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.raw/유한요소해석법을이용한쉘구조물의동적좌굴해석/유한요소해석법을이용한쉘구조물의동적좌굴해석_004.md

@@ -0,0 +1,279 @@
+<!-- source-page: 31 -->
+
+$$
+0 = \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left(\left[ \mathbf {K} _ {N L} \right] + \left[ \mathbf {K} _ {L} \right]\right) \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} - \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left(\left\{\mathbf {Q} _ {T} \right\} + \left\{\mathbf {Q} _ {B} \right\} - \left\{\mathbf {F} \right\}\right) \tag {2.46}
+$$
+
+이때 δU 는 임의의 값이므로 식(2.46)을 만족하기 위해서는 식(2.47)과 같이 쓸 수 있고, 식(2.47)은 Newton-Raphson 형식으로 ΔU 에 대한 반복 계산을 통해 수렴값을 찾아 나감으로써 비선형 해석을 수행할 수 있다.
+
+$$
+\left(\left[ \mathbf {K} _ {N L} \right] + \left[ \mathbf {K} _ {L} \right]\right) \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} = \left\{\mathbf {Q} _ {T} \right\} + \left\{\mathbf {Q} _ {B} \right\} - \left\{\mathbf {F} \right\} \tag {2.47}
+$$
+
+여기서 $K_{NL}$ 과 $K_{L}$ 의 합이 기울기 강성 행렬(tangent stiffness matrix)이 된다.
+
+# 2.2.1 Finite Rotation Formulation
+
+셀의 형상이 변함에 따라 각각의 노드에서 정의 된 벡터 $\left(\mathbf{V}^{1}, \mathbf{V}^{2}, \mathbf{V}^{n}\right)$ 역시 시간에 따라 변하게 된다. 즉 시간에 따른 회전각 $\alpha, \beta$ 의 변화에 따라 $\mathbf{V}^{n}$ 이 변하고, 또한 그에 따라 $\mathbf{V}^{1}$ 과 $\mathbf{V}^{2}$ 도 변하게 된다. 이를 관계식으로 표현하면, 식(2.48)과 같이 쓸 수 있다.
+
+$$
+{ } ^ { t + \Delta t } \mathbf { V } _ { I } ^ { n } = { } _ { t } ^ { t + \Delta t } \mathbf { R } _ { I } \cdot { } ^ { t } \mathbf { V } _ { I } ^ { n } \tag {2.48}
+$$
+
+식(2.48)은 시간이 t부터 $t+\Delta t$ 까지 변할 때 노드 I에서의 법선 벡터의 변화를 보여주는 식으로 ${}^{t+\Delta t}_{t}R_{I}$ 는 회전 텐서(rotation tensor)를 의미하며, $\left\|^{t}V_{I}^{n}\right\|=\left\|^{t+\Delta t}V_{I}^{n}\right\|=1$ 이다. [9]
+
+그리고 회전 텐서 $^{t+\Delta t}_{t}R_{I}$ 은 $V^{1}, V^{2}, V^{n}$ 을 정규직교 기저(orthonormal basis)로 하는 좌표계에서 식(2.49)와 같이 행렬 형태로 나타낼 수 있다. [10]
+
+<!-- source-page: 32 -->
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l} t + \Delta t \\ t \end{array} R _ {I} \right] = \left[ \mathbf {1} _ {3} \right] + \frac {\sin \left(\widetilde {\theta} _ {I}\right)}{\widetilde {\theta} _ {I}} \left[ \Theta_ {I} \right] + \frac {1}{2} \left[ \frac {\sin \left(\frac {\widetilde {\theta} _ {I}}{2}\right)}{\left(\frac {\widetilde {\theta} _ {I}}{2}\right)} \right] ^ {2} \left[ \Theta_ {I} \right] ^ {2} \tag {2.49}
+$$
+
+이 때 $\left[1_{3}\right]$ 은 3행 3열의 단위 행렬을 의미하며, $\widetilde{\theta}_{I}$ 와 $\left[\Theta_{I}\right]$ 는 각각식(2.50), (2.51)과 같이 나타낼 수 있다.
+
+$$
+\widetilde {\theta} _ {I} = \left[ \left(\alpha_ {I}\right) ^ {2} + \left(\beta_ {I}\right) ^ {2} \right] ^ {\frac {1}{2}} \tag {2.50}
+$$
+
+$$
+\left[ \Theta_ {I} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & 0 & \beta_ {I} \\ 0 & 0 & - \alpha_ {I} \\ - \beta_ {I} & \alpha_ {I} & 0 \end{array} \right] \tag {2.51}
+$$
+
+여기서 $\alpha_{I}$ 와 $\beta_{I}$ 가 미소 증분 회전(infinitesimal incremental rotation)이면, 각각 $V^{1}$ , $V^{2}$ 에 대한 독립적인 미소 회전(independent infinitesimal rotation)을 의미하고, $\alpha_{I}$ 와 $\beta_{I}$ 가 유한 증분 회전(finite incremental rotation)이면, $\alpha_{I}$ 와 $\beta_{I}$ 는 서로 독립적이지 않으며 회전 텐서를 정의하는 변수가 된다. [9]
+
+# 2.2.2 Constitutive Matrix
+
+구성 행렬(constitutive matrix)의 경우 평면응력(plane stress) 가정을 사용하였으며, 식(2.52)와 같다. 이 때 $\kappa$ 는 전단 보정 계수(shear correction factor)로 5/6를 사용하였다.
+
+<!-- source-page: 33 -->
+
+$$
+\left[ \widetilde {D} \right] _ {x y z} = \frac {E}{1 - \nu^ {2}} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 & \nu & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \kappa \frac {1 - \nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \kappa \frac {1 - \nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - \nu}{2} \end{array} \right] \tag {2.52}
+$$
+
+하지만 식(2.52)의 경우 지역 직교 좌표계(local Cartesian coordinate system)에서 정의되므로 이를 고유 좌표계(natural coordinate system)에서 정의하기 위해서는 변환 행렬(transformation matrix)을 사용해야 한다.
+
+지역 직교 좌표계와 고유 좌표계 사이의 관계는 Fig. 4와 같으며, 여기서 $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ 는 고유 좌표계의 콩변 기저(covariant basis)이고, $\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e}_{3}$ 는 지역 직교 좌표계의 기저를 의미한다.
+
+![](images/page-033_a55842b4e3905a4b0b3cf04b2cbdeb74411bdf717a6ed7808bb011a550afdb67.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+η
+G₃
+ê₂
+ê₁
+ê₃
+G₂
+ξ
+G₁
+</details>
+
+Fig. 4 Local Cartesian coordinate system
+
+변형률과 응력에 대한 좌표변환은 식(2.53), (2.54)와 같으며, 이로부터
+
+<!-- source-page: 34 -->
+
+구성 행렬의 좌표변환은 식(2.55)와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $\widetilde{E}$ , $\widetilde{S}$ , $\widetilde{D}$ 와 E, S, D는 각각 지역 직교 좌표계와 고유 좌표계에서의 변형률, 응력, 구성 행렬을 의미한다. 그리고 $\left[T\right]_{\xi \rightarrow x}$ 는 고유 좌표계에서 정의된 값을 지역 직교 좌표계로 변환해주는 변환 행렬이다.
+
+$$
+\left\{\widetilde {E} \right\} _ {x y z} = [ T ] _ {\xi \rightarrow x} \left\{E \right\} _ {\xi \eta \zeta} \tag {2.53}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \left\{S \right\} _ {\xi \eta \zeta} = \left[ T \right] _ {x \rightarrow \xi} \left\{\widetilde {S} \right\} _ {x y z} = \left[ T \right] _ {\xi \rightarrow x} ^ {T} \left[ \widetilde {D} \right] _ {x y z} \left\{\widetilde {E} \right\} _ {x y z} \tag {2.54} \\ = \left[ T \right] _ {\xi \rightarrow x} ^ {T} \left[ \widetilde {D} \right] _ {x y z} \left[ T \right] _ {\xi \rightarrow x} \left\{E \right\} _ {\xi \eta \zeta} = \left[ D \right] _ {\xi \eta \zeta} \left\{E \right\} _ {\xi \eta \zeta} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\left[ D \right] _ {\xi \eta \zeta} = \left[ T \right] _ {\xi \rightarrow x} ^ {T} \left[ \widetilde {D} \right] _ {x y z} \left[ T \right] _ {\xi \rightarrow x} \tag {2.55}
+$$
+
+이 때 $[T]_{\xi \rightarrow x}$ 는 식(2.56)과 같이 나타낼 수 있고, 각각의 성분은 식(2.57)과 같다.
+
+$$
+\left[ T \right] _ {\xi \rightarrow x} = \left[\begin{array}{c c c c c c c}a _ {1} a _ {1}&b _ {1} b _ {1}&c _ {1} c _ {1}&b _ {1} c _ {1}&a _ {1} c _ {1}&a _ {1} b _ {1}\\a _ {2} a _ {2}&b _ {2} b _ {2}&c _ {2} c _ {2}&b _ {2} c _ {2}&a _ {2} c _ {2}&a _ {2} b _ {2}\\a _ {3} a _ {3}&b _ {3} b _ {3}&c _ {3} c _ {3}&b _ {3} c _ {3}&a _ {3} c _ {3}&a _ {3} b _ {3}\\2 a _ {2} a _ {3}&2 b _ {2} b _ {3}&2 c _ {2} c _ {3}&b _ {2} c _ {3} + c _ {2} b _ {3}&a _ {2} c _ {3} + c _ {2} a _ {3}&a _ {2} b _ {3} + b _ {2} a _ {3}\\2 a _ {1} a _ {3}&2 b _ {1} b _ {3}&2 c _ {1} c _ {3}&b _ {1} c _ {3} + c _ {1} b _ {3}&a _ {1} c _ {3} + c _ {1} a _ {3}&a _ {1} b _ {3} + b _ {1} a _ {3}\\2 a _ {1} a _ {2}&2 b _ {1} b _ {2}&2 c _ {1} c _ {2}&b _ {1} c _ {2} + c _ {1} b _ {2}&a _ {1} c _ {2} + c _ {1} a _ {2}&a _ {1} b _ {2} + b _ {1} a _ {2}\end{array}\right] \tag {2.56}
+$$
+
+$$
+a _ {1} = \mathbf {r} _ {1} \cdot \mathbf {G} ^ {1} \quad b _ {1} = \mathbf {r} _ {1} \cdot \mathbf {G} ^ {2} \quad c _ {1} = \mathbf {r} _ {1} \cdot \mathbf {G} ^ {3}
+$$
+
+$$
+a _ {2} = \mathbf {r} _ {2} \cdot \mathbf {G} ^ {1} \quad b _ {2} = \mathbf {r} _ {2} \cdot \mathbf {G} ^ {2} \quad c _ {2} = \mathbf {r} _ {2} \cdot \mathbf {G} ^ {3} \tag {2.57}
+$$
+
+$$
+a _ {3} = \mathbf {r} _ {3} \cdot \mathbf {G} ^ {1} \quad b _ {3} = \mathbf {r} _ {3} \cdot \mathbf {G} ^ {2} \quad c _ {3} = \mathbf {r} _ {3} \cdot \mathbf {G} ^ {3}
+$$
+
+그리고 지역 직교 좌표계의 기저 $\hat{\mathbf{e}}_{1}, \hat{\mathbf{e}}_{2}, \hat{\mathbf{e}}_{3}$ 는 식(2.58)와 같이 고유 좌표계의 공변 기저(covariant basis) $\mathbf{G}_{1}, \mathbf{G}_{2}, \mathbf{G}_{3}$ 로부터 구할 수 있다.
+
+$$
+\hat {\mathbf {e}} _ {3} = \frac {\mathbf {G} _ {3}}{\left\| \mathbf {G} _ {3} \right\|}, \quad \hat {\mathbf {e}} _ {1} = \frac {\mathbf {G} _ {2} \times \hat {\mathbf {e}} _ {3}}{\left\| \mathbf {G} _ {2} \times \hat {\mathbf {e}} _ {3} \right\|}, \quad \hat {\mathbf {e}} _ {2} = \hat {\mathbf {e}} _ {3} \times \hat {\mathbf {e}} _ {1} \tag {2.58}
+$$
+
+<!-- source-page: 35 -->
+
+# 2.2.3 Mass Matrix
+
+질량 행렬(mass matrix)은 물체 내에 연속적으로 분포되어 있는 물체의질량을 요소망 내 각 절점(node)에 집중 질량(lumped mass) 형식으로이산화시켜 놓은 것으로, 이 질량 행렬 내 각 행렬요소를 합하면, 물체의전체 질량과 같게 되며, 물체의 자중, 운동량, 관성력을 표현한다.
+
+진동 및 동적 좌굴 해석을 하기 위해서는 이러한 질량 행렬이필요하며, 일반적으로 일관 질량 행렬(consistent mass matrix)과 집중 질량행렬(lumped mass matrix)있다. 일관 질량 행렬은 식(2.59)와 같이 나타낼수 있다.[2] 여기서 는 밀도, N은 형상 함수 행렬을 나타낸다.
+
+$$
+\left[ \widetilde {\mathbf {M}} \right] = \int_ {V} \rho [ \mathbf {N} ] ^ {T} [ \mathbf {N} ] d V \tag {2.59}
+$$
+
+집중 질량 행렬의 경우 일관 질량 행렬을 대각화(diagonalization)함으로써 연산에 필요한 용량과 연산 시간을 줄일 수 있다는 장점이있지만[2] 본 논문에서는 물체의 강성을 줄임으로써 유연한 결과를 얻기위해 집중 질량 행렬을 사용하였다. 일관 질량 행렬을 대각화하는방법에는 다양한 방법들이 존재하며, 본 논문에서는 각각의 행을 합하는방법(row-sum technique)을 사용하였다.[3] 식(2.60)으로부터 각각의 요소에대한 일관 질량 행렬 M\~ 의 행의 합을 구한다. 그리고 이를 식(2.61)과같이 새로운 집중 질량 행렬 M 의 대각항(diagonal entries)에 대입하고,비대각항(off-diagonal entries)은 영(零)을 대입한다. 이 때 n은 요소의절점의 개수와 자유도의 곱을 나타낸다.
+
+$$
+S (i) = \sum_ {j = 1} ^ {n} \widetilde {\mathbf {M}} (i, j) \quad \text { for } i = 1, n \tag {2.60}
+$$
+
+$$
+\mathbf {M} (i, j) = S (i) \quad \text {for} i = 1, n \tag {2.61}
+$$
+
+$$
+\mathbf {M} (i, j) = 0 \quad \text {   for   } i \neq j
+$$
+
+<!-- source-page: 36 -->
+
+# 2.2.4 6-DOF Shell Element
+
+일반적으로 셀 요소는 5개의 자유도(degree of freedom)를 사용하며, 법선 벡터(normal vector)는 각 절점당 하나의 법선 벡터를 갖는다. 하지만 셀 요소를 보강재(stiffener)로 사용하는 경우, 셀 요소와 셀 요소의 결합을 위해서는 6개의 자유도가 필요하며, 이와 더불어 각 절점에서 정의되는 법선 벡터에 대한 구속 조건이 필요하다. 이에 본 논문에서는 각 절점에서 정의되는 지역 좌표계(local coordinate system)를 전역 직교 좌표계(global Cartesian coordinate system)로 변환해 줌으로써 셀 요소와 셀 요소의 결합을 구성하였다. 이 때 지역 좌표계는 $V^{1}$ , $V^{2}$ , $V^{n}$ 을 기저로 하는 좌표계로 표현된다.
+
+전역 직교 좌표계에서 정의되는 회전 자유도 $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ 와 지역 좌표계에 의해 정의되는 회전 자유도 $\alpha, \beta, \gamma$ 는 식(2.62)와 같은 관계식을 만족해야 한다.
+
+![](images/page-036_c0798e8e1b5c65528553a1952a1b69e5aa456e12a10541cd4829660e7ddef352.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+1954
+INIA UNIVERSITY
+η
+ξ
+γ
+Vⁿ
+V²
+β
+α
+θ₁
+θ₂
+e₁
+e₂
+e₃
+θ₃
+e₃
+</details>
+
+Fig. 5 Global Cartesian coordinate system and local coordinate system
+
+$$
+\theta_ {1} \mathbf {e} _ {1} + \theta_ {2} \mathbf {e} _ {2} + \theta_ {3} \mathbf {e} _ {3} = \alpha \mathbf {V} ^ {1} + \beta \mathbf {V} ^ {2} + \gamma \mathbf {V} ^ {n} \tag {2.62}
+$$
+
+<!-- source-page: 37 -->
+
+이 때 식(2.62)의 좌변과 우변에 각각 벡터 $V^{1}$ 을 곱해주면, 식(2.63)과 같이 나타낼 수 있고, 마찬가지 방법으로 $V^{2}$ , $V^{n}$ 을 곱해주면, 각각 식(2.64), (2.65)와 같이 나타낼 수 있다.
+
+$$
+\alpha = \theta_ {1} \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) + \theta_ {2} \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) + \theta_ {3} \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) \tag {2.63}
+$$
+
+$$
+\beta = \theta_ {1} \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) + \theta_ {2} \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) + \theta_ {3} \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) \tag {2.64}
+$$
+
+$$
+\gamma = \theta_ {1} \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) + \theta_ {2} \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) + \theta_ {3} \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) \tag {2.65}
+$$
+
+이를 행렬 형태로 표현해 주면 식(2.66)과 같이 쓸 수 있다.
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l} \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) \\ \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) \\ \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \theta_ {1} \\ \theta_ {2} \\ \theta_ {3} \end{array} \right\} \tag {2.66}
+$$
+
+위 식으로부터 전역 직교 좌표계에서 지역 좌표계로 변환해 주는 행렬은 식(2.67)과 같이 정의 할 수 있으며, 이 때 L 은 식(2.68)과 같다. [5]
+
+$$
+\left[ \widetilde {T} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \mathbf {1} _ {3} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ & \mathbf {L} & 0 & & & 0 \\ & & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & & \ddots & 0 & 0 \\ & \text {sym.} & & & \mathbf {1} _ {3} & 0 \\ & & & & & \mathbf {L} \end{array} \right] \tag {2.67}
+$$
+
+$$
+[ \mathbf {L} ] = \left[ \begin{array}{l} \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {1}\right) \\ \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {2}\right) \\ \left(\mathbf {e} _ {1} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) \left(\mathbf {e} _ {2} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) \left(\mathbf {e} _ {3} \cdot \mathbf {V} ^ {n}\right) \end{array} \right] \tag {2.68}
+$$
+
+만약 변위 벡터와 힘 벡터를 전역 좌표계에서 지역 좌표계로 변환해주면 각각 식(2.69), (2.70)과 같이 나타낼 수 있다. 이 때 위 첨자
+
+<!-- source-page: 38 -->
+
+e는 요소에 대해 정의 되었음을 의미한다.[4]
+
+$$
+\{\widetilde {\mathbf {u}} \} ^ {e} = \left[ \widetilde {T} \right] \{\mathbf {u} \} ^ {e} \tag {2.69}
+$$
+
+$$
+\left\{\widetilde {\mathbf {f}} \right\} ^ {e} = \left[ \widetilde {T} \right] \left\{\mathbf {f} \right\} ^ {e} \tag {2.70}
+$$
+
+그리고 강성 행렬(stiffness matrix)은 지역 좌표계에서 식(2.71)과 같은 선형 관계식으로 나타낼 수 있다.[4]
+
+$$
+\left\{\widetilde {\mathbf {f}} \right\} ^ {e} = \left[ \widetilde {\mathbf {K}} \right] ^ {e} \left\{\widetilde {\mathbf {u}} \right\} ^ {e} \tag {2.71}
+$$
+
+여기서 식(2.69)와 (2.70)을 식(2.71)에 대입해주면, 식(2.72)와 같이 나타낼 수 있고, 따라서 강성 행렬을 지역 좌표계에서 전역 좌표계로 변환해주는 관계식은 식(2.73)과 같다. [4]
+
+$$
+\left\{\mathbf {f} \right\} ^ {e} = \left[ \widetilde {T} \right] ^ {T} \left[ \widetilde {\mathbf {K}} \right] ^ {e} \left[ \widetilde {T} \right] \left\{\mathbf {u} \right\} ^ {e} \tag {2.72}
+$$
+
+$$
+\left[ \mathbf {K} \right] ^ {e} = \left[ \widetilde {T} \right] ^ {T} \left[ \widetilde {\mathbf {K}} \right] ^ {e} \left[ \widetilde {T} \right] \tag {2.73}
+$$
+
+하지만 6-자유도의 도입으로 강성 행렬 $\tilde{\mathbf{K}}^{e}$ 의 경우 여섯 번째 자유도에 해당하는 행과 열이 모두 영(雫)이 되고, 이로 인해 특이점(singularity)이 발생하게 된다. 이에 본 논문에서는 이를 방지하기 위해서 여섯 번째 자유도의 대각항(diagonal entries)에 식(2.75)와 같이 대각항 최소값의 $10^{-3}$ 비율을 갖는 값을 대입하였다.
+
+<!-- source-page: 39 -->
+
+$$
+\left[ \widetilde {\mathbf {K}} \right] ^ {e} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c} & & & & & 0 & & & & & & & & & 0 \\ & & & & & 0 & & & & & & & & & 0 \\ & & \mathbf {K} _ {1} & & & 0 & & & & \mathbf {K} _ {2} & & & & 0 \\ & & & & & 0 & & & & & & & & 0 \\ & & & & & 0 & & & & & & & & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & & & & \vdots & \ddots & & & & & & & \vdots \\ & & & & & \vdots & & \ddots & & & & & & \vdots \\ & & & & & 0 & & & & & & & & 0 \\ & & & & & 0 & & & & & & & & 0 \\ & & \mathbf {K} _ {3} & & & 0 & & & & \mathbf {K} _ {4} & & & 0 \\ & & & & & 0 & & & & & & & & 0 \\ & & & & & 0 & & & & & & & & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & d \end{array} \right] \tag {2.74}
+$$
+
+$$
+d = \min \left(\widetilde {\mathbf {K}} ^ {e} (i, i)\right) \times 1 0 ^ {- 3} \quad \text { for } i = 1, n \tag {2.75}
+$$
+
+그리고 6-자유도의 도입으로 회전 텐서를 구하는데 필요한 식(2.50)과 (2.51)은 식(2.76), (2.77)과 같은 형태가 된다.
+
+$$
+\widetilde {\theta} _ {I} = \left[ \left(\alpha_ {I}\right) ^ {2} + \left(\beta_ {I}\right) ^ {2} + \left(\gamma_ {I}\right) ^ {2} \right] ^ {\frac {1}{2}} \tag {2.76}
+$$
+
+$$
+\left[ \Theta_ {I} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} 0 & - \gamma_ {I} & \beta_ {I} \\ \gamma_ {I} & 0 & - \alpha_ {I} \\ - \beta_ {I} & \alpha_ {I} & 0 \end{array} \right] \tag {2.77}
+$$
+
+<!-- source-page: 40 -->
+
+# 2.3 Buckling Theory
+
+가느다란 기둥을 축 방향으로 누르거나 얇은 판을 판과 평행한방향으로 압축하면, 하중이 어느 크기에 도달하는 순간 갑자기 판이 횡방향으로 과도하게 휘어지는 축 방향 변위(lateral displacement)가 발생한다.물체의 이러한 거동을 좌굴 혹은 붕괴라고 정의하며 구조물의 안전성에치명적인 문제점을 야기시킨다.
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+좌굴이 발생하기 전까지 물체는 정적인 평형상태를 유지하지만, 일단좌굴이 발생하면 평형상태가 깨어지고 횡 방향으로 큰 변형이 발생하여외부 하중을 더 이상 지탱할 수 없게 된다. 이러한 좌굴은 비단 가느다란기둥이나 얇은 판의 휨 좌굴(flexural buckling)에만 국한되는 것이 아니며,물체의 국부 영역에 지역적으로 발생하는 국부 좌굴(local buckling),전단력에 의하여 야기되는 전단 좌굴(shear buckling) 그리고 비틀림에의해 발생하는 비틀림 좌굴(torsion buckling) 등이 있다.
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+한편 좌굴에 의한 물체의 변형이 구조물이 이루는 평면 내에 있느냐아니면 바깥에 있느냐에 따라 면내 좌굴(in-plane buckling) 그리고 면외좌굴(out of plane buckling)로 구분하기도 한다. 좌굴은 거의 대부분 물체의형상이나 하중 조건의 불완전성(imperfection)에 기인한다. 예를 들어,기둥의 단면 중심에 정확히 축 방향으로 집중 압축력을 가한다고 했을때, 이론적으로는 횡 방향으로 휨을 발생시킬 하중이나 모멘트 성분이전혀 없기 때문에 좌굴이 발생해서는 안 된다.
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+하지만 실제 기둥은 정확히 원형 단면이 아닐 뿐만 아니라 압축력이작용하는 지점도 정확히 축의 중심에 위치하지 않는다. 따라서기하학적인 불완전성과 축 중심에서 어느 정도 편심된 위치에 압축력이작용함에 따른 불완전함에 따라 횡 방향으로의 변위가 발생하게 된다.
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+좌굴은 물체의 가느다란 정도를 나타내는 형상 종횡비(aspect ratio)가클수록 보다 쉽게 발생한다. 다시 말해 길이가 긴 기둥이 짧은 기둥에비해 좌굴이 보다 쉽게 발생한다. 그리고 좌굴은 동일한 재질, 형상 및하중조건에서도 물체를 구속하는 경계조건(boundary condition)에 크게영향을 받는다.
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+또한 좌굴은 작용하는 힘이 정적 하중이냐 동적 하중이냐에 따라 정적