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.raw/SolidElement/SolidElement_001.md

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+<!-- source-page: 1 -->
+
+# 1. 등매개 선형 솔리드 요소
+
+3차원 부피가 있는 구조물의 모델링에 주로 사용  
+절점당 3개의 이동 변위 자유도를 가짐  
+회전 변위가 없기 때문에 보 요소나 판요소와 같이 사용시 Singular 오류 주의  
+요소 aspect ratio가 1에 가까울수록 결과가 정확
+
+# 2. 정식화
+
+# 1) 요소 위치와 변위
+
+3차원 솔리드 요소의 위치 는 아래와 같이 형상 함수를 이용해 표현할 수 있다.x
+
+$$
+\begin{array}{l} \mathbf {x} = \{x, y, z \} \\ \mathbf {x} (\xi) = \sum N _ {i} (\xi) \mathbf {x} _ {i} \\ \end{array}
+$$
+
+또한 Isoparametric 요소의 변위도 아래와 같이 형상 함수를 이용해 표현 할 수 있다. 솔리드 요소는 회전 변위 없이 이동 변위만 가진다.
+
+$$
+\begin{array}{l} \mathbf {u} = \{u, v, w \} \\ \mathbf {u} (\xi) = \sum N _ {i} (\xi) \mathbf {u} _ {i} \\ \end{array}
+$$
+
+여기서 $N _ { i }$ 은 솔리드 요소 절점에서의 형상 함수이고 $\mathbf { x } _ { i }$ 는 절점의 위치, $\mathbf { u } _ { i }$ 는 절점의 변위 벡터이다.
+
+솔리드 요소는 4절점 사면체, 5절점 피라미드, 6절점 삼각기둥, 8절점 육면체만 설명하며 요소Natural 좌표계와 형상 함수는 아래와 같다.
+
+<!-- source-page: 2 -->
+
+![](page-002_b675830b115a71328c3bc11ff6bd8709caf77d42180e774c757f789d3235fe2d.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+ζ
+(0, 0, 1)
+4
+8
+10
+9
+(0, 0, 0)
+7
+3
+(0, 1, 0)
+1
+5
+6
+2
+(1, 0, 0)
+η
+ξ
+</details>
+
+![](page-002_9318751e65cfea739fde3d31e1361e6cbc1d973de31906f71b4009f547ba24a0.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+(0, 0, 1)
+5
+12
+13
+10
+4
+11
+3
+(1, 1, 0)
+ξ
+η
+ξ
+(0, 0, 0)
+9
+1
+(-1, -1, 0)
+6
+2
+7
+</details>
+
+![](page-002_08e5174beb53fe657bd94f1cf1ec7c2d6d1d2256339eb2405a3ea523e54defcc.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+ξ
+(0, 0, 1)
+15
+6
+13
+14
+(0, 0, 0)
+10
+12
+ξ
+(1, 0, -1)
+2
+11
+7
+8
+9
+3
+(0, 1, -1)
+</details>
+
+![](page-002_302dca6f3cfa5fc85cb9d3536a4208ac40091db44f56c00a00394e2d045a19a5.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+20
+8
+19
+7
+5
+17
+6
+18
+15
+16
+η
+ξ
+14
+12
+4
+11
+3
+1
+9
+2
+10
+</details>
+
+4절점 사면체
+
+$$
+N _ {1} = 1 - \xi - \eta - \zeta \quad N _ {2} = \xi \quad N _ {3} = \eta \quad N _ {4} = \zeta
+$$
+
+5절점 피라미드
+
+$$
+N _ {1} = \frac {1}{4} \{(1 - \xi) (1 - \eta) - \zeta + \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \} \quad N _ {2} = \frac {1}{4} \{(1 + \xi) (1 - \eta) - \zeta - \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \}
+$$
+
+$$
+N _ {3} = \frac {1}{4} \{(1 + \xi) (1 + \eta) - \zeta + \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \} \quad N _ {4} = \frac {1}{4} \{(1 - \xi) (1 + \eta) - \zeta - \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \}
+$$
+
+$$
+N _ {5} = \zeta
+$$
+
+6절점 삼각기둥
+
+$$
+\lambda = 1 - \xi - \eta
+$$
+
+$$
+N _ {1} = \frac {\lambda}{2} (1 - \zeta) \quad N _ {2} = \frac {\xi}{2} (1 - \zeta) \quad N _ {3} = \frac {\eta}{2} (1 - \zeta)
+$$
+
+$$
+N _ {4} = \frac {\lambda}{2} (1 + \zeta) \qquad N _ {5} = \frac {\xi}{2} (1 + \zeta) \qquad N _ {6} = \frac {\eta}{2} (1 + \zeta)
+$$
+
+8절점 육면체
+
+$$
+N _ {1} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) \quad N _ {2} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta)
+$$
+
+$$
+N _ {3} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) \qquad N _ {4} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta)
+$$
+
+$$
+N _ {5} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) \quad N _ {6} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta)
+$$
+
+<!-- source-page: 3 -->
+
+$$
+N _ {7} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) \quad N _ {8} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta)
+$$
+
+# 2) 변형률-변위 관계
+
+솔리드 요소의 변형률-변위의 관계는 아래와 같이 표현할 수 있다.
+
+$$
+\varepsilon_ {x x} = \frac {\partial u}{\partial x}
+$$
+
+$$
+\varepsilon_ {y y} = \frac {\partial v}{\partial y}
+$$
+
+$$
+\varepsilon_ {z z} = \frac {\partial w}{\partial z}
+$$
+
+$$
+\varepsilon_ {x y} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial u}{\partial y} + \frac {\partial v}{\partial x},\right)
+$$
+
+$$
+\varepsilon_ {y z} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial v}{\partial z} + \frac {\partial w}{\partial y},\right)
+$$
+
+$$
+\varepsilon_ {x z} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial u}{\partial z} + \frac {\partial w}{\partial x}\right)
+$$
+
+위 식들을 정리해 행렬 형태로 나타내면 아래와 같다.
+
+$$
+\varepsilon = \mathbf {B u}
+$$
+
+$$
+= \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} u _ {i} \\ v _ {i} \\ w _ {i} \\ . \\ . \\ . \end{array} \right\}
+$$
+
+위의 형상 함수들은 모두 Natural Coordinates에 대해 정의되었기 때문에 아래와 같은 관계를 이용해 형상 함수들의 미분을 표현할 수 있다.
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{c} \frac {\partial}{\partial \xi} \\ \frac {\partial}{\partial \eta} \\ \frac {\partial}{\partial \eta} \end{array} \right\} = \mathbf {J} \left\{ \begin{array}{c} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z} \end{array} \right\} \qquad \mathbf {J} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial x}{\partial \xi} & \frac {\partial y}{\partial \xi} & \frac {\partial z}{\partial \xi} \\ \frac {\partial x}{\partial \eta} & \frac {\partial y}{\partial \eta} & \frac {\partial z}{\partial \eta} \\ \frac {\partial x}{\partial \zeta} & \frac {\partial y}{\partial \zeta} & \frac {\partial z}{\partial \zeta} \end{array} \right]
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z} \end{array} \right\} = \frac {1}{| \mathbf {J} |} \mathbf {J} ^ {- 1} \left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial}{\partial \xi} \\ \frac {\partial}{\partial \eta} \\ \frac {\partial}{\partial \eta} \end{array} \right\}
+$$
+
+<!-- source-page: 4 -->
+
+# 3) 응력-변형률 관계
+
+응력과 변형률의 관계는 Hooke's 법칙에 의해 아래와 같이 나타낼 수 있다.
+
+$$
+\boldsymbol {\sigma} = \mathbf {D} \boldsymbol {\varepsilon}
+$$
+
+$$
+\pmb {D} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 - \nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1 - \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1 - \nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} \end{array} \right]
+$$
+
+# 4) 강성 행렬
+
+솔리드 요소의 강성 행렬은 아래 식을 통해 계산 할 수 있다.
+
+$$
+\begin{array}{l} \mathbf {K} = \int_ {V} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} d V \\ = \iiint \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} | \mathbf {J} | d \xi d \eta d \zeta \\ \end{array}
+$$
+
+위 식은 가우스 적분을 통해 계산하며 각 요소별 가우스 적분점은 아래와 같다.
+
+4절점 사면체 1차 형상함수 적분점 (1점 적분)
+
+$$
+g _ {1} = \{0. 2 5, 0. 2 5, 0. 2 5 \} \quad w _ {1} = \frac {1}{6}
+$$
+
+5절점 피라미드 1차 형상함수 적분점 (8점 적분)
+
+$$
+a = \left\{0. 8 7 7 4 8 5 1 7 7 3 4 4 5 5 9, 0. 4 5 5 8 4 8 1 5 5 9 8 8 7 7 \right\}
+$$
+
+$$
+b = \left\{0. 2 3 2 5 4 7 4 5 1 2 5 3 5 0 8, 0. 1 0 0 7 8 5 8 8 2 0 7 9 8 2 5 \right\}
+$$
+
+$$
+g _ {1} = \left\{- \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, - \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {1} \right\} \quad w _ {1} = b _ {1}
+$$
+
+$$
+g _ {2} = \left\{\frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, - \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {1} \right\} \quad w _ {2} = b _ {1}
+$$
+
+$$
+g _ {3} = \left\{\frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {1} \right\} \quad w _ {3} = b _ {1}
+$$
+
+$$
+g _ {4} = \left\{- \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {1} \right\} \quad w _ {4} = b _ {1}
+$$
+
+$$
+g _ {5} = \left\{- \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, - \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {2} \right\} \quad w _ {5} = b _ {2}
+$$
+
+$$
+g _ {6} = \left\{\frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, - \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {2} \right\} \quad w _ {6} = b _ {2}
+$$
+
+$$
+g _ {7} = \left\{\frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {2} \right\} \quad w _ {7} = b _ {2}
+$$
+
+<!-- source-page: 5 -->
+
+$$
+g _ {8} = \left\{- \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {2} \right\} \quad w _ {8} = b _ {2}
+$$
+
+6절점 삼각기둥 1차 형상함수 적분점 (6점 적분)
+
+$$
+g _ {1} = \left\{\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {1} = \frac {1}{6}
+$$
+
+$$
+g _ {2} = \left\{\frac {2}{3}, \frac {1}{6}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {2} = \frac {1}{6}
+$$
+
+$$
+g _ {3} = \left\{\frac {1}{6}, \frac {2}{3}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {3} = \frac {1}{6}
+$$
+
+$$
+g _ {4} = \left\{\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {4} = \frac {1}{6}
+$$
+
+$$
+g _ {5} = \left\{\frac {2}{3}, \frac {1}{6}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {5} = \frac {1}{6}
+$$
+
+$$
+g _ {6} = \left\{\frac {1}{6}, \frac {2}{3}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {6} = \frac {1}{6}
+$$
+
+8절점 육면체 1차 형상함수 적분점 (8점 적분)
+
+$$
+g _ {1} = \left\{- \frac {1}{\sqrt {3}} - \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {1} = 1. 0
+$$
+
+$$
+g _ {2} = \left\{\frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {2} = 1. 0
+$$
+
+$$
+g _ {3} = \left\{\frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {3} = 1. 0
+$$
+
+$$
+g _ {4} = \left\{- \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {4} = 1. 0
+$$
+
+$$
+g _ {5} = \left\{- \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {5} = 1. 0
+$$
+
+$$
+g _ {6} = \left\{\frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {6} = 1. 0
+$$
+
+$$
+g _ {7} = \left\{\frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {7} = 1. 0
+$$
+
+$$
+g _ {8} = \left\{- \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {8} = 1. 0
+$$
+
+따라서 강성행렬은 다음과 같이 계산할 수 있다.
+
+$$
+\mathbf {K} = \sum w \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D B J}
+$$
+
+# 5) 비적합 모드
+
+비적합 모드는 솔리드 요소의 잠김 현상을 보완하기 위해 사용하며 요소 내에 추가 자유도를 도입하여 계산할 수 있다. 6절점 삼각기둥과 8점점 육면체 요소에서 사용되며 비적합 모드에 대한 변위와 보간 함수는 아래와 같다.
+
+<!-- source-page: 6 -->
+
+6절점 삼각기둥
+
+$$
+\mathbf {u} _ {i n c} = \left\{\alpha_ {1}, \beta_ {1}, \gamma_ {1} \right\}
+$$
+
+$$
+u = \sum N _ {i} u _ {i} + P _ {1} \alpha_ {1} \quad v = \sum N _ {i} v _ {i} + P _ {1} \beta_ {1} \quad w = \sum N _ {i} w _ {i} + P _ {1} \gamma_ {1}
+$$
+
+$$
+P _ {1} = 1 - \zeta^ {2}
+$$
+
+8절점 육면체
+
+$$
+\mathbf {u} _ {i n c} = \left\{\alpha_ {1}, \beta_ {1}, \gamma_ {1}, \alpha_ {2}, \beta_ {2}, \gamma_ {2}, \alpha_ {3}, \beta_ {3}, \gamma_ {3} \right\}
+$$
+
+$$
+u = \sum N _ {i} u _ {i} + \sum P _ {i} \alpha_ {i} \quad v = \sum N _ {i} v _ {i} + \sum P _ {i} \beta_ {i} \quad w = \sum N _ {i} w _ {i} + \sum P _ {i} \gamma_ {i}
+$$
+
+$$
+P _ {1} = 1 - \xi^ {2} \quad P _ {2} = 1 - \eta^ {2} \quad P _ {3} = 1 - \zeta^ {2}
+$$
+
+$$
+\mathbf {B} _ {i n c} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial P _ {i}}{\partial z} \\ \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {i}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial P _ {i}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} \end{array} \right]
+$$
+
+따라서 비적합 모드가 포함된 변형률-변위 행렬은 아래와 같이 표현 할 수 있다.
+
+$$
+\mathbf {B} _ {t o t} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {B} & \mathbf {B} _ {i n c} \end{array} \right]
+$$
+
+$$
+\mathbf {K} = \sum w \mathbf {B} _ {t o t} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {t o t} \mathbf {J}
+$$
+
+비적합 모드에 대한 자유도는 전체 행렬 분해시 계산량을 줄이기 위해 정적 응축을 통해 제거하여계산하게 된다.