| 선형 정적 구조해석 | Linear static structural analysis |
| 모드 해석 | Normal mode analysis |
| 선형 좌굴 해석 | Linear buckling analysis |
| 선형 과도응답 해석(직접법/모드법) | Linear transient analysis (direct/modal) |
| 주파수 응답 해석(직접법/모드법) | Frequency response analysis (direct/modal) |
| 응답 스펙트럼 해석 | Response spectrum analysis |
| 랜덤 해석(직접법/모드법) | Random analysis (direct/modal) |
| 비선형 정상상태 열전달 해석 | Nonlinear steady-state heat transfer analysis |
| 비선형 과도상태 열전달 해석 | Nonlinear transient heat transfer analysis |
| 비선형 정적 해석 | Nonlinear static analysis |
| 비선형 준정적 해석 | Nonlinear quasi-static analysis |
| 비선형 동해석(외연적 시간적분법) | Nonlinear explicit transient analysis |
| 비선형 동해석(내연적 시간적분법) | Nonlinear implicit transient analysis |
+
+
+
+또한, 표 1.1의 해석기능 조합을 이용하여 프리스트레스 해석(prestressedanalysis) 또는 열응력 해석(thermal stress analysis)과 같이 두 가지 이상의 서로다른 해석간의 조합이 가능하다.
+
+midas NFX를 비롯한 범용 유한요소 해석 프로그램을 이용하여 문제를 푸는 과정은 일반적으로 다음과 같다.
+
+► 해석 모델 정의 (node, element, mesh, load, boundary condition)
+► 해석 종류 정의 (analysis case)
+► 해석 실행 (solve)
+► 결과 분석 (post-mode)
+
+본 매뉴얼은 위의 각 항목을 이해하기 위한 알고리즘, 기술적인 내용 또는 이론을 중심으로 이루어져 있다.
+
+
+
+# 1.1 단위계
+
+해석 모델의 정의를 위해서는 구조물의 크기, 재료의 성질 등이 필요한데 이들물리량(physical quantity)에 대한 정보는 일반적으로 특정 단위계(unit system)를기준으로 정의된다. midas NFX에서는 힘/길이/에너지/시간에 대한 단위 변환이가능하므로, 해석 모델의 정의 과정 중에 사용자가 필요에 따라 단위계를 바꾸어 모델링을 진행할 수 있다. 해석 모델의 정의를 마치고 해석을 실행하기 전에는 다음과 같이 힘/길이/에너지/시간에 대한 값에 대해 English 단위계 또는 SI단위계로 통일시켜야 한다.
+
+표 1.1.1 English/SI 체계에서 사용하는 단위
+
+| 좌표계 종류 | 설명 |
| 전역 좌표계GCS : global coordinate system | 모델 전체를 하나의 동일한 기준으로 표현하는 좌표계, 직교 좌표계 |
| 절점 변위 좌표계NDCS : nodal displacement coordinate system | 절점의 운동방향을 기술하는 좌표계직교/원통 좌표계 |
| 요소 좌표계ECS : element coordinate system | 요소를 구성하는 절점 위치에 의해 결정되는 좌표계, 직교 좌표계 |
| 재료 좌표계MCS : material coordinate system | 요소에 적용되는 재료의 방향을 정의하는 좌표계, 직교/원통 좌표계 |
| 요소 결과 좌표계ERCS : element result coordinate system | 요소 결과를 출력하는 좌표계직교/원통 좌표계 |
| 요소 기술 좌표계EFCS : element formulation coordinate system | 유한요소 정식화에 사용되는 좌표계전역 좌표계 또는 요소 좌표계와 같음 |
+
+이 중 요소 기술 좌표계는 해석기(solver)에서 사용하는 좌표계이며 midas NFX의 사용법과는 관련이 없으나 본 매뉴얼의 내용을 이해하는데 도움이 된다. 열전달 해석의 경우에는 절점의 자유도가 온도이므로 절점 변위 좌표계의 설정은해석과 무관하나 재료 좌표계, 요소 결과 좌표계 등은 해석과 결과에 영향을 줄
+
+
+
+수 있다. 요소 좌표계, 재료 좌표계 그리고 요소 결과 좌표계에 대한 설명은Chapter 3에 자세하게 기술되어 있다.
+
+
+
+| 결과 항목 | 설명 |
| Stress | Axial stress | 위치 : A-B 단 $\sigma_{xx}$ |
| Torsional stress | 위치 : A-B 단비틀림 응력 계수 $c$ 로부터 계산( $\tau = Tc / J$ ) |
| Shear stress | 위치 : A-B 단전단 단면적 계수와 단면적으로 부터 계산 $\tau_{xy} = Q_y / (S_{ky}A)$ , $\tau_{xz} = Q_z / (S_{xz}A)$ |
| Point stress | 위치 : A-B 단사용자 지정 위치(C,D,E,F)에서 굽힘에 의한 응력 $\sigma_{xx}$ |
| Max/Min stress | 위치 : A-B 단C~F 위치 중 Axial stress 와 Point stress 합의 최대/최소 |
| Von-mises stress | 위치 : A-B 단 $\sigma_v = \sqrt{\sigma_{xx}^2 + 3(\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2 + \tau^2)}$ |
| Strain | Axial strain | 위치 : A-B 단 $\varepsilon_{xx}$ |
| Torsional strain | 위치 : A-B 단 |
| Shear strain | 위치 : A-B 단 |
| Point strain | 위치 : A-B 단사용자 지정 위치(C,D,E,F)에서 굽힘에 의한 변형률 $\varepsilon_{xx}$ |
| Max/Min strain | 위치 : A-B 단C~F 위치 중 Axial strain 과 Point strain 합의 최대/최소 |
| Von-mises strain | 위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\varepsilon_v$ ) |
+
+
+
+| 결과 항목 | 설명 |
| Stress | In-plane stress | 위치 : 상/하단, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\tau_{xy}$ |
| Normal stress | 위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\sigma_{zz}$ |
| Principal stress | 위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , 주응력 방향 |
| Von-Mises stress | 위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\sigma_v$ |
| Max shear stress | 위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\tau_{max}$ |
| Fiber distance | 위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심두께 방향으로 응력 계산 위치 |
| Maximum values | 위치 : 꽃지점/요소중심상/하단 중 최대값, $(P_1$ , $P_2$ , $\sigma_v$ , $\tau_{max}$ ) |
| Safety factor | 위치 : 꽃지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_2$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산상/하단 중 최소값 |
+
+
+
+| Strain | In-plane strain | 위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\gamma_{xy}$ |
| Normal strain | 위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{zz}$ |
| Principal strain | 위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , 주변형률 방향 |
| Von-Mises strain | 위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$ |
| Max shear strain | 위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$ |
| Maximum values | 위치: 꼭지점/요소중심상/하단 중 최대값, $(E_1, E_2, \varepsilon_v, \gamma_{\text{max}})$ |
| Force/Moment | In-plane force | 위치: 꼭지점/요소중심 $N_{xx}$ , $N_{yy}$ , $N_{xy}$ |
| Bending moment | 위치: 꼭지점/요소중심 $M_{xx}$ , $M_{yy}$ , $M_{xy}$ |
| Shear force | 위치: 꼭지점/요소중심 $Q_{zx}$ , $Q_{zy}$ |
| Misc. | Strain energy | 위치: 요소 중심 |
| Total percent energy | 위치: 요소 중심 |
| Energy density | 위치: 요소 중심 |
+
+
+
+
+
+| 결과 항목 | 설명 |
| Stress | In-plane stress | 위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\tau_{xy}$ |
| Principal stress | 위치: 꼭지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , 주응력 방향 |
| Von-Mises stress | 위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ |
| Max shear stress | 위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_{max}$ |
| Safety factor | 위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_2$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산 |
| Strain | In-plane strain | 위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\gamma_{xy}$ |
| Principal strain | 위치: 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , 주변형률 방향 |
| Von-Mises strain | 위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$ |
| Max shear strain | 위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_{max}$ |
+
+• 비선형 해석
+Surface 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다.
+
+
+
+표 3.12.2 Surface 요소의 비선형해석 결과 항목
+
+| 결과 항목 | 설명 |
| Stress | Stress component | 위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\sigma_{\theta\theta}$ , $\tau_{xy}$ |
| Principal stress | 위치 : 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$ |
| Von-Mises stress | 위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ |
| Max shear stress | 위치 : 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$ |
| Safety factor | 위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ 또는 $P_{1}$ , $P_{2}$ , $\sigma_{\theta\theta}$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산 |
| Strain | Strain component | 위치 : 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\varepsilon_{\theta\theta}$ , $\gamma_{xy}$ |
+
+
+
+| 결과 항목 | 설명 |
| Stress | Stress component | 위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\sigma_{zz}$ , $\tau_{xy}$ , $\tau_{yz}$ , $\tau_{zx}$ |
| Principal stress | 위치: 꼭지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , 주응력 방향 |
| Von-Mises stress | 위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ |
| Max shear stress | 위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$ |
| Octahedral stress | 위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_o$ |
| Mean pressure | 위치: 꼭지점/요소중심 $p_0$ |
| Safety factor | 위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_3$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산 |
| Strain | Strain component | 위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\varepsilon_{zz}$ , $\gamma_{xy}$ , $\gamma_{yz}$ , $\gamma_{zx}$ |
| Principal strain | 위치: 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , 주변형률 방향 |
| Von-Mises strain | 위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$ |
| Max shear strain | 위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$ |
| Octahedral strain | 위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_o$ |
| Mean | 위치: 꼭지점/요소중심 |
+
+
+
+| 결과 항목 | 설명 |
| Stress | In-plane stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{11}$ , $\sigma_{22}$ , $\tau_{12}$ |
| Transverse shear stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{1z}$ , $\tau_{2z}$ |
| Principal stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$ |
| Von-Mises stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ |
| Max shear stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{\max}$ |
| Strain | In-plane strain | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{22}$ , $\gamma_{12}$ |
| Principal strain | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $E_{1}$ , $E_{2}$ , 주변형률 방향 |
+
+
+
+ | Von-Mises strain | 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{v}$ |
| Max shear strain | 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$ |
| Force/Moment | In-plane force | 위치 : 꼭지점/요소중심 $N_{xx}$ , $N_{yy}$ , $N_{xy}$ |
| Bending moment | 위치 : 꼭지점/요소중심 $M_{xx}$ , $M_{yy}$ , $M_{xy}$ |
| Shear force | 위치 : 꼭지점/요소중심 $Q_{xz}$ , $Q_{yz}$ |
| Misc. | Failure index/strength ratio | 위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심Tsai-Wu, Tsai-Hill, Hoffman, max-strain, max-stress 또는 LaRC02 |
+
+
+
+# • 비선형 해석
+
+Layered shell 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 탄소성 재료를 적용할 때에는 각 층마다 Simpson 적분점 개수를정의할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다.
+
+표 3.16.2 Layered shell 요소의 비선형해석 결과 항목
+
+| 결과 항목 | 설명 |
| Stress | Stress component | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{11}$ , $\sigma_{22}$ , $\sigma_{33}$ , $\tau_{12}$ , $\tau_{23}$ , $\tau_{31}$ |
| Principal stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , 주응력 방향 |
| Von-Mises stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ |
| Max shear stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$ |
| Octahedral stress | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{o}$ |
| Mean pressure | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $p_{0}$ |
| Strain | Strain component | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{22}$ , $\varepsilon_{33}$ , $\gamma_{12}$ , $\gamma_{23}$ , $\gamma_{31}$ |
| Principal strain | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ , 주변형률 방향 |
| Von-Mises strain | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{v}$ |
| Max shear strain | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$ |
| Octahedral strain | 위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{o}$ |
+
+
+
+| 요소 종류 | 내력 성분 | 자유도 성분 |
| Rod | 축방향 힘 $N_{xx}$ | $v, w$ |
| Bar | 축방향 힘 $N_{xx}$ | $v, w, \theta_{y}, \theta_{z}$ |
| Pipe | 축방향 힘 $N_{xx}$ | $v, w, \theta_{y}, \theta_{z}$ |
| Membrane, Plane strain | 면내방향 합력 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$ | $u, v, w$ |
| Shell | 면내방향 합력 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$ 급힘 모멘트 $M_{xx}, M_{yy}, M_{xy}$ 전단력 $Q_{zx}, Q_{yz}$ | $u, v, w, \theta_{x}, \theta_{y}$ |
| Axisymmetric solid | 면내 응력 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$ 둘레방향 응력 $\sigma_{\theta\theta}$ | $u, w$ |
| Solid | 응력 성분 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}$ | $u, v, w$ |
+
+이 밖에 spring, bush, rigid 요소 및 접촉조건에 대해서는 기하학적 비선형 해석에 대해서만 기하강성을 고려한다.
+
+• 구조 요소에 대한 기하강성 계산방법
+
+midas NFX에서는 Jaumann 응력률(stress rate)을 객관(objective) 응력률로 가정한 개정 라그란지안 방법(updated Lagrangian formulation)에 기초하여 기하강성을 계산한다. 예를 들어 solid 요소의 내력은 다음과 같이 응력과 가상 변형으로
+
+
+
+부터 계산한다.
+
+$$
+\delta u _ {i} f _ {i} = \int \sigma_ {i j} \delta D _ {i j} d V \tag {3.19.1}
+$$
+
+$\delta D_{ij}$ : 가상 변형 $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\delta u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial\delta u_{j}}{\partial x_{i}}\right)$
+
+내력의 접선(tangent) 기울기가 강성에 해당하므로 다시 한번 변분을 취하면 피적분항은 다음과 같다.
+
+$$
+d \sigma_ {i j} \delta D _ {i j} + \sigma_ {i j} d \delta D _ {i j} \tag {3.19.2}
+$$
+
+위식에서 적분 영역의 변분은 무시하였다. Solid 요소는 EFCS가 GCS이므로 구조물의 변형과 무관하게 고정되어 있다. 그러므로 $d\delta D_{ij}=0$ 이고, 첫 번째 항에서 객관 응력률에 의한 응력 증분(increment)는 다음과 같다.
+
+$$
+d \sigma_ {i j} = d w _ {i k} \sigma_ {k j} + \sigma_ {i j} d w _ {j k} + C _ {i j k l} d D _ {k l} \tag {3.19.3}
+$$
+
+$\delta w_{ij}$ : 증분 스픈(spin) $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\delta u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial\delta u_{j}}{\partial x_{i}}\right)$
+
+(3.19.2)와 (3.19.3)을 (3.19.1)에 대입하여 정리하면 다음의 접선강성을 얻을 수 있다.
+
+$$
+\delta u _ {i} K _ {i j} d u _ {j} = \int \delta D _ {i j} C _ {i j k l} d D _ {k l} + \sigma_ {i j} \left(\delta L _ {k i} d L _ {k j} - 2 \delta D _ {i k} d D _ {k j}\right) d V \tag {3.19.4}
+$$
+
+$\delta L_{ij}$ : 증분 변위 구배(displacement gradient) $\delta D_{ij} + \delta w_{ij}$
+
+피적분 값의 첫 번째 항은 재료강성(material stiffness)이라 하며 두 번째 항이 기하강성이다. 식에서도 알 수 있듯이 기하강성은 응력의 크기에 비례하기 때문에 이 성질을 이용하여 선형 좌굴해석이 가능하다.
+
+
+
+\- 강체 요소에 대한 기하강성 계산방법
+
+강체 요소에 대한 기하강성은 종속절점에 작용하는 힘에 의해 만들어진다. 종속절점에 작용하는 힘과 모멘트를 $f^{s}, m^{s}$ 라 할 때 이로 인한 가상일은 다음과 같다.
+
+$$
+\delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot \delta \mathbf {u} ^ {s} + \mathbf {m} ^ {s} \cdot \delta \boldsymbol {\theta} ^ {s} \tag {3.19.5}
+$$
+
+$\delta\mathbf{u}^{s},\delta\boldsymbol{\theta}^{s}$ : 종속절점의 변위와 회전
+
+가상일에 대해 다시 변분을 취하면 다음과 같이 강성 계산을 위한 기본 식을 얻을 수 있다.
+
+$$
+d \delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} + \mathbf {m} ^ {s} \cdot d \delta \boldsymbol {\theta} ^ {s} = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} \tag {3.19.6}
+$$
+
+종속절점 변위를 주절점 변위와 회전으로 치환하기 위해 다음 식을 이용한다.
+
+$$
+\delta \mathbf {u} ^ {s} = \delta \mathbf {u} ^ {m} + \delta \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (\mathbf {x} ^ {s} - \mathbf {x} ^ {m}) \tag {3.19.7}
+$$
+
+위식을 다시 변분하여 (3.17.6)에 대입하면 강성을 계산할 수 있다.
+
+$$
+d \delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} = \mathbf {f} ^ {s} \cdot (\delta \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (d \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (\mathbf {x} ^ {s} - \mathbf {x} ^ {m}))) \tag {3.19.8}
+$$
+
+강체요소의 기하강성은 종속절점에 작용하는 힘과 상대거리에 의해 구성되며 주절점의 회전 자유도와 관련 있음을 알 수 있다.
+
+종속절점의 일부 자유도를 구속으로부터 해제한 경우 강체요소의 움직임을 따라 해제된 자유도 방향 또한 회전하게 된다. 그림 3.19.1과 같이 주절점의 회전에 의해 종속절점의 절점변위 좌표계(NDCS)가 움직임을 알 수 있으며, 구속 해제 또한 변화하는 좌표계를 따라 이루어진다. 또는, 강체 요소를 이용하여 일부 자유도만을 구속했을 때, 구속 방향이 일정하게 유지되지 않고 계속적으로 변화하게 된다.
+
+
+
+
+
+| 결과 항목 | 설명 |
| Element electric results | Electric current density component | 위치:요소중심 $J_x$ , $J_y$ , $J_z$ |
| Electric current density resultant | 위치:요소중심 $\| \mathbf{J} \| = \sqrt{J_x^2 + J_y^2 + J_z^2}$ |
| Electric potential gradient component | 위치:요소중심 $E_x$ , $E_y$ , $E_z$ |
| Electric potential gradient resultant | 위치:요소중심 $\| \mathbf{E} \| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}$ |
+
+
+
+# 3.22 응력 오차(Stress error)
+
+구조물의 유한요소 해석에서 요소 크기 및 분포는 결과에 가장 큰 영향을 미치는 요인이 된다. 일반적으로 유한요소 메쉬의 적절성은 응력 오차로 판단할 수있으나, 정확한 응력 오차(stress error)를 계산하는 것은 불가능하다. 그러나 유한요소법에서 계산되는 응력의 분포는 그림 3.22.1과 같은 전형적인 모양을 가지므로, 이를 이용하여 응력 오차를 계산한다.
+
+
+
+| 시험법 | 변형률 | 변형률(Blatz-ko) | 응력 |
| 단축 인장 | $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ | $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ | $T = F / A_0$ |
| 등 2 축 인장 | $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ | $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ | $T = F / A_0$ |
| 단순 전단 | $\varepsilon = \gamma$ | $\varepsilon = \gamma$ $\kappa = \Delta t / t_0$ | $T = F / A_0$ |
| 순수 전단 | $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ | $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ | $T = F / A_0$ |
| 부피 압축 | $\lambda = (V / V_0)^{1/3}$ | $\lambda = (V / V_0)^{1/3}$ | $T = P$ |
+
+# ▶ 근사오차의 정의
+
+최소자승법을 적용하기 위해서는 시험 데이터와 재료모델로부터 계산된 응력간의 오차를 정량화 해야 한다. midas NFX에서는 상대 오차와 절대 오차를 모두사용할 수 있다.
+
+다음은 재료모델로부터 계산된 응력 $T_{i}(A)$ 를 시험치 $T_{i}^{test}$ 로 나누어 오차를 계산하는 상대 오차를 나타낸다.
+
+
+
+$$
+E = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(1 - \frac {T _ {i} (A)}{T _ {i} ^ {t e s t}}\right) ^ {2} \tag {4.4.11}
+$$
+
+상대오차를 사용하게 되면 응력 0 부근의 오차를 강하게 반영하게 되므로 변형이 작은 부분의 시험 데이터와 잘 일치하게 된다. 다음은 계산된 응력 $T_{i}(A)$ 와 시험치 $T_{i}^{test}$ 의 차이를 오차로 사용하는 절대오차를 나타낸다.
+
+$$
+E = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(T _ {i} (A) - T _ {i} ^ {\text { test }}\right) ^ {2} \tag {4.4.12}
+$$
+
+절대오차를 사용하게 되면 모든 영역의 오차를 고르게 반영하므로 전체적으로 시험 데이터와 일치하는 재료상수를 얻을 수 있다.
+
+# ▶ 특이값(singular value) 제외방법
+
+최소 자승법에서는 시험데이터의 불완전성으로 인하여 재료상수 계산에 큰 오차가 생겨날 수 있으나, 선형 최소 자승법에서는 이러한 위험 요소를 특이값 제외를 통하여 해결할 수 있다. 그러나 특이값 제외를 잘못 이용하게 되면 실제로 중요한 시험 데이터의 분포와 일치하지 않는 재료상수를 얻게 될 수도 있으므로, 항상 근사 결과를 확인하며 조절해야 한다.
+
+
+
+# 4.5 열전도 재료의 성질
+
+열전도(conduction) 요소에 사용되는 재료는 등방성과 이방성으로 구분되어 있다. 열전도 재료는 구조 재료와 짝을 이루어 정의하게 되며 다음의 표는 구조 재료와 열전도 재료간의 관계를 정리한 것이다.
+
+표 4.5.1 구조 재료와 열전도 재료의 관계
+
+| Matrix cracking | Matrix tension $\sigma_{22} \geq 0$ | Matrix compression, $\sigma_{22} < 0$ |
| $FI_M = \left( \frac{\sigma_{22}}{Y} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{12}}{S^L} \right)^2$ | $\sigma_{11} < Y'$ | $\sigma_{11} \geq Y'$ |
| $FI_M = \left( \frac{\tau_{eff}^{mT}}{S^T} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{eff}^{mL}}{S^L} \right)^2$ | $FI_M = \left( \frac{\tau_{eff}^T}{S^T} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{eff}^L}{S^L} \right)^2$ |
| Fiber failure | Fiber tension $\sigma_{11} \geq 0$ | Fiber compression, $\sigma_{11} < 0$ |
| $FI_F = \frac{\varepsilon_{11}}{\varepsilon_1^T}$ | $\sigma_{22}^{m} < 0$ | $\sigma_{22}^{m} \geq 0$ |
| $FI_F = \left\langle \frac{\left| \tau_{12}^{m} \right| + \eta^L \sigma_{22}^{m}}{S^L} \right\rangle$ | $FI_F = \left( \frac{\sigma_{22}^{m}}{Y} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{12}^{m}}{S^L} \right)^2$ |
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+위 표에서 유효응력과 횡방향 전단 강도는 각각 다음과 같이 표현된다.
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+\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {e f f} ^ {T} = \left\langle - \sigma_ {2 2} \cos \alpha \left(\sin \alpha - \eta^ {T} \cos \alpha\right) \right\rangle \\ \tau_ {e f f} ^ {L} = \left\langle \cos \alpha \left(\left| \tau_ {1 2} \right| + \eta^ {L} \sigma_ {2 2} \cos \alpha\right) \right\rangle \end{array} \right. \tag {4.8.2}
+$$
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+$$
+S ^ {T} = Y ^ {\prime} \cos \alpha_ {0} \left(\sin \alpha_ {0} + \frac {\cos \alpha_ {0}}{\tan 2 \alpha_ {0}}\right) \tag {4.8.3}
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+$\alpha_{0}$ 는 기지방향 단축 압축 하중 하에서 파손면의 각도이며 일반적으로 53°가 사용된다. $\alpha$ 는 파손 지수가 최대가 되도록 결정되며 $\eta^{T}, \eta^{L}$ 는 다음과 같다.
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+\eta^ {T} = - 1 / \tan 2 \alpha_ {0}, \eta^ {T} = \left. ^ {- S ^ {L} \cos 2 \alpha_ {0}} \right/ _ {Y ^ {\prime} \cos^ {2} \alpha_ {0}} \tag {4.8.4}
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+또한 파손면에서의 응력은 다음과 같다.
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+\sigma_ {1 1} ^ {m} = \cos^ {2} \varphi \sigma_ {1 1} + \sin^ {2} \varphi \sigma_ {2 2} + 2 \sin \varphi \cos \varphi \tau_ {1 2}
+$$
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+$$
+\sigma_ {2 2} ^ {m} = \sin^ {2} \varphi \sigma_ {1 1} + \cos^ {2} \varphi \sigma_ {2 2} - 2 \sin \varphi \cos \varphi \tau_ {1 2} \tag {4.8.5}
+$$
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+$$
+\tau_ {1 2} ^ {m} = - \sin \varphi \cos \varphi \sigma_ {1 1} + \sin \varphi \cos \varphi \sigma_ {2 2} + (\cos^ {2} \varphi - \sin^ {2} \varphi) \tau_ {1 2}
+$$
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+$$
+\varphi = \frac {\tau_ {1 2} + (G _ {1 2} - X ^ {\prime}) \varphi^ {c}}{G _ {1 2} + \sigma_ {1 1} - \sigma_ {2 2}}, \varphi^ {c} = \tan^ {- 1} \left(\frac {1 - \sqrt {1 - 4 \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}} + \eta^ {L}\right) \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}}\right)}}{2 \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}} + \eta^ {L}\right)}\right) \tag {4.8.6}
+$$
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+midas NFX에서는 복합재료 파손이론을 근거로 복합재료의 파손여부 판단을 위하여 유한요소 파손지수(FE failure index), 파손지수(failure index, k ), 또는 강도비(strength ratio, R) 값을 출력할 수 있다. 유한요소 파손지수는 파손식에서 직접 추출된다. 따라서 주어진 파손이론에 따라서 물리적인 의미가 부족한 경우가 발생할 수 있다. 파손에 이르렸을 때의 응력상태, 즉 파손식을 만족하는 응력을 $\sigma'$ 라고 했을 경우 파손지수 k 는 $\sigma' = \frac{1}{k} \sigma_{FE}$ 를 만족하도록 결정되며, 유사하게
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+강도비 R 은 ${ \bf { \sigma } } ^ { \prime } = R { \bf { \sigma } } _ { F E }$ 를 만족하도록 결정된다. 즉, 파손지수 와 강도비값은 주어진 응력상태가 어느 정도 배분되었을 때 파손될지 판단하는데 도움이된다.
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+# 5. Algorithm
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+# 5.1 연립방정식 해법
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+연립방정식의 해법(system of equation solver)은 (5.1.1)과 같은 선형 행렬식의해 를 구하는 방법이다.
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+\mathbf {K} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {5.1.1}
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+연립방정식 해법은 선형정적 구조해석뿐만 아니라, 고유치/좌굴 해석, 동적 해석,비선형 해석 등 모든 해석에 이용되며, 일반적으로 가우스 소거법(Gausselimination) 또는 분해법에 기반한 직접해법(direct solver)과 반복 계산을 통해 오차를 최소화하는 해로 수렴시켜 가는 반복해법(iterative solver)이 있다. 직접해법은 행렬의 수치적 특성에 영향을 받지 않고 안정적으로 해를 구할 수 있어 구조해석에 일반적으로 많이 사용되고 있으나 문제의 규모가 커지는 경우 기억용량과 계산량이 급격하게 증가하는 경향이 있다. 따라서 대형 문제의 경우에는 상대적으로 기억용량이 적게 요구되는 반복해법을 적용하는 것이 좋다. 그러나 구조해석의 경우 반복해법은 행렬의 수치적 특성으로 인하여 원하는 해를 얻을 수 없거나, 수렴된 해를 얻기 위한 반복 계산이 많아질 수 있음에 주의해야한다. midas NFX에서는 해석하고자 하는 문제의 규모에 따라 직접해법과 반복해법을 자동으로 결정해 주는 기능을 제공하고 있다.
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+직접해법에서는 연립방정식의 해를 두 단계에 걸쳐 구하게 된다. 첫 번째 단계는 행렬 분해 (decomposition) 이고, 두 번째 단계는 전-후진 대입(forward-backward substitution : FBS) 과정이다. 일반적인 비대칭 행렬에 적용되는 분해법은 유한요소 해석 과정에서 발생되는 대칭 강성행렬 의 경우 다음과 같은 형태의 행렬 분해로 적용될 수 있다.
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+\mathbf {L} \mathbf {L} ^ {T} \mathbf {u} = \mathbf {p} \quad \text { or } \quad \mathbf {L} \mathbf {D} \mathbf {L} ^ {T} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {5.1.2}
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+L : 하삼각 행렬(lower triangular matrix)
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+D : 대각 행렬(diagonal matrix)
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+일반적으로 가 포함된 행렬 분해법은 강성행렬이 양의 정부호(positivedefinite)가 아닌 경우에 필요하다. midas NFX에서는 선형정적 구조해석의 경우형태의 행렬 분해법(Cholesky 분해법)을 사용하고 고유치 해석 또는 비선형 해석의 경우는 양의 정부호를 보장할 수 없기 때문에 형태의 행렬 분해법을 사용한다.
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+직접해법 적용 시 중요한 점은 행렬의 희소성(sparsity)을 적절히 이용해야 하는것이다. 일반적으로 유한요소해석 시에 발생하는 강성행렬 K 는 행렬 내에 다수의 0이 존재하는 희소행렬(sparse matrix)이며, 이 희소성을 활용하는 방법에따라 계산량과 요구되는 기억 용량이 현저하게 달라진다. 따라서 midas NFX에서는 행렬의 희소성을 활용하지 않는 일반적인 조밀행렬(dense matrix)에 대한직접해법(dense solver) 외에 행렬의 희소성을 적절히 활용해 계산량과 기억 용량을 획기적으로 줄일 수 있는 다중프런트 해법(multi-frontal solver)을 기본 직접해법으로 지원하고 있다.
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+다중프런트 해법에서는 행렬의 희소성을 활용해 계산량과 기억용량을 최소화하기 위해 자유도의 재배치(ordering)가 필요하며 이렇게 재배치된 정보에 따라 행렬을 여러 개의 프런트 행렬로 분리하여 행렬 분해를 수행한다. 그림 5.1.1은 자유도의 재배치에 의한 직사각형 요소망에서의 효과적인 계산 순서를 도식적으로표현한 것이다. 자유도 재배치를 구현하기 위한 알고리즘은 재귀 이분할법(recursive bisection)을 이용하며, 전진 대입은 행렬의 분해와 같은 순서로, 후진대입은 그 역순으로 계산하게 된다.
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