=(shell-thermal,source Step-1,exact t=37,NT11 bottom,scalar, 사용자 일관 온도 단위,blocking),identity=(Part-1-1,source node label,DOF11). CSV instance 생략은 입력 단일 instance와 label 집합 검증으로만 복원한다. Missing/extra/duplicate/nonfinite/frame/instance/station 오류는 tolerance 전에 실패한다.

공통 TOLERANCE 그대로 S=max|reference|=1000,B=.01S=10; |r|≤B이면 |f−r|≤B,그 밖에는 |f−r|/|r|≤.05, 모든729row RMS/S≤.01을 동시에 만족한다. S=0이면 모든 값 exact0이다. −15.5742216은 relative 대상이며 clamp/온도 영점 이동 금지. 추가 Abaqus CSV는 필수가 아니다. 한 frame으로 내부 station/flux/reaction/시간 이력을 검증했다고 할 수 없다.

10. 실행 기록과 완료 경계

git rev-parse --show-toplevel로 T1 worktree를 확인했다(exit0). NumPy/SciPy import 환경 probe는 NumPy 부재로 exit1;설치 없이 표준 라이브러리 scratch로 전환했다. Appendix의 명령은 Python blocks를 지정 순서로 메모리에서 실행한다. 실제 scratch exit0의 핵심 출력:

• Fraction:C positive pivot20,K positive leading pivot19/K1=0,1ᵀC1=2; jump−1/5,1/25 및 reaction24/5,36/25.
• 직접54점/분리식:다섯 geometry 상대 norm 차이 최대7.73e-16.
• Slab eigen residual3.994e-16/C-orthogonality8.069e-16,§7 공간/시간 오차.
• §5 quadrature,§6 예상 차수,§8 time predicate/INC assertions.

최종 재현 명령은 appendix 첫 PowerShell block이며 exit 0, 마지막 출력은 ALL SCRATCH BLOCKS COMPLETED였다. Input-cell 독립 비교는 10,000/10,000 및 CURRENT TIME GRID ASSERTIONS PASSED를 출력했다. 상대 링크 파일 존재/Markdown 표 열 수 정적 검사도 exit 0(8 links,2 files), 두 소유 파일만 대상으로 한 git diff --check는 exit 0이었다.

수학 scratch는 production correctness를 증명하지 않는다. **미실행:**MSVC build/CTest, 구현 단위·통합 검사,FESA 결과 생성,NT11 comparison,실제 solver convergence/energy/ physics 검토. 필요한 수치 기준은 고정되었으며 구현 결과 뒤에 선택할 미정 tolerance는 없다. 필수 실패 시 구현·conditioning·oracle 전제를 조사하고 physics/method/acceptance 충돌은 메인에 보고한다.