From b13258af9f434c1286bd723f92d410fd48dd30b1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=EA=B9=80=EA=B2=BD=EC=A2=85?= Date: Tue, 2 Jun 2026 16:33:07 +0900 Subject: [PATCH] add documents and wiki --- .obsidian/graph.json | 2 +- .obsidian/workspace.json | 66 +-- .raw/.manifest.json | 239 +++++++++- .../MidasNFXAnalysisManual_001.md | 151 +++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_002.md | 222 +++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_003.md | 243 ++++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_004.md | 409 +++++++++++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_005.md | 313 +++++++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_006.md | 270 +++++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_007.md | 302 +++++++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_008.md | 286 ++++++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_009.md | 252 +++++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_010.md | 221 +++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_011.md | 268 +++++++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_012.md | 158 +++++++ .../MidasNFXAnalysisManual_013.md | 354 +++++++++++++++ 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+natural_image + +Technical line drawing of a robotic arm assembly (no text or labels) +
+ +![](images/page-001_616aa6378197687383e29b2ee5d1e8ba7268ee5142ca4ef2a90baa821a17af90.jpg) + +
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+ +![](images/page-001_5c4853f0cd473169cebe55c5b70d3a49e1275af6e6e9ad8039583d40fcfb83ea.jpg) + +
+natural_image + +Diagram of a robotic arm with internal components, rendered in purple on a solid background (no text or labels) +
+ + + +# TOTAL SOLUTION for + +# TRUE ANALYSIS-DRIVEN DESIGN + +# Analysis Manual + +최적설계용 다분야 통합해석 솔루션 midas NFX + + + +MIDAS Family Program은 + +주식회사 마이다스아이티에서 개발한 구조해석 및 설계용 소프트웨어 패키지입니다. + +MIDAS Family Program과 관련 책자는 + +컴퓨터 프로그램 보호법과 저작권법에 의하여 보호를 받고 있습니다. + +프로그램이나 관련 자료에 대한 문의는 아래 연락처를 참조 바랍니다. + +![](images/page-003_54beabac7bfe05e9a5e3bed266be86940ff444ac4fa640da16c239b8bd94c0dd.jpg) + +MIDAS IT + +DTOICOOE + +경기도 성남시 분당구 삼평동 633 판교세븐벤처밸리 마이다스아이티동 + +Phone : 031-789-2000 + +Fax : 031-789-2100 + +E-mail : midas@midasit.com + +http://www.midasuser.com + +Modeling, Integrated Design & Analysis Software + +본 사용자 지침서의 작성에 인용된 상표(trademark) 및 등록상표(registered trademark)는다음과 같습니다. + + + +AutoCAD is a registered trademark of Autodesk, Inc. + +IBM is a registered trademark of International Business Machines Corporation. + +Intel 386, 486, and Pentium are trademark of Intel Corporation. + +MIDAS is a trademark of MIDAS Information Technology Corporation. + +Sentinel is a trademark of Rainbow Technologies, Inc. + +Windows is a trademark of Microsoft Corporation. + +Internet Explorer is a trademark of Microsoft Corporation. + +Excel is a trademark of Microsoft Corporation. + + + +# 프로그램 검증과 사용전 유의 사항 + +MIDAS Family Program은 개발단계에서 수천 종의 예제 문제를 통하여 이론치 그리고 타S/W와의 비교검증을 마친바 있으며 최신의 이론을 내장하여 우수한 해석결과를 산출합니다. + +그리고 1989년 개발 이후 관공서를 포함해 국내외 5,000여 프로젝트에 적용하여 정확성과 효용성이 입증되었습니다. + +MIDAS Family Program은 사단법인 한국전산구조공학회, 사단법인 대한기계학회의 엄격한검증과정을 거친 프로그램입니다. + +그러나 방대한 양의 이론과 설계지식이 집적되는 구조해석 및 설계 프로그램의 특성상,MIDAS Family Program을 사용함으로써 발생될 수 있는 어떠한 이익과 손실에 대해서도MIDAS Family Program의 개발 후원자와 개발자 그리고, 검증참여기관에게는 권리와 책임이 없습니다. + +따라서 프로그램을 사용하기 전에 사용자지침서에 대한 충분한 이해과정이 필요하며 프로그램의 수행결과에 대해서도 사용자의 검증이 반드시 필요합니다. + +# DISCLAIMER + + + +Developers and sponsors assume no responsibility for the use of MIDAS Family Program (midas NFX, midas FEA, midas Civil, midas FX+, midas Abutment, midas Pier, midas Deck, midas GTS, midas GeoX, midas Gen, midas ADS, midas SDS, midas Set ; hereinafter referred to as “MIDAS package”) or for the accuracy or validity of any results obtained from the MIDAS package. + +Developers and sponsors shall not be liable for loss of profit, loss of business, or financial loss which may be caused directly or indirectly by the MIDAS package, when used for any purpose or use, due to any defect or deficiency therein. + + + +# 감사의 글 + +MIDAS Family Program은 포스코그룹의 창사 이래 엔지니어링과 건설분야에서 축적한 구조설계 기술을 집적하고 토목, 지반, 및 기계분야로 영역을 확대하여 국내의 여러 교수님들과 기술자 여러분들의 도움으로 만들어진 것입니다. + +본 프로그램의 개발과 사용자지침서의 작성에 도움을 주신 학계 교수님, 그리고 관련 분야의 기술자 여러분께 감사드립니다. + +그리고 본 프로그램의 개발을 위해 지원을 아끼지 않으신 대한기계학회 여러분께 본 지면을 빌어 감사의 말씀을 올립니다. + +폐사는 이러한 헌신적인 기여에 보답하기 위해서 최선을 다하여 개발에 전념할 것입니다. 본 프로그램이 우리나라 구조해석 및 설계 분야의 기술 신장과 대외 기술 경쟁력 확보에 다소나마 기여할 수 있기를 바랍니다. + +주식회사 마이다스아이티 + + + +midas NFX 프로그램이 + +대한민국 기계 구조분야의 기술신장과 대외 기술경쟁력의 확보에 + +다소나마 기여할 수 있기를 바랍니다. + +제작 : (주)마이다스아이티 MIDAS Information Technology Co., LTD + + + +# Analysis Manual + +Modeling, Integrated Design & Analysis Software + + + +# Analysis Manual + +midas NFX diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_002.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_002.md new file mode 100644 index 00000000..7dfa505c --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_002.md @@ -0,0 +1,222 @@ + + +# Analysis Manual 목차 + +# 1. Introduction 5 + +1.1 단위계 / 7 +1.2 파일 시스템 / 8 +1.3 표시법 / 10 + +# 2. Node/DOF/Coordinate System ········ 12 + +2.1 절점과 자유도 / 12 +2.2 좌표계 / 14 +2.3 유한회전의 기술 / 17 + +# 3. Elements ········· 19 + +3.1 유한요소 정식화 / 21 +3.2 형상함수 / 23 +3.3 잠김 현상에 대한 보완 / 31 +3.4 Rod 요소 / 42 +3.5 Embedded Rod 요소 / 47 +3.6 Bar 요소 / 50 +3.7 Embedded Bar 요소 / 57 +3.8 Pipe 요소 / 58 +3.9 Cable 요소 / 62 +3.10 Membrane 요소 / 65 +3.11 Shell 요소 / 72 +3.12 Surface 요소 / 81 +3.13 Plane strain 요소 / 85 +3.14 Axisymmetric solid 요소 / 88 +3.15 Solid 요소 / 93 +3.16 Layered shell 요소 / 100 +3.17 Layered solid 요소 / 105 +3.18 그 밖의 요소 / 111 +3.19 기하강성 / 124 +3.20 열전도 요소 / 128 +3.21 줄 발열 요소 / 132 +3.22 응력 오차 / 136 + + + +# 4. Material 138 + +4.1 탄성 재료의 성질 / 139 +4.2 비선형탄성 재료의 성질 / 144 +4.3 소성 재료의 성질 / 147 +4.4 초탄성 재료의 성질 / 156 +4.5 열전도 재료의 성질 / 161 +4.6 점탄성 재료의 성질 / 162 +4.7 복합재료 적층이론 / 171 +4.8 복합재료 파손이론 / 174 + +# 5. Algorithm ······· 178 + +5.1 연립방정식 해법 / 178 +5.2 고유치 추출법 / 182 +5.2.1 모드상관계수 / 185 +5.3 유효질량과 모드중첩법 / 186 +5.3.1 유효질량 / 186 +5.3.2 모드중첩법 / 187 +5.4 동적응답 해법 / 191 +5.4.1 시간적분법 / 191 +5.4.2 주파수 응답 / 195 +5.4.3 랜덤 응답 / 197 +5.4.4 응답 스펙트럼 / 202 + +5.5 비선형 유한요소 해법 / 209 + +5.6 대변형을 고려한 변형률/응력 산출법 / 215 + +5.7 비선형 동적응답 해법 / 220 + +5.7.1 외연적 시간적분법 / 220 + +5.7.2 내연적 시간적분법 / 226 + +5.8 접촉조건 / 227 + +5.9 피로해석 / 236 + +5.9.1 응력-수명 방법 / 236 + +5.9.2 변형률-수명 방법 / 240 + +5.9.3 랜덤 진동 피로해석 / 245 + +5.10 응력의 선형보간 / 250 + +5.11 위상 최적화 / 254 + + + +5.11.1 목적함수와 민감도 / 254 +5.11.2 재료 보간 방법 / 258 +5.11.3 최적화 기준법 / 259 +5.11.4 이동 점근선 기법 / 260 + +5.12 치수 최적화 / 261 + +5.12.1 실험점 추출 / 261 +5.12.2 근사모델기반 치수최적화 / 263 + +5.13 성형 한계도 / 267 + +5.13.1 성형 한계도 정의 / 267 +5.13.2 MMFC 배경 이론 / 268 +5.13.3 MMFC 알고리즘 / 268 +5.13.4 등방성 재료 항복 곡선 / 269 +5.13.4 경화 모델 / 271 + +# 6. Load/Constraint + +6.1 하중 / 272 +6.2 구속조건 / 277 +6.3 열하중/경계조건 / 281 +6.4 특이성 오류 / 287 +6.5 하중의 비선형성 / 289 + + + +# 1. Introduction + +본 매뉴얼은 midas NFX의 구조해석에 관한 기술적 내용과 이론에 대해 소개한다. 본 매뉴얼의 내용은 midas NFX의 모든 기능에 대한 설명을 포함하고 있으나 실제로 프로그램에서 사용할 수 있는 기능은 사용 버전에 따라 그 범위가 다를 수 있다. 본 매뉴얼의 목적은 midas NFX의 사용과 이해에 도움이 되도록 개발에 사용된 이론과 사용 시에 필요한 기술적인 사항을 소개함에 있으나, 일반적인 공학서적에 자세하게 소개되어 있는 기본적인 내용 또는 지나치게 난해한내용은 배제하였다. + +midas NFX는 C++를 기반으로 개발된 범용 유한요소 해석(general purposefinite element analysis) 프로그램이며 다음과 같은 구조해석 기능을 제공하고 있다. + +표 1.1 midas NFX 의 해석 기능 + +
선형 정적 구조해석Linear static structural analysis
모드 해석Normal mode analysis
선형 좌굴 해석Linear buckling analysis
선형 과도응답 해석(직접법/모드법)Linear transient analysis (direct/modal)
주파수 응답 해석(직접법/모드법)Frequency response analysis (direct/modal)
응답 스펙트럼 해석Response spectrum analysis
랜덤 해석(직접법/모드법)Random analysis (direct/modal)
비선형 정상상태 열전달 해석Nonlinear steady-state heat transfer analysis
비선형 과도상태 열전달 해석Nonlinear transient heat transfer analysis
비선형 정적 해석Nonlinear static analysis
비선형 준정적 해석Nonlinear quasi-static analysis
비선형 동해석(외연적 시간적분법)Nonlinear explicit transient analysis
비선형 동해석(내연적 시간적분법)Nonlinear implicit transient analysis
+ + + +또한, 표 1.1의 해석기능 조합을 이용하여 프리스트레스 해석(prestressedanalysis) 또는 열응력 해석(thermal stress analysis)과 같이 두 가지 이상의 서로다른 해석간의 조합이 가능하다. + +midas NFX를 비롯한 범용 유한요소 해석 프로그램을 이용하여 문제를 푸는 과정은 일반적으로 다음과 같다. + +► 해석 모델 정의 (node, element, mesh, load, boundary condition) +► 해석 종류 정의 (analysis case) +► 해석 실행 (solve) +► 결과 분석 (post-mode) + +본 매뉴얼은 위의 각 항목을 이해하기 위한 알고리즘, 기술적인 내용 또는 이론을 중심으로 이루어져 있다. + + + +# 1.1 단위계 + +해석 모델의 정의를 위해서는 구조물의 크기, 재료의 성질 등이 필요한데 이들물리량(physical quantity)에 대한 정보는 일반적으로 특정 단위계(unit system)를기준으로 정의된다. midas NFX에서는 힘/길이/에너지/시간에 대한 단위 변환이가능하므로, 해석 모델의 정의 과정 중에 사용자가 필요에 따라 단위계를 바꾸어 모델링을 진행할 수 있다. 해석 모델의 정의를 마치고 해석을 실행하기 전에는 다음과 같이 힘/길이/에너지/시간에 대한 값에 대해 English 단위계 또는 SI단위계로 통일시켜야 한다. + +표 1.1.1 English/SI 체계에서 사용하는 단위 + +
물리량EnglishSI
위치, 길이, 변위inchmeter
탄성계수lbf/inch $^{2}$ Newton/meter $^{2}$
모멘트inch-lbfNewton-meter
lbfNewton
질량lbf-sec $^{2}$ /inchkilogram
시간secondsecond
응력lbf/inch $^{2}$ Newton/ meter $^{2}$
+ +English 단위계에서는 길이 단위로 inch 외에 ft 를 사용하는 경우도 많으며, SI단위계와 구분되는 점은 질량 대신 무게를 자주 사용한다는 것이다. 이 경우 중력 가속도(gravity acceleration)에 의한 질량-무게 관계( )를 적용해야 하는데, midas NFX에서는 중력 가속도에 의한 질량-무게 관계를 자동으로해석에 적용함으로써 시간 단위가 포함된 결과(예 : Hz)에 있어서 적절한 결과값을 얻을 수 있도록 하였다. + + + +# 1.2 파일시스템 + +midas NFX를 이용한 유한요소 해석 과정에서는 몇 가지 파일을 생성 또는 저장해야 하며, 해석 실행 도중에 여러 가지 임시파일이 생겨나거나 사라지게 된다.midas NFX에서 사용되는 파일 목록과 각각의 내용은 다음과 같다. + +표 1.2.1 midas NFX 의 주요 파일 + +
파일이름형식내용
ModelName.nfxBinary모델 데이터 파일 (analyst)
ModelName.nfxdBinary모델 데이터 파일 (designer)
ModelName_AnalysisName.mecASCII해석기 입력 파일
ModelName_AnalysisName.logASCII해석 실행 기록 파일
ModelName_AnalysisName.outASCII해석 결과 데이터 파일
ModelName_AnalysisName.nfxpBinary해석 결과 데이터 파일(후처리용)
+ +midas NFX의 결과 파일은 ASCII 형식의 .out 과 이진(binary) 형식의 .nfxp 파일이 있다. 기본적으로 사용자가 요구한 결과 항목은 .nfxp에 포함되며 후처리기를통하여 결과를 분석하기 위해 사용된다. ASCII 결과파일인 .out 파일은 .nfxp 파일과 유사한 결과들을 포함할 수 있으며 포함 여부는 사용자 옵션에 의해 조절된다. + +midas NFX의 해석 도중에 생성되는 임시파일 목록과 각각의 내용은 다음과 같다. + +표 1.2.2 해석 중 생성되는 파일 + +
파일이름생성시점/내용
InputName.DASM#.bin모든 해석에서 생성, 유한요소 관련 정보
InputName.FACT#.bin#다중프런트 해법 선택 시 생성, 행렬 정보
InputName.EIGS#.bin#고유치 해석 시 생성, Lanczos 반복계산 정보
+ +해석 중 생성되는 임시파일은 스크래치 폴더(scratch folder)에 생성되며 스크래 + + + +치 폴더의 기본값은 모델파일의 위치와 같다. + + + +# 1.3 표시법 + +본 매뉴얼에서는 행렬 표시법(matrix notation)과 성분 표시법(componentnotation)을 동시에 사용한다. 행렬 표시법은 2차 텐서(tensor)의 표현에 있어서매우 유용하기 때문에 가능한 경우에는 행렬 표시법을 이용한다. + +이론을 전개함에 있어서 필요한 값들은 스칼라(scalar), 벡터(vector), 2차 텐서(second order tensor) 혹은 행렬(matrix), 4차 텐서(fourth order tensor) 등이 있다. 행렬 표시법으로는 다음과 같이 표현한다. + +표 1.3.1 행렬 표시법 + +
스칼라u
벡터 $\mathbf{u}$ , $\{*\}$
2 차 텐서, 행렬 $\mathbf{A}$ , $[^{*}]$
4 차 텐서 $\mathbf{C}$
+ +볼드(Bold)체를 사용하는 경우에는 벡터와 텐서의 표기법이 같으므로 내용에 의해 각각을 구분해야 한다. 행렬 표기법은 물리적 의미 또는 물리량 간의 관계를파악하는데 있어 매우 효과적이다. 그러나 행렬 표기법으로 표현하기에는 복잡한 연산 또는 성분간의 연산이 필요한 경우에는 성분 표기법을 사용하는 것이유용하다. 성분 표기법은 좌표계를 기초로 하며 각각의 좌표계는 기저 벡터(base vector)에 의해 정의될 수 있다. 기저 벡터는 3 차원 공간에서 ie ,로 표시하며 각각은 서로 수직하지 않을 수 있다. 기저 벡터를 이용하면 임의의 벡터 를 다음과 같이 표현할 수 있다. + +$$ +\mathbf {u} = u ^ {1} \mathbf {e} _ {1} + u ^ {2} \mathbf {e} _ {2} + u ^ {3} \mathbf {e} _ {3} \tag {1.3.1} +$$ + +: 기저 벡터 + +u : 성분 + +성분 표기법에서 하첨자 는 엄밀한 의미에서 코배리언트(covariant) 기저 벡터또는 성분을 의미하고 상첨자 i 는 콘트라배리언트(contravariant) 기저 벡터 또 + + + +는 성분을 의미한다. 일반적으로 직교 좌표계(orthonormal coordinate system)에서는 둘 다 동일하므로 구분하지 않는다. + +성분 표기법을 사용할 때에는 다음과 같이 반복되는 인덱스(index)에 대한 합의규약(summation convention)을 이용하는 것이 편리하다. + +$$ +\mathbf {u} = u ^ {i} \mathbf {e} _ {i} \tag {1.3.2} +$$ + +비슷한 방법으로 2차 텐서와 4차 텐서를 성분 표시법으로 나타내면 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {A} = A ^ {i j} \mathbf {e} _ {i} \mathbf {e} _ {j}, \mathbf {C} = C ^ {i j k l} \mathbf {e} _ {i} \mathbf {e} _ {j} \mathbf {e} _ {k} \mathbf {e} _ {l} \tag {1.3.3} +$$ + +본 매뉴얼에서는 별도의 언급이 없는 경우 합의 규약을 적용한 것으로 간주한다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_003.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_003.md new file mode 100644 index 00000000..7569ed81 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_003.md @@ -0,0 +1,243 @@ + + +# 2. Node/DOF/Coordinate system + +# 2.1 절점과 자유도 + +절점(node)과 요소(element)는 유한요소(finite element) 모델의 크기와 모양을결정하며, 모든 해석의 출발점이라 할 수 있다. 절점과 요소에 의해 정의된 모델은 물리적 현상을 행렬 형태의 수치 방정식으로 표현한 것과 같다. 이 때 행렬방정식의 미지수는 변위(displacement), 회전(rotation), 온도(temperature) 등의물리량(physical quantity)이며 이를 자유도(DOF : degree of freedom)라 한다. + +간단한 예를 들면, 구조해석 문제에 있어서 절점에 할당되는 자유도는 3개의 변위(displacement)와 3개의 회전(rotation)이다. 이들 6개의 자유도는 다음 그림과같다. + +![](images/page-021_a5055ad6794d6d1528a6803cc1d16af57b1c597eef4acdf392e775c6074ead88.jpg) + +
+text_image + +θ₂ +u₂ +u₁ +θ₁ +u₃ +θ₃ +
+ +그림 2.1.1 직교 좌표계에서의 변위와 회전 자유도 + +각각의 자유도는 다음과 같은 기호를 사용하여 표현하는 것이 일반적이다. + +$\star \ { \cal D } { \cal O } { \cal F } 1 = { \cal T } _ { 1 } = u _ { 1 }$ +$\cdot \phantom { } \ D O F 2 = T _ { 2 } = u _ { 2 }$ +$\cdot \ D O F 3 = T _ { 3 } = u _ { 3 }$ +$\cdot \ D O F 4 = R _ { 1 } = \theta _ { 1 }$ + + + +각각의 절점은 운동 방향을 기술하는 좌표계를 가지며 이를 절점 변위 좌표계(nodal displacement coordinate system)라 한다. 위에서 언급한 자유도는 모두절점에 할당된 좌표계의 방향을 따르게 되며 모든 절점은 기본적으로 전역 좌표계(global coordinate system)를 기준으로 운동 방향을 기술하도록 정의되어 있다. 온도 자유도는 방향이 없으므로 절점 변위 좌표계와 무관하다. + + + +# 2.2 좌표계 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 좌표계의 종류는 다음과 같다. + +► 직교 좌표계 (rectangular coordinate system) +► 원통 좌표계 (cylindrical coordinate system) + +![](images/page-023_cea331259ac1a2bda9be49ed8647f1f489dc97e0d94f0517c316f2d2ef44c08f.jpg) + +
+text_image + +Rectangular +coordinate system +Origin +x +y +z +
+ +![](images/page-023_e8bdd09112a27fc2182104ad22b2ff4311f4a71ab257d0ed27689ccad92c9b51.jpg) + +
+text_image + +Cylindrical +coordinate system +Origin +z +r +θ +
+ +그림 2.2.1 직교 좌표계와 원통 좌표계 + +예를 들어 절점의 운동 방향을 원통 좌표계에 대하여 정의하였다면 자유도는 다음과 같다. + +► DOF 1 = displacement in +► DOF 2 = displacement in +► DOF 3 = displacement in +► DOF 4 = rotation in +► DOF 5 = rotation in +► DOF 6 = rotation in + +유한요소법을 이용하여 주어진 문제를 적절하게 모델링하고 올바르게 해석을 하기 위해서는 다양한 좌표계가 필요하다. 예를 들어 앞서 설명한 절점의 변위 방향을 정의하기 위한 좌표계 또는 이방성(anisotropic) 재료의 방향을 설정하기 + + + +위한 좌표계가 필요하기도 하며, 결과값의 추출을 위해 특정 좌표계를 지정하기도 한다. midas NFX에서는 구조물의 모델링과 해석을 위하여 다음과 같은 좌표계를 사용하고 있다. + +표 2.2.1 midas NFX 에서 사용하는 좌표계의 종류 + +
좌표계 종류설명
전역 좌표계GCS : global coordinate system모델 전체를 하나의 동일한 기준으로 표현하는 좌표계, 직교 좌표계
절점 변위 좌표계NDCS : nodal displacement coordinate system절점의 운동방향을 기술하는 좌표계직교/원통 좌표계
요소 좌표계ECS : element coordinate system요소를 구성하는 절점 위치에 의해 결정되는 좌표계, 직교 좌표계
재료 좌표계MCS : material coordinate system요소에 적용되는 재료의 방향을 정의하는 좌표계, 직교/원통 좌표계
요소 결과 좌표계ERCS : element result coordinate system요소 결과를 출력하는 좌표계직교/원통 좌표계
요소 기술 좌표계EFCS : element formulation coordinate system유한요소 정식화에 사용되는 좌표계전역 좌표계 또는 요소 좌표계와 같음
+ +이 중 요소 기술 좌표계는 해석기(solver)에서 사용하는 좌표계이며 midas NFX의 사용법과는 관련이 없으나 본 매뉴얼의 내용을 이해하는데 도움이 된다. 열전달 해석의 경우에는 절점의 자유도가 온도이므로 절점 변위 좌표계의 설정은해석과 무관하나 재료 좌표계, 요소 결과 좌표계 등은 해석과 결과에 영향을 줄 + + + +수 있다. 요소 좌표계, 재료 좌표계 그리고 요소 결과 좌표계에 대한 설명은Chapter 3에 자세하게 기술되어 있다. + +![](images/page-025_4b0f1301934caa2ea70d44b5fe42ffe23494f5d8ea5fcd43da2880057eeb5f27.jpg) + +
+text_image + +Principal 2-axis +y +x +MCS +Principal 1-axis +y +ECG +x +w +z +y +z +x +u +NDCS +z +y +GCS +x +
+ +그림 2.2.2 midas NFX 의 여러 가지 좌표계 + + + +# 2.3 유한회전의 기술 + +유한 회전(finite rotation)을 포함한 기하학적 비선형 해석에서는 회전량을의미하는 변수가 필요하다. midas NFX 에서는 유한 회전의 기술을 위해회전벡터(rotation vector)를 해당 절점의 자유도로 사용한다. 다시 말하면,기하학적 비선형 해석의 결과로 나타나는 절점 자유도 4\~6 의 결과값은회전벡터의 각 성분에 해당한다. 회전벡터 는 그 크기 와 방향를 가지고 있으며 물리적 현상으로 설명하자면, 그림 2.3.1 과 같이 회전벡터θ 는 축 에 대해 각도 (radian) 만큼 회전하는 것을 의미한다. + +![](images/page-026_bb0e721c6d777a278fa0efe63891d7ec0a1866e71fa6b93279dc06e988d06289.jpg) + +
+text_image + +Axis of rotation +e = θ/θ +||θ|| +z +y +x +
+ +그림 2.3.1 회전벡터의 방향과 크기 + +유한회전에서 주의할 사항은 여러 개의 회전벡터를 연속적으로 적용한복합회전(compound rotation)이 각 벡터의 합으로 이루어지지 않는다는 점이다.예를 들어 에 이어 θ의 회전이 연속적으로 적용되었을 때 최종적인 회전값는 의 성질을 가진다. 또한 교환법칙(commutative law)이성립하지 않기 때문에, 그림 2.3.2 와 같이 적용 순서를 바꾸어 에 이어 의회전을 적용하게 되면 또 다른 회전값이 된다. 복합회전을 계산하기 위해서는회전행렬(rotation matrix)을 이용하는 등 많은 방법들이 알려져 있으나, midas + + + +NFX에서는 쿀터니언 곱(quaternion product)을 이용하여 계산한다. 쿀터니언 q는 회전벡터 θ와 다음 관계를 가진다. + +$$ +q = (q _ {0}, \mathbf {q}) = (\cos (\left\| \boldsymbol {\theta} \right\| / 2), \sin (\left\| \boldsymbol {\theta} \right\| / 2) \mathbf {e}) \tag {2.3.1} +$$ + +두 개의 퀴터니언 곱은 다음과 같이 계산할 수 있다. + +$$ +q ^ {*} = \Delta q \circ q = (\Delta q _ {0} q _ {0} - \Delta \mathbf {q} \cdot \mathbf {q}, \Delta q _ {0} \mathbf {q} + q _ {0} \Delta \mathbf {q} + \Delta \mathbf {q} \times \mathbf {q}) \tag {2.3.2} +$$ + +$q^{*}$ : $\theta^{*}$ 에 해당하는 쿼터니언 + +Δq : Δθ 에 해당하는 퀴터니언 + +![](images/page-027_adb3e5cc0a33fa8f7eac6d7527b7f04af4d6160c5baee5b6cfce1515d1f674ae.jpg) +그림 2.3.2 교환법칙이 성립하지 않는 복합회전의 예 + + + +# 3. Elements + +유한요소법을 이용한 구조물의 해석을 위해서는 사용 가능한 요소의 종류와 각각의 특성을 이해하는 것이 중요하다. midas NFX에서 사용 가능한 요소의 종류는 그 형상 또는 특성에 따라 다음과 같이 구분할 수 있다. + +• 스칼라(scalar) 요소 + +1개의 절점을 가지며 절점의 운동이 접지점(ground point)에 대해 상대적으로정의되어 변형 또는 운동 에너지를 가지게 된다. 2개의 절점에 의해 정의할 수도 있으나 절점간의 거리 등의 형상 정보를 이용하지 않는다. + +• 1차원 형상 + +두 개 혹은 세개의 절점을 가지는 직선 모양이며, 절점 간의 상대 거리 등의 형상 정보를 이용한다. + +• 2차원 형상 + +삼각형 또는 사각형 모양이며 3/4/6/8 개의 절점을 가질 수 있다. 2차원 형상은공간 상에서 곡률을 가질 수 있다. + +• 3차원 형상 + +사면체(tetrahedron), 오면체, 육면체(hexahedron) 모양이며 4/5/6/8/10/13/15/20개의 절점을 가질 수 있다. 오면체 요소는 쐐기(wedge) 형상 또는 피라미드(pyramid) 형상이 된다. + +• 특수 요소 + +특수한 목적으로 만들어진 요소로서 midas NFX에서 사용할 수 있는 요소로는집중 질량(mass)이 있다. + +• 강체/보간 요소 + +절점간의 강체(rigid body) 운동을 표현하거나 상대적 운동을 보간(interpolation) + + + +하여 정의할 수 있는 요소이다. 다중점 구속(multi-point constraint)과 유사한 특성을 가진다. + +# • 조인트 요소 + +두 점 사이의 다양한 상대적 거동을 모사하는데 유용하게 사용되는 요소이다.조인트 타입은 두 점 사이의 상대적 거동을 결정지으며 두 점은 접지점(groundpoint)-절점 또는 절점-절점으로 구성될 수 있다. + +표 3.1 요소의 특성에 따른 분류 + +
특성요소 종류
스칼라 요소Spring(1/2 절점)Mass(1/2 절점)Damper(1/2 절점)
1차원 형상Rod(2/3 절점)Bar(2/3 절점)Pipe(2/3 절점)Bush(1/2 절점)Cable(2 절점)Gap(2 절점)
2차원 형상평면 응력Membrane(3/4/6/8 절점)Shell(3/4/6/8 절점)Surface(3/4/6/8 절점)
3차원 응력Plane strain(3/4/6/8 절점)Axisymmetric solid(3/4/6/8 절점)
3차원 형상Solid(4/5/6/8/10/13/15/20 절점)
특수 요소집중 mass
강체/보간 요소Rigid element(rigid body, rigid bar), Interpolation element
조인트 요소조인트 타입에 따라 구분 (1/2 절점)
+ +표 3.1에 나열된 각각의 요소는 구조해석적 측면만을 고려한 분류이며 열전달해석 시 각각의 요소에서 반영하는 물리적 거동은 3.18절에서 설명한다. + + + +# 3.1 유한요소 정식화 + +선형 탄성학에 기초하여 모든 방정식을 포함한 변분(variation) $0 | \equiv \frac { \ d } { \ d t }$ Hu-Washizu1, 2 변분 원리로 알려져 있으며 다음과 같이 표현된다. + +$$ +\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} \left(\nabla \delta \mathbf {u}\right) ^ {T} \boldsymbol {\sigma} + \delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {T} \left(\mathbf {D} \boldsymbol {\varepsilon} - \boldsymbol {\sigma}\right) + \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} \left(\nabla \mathbf {u} - \boldsymbol {\varepsilon}\right) d \Omega \tag {3.1.1} +$$ + +8Gext $\delta G _ { e x t }$ : 외력에 의한 가상 일 + +1 : 변위 + +0 : 응력(stress) + +: 변형률(strain) + +D : 응력-변형률 관계 행렬 + +V : 변형률-변위 관계 연산자(operator) + +위 식은 평형 방정식(equilibrium equation), 구성방정식(constitutive equation) 그리고 적합조건 (compatibility condition)을 포함한 가장 일반적인 형태이다. 구성방정식에 의해 변형률 과 응력 의 관계가 항상 만족된다고 가정하면 다음과같이 Hellinger-Reissner3, 4 원리가 된다. + +$$ +\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \boldsymbol {\sigma} + \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} (\nabla \mathbf {u} - \mathbf {D} ^ {- 1} \boldsymbol {\sigma}) d \Omega \tag {3.1.2} +$$ + +추가적으로 적합조건에 의해 과 의 관계가 만족된다고 가정하면 일반적인가상일의 원리(principle of virtual work)가 된다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_004.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_004.md new file mode 100644 index 00000000..663d3290 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_004.md @@ -0,0 +1,409 @@ + + +$$ +\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \mathbf {D} \nabla \mathbf {u} d \Omega \tag {3.1.3} +$$ + +최소 포텐셜 에너지 원리에 유한요소법을 적용하기 위하여 적분 영역을 하나의 요소로 국한하여 생각하자. 하나의 요소 내에서 변위 u 를 형상 함수로 보간하면 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {u} ^ {h} = \mathbf {N} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.1.4} +$$ + +N : 형상 함수 (shape function) + +$d^{e}$ : 요소 자유도 + +변형률-변위 관계 $\varepsilon^{h}=\nabla u^{h}=Bd^{e}$ 를 이용하면 가상일의 원리를 다음과 같이 표현할 수 있다. + +$$ +\delta G _ {e x t} = \delta \mathbf {d} ^ {T} \mathbf {F} = \delta \mathbf {d} ^ {T} \left[ \sum \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} d \Omega \right] \mathbf {d} = \delta \mathbf {d} ^ {T} \mathbf {K} \mathbf {d} \tag {3.1.5} +$$ + +이 식은 미소 변위를 가지는 탄성 구조물의 해석에 적합하며, 선형 해석에서 K 는 변위 d 에 독립적이다. 개별 요소의 강성은 $K^{e}$ 로 표현되며 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {K} ^ {e} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} d \Omega \tag {3.1.6} +$$ + +열전달 해석에서 사용되는 유한요소 정식화 과정은 3.18절에서 설명한다. + + + +# 3.2 형상 함수 + +요소의 정의는 형상 함수에 의한 변위장(displacement field)의 가정으로부터 출발한다. 혼합법(mixed formulation)을 비롯한 수많은 요소 성능 향상 기법들이 적용된 요소 역시 변위장의 가정이 필요하다. 본 절에서 설명하는 변위장은 특별한 언급이 없는 한 열전달 해석을 위한 요소에서도 동일하게 적용된다. 형상 함수의 표현을 용이하게 하기 위하여 인덱스(index)를 사용하며, 본 절에서 사용되는 인덱스는 합의 규약(summation convention)을 따르지 않는다. + +- 1차원 형상 +▶ 2절점 형상함수 + +$$ +N _ {i} = \frac {1 + \xi_ {i} \xi}{2}, - 1 \leq \xi \leq 1 +$$ + +▶ 2절점 Hermite 형상함수 +l: 요소길이 + +$$ +N _ {1} = 1 - 3 \xi^ {2} + 2 \xi^ {3}, N _ {2} = l \xi - 2 l \xi^ {2} + l \xi^ {3}, N _ {3} = 3 \xi^ {2} - 2 \xi^ {3}, N _ {4} = - l \xi^ {2} + l \xi^ {3}, 0 \leq \xi \leq 1 +$$ + +- 2차원 형상 +▶ 3절점 삼각형 + +$$ +N _ {1} = 1 - \xi - \eta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta +$$ + +▶ 6절점 삼각형 + +$$ +N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1) +$$ + +$$ +N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) +$$ + + + +![](images/page-033_34cdf807017c34b6166752c48f195e12863c9a845834675661c16fb5146f5df5.jpg) + +
+line + +| Point | ξ | η | +|---|---|---| +| 1 | 0 | 0 | +| 2 | 1 | 0 | +| 3 | 1 | 1 | +| 4 | 1 | 0 | +| 5 | 1 | 1 | +
+ +그림 3.2.1 삼각형 요소의 절점 위치와 자연좌표계 + +▶ 4절점 사각형 + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{4} \left(1 + \xi_ {i} \xi\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right) +$$ + +▶ 8절점 사각형 + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{4} \left(1 + \xi_ {i} \xi\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right) \left(\xi \xi_ {i} + \eta \eta_ {i} - 1\right), i = 1, 2, 3, 4 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{2} \left(1 - \xi^ {2}\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right), i = 5, 7 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{2} \left(1 - \eta^ {2}\right) \left(1 + \xi_ {i} \xi\right), i = 6, 8 +$$ + + + +![](images/page-034_ce4a665e047477bb169039103b8557b9b9f4ad7d9225bc6e67d24582cccca9c9.jpg) + +
+text_image + +(1, 1) +4 +7 +3 +η +ξ +8 +6 +1 +5 +2 +(-1, -1) +
+ +그림 3.2.2 사각형 요소의 절점 위치와 자연좌표계 + +- 3 차원 형상 +▶ 4절점 사면체 + +$$ +N _ {1} = 1 - \xi - \eta - \zeta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta , N _ {3} = \zeta +$$ + +▶ 10절점 사면체 + +$$ +N _ {1} = 2 (1 - \xi - \eta - \zeta) \left(\frac {1}{2} - \xi - \eta - \zeta\right), \quad N _ {2} = 2 \xi \left(\xi - \frac {1}{2}\right), \quad N _ {3} = 2 \eta \left(\eta - \frac {1}{2}\right), +$$ + +$$ +N _ {4} = 2 \zeta (\zeta - \frac {1}{2}) \quad , N _ {5} = 4 \xi (1 - \xi - \eta - \zeta), N _ {6} = 4 \xi \eta , N _ {7} = 4 \eta (1 - \xi - \eta - \zeta), +$$ + +$$ +N _ {8} = 4 \zeta (1 - \xi - \eta - \zeta), N _ {9} = 4 \xi \zeta , N _ {1 0} = 4 \eta \zeta +$$ + + + +![](images/page-035_423e28392238adb2dfd77aafba38f62887c0533a5d7e808cc6e1b34a155c5e78.jpg) + +
+text_image + +ξ +4 (0, 0, 1) +8 +9 +10 +(0, 0, 0) +7 +3 +1 +(0, 1, 0) +2 +(1, 0, 0) +6 +5 +ξ +
+ +그림 3.2.3 사면체 요소의 절점 위치와 자연좌표계 + +▶ 6절점 오면체 + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{2} (1 - \xi - \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 1, 4 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{2} \xi (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 2, 5 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{2} \eta (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 3, 6 +$$ + +▶ 15 절점 오면체 + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{2} (1 - \xi - \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta) (\zeta_ {i} \zeta - 2 \xi - 2 \eta), i = 1, 4 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{2} \xi (1 + \zeta_ {i} \zeta) (\zeta_ {i} \zeta + 2 \xi - 2), \quad i = 2, 5 +$$ + + + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{2} \eta (1 + \zeta_ {i} \zeta) (\zeta_ {i} \zeta + 2 \eta - 2), \quad i = 3, 6 +$$ + +$$ +N _ {i} = 2 \xi (1 - \xi - \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 7, 1 3 +$$ + +$$ +N _ {i} = 2 \xi \eta (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 8, 1 4 +$$ + +$$ +N _ {i} = 2 \eta (1 - \xi - \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 9, 1 5 +$$ + +$$ +N _ {1 0} = (1 - \xi - \eta) (1 - \zeta^ {2}), N _ {1 1} = \xi (1 - \zeta^ {2}), N _ {1 2} = \eta (1 - \zeta^ {2}) +$$ + +![](images/page-036_11a633c61078be47e299e99aa5c6baf0d8879b5ca7e1dc17b81878d4c92b147d.jpg) + +
+text_image + +ξ +(0, 0, 1) +15 +6 +13 +14 +(0, 0, 0) +10 +12 +ξ +5 +11 +1 +9 +3 +(0, 1, -1) +2 +7 +8 +(1, 0, -1) +
+ +그림 3.2.4 오면체(쇄기) 요소의 절점 위치와 자연좌표계 + +5 또는 13 절점 오면체는 피라미드 모양이며, 절점 결합에 의한 감절점 (degenerated) 형상함수가 널리 이용된다. 그러나 이 형상함수는 수치적분의 문제점이 $^{5}$ 존재하는 것으로 알려져 있기 때문에 midas NFX에서는 다음과 같은 형태를 사용한다. + + + +▶ 5 절점 오면체 + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{4} \left\{\left(1 + \xi_ {i} \xi\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right) - \zeta + \xi_ {i} \eta_ {i} \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \right\}, i = 1, 2, 3, 4 +$$ + +$$ +N _ {5} = \zeta +$$ + +▶ 13 절점 오면체 + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{4} \left(\xi_ {i} \xi + \eta_ {i} \eta - 1\right) \left\{\left(1 + \xi_ {i} \xi\right) \left(1 + \eta_ {i} \eta\right) - \zeta + \xi_ {i} \eta_ {i} \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \right\}, i = 1, 2, 3, 4 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {(1 + \xi - \zeta) (1 - \xi - \zeta) (1 + \eta_ {i} \eta - \zeta)}{2 (1 - \zeta)}, i = 6, 8 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {(1 + \eta - \zeta) (1 - \eta - \zeta) (1 + \xi_ {i} \xi - \zeta)}{2 (1 - \zeta)}, i = 7, 9 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {\zeta (1 + 2 \xi_ {i} \xi - \zeta) (1 + 2 \eta_ {i} \eta - \zeta)}{(1 - \zeta)}, i = 1 0, 1 1, 1 2, 1 3 +$$ + +$$ +N _ {5} = \zeta (2 \zeta - 1) +$$ + +![](images/page-037_9bc857b190e78af13882b0e6e6fb70590ffd8f24875e60f4e25f6add62133e5e.jpg) + +
+text_image + +(0, 0, 1) +5 +12 +13 +10 +4 +11 +3 +(1, 1, 0) +ξ +η +ξ +(0, 0, 0) +9 +7 +1 (-1, -1, 0) +6 +2 +
+ +그림 3.2.5 오면체(피라미드) 요소의 절점 위치와 자연좌표계 + + + +▶ 8 절점 육면체 + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{8} (1 + \xi_ {i} \xi) (1 + \eta_ {i} \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 1, 2, 3, \dots , 8 +$$ + +▶ 20 절점 육면체 + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{8} (1 + \xi_ {i} \xi) (1 + \eta_ {i} \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta) (\xi_ {i} \xi + \eta_ {i} \eta + \zeta_ {i} \zeta - 2), i = 1, 2, 3, \dots , 8 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{4} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta_ {i} \eta) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 9, 1 1, 1 7, 1 9 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{4} (1 - \eta^ {2}) (1 + \xi_ {i} \xi) (1 + \zeta_ {i} \zeta), i = 1 0, 1 2, 1 8, 2 0 +$$ + +$$ +N _ {i} = \frac {1}{4} (1 - \zeta^ {2}) (1 + \xi_ {i} \xi) (1 + \eta_ {i} \eta), i = 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 +$$ + +![](images/page-038_2750c43af3340e84adf1d34416ed8d5159a420258f375950e85707a865e77a25.jpg) + +
+text_image + +8 +19 +7 +20 +ξ +17 +6 +18 +5 +16 +η +ξ +13 +12 +4 +14 +11 +3 +1 +9 +2 +10 +
+ +그림 3.2.6 육면체 요소의 절점 위치와 자연좌표계 + +위의 형상 함수들을 이용하여 3.1절의 정식화 과정에 적용하려면 수치 적분 (numerical integration) 방법이 필요하다. 수치 적분은 강성 행렬, 질량 행렬, 하중 벡터, 요소 내력(internal force) 등을 계산할 때 필요하며 midas NFX에서 사용하는 수치적분 방법으로는 가우스(Gauss) 적분법과 Lobatto 적분법이 있다. + + + +표 3.2.1 수치적분 방법의 종류와 적용 요소 + +
수치 적분법행렬의 종류적용 요소
Gaussian quadrature강성행렬구조 요소수치 적분을 사용하는 모든 요소
열전도 요소수치 적분을 사용하는 모든 요소
질량행렬분포 질량(consistent mass)모든 요소
집중 질량(lumped mass)대각항 스케일링6(diagonal scaling)을 사용하는 모든 요소
Lobatto quadrature강성행렬구조 요소-
열전도 요소-
질량행렬분포 질량(consistent mass)-
집중 질량(lumped mass)3 절점 삼각형, 4 절점 사각형4 절점 사면체, 6 절점 오면체8 절점 육면체
+ + + +# 3.3 잠김 현상에 대한 보완 + +변위 가정(assumed displacement) 방법만을 이용한 요소는 일반적으로 해의 정확도가 매우 떨어지는 것으로 알려져 있다. 이러한 이유는 잠김(locking) 현상 때문에 이를 해결하여 해의 정확도를 높이는 것은 유한요소 프로그램의 활용성에 있어서 매우 중요하다. midas NFX에서는 다음에 설명하는 방법들을 사용하여 각 요소의 정밀도를 높이고 있다. 각각의 방법은 독립적으로 사용되지 않으며 요소에 따라 2가지 또는 3가지 이상의 기법들이 혼용되어 사용될 수 있다. + +\- 혼합 정식화(mixed hybrid formulation) + +혼합 정식화 방법은 변분 이론 또는 변위와 혼합하여 가정하는 성분에 따라 매우 다양하게 분류할 수 있다. midas NFX에서는 응력 가정(assumed stress) 방법과 혼합 u-p 방법을 사용하고 있다. + +Hellinger-Reissner의 원리에 의해 변위와 응력을 미지수로 하는 변분식은 다음과 같다. + +$$ +\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \boldsymbol {\sigma} + \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} (\nabla \mathbf {u} - \mathbf {D} ^ {- 1} \boldsymbol {\sigma}) d \Omega \tag {3.3.1} +$$ + +임의의 요소에 대해 형상함수에 의한 변위를 $u^{h}=Nd^{e}$ 로, 응력을 $\sigma=P\beta^{e}$ 로 가정하여 대입하면, 위 식의 우변은 다음과 같다. + +$$ +\delta \mathbf {d} ^ {e T} \overline {{{\mathbf {Q}}}} ^ {T} \boldsymbol {\beta} ^ {e} + \delta \boldsymbol {\beta} ^ {e T} (\overline {{{\mathbf {Q}}}} \mathbf {d} ^ {e} - \overline {{{\mathbf {P}}}} \boldsymbol {\beta} ^ {e}) \tag {3.3.2} +$$ + +여기서 $\bar{Q}$ 와 $\bar{P}$ 는 다음과 같다. + +$$ +\overline {{{\mathbf {Q}}}} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {P} ^ {T} \mathbf {B} d \Omega_ {e} \tag {3.3.3} +$$ + +$$ +\overline {{{\mathbf {P}}}} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {P} ^ {T} \mathbf {D} ^ {- 1} \mathbf {P} d \Omega_ {e} \tag {3.3.4} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_005.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_005.md new file mode 100644 index 00000000..edd09a0d --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_005.md @@ -0,0 +1,313 @@ + + +$\beta^{e}$ 는 요소 사이에서 연속적이라고 가정하지 않기 때문에 요소 내에서 다음과 같이 소거할 수 있다. + +$$ +\boldsymbol {\beta} ^ {e} = \overline {{\mathbf {P}}} ^ {- 1} \overline {{\mathbf {Q}}} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.5} +$$ + +이 식을 (3.3.2)에 대입하면 요소 강성은 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {K} ^ {e} = \overline {{{\mathbf {Q}}}} ^ {T} \overline {{{\mathbf {P}}}} ^ {- 1} \overline {{{\mathbf {Q}}}} \tag {3.3.6} +$$ + +응력을 가정하는 함수 P 를 적절하게 선택하는 것은 요소의 성능을 좌우하는 가장 중요한 부분이다. 예를 들어 membrane 요소의 응력 또는 shell 요소의 면내(in-plane) 방향 응력은 다음 $^{7}$ 과 같이 가정한다. + +$$ +\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\} = \mathbf {P} \boldsymbol {\beta} = \mathbf {T} \hat {\mathbf {P}} \boldsymbol {\beta} = \mathbf {T} \left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & 0 & 0 & \eta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \xi \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \boldsymbol {\beta} \tag {3.3.7} +$$ + +여기서 T 는 다음과 같은 콘트라배리언트(contravariant) 응력 성분의 좌표변환 행렬이다. + +$$ +\boldsymbol {\sigma} = \mathbf {T} \hat {\boldsymbol {\sigma}} = \left[ \begin{array}{c c c} j _ {1 1} ^ {2} & j _ {2 1} ^ {2} & 2 j _ {1 1} j _ {2 1} \\ j _ {1 2} ^ {2} & j _ {2 2} ^ {2} & 2 j _ {1 2} j _ {2 2} \\ j _ {1 1} j _ {1 2} & j _ {2 1} j _ {2 2} & j _ {1 1} j _ {2 2} + j _ {1 2} j _ {2 1} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {\xi \xi} \\ \sigma_ {\eta \eta} \\ \tau_ {\xi \eta} \end{array} \right\} \tag {3.3.8} +$$ + +변환 행렬의 각 항은 자코비언(Jacobian)으로부터 계산되며, 주로 요소 중심에서의 값을 이용한다. + + + +$$ +\mathbf {J} = \left[ \begin{array}{l l} \frac {\partial x}{\partial \xi} & \frac {\partial y}{\partial \xi} \\ \frac {\partial x}{\partial \eta} & \frac {\partial y}{\partial \eta} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} j _ {1 1} & j _ {1 2} \\ j _ {2 1} & j _ {2 2} \end{array} \right] \tag {3.3.9} +$$ + +혼합 u-p 법은 응력 의 모든 성분을 가정하는 대신에 정수압 응력(hydrostaticstress) 또는 압력(pressure) 만을 가정하는 방법으로서, 비압축성(incompressible) 재료에서 발생하는 잠김 현상에 대한 해법8으로 이용되어 왔다.응력 텐서를 다음 식과 같이 편차 응력(deviatoric stress)과 압력으로 분해하여Hu-Washizu 변분 원리를 이용한다. + +$$ +\boldsymbol {\sigma} = \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} - p \mathbf {I} \tag {3.3.10} +$$ + +$$ +p = K t r (\boldsymbol {\varepsilon}) +$$ + +Odev : 편차 응력 + +K : 체적 탄성계수 (bulk modulus) + +tr( : 대각합 (trace) + +• 자연 변형률 가정법 (ANS : assumed natural strain) + +자연 변형률 가정법은 고전적인 변위 가정법에서 크게 벗어나지 않기 때문에 쉽게 적용할 수 있는 방법으로 널리 사용되어 왔으며, 특히 shell 요소에 대한 적용 사례9, 10, 11를 많이 찾아볼 수 있다. 이론적으로는 Hu-Washizu 원리를 기반으로 하고 있으나, 유한요소법에 적용할 때에는 B-bar 방법의 일종으로 간주할수 있다. + + + +![](images/page-043_46f439ff303c3dd4d12ab596b271f6e85ceb8595d9ba3bcb784f55710a471060.jpg) + +
+text_image + +4 +η +D +3 +A +C +ξ +1 +B +2 +
+ +![](images/page-043_2e86bb8ac0829a2493e26c57b527090b46169ec4d78666be3f304a8b84ec9e25.jpg) + +
+text_image + +Local transverse direction +x +x Integration +point x +x +
+ +그림 3.3.1 횡방향 전단 변형률의 가정 + +예를 들어 위의 그림과 같은 4절점 shell 요소의 횡방향 전단 변형률에 자연 변형률 가정법을 적용해 보자. 자연 좌표계 성분 중 $\gamma_{\xi Z}$ 는 B, D위치에서, $\gamma_{\eta Z}$ 는 A, C 위치에서 정확한 것으로 알려져 있다. 이 값들을 이용하여 적분점에서의 변형률을 다음과 같이 보간한다. + +$$ +\gamma_ {\xi z} = \frac {1}{2} (1 - \eta) \gamma_ {\xi z} ^ {B} + \frac {1}{2} (1 + \eta) \gamma_ {\xi z} ^ {D} \tag {3.3.11} +$$ + +$$ +\gamma_ {\eta z} = \frac {1}{2} (1 - \xi) \gamma_ {\eta z} ^ {A} + \frac {1}{2} (1 + \xi) \gamma_ {\eta z} ^ {C} \tag {3.3.12} +$$ + +자연 좌표계에서의 변형률은 다음의 변환식을 이용하여 공간 좌표계로 변환할 수 있다. + +$$ +\boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {x z} \\ \gamma_ {y z} \end{array} \right\} = \mathbf {T} ^ {- T} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {\xi z} \\ \gamma_ {\eta z} \end{array} \right\} \tag {3.3.13} +$$ + +여기서 T 는 다음과 같은 콘배리언트(covariant) 성분의 좌표변환 행렬이다. + +$$ +\mathbf {T} = \left[ \begin{array}{l l} j _ {1 1} & j _ {2 1} \\ j _ {1 2} & j _ {2 2} \end{array} \right] \tag {3.3.14} +$$ + + + +변환 행렬의 각 항은 자코비언(Jacobian)으로부터 계산된다. 자연 변형률 가정법은 (3.3.11)\~(3.3.13)을 이용하여 변형률만을 바꾸어주기 때문에, 고전 변위 가정법에서 B 행렬을 다음과 같이 수정하는 것과 같다. + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} = \nabla \mathbf {u} = \overline {{\mathbf {B}}} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.15} +$$ + +\- 개선된 변형률 가정법 (EAS : enhanced assumed strain) + +개선된 변형률 가정법은 비적합 모드(incompatible mode) $^{12}$ 를 이용한 방법과 매우 유사하며 결과 또한 동일하지만, Hu-Washizu 원리에 이론적 기반을 두고 있으며 변위가 아닌 변형률 가정에서 출발한다는 점 $^{13}$ 에서 다르다. 다음의 Hu-Washizu 변분식은 3가지 항(변위, 변형률, 응력)을 미지수로 가정하고 있다. + +$$ +\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \boldsymbol {\sigma} + \delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {T} (\mathbf {D} \boldsymbol {\varepsilon} - \boldsymbol {\sigma}) + \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} (\nabla \mathbf {u} - \boldsymbol {\varepsilon}) d \Omega \tag {3.3.16} +$$ + +변형률 ε을 변위로부터 계산된 적합(compatible) 향과 비적합 항(개선된 변형률 가정)의 합으로 가정한다. + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} = \nabla \mathbf {u} + \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} \tag {3.3.17} +$$ + +위 식을 (3.3.16)에 대입하여 정리하면 다음과 같다. + +$$ +\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \mathbf {D} (\nabla \mathbf {u} + \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}}) + \delta \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} ^ {T} (\mathbf {D} \nabla \mathbf {u} + \mathbf {D} \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} - \boldsymbol {\sigma}) - \delta \boldsymbol {\sigma} ^ {T} \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} d \Omega \tag {3.3.18} +$$ + +응력 분포와 변형률의 비적합 항이 요소 내에서 직교한다고 가정하면 변위와 개선된 변형률만으로 이루어진 다음 식이 된다. + + + +$$ +\delta G _ {e x t} = \int_ {\Omega} (\nabla \delta \mathbf {u}) ^ {T} \mathbf {D} (\nabla \mathbf {u} + \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}}) + \delta \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}} ^ {T} (\mathbf {D} \nabla \mathbf {u} + \mathbf {D} \overline {{\boldsymbol {\varepsilon}}}) d \Omega \tag {3.3.19} +$$ + +임의의 요소에 대해 형상함수에 의한 변위를 $u^{h}=Nd^{e}$ 로, 개선된 변형률을 $\overline{\varepsilon}=G\alpha^{e}$ 로 가정하여 대입하면, 위 식의 우변은 다음과 같다. + +$$ +\delta \mathbf {d} ^ {e T} \mathbf {K} _ {d d} ^ {e} \mathbf {d} ^ {e} + \delta \mathbf {d} ^ {e T} \mathbf {K} _ {d \alpha} ^ {e} \mathbf {a} ^ {e} + \delta \mathbf {a} ^ {e T} \mathbf {K} _ {\alpha d} ^ {e} \mathbf {d} ^ {e} + \delta \mathbf {a} ^ {e T} \mathbf {K} _ {\alpha \alpha} ^ {e} \mathbf {a} ^ {e} \tag {3.3.20} +$$ + +여기서 $K_{dd}^{e}$ 는 변위 가정에 의한 고전적인 요소강성이며 $K_{d\alpha}^{e}$ 와 $K_{\alpha\alpha}^{e}$ 는 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {K} _ {d \alpha} ^ {e} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {G} d \Omega_ {e} \tag {3.3.21} +$$ + +$$ +\mathbf {K} _ {\alpha \alpha} ^ {e} = \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {G} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {G} d \Omega_ {e} \tag {3.3.22} +$$ + +$a^{e}$ 는 요소 사이에서 불연속이라 가정하고 $\delta a^{e}$ 에 대한 외력의 일(work)은 없기 때문에 요소 내에서 다음과 같이 소거할 수 있다. + +$$ +\boldsymbol {\alpha} ^ {e} = - \mathbf {K} _ {\alpha \alpha} ^ {e - 1} \mathbf {K} _ {\alpha d} ^ {e} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.23} +$$ + +이 식을 (3.3.20)에 대입하면 요소 강성은 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {K} ^ {e} = \mathbf {K} _ {d d} ^ {e} - \mathbf {K} _ {d \alpha} ^ {e} \mathbf {K} _ {\alpha \alpha} ^ {e - 1} \mathbf {K} _ {\alpha d} ^ {e} \tag {3.3.24} +$$ + +개선된 변형률을 가정하는 함수 G 를 적절하게 선택하는 것은 요소의 성능을 좌우하는 가장 중요한 부분이다. + +\- 연계 보간법 (linked interpolation) + +연계 보간법은 주로 shell 요소에서 사용하며 횡방향 성능 향상 $^{14}$ 을 위한 사례와 + + + +면내 방향 성능 향상을 위한 사례가 있다. 특히 면내 방향 성능 향상을 위한 연계 보간법은 Allman $^{15}$ 의 drilling 회전을 고려한 membrane 요소로 잘 알려져 있다. midas NFX에서는 Sze $^{16}$ 에 의해 제안된 6자유도 회전을 가지는 shell 요소의 연계 보간법을 사용하고 있다. + +![](images/page-046_3ba7d253480986d6d6becca74bfa66670c2abc456681835ed1f62efd29586e20.jpg) + +
+text_image + +1 +θ₁ +4 +η +3 +u₅ +5 +2 +ξ +θ₂ +
+ +그림 3.3.2 절점 회전과 고차 형상함수 + +예를 들어 위의 그림과 같은 4절점 shell 요소의 변위장에 연계 보간법을 적용해 보자. 요소의 중립면 변위를 일반적인 4절점 형상함수에 의한 부분과 절점 회전에 의한 부분으로 구분하여 표현하면 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {u} = \left\{ \begin{array}{l} u \\ v \\ w \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} u _ {I} N _ {I} \\ v _ {I} N _ {I} \\ w _ {I} N _ {I} \end{array} \right\} + \frac {1}{8} H _ {J} \left\{ \begin{array}{l l} y _ {j} (\omega_ {z j} \omega) _ {z i} & z (\varphi_ {i} - _ {y} \varphi) \\ z (\omega_ {x j} \omega) _ {x i} & x (\varphi_ {i} - _ {z} \varphi) \\ x _ {j} (\omega_ {y j} \omega) _ {y i} & y (\varphi_ {i} - _ {x} \varphi) \end{array} \right\} _ {x i} ^ {y i} I = 1, 2, 3, \tag {3.3.25} +$$ + +$N_{I}$ : 형상 함수 + +$H_{J}$ : 고차(8 절점) 형상함수 + + + +$$ +u _ {I}, v _ {I}, w _ {I} \quad : \text { 절점 변위 } +$$ + +$$ +\omega_ {\alpha j} \quad : \text { 절점 회전 } +$$ + +$$ +x _ {j i}, y _ {j i}, z _ {j i} \quad : \text { 절점간 거리 } \left(x _ {j i} = x _ {j} - x _ {i}, y _ {j i} = y _ {j} - y _ {i}, z _ {j i} = z _ {j} - z _ {i}\right) +$$ + +여기서 절점 번호 는 변의 중간절점 에 인접한 절점을 나타내며,과 의 관계를 가진다. + +결국 연계 보간법은 저차 요소의 절점 회전을 이용하여 변의 중간절점의 변위를가정하고, 이 값을 고차 형상함수에 적용하는 것과 같다. 연계 보간법은 각 변의변형 형상이 2차 특성을 가지기 때문에 잠김 현상을 제거해 줄 뿐만 아니라 인접한 요소에 대한 적합 조건도 만족하고 있다. + +# • 감차 적분법 + +적분 차수를 낮게 적용한 적분점에서의 변형률은 다른 위치에서의 값보다 정확한 것으로 알려져 있다17, 18. 또한 요소의 잠김 현상은 일반적으로 변형률의 불필요한 차수 때문에 발생하므로 수치적분을 통하여 이러한 고차 변형 형상을 제거할 수 있다. 그러나 감차 적분은 경우에 따라 강성 행렬의 수치적 성질을 악화시키기 때문에 가영 에너지 모드(spurious zero energy mode, hourglass mode)를 유발할 수도 있다. + +# • 감차적분의 안정화(stabilization) 기법 + +일반적으로 3 차원 저차 요소의 변형률은 다음과 같은 식으로 근사화 할 수있다. + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} = \nabla \mathbf {u} \approx (\mathbf {B} _ {0} + \mathbf {B} _ {1} (\xi , \eta , \zeta)) \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.26} +$$ + +적분 차수를 낮게 적용하여 요소의 잠김 현상을 제거하는 방법은 만을이용하는 것과 같고, 이는 요소의 중심에서 변형률을 평가하는 것과 같다.그러나 요소 중심의 변형률을 이용하는 경우 균일한 변형이 가해지는 검증해석(patch test)을 만족하지 못하는 문제가 발생하며, 이를 해결하기 위하여 + + + +$B_{0}$ 를 $\overline{B}_{0}$ 로 대체하는 것이 일반적이다 $^{19}$ . 평균 변형률에 해당하는 $\overline{B}_{0}$ 는 다음식을 만족한다. + +$$ +\overline {{{\mathbf {B}}}} _ {0} = \frac {1}{V _ {e}} \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {B} d \Omega_ {e} \tag {3.3.27} +$$ + +평균 변형률에 해당하는 $\bar{B}_{0}$ 만을 이용하게 되면 앞서 설명한 가영 에너지 모드에 대한 변형 에너지가 고려되지 않으며, 저차 요소에서는 그 현상이 매우 심하기 때문에 이를 안정화 할 수 있는 기법이 필요하다. “Hourglass control”이라 불리는 안정화 기법에는 다양한 방법이 존재하며, midas NFX에서는 Puso $^{20}$ 에 의해 제안된 물리적 안정화(physical stabilization) 기법을 이용한다. 안정화 변형률 계산을 위해 $B_{1}$ 을 자연 좌표계에 대해 표현하면 다음과 같다. + +$$ +\tilde {\mathbf {B}} _ {1} = \xi \tilde {\mathbf {B}} _ {\xi} + \eta \tilde {\mathbf {B}} _ {\eta} + \zeta \tilde {\mathbf {B}} _ {\zeta} + \xi \eta \tilde {\mathbf {B}} _ {\xi \eta} + \eta \zeta \tilde {\mathbf {B}} _ {\eta \zeta} + \zeta \xi \tilde {\mathbf {B}} _ {\zeta \xi} \tag {3.3.28} +$$ + +위 식의 변형률을 모두 사용하게 되면 감차 적분의 효과가 사라지기 때문에, 일부 전단 변형률 항을 제외하는 것이 일반적이다. + +평균 변형률과 안정화 기법을 적용하면 선택적 감차 적분(selective reduced integration)과 동일한 효과를 얻을 수 있을 뿐만 아니라, 수치 적분 과정을 다음식으로 대체하기 때문에 계산 속도에 있어서 큰 장점이 있다. + +$$ +\int_ {\Omega_ {e}} [ ] d \Omega_ {e} = \frac {V _ {e}}{8} \iiint [ ] d \xi d \eta d \zeta \tag {3.3.29} +$$ + +\- 비적합(non-conforming) 요소 + +비적합 요소는 요소간 적합조건을 적분 형태로 만족하도록 하기 위해 변형률을 분해하는 방법을 사용한다. 앞서 설명한 EAS 방법 역시 비적합 요소의 일종으로 + + + +볼 수 있다. 일반적으로 요소간의 적합조건을 적분 형태로 표현하면 다음과 같다. + +$$ +\int_ {\Omega_ {e}} u _ {i, j} ^ {*} d \Omega = \int_ {\partial \Omega_ {e}} \overline {{u}} _ {i} n _ {j} d S \tag {3.3.30} +$$ + +u : 요소 내부에서 가정한 변위 + +u : 요소의 바깥 면에서 가정한 변위 + +n j : 요소 바깥 면에 수직한 벡터 (direction cosine) + +j : 방향 미분 + +요소 내부에서 가정한 변위는 일반적인 형상함수를 이용한 부분과 그 외의 추가부분으로 구성한다. + +$$ +\mathbf {u} ^ {*} = \mathbf {N} \mathbf {d} ^ {e} + \mathbf {P} \boldsymbol {\lambda} \tag {3.3.31} +$$ + +요소의 바깥 면에서 가정한 변위 역시 일반적인 형상함수를 이용한 부분과 그외의 추가 부분으로 가정한다. 단, 가정된 변위는 절점 변위의 보간 형태로 표현한다. + +$$ +\overline {{{\mathbf {u}}}} = \mathbf {N} \mathbf {d} ^ {e} + \alpha \mathbf {M} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.32} +$$ + +M : 추가된 형상함수 ( ) + +위 식에서 는 임의의 계수이며, 요소의 수렴성 또는 해의 정확도를 기초로 가장 적절한 값을 사용한다. (3.3.31)과 (3.3.32)를 (3.3.30)에 대입하면 를 이용하여 λ 를 계산할 수 있다. 계산된 를 이용하면 요소의 변형률이 다음과 같이표현된다. + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} = \mathbf {B} \mathbf {d} ^ {e} + (\nabla \mathbf {P}) \boldsymbol {\lambda} \tag {3.3.33} +$$ + + + +비적합 요소는 변위 가정법에서 행렬을 다음과 같이 수정하는 것과 같다. + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} = \nabla \mathbf {u} = \overline {{{\mathbf {B}}}} \mathbf {d} ^ {e} \tag {3.3.34} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_006.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_006.md new file mode 100644 index 00000000..d7a78bef --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_006.md @@ -0,0 +1,270 @@ + + +# 3.4 Rod 요소 + +Rod 요소는 2/3개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소이며, 일반적으로 공간트러스(space truss) 또는 대각부재(diagonal brace) 등 단면적에 비해 길이가긴 부재를 모델링하는데 사용된다. + +![](images/page-051_3688148f737ee2bbbdad9df1bd03cfede3b1074430f377e7b74b3bf54751447e.jpg) + +
+text_image + +M_x, \u0394_x +N_xx, \u0394_xx +ECS - x +2 +3 +1 +M_x, \u0394_x +N_xx, \u0394_xx +
+ +그림 3.4.1 Rod 요소의 좌표계와 응력/변형률 + +• 좌표계 + +Rod 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. 유한요소 정식화는 ECS를 기준으로 한다. + +• 자유도 + +Rod 요소는 ECS의 x축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \right\}, \quad \mathbf {0} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \right\} \tag {3.4.1} +$$ + +• 응력과 변형률 + +Rod 요소는 그림 3.4.1과 같이 ECS에서 정의된 축방향 변형와 비틀림을 표현한다. + + + +$$ +\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.4.2} +$$ + +$$ +\mathbf {T} = \left\{M _ {x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varphi} = \left\{\phi_ {x} \right\} (\text { 비틀림 모멘트와 비틀림 }) \tag {3.4.3} +$$ + +• 하중 + +Rod 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + +표 3.4.1 Rod 요소에 적용되는 하중 +
하중 종류설명
중력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
초기 힘/스트레스선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨
프리텐션선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의 축방향 강성이 무시됨
+ +• 요소 결과 + +Rod 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는항상 ECS이다. + +표 3.4.2 Rod 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressAxial stress위치 : A-B 단, $\sigma_{xx}$
Torsional stress위치 : A-B 단,비틀림 응력 계수 $c$ 로부터계산( $\tau = Tc / J$ )
StrainAxial strain위치 : A-B 단, $\varepsilon_{xx}$
Torsional strain위치 : A-B 단
Force/MomentAxial force위치 : A-B 단, $N_{xx}$
+ + + +
Torque위치 : A-B 단, $M_x$
Misc.Strain energy위치 : 요소 중심
Total percent energy위치 : 요소 중심
Energy density위치 : 요소 중심
+ +• 비선형 해석 + +Rod 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수있다. 또한, 인장전담/훅, 압축전담/갭 과 같은 비선형 강성 모델도 고려할 수 있다. + +그림 3.4.2에서 $h _ { 0 }$ 와 $c _ { 0 }$ 는 훅길이, 허용 압축 하중을 의미하며, $g _ { 0 }$ 와 $t _ { 0 }$ 는 갭길이, 허용 인장 하중을 의미한다. + +![](images/page-053_1299751711101c316a9f9eec30c394ff1b097e18df23c4cc554be34a5ded1035.jpg) + +
+text_image + +fₓₓ +c₀ +h₀ +δₓₓ +
+ + + +![](images/page-054_16255193504e4f032141db0f87d2df40bf3a5363b4582bb7a55546cbf650fa1b.jpg) + +
+text_image + +f_{xx} +t_0 +g_0 +\delta_{xx} +
+ +그림 3.4.2 Rod 요소의 인장전담/훅, 압축전담/갭 거동 + +비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다. + + + +표 3.4.3 Rod 요소의 비선형해석 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressEquivalent stress위치 : A-B 단,소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
Plastic status위치 : A-B 단,탄성/소성, 0/1
StrainEquivalent strain위치 : A-B 단,소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
Effective plastic strain위치 : A-B 단, $e_{p}$
+ + + +# 3.5 Embedded Rod 요소 + +Embedded Rod 요소의 형상, 좌표계, 물성치와 같은 입력변수는 Rod 요소의 그것과 동일하다. 하지만 Rod 요소를 다른 요소와 함께 사용할 때에는 반드시 절점을 공유해야 하는 반면, Embedded Rod 요소는 절점을 공유하지 않아도 되기때문에 편리하게 모델링 및 해석을 할 수 있다. Embedded Rod 요소는 그림3.5.1과 같이 모체 요소(mother element)에 매립된 형태로 사용되며, plate,membrane, axisymmetric, plane strain, solid 요소에 매립될 수 있다. + +![](images/page-056_318c5c26cd0c5043cdc6d049f603154487eb617c895b0bfd2af69260917f255f.jpg) + +
+text_image + +Mother +Element 1 +1 +2 +Mother +Element 2 +
+ +그림 3.5.1 모체 요소 안의 Embedded Rod 요소 + +Embedded Rod 요소의 모체 요소는 Embedded Rod 요소의 각 절점을 포함 하는 요소로 결정되며, 각 절점의 변위는 모체요소의 내부 변위와 일치하도록 다절점 구속식(multi-point constraint)을 통해 자동 구속된다. + +• 좌표계 + +Embedded Rod 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. 유한요소 정식화는 ECS를 기준으로 한다. + +• 자유도 + +Embedded Rod 요소는 ECS의 x축 방향으로 변위를 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \right\} \tag {3.5.1} +$$ + + + +![](images/page-057_2172460346049ae98e5c8b48f808a1b581cd3d71c6d9ff6ad6fed9dedf9a622b.jpg) + +
+text_image + +Nₓₓ, εₓₓ +Nₓₓ, εₓₓ +1 +2 +ECS-x +
+ +그림 3.5.2 Embedded Rod 요소의 좌표계와 응력/변형률 + +• 응력과 변형률 + +Embedded Rod 요소는 그림 3.5.2과 같이 ECS에서 정의된 축방향 변형와 비틀림을 표현한다. + +$$ +\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \tag {3.5.2} +$$ + +(축방향 힘과 변형률) + +• 하중 + +Embedded Rod 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + +표 3.5.1 Embedded Rod 요소에 적용되는 하중 +
하중 종류설명
중력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
요소 온도 하중축방향 변형을 유발하는 요소 온도
초기 힘/스트레스선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨
프리텐션선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의축방향 강성이 무시됨
+ + + +# • 요소 결과 + +Embedded Rod 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준좌표계는 항상 ECS이다. + +표 3.5.2 Rod 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressAxial stress위치 : A-B 단, $\sigma_{xx}$
StrainAxial strain위치 : A-B 단, $\varepsilon_{xx}$
ForceAxial force위치 : A-B 단, $N_{xx}$
+ +# • 비선형 해석 + +Embedded Rod 요소는 Rod 요소와 마찬가지로, 기하학적 비선형성과 재료적인비선형성을 고려할 수 있다. 이에 대한 설명과 결과 항목은 Rod 요소와 일치한다. + + + +# 3.6 Bar 요소 + +Bar 요소는 2/3개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선요소이며, 단면의 치수에 비하여 길이가 긴 부재가 굽힘 변형을 받을 때 주로 사용된다. 길이에 대한 단면의 폭 또는 높이비가 대략 1/5 보다 커질 경우에는 전단변형에 의한 영향이 매우 커지게 되므로, bar 요소를 사용하지 않고 shell 요소나 solid 요소를 사용하는 것이 바람직하다. + +# • 좌표계 + +Bar 요소의 ECS에서 x축 방향은 절점 1에서 2 방향을 향한다. ECS에서 y축과 z축의 방향은 기준 절점 또는 기준 벡터를 이용하여 결정한다. 그림 3.6.1은 기준절점을 이용하여 x-y 평면을 결정하는 방법을 보여주고 있다. 이 때 기준 절점은 ECS의 x축 선상에 있지 않아야 한다. 그림 3.6.2는 기준 벡터를 이용하여 x-y평면을 결정하는 방법을 나타내고 있다. 기준 벡터 역시 ECS의 x축과 평행하게정의할 수 없다. Bar 요소의 유한요소 정식화는 ECS에 대하여 수행한다. + +![](images/page-059_01c06f560595dbd2afd8b3b336435c0f77e7dfdc1ccc0651d7da60ba261ef2ce.jpg) + +
+text_image + +ECS - y +ECS - z +Reference node +ECS - x +1 +2 +3 +z +y +GCS +x +
+ +그림 3.6.1 기준절점을 이용한 bar 요소의 좌표계 설정 + + + +![](images/page-060_210831e00a6c6e2089077ba119ac6c5428c85a87c200b971382f824e82ae4f31.jpg) + +
+text_image + +ECS - y +ECS - z +Reference +vector +ECS - x +1 +2 +3 +z +y +GCS +x +
+ +그림 3.6.2 기준벡터를 이용한 bar 요소의 좌표계 설정 + +\- 자유도 + +Bar 요소는 ECS의 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T}, \quad \boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {3.6.1} +$$ + +\- 응력과 변형률 + +Bar 요소는 그림 3.6.3과 같이 ECS에서 정의된 축방향 변형, 굽힘, 비틀림, 전단 변형 등을 고려할 수 있다. 전단 변형을 고려하지 않는 Euler 이론을 적용할 경우에는 전단 단면적 계수(shear area factor)에 0을 입력하면 된다. + +$$ +\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.6.2} +$$ + +$$ +\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {y} \\ M _ {z} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {y} \\ \kappa_ {z} \end{array} \right\} \quad (\text { Golf림 모멘트와 곡률 }) \tag {3.6.3} +$$ + +$$ +\mathbf {T} = \left\{M _ {x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varphi} = \left\{\phi_ {x} \right\} \quad (\text {비틀림 모멘트와 비틀림 }) \tag {3.6.4} +$$ + +$$ +\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {y} \\ Q _ {z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad \text {(전단력과 전단변형률)} \tag {3.6.5} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_007.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_007.md new file mode 100644 index 00000000..36c6cd5a --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_007.md @@ -0,0 +1,302 @@ + + +![](images/page-061_d47cc75973f73306ac387908d6556f5f17f779cde99f39a33b25995e9d8fc914.jpg) + +
+text_image + +ECS - z +ECS - y +ECS - x +Mz, κz +Qz, γzx +Mx, φx +Nxx, εxx +1 +2 +My, κy +Qy, γxy +My, κy +Mx, φx +Qy, γxy +
+ +그림 3.6.3 Bar 요소의 좌표계와 응력/변형률 + +• 하중 + +Bar 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + +표 3.6.1 Bar 요소에 적용되는 하중 + +
하중 종류설명
종력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
Bar 요소 하중요소의 절점 사이 임의 구간에 작용하는 분포하중또는 요소의 절점 사이 임의 위치에 작용하는 집중하중
Bar 요소 온도 하중축방향 변형을 유발하는 단면 평균 온도굽힘을 유발하는 단면 온도 구배
Bar 선행 하중축방향 초기 부재력을 유발하는 하중 (볼트 하중)
초기 힘/스트레스선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨
프리텐션선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의 축방향강성이 무시됨
+ + + +Bar 요소 하중은 그림 3.6.4와 같이 분포하중 또는 집중하중의 형태로 재하할수 있으며, ECS 또는 GCS에 대하여 방향을 설정할 수 있다. 여기서 하중 방향을GCS에 대하여 설정하는 경우에는 GCS와 ECS x축 간의 각도를 이용하여 크기를스케일링 할 수 있다.(그림 3.6.5) + +![](images/page-062_af1a054dd3d5348723b8d19d030d59a152770bebcb93cfda566e24ee2a3429e6.jpg) + +
+text_image + +p₁ +p₂ +1 +m₁ +m₂ +2 +
+ +![](images/page-062_2dd3192234d1c8db2b9ceaf58f6c43ad712be6507b863b3dd6f3d5747287f760.jpg) + +
+text_image + +P +M +1 +2 +
+ +그림 3.6.4 Bar 요소 하중의 적용 예 + +![](images/page-062_9ffc293b8739eae1c487b040e20d7e18c91f7f846af0fc16f5ec855c4d204b3b.jpg) + +
+text_image + +GCS +x +z +w +w +θ +L +θ +L +
+ +그림 3.6.5 하중 방향에 따른 bar 요소 하중의 스케일링 + +• 요소 결과 + +Bar 요소를 사용했을 경우에 확인할 수 있는 결과 항목은 다음과 같으며 기준좌표계는 항상 ECS이다. + + + +표 3.6.2 Bar 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressAxial stress위치 : A-B 단 $\sigma_{xx}$
Torsional stress위치 : A-B 단비틀림 응력 계수 $c$ 로부터 계산( $\tau = Tc / J$ )
Shear stress위치 : A-B 단전단 단면적 계수와 단면적으로 부터 계산 $\tau_{xy} = Q_y / (S_{ky}A)$ , $\tau_{xz} = Q_z / (S_{xz}A)$
Point stress위치 : A-B 단사용자 지정 위치(C,D,E,F)에서 굽힘에 의한 응력 $\sigma_{xx}$
Max/Min stress위치 : A-B 단C~F 위치 중 Axial stress 와 Point stress 합의 최대/최소
Von-mises stress위치 : A-B 단 $\sigma_v = \sqrt{\sigma_{xx}^2 + 3(\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2 + \tau^2)}$
StrainAxial strain위치 : A-B 단 $\varepsilon_{xx}$
Torsional strain위치 : A-B 단
Shear strain위치 : A-B 단
Point strain위치 : A-B 단사용자 지정 위치(C,D,E,F)에서 굽힘에 의한 변형률 $\varepsilon_{xx}$
Max/Min strain위치 : A-B 단C~F 위치 중 Axial strain 과 Point strain 합의 최대/최소
Von-mises strain위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\varepsilon_v$ )
+ + + +
Force/MomentAxial force위치 : A-B 단 $N_{xx}$
Bending moment위치 : A-B 단, $M_y$ , $M_z$
Torque위치 : A-B 단, $M_x$
Shear force위치 : A-B 단, $Q_y$ , $Q_z$
Misc.Strain energy위치 : 요소 중심
Total percent energy위치 : 요소 중심
Energy density위치 : 요소 중심
+ +![](images/page-064_64aa77e03df9fe4e0d516c4b9bbf411d44cc874707331d940b278ffd11e40015.jpg) + +
+text_image + +ECS - y +ECS - z +ECS - x +Mz +Qz +Mx +Nxx +B +Mz +Mz +My +Qy +My +Nxx +A +Qy +My +Mx +Mz +ECS - y +F +C +E +D +Recovery point +(I-section) +ECS - z +
+ +그림 3.6.6 Bar 요소의 결과 출력 위치와 방향 + +# • 단부 해제조건(release) + +단부 해제조건은 부재의 양단이 핀접합과 같이 특정 방향의 운동에 대해 상호구속이 발생하지 않는 경우에 사용한다. 단부 해제조건은 ECS에 대해 적용되기때문에 GCS에 대한 연결 해제를 입력하고자 하는 경우에는 좌표계 상호관계를정확히 파악하여 사용해야 한다. 또한 단부 해제가 적용된 절점에는 구속되지않은 추가 자유도가 발생하므로 전체 구조물에 대한 충분한 고려가 필요하다. + + + +![](images/page-065_255f8cccec7821fa32678edbe9cd4686f8ec065bc74cff4ba67e9ae3c8b46882.jpg) + +
+text_image + +Rotation DOF +released +Sliding joint +Pin joint +Translation DOF +released +
+ +그림 3.6.7 단부 해제조건의 적용 예 + +• 오프셋(offset) + +Bar 요소의 중립축이 절점과 격리되어 있는 경우 또는 연결되는 요소간의 중립축이 일치하지 않는 경우에는 오프셋을 사용할 수 있다. 오프셋은 bar 요소의절점에 설정되어 있는 NCS에 대해 적용되며, 오프셋이 요소의 축방향으로 설정된 경우에는 요소의 길이에 변화가 있는 것으로 간주한다. + +![](images/page-065_210ff0c49f98a3db21c5d3d7f96079d46faa1b67b7549be271c1043ce5d392cf.jpg) + +
+text_image + +eccentricity in +the Y-direction +eccentricity in +the Z-direction +ECS - z +ECS - y +ECS - x +eccentricity in +the X-direction +
+ +그림 3.6.8 오프셋의 적용 예 + +• 비선형 해석 + +Bar 요소는 기하학적 비선형성만을 고려할 수 있으며, 비선형 또는 비탄성 재료를 사용할 수 없다. 그러므로 비선형 해석 시에 추가적인 결과 항목은 없다. + + + +# 3.7 Embedded Bar 요소 + +Embedded Bar 요소의 형상, 좌표계, 물성치 등의 입력 변수와 요소 결과는 Bar요소의 그것과 동일하다. 또한, Bar 요소와 마찬가지로 단부 해제조건, 오프셋을적용할 수 있다. Bar 요소를 다른 요소와 함께 사용할 때에는 반드시 절점을 공유해야 하는 반면, Embedded Bar 요소는 절점을 공유하지 않아도 되기 때문에편리하게 모델링 및 해석을 할 수 있다. + +![](images/page-066_fea7aaa502967ff78d10b05bbe4407f1b9b3e8a58236dff3617d2b29c4dd0f21.jpg) + +
+text_image + +Mother +Element 1 +1 +2 +Mother +Element 2 +
+ +그림 3.7.1 모체 요소 안의 Embedded Bar 요소 + +Embedded Bar 요소는 그림 3.7.1과 같이 모체 요소(mother element)에 매립된형태로 사용되며, plate, membrane, axisymmetric, plane strain, solid 요소에 매립될 수 있다. Embedded Bar 요소의 모체 요소는 Embedded Bar 요소의 각 절점을 포함 하는 요소로 결정된다. + +Embedded Bar 요소의 절점의 변위는 모체요소의 내부 변위와 일치하도록 다절점 구속식(multo-point constraint)을 통해 자동 구속된다. + +• 좌표계, 자유도, 응력과 변형률, 하중, 요소 결과 + +좌표계, 자유도, 응력과 변형률, 하중, 그리고 요소 결과에 대한 설명의 Bar 요소와 동일하다. + + + +# 3.8 Pipe 요소 + +Pipe 요소는 2/3개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소로서 bar 요소와 유사한 성질을 가지지만 파이프 내압을 고려할 수 있는 특징이 있다. Pipe 요소 단면의 형상은 그림 3.8.1과 같이 실린더(cylinder) 모양으로 가정한다. + +![](images/page-067_70ca03964ae6633e7b43a21b363cd7e82ff1396b3d7b434c056847cf0c9594d5.jpg) + +
+text_image + +Outer diameter (d_out) +Wall thickness ( t_wall ) +
+ +그림 3.8.1 Pipe 요소의 단면 정의 + +• 좌표계 + +Pipe 요소의 ECS는 bar 요소와 동일한 방법으로 정의하며, 유한요소 정식화는ECS를 기준으로 한다. + +• 자유도 + +Pipe 요소는 ECS의 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T}, \quad \boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {3.8.1} +$$ + +• 응력과 변형률 + +Pipe 요소는 bar 요소와 동일하게 ECS에서 정의된 축방향 변형, 굽힘, 비틀림,전단 변형 등을 고려할 수 있다. + + + +$$ +\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.8.2} +$$ + +$$ +\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {y} \\ M _ {z} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {y} \\ \kappa_ {z} \end{array} \right\} \quad \text {(급힘 모멘트와 곡률)} \tag {3.8.3} +$$ + +$$ +\mathbf {T} = \left\{M _ {x} \right\}, \quad \boldsymbol {\varphi} = \left\{\phi_ {x} \right\} \quad (\text {비틀림 모멘트와 비틀림}) \tag {3.8.4} +$$ + +$$ +\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {y} \\ Q _ {z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad \text {(전단력과 전단변형률)} \tag {3.8.5} +$$ + +\- 하중 + +Pipe 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + +표 3.8.1 Pipe 요소에 적용되는 하중 +
하중 종류설명
중력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
Bar 요소 하중요소의 절점 사이 임의 구간에 작용하는 분포하중또는 요소의 절점 사이 임의 위치에 작용하는 집중하중
Bar 요소 온도 하중축방향 변형을 유발하는 단면 평균 온도굽힘을 유발하는 단면 온도 구배
Pipe 요소 내압Pipe 의 둘레방향 또는 길이방향 변형을 유발하는 하중
+ +Pipe 요소의 내압은 요소의 끝단이 막혀 있는지 여부에 따라 구조물의 변형에 미치는 효과가 달라진다. 아래의 식은 내압에 의해 발생하는 요소 둘레방향 응력을 나타낸다. + +$$ +\sigma_ {h o o p} = \frac {\int_ {0} ^ {\pi} r _ {m} P \sin \theta d \theta}{2 t _ {w a l l}} \tag {3.8.6} +$$ + +P : Pipe 요소의 내압 + +$r_{m}$ : Pipe 평균 반지름 $(d_{out} - t_{wall}) / 2$ + + + +둘레방향 응력은 프와송비에 의해 길이방향 초기응력을 발생시키며 그 크기는다음과 같다. + +$$ +\sigma_ {L} = \nu \sigma_ {\text { hoop }} \tag {3.8.7} +$$ + +Pipe 요소의 끝단이 막혀 있는 경우에는 내압에 의한 하중이 길이 방향으로추가 작용하게 된다. + +$$ +F _ {L} = \pi r _ {m} ^ {2} P \tag {3.8.8} +$$ + +• 요소 결과 + +Pipe 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는항상 ECS이다. + +표 3.8.2 Pipe 요소의 결과 항목 +
결과 항목설명
StressLongitudinal stress위치 : A-B 단 굽힘응력(최대굽힘 방향)과 길이방향 응력의 합 ( $\sigma_{xx}$ )
Torsional stress위치 : 요소 중심 비틀림에 의한 전단응력 ( $\tau_{x\theta}$ )
Hoop stress위치 : A-B 단 내압에 의한 응력 ( $\sigma_{\theta\theta}$ )
Max principal stress위치 : A-B 단 3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $P_{1}$ )
Max shear stress위치 : A-B 단 3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\tau_{max}$ )
Von-mises stress위치 : A-B 단 3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\sigma_{v}$ )
+ + + +
StrainLongitudinal strain위치 : A-B 단급힘변형률과 길이방향 변형률의 합 ( $\varepsilon_{xx}$ )온도구배에 의한 변형률은 반영되지 않음
Torsional strain위치 : 요소 중심비틀림에 의한 전단변형률 ( $\gamma_{x\theta}$ )
Hoop strain위치 : A-B 단내압에 의한 변형률 ( $\varepsilon_{\theta\theta}$ )
Max principal strain위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $E_1$ )
Max shear strain위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\gamma_{\text{max}}$ )
Von-mises strain위치 : A-B 단3 개의 응력 성분을 이용하여 계산 ( $\varepsilon_v$ )
Force/MomentAxial force위치 : A-B 단 $N_{xx}$
Bending moment위치 : A-B 단 $M_y$ , $M_z$
Torque위치 : A-B 단 $M_x$
Shear force위치 : A-B 단 $Q_y$ , $Q_z$
Misc.Strain energy위치 : 요소 중심
Total percent energy위치 : 요소 중심
Energy density위치 : 요소 중심
+ +• 비선형 해석 +Pipe 요소는 기하학적 비선형성만을 고려할 수 있으며, 비선형 또는 비탄성재료를 사용할 수 없다. 그러므로 비선형 해석 시에 추가적인 결과 항목은 없다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_008.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_008.md new file mode 100644 index 00000000..a3b1d27b --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_008.md @@ -0,0 +1,286 @@ + + +# 3.9 Cable 요소 + +Cable 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소로서 인장상태의 거동만을 다루며 주로 초기 힘/스트레스가 재하된 상태에서의 하중을 다룬다. Cable 요소는 인장상태의 거동을 다루기 위해 비선형 해석에 주로 사용된다. + +![](images/page-071_385498ca18e28a202b3fe02a4a3436e373b100144f4fb4e59806fff9d4ca724d.jpg) + +
+text_image + +Nₓₓ, εₓₓ +Nₓₓ, εₓₓ +1 +2 +ECS-x +
+ +그림 3.9.1 Cable 요소의 좌표계와 응력/변형률 + +\- 좌표계 + +Cable 요소의 ECS는 bar 요소와 동일한 방법으로 정의하며, 유한요소 정식화는 ECS를 기준으로 한다. + +\- 자유도 + +Cable 요소는 ECS의 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T}, \quad \boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {3.9.1} +$$ + +\- 응력과 변형률 + +Cable 요소는 축 방향 변형 및 응력을 고려할 수 있다. + +$$ +\mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.9.2} +$$ + + + +• 하중 + +Cable 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + +표 3.9.1 Cable 요소에 적용되는 하중 + +
하중 종류설명
중력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
초기 힘/스트레스선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨
프리텐션선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의 축방향강성이 무시됨
+ +• 요소 결과 + +Cable 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는항상 ECS이다. + +표 3.9.2 Cable 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressAxial stress위치 : A-B 단 $\sigma_{xx}$
StrainAxial strain위치 : A-B 단 $\varepsilon_{xx}$
ForceAxial force위치 : A-B 단 $N_{xx}$
Misc.Strain energy위치 : 요소 중심
Total percent energy위치 : 요소 중심
Energy density위치 : 요소 중심
+ +• 훅(Hook)과 허용 인장강도 + +Cable 요소에 훅길이를 입력할 경우, 해당 훅길이 이상의 변형에 대해서만 내력이 발생한다. + + + +또한 각 Cable 요소는 그림 3.9.2와 같이 허용 인장강도를 입력할 수 있다. 여기서 $\sigma _ { y }$ 는 허용인장응력, 는 훅 길이를 의미한다. 허용 인장강도 이상의 응력이 발생할 시, 완전 소성거동으로 간주하거나, 파단되는 것으로 간주할 수 있다. + +![](images/page-073_4f7ee8adf5387b60b138a414ac9b98b7b926012d70d171c2b5b204ad3a6b3a16.jpg) + +
+line + +| δ_xx | σ_xx | +|------|------| +| 0 | 0 | +| h₀ | 0 | +| >h₀ | σ_y | +
+ +그림 3.9.2(a) 완전 소성거동 + +![](images/page-073_6582bf4d1ad5d8588dd9fbb9cb827ce48a995b66e92c33284f5d446e17cf881c.jpg) + +
+line + +σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy. The chart displays a step function with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = 0. The function is a piecewise linear graph with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx. The function is a piecewise linear graph with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx= δ_xx = δ_xx= δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = +
+ +그림 3.9.2(b) 파단 + +• 비선형 해석 + +Cable 요소는 인장전담 특성이나 파단 등에 대한 비선형 거동과 기하학적비선형성만을 고려할 수 있으며, 비탄성 재료 특성은 무시된다. 그러므로 비선형해석 시에 추가적인 결과 항목은 없다. + + + +# 3.10 Membrane 요소 + +Membrane 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형또는 사각형 요소이다. 두께가 균일한 박판을 모델링하는데 주로 사용되며 2차원 응력상태를 가진다. + +# • 좌표계 + +삼각형 membrane 요소의 ECS는 요소 평면에 수직한 방향을 z 축으로 하며, 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 x축으로 한다. 사각형의 경우에도 요소 평면에 수직한 방향을 z 축으로 하며, 절점 1에서 3을 향하는 대각선과 절점 4에서2를 향하는 대각선이 이루는 각을 이등분하는 방향을 x축으로 한다. Membrane요소의 유한요소 정식화는 ECS에 대해 수행한다. + +![](images/page-074_a6a62da7b54558486bfc6fc833226c78c7f6ecf28399e4abdef2e65ce831d34a.jpg) + +
+text_image + +ECS - z +1 +2 +3 +4 +5 +6 +ECS - y +ECS - x +ECS - z +1 +2 +3 +4 +5 +6 +ECS - y +ECS - x +
+ +그림 3.10.1 Membrane 요소의 좌표계 + +Membrane 요소에 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한 방향으로 향하게 해야 한다. 이와 같은 경우 MCS를 사용하게 되는데, midas NFX의membrane 요소는 크게 두 가지 방법으로 재료의 방향을 결정할 수 있다. 첫번째로 그림 3.10.2와 같이 절점 1과 2 사이를 연결하는 변으로부터의 회전각을이용할 수 있다. + + + +![](images/page-075_711e26b8592067de127d4d11366dbdbf80647a469a194ea66bbebd711734a655.jpg) + +
+text_image + +MCS - y +1 +2 +3 +4 +MCS - x +θ +
+ +그림 3.10.2 각도를 이용한 membrane 요소의 재료축 정의 + +두 번째 방법은 임의의 좌표계를 이용하는 방법인데, 이 경우에는 그림 3.10.3와같이 x축을 요소면에 투영하여 그 방향을 재료의 주축으로 가정한다. 좌표계의x축을 요소면에 투영하는 방법은 요소 결과를 확인하기 위해 ERCS를 설정하는데 있어서도 동일하게 적용된다. + +![](images/page-075_dbd73d0c70cef8b89ad65c32d7439742b88efc75cb74bdb6ec0519556e004b42.jpg) + +
+text_image + +User-defined +material +coordinate +y +x +z +Projection +4 +3 +MCS - x +1 +2 +
+ +그림 3.10.3 좌표계를 이용한 membrane 요소의 재료축 정의 + +• 자유도 + +Membrane 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 자유도로 가진다. + + + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.10.1} +$$ + +연계 보간법에 의해 요소에 수직한 방향의 회전을 고려하는 옵션을 사용하는 경우에는 다음의 추가 자유도를 가진다. + +$$ +\boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {z i} \right\} \tag {3.10.2} +$$ + +# - 응력과 변형률 + +Membrane 요소의 기본 가정은 2차원 응력 상태이므로 그림 3.10.4 와 같이 ECS에서 정의된 면내 방향 변형률과 합력(resultant force)을 고려할 수 있다. + +$$ +\mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 합력과 변형률}) \tag {3.10.3} +$$ + +![](images/page-076_66120b363092093751067f4e47986fe12603b0cba7c048964761e26bb4427a9f.jpg) + +
+text_image + +N_{yy}, \varepsilon_{yy} +N_{xy}, \gamma_{xy} +N_{xx}, \varepsilon_{xx} +N_{xy}, \gamma_{xy} +ECS - y +ECS - x +N_{xy}, \gamma_{xy} +N_{xx}, \varepsilon_{xx} +N_{xy}, \gamma_{xy} +N_{yy}, \varepsilon_{yy} +
+ +그림 3.10.4 Membrane 요소의 응력/변형률 + +\- 하중 + +Membrane 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + + + +표 3.10.1 Membrane 요소에 적용되는 하중 + +
하중 종류설명
중력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
압력 하중요소면에 작용하는 분포하중또는 요소의 변에 작용하는 분포하중
요소 온도 하중면내방향 변형을 유발하는 요소 온도
+ +Membrane 요소는 횡방향 강성을 가지지 않으나, 요소에 작용하는 하중과 질량에 대해서는 횡방향 성분을 고려한다. + +• 요소 결과 + +midas NFX의 membrane 요소는 shell 요소와 동일한 결과 출력물을 제공한다.Shell 요소는 요소의 두께 방향으로 두 곳(상/하단)에서 요소결과를 제공하지만,엄밀한 의미에서 membrane 요소는 두께 방향으로 응력과 변형률이 일정하기때문에 상단과 하단의 결과는 항상 같다. + +• 요소 두께 + +midas NFX에서는 membrane 요소의 두께를 그림 3.10.5과 같이 설정할 수 있다.고차 요소(6/8 절점)에 대하여 꼭지점에서의 두께만을 정의할 수 있는 점에 유의해야 한다. + + + +![](images/page-078_9afd7260e983a58ce77fccc20d8fc6ed48a94dc329ac7c4ba32fe35aae9b1662.jpg) + +
+text_image + +t₁ +1 +t₃ +3 +t₂ +2 +t₁ +1 +t₃ +4 +t₄ +3 +t₂ +2 +
+ +그림 3.10.5 Membrane 요소의 두께 정의 + +• 요소 기법의 선택 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 membrane 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된것이 기본값이다. + +표 3.10.2 Membrane 요소에 사용된 성능향상 기법 + +
형상절점수자유도명칭요소기법강성행렬수치적분집중질량계산방법
삼각형3변위가정법1 점Lobatto
면외 방향회전 고려Full integration연계보간법3 점Lobatto
Hybrid연계보간법, 혼합법3 점Lobatto
사각형4Full integration변위가정법2X2 점Lobatto
Reduced integration감차적분(안정화기법)1X1 점Lobatto
+ + + +
(stabilized)
Hybrid혼합법2X2 점Lobatto
면외 방향 회전 고려Full integration연계보간법2X2 점Lobatto
Hybrid연계보간법, 혼합법2X2 점Lobatto
삼각형6변위가정법3 점대각항 스케일링
사각형8Full integration변위가정법3X3 점대각항 스케일링
Reduced integration감차적분법2X2 점대각항 스케일링
Hybrid혼합법3X3 점대각항 스케일링
+ +각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. + +► 3절점 요소 : 면외 방향 회전을 포함하는 연계 보간법을 사용하지 않으면 요소의 유연성(flexibility)이 현저하게 저하되어 해의 정확도가 떨어지므로 주의해야 한다. +► 4절점 요소 : 변위 가정법만을 사용한 등매개변수(isoparametric) 요소를 제외하면 대체로 정확도가 높은 편이다. +► 6절점 요소 : 요소 변에 존재하는 절점이 변의 중앙에 위치하지 않는 경우 요소의 성능이 현저하게 저하될 수 있다. +► 8절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다. 감차적분을 사용한요소는 혼합법을 적용한 요소와 비슷한 성능을 보이며 계산 효율이 뛰어나지만가영 에너지 모드가 나타날 수 있다. + + + +• 비선형 해석 + +Membrane 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 shell 요소와 같다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_009.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_009.md new file mode 100644 index 00000000..d13050ce --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_009.md @@ -0,0 +1,252 @@ + + +# 3.11 Shell 요소 + +Shell 요소는 곡면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는사각형 요소이다. 압력용기 등과 같이 두께가 얇은 구조물이 굽힘 변형을 받을때 주로 이용하며, 2차원 응력상태 및 굽힘, 전단 변형을 고려할 수 있다. + +# • 좌표계 + +Shell 요소는 곡면 상에 위치하는 경우가 많기 때문에 절점이 동일한 평면 상에존재하지 않을 수 있으며, ECS의 정의에서도 이를 반영해야 한다. 삼각형 shell요소의 ECS는 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 x 축으로 하며, 이 벡터와 절점 1에서 3을 향하는 벡터의 외적 방향을 z 축으로 한다. 사각형 요소의 경우에는 절점 1에서 3을 향하는 대각선과 절점 4에서 2를 향하는 대각선이 이루는각을 이등분하는 방향을 x축으로 하며, 이들 두 벡터의 외적 방향을 z축으로 한다. Shell 요소의 유한요소 정식화는 ECS에 대해 수행한다. + +![](images/page-081_5a9391549f11390303fa1adae4ee50b09c957b7ef9baf9ef87a3c15901e48e57.jpg) + +
+text_image + +ECS - z +ECS - y +ECS - x +1 +2 +3 +4 +5 +6 +ECS - x +ECS - y +ECS - z +1 +2 +3 +4 +5 +6 +ECS - y +ECS - x +
+ +그림 3.11.1 Shell 요소의 좌표계 + +Shell 요소에서 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한 방향으로향하게 해야 한다. 재료의 방향(MCS)을 정의하는 방법은 membrane 요소와 동일하게 절점 1과 2 사이를 연결하는 변으로부터의 각도 또는 임의의 좌표계를이용할 수 있다. + + + +• 곡면 모델링 + +midas NFX에서 사용하는 shell 요소는 각 절점마다 디렉터(director)라 불리는고유의 수직 벡터21가 존재한다고 가정하며 이 벡터의 움직임으로 변형을 표현한다. 요소 절점에서의 회전자유도 방향은 디렉터를 기준으로 정의하기 때문에요소 내력 중에서 디렉터 방향의 모멘트는 존재하지 않는다. 이 벡터는 요소면에 수직한 경우도 있으나, 곡면을 shell 요소로 모델링한 경우에는 그렇지 않다. + +![](images/page-082_2757c44a3bd30d53827cab3cac0c0b6de267675b7855306660de8696c1c426bc.jpg) + +
+text_image + +Surface normal t +Element normal n₁ β₁ β₂ Element normal n₂ +Shell 1 Shell 2 +
+ +그림 3.11.2 곡면을 모델링한 shell 요소 사이의 각도 + +예를 들어 그림 3.11.2 와 같이 인접한 요소간에 작은 꺾임각이 존재하는 경우다음과 같이 곡면 수직벡터를 계산할 수 있다. + +$$ +\mathbf {t} = \frac {\sum \mathbf {n} _ {i}}{\left\| \sum \mathbf {n} _ {i} \right\|} \tag {3.11.1} +$$ + +t : 곡면 수직 벡터 + +ni : 요소면에 수직한 벡터 + +이 때, t 와 n 가 이루는 각도 가 허용치를 넘어서게 되면 곡면의 일부분이아닌 실제로 꺾인 구조물로 간주하여 곡면 수직 벡터를 정의하지 않는다. 곡면수직 벡터가 정의되지 않은 절점에서는 요소면에 수직한 벡터를 디렉터로 간주한다. + + + +곡면 수직 벡터를 생성하여 기하학적 형상을 정확하게 표현하는 것은 결과의 정확도에 큰 기여를 하기도 하지만, 대칭 조건을 이용하여 원통 모양의 절반 또는 1/4을 모델링 하였을 경우에는 주의가 필요하다. 대칭 조건이 부여된 변에는 그림 3.11.2의 shell 2가 존재하지 않기 때문에 기하학적으로 정확한 곡면 수직 벡터를 얻을 수 없다. 이러한 경우에는 오히려 곡면 수직 벡터를 생성하지 않는 것이 좋다. + +\- 자유도 + +Shell 요소는 ECS의 x, y, z축 모든 방향 변위를 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.11.2} +$$ + +회전 자유도는 디렉터에 수직한 두 방향으로 정의된다. + +$$ +\boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} \theta_ {\bar {x} i} & \theta_ {\bar {y} i} \end{array} \right\} \tag {3.11.3} +$$ + +디렉터는 앞서 설명한 바와 같이 곡면 수직 벡터 또는 요소면 수직 벡터이다. 절점 당 6 자유도를 가지는 6DOF(drilling DOF 포함) 옵션을 사용하면 회전 자유도가 모든 방향으로 정의된다. + +$$ +\boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {\bar {x} i} \quad \theta_ {\bar {y} i} \quad \theta_ {\bar {z} i} \right\} ^ {T} \tag {3.11.4} +$$ + +\- 응력과 변형률 + +Shell 요소는 그림 3.11.3과 같이 ECS에서 정의된 2차원 응력 상태와 굽힘, 전단 변형을 고려할 수 있다. midas NFX의 shell 요소는 전단 변형을 항상 고려한다. + +$$ +\mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 합력과 변형률}) \tag {3.11.5} +$$ + + + +$$ +\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {x x} \\ M _ {y y} \\ M _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {x x} \\ \kappa_ {y y} \\ \kappa_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text { 굽힘 모멘트와 곡률 }) \tag {3.11.6} +$$ + +$$ +\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {x x} \\ Q _ {y z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z x} \\ \gamma_ {y z} \end{array} \right\} \quad (\text {전단력과 전단변형률}) \tag {3.11.7} +$$ + +![](images/page-084_8c40e1bf5e2c6ccce038526c6534c331c69dc4ab011ce12193f117dc02c42d7e.jpg) + +
+text_image + +M_{xy},\kappa_{xy}\nN_{yy},\varepsilon_{yy}\nN_{xy},\gamma_{xy}\nM_{yy},\kappa_{yy}\nQ_{zx},\gamma_{zx}\nM_{xy},\kappa_{xy}\nN_{xx},\varepsilon_{xx}\nN_{xy},\gamma_{xy}\nM_{xx},\kappa_{xx}\nECS-y\nECS-x\nQ_{yz},\gamma_{yz}\nM_{xx},\kappa_{xx}\nN_{xy},\gamma_{xy}\nN_{xx},\varepsilon_{xx}\nM_{xy},\kappa_{xy}\nM_{yy},\kappa_{yy}\nN_{xy},\gamma_{xy}\nN_{yy},\varepsilon_{yy}\nM_{xy},\kappa_{xy} +
+ +그림 3.11.3 Shell 요소의 응력/변형률 + +\- 하중 + +Shell 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + +표 3.11.1 Shell 요소에 적용되는 하중 +
하중 종류설명
중력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
압력 하중요소면에 작용하는 분포하중또는 요소의 변에 작용하는 분포하중
+ + + +
요소 온도 하중면내방향 변형을 유발하는 요소 온도급힘 변형을 유발하는 온도 구배
+ +# • 요소 결과 + +midas NFX의 shell 요소는 요소의 두께 방향으로 두 곳(상/하단)에서 요소결과를제공한다. Shell 요소를 사용했을 경우에 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는 사용자가 지정할 수 있다. 사용자가 선택할 수 있는 좌표계는 ECS, MCS그리고 임의의 좌표계이다. + +표 3.11.2 Shell 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressIn-plane stress위치 : 상/하단, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\tau_{xy}$
Normal stress위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\sigma_{zz}$
Principal stress위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , 주응력 방향
Von-Mises stress위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\sigma_v$
Max shear stress위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심 $\tau_{max}$
Fiber distance위치 : 상/하단, 꽃지점/요소중심두께 방향으로 응력 계산 위치
Maximum values위치 : 꽃지점/요소중심상/하단 중 최대값, $(P_1$ , $P_2$ , $\sigma_v$ , $\tau_{max}$ )
Safety factor위치 : 꽃지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_2$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산상/하단 중 최소값
+ + + +
StrainIn-plane strain위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\gamma_{xy}$
Normal strain위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{zz}$
Principal strain위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , 주변형률 방향
Von-Mises strain위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$
Max shear strain위치:상/하단, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$
Maximum values위치: 꼭지점/요소중심상/하단 중 최대값, $(E_1, E_2, \varepsilon_v, \gamma_{\text{max}})$
Force/MomentIn-plane force위치: 꼭지점/요소중심 $N_{xx}$ , $N_{yy}$ , $N_{xy}$
Bending moment위치: 꼭지점/요소중심 $M_{xx}$ , $M_{yy}$ , $M_{xy}$
Shear force위치: 꼭지점/요소중심 $Q_{zx}$ , $Q_{zy}$
Misc.Strain energy위치: 요소 중심
Total percent energy위치: 요소 중심
Energy density위치: 요소 중심
+ + + +![](images/page-087_eb5ac53c5d591e86ac25dd06b0d94010bf34366476fd9ef39cb1ca55d03246bf.jpg) + +
+text_image + +Mxy, Kxy +Nxy +Mxy +Qzx +Nxy +Mxx +ERCS - y +Qyz +Mxy +Nxy +Mxy +Qzx +Nxy +Mxy +ERCS - x +Qyz, γyz +Top +Myy +Nxy +Nyy +Mxy +Bottom +
+ +그림 3.11.4 Shell 요소의 결과 출력 방향 + +• 요소 두께 및 재질 + +Shell 요소에서는 membrane 요소와 동일한 방법으로 꼭지점에서의 두께를 정의할 수 있다. 또한 굽힘과 전단변형에 대한 재료 및 유효두께를 각각 지정할수 있다. 예를 들어, 면내방향 거동에 대한 두께(membrane 두께)를 라 할 때다음과 같은 값을 설정할 수 있다. + +► 312 / I t : 실제 굽힘 강성 와 를 이용해 계산한 굽힘 강성의 비율 +► /t t : 실제 전단변형 두께 와 의 비율 + +위의 유효두께는 강성 및 내력 계산에만 이용되면 질량행렬의 계산에는 적용되지 않는다. 또한 중력, 회전 관성력 그리고 그 밖의 질량 효과를 반영하는 경우에는 면내방향 재료(membrane material)를 사용한다. + +• 오프셋(offset) + +Shell 요소의 중립면이 절점과 격리되어 있는 경우 또는 연결되는 요소간의 중립면이 일치하지 않는 경우에는 오프셋을 사용할 수 있다. Shell 요소의 오프셋은 디렉터 방향으로 요소 내에서 일정한 값을 가질 수 있다. + + + +# • 요소 기법의 선택 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 shell 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러가지 종류가 있다. 특히 shell 요소는 변형이 발생하는 방향 별로, 예를 들어 면내 방향과 횡방향에 따라 서로 다른 기법들이 적용되기 때문에 그 종류가 매우다양하다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된 것이 기본값이다. + +표 3.11.3 Shell 요소에 사용된 성능향상 기법 + +
절점수절점 자유도명칭요소기법(면내/횡방향)강성행렬수치적분집중질량계산방법
삼각형35 DOFFull integration변위가정법/ANS1 점Lobatto
Hybrid혼합법/ANS+혼합법3 점Lobatto
6 DOFFull integration연계보간법3 점Lobatto
Hybrid연계보간법+혼합법6 점Lobatto
사각형45 DOFFull integration변위가정법/ANS2X2 점Lobatto
Reduced integration(stabilized)감차적분법/ANS(안정화 기법)1x1 점Lobatto
Hybrid혼합법/ANS+혼합법2X2 점Lobatto
6 DOFFull integration연계보간법2X2 점Lobatto
Hybrid연계보간법+혼합법3X3 점Lobatto
삼각형65 DOF변위가정법/ANS3 점대각항스케일링
사각형85 DOFFull integration변위가정법/ANS3X3 점대각항스케일링
Reduced integration감차적분법2X2 점대각항스케일링
Hybrid혼합법/ANS+혼합법3X3 점대각항스케일링
+ + + +각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. + +► 3절점 요소 : 5DOF요소는 면내 방향 거동을 표현하는 데 적절하지 않다. +► 4절점 요소 : 연계보간법만을 이용한 6DOF 요소는 메쉬 형태에 민감하다. 혼합법을 적용한 6DOF 요소는 비틀림 거동을 가장 정확하게 나타낸다. +► 6절점 요소 : 다른 요소에 비해 대체로 횡방향 변위가 큰 편이다. 요소 변에존재하는 절점이 변의 중앙에 위치하지 않는 경우 요소의 성능이 현저하게 저하될 수 있다. +► 8절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다. 감차적분을 사용한요소는 혼합법을 적용한 요소와 비슷한 성능을 보이며 계산 효율이 뛰어나지만가영 에너지 모드가 나타날 수 있다. + +• 비선형 해석 + +Shell 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수있다. 탄소성 재료를 적용하게 되면 두께 방향으로 위치에 따라 서로 상이한 재료 거동이 나타나게 된다. 이 경우에는 면내방향 합력 및 굽힘 모멘트 또는 강성의 계산이 수치적으로 이루어져야 하며 midas NFX에서는 Simpson 적분법을이용하여 이를 수행한다. 특히 변형률로부터 응력을 계산하는 탄소성 구성방정식의 적용에 있어서는 전단변형을 제외한 평면응력 상태 가정을 기초로 한다.비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다. + +표 3.11.4 Shell 요소의 비선형해석 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressEquivalent stress위치 : 상/하단, 적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
Plastic status위치 : 상/하단, 적분점탄성/소성, 0/1
StrainEquivalent strain위치 : 상/하단, 적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
Effective plastic strain위치 : 상/하단, 적분점 $e_{p}$
+ + + +# 3.12 Surface 요소 + +Surface 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는 사각형 요소이다. 강성 또는 질량을 가지지 않고 응력, 변형률 등의 요소 결과만을 제공하기 때문에 전체 해석 모델의 거동에는 영향을 주지 않는다. 그림3.12.1과 같이 사면체 요소로 모델링한 얇은 판의 표면 응력을 확인할 때 매우유용하다. Surface 요소는 2차원 응력상태를 가지기 때문에 매우 얇은membrane 요소와 비슷한 역할을 한다. + +![](images/page-090_66c9b858ca6d06e76ac132cc7aa74081888e40d08bd3a71fe26a2c37b8e18d7a.jpg) + +
+text_image + +Surface element +Tetrahedral +mesh +
+ +그림 3.12.1 사면체 요소망과 surface 요소 + +• 좌표계 + +Surface 요소의 ECS는 membrane 요소와 완전히 동일한 방법으로 정의한다. 직교이방성 재료의 사용에 있어서 MCS를 정의하는 방법과 요소 결과의 확인을위한 ERCS의 정의 방법 또한 membrane 요소와 동일하다. + +• 자유도 + +Surface 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.12.1} +$$ + +• 응력과 변형률 + +Surface 요소의 기본 가정은 2차원 응력 상태이므로 그림 3.10.2와 같이 ECS에 diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_010.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_010.md new file mode 100644 index 00000000..ac154a13 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_010.md @@ -0,0 +1,221 @@ + + +서 정의된 면내 방향 변형률과 응력을 고려할 수 있다. + +$$ +\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 응력과 변형률}) \tag {3.12.2} +$$ + +![](images/page-091_8280a90cf8acf195d16cbf2b1d2b05d65264f2a2b7df99cdee9daaec9e64100d.jpg) + +
+text_image + +σₓₓ,εₓₓ +τₓᵧ,γₓᵧ +σᵧᵧ,εᵧᵧ +σₓᵧ,γₓᵧ +ECS - y +ECS - x +τₓᵧ,γₓᵧ +σₓₓ,εₓₓ +τₓᵧ,γₓᵧ +σᵧᵧ,εᵧᵧ +
+ +그림 3.12.2 Surface 요소의 응력/변형률 + +# - 하중 + +Surface 요소는 전체 구조 모델에 영향을 주지 않아야 하기 때문에, 하중을 재하할 수 없으며 질량 효과가 없다. 단, 온도 변화에 따른 열하중은 전체 모델에 영향을 주지 않도록 계산하지 않으나, 응력과 변형률의 올바른 계산을 위해 열 팽창을 반영한다. + +# - 요소 결과 + +midas NFX의 surface 요소는 면내 방향의 응력, 변형률 등의 결과를 제공하며 두께가 정의되지 않기 때문에 합력은 존재하지 않는다. Surface 요소를 사용했을 경우에 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는 사용자가 지정할 수 있다. 사용자가 선택할 수 있는 좌표계는 ECS, MCS 그리고 임의의 좌표계이다. + + + +표 3.12.1 Surface 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressIn-plane stress위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\tau_{xy}$
Principal stress위치: 꼭지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , 주응력 방향
Von-Mises stress위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$
Max shear stress위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_{max}$
Safety factor위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_2$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산
StrainIn-plane strain위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\gamma_{xy}$
Principal strain위치: 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , 주변형률 방향
Von-Mises strain위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$
Max shear strain위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_{max}$
+ +• 비선형 해석 +Surface 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다. + + + +표 3.12.2 Surface 요소의 비선형해석 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressEquivalent stress위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
Plastic status위치 : 적분점탄성/소성, 0/1
StrainEquivalent strain위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
Effective plastic strain위치 : 적분점 $e_{p}$
+ + + +# 3.13 Plane Strain 요소 + +Plane strain 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는 사각형 요소이다. 주로 댐(dam) 또는 터널(tunnel) 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가 긴 구조물의 해석에 사용된다. 요소의 두께방향 응력이존재하기 때문에 엄밀한 의미에서 2차원 응력상태가 아니다. Plane strain 요소는3차원 공간 상에 모델링 할 수 있으나, 요소의 성질에 근거하여 GCS 상의 특정좌표 평면(x-y, x-z, y-z) 에 놓이도록 하는 것이 일반적이다. + +# • 좌표계 + +Plane strain 요소의 ECS는 membrane 요소와 동일한 방법으로 정의하며, 유한요소 정식화는 ECS에 대해 수행한다. + +Plane strain 요소에서 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한 방향으로 향하게 해야 한다. 재료의 방향(MCS)을 정의하는 방법은 membrane 요소와 동일하며, 횡방향 재료 성질( $E _ { 3 3 } , \nu _ { 2 3 } , \nu _ { 3 1 }$ )을 입력해야 타당한 응력과 변형률결과를 얻을 수 있다. + +# • 자유도 + +Plane strain 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.13.1} +$$ + +연계 보간법에 의해 요소에 수직한 방향의 회전을 고려하는 옵션을 사용하는 경우에는 다음의 추가 자유도를 가진다. + +$$ +\boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {z i} \right\} \tag {3.13.2} +$$ + +# • 응력과 변형률 + +Plane strain 요소는 2차원 응력 상태와 횡방향 수직응력을 표현하지만 유한요소정식화에는 2차원 응력만을 사용하므로, ECS에서 정의된 면내 방향 변형률과 합력(resultant force)을 반영한다. + + + +$$ +\mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 합력과 변형률}) \tag {3.13.3} +$$ + +• 하중 + +Plane strain 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + +표 3.13.1 Plane strain 요소에 적용되는 하중 +
하중 종류설명
중력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
압력 하중요소면에 작용하는 분포하중또는 요소의 변에 작용하는 분포하중
요소 온도 하중면내방향 변형을 유발하는 요소 온도
+ +Plane strain 요소에 온도 하중이 가해진 경우 평면 변형 상태에 의해 두께방향열팽창이 억제되므로, 프와송 효과에 의한 면내 방향 변형이 더욱 커지게 된다. + +• 요소 결과 + +midas NFX의 plane strain 요소는 shell 요소와 동일한 결과 출력물을 제공한다.Shell 요소는 요소의 두께 방향으로 두 곳(상/하단)에서 요소결과를 제공하지만,엄밀한 의미에서 plane strain 요소는 두께 방향으로 응력과 변형률이 일정하기때문에 상단과 하단의 결과는 항상 같다. + +• 요소 두께 + +Plane strain 요소는 두께가 일정해야 평면 변형 조건을 만족할 수 있다. midasNFX에서는 plane strain 요소의 두께를 직접 입력할 수 있으며, 입력하지 않은경우에는 1로 가정한다. + +• 요소 기법의 선택 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 plane strain 요소의 종류는 membrane 요소와 + + + +같으며 각각의 특징 또한 동일하다. + +• 비선형 해석 + +Plane strain 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 shell 요소와 같다. + + + +# 3.14 Axisymmetric solid 요소 + +Axisymmetric solid 요소는 형상, 재질, 하중 조건 등이 임의의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구조물의 해석에 사용한다. Axisymmetric solid 요소는 다른종류의 요소들과 혼용할 수 없고 GCS 를 기준으로 x-z 평면에 모델링 해야 하며, 3/4/6/8 절점의 삼각형과 사각형 형상이 있다. + +• 좌표계 + +ECS의 설정은 membrane 요소와 동일한 방법을 적용하며, 유한요소 정식화는GCS에 대해 수행한다. + +Axisymmetric solid 요소에 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한방향으로 향하게 해야 한다. 이와 같은 경우 MCS를 사용하게 되는데, midasNFX의 axisymmetric solid 요소는 크게 두 가지 방법으로 재료의 방향을 결정할수 있다. 첫 번째로 그림 3.14.1 과 같이 GCS의 x축으로부터 회전각을 이용할수 있다. + +![](images/page-097_5f442355a0dc9803d2bff5e1bbde9383ff91c73f501606f312c7d4bfeda3fbaf.jpg) + +
+text_image + +GCS - z +MCS - y +1 +GCS - x +θ +1 +2 +3 +4 +MCS - x +
+ +그림 3.14.1 각도를 이용한 axisymmetric solid 요소의 재료축 정의 + +두 번째 방법은 임의의 좌표계를 이용하는 방법인데, 이 경우에는 membrane요소와 같이 x축을 요소면에 투영하여 그 방향을 재료의 주축으로 가정한다. 좌표계의 x축을 요소면에 투영하는 방법은 요소 결과를 확인하기 위해 ERCS를 설정하는 데 있어서도 동일하게 적용된다. + + + +\- 자유도 + +Axisymmetric solid 요소는 GCS의 x축(즉, 반경 방향)과 z축 방향 변위를 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.14.1} +$$ + +\- 응력과 변형률 + +Axisymmetric solid 는 GCS에서 정의된 변형률과 응력을 고려하며 그 성분은 다음과 같다. + +$$ +\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {\theta \theta} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {\theta \theta} \\ \varepsilon_ {z z} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 / 원주방향 응력과 변형률}) \tag {3.14.2} +$$ + +![](images/page-098_01fc5c9d12d27ecc263817fa7b3f04a9b0c7a60ea4a0b8a863528aa0d61a03ba.jpg) + +
+text_image + +GCS - z +1 +2 +3 +4 +σ_zz, ε_zz +τ_zx, γ_zx +σ_xx, ε_xx +τ_zx, γ_zx +σ_xx, ε_xx +σ_zz, ε_zz +σ_θθ, ε_θθ +GCS - x +
+ +그림 3.14.2 Axisymmetric solid 요소의 응력/변형률 + +\- 하중 + +Axisymmetric solid 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + + + +표 3.14.1 Axisymmetric solid 요소에 적용되는 하중 + +
하중 종류설명
중력재료의 밀도에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도에 대해 적용
압력 하중요소의 변에 작용하는 분포하중(축대칭을 고려하면 구조물의 바깥 면에 작용하는 하중이다.)
+ +# • 요소 결과 + +midas NFX의 axisymmetric solid 요소의 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에대한 값으로 출력된다. 사용자가 선택할 수 있는 좌표계는 ECS, MCS 그리고 임의의 좌표계이다. 요소 결과 성분의 방향은 요소 면내 방향을 $x , y$ 로 하고 원주방향을 로 한다. + +표 3.14.2 Axisymmetric solid 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressStress component위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\sigma_{\theta\theta}$ , $\tau_{xy}$
Principal stress위치 : 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$
Von-Mises stress위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$
Max shear stress위치 : 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$
Safety factor위치 : 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$ 또는 $P_{1}$ , $P_{2}$ , $\sigma_{\theta\theta}$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산
StrainStrain component위치 : 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\varepsilon_{\theta\theta}$ , $\gamma_{xy}$
+ + + +
Principal strain위치 : 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$
Von-Mises strain위치 : 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$
Max shear strain위치 : 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$
+ +• 요소 기법의 선택 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 axisymmetric solid 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게표시된 것이 기본값이다. + +표 3.14.3 Axisymmetric solid 요소에 사용된 성능향상 기법 + +
형상절점수명칭요소기법강성행렬수치적분집중질량계산방법
삼각형3변위가정법3 점Lobatto
사각형4Full integration변위가정법2X2 점Lobatto
Hybrid혼합법2X2 점Lobatto
삼각형6변위가정법3 점대각항 스케일링
사각형8변위가정법3X3 점대각항 스케일링
+ +• 비선형 해석 + +Axisymmetric solid 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_011.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_011.md new file mode 100644 index 00000000..d3791dd0 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_011.md @@ -0,0 +1,268 @@ + + +표 3.14.4 Axisymmetric solid 요소의 비선형해석 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressEquivalent stress위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
Plastic status위치 : 적분점탄성/소성, 0/1
StrainEquivalent strain위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
Effective plastic strain위치 : 적분점 $e_{p}$
+ + + +# 3.15 Solid 요소 + +Solid 요소는 자동차 엔진, 두꺼운 벽 등과 같이 부피가 있는 구조물의 모델링에주로 이용된다. midas NFX에서 사용할 수 있는 solid 요소는 사면체(tetrahedron), 오면체(pentahedron), 육면체(hexahedron) 모양이며4/5/6/8/10/13/15/20 개의 절점을 가질 수 있다. 오면체 요소로는 쐐기(wedge)형상과 피라미드(pyramid) 형상이 있다. + +# • 좌표계 + +사면체 요소의 ECS는 절점 1, 2, 3이 이루는 삼각형 형상에 membrane 요소의ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다. 오면체 쐐기 요소의 ECS는 절점 1과 4, 절점 2와 5, 절점 3과 6의 중점들이 이루는 삼각형 형상에 membrane 요소의 ECS정의 규칙을 적용한 것과 같다. 오면체 피라미드 요소의 ECS는 절점 1, 2, 3, 4가이루는 사각형 형상에 membrane 요소의 ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다.육면체 요소의 경우에는 먼저 ECS에 근접한 벡터를 다음과 같이 정의한다. + +► r : 절점 1, 5, 8, 4의 중점에서 절점 2, 6, 7, 3의 중점을 향하는 벡터 +► s : 절점 1, 2, 6, 5의 중점에서 절점 4, 3, 7, 8의 중점을 향하는 벡터 +► t : 절점 1, 2, 3, 4의 중점에서 절점 5, 6, 7, 8의 중점을 향하는 벡터 + +위 세 개의 벡터와 가장 근접하게 놓이는 직교 좌표계가 육면체 요소의 ECS가된다. + + + +![](images/page-103_4f0d7d4f145e9e53b2d62f5b84375fb37aed55d0db369f27ccb795311bfbb4c3.jpg) + +
+text_image + +4 +10 +8 +9 +3 +ECS - z +ECS - y +5 +7 +6 +2 +ECS - x +
+ +![](images/page-103_f0b0581d5f64bc68067db35d3228b336610a6c8210f480b273add475fbcb4276.jpg) + +
+text_image + +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 +15 +ECS - z +ECS - y +ECS - x +
+ +![](images/page-103_0c0f459222ed1f28f3a284b1dda16c2e1f3bc4ddfea0767f6aef01b86852e6d8.jpg) + +
+text_image + +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +ECS - z +ECS - y +ECS - x +
+ +![](images/page-103_a24140e9b0c25b7a34122277619367327b4b8ec80861f6944df278d0e0af305d.jpg) + +
+text_image + +5 +20 +8 +19 +7 +17 +6 +18 +15 +13 +14 +4 +11 +3 +12 +10 +2 +1 +9 +ECS - z +ECS - y +ECS - x +
+ +그림 3.15.1 Solid 요소의 좌표계 + +\- 자유도 + +Solid 요소는 GCS의 x, y, z축 모든 방향에 대한 변위를 자유도로 가진다. + +$$ +\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.15.1} +$$ + +\- 응력과 변형률 + +Solid 요소는 GCS에서 정의된 변형률과 응력을 고려하며 그 성분은 다음과 같다. + +$$ +\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \varepsilon_ {z z} \\ \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {y z} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad (\text { 음력과 변형률 }) \tag {3.15.2} +$$ + + + +![](images/page-104_7589e00ee75ba5cea8a1d6f2eec69eadbe91c8a1e22a369bc8b2f93baf3a13d3.jpg) + +
+text_image + +GCS - z +GCS - y +GCS - x +σ_zz, ε_zz +τ_yz, γ_yz +τ_zx, γ_zx +τ_zx, γ_zx +τ_xy, γ_xy +σ_yy, ε_yy +τ_yz, γ_yz +τ_xy, γ_xy +σ_xx, ε_xx +
+ +그림 3.15.2 Solid 요소의 응력/변형률 + +\- 하중 + +Solid 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. + +표 3.15.1 Solid 요소에 적용되는 하중 + +
하중 종류설명
중력재료의 밀도에 대해 적용
회전 관성력재료의 밀도에 대해 적용
압력 하중요소의 면에 작용하는 분포하중
+ +\- 요소 결과 + +midas NFX의 solid 요소의 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에 대한 값으로 출력된다. 사용자가 선택할 수 있는 좌표계는 ECS, MCS 그리고 임의의 좌표계이다. + + + +표 3.15.2 Solid 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressStress component위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\sigma_{zz}$ , $\tau_{xy}$ , $\tau_{yz}$ , $\tau_{zx}$
Principal stress위치: 꼭지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , 주응력 방향
Von-Mises stress위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$
Max shear stress위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$
Octahedral stress위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_o$
Mean pressure위치: 꼭지점/요소중심 $p_0$
Safety factor위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_3$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산
StrainStrain component위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\varepsilon_{zz}$ , $\gamma_{xy}$ , $\gamma_{yz}$ , $\gamma_{zx}$
Principal strain위치: 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , 주변형률 방향
Von-Mises strain위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$
Max shear strain위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$
Octahedral strain위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_o$
Mean위치: 꼭지점/요소중심
+ + + +
compression $c_0$
Misc.Strain energy위치 : 요소 중심
Total percent energy위치 : 요소 중심
Energy density위치 : 요소 중심
+ +• 요소 기법의 선택 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 solid 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된 것이기본값이다. + +표 3.15.3 Solid 요소에 사용된 성능향상 기법 + +
형상절점수명칭요소기법강성행렬수치적분집중질량계산방법
사면체4Full integration변위가정법1 점Lobatto
EnhancedEAS, u-p 혼합법4 점Lobatto
쇄기6Full integration변위가정법3X2 점Lobatto
Reduced integration (stabilized)감차적분법(안정화 기법)1X1 점Lobatto
Hybrid혼합법3X2 점Lobatto
피라미드5Full integration변위가정법4X2 점대각항스케일링
Reduced integration감차적분법1X1 점대각항스케일링
Hybrid혼합법4X2 점대각항스케일링
육면체8Full integration변위가정법2X2X2 점Lobatto
+ + + +
Reduced integration (stabilized)감차적분법 (안정화 기법)1X1X1 점Lobatto
Hybrid혼합법2X2X2 점Lobatto
사면체10Full integration변위가정법4 점대각항 스케일링
Enhanced비적합요소4 점대각항 스케일링
쇄기15Full integration변위가정법3X3 점대각항 스케일링
Reduced integration감차적분법3X2 점대각항 스케일링
Hybrid혼합법3x3 점대각항 스케일링
피라미드13변위가정법9X3 점대각항 스케일링
육면체20Full integration변위가정법3X3X3 점대각항 스케일링
Reduced integration감차적분법2X2X2 점대각항 스케일링
Hybrid혼합법3X3X3 점대각항 스케일링
+ +각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. + +► 4절점 요소 : 기법에 관계없이 변위 결과는 비슷하나, EAS와 u-p 혼합법을 이용한 요소가 더 정확한 응력 결과를 보인다. +► 6절점 요소 : 얇은 구조물에 대해 혼합법을 적용한 요소의 성능이 월등하다. +► 8절점 요소 : 굽힘을 받는 구조물에 대해 혼합법 또는 감차적분법을 적용한요소의 성능이 월등하다. +► 10절점 요소 : 대체로 모든 기법이 비슷한 수준의 결과를 보이지만, 얇은 구조물에 대해 비적합 요소가 상대적으로 유연한 결과를 보인다. + + + +► 20절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다. 얇은 구조물에 대해 혼합법을 적용한 요소가 우수한 성능을 보인다. + +# • 비선형 해석 + +Solid 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료와 초탄성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목(탄소성 재료 적용)은 다음과같다. + +표 3.15.4 Solid 요소의 비선형해석(탄소성 재료) 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressEquivalent stress위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
Plastic status위치 : 적분점탄성/소성, 0/1
StrainEquivalent strain위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
Effective plastic strain위치 : 적분점 $e_{p}$
+ + + +# 3.16 Layered shell 요소 + +Layered shell 요소는 복합재료 및 샌드위치와 같이 두께방향으로 주축 방향이 다르거나 물성이 다른 재료들이 적층된 얇은 구조물을 효과적으로 해석하는데 사용된다. 기본적인 좌표계, 곡면 모델, 자유도 등은 일반 shell요소와 동일하며, 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는 사각형 요소들로 구성된다. 즉 layered shell 요소는 1차 전단변형 이론을 기초로 하며 유한요소 정식화는 shell 요소와 동일하지만, 구성방정식은 4.3장에서 소개될 적층이론을 사용한다. + +\- 횡방향 전단강성 계산 및 전단응력 복원 + +적층 복합재료는 등방성 재료와 달리 전단 보정 계수(shear correction factor)를 기초로 한 횡방향 강성 계산방법을 일반화하여 적용하기가 어렵다. 따라서, 몇 가지 가정된 변형 형상과 응력 평형식을 이용하여 횡방향 전단 강성을 계산하는 방법이 바람직하다 $^{22}$ . 또한, 이를 적용한 일련의 절차를 이용하여 횡방향 전단응력의 복원이 가능하다는 장점을 갖는다. + +1차 전단변형 이론을 기초로 한 면내응력과 3차원 응력 평형식을 기초로 한 횡방향 전단응력은 다음과 같이 표현된다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x} \\ \sigma_ {y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\} = \mathbf {C} ^ {(k)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o} + z \mathbf {K}\right) \tag {3.16.1} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {x z} \\ \tau_ {y z} \end{array} \right\} = \int_ {\zeta = 0} ^ {\zeta = z} \left(\left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {C} ^ {(k)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o, x} + z \mathbf {K} _ {, x}\right) + \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {C} ^ {(k)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o, y} + z \mathbf {K} _ {, y}\right)\right) d \zeta \tag {3.16.2} +$$ + +Layered shell의 구성방정식에서 면내력의 효과를 무시했을 경우 (N=0), 중립면에서의 변형률와 곡률은 다음과 같이 표현된다. + + + +$$ +\begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {o} = - \mathbf {A} ^ {- 1} \mathbf {B} \boldsymbol {\kappa} \tag {3.16.3} \\ \mathbf {\kappa} = \mathbf {D} ^ {* - 1} \mathbf {M} \\ \end{array} +$$ + +여기서 $D^{*}=D-B^{T}A^{-1}B$ 이다. (3.16.3)을 이용하여 횡방향 전단응력을 다시 표현하면 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {x z} \\ \tau_ {y z} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {F} (z) \mathbf {M} _ {, x} + \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {F} (z) \mathbf {M} _ {, y} \tag {3.16.4} +$$ + +$$ +\mathbf {F} (z) = \left(\int_ {\zeta = 0} ^ {\zeta = z} \mathbf {C} ^ {(k)} d \zeta \mathbf {A} ^ {- 1} \mathbf {B} - \int_ {\zeta = 0} ^ {\zeta = z} \zeta \mathbf {C} ^ {(k)} d \zeta\right) \mathbf {D} ^ {* - 1} \tag {3.16.5} +$$ + +x-축과 y-축 대해 원통형 굽힘 거동을 가정했을 경우, 모멘트의 면내 미분값과 횡방향 전단력은 다음과 같이 간단한 관계식으로 표현이 가능하다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} Q _ {x z} \\ Q _ {y z} \end{array} \right\} = - \left\{ \begin{array}{l} M _ {x, x} \\ M _ {y, y} \end{array} \right\} \tag {3.16.6} +$$ + +이를 이용하여 횡방향 전단응력을 표현하면 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {x z} \\ \tau_ {y z} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} F _ {1 1} & F _ {3 2} \\ F _ {3 1} & F _ {2 2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} Q _ {x z} \\ Q _ {y z} \end{array} \right\} \tag {3.16.7} +$$ + +즉, 횡방향 전단응력은 적층판을 구성하는 물질의 물성치 및 두께, 적층각에 의한 형상함수 $\mathbf{F}(z)$ 와 횡방향 전단력에 의해 결정된다. 이를 이용하면 적층이론에 의해 적분하여 계산된 횡방향 전단 강성 G 를 다음과 같이 수정 표현할 수 있다. + +$$ +\tilde {\mathbf {H}} = \left[ \int \left[ \begin{array}{l l} F _ {1 1} & F _ {3 2} \\ F _ {3 1} & F _ {2 2} \end{array} \right] ^ {T} \mathbf {G} ^ {- 1} \left[ \begin{array}{l l} F _ {1 1} & F _ {3 2} \\ F _ {3 1} & F _ {2 2} \end{array} \right] \right] ^ {- 1} \tag {3.16.8} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_012.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_012.md new file mode 100644 index 00000000..60acc8fe --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_012.md @@ -0,0 +1,158 @@ + + +• 요소 결과 + +midas NFX의 layered shell 요소는 요소의 두께 방향으로 각 층 (ply) 마다 중심또는 상/하단에서 결과를 제공한다. 또한 전체 적층판의 최대/최소값을 제공한다. 응력 및 변형률의 결과는 각 층의 재료 주축방향으로 출력된다. + +표 3.16.1 Layered shell 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressIn-plane stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{11}$ , $\sigma_{22}$ , $\tau_{12}$
Transverse shear stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{1z}$ , $\tau_{2z}$
Principal stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$
Von-Mises stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$
Max shear stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{\max}$
StrainIn-plane strain위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{22}$ , $\gamma_{12}$
Principal strain위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $E_{1}$ , $E_{2}$ , 주변형률 방향
+ + + +
Von-Mises strain위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{v}$
Max shear strain위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$
Force/MomentIn-plane force위치 : 꼭지점/요소중심 $N_{xx}$ , $N_{yy}$ , $N_{xy}$
Bending moment위치 : 꼭지점/요소중심 $M_{xx}$ , $M_{yy}$ , $M_{xy}$
Shear force위치 : 꼭지점/요소중심 $Q_{xz}$ , $Q_{yz}$
Misc.Failure index/strength ratio위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심Tsai-Wu, Tsai-Hill, Hoffman, max-strain, max-stress 또는 LaRC02
+ + + +# • 비선형 해석 + +Layered shell 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 탄소성 재료를 적용할 때에는 각 층마다 Simpson 적분점 개수를정의할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다. + +표 3.16.2 Layered shell 요소의 비선형해석 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressEquivalent stress위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
Plastic status위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점탄성/소성, 0/1
StrainEquivalent strain위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
Effective plastic strain위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점 $e_{p}$
+ + + +# 3.17 Layered solid 요소 + +Layered solid 요소는 복합재료의 모델링에 사용하며, layered shell 요소를 사용하기에는 두꺼운 구조에 적합하다. midas NFX에서는 복합재료 성질을 가진solid 요소를 layered solid 요소로 가정하고 있으며, 사용할 수 있는 layeredsolid 요소는 오면체 쐐기 형태와 육면체(hexahedron) 모양이며 6/8/15/20 개의절점을 가질 수 있다. 좌표계의 정의, 자유도 선정 그리고 하중의 종류 등은solid 요소와 동일하다. + +# • 좌표계 + +Layered solid 요소의 ECS는 solid 요소와 동일하게 정의한다. 재료의 적층 순서는 ECS의 z축을 기준으로 아래에서 위쪽으로 적층된다고 가정한다. Layeredsolid 요소는 복합재료 적층판의 모델링에 주로 적용되므로 직교이방성 재료를사용하는 경우가 많다. 이와 같은 경우 MCS를 사용하게 되는데, 그림 3.17.1과같이 x축을 요소의 중립면에 투영하여 그 방향을 재료의 주축으로 가정한다. + +![](images/page-114_28dddc2e6d7df521a3d5c76c3d93459dd1b242fb13df03e1973b2cc3357937c5.jpg) + +
+text_image + +User-defined +material +coordinate +y +x +z +Projection +8 +4 +MCS - y +MCS - x +6 +Mid-plane +1 +2 +3 +7 +5 +
+ +그림 3.17.1 좌표계를 이용한 layered solid 요소의 재료축 정의 + + + +\- 두께 방향 적분 방법 + +Layered solid 요소는 두께 방향으로 여러 겹의 각기 다른 재료가 적층 되어 있다고 가정하기 때문에 일반적인 가우스 적분법을 사용할 경우 수치적으로 계산량이 많아지게 된다. midas NFX에서는 이와 같은 문제를 해결하기 위하여 B 행렬과 자코비언 J 를 자연 좌표 ζ 에 대해 전개하여 해석적분(analytic integration)을 수행한다. + +변위와 변형률 관계를 ζ에 대해 분해하면 다음과 같다. + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} = \mathbf {B} \mathbf {u} = (\mathbf {B} _ {0} + \zeta \mathbf {B} _ {1} + \zeta^ {2} \mathbf {B} _ {2}) \mathbf {u} \tag {3.17.1} +$$ + +자코비언 J 또한 동일한 방법으로 분해하면 다음과 같이 강성행렬을 계산할 수 있다. + +$$ +\mathbf {K} = \iint_ {\xi \eta} \sum_ {k} \int_ {\zeta_ {B k}} ^ {\zeta_ {T k}} \left(\mathbf {B} _ {0} + \zeta \mathbf {B} _ {1} + \zeta^ {2} \mathbf {B} _ {2}\right) ^ {T} \mathbf {C} ^ {(k)} \left(\mathbf {B} _ {0} + \zeta \mathbf {B} _ {1} + \zeta^ {2} \mathbf {B} _ {2}\right) \left(J _ {0} + \zeta J _ {1} + \zeta^ {2} J _ {2}\right) d \zeta d \xi d \eta \tag {3.17.2} +$$ + +$\zeta_{Bk}$ , $\zeta_{Tk}$ : 각 층의 상/하단에서의 좌표값 $\zeta$ + +$C^{(k)}$ : 각 층의 응력-변형률 관계행렬 + +\- 응력-변형률 관계식의 수정 + +6절점과 8절점 layered solid 요소는 일반적인 등매개변수(isoparameric) 정식화 방법으로는 정확한 해를 얻을 수 없을 뿐만 아니라 잠김 현상이 발생하기 때문에 3.3절에서 설명한 다양한 성능 향상 기법을 적용한다. 특히 layered solid 요소는 두께가 않은 적층판을 모델링할 때 많이 사용되기 때문에 두께방향으로 응력이 거의 발생하지 않는 경우가 많은 반면, solid 요소의 특성을 가지고 있기 때문에 두께 방향으로 재하된 하중이 있을 경우에는 이에 의해 수직응력이 발생하기도 한다. 이와 같은 현상을 동시에 고려하기 위하여 midas NFX의 6절점과 8절점 layered solid 요소는 응력-변형률 관계식의 수정된 형태 $^{23}$ 를 사용하여 두께 방향으로 일정한 응력을 유지하도록 하였다. + + + +• 요소 결과 + +midas NFX의 layered solid 요소는 요소의 두께 방향으로 각 층 (ply) 마다 중심또는 상/하단에서 결과를 제공한다. 또한 전체 적층판의 최대/최소값을 제공한다. 응력 및 변형률의 결과는 각 층의 재료 주축방향으로 출력된다. + +표 3.17.1 Solid 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressStress component위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{11}$ , $\sigma_{22}$ , $\sigma_{33}$ , $\tau_{12}$ , $\tau_{23}$ , $\tau_{31}$
Principal stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , 주응력 방향
Von-Mises stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\sigma_{v}$
Max shear stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$
Octahedral stress위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\tau_{o}$
Mean pressure위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $p_{0}$
StrainStrain component위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{22}$ , $\varepsilon_{33}$ , $\gamma_{12}$ , $\gamma_{23}$ , $\gamma_{31}$
Principal strain위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ , 주변형률 방향
Von-Mises strain위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{v}$
Max shear strain위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$
Octahedral strain위치: ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $\gamma_{o}$
+ + + +
Mean compression위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심 $c_{0}$
Misc.Failure index/strength ratio위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소, 꼭지점/요소중심Tsai-Wu, Tsai-Hill, Hoffman, max-strain, max-stress 또는 LaRC02
+ + + +• 요소 기법의 선택 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 layered solid 요소는 요소의 성능향상 기법에따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된것이 기본값이다. + +표 3.17.2 Layered solid 요소에 사용된 성능향상 기법 + +
형상절점수명칭요소기법강성행렬수치적분집중질량계산방법
쇄기6Full integration변위가정법/ANS응력-변형률 관계 수정3 점Lobatto
Hybrid혼합법/ANS응력-변형률 관계 수정3 점Lobatto
육면체8Full integration변위가정법/ANS응력-변형률 관계 수정2X2 점Lobatto
Hybrid혼합법/ANS응력-변형률 관계 수정2X2 점Lobatto
쇄기15변위가정법3 점대각항스케일링
육면체20Full integration변위가정법3X3 점대각항스케일링
Reduced integration감차적분법2X2 점대각항스케일링
+ +각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. + +► 8절점 요소 : 자연 변형률 가정법을 채택하였기 때문에 모든 기법이 대체로정확한 결과를 보인다. +► 20절점 요소 : 얇은 구조물에 대해서는 감차적분법을 적용한 요소가 우수한성능을 보이나, 가영 에너지 모드가 발생할 수도 있다. + + + +# • 비선형 해석 + +Layered solid 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 탄소성 재료를 적용할 때에는 각 층마다 Simpson 적분점 개수를선택할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 다음과 같다. + +표 3.17.3 Layered solid 요소의 비선형해석 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressEquivalent stress위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
Plastic status위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점탄성/소성, 0/1
StrainEquivalent strain위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
Effective plastic strain위치 : ply 중심/상하단, 적층판 최대/최소적분점 $e_{p}$
+ + + +# 3.18 그 밖의 요소 + +midas NFX에서는 앞서 설명한 일반적인 구조 요소 이외에 스칼라 요소, bush요소, 특수 요소, 강체/보간 요소 등을 제공하고 있다. + +# • 스칼라 요소 + +스칼라 요소는 하나의 절점이 접지점에 대한 상대적 거동을 할 때 발생하는 변형 에너지 또는 운동 에너지를 표현하거나 두 절점의 상대적 운동을 고려할 수있다. 스칼라 요소는 크게 spring 요소와 mass 요소 그리고 damper 요소로 나누어지며, 각각은 변형 에너지와 운동 에너지를 가지거나 속도에 대한 저항력을표현하는 차이 이외에 모든 기술 방식이 동일하다. + +1 절점 spring 요소는 모델의 경계부분에 위치한 인접구조물을 탄성경계조건으로 고려할 때, 또는 특이성 오류를 임시 방편으로 방지할 때 사용된다. 2절점spring 요소는 두 절점을 탄성 연결하는 기능을 하며 독립적으로 구성된 모델사이의 인접면들이 상대적으로 탄성 거동을 하도록 할 때 사용한다. Spring 요소의 강성은 해당 절점의 NDCS에 대해 입력한다. + +![](images/page-120_188659ed9e4477c5d621145948805ce695108fb360bfff708be1d0cff9a14e5c.jpg) + +
+text_image + +SRY +SY +SX +Nodal Point +SZ +SRX +SRZ +z +y +x +
+ +그림 3.18.1 절점변위좌표계를 사용한 spring 요소의 예 + +Mass 요소는 구조물에서 강성 효과를 가지지 않는 부분의 모델링 시에 사용할수 있다. Mass 요소의 질량 역시 해당 절점의 NDCS에 대해 입력한다. Damper요소는 동적 구조해석을 수행할 때 사용하는 것으로 역시 NDCS에 대해 감쇠값 diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_013.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_013.md new file mode 100644 index 00000000..806bc757 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_013.md @@ -0,0 +1,354 @@ + + +을 입력한다. + +Spring 요소는 표 3.18.1과 같은 요소 결과를 출력한다. 단, spring 요소의 자유도는 변위 또는 회전을 임의로 선택할 수 있기 때문에 일관성 있는 단위 환산을할 수 없으므로, 응력과 힘/모멘트의 결과를 검토할 때에는 이를 고려해야 한다. + +표 3.18.1 Spring 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressStress component위치 : 요소중심응력 계수 s 로부터 계산( $\sigma = sN$ or $\sigma = sM$ )
Force/MomentForce/momentcomponent위치 : 요소중심 $N$ or $M$
Misc.Strain energy위치 : 요소 중심
Total percent energy위치 : 요소 중심
+ +• Bush 요소 + +Bush 요소는 스프링과 감쇠기능을 동시에 가지고 있으며, 일반적으로 두 개의절점으로 구성된다. bush 요소는 절점의 위치 정보를 이용하기 때문에 1차원 요소로 분류할 수 있으나, 하나의 절점으로 정의하는 경우에는 스칼라 요소와 동일한 성질을 가지게 된다. 특히, 2절점 bush 요소는 양 끝단의 움직임에 ECS가따라 변하게 되므로 기하학적 비선형성을 가질 수 있다. + +Bush 요소는 그 형상 정의의 다양성에서 스칼라 요소와 차이점을 가진다. 그림3.18.2는 여러가지 입력값에 의해 정의할 수 있는 bush 요소의 일반적인 형상을보여주고 있다. + + + +![](images/page-122_8f4077cbb8aea9398990026a05cca5f0d342a3e4c5c95f4885171e73710d25ad.jpg) + +
+text_image + +ECS - y +ECS - z +Spring/Damper +Location +2 +ECS - x +S₃ +S₂ +1 +S₁ +z +y +GCS +x +
+ +그림 3.18.2 Bush 요소의 형상 정의 + +Bush 요소의 강성과 감쇠는 ECS에 대해 각 방향으로 6 성분을 입력할 수 있다.강성 또는 감쇠가 비선형성을 가지는 경우, 요소의 내력과 감쇠력을 각각 변형률(절점간 상대변위)과 변형률 속도(절점간 상대속도)에 대한 함수로 정의하여운동을 나타낼 수 있다. + +$$ +\begin{array}{r l} F _ {\text {elastic}} ^ {I} & = f \left(\Delta u ^ {I}\right) \\ & = f \left(\Delta u ^ {I}\right) \end{array} \tag {3.18.1} +$$ + +$$ +F _ {d a m p i n g} ^ {I} = f (\Delta \dot {u} ^ {I}) +$$ + +$F _ { e l a s t i c } ^ { I } , \ F _ { d a m p i n g } ^ { I }$ : 번째 자유도에 작용하는 내력과 감쇠력 + +$\Delta u ^ { I } , \Delta \dot { u } ^ { I }$ : 번째 자유도의 상대변위와 상대속도 + +![](images/page-122_a6aea9094217588a833271fd9ae4fe259a28fc9be71d08117c94feb232a0a382.jpg) + +
+line +| System | Δu | F_elastic | F_damping | +| --------------- | ---- | --------- | --------- | +| Multi-linear | 0 | 0 | 0 | +| Multi-linear | ∞ | 0 | 0 | +| Multi-linear | ∞ ∞ | 0 | 0 | +| Coulomb-damping| ∞ ∞ | 0 | 0 | +| Coulomb-damping| ∞ ∞ ∞| 0 | 0 | +
+ +그림 3.18.3 Bush 요소의 비선형 강성 및 감쇠 + +위의 그림은 다중-선형(multi-linear) 특성을 가지는 강성 모델과 Coulomb 감쇠모델로 이 함수들은 항상 원점을 통과해야 한다. 또한, Bush 요소에서 제공하는인장전담, 압축전담, 훅, 갭의 거동은 3.4의 Rod 요소의 비선형 강성 모델의 거 + + + +동과 동일하다. Bush 요소 결과는 spring 요소와 유사하며 변형률 결과를 포함한다. + +\- 특수 요소 + +midas NFX의 특수 요소로는 집중 mass가 있다. 집중 mass는 1절점 요소이지만 앞서 설명한 1절점 mass요소와는 다르게 절점으로부터의 오프셋과 다음과 같은 질량 회전관성 모멘트 텐서 $I_{ij}$ 를 입력할 수 있다. + +$$ +I _ {x x} = \int \rho \left(y ^ {2} + z ^ {2}\right) d V, I _ {y y} = \int \rho \left(z ^ {2} + x ^ {2}\right) d V, I _ {z z} = \int \rho \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) d V \tag {3.18.2} +$$ + +$$ +I _ {x y} = \int \rho x y d V, I _ {x z} = \int \rho x z d V, I _ {y z} = \int \rho y z d V +$$ + +ρ : 밀도 + +x, y, z : 무게중심으로부터의 거리 + +\- 강체/보간 요소 + +강체 요소와 보간 요소는 절점들 간의 상대적인 운동을 상호 구속하는 요소이다. 여기서, 구속의 주체가 되는 절점을 주절점(independent node) 또는 구속의 주체가 되는 자유도를 주자유도(independent DOF)라 하고 구속을 받는 절점 또는 자유도를 종속절점(dependent node) 또는 종속자유도(dependent DOF)라 한다. 강체 요소는 하나의 절점에 의해 다른 여러 절점의 기하학적 상대거동을 구속하는 기능을 한다. 그러므로 주절점 1개에 여러 개의 종속절점이 연결되어 있는 형태이다. 주절점과 종속절점 사이의 상호 관계식은 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {u} ^ {D} = \mathbf {u} ^ {I} + \mathbf {r} \times \boldsymbol {\theta} ^ {I} = \mathbf {u} ^ {I} + (\Delta \mathbf {x}) \times \boldsymbol {\theta} ^ {I} \tag {3.18.3} +$$ + +$$ +\boldsymbol {\theta} ^ {D} = \boldsymbol {\theta} ^ {I} +$$ + +$u^{D}, \theta^{D}$ : 종속절점의 변위와 회전 + +$u^{I}, \theta^{I}$ : 주절점의 변위와 회전 + +$\Delta x$ : 종속절점에서 주절점을 향하는 벡터 $(\mathbf{x}^{I}-\mathbf{x}^{D})$ + +종속절점의 6 자유도 중에서 주절점의 구속을 받아 거동하도록 하고자 하는 자유도를 선택할 수 있으며 이를 이용하여 방향 별 선택적 강체 요소를 만들 수 + + + +있다. 다음은 x-y 평면 상에서 강체 거동을 하도록 구속하는 예이다. + +$$ +u ^ {D} = u ^ {I} - \theta_ {z} ^ {I} \Delta y, v ^ {D} = v ^ {I} + \theta_ {z} ^ {I} \Delta x, \theta_ {z} ^ {D} = \theta_ {z} ^ {I} \tag {3.18.4} +$$ + +![](images/page-124_8b3d04ad653d7759192654286792cc65cbcf32d3dc79911057802e48cb88e4b4.jpg) + +
+text_image + +1 +2 +3 +4 +y +x +
+ +![](images/page-124_ab092fbada53012e4e2c831ab20c11261600679c28b3eba18f0a569cf7502931.jpg) + +
+text_image + +y +4 +3 +1 +Independent node +2 +x +
+ +그림 3.18.4 평면 내 강체 거동의 예 + +보간 요소는 하나의 절점이 다른 여러 절점의 운동에 따라 상대적 거동을 하는요소이다. 그러므로 종속절점 1개에 여러 개의 주절점이 연결되어 있는 형태이다. 보간 요소는 여러 절점에 힘 또는 질량을 분포시킬 때 유용하게 사용되며강체 요소에 비해 구속되는 절점이 적기 때문에 구속력 또한 약하다. 예를 들어x-y 평면 상에서 종속절점과 주절점의 변위 관계를 알기 위해 힘의 분포 과정을살펴보자. + +![](images/page-124_41a15b880a3806a150a579786b2af71d166b42c47f08c792c03421d718d75ccf.jpg) + +
+text_image + +w₁ +r₁ +r₃ +w₃ +C.G. +r₂ +w₂ +e +Reference +point +
+ +![](images/page-124_bd9c094cb756d1db20fe186d367d258abafd7e1bd49e35d3a4dfe2a6a71ce967.jpg) + +
+text_image + +F^D +M^D + e × F^D +M^D +F^D +
+ +그림 3.18.5 주절점의 무게중심과 종속절점에 작용하는 힘의 관계 + +그림 3.18.5와 같이 가중치 $w _ { i } \frac { \overline { { \mathbf { s } } } } { \overline { { \mathbf { u } } } }$ 가지고 분포되어 있는 주절점들의 무게중심에서 거리 만큼 떨어진 위치에 종속절점이 위치하면, 종속절점에 가해지는 힘$F ^ { D }$ 와 모멘트 $M ^ { D }$ 는 무게중심에 대해 $\boldsymbol { M } ^ { D } + \boldsymbol { e } \times \boldsymbol { F } ^ { D }$ 의 모멘트로 작용한다. 종속 + + + +절점에 의해 무게중심에 작용하는 힘과 모멘트는 각 주절점에 다음과 같이 가중 평균된 힘으로 분산시킬 수 있다. + +$$ +\mathbf {F} _ {i} \stackrel {\text { def }} {=} \hat {w} _ {i} \left(\mathbf {F} ^ {D} + \mathbf {T} ^ {- 1} \left(\mathbf {M} ^ {D} + \mathbf {e} \times \mathbf {F} ^ {D}\right) \times \mathbf {r} _ {i}\right) \tag {3.18.5} +$$ + +여기서 $\hat{w}_{i}$ 는 가중치 합으로 정규화된 가중치이며, T 는 주절점들의 무게중심에서의 평균적인 관성텐서(Inertia tensor)이다. + +$$ +\hat {w} _ {i} = \frac {w _ {i}}{\sum w _ {i}} \tag {3.18.6} +$$ + +$$ +\mathbf {T} = \sum_ {i} \hat {w} _ {i} \left[ \left(\mathbf {r} _ {i} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {r} _ {i}\right) \mathbf {I} - \mathbf {r} _ {i} \mathbf {r} _ {i} ^ {\mathrm{T}} \right] \tag {3.18.7} +$$ + +이와 같은 힘의 관계식은 다음의 변위와 회전 관계식으로 변환할 수 있다. + +$$ +\mathbf {u} ^ {D} = \sum_ {i} \hat {w} _ {i} \mathbf {u} ^ {I} + \left(\mathbf {T} ^ {- 1} \sum_ {i} \hat {w} _ {i} \left(\mathbf {r} _ {i} \times \mathbf {u} ^ {I}\right)\right) \times \mathbf {e} \tag {3.18.8} +$$ + +$$ +\theta^ {D} = \mathbf {T} ^ {- 1} \sum_ {i} \hat {w} _ {i} \left(\mathbf {r} _ {i} \times \mathbf {u} ^ {I}\right) \tag {3.18.9} +$$ + +결국 주절점들의 평균적인 거동이 종속절점의 움직임을 결정하는 형태가 되며, 이러한 특성 때문에 강체 요소에 비해 작은 개수의 자유도 구속이 발생한다. + + + +![](images/page-126_304e2b5f398dbccdceebea1e2ee6ce4c0121bba78126f836384c9eff0e0ec4e3.jpg) + +
+text_image + +Rigid +(RBE2) +
+ +![](images/page-126_fad8577c46336c3f3d9341ebfe2efe3203dd4a80bad9fe5744c0bc1502b09513.jpg) + +
+text_image + +Interpolation +(RBE3) +
+ +그림 3.18.6 강체/보간 요소의 거동 비교 + +• 조인트 요소 + +조인트(Joint) 요소는 두 점 간의 상대적인 운동을 미리 정의된 다양한 조인트타입에 따라 구속하는데 사용되는 요소이다. 여기서 상대적인 거동이 구속되는두 점은 접지점(ground point)-절점 또는 절점-절점으로 구성될 수 있다. 일반적으로 조인트 요소가 연결하는 두 점은 각각 강체 요소에 포함된 특정 절점인 경우가 많다. 이러한 경우, 조인트 요소는 두 강체요소 사이의 상대적인 거동을 표현하는데 용이하게 사용된다. + +선형해석의 경우 조인트 요소는 (3.18.3)으로 표현되는 강체요소의 확장된 형태로 생각할 수 있다. 이 경우 종속절점의 절점좌표계에 대하여 자유도의 구속여부가 정의되어 구속된 절점 자유도에 대한 구속식이 즉시 소거가능한 형태로 주어지는 강체요소의 경우와 달리 조인트 요소의 구속식은 요소의 ECS에 대하여정의가 되므로 이를 적절히 소거가능한 형태로 변환하여야 한다. 따라서 조인트요소에서는 주자유도, 종속자유도가 요소의 정의과정에서 결정되는 것이 아니고ECS에 대하여 주어진 구속식을 소거가능한 형태로 변환하는 과정에서 전체 구속상태를 고려하여 내부에서 적절히 선택하게 된다. 즉, 모든 조인트 요소에 포함된 모든 자유도 에 대한 전체 구속식이 다음과 같이 표현된다면 + +$$ +\mathbf {C u} ^ {c} = \mathbf {0} \tag {3.18.10} +$$ + +여기서 단일 절점 구속이 적용된 자유도 등을 제외하여 적절히 종속자유도를 구속식의 개수( 행렬의 행 수)만큼 선택하면 (3.18.8)을 다음과 같이 주자유도와 종속자유도 로 분리하여 표현할 수 있고 + + + +$$ +\left[ \begin{array}{l l} \mathbf {C} _ {D} & \mathbf {C} _ {I} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} ^ {D} \\ \mathbf {u} ^ {I} \end{array} \right\} = \mathbf {0} \tag {3.18.11} +$$ + +여기서 행렬 $\mathbf { C } _ { D }$ 의 랭크가 구속식의 개수와 같다면(full rank) 가우스 소거법을통해서 다음과 같이 종속자유도를 소거가능한 형태로 표현할 수 있다. + +$$ +\mathbf {u} ^ {D} = - \mathbf {C} _ {D} ^ {- 1} \mathbf {C} _ {I} \mathbf {u} ^ {I} \tag {3.18.12} +$$ + +만약 행렬 $\mathbf { C } _ { D }$ 의 랭크가 구속식보다 작다면 이 시스템은 과도구속(over-constraint) 상태이며 이 경우 소거 과정에서 남은 부분이 모두 0인지 아닌지에따라 과도구속의 기존 구속과의 일치 여부를 판별할 수 있다. 이와 같이 종속자유도의 선택과 소거 과정을 통함으로써 선형해석에서 조인트 요소의 경우 강체요소에 비하여 훨씬 복잡한 구속관계를 용이하게 정의할 수 있으며 또한 이 과정에서 과도구속 여부와 과도구속의 기존 구속과의 일치 여부를 정확하게 판단하여 적절한 조치를 취할 수 있다. + +조인트 타입에 따라 허용되는 상대적인 거동(자유도)은 요소의 ECS에 대하여 정의되며 특히 기하학적 비선형 해석에서 절점-절점으로 구성된 조인트 요소의 경우 요소의 회전에 따라 ECS가 변화하게 된다. 또한 조인트 요소는 상대적 거동이 허용된 자유도에 Bush 요소처럼 스프링 강성 및 감쇠를 부여 할 수 있다. + +조인트 요소의 요소력은 구속된 자유도의 경우 ECS에 대한 구속력이 출력되며상대적 거동이 허용된 자유도에 대해서는 Bush 요소의 경우와 같은 요소력이ECS에 대해 출력된다. + +표 3.18.2 조인트 요소의 결과 항목 +
결과 항목설명
StressStress component응력 계수 s 로부터 계산( $\sigma = sN$ or $\sigma = sM$ )
StrainStrain component변형률 계수 e 로부터 계산( $\varepsilon = e\mathbf{u}$ or $\gamma = e\boldsymbol{\theta}$ )
Force/MomentForce/moment componentN or M
+ + + +midas NFX 에서는 Join, Spherical, Cylindrical, Slot, Revolute, Planar, Translational,Universal, General 타입의 조인트 요소를 지원한다. + +표 3.18.3는 각 조인트 타입에 대하여 허용 상대 자유도를 나타내고 그림 3.18.6은 몇 가지 대표적 조인트 타입을 각자의 상대적 거동에 초첨을 맞춰서 도식화한 것이다. Universal 타입의 조인트 요소는 레퍼런스 점의 좌표계인 ECS와 종속점의 좌표계, ECS2를 가지며, 변형중 ECS의 x축과 ECS2의 z축은 수직조건을 만족한다. + +표 3.18.3 Joint 요소 타입 및 허용 자유도 + +
조인트 타입허용 상대 자유도
Join-
Spherical $\theta_x, \theta_y, \theta_z$
Cylindrical $w, \theta_z$
Slot $u, \theta_x, \theta_y, \theta_z$
Revolute $\theta_z$
Planar $u, v, \theta_z$
Translational $u$
Universal $\theta_x, \theta_z$
General사용자 정의
+ + + +![](images/page-129_5040ff53753e2ff28cc6c29e4dcd267fbc3479ae563ae59bbc3e6cad1398781e.jpg) + +
+natural_image + +3D rendered illustration of a mechanical component with orange and gray sections, no text or symbols present +
+ +SSphericalpherical + +![](images/page-129_1e8b8710b74fb2353661d9c4326c49a0474e9ddbcee9b40cb2798e4af5e55e28.jpg) + +
+natural_image + +3D mechanical component with red and gray parts, labeled ECS-z (no other text or symbols) +
+ +Cylindrical Cylindrical + +![](images/page-129_8775927bfb08162248a7129614c7465abad3543e5267c6c33c5543ee9a8e9b77.jpg) + +
+natural_image + +3D diagram of a mechanical component with red and black sections and a labeled rotation arrow (no text or symbols beyond label) +
+ +Revolute + +![](images/page-129_ec900641b06ee68c31d1f019d796d35369e67e86394e731e30e4b0fc189ba0d8.jpg) + +
+text_image + +ECS-z +ECS-x +ECS-y +
+ +Planar + +![](images/page-129_f242a57258895ee27dded07d75e46790ec4c91f4df8043d08cdae89dbeb65fcb.jpg) + +
+natural_image + +3D diagram of two mechanical components with labeled ECS-x (no other text or symbols) +
+ +Translational + +![](images/page-129_a950b434066787a9f9213c0ef07fe68219129417b63d5ae190de1bcb9d721037.jpg) + +
+natural_image + +3D mechanical assembly diagram showing a component with labeled axes ECS2-z and ECS-x (no text or symbols on the diagram itself) +
+ +UniversalUniversal +그림 3.18.6 조인트 타입과 거동 + + + +• Gap 요소 + +Gap 요소는 압축전담 요소에 전단방향 마찰이 추가된 형태의 비선형 요소로 1차원 일반접촉 요소라고 할 수 있다. Gap 요소는 2절점 bush 요소와 같이 절점의 위치 정보를 이용하기 때문에 1차원 요소로 분류하지만, 1절점 bush 요소와같이 요소축이 GCS를 따르는 경우로도 사용이 가능하다. 접촉과는 다르게 초기의 열린거리(Opening) 정의 기준을 고정해야 하므로 기하비선형성을 고려하지않는다. + +표 3.18.4 Gap 요소의 결과 항목 + +
결과 항목설명
StressSlip위치 : 요소중심요소 Y, Z 방향 Slip 거리
Status위치 : 요소중심Open/Slide/Stick/Slip = 0/1/2/3
StrainRelative Displacement두 절점간 상대변위
ForceForce component위치 : 요소중심 $N_{xx}, Q_y, Q_z, \sqrt{Q_y^2 + Q_z^2}$
+ +축방향과 전단방향에 대한 거동은 각각 절점간 상대변위 $x _ { B } - x _ { A }$ ${ y _ { B } - y _ { A } }$ 대해서 그림 3.18.8과 같이 표현된다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_014.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_014.md new file mode 100644 index 00000000..5a7ca3c3 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_014.md @@ -0,0 +1,274 @@ + + +![](images/page-131_38b8f3b2f183a0bed9a965a07278df05438b66e999a0f4ac81a435e0f26398e5.jpg) + +
+text_image + +Nₓ +-u₀ +F₀ +kₐ +kₑ +xₑ - xₐ +closed +open +
+ +(a) 축방향 거동 +![](images/page-131_a7e73ba3ace75436e6726904e849381cc2b5a864e776fb29805819038dc61edb.jpg) + +
+line + +| Point | Qy | yB - yA | +|-------|--------|---------| +| 1 | μsNx | | +| 2 | μkNx | | +| 3 | kt | | +| 4 | -μkNx | | +| 5 | -μsNx | | +
+ +(b) 전단방향 거동 +그림 3.18.8 Gap 요소의 방향별 거동 + + + +여기서, + +$u _ { 0 } :$ 갭 초기 열림(gap initial opening) + +$F _ { 0 } :$ : 초기 하중(Preload) + +k : 갭이 닫혔을 때 축강성 + +k : 갭이 열렸을 때 축강성 + +$k _ { \iota }$ : 갭이 닫혔을 때 전단강성 + +$\mu _ { s }$ : 정지마찰 계수 + +$\mu _ { k } :$ : 동마찰 계수 + +마찰에 의한 미끄러짐을 반영하기 위해 일반접촉과 동일한 파괴함수(식 5.8.10참고)를 사용한다. + +초기 열림길이를 자동으로 설정하면 초기의 절점 거리의 요소축방향 성분을 사용하므로 일반접촉과 유사한 거동을 모사할 수 있으며, 열린상태의 축방향 강성을 입력하지 않은 경우는 닫힌상태 축강성의 1e-10만큼을 사용한다. + + + +# 3.19 기하강성 + +기하강성(geometric stiffness) 또는 응력강성(stress stiffness)은 내력을 지니고 있는 구조물에 기하학적 형상변화가 발생했을 때 유발되는 내력 변화에 의한 강성이다. 기하강성은 선형 좌굴해석과 기하학적 비선형 해석에서 사용되며, midasNFX의 요소 중에서 기하강성을 고려하는 요소는 다음과 같다. + +표 3.19.1 기하강성을 고려하는 요소 종류 + +
요소 종류내력 성분자유도 성분
Rod축방향 힘 $N_{xx}$ $v, w$
Bar축방향 힘 $N_{xx}$ $v, w, \theta_{y}, \theta_{z}$
Pipe축방향 힘 $N_{xx}$ $v, w, \theta_{y}, \theta_{z}$
Membrane, Plane strain면내방향 합력 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$ $u, v, w$
Shell면내방향 합력 $N_{xx}, N_{yy}, N_{xy}$ 급힘 모멘트 $M_{xx}, M_{yy}, M_{xy}$ 전단력 $Q_{zx}, Q_{yz}$ $u, v, w, \theta_{x}, \theta_{y}$
Axisymmetric solid면내 응력 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$ 둘레방향 응력 $\sigma_{\theta\theta}$ $u, w$
Solid응력 성분 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}$ $u, v, w$
+ +이 밖에 spring, bush, rigid 요소 및 접촉조건에 대해서는 기하학적 비선형 해석에 대해서만 기하강성을 고려한다. + +• 구조 요소에 대한 기하강성 계산방법 + +midas NFX에서는 Jaumann 응력률(stress rate)을 객관(objective) 응력률로 가정한 개정 라그란지안 방법(updated Lagrangian formulation)에 기초하여 기하강성을 계산한다. 예를 들어 solid 요소의 내력은 다음과 같이 응력과 가상 변형으로 + + + +부터 계산한다. + +$$ +\delta u _ {i} f _ {i} = \int \sigma_ {i j} \delta D _ {i j} d V \tag {3.19.1} +$$ + +$\delta D_{ij}$ : 가상 변형 $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\delta u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial\delta u_{j}}{\partial x_{i}}\right)$ + +내력의 접선(tangent) 기울기가 강성에 해당하므로 다시 한번 변분을 취하면 피적분항은 다음과 같다. + +$$ +d \sigma_ {i j} \delta D _ {i j} + \sigma_ {i j} d \delta D _ {i j} \tag {3.19.2} +$$ + +위식에서 적분 영역의 변분은 무시하였다. Solid 요소는 EFCS가 GCS이므로 구조물의 변형과 무관하게 고정되어 있다. 그러므로 $d\delta D_{ij}=0$ 이고, 첫 번째 항에서 객관 응력률에 의한 응력 증분(increment)는 다음과 같다. + +$$ +d \sigma_ {i j} = d w _ {i k} \sigma_ {k j} + \sigma_ {i j} d w _ {j k} + C _ {i j k l} d D _ {k l} \tag {3.19.3} +$$ + +$\delta w_{ij}$ : 증분 스픈(spin) $\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\delta u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial\delta u_{j}}{\partial x_{i}}\right)$ + +(3.19.2)와 (3.19.3)을 (3.19.1)에 대입하여 정리하면 다음의 접선강성을 얻을 수 있다. + +$$ +\delta u _ {i} K _ {i j} d u _ {j} = \int \delta D _ {i j} C _ {i j k l} d D _ {k l} + \sigma_ {i j} \left(\delta L _ {k i} d L _ {k j} - 2 \delta D _ {i k} d D _ {k j}\right) d V \tag {3.19.4} +$$ + +$\delta L_{ij}$ : 증분 변위 구배(displacement gradient) $\delta D_{ij} + \delta w_{ij}$ + +피적분 값의 첫 번째 항은 재료강성(material stiffness)이라 하며 두 번째 항이 기하강성이다. 식에서도 알 수 있듯이 기하강성은 응력의 크기에 비례하기 때문에 이 성질을 이용하여 선형 좌굴해석이 가능하다. + + + +\- 강체 요소에 대한 기하강성 계산방법 + +강체 요소에 대한 기하강성은 종속절점에 작용하는 힘에 의해 만들어진다. 종속절점에 작용하는 힘과 모멘트를 $f^{s}, m^{s}$ 라 할 때 이로 인한 가상일은 다음과 같다. + +$$ +\delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot \delta \mathbf {u} ^ {s} + \mathbf {m} ^ {s} \cdot \delta \boldsymbol {\theta} ^ {s} \tag {3.19.5} +$$ + +$\delta\mathbf{u}^{s},\delta\boldsymbol{\theta}^{s}$ : 종속절점의 변위와 회전 + +가상일에 대해 다시 변분을 취하면 다음과 같이 강성 계산을 위한 기본 식을 얻을 수 있다. + +$$ +d \delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} + \mathbf {m} ^ {s} \cdot d \delta \boldsymbol {\theta} ^ {s} = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} \tag {3.19.6} +$$ + +종속절점 변위를 주절점 변위와 회전으로 치환하기 위해 다음 식을 이용한다. + +$$ +\delta \mathbf {u} ^ {s} = \delta \mathbf {u} ^ {m} + \delta \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (\mathbf {x} ^ {s} - \mathbf {x} ^ {m}) \tag {3.19.7} +$$ + +위식을 다시 변분하여 (3.17.6)에 대입하면 강성을 계산할 수 있다. + +$$ +d \delta W = \mathbf {f} ^ {s} \cdot d \delta \mathbf {u} ^ {s} = \mathbf {f} ^ {s} \cdot (\delta \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (d \boldsymbol {\theta} ^ {m} \times (\mathbf {x} ^ {s} - \mathbf {x} ^ {m}))) \tag {3.19.8} +$$ + +강체요소의 기하강성은 종속절점에 작용하는 힘과 상대거리에 의해 구성되며 주절점의 회전 자유도와 관련 있음을 알 수 있다. + +종속절점의 일부 자유도를 구속으로부터 해제한 경우 강체요소의 움직임을 따라 해제된 자유도 방향 또한 회전하게 된다. 그림 3.19.1과 같이 주절점의 회전에 의해 종속절점의 절점변위 좌표계(NDCS)가 움직임을 알 수 있으며, 구속 해제 또한 변화하는 좌표계를 따라 이루어진다. 또는, 강체 요소를 이용하여 일부 자유도만을 구속했을 때, 구속 방향이 일정하게 유지되지 않고 계속적으로 변화하게 된다. + + + +![](images/page-136_7b14091819922d0211b74ddbcd0e2260811145e5381ea70b807bf55dd41dbfda.jpg) + +
+text_image + +NDCS +x +z +y +Translation +Rotation +Rotated NDCS +x' +y' +z' +
+ +그림 3.19.1 주절점의 회전에 의해 변화하는 종속절점의 자유도 방향 + + + +# 3.20 열전도 요소 + +midas NFX의 열전달 해석은 과도상태(transient)와 정상상태(steady-state)에 대한 열평형 방정식을 기초로 하며, 본 절에서는 유한요소법에 의한 공간 이산화와 시간적분 방법에 대해 설명한다. 열전도 요소는 기본적으로 선형성을 가지지만, 온도 의존성(temperature dependency)을 부여하는 경우에는 비선형성이 지배적으로 나타난다. 또한 형상 함수 또는 수치 적분 등의 방법이 구조요소와 크게 다르지 않으며, 자유도가 절점당 1개(온도)로 표현되기 때문에 구조해석에 비해 상대적으로 작은 계산 비용으로 해석을 수행할 수 있다. + +• 유한요소 정식화 + +경계로 전달되는 열속(heat flux), 내부발열, 그리고 비열(specific heat)에 의한 내부 열 에너지의 증감을 고려한 과도상태 에너지 평형식은 다음과 같다. + +$$ +\int_ {\partial \Omega} q d S + \int_ {\Omega} r d \Omega = \int_ {\Omega} c \rho \dot {T} d \Omega \tag {3.20.1} +$$ + +q : 열속 + +r : 단위 부피당 생성되는 열량 + +C : 비열 + +p : 질량 밀도 (mass density) + +midas NFX에서는 상변화에서 발생하는 잠열(latent heat) 효과를 고려할 수 있다.상변화가 일어나기 시작하는 온도와 끝나는 온도 그리고 상변화에 사용되는 내부 에너지를 사용하여 상변화 구간에서의 비열을 다음과 같이 구한다. + +$$ +c ^ {\prime} = c + \frac {L}{T _ {l} - T _ {s}} \tag {3.20.2} +$$ + +c : 상변화 구간에서 사용되는 비열 + + + +L : 상변화에 사용되는 내부 에너지 + +:상변화가 시작되는 온도 + +$T_{s}$ + +$T_{l}$ : 상변화가 끝나는 온도 + +열속과 온도의 관계는 Fourier 법칙에 근거하여 다음과 같이 표현된다. + +$$ +f _ {i} = - k _ {i j} (T) \frac {\partial T}{\partial x _ {j}} = - k _ {i j} (T) g _ {j} \tag {3.20.3} +$$ + +$k_{ij}(T)$ : 열전도율 (conductivity) + +$g_{j}$ : 온도구배 (temperature gradient) + +Fourier 법칙을 에너지 평형식에 대입하고 변분을 취하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. + +$$ +\int_ {\Omega} c \rho \dot {T} \delta T d \Omega + \int_ {\Omega} \frac {\partial \delta T}{\partial x _ {i}} k _ {i j} (T) \frac {\partial T}{\partial x _ {j}} d \Omega = \int_ {\partial \Omega_ {q}} q _ {e x t} \delta T d S + \int_ {\Omega} r \delta T d \Omega \tag {3.20.4} +$$ + +$q_{ext}$ : 외부에서 유입되는 열속 + +온도를 $T = N_{i}(\mathbf{x})T_{i}$ 형태의 형상함수로 보간하면, 다음과 같이 시간에 대한 온도의 미분항을 포함한 절점온도로 이루어진 비선형 연립방정식이 된다. + +$$ +\mathbf {C} \left(T _ {i}\right) \dot {\mathbf {T}} + \mathbf {K} \left(T _ {i}\right) \mathbf {T} = \mathbf {R} \left(q _ {\text {ext}}, r\right) \tag {3.20.5} +$$ + +위 식을 기초로 온도분포의 시간 이력을 계산하기 위해 후진 차분법(backward difference method)을 적용하였다. 후진 차분법은 내연적 시간 적분방법의 하나로 긴 시간간격에 대한 해석이 가능하고, 해의 진동이 발생하지 않는다. 후진 차분법을 적용한 방정식은 다음과 같다. + +$$ +\left[ \frac {\mathbf {C} (T _ {i} (t + \Delta t))}{\Delta t} + \mathbf {K} (T _ {i} (t + \Delta t)) \right] \mathbf {T} (t + \Delta t) - \frac {\mathbf {C} (T _ {i} (t + \Delta t))}{\Delta t} \mathbf {T} (t) - \mathbf {R} (q _ {e x t}, r) = 0 \tag {3.20.6} +$$ + + + +위의 비선형 방정식에 반복적인 방법으로 다음 시간스텝에서의 온도를 계산하는 Newton-Raphson법을 적용하여 온도분포의 시간 이력을 계산한다. + +열전도(Conductivity)와 열용량(Capacitance) 행렬은 각각 다음과 같이 계산된다. + +▶ 1 차원 요소 (단면적 : A) + +$$ +K _ {i j} ^ {e} = \int k \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} A d L, \mathbf {C} _ {i j} ^ {e} = \int \rho c N _ {i} N _ {j} A d L +$$ + +▶ 2 차원 요소 (두께 : t) + +$$ +K _ {i j} ^ {e} = \int k _ {k l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x _ {k}} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x _ {l}} t d A, \mathbf {C} _ {i j} ^ {e} = \int \rho c N _ {i} N _ {j} t d A, k, l = 1, 2 +$$ + +▶ 3 차원 요소 + +$$ +K _ {i j} ^ {e} = \int k _ {k l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x _ {k}} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x _ {l}} d V, \mathbf {C} _ {i j} ^ {e} = \int \rho c N _ {i} N _ {j} d V, k, l = 1, 2, 3 +$$ + +\- 구조요소와의 관계 + +구조 해석 모델과는 달리 열전달 해석 모델에서는 열하중과 열경계조건을 정의 해야 한다. 하지만, 열하중과 열경계조건을 제외하면 모델링에 있어서 구조해석과 차이가 없기 때문에 구조해석의 bar, shell, solid 등의 요소를 그대로 사용하여 열전달 해석을 수행할 수 있다. 다음은 구조 요소와 열전도 요소의 관계를 표로 정리한 것이다. + +표 3.20.1 열전도 요소와 구조 요소간의 관계 +
열전도 요소구조 요소
1 차원 요소Rod, Bar, Pipe
2 차원 요소Membrane, Shell, Plane strain, Axisymmetric solidLayered shell
3 차원 요소Solid, Layered solid
+ + + +위 표의 요소 이외에 강체요소(rigid body, rigid bar)의 경우 온도 자유도의 일체거동을 묘사할 수 있다. + +• 열전도 요소 해석결과 + +midas NFX 열전도 요소의 해석 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에 대한 값으로 출력된다. 각 요소에 대한 좌표계의 적용 여부 또는 사용 방법은 구조 요소와 동일하다. + +표 3.20.2 열전도 요소의 해석 결과 항목 + +
결과 항목설명
Element thermal resultsFlux component위치 : 요소중심 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$
Flux resultant위치 : 요소중심 $\| \mathbf{f} \| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + f_z^2}$
Thermal gradient component위치 : 요소중심 $g_x$ , $g_y$ , $g_z$
Thermal gradient resultant위치 : 요소중심 $\| \mathbf{g} \| = \sqrt{g_x^2 + g_y^2 + g_z^2}$
diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_015.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_015.md new file mode 100644 index 00000000..f94393e3 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_015.md @@ -0,0 +1,202 @@ + + +# 3.21 줄 발열 요소 + +midas NFX에서는 열전도-전기장 연계 해석을 지원한다. 도체에 전기장이 형성되면 전위차에 의한 열이 발생하는데 이 열량을 줄 발열(Joule heating)이라고부른다. 줄 발열을 예측하기 위해서는 전기장 해석이 필요하다. 전기 전도율 행렬이 온도에 의존적이기 때문에 줄 발열을 정확하게 해석하기 위해서는 열 전달과 전기장 연계 해석을 수행해야 한다. 전기장은 매우 짧은 시간안에 형성되므로 시간항에 의한 영향을 무시할 수 있기 때문에 과도상태 줄 발열, 정상상태줄 발열 모두 정상상태 전기장 해석과 연계된다. midas NFX에서는 열 전달과 전기장 연계 요소를 지원하고 있으며, 본 절에서는 전기장 해석의 정식화와 줄 발열 그리고 연계 요소에서 생기는 강성행렬에 대해 알아본다. + +• 전기장 해석의 유한요소 정식화 + +전하는 맥스웰의 전하 보존식에 따라 생성되거나 없어지지 않는다. + +$$ +\frac {\partial J _ {i}}{\partial x _ {i}} - r _ {c} = 0 \tag {3.21.1} +$$ + +rc : 단위 체적당 전원 + +Ji : 방향별 전류 밀도 + +전류 밀도는 Ohm 법칙에 따라 전기 전도율(electric conductivity)과 전기장 강도(electric field intensity)에 대한 식으로 나타낼 수 있다. + +$$ +J _ {i} = \sigma_ {i j} ^ {E} (T) E _ {j} \tag {3.21.2} +$$ + +$\sigma _ { i j } ^ { E }$ : 전기 전도율 행렬 + +E j : 전기장 강도 + +midas NFX에서는 등방성, 직교 이방성, 이방성 전기 전도율을 가진 재료를 사용할 수 있고, 전기 전도율은 온도에 따라 변하는 값을 가질 수 있다. 이 때 전기장 강도는 공간에서의 전위(electric potential) 변화 기울기의 음수로서 다음과 + + + +같다. + +$$ +E _ {i} = - \frac {\partial \varphi}{\partial x _ {i}} \tag {3.21.3} +$$ + +φ : 전위 + +Ohm 법칙을 전하 보존식에 대입하고, 가상 전위장을 곱하여 적분식으로 나타내면 다음과 같이 유한 요소 해석을 위한 약형을 얻을 수 있다. + +$$ +\int_ {\Omega} \frac {\partial \delta \varphi}{\partial x _ {i}} \sigma_ {i j} (T) \frac {\partial \varphi}{\partial x _ {j}} d \Omega = \int_ {\partial \Omega_ {q}} J _ {e x t} \delta \varphi d S + \int_ {\Omega} r _ {c} \delta \varphi d \Omega \tag {3.21.4} +$$ + +$J_{ext}$ : 외부에서 유입되는 전류 밀도 + +도체에 흐르는 전류에 의해 발생하는 전기 에너지의 양은 줄의 법칙에 따라 다음 식과 같이 표현된다. + +$$ +P _ {e c} = E _ {i} J _ {i} \tag {3.21.5} +$$ + +전류의 흐름에 의해서 발생한 전기 에너지는 에너지 변환 인자(energy conversion factor)만큼 내부 발열량으로 열전달 하중으로 작용한다. + +$$ +\int \delta \varphi \eta P _ {e c} d \Omega \tag {3.21.6} +$$ + +η : 에너지 변환 인자 + +열전달과 전기장 해석의 방정식을 형상함수로 보간하여 이산화하면 다음과 같이 온도와 전위 자유도가 연계된 비선형 연립 방정식을 얻을 수 있다. + +$$ +\left[ \begin{array}{l l} \mathbf {K} _ {T T} & \mathbf {K} _ {T \varphi} \\ \mathbf {K} _ {\varphi T} & \mathbf {K} _ {\varphi \varphi} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {T} \\ \boldsymbol {\varphi} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {R} _ {T} \left(q _ {\text {ext}}, r\right) \\ \mathbf {R} _ {\varphi} \left(J _ {\text {ext}}, r _ {c}\right) \end{array} \right\} \tag {3.21.7} +$$ + + + +midas NFX의 줄 발열 해석에서는 열전달과 줄 발열 연계 강성 행렬과 온도 변화에 따른 열, 전기 전도율 변화에 대한 강성행렬을 고려한다. 이 경우 시스템 행렬이 비대칭이므로, 비대칭 솔버를 사용하여 연립 방정식의 해를 구한다. 줄 발열 해석에서 사용되는 강성행렬은 다음과 같다. + +$$ +\begin{array}{l} K _ {T T} ^ {i j, e} = \frac {1}{\Delta t} \int_ {\Omega} \rho c N ^ {i} N ^ {j} d \Omega + \int_ {\Omega} \frac {\partial N ^ {i}}{\partial x _ {k}} k _ {k l} \frac {\partial N ^ {j}}{\partial x _ {l}} d \Omega + \int_ {\Omega} \frac {\partial N ^ {i}}{\partial x _ {k}} \frac {\partial k _ {k l}}{\partial T} \frac {\partial T}{\partial x _ {l}} N ^ {j} d \Omega \\ - \int_ {\Omega} \eta N ^ {i} E _ {k} \frac {\partial \sigma_ {k l} ^ {E}}{\partial T} E _ {l} N ^ {j} d \Omega \\ K _ {T \varphi} ^ {i j, e} = \int_ {\Omega} \eta N ^ {i} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x _ {k}} \sigma_ {k l} ^ {E} E _ {l} d \Omega \tag {3.21.8} \\ K _ {\varphi T} ^ {i j, e} = - \int_ {\Omega} \frac {\partial N ^ {i}}{\partial x _ {k}} \frac {\partial \sigma_ {k l} ^ {E}}{\partial T} E _ {l} N ^ {j} d \Omega \\ K _ {\varphi \varphi} ^ {i j, e} = \int_ {\Omega} \frac {\partial N ^ {i}}{\partial x _ {k}} \sigma_ {k l} ^ {E} \frac {\partial N ^ {j}}{\partial x _ {l}} d \Omega \\ \end{array} +$$ + +\- 구조요소와의 관계 + +줄 발열 요소의 경우에도 열전달 요소와 마찬가지로 모델링에 있어서 구조해석과의 차이가 없다. 그러므로 표 3.20.1과 같은 관계를 갖는다. + +\- 줄 발열 요소 해석결과 + +midas NFX 전기장 요소의 해석 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에 대한 값으로 출력된다. 각 요소에 대한 좌표계의 적용 여부 또는 사용 방법은 구조 요소와 동일하며, 열전달 요소의 결과에 전기장 해석 결과가 추가적으로 출력된다. + + + +표 3.21.1 전기장 해석의 요소 결과 항목 + +
결과 항목설명
Element electric resultsElectric current density component위치:요소중심 $J_x$ , $J_y$ , $J_z$
Electric current density resultant위치:요소중심 $\| \mathbf{J} \| = \sqrt{J_x^2 + J_y^2 + J_z^2}$
Electric potential gradient component위치:요소중심 $E_x$ , $E_y$ , $E_z$
Electric potential gradient resultant위치:요소중심 $\| \mathbf{E} \| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}$
+ + + +# 3.22 응력 오차(Stress error) + +구조물의 유한요소 해석에서 요소 크기 및 분포는 결과에 가장 큰 영향을 미치는 요인이 된다. 일반적으로 유한요소 메쉬의 적절성은 응력 오차로 판단할 수있으나, 정확한 응력 오차(stress error)를 계산하는 것은 불가능하다. 그러나 유한요소법에서 계산되는 응력의 분포는 그림 3.22.1과 같은 전형적인 모양을 가지므로, 이를 이용하여 응력 오차를 계산한다. + +![](images/page-145_68d3250aeba15deff34412317d0a5d3a55aff27efab5d338dc43cb80df5d527b.jpg) + +
+text_image + +σ +σ₁ +σ₂ +Element 1 +Exact stress σₑₓ +Weighted average +wᵢσᵢ +x +
+ +그림 3.22.1 유한요소법으로 계산된 응력의 전형적인 형상 + +절점에서의 응력은 인접 요소들에서 계산된 응력의 평균값이라 가정한다. + +$$ +\sigma_ {e x} \approx w _ {i} \sigma_ {i} \tag {3.22.1} +$$ + +: 인접 요소들의 응력 + +Wi : 가중치 ( 1 / N ) + +N : 인접 요소들의 개수 + +일반적으로 위 식에 의해 계산된 응력은 인접 요소에서 계산된 각각의 응력에비해 정확한 것으로 알려져 있으며, 이를 정답이라 가정한다. 이 값과 각각의 인접 요소에서 계산된 응력과의 차이에 대한 RMS(root mean square)를 이용하여응력오차를 계산한다. + + + +$$ +e _ {\sigma i} \approx \frac {1}{\sigma_ {a v e} v _ {t} ^ {1 / 3}} \sqrt {\frac {\sum \left\{(\sigma_ {i} - \sigma_ {e x}) v _ {i} ^ {1 / 3} \right\} ^ {2}}{N}} \tag {3.22.2} +$$ + +$\sigma_{ave}$ 는 부피에 대해 모델의 영역 전체에서 구한 응력의 RMS 값이다. + +$$ +\sigma_ {a v e} = \sqrt {\frac {v _ {i} \sigma_ {i} ^ {2}}{\sum v _ {i}}} \tag {3.22.3} +$$ + +$v_{i}$ : 요소의 부피 + +$v_{t}$ : 해석 모델의 부피 + +응력 오차 계산에 사용되는 응력 성분은 von-Mises 응력이며, solid 요소와 membrane, plane strain, shell 요소에 대해 계산을 수행한다. + +응력 오차는 적응적 유한요소 해석(adaptive finite element analysis)에서 세분화 (refinement)되는 요소를 결정하는데 사용 될 수 있다. + + + +# 4. Materials + +midas NFX에서 사용할 수 있는 재료는 크게 구조 재료와 열전도 재료로 구분할수 있으며 각각은 일정한 재료 성질을 가지거나 온도에 따라 변하는 성질을 가진다. 온도 의존 성질(temperature dependent property)은 모든 재료 물성치에대해 정의할 수 있다. + + + +# 4.1 탄성 재료의 성질 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 선형탄성(linear elastic) 재료는 등방성(isotropic),직교이방성(orthotropic), 그리고 이방성(anisotropic) 재료가 있다. 이외에 계산상의 편의를 위해 강체(rigid) 재료를 지원한다. 직교 이방성 재료는 2차원과 3차원 응력상태에 대해 각각 정의하여 사용한다. 다음은 midas NFX에서 사용할 수있는 탄성 재료와 요소간의 관계를 정리한 것이다. + +표 4.1.1 요소별 사용 가능한 재료 + +
재료 종류요소 종류
RodBarPipeCableMembraneShellPlane strainAxisymmetric SolidSolidSolidSurface
Isotropicvvvvvvvvvvv
2D orthotropicvvvv
3D orthotropicvv
3D anisotropicv
Rigidvvvvvvvvvvv
+ +Plane strain 요소 또는 axisymmetric solid 요소에서 2차원 직교이방성 재료를사용하여 적절한 결과를 얻으려면 요소면에 수직 방향과 관계를 가지는 재료 물성치의 적절한 입력이 필요하다. + +# • 강체 재료 + +강체 재료는 탄성 변형이 전혀 일어나지 않는 강체의 성질을 가지는 재료이며실제 재료로서 계산되는 것이 아니고 강체 재료를 가진 요소들을 강체 요소로변환하여 처리하게 된다. 동일한 강체 재료를 가진 모든 요소들은 요소들이 연속적으로 이어져 있는 경우는 물론이고 따로 떨어져 있더라도 모두 하나의 강체 + + + +요소로 거동하게 된다. 또한 서로 다른 강체 재료가 절점을 공유하는 경우에도이들 강체 재료를 가진 모든 요소들은 모두 하나의 주절점에 따라 거동하는 단일한 강체 요소로 처리된다. 강체 재료가 정의되기 위해서는 주절점이 반드시필요한데 사용자가 주절점을 정의하지 않으면 강체 재료 영역 내부에서 자동적으로 선택된다. 주절점을 사용자가 정의하는 경우 강체 재료가 포함된 영역의구속조건 등은 해당 주절점에 대하여 적용해 주어야 한다. 반면 사용자가 주절점을 따로 정의하지 않은 경우 프로그램에서 선택을 하게 되는데 이 때 단일절점 구속조건이 주어진 절점이 강체 재료 내부에 포함되어 있다면 해당 절점을우선적으로 주절점으로 선택하게 된다. 이 경우 단일절점 구속조건이 적용된 절점이 2개 이상이라면 주절점으로 선택된 절점 이외의 다른 절점에 적용된 단일절점 구속조건은 프로그램 설정에 의해 무시되거나 에러 처리되므로 주의해야한다. 즉, 어떤 경우이건 강체 재료의 주절점 이외의 모든 절점은 종속 절점이되므로 구속조건 등을 적용할 때 이를 고려하여야 한다. + +강체 재료도 탄성계수, 프와송비 및 밀도를 가지고 있는데 이 중 탄성계수 및프와송비는 접촉이 일어나는 경우 접촉 강성을 계산하는 데에만 사용되므로 재료의 변형과는 관계가 없다. 강체 재료는 요소의 종류와 상관없이 사용할 수는있지만 적층복합재료 요소에서는 사용할 수 없다. + +• 등방성 재료 + +등방성 재료는 재료가 임의의 방향에 대하여 동일한 성질을 가지는 재료이며,midas NFX의 모든 요소에 사용될 수 있다. 탄성계수 그리고 열팽창 계수 를 이용하여 3차원 등방성 재료에 대한 응력-변형률 관계를 표현하면 다음과 같다. + + + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & 0 & 0 & 0 \\ & \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & 0 & 0 & 0 \\ & & \frac {E (1 - \nu)}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & 0 & 0 & 0 \\ & \text { symmetric } & & \frac {E}{2 (1 + \nu)} & 0 & 0 \\ & & & & \frac {E}{2 (1 + \nu)} & 0 \\ & & & & & \frac {E}{2 (1 + \nu)} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {x x} - \alpha \Delta T \\ \varepsilon_ {y y} - \alpha \Delta T \\ \varepsilon_ {z z} - \alpha \Delta T \\ \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {y z} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \tag {4.1.1} +$$ + +2차원 응력 상태에 대한 등방성 재료의 응력-변형률 관계식은 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {E}{1 - \nu^ {2}} & \frac {\nu E}{1 - \nu^ {2}} & 0 \\ \frac {\nu E}{1 - \nu^ {2}} & \frac {E}{1 - \nu^ {2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {E}{2 (1 + \nu)} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {x x} - \alpha \Delta T \\ \varepsilon_ {y y} - \alpha \Delta T \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \tag {4.1.2} +$$ + +횡방향 전단에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {z x} \\ \tau_ {z y} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} G & 0 \\ 0 & G \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z x} \\ \gamma_ {z y} \end{array} \right\} \tag {4.1.3} +$$ + +등방성 재료는 두 개의 재료 상수에 의해 기술할 수 있다. 두 가지 상수는 E, G, ν 중에서 임의의 두 개를 취할 수 있으며, 이들 중 두 개의 값이 정해지면 나머지 하나의 값 또한 결정된다. 예를 들어 전단 계수 G 는 다음의 관계를 가진다. + +$$ +G = \frac {E}{2 (1 + \nu)} \tag {4.1.4} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_016.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_016.md new file mode 100644 index 00000000..e72ef0ce --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_016.md @@ -0,0 +1,311 @@ + + +등방성 재료에 있어서 물리적으로 타당한 프와송비의 범위는 다음과 같다. + +$$ +- 1. 0 < \nu < 0. 5 \tag {4.1.5} +$$ + +\- 직교이방성 재료 + +직교이방성 재료는 수직인 3개의 평면에 대해 재료 성질이 대칭을 이루는 재료이다. midas NFX에서는 2차원 형상과 3차원 형상의 요소에 대해 각각 직교이방성 재료를 사용할 수 있다. 직교이방성 재료는 재료의 주축에 대해 그 성질을 표현하며, 3차원 응력상태에 대한 응력-변형률 관계식은 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1 1} \\ \sigma_ {2 2} \\ \sigma_ {3 3} \\ \tau_ {1 2} \\ \tau_ {2 3} \\ \tau_ {3 1} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \frac {1 - \nu_ {2 3} \nu_ {3 2}}{E _ {2} E _ {3} \Delta} & \frac {\nu_ {2 1} + \nu_ {3 1} \nu_ {2 3}}{E _ {2} E _ {3} \Delta} & \frac {\nu_ {3 1} + \nu_ {2 1} \nu_ {3 2}}{E _ {2} E _ {3} \Delta} & 0 & 0 & 0 \\ & \frac {1 - \nu_ {1 3} \nu_ {3 1}}{E _ {1} E _ {3} \Delta} & \frac {\nu_ {3 2} + \nu_ {1 2} \nu_ {3 1}}{E _ {1} E _ {3} \Delta} & 0 & 0 & 0 \\ & & \frac {1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}}{E _ {1} E _ {2} \Delta} & 0 & 0 & 0 \\ & \text { symmetric } & & G _ {1 2} & 0 & 0 \\ & & & & G _ {2 3} & 0 \\ & & & & & G _ {3 1} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {1 1} - \alpha_ {1 1} \Delta T \\ \varepsilon_ {2 2} - \alpha_ {2 2} \Delta T \\ \varepsilon_ {3 3} - \alpha_ {3 3} \Delta T \\ \gamma_ {1 2} \\ \gamma_ {2 3} \\ \gamma_ {3 1} \end{array} \right\} \tag {4.1.6} +$$ + +$$ +\Delta = \frac {1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1} - \nu_ {2 3} \nu_ {3 2} - \nu_ {3 1} \nu_ {1 3} - 2 \nu_ {2 1} \nu_ {3 2} \nu_ {1 3}}{E _ {1} E _ {2} E _ {3}} +$$ + +2차원 응력 상태에 대한 직교이방성 재료의 응력-변형률 관계식은 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1 1} \\ \sigma_ {2 2} \\ \tau_ {1 2} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {E _ {1}}{1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}} & \frac {\nu_ {2 1} E _ {1}}{1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}} & 0 \\ \frac {\nu_ {1 2} E _ {2}}{1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}} & \frac {E _ {2}}{1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}} & 0 \\ 0 & 0 & G _ {1 2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {1 1} - \alpha_ {1 1} \Delta T \\ \varepsilon_ {2 2} - \alpha_ {2 2} \Delta T \\ \gamma_ {1 2} \end{array} \right\} \tag {4.1.7} +$$ + +횡방향 전단에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다. + + + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {3 1} \\ \tau_ {2 3} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c} G _ {3 1} & 0 \\ 0 & G _ {2 3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {3 1} \\ \gamma_ {2 3} \end{array} \right\} \tag {4.1.8} +$$ + +일반적으로 직교이방성 재료의 경우에는 다음의 성질을 만족해야 한다. + +$$ +\nu_ {2 1} ^ {2} < \frac {E _ {2}}{E _ {1}}, \nu_ {1 2} ^ {2} < \frac {E _ {1}}{E _ {2}}, \nu_ {3 2} ^ {2} < \frac {E _ {3}}{E _ {2}}, \nu_ {2 3} ^ {2} < \frac {E _ {2}}{E _ {3}}, \nu_ {1 3} ^ {2} < \frac {E _ {1}}{E _ {3}}, \nu_ {3 1} ^ {2} < \frac {E _ {3}}{E _ {1}} \tag {4.1.9} +$$ + +$$ +1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1} - \nu_ {2 3} \nu_ {3 2} - \nu_ {3 1} \nu_ {1 3} - 2 \nu_ {2 1} \nu_ {3 2} \nu_ {1 3} > 0 \tag {4.1.10} +$$ + +\- 이방성 재료 + +midas NFX에서 이방성 재료는 3차원 형상의 요소에 대해서만 사용할 수 있다. +3차원 응력 상태에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1 1} \\ \sigma_ {2 2} \\ \sigma_ {3 3} \\ \tau_ {1 2} \\ \tau_ {2 3} \\ \tau_ {3 1} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} G _ {1 1} & G _ {1 2} & G _ {1 3} & G _ {1 4} & G _ {1 5} & G _ {1 6} \\ & G _ {2 2} & G _ {2 3} & G _ {2 4} & G _ {2 5} & G _ {2 6} \\ & & G _ {3 3} & G _ {3 4} & G _ {3 5} & G _ {3 6} \\ & \text { symmetric } & & G _ {4 4} & G _ {4 5} & G _ {4 6} \\ & & & & G _ {5 5} & G _ {5 6} \\ & & & & & G _ {6 6} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {1 1} - \alpha_ {1} \Delta T \\ \varepsilon_ {2 2} - \alpha_ {2} \Delta T \\ \varepsilon_ {3 3} - \alpha_ {3} \Delta T \\ \gamma_ {1 2} - \alpha_ {4} \Delta T \\ \gamma_ {2 3} - \alpha_ {5} \Delta T \\ \gamma_ {3 1} - \alpha_ {6} \Delta T \end{array} \right\} \tag {4.1.11} +$$ + + + +# 4.2 비선형탄성 재료의 성질 + +midas NFX에서는 비선형탄성(nonlinear-elastic) 재료 모델로 유효변형률과 등가응력의 비선형탄성 관계의 재료모델을 제공한다. 이 모델은 일축 인장 또는 압축에서는 정확한 비선형탄성 관계를 묘사할 수 있으나 다축 변형에서는 전체 변형률이 작다는 가정하에서 적절한 거동을 묘사 할 수 있다. 비선형탄성 재료 모델은 단순 인장상태에서 단위체적당 변형에 의한 일과 변형에너지가 일치 하도록 고안되어 있고 소성변형은 발생하지 않는다. 단순 인장상태에서의 응력-변형률 곡선에 의한 변형에너지는 아래식과 같이 묘사된다. + +$$ +\int \overline {{{\sigma}}} d \overline {{{\varepsilon}}} = \int \sigma d \varepsilon \tag {4.2.1} +$$ + +: 등가의 응력 + +dε : 유효 변형률 증분 + +0 : 응력 성분 벡터 + +ds : 증분 변형률 성분 벡터 + +위의 적분식을 적분하면 아래식과 같이 유효 변형률을 정의할 수 있다. + +$$ +\frac {1}{2} E \overline {{\varepsilon}} ^ {2} = \frac {1}{2} \big \langle \pmb {\varepsilon} \big \rangle \mathbf {C} ^ {e l} \left\{\pmb {\varepsilon} \right\} \tag {4.2.2} +$$ + +E : 선형탄성 계수 + +Cel : 탄성 접선강성 + +(s) : 변형률 행벡터 + +{ : 변형률 열백터 + +앞의 식을 유효 변형률에 대하여 미분하면 유효 증분 변형률을 아래식과 같이구할 수 있다. + +$$ +d \overline {{{\varepsilon}}} = \frac {1}{E \overline {{{\varepsilon}}}} \big \langle \pmb {\varepsilon} \big \rangle \mathbf {C} ^ {e l} \big \{d \pmb {\varepsilon} \big \} \tag {4.2.3} +$$ + +식(4.2.3)을 식(4.2.1)에 대입하여 정리하면 아래와 같은 응력 성분들과 변형률 성분들의 관계식을 유도할 수 있다. + + + +$$ +\boldsymbol {\sigma} = \frac {\overline {{\sigma}}}{E \overline {{\varepsilon}}} \mathbf {C} ^ {e l} \boldsymbol {\varepsilon} \tag {4.2.4} +$$ + +비선형탄성 재질의 접선 강성(nonlinear elastic tangent modulus)을 위의 응력을 변형률로 미분함하여 아래의 식과 같이 구할 수 있다. + +$$ +\begin{array}{l} \mathbf {C} ^ {n l} \mathbf {D} = \frac {\partial \boldsymbol {\sigma}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon}} = \frac {\partial}{\partial \varepsilon} \left(\frac {\overline {{\sigma}}}{E \overline {{\varepsilon}}} \mathbf {C} ^ {e l} \boldsymbol {\varepsilon}\right) = \frac {\overline {{\sigma}}}{E \overline {{\varepsilon}}} + \frac {1}{E} \mathbf {C} ^ {e l} \frac {\partial \overline {{\varepsilon}}}{\partial \varepsilon} \frac {\partial}{\partial \overline {{\varepsilon}}} \left(\frac {\overline {{\sigma}}}{\overline {{\varepsilon}}}\right) \\ = \frac {\overline {{\sigma}}}{E \overline {{\varepsilon}}} \mathbf {C} ^ {e l} + \frac {1}{E} \mathbf {C} ^ {e l} \frac {\partial \overline {{\varepsilon}}}{\partial \varepsilon} \left(\frac {\overline {{\varepsilon}} \frac {\partial \overline {{\sigma}}}{\partial \overline {{\varepsilon}}} - \overline {{\sigma}} \cdot 1}{\overline {{\varepsilon}} ^ {2}}\right) \\ = \frac {\bar {\sigma}}{E \bar {\varepsilon}} \left[ D _ {e} \right] + \frac {1}{E} \left[ D _ {e} \right] \frac {1}{E \bar {\varepsilon}} \left\langle \varepsilon \right\rangle \left[ D _ {e} \right] \left(\frac {\bar {\varepsilon} \frac {\partial \bar {\sigma}}{\partial \bar {\varepsilon}} - \bar {\sigma} \cdot 1}{\bar {\varepsilon} ^ {2}}\right) \tag {4.2.5} \\ = \frac {\bar {\sigma}}{E \bar {\varepsilon}} \mathbf {C} ^ {e l} + \frac {1}{(E \bar {\varepsilon}) ^ {2}} \left(\frac {\partial \bar {\sigma}}{\partial \bar {\varepsilon}} - \frac {\bar {\sigma}}{\bar {\varepsilon}}\right) \left\langle \boldsymbol {\sigma} _ {e} \right\rangle \left\{\boldsymbol {\sigma} _ {e} \right\} \\ \end{array} +$$ + +\- 비선형탄성 재질 특성 곡선 + +비선형탄성의 재질특성은 등가응력과 유효변형률의 관계로 아래의 그림 4.2.1 과 같이 정의된다. 기본적으로 원점을 지나는 곡선으로 표현되며 변형률이 작은 경우에는 선형관계를 유지한다고 가정할 수 있다. 요소에 따른 유효변형률(effective strain)은 (4.2.7), (4.2.8), (4.2.9)과 같이 나타낼수 있고, 등가 응력(equivalent stress)은 각 요소에 따라 (4.2.10), (4.2.11), (4.2.12)와 같이 표현할 수 있다. 등가응력과 유효변형률은 항상 양수의 값으로 계산이 되지만 압축을 받는 경우의 비선형탄성 거동을 묘사하기 위하여 그림 4.2.1 과 같이 양수와 음수 변형률 구간을 모두 입력하고, 변수 r 을 사용하여 부호 문제를 처리하였다. 그림에서의 r 값은 아래의 식과 같이 계산된다. + +$$ +r = \frac {I _ {1}}{\overline {{\sigma}}} (- 1 \leq r \leq 1) \tag {4.2.6} +$$ + +$$ +I _ {1} = \sigma_ {x x} + \sigma_ {y y} + \sigma_ {z z} +$$ + +$I_{1}$ : 응력의 1 차 불변상수(First invariant of stress) + + + +![](images/page-155_74d758598e68b4e2a27ac7bc8b187688fb846358ca8b8de9199be7929ece324f.jpg) + +
+line + +| Point | x | y | +|-------|-------|-------| +| r = -1| ε̅ | σ̄ₜ | +| r = 1 | ε̅ | σ̄ₜ | +| r = 1 | ε̅ | σ̄c | +
+ +그림 4.2.1 유효변형률과 등가응력의 관계 + +$$ +\overline {{{\varepsilon}}} ^ {2} = \frac {1}{1 - \nu^ {2}} \left\{\varepsilon_ {x} ^ {2} + \varepsilon_ {y} ^ {2} + 2 \nu \varepsilon_ {x} \varepsilon_ {y} + \frac {1 - \nu}{2} \gamma_ {x y} ^ {2} \right\} \quad \text { for plane stress } \tag {4.2.7} +$$ + +$$ +\overline {{{\varepsilon}}} ^ {2} = \frac {1}{(1 - 2 \nu) (1 + \nu)} \left\{ \begin{array}{l} (1 - \nu) \left(\varepsilon_ {x x} ^ {2} + \varepsilon_ {y y} ^ {2} + \varepsilon_ {z z} ^ {2}\right) \\ + 2 \nu \left(\varepsilon_ {x x} \varepsilon_ {y y} + \varepsilon_ {y y} \varepsilon_ {z z} + \varepsilon_ {z z} \varepsilon_ {x x}\right) \\ + \frac {(1 - 2 \nu)}{2} \gamma_ {x y} ^ {2} \end{array} \right\} \quad \text { for plane strain } \tag {4.2.8} +$$ + +$$ +\overline {{{\varepsilon}}} ^ {2} = \frac {1}{(1 - 2 \nu) (1 + \nu)} \left\{ \begin{array}{l} (1 - \nu) \left(\varepsilon_ {x x} ^ {2} + \varepsilon_ {y y} ^ {2} + \varepsilon_ {z z} ^ {2}\right) \\ + 2 \nu \left(\varepsilon_ {x x} \varepsilon_ {y y} + \varepsilon_ {y y} \varepsilon_ {z z} + \varepsilon_ {z z} \varepsilon_ {x x}\right) \\ + \frac {(1 - 2 \nu)}{2} \left(\gamma_ {x y} ^ {2} + \gamma_ {y z} ^ {2} + \gamma_ {z x} ^ {2}\right) \end{array} \right\} \quad \text {for solid} \tag {4.2.9} +$$ + +$$ +\overline {{\sigma}} ^ {2} = \left(\sigma_ {x} ^ {2} - \sigma_ {x} \sigma_ {y} + \sigma_ {y} ^ {2}\right) + 3 \tau_ {x y} ^ {2} \quad \text { for plane stress } \tag {4.2.10} +$$ + +$$ +\bar {\sigma} ^ {2} = \frac {1}{2} \left[ \left(\sigma_ {x} - \sigma_ {y}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {y} - \sigma_ {z}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {z} - \sigma_ {x}\right) ^ {2} \right] + 3 \tau_ {x y} ^ {2} \quad \text { for plane strain } \tag {4.2.11} +$$ + +$$ +\bar {\sigma} ^ {2} = \frac {1}{2} \left[ \left(\sigma_ {x} - \sigma_ {y}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {y} - \sigma_ {z}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {z} - \sigma_ {x}\right) ^ {2} \right] + 3 \left(\tau_ {x y} ^ {2} + \tau_ {y z} ^ {2} + \tau_ {z x} ^ {2}\right) \quad \text { for solid } \tag {4.2.12} +$$ + + + +# 4.3 소성 재료의 성질 + +midas NFX에서는 비탄성(inelastic) 재료의 대표적인 모델로 소성(plastic) 재료모델을 제공한다. 소성 재료모델은 일반적으로 탄성 영역의 성질을 이용하여 소성영역의 재료 거동을 모사하며 이를 탄소성(elastoplastic) 재료라 한다. midasNFX에서 사용하는 탄소성 이론은 변형률 속도(strain rate)을 반영하지 않으며(rate independent) 소성 영역의 거동은 재료 온도와 무관하다. 또한, 탄성 변형률이 작다는 가정을 사용하여 다음과 같은 가법 분해(additive decomposition)를기초로 한다. + +$$ +d \boldsymbol {\varepsilon} = d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {e l} + d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} \tag {4.3.1} +$$ + +dεel : 탄성 변형률 증분 + +dεpl : 소성 변형률 증분 + +여기서 변형률 증분은 다음과 같이 정의할 수 있다. + +$$ +d \boldsymbol {\varepsilon} = \frac {1}{2} \left[ \frac {\partial d \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}} + \left(\frac {\partial d \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}}\right) ^ {T} \right] = d \mathbf {D} \tag {4.3.2} +$$ + +변형률 속도(strain rate)와 온도를 반영하지 않는 소성 모델은 일반적으로 다음과 같은 부등식 내에서 탄성 거동을 한다. + +$$ +f (\boldsymbol {\sigma}, \mathbf {q}) < 0 \tag {4.3.3} +$$ + +는 경화인자(hardening parameter)이며 소성 재료 모델의 종류에 따라 그 개수가 다르다. 탄소성 재료의 응력이 탄성 영역을 넘어서게 되면 소성 변형률이발생하며 재료의 응력 증가율은 탄성 변형률만을 반영한다. + +$$ +d \boldsymbol {\sigma} = \mathbf {C} ^ {e l}: (d \boldsymbol {\varepsilon} - d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l}) \tag {4.3.4} +$$ + +Cel : 탄성 접선강성 + + + +이때 발생하는 소성 변형률의 크기와 방향은 다음과 같이 정의된다. + +$$ +d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} = d \lambda \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma}} \tag {4.3.5} +$$ + +g 는 소성유동 포텐살(plastic flow potential) 이라 하며 λ 는 소성 변형과 함께 증가하는 스칼라 값이다. 일부 탄소성 재료는 소성유동의 방향이 항복곡면 f 에 수직인 경우가 있는데, 이를 상관(associative) 소성유동이라 한다. + +$$ +\frac {\partial f}{\partial \sigma} \propto \frac {\partial g}{\partial \sigma} \tag {4.3.6} +$$ + +소성변형과 함께 경화인자 또한 변화하게 된다. + +$$ +d \mathbf {q} = d \lambda \mathbf {h} (\boldsymbol {\sigma}, \mathbf {q}) \tag {4.3.7} +$$ + +함수 h 는 경화법칙(hardening law)을 정의하는 함수이며, 소성유동이 발생할 때 만족되어야 하는 일관성조건(consistency condition)에 의해 항복곡면과 관계를 가진다. + +$$ +d f = \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}}: d \boldsymbol {\sigma} + \frac {\partial f}{\partial \mathbf {q}} \cdot d \mathbf {q} = \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}}: d \boldsymbol {\sigma} + d \lambda \frac {\partial f}{\partial \mathbf {q}} \cdot \mathbf {h} = 0 \tag {4.3.8} +$$ + +(4.3.4)에 (4.3.5)를 대입하면 $d\sigma = \mathbf{C}^{el} : (d\varepsilon - d\lambda \frac{\partial g}{\partial \sigma})$ 이 되고, 이를 (4.3.8)에 대입하면 다음과 같이 $d\lambda$ 를 계산할 수 있다. + +$$ +d \lambda = \frac {\frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} : \mathbf {C} ^ {e l} : d \boldsymbol {\varepsilon}}{- \frac {\partial f}{\partial \mathbf {q}} \cdot \mathbf {h} + \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} : \mathbf {C} ^ {e l} : \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma}}} \tag {4.3.9} +$$ + + + +위 식을 $d\sigma = \mathbf{C}^{el} : (d\varepsilon - d\lambda \frac{\partial g}{\partial \sigma})$ 에 대입하면 다음과 같이 탄소성 접선강성 +(elastoplastic tangent modulus)을 계산할 수 있다. + +$$ +\mathbf {C} ^ {p l} = \mathbf {C} ^ {e l} - \frac {(\mathbf {C} ^ {e l} : \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma}}) \otimes (\frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} : \mathbf {C} ^ {e l})}{- \frac {\partial f}{\partial \mathbf {q}} \cdot \mathbf {h} + \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} : \mathbf {C} ^ {e l} : \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma}}} \tag {4.3.10} +$$ + +탄소성 재료의 응력은 (4.3.4), (4.3.5), (4.3.7) 그리고 (4.3.8)을 적분하여 계산할 수 있다. 이 적분 방법을 회귀매핑(return mapping)이라 하며, 이는 응력 $\sigma_{n}$ 로부터 변형률 증분 $\Delta \varepsilon$ 를 이용하여 $\sigma_{n+1}$ 를 계산하는 과정이다. 회귀매핑 방법에는 여러가지 이론이 있으나, midas NFX에서는 암시적 후방 오일러(implicit backward Euler) 방법을 이용하며, von Mises 소성 재료에 대하여는 특히 반지름 방향 회귀매핑(radial return mapping) $^{1}$ 을 이용한다. + +(4.3.4), (4.3.5), (4.3.7) 그리고 (4.3.8)을 증분 변수로 표현하면 다음과 같다. + +$$ +\pmb {\sigma} _ {n + 1} = \mathbf {C} ^ {e l}: \left(\pmb {\varepsilon} _ {n + 1} - \pmb {\varepsilon} _ {n + 1} ^ {p l}\right) +$$ + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} _ {n + 1} ^ {p l} = \boldsymbol {\varepsilon} _ {n} ^ {p l} + \Delta \lambda \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma} _ {n + 1}} \tag {4.3.11} +$$ + +$$ +\mathbf {q} _ {n + 1} = \mathbf {q} _ {n} + \Delta \lambda \mathbf {h} _ {n + 1} +$$ + +$$ +f _ {n + 1} = f (\mathbf {\sigma} _ {n + 1}, \mathbf {q} _ {n + 1}) = 0 +$$ + +위 식은 일련의 비선형 연립방정식에 해당하나, 결국 소성유동의 양을 대표하는 스칼라 증분인 $\Delta \lambda$ 을 계산하기 위한 식에 불과하며, 뉴튼 략슨법(Newton Raphson)을 이용하여 계산할 수 있다. 초기 $\Delta \lambda$ 의 값은 0으로 가정하며, 이는 소성유동의 양을 모르는 상태에서 탄성 가정으로 응력 $\sigma_{n+1}^{trial}$ 를 계산하는 것과 같다. 응력 $\sigma_{n+1}^{trial}$ 이 (4.3.3)을 위배하게 되면 소성유동이 발생하게 되며, 그림 4.3.1과 같이 $\Delta \lambda$ 의 반복 계산을 통하여 응력이 $\sigma_{n+1}^{trial}$ 로부터 항복곡면에 도달하게 된다. + + + +![](images/page-159_20e402b9a4c42282369aa26008e7ae3c90425841536926aaa6fe2bcac99dda05.jpg) + +
+text_image + +Plastic flow \frac{\partial g}{\partial \sigma} +Yield surface +\sigma_n +\dot{\sigma} +\sigma_{n+1}^{trial} +Return mapping +\sigma_{n+1} +
+ +그림 4.3.1 소성유동의 방향과 회귀매핑 + +다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 탄소성 재료와 요소간의 관계를 정리한것이다. + +표 4.3.1 요소별 사용 가능한 소성 재료 + +
항복 조건요소 종류
RodBarPipeMembraneShellPlane strainAxisymmetric SolidSolidSurface
von Misesvvvvvvv
von Mises(with Hardening)vvvvvvv
+ +• von Mises 항복조건 +von Mises 항복조건에서는 편차응력(deviatoric stress)의 2 차 불변량 $J _ { 2 }$ 가 특정값에 도달할 때 항복이 일어난다고 가정한다. 이 조건은 금속 재료의소성거동을 표현함에 있어서 가장 널리 이용된다. 경화를 고려하지 않은완전소성(perfect plastic) 항복 조건을 식으로 표현하면 다음과 같다. + + + +$$ +f (\boldsymbol {\sigma}) = \sqrt {3 J _ {2}} - \sigma_ {y} = \sqrt {\frac {3}{2} \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\sigma} _ {d e v}} - \sigma_ {y} = 0 \tag {4.3.12} +$$ + +$\sigma_{dev}$ : 편차응력 + +$\sigma_{y}$ : 항복응력 + +항복조건을 표현함에 있어서 편차응력만을 이용하기 때문에 정수압과 무관하게 항복이 일어나는 연성(ductile) 재료를 표현하기에 적합하다. 3 차원 응력 상태에서의 von Mises 항복곡면은 반지름이 $\sqrt{2/3}\sigma_{y}$ 이고 정수압축에 평행한 원기둥으로 나타난다. + +![](images/page-160_d3c177b2b20605a80a83037b1434fdaaa64adabf30235d2d8582efb67d21e776.jpg) + +
+text_image + +von Mises yield surface +σ₁ +σ₁ = σ₂ = σ₃ +√(2/3)σᵧ +σ₃ +σ₁ + σ₂ + σ₃ = 0 +π-plane +σ₂ +
+ +그림 4.3.2 주응력 좌표계에서의 von Mises 항복곡면 diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_017.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_017.md new file mode 100644 index 00000000..b7122e27 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_017.md @@ -0,0 +1,270 @@ + + +von Mises 항복조건에서의 소성유동은 상관유동으로 가정하며 소성변형률 변화량은 다음과 같다. + +$$ +d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} = d \lambda \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} = d \lambda \frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2 \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\sigma} _ {d e v}}} \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} \tag {4.3.13} +$$ + +# ▶ 경화인자 + +midas NFX에서는 von Mises 항복조건에 대하여 등방성(isotropic) 경화, 이동성(kinematic) 경화, 혼합(combined) 경화 모델을 지원한다. 등방성 경화 모델은 초기 항복곡면이 균일하게 확장하는 것으로 가정하기 때문에 초기 항복곡면의 중심축이 변하지 않는다. + +$$ +f (\boldsymbol {\sigma}, \mathbf {q}) = \sqrt {3 J _ {2}} - \sigma_ {y} (\mathbf {q}) = \sqrt {\frac {3}{2} \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\sigma} _ {d e v}} - \sigma_ {y} (\mathbf {q}) = 0 \tag {4.3.14} +$$ + +![](images/page-161_91c6abf7b405cf0cc0a66b3af12a4414eb8c9d56238362c0fba9406cf849d260.jpg) + +
+text_image + +Initial yield surface +Isotropic hardening +σ₁ +σ₂ +
+ +그림 4.3.3 등방성 경화모델의 항복곡면 변화 + + + +등방성 경화모델의 경화인자는 $\mathbf{q}=\left\{e_{p}\right\}=\left\{\lambda\right\}$ 와 같이 유효소성 변형률(effective plastic strain)로 구성되므로, 경화에 의한 항복응력 또한 유효소성 변형률의 함수 $\sigma_{y}(e_{p})$ 로 주어지며, 입력한 경화함수 $h_{y}(e_{p})$ 를 그대로 사용한다. + +혼합 경화 모델은 소성변형의 발생에 의해 항복곡면의 확장과 이동이 동시에 생겨난다고 가정한다. 혼합 경화 모델에서 항복 곡면은 항복응력과 배후응력(back stress)에 의해 다음과 같이 정의할 수 있다. + +$$ +f (\boldsymbol {\sigma}, \mathbf {q}) = \sqrt {\frac {3}{2} \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v}} - \sigma_ {y} (\mathbf {q}) = 0 \tag {4.3.15} +$$ + +$$ +\boldsymbol {\Sigma} _ {d e v} \quad : \quad \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} - \boldsymbol {\alpha} +$$ + +a : 배후응력 + +![](images/page-162_28fdc2e466d10ad6b5ee6a2a4ccd1c74650ddd0582ec26e05446ff52c3f64e2b.jpg) + +
+text_image + +Initial yield surface +σ₂ +Combined hardening +σ₁ +Kinematic hardening +
+ +그림 4.3.4 혼합 경화모델의 항복곡면 변화 + +혼합 경화모델의 경화인자는 유효소성 변형률과 배후응력이 된다. + +$$ +\mathbf {q} = \left\{ \begin{array}{l} e _ {p} \\ \boldsymbol {\alpha} \end{array} \right\} \tag {4.3.16} +$$ + + + +midas NFX에서는 조합 변수 $\lambda_{c}$ 를 이용하여 입력한 경화함수로부터 항복응력을 다음과 같이 산출한다. + +$$ +\sigma_ {y} = \lambda_ {c} h _ {y} (0) + (1 - \lambda_ {c}) h _ {y} (e _ {p}) \tag {4.3.17} +$$ + +조합 변수 $\lambda_{c}=0$ 인 경우 등방성 경화에 해당하며, $\lambda_{c}=1$ 인 경우는 이동성 경화와 일치한다. 혼합 경화의 소성변형률과 Ziegler 의 경화법칙을 따르는 배후응력 변화율은 다음과 같이 나타낼 수 있다. + +$$ +d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} = d \lambda \frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2 \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v}}} \boldsymbol {\Sigma} _ {d e v} \tag {4.3.18} +$$ + +$$ +d \boldsymbol {\alpha} = \lambda_ {c} \frac {d h _ {y}}{d e _ {p}} d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} \tag {4.3.19} +$$ + +\- 경화곡선(hardening curve) + +경화곡선은 소재의 소성 특성을 나타내는 재료 물성치로 실험을 통해 얻는 것이 일반적이고, 단축 인장/압축 시험이나 순수 전단 시험등이 많이 이용된다. midas NFX 의 경화곡선은 진응력(true stress)-소성변형률 곡선을 입력하도록 구성되어 있는데, 시험 결과로부터의 변환 과정은 다음과 같다. + +▶ 진응력-진변형률 계산 + +하중-변위 곡선을 알고 있는 경우 다음과 같이 진변형률(true strain)과 진응력을 계산할 수 있다. + +$$ +\varepsilon = \log \left(\frac {L _ {0} + d}{L _ {0}}\right) = \log \left(\frac {L}{L _ {0}}\right), \sigma = \frac {P e ^ {\varepsilon}}{A _ {0}} \tag {4.3.20} +$$ + +$L_{0}, L$ : 변형 전, 후 길이 + +$A_{0}$ : 변형 전 단면적 + +공칭(engineering) 응력-변형률을 알고 있는 경우에는 다음과 같이 계산한다. + + + +$$ +\varepsilon = \log \left(1 + \varepsilon_ {E}\right), \sigma = \sigma_ {E} e ^ {\varepsilon} \tag {4.3.21} +$$ + +: 공칭 변형률, 응력 + +# ► 진응력-소성변형률 계산 + +소성 변형률은 재료가 항복하는 순간부터 발생하기 시작하므로 다음과 같이소성 변형률을 계산할 수 있다. + +$$ +e _ {p} = \varepsilon - \varepsilon^ {e l} = \varepsilon - \frac {\sigma}{E} \tag {4.3.22} +$$ + +E : 탄성계수 + + + +# 4.4 초탄성 재료의 성질 + +초탄성(hyper-elastic)이란 탄성 변형이 수백 %에 달하는 대변형까지 유지되는성질을 의미하며, 대표적으로 고무가 이러한 특성을 가진다. 초탄성 재료의 탄성거동은 비선형이며 변형과 응력의 관계는 에너지 포텐샬(energy potential) 형태로 주어진다. midas NFX에서는 solid 요소에 대하여 초탄성 재료를 사용할 수있으며 다른 요소는 초탄성 재료성질이 적용되지 않는다. 초탄성 재료는 체적탄성계수(bulk modulus)가 매우 높기 때문에 비압축성(incompressibility)이 강하고,이로 인하여 요소의 선택이 매우 중요하다. 특히 저차 요소를 사용한 해석 시에는 등매개변수(isoparametric) 요소를 사용하지 않는 것이 좋다. + +midas NFX에서는 polynomial, Ogden, Blatz-ko 모델을 사용할 수 있으며, 단축인장/압축 시험, 2축 인장시험, 평면변형률 시험, 단순 전단시험으로부터 얻어진응력-변형률 관계로부터 재료 상수를 쉽게 구할 수 있는 기능을 제공하고 있다.일반 적으로 Ogden 모델이 polynomial 모델보다 고무 재료를 잘 표현하는 것으로 알려져 있지만, 시험 데이터와 제일 잘 맞는 모델을 찾아서 사용하는 것이중요하다. + +초탄성 또는 그린 탄성(Green elastic) 재료는 에너지 포텐샬로부터 응력-변형률관계를 정의한다. + +$$ +\mathbf {S} = 2 \frac {\partial \psi (\mathbf {C})}{\partial \mathbf {C}} = \frac {\partial w (\mathbf {E})}{\partial \mathbf {E}} \tag {4.4.1} +$$ + +S : 2nd PK 응력 + +C : (right Cauchy Green tensor) + +E : 그린 변형률 + +초탄성 재료는 에너지 포텐샬을 이용하기 때문에 변형 경로에 관계 없이 동일한 응력상태를 나타내게 된다. 그린 변형률과 2nd PK 응력간의 강성에 해당하는2nd 탄성 텐서는 다음과 같이 계산할 수 있다. + + + +$$ +\mathbf {C} ^ {S E} = 4 \frac {\partial^ {2} \psi (\mathbf {C})}{\partial \mathbf {C} \partial \mathbf {C}} = \frac {\partial^ {2} w (\mathbf {E})}{\partial \mathbf {E} \partial \mathbf {E}} \tag {4.4.2} +$$ + +\- Polynomial 모델 + +Polynomial모델은 다음과 같이 에너지 포텐살을 정의한다. + +$$ +U = \sum_ {i + j = 1} ^ {N _ {a}} A _ {i j} (J _ {1} - 3) ^ {i} (J _ {2} - 3) ^ {j} + \sum_ {i = 1} ^ {N _ {d}} D _ {i} (J _ {3} - 1) ^ {2 i} \tag {4.4.3} +$$ + +$A_{ij}, D_{i}$ : 재료 상수 + +위 식에서 $J_{3}$ 는 변형구배의 3차 불변량이며 $J_{1}, J_{2}$ 는 체적 변형 $J_{3}$ 가 제거된 코시 그린 텐서의 1,2차 불변량이다. + +midas NFX에서는 재료 차수 $N_{a}, N_{d}$ 를 5차까지 제공하고 있으며, $N_{a}=1$ 인 경우 Mooney-Rivlin 모델로 표현 되고, + +$$ +U = A _ {1 0} \left(J _ {1} - 3\right) + A _ {0 1} \left(J _ {2} - 3\right) + \sum_ {i = 1} ^ {N _ {d}} D _ {i} \left(J _ {3} - 1\right) ^ {2 i} \tag {4.4.4} +$$ + +$A_{01}=0$ 이면, neo-Hooknean 모델로 표현 된다. + +$$ +U = A _ {1 0} \left(J _ {1} - 3\right) + \sum_ {i = 1} ^ {N _ {d}} D _ {i} \left(J _ {3} - 1\right) ^ {2 i} \tag {4.4.5} +$$ + +이와 무관하게 초기 전단 강성 $\mu_{0}$ 와 체적탄성계수 $K_{0}$ 는 다음과 같이 정의 된다. + +$$ +\mu_ {0} = 2 \left(A _ {1 0} + A _ {0 1}\right), K _ {0} = 2 D _ {1} \tag {4.4.6} +$$ + +\- Ogden 모델 + +Ogden 모델의 에너지 포텐살은 주 신장률(principal stretches)로부터 다음과 같이 정의 된다. + + + +$$ +U = \sum_ {i = 1} ^ {N _ {a}} \frac {\mu_ {i}}{\alpha_ {i}} \left((\bar {\lambda} _ {1}) ^ {\alpha_ {i}} + (\bar {\lambda} _ {2}) ^ {\alpha_ {i}} + (\bar {\lambda} _ {3}) ^ {\alpha_ {i}} - 3\right) + \sum_ {i = 1} ^ {N _ {d}} D _ {i} (J _ {3} - 1) ^ {2 i} \tag {4.4.7} +$$ + +$\alpha_{i},\mu_{i},D_{i}$ : 재료 상수 + +위 식에서 $\bar{\lambda}_{i}$ 는 주 신장률로부터 체적변화를 제거한 값이며, 주 신장률은 다음과 같이 코시 그린 텐서의 고유치에 해당한다. + +$$ +\mathbf {C N} _ {i} = \lambda_ {i} ^ {2} \mathbf {N} _ {i} \quad (n o s u m m a t i o n) \tag {4.4.8} +$$ + +midas NFX에서는 재료 차수 $N_{a}, N_{d}$ 를 6차까지 제공하고 있으며, Ogden 모델 또한 Mooney-Rivlin 모델 또는 neo-Hookean 모델을 표현할 수 있다. 초기 전단 강성 $\mu_{0}$ 와 부피 강성 $K_{0}$ 는 다음과 같이 정의 된다. + +$$ +\mu_ {0} = \frac {1}{2} \sum_ {i = 1} ^ {N _ {a}} \alpha_ {i} \mu_ {i}, K _ {0} = 2 D _ {1} \tag {4.4.9} +$$ + +\- Blatz-ko 모델 + +Blatz-ko 모델은 품(foam) 재료에 주로 사용하며 비압축성 성질이 강하지 않다. 재료 상수는 초기 전단 강성 $\mu$ 만을 가지고, 에너지 포텐살은 다음과 같이 정의 된다. + +$$ +U = \frac {\mu}{2} \left(\frac {I _ {2}}{I _ {3}} + 2 \sqrt {I _ {3}} - 5\right) \tag {4.4.10} +$$ + +$I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 는 코시 그린 텐서의 1,2,3차 불변량이며, 식에서 알 수 있듯이 체적 변화에 관한 부분이 분리되어 있지 않은 포텐살 형태를 가진다. + +\- 응력-변형률 데이터를 이용한 재료상수 계산 + +midas NFX에서는 시험 데이터의 변환 기능을 통하여 초탄성 모델의 재료 상수를 쉽게 얻을 수 있다. 재료 상수를 얻는 방법은 최소자승법(least square + + + +method)에 근거한 근사치 계산을 이용하며 재료 모델에 따라 선형 또는 비선형 최소자승법을 사용한다. + +midas NFX에서는 5가지 시험법에 대한 입력을 통해 재료 상수를 계산할 수 있다. 5가지 시험법은 단축인장(uniaxial tension) 시험, 등2축인장(equibiaxial tension) 시험, 단순전단(simple shear) 시험, 순수전단(pure shear) 시험, 부피압축(volumetric compression) 시험이다. Polynomial 모델과 Ogden 모델의 경우, 부피압축시험 이외의 데이터 처리 시에는 비압축성 재료로 가정하며, 모든 데이터의 입력은 공칭 응력과 공칭 변형률임에 주의해야 한다. 표 4.4.1은 각 시험법에 따라 입력해야 하는 변형률과 응력을 정의한 것이다. + +표 4.4.1 재료상수 계산을 위한 시험 데이터 + +
시험법변형률변형률(Blatz-ko)응력
단축 인장 $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ $T = F / A_0$
등 2 축 인장 $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ $T = F / A_0$
단순 전단 $\varepsilon = \gamma$ $\varepsilon = \gamma$ $\kappa = \Delta t / t_0$ $T = F / A_0$
순수 전단 $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\varepsilon = \Delta \ell / \ell_0$ $\kappa = \Delta t / t_0$ $T = F / A_0$
부피 압축 $\lambda = (V / V_0)^{1/3}$ $\lambda = (V / V_0)^{1/3}$ $T = P$
+ +# ▶ 근사오차의 정의 + +최소자승법을 적용하기 위해서는 시험 데이터와 재료모델로부터 계산된 응력간의 오차를 정량화 해야 한다. midas NFX에서는 상대 오차와 절대 오차를 모두사용할 수 있다. + +다음은 재료모델로부터 계산된 응력 $T_{i}(A)$ 를 시험치 $T_{i}^{test}$ 로 나누어 오차를 계산하는 상대 오차를 나타낸다. + + + +$$ +E = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(1 - \frac {T _ {i} (A)}{T _ {i} ^ {t e s t}}\right) ^ {2} \tag {4.4.11} +$$ + +상대오차를 사용하게 되면 응력 0 부근의 오차를 강하게 반영하게 되므로 변형이 작은 부분의 시험 데이터와 잘 일치하게 된다. 다음은 계산된 응력 $T_{i}(A)$ 와 시험치 $T_{i}^{test}$ 의 차이를 오차로 사용하는 절대오차를 나타낸다. + +$$ +E = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(T _ {i} (A) - T _ {i} ^ {\text { test }}\right) ^ {2} \tag {4.4.12} +$$ + +절대오차를 사용하게 되면 모든 영역의 오차를 고르게 반영하므로 전체적으로 시험 데이터와 일치하는 재료상수를 얻을 수 있다. + +# ▶ 특이값(singular value) 제외방법 + +최소 자승법에서는 시험데이터의 불완전성으로 인하여 재료상수 계산에 큰 오차가 생겨날 수 있으나, 선형 최소 자승법에서는 이러한 위험 요소를 특이값 제외를 통하여 해결할 수 있다. 그러나 특이값 제외를 잘못 이용하게 되면 실제로 중요한 시험 데이터의 분포와 일치하지 않는 재료상수를 얻게 될 수도 있으므로, 항상 근사 결과를 확인하며 조절해야 한다. + + + +# 4.5 열전도 재료의 성질 + +열전도(conduction) 요소에 사용되는 재료는 등방성과 이방성으로 구분되어 있다. 열전도 재료는 구조 재료와 짝을 이루어 정의하게 되며 다음의 표는 구조 재료와 열전도 재료간의 관계를 정리한 것이다. + +표 4.5.1 구조 재료와 열전도 재료의 관계 + +
열전도 재료구조 재료
등방성 재료등방성 재료
이방성 재료2 차원 직교이방성 재료,3 차원 직교이방성 재료3 차원 이방성 재료
+ +등방성 열전도 재료의 열속(heat flux)-온도구배(temperature gradient) 관계는 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} f _ {x} \\ f _ {y} \\ f _ {z} \end{array} \right\} = - \left[ \begin{array}{l l l} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} g _ {x} \\ g _ {y} \\ g _ {z} \end{array} \right\} \tag {4.5.1} +$$ + +이방성 열전도 재료의 열속-온도구배 관계는 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} f _ {1} \\ f _ {2} \\ f _ {3} \end{array} \right\} = - \left[ \begin{array}{c c c} k _ {1 1} & k _ {1 2} & k _ {1 3} \\ & k _ {2 2} & k _ {2 3} \\ S Y M & & k _ {3 3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} g _ {1} \\ g _ {2} \\ g _ {3} \end{array} \right\} \tag {4.5.2} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_018.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_018.md new file mode 100644 index 00000000..4d21677a --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_018.md @@ -0,0 +1,329 @@ + + +# 4.6 점탄성 재료의 성질 + +점탄성(visco-elastic) 재료의 대표적인 거동은 일정한 응력에서 변형률이 증가하는 크리프(creep)현상과 일정한 변형률에서 응력이 감소하는 응력이완(stressrelaxation) 현상으로 나타난다. 또한 점성은 재료온도와 변형률 속도(strain rate)에 따라 변화할 수 있다. 점탄성이란 점성(viscosity)과 탄성을 동시에 가지는 성질을 의미한다. midas NFX에는 점탄성 재료로 재령 독립적(age independent) 모델과 재령 종속적(age depedent) 모델이 있다. + +# 4.6.1 재령 독립적 점탄성 재료 + +일정한 온도와 응력에서 일축인장시험에서 나타나는 점탄성 재료의 거동은 3가지 영역으로 구분된다. 1차 크리프(primary creep)는 시간에 따라 변형률 속도가감소하는 구간이며 2차 크리프(secondary creep)는 변형률 속도가 일정한 구간이고 3차 크리프(tertiary creep)는 변형률 속도가 증가하는 구간이다. 3차 크리프변형은 연성재료를 이용하여 인장시험을 하였을 경우 재료가 파괴되기 전 국부수축을 일으켜 단면이 감소하는 현상(necking)을 나타낸다. + +midas NFX에서는 등방성 재료에 대해서 1차 크리프 와 2차 크리프를 사용할 수있다. + +![](images/page-171_3af8c7888f48248104748c32d82fad1c374433b1e8ab6f7bca9c5e621d3b9e6a.jpg) + +
+line + +| t | ε | +|-------|-------| +| Primary| Low | +| Secondary| Medium| +| Tertiary| High | +
+ +그림 4.6.1 일정한 온도와 응력에서 일축인장시험 + + + +만약 크리프 변형이 일어난 이후 작용된 하중이 제거될 경우 탄성변형은 즉시회복되고 크리프 변형은 서서히 회복된다. 이때 2차 크리프 변형은 영구 변형으로 남게 된다. + +![](images/page-172_e4f683f94a12a2ca9cd73218ec9e0e8192bf4a08e7c5b85d27b40d0d56ce6a29.jpg) + +
+line + +| t | ε | +| --- | --- | +| Primary recovery | Peak | +| Secondary not recoverable | Decline | +| Load removed | Peak | +
+ +그림 4.6.2 응력변화에 따른 크리프 변형 + +다음 그림은 재령 독립적 점탄성 재료의 수학적 모델인 Kelvin-Maxwell 모델을나타낸다. + +이 모델은 1개의 탄성 스프링과 2개의 점성 댐퍼로 구성되어 있다. Kelvin-Voigt모델인 병렬로 연결된 스피링과 댐퍼가 1차 크리프를 표현하며 Kelvin-Voigt 모델에 직렬로 연결된 댐퍼가 2차 크리프를 표현한다. + +![](images/page-172_fec7ba6dbc6e22c45b62e9f4acf2c7f2c64eff54b198b347315c5074b699b531.jpg) + +
+text_image + +Primary +Creep k₁ +Secondary +Creep k₂ +kₚ(σ) +cₛ(σ) +σ(t) or Δs₁ +cₚ(σ) +
+ +그림 4.6.3 Kelvin-Maxwell 크리프 모델 + +일정한 응력상태에서 크리프 변형률 및 시간에 따른 크리프 변형률 증가량은다음과 같다. + + + +$$ +\varepsilon_ {\text {total}} ^ {c} = \frac {\sigma}{c _ {s}} t + \varepsilon_ {\text {primary}} ^ {c} \tag {4.6.1} +$$ + +$$ +\varepsilon_ {\text { primary }} ^ {c} = \frac {\sigma}{k _ {p}} \left[ 1 - e ^ {- \left(k _ {p} / c _ {p}\right) t} \right] +$$ + +midas NFX에서는 크리프 변형률을 다음 식과 같이 두가지 실험식 형태를 사용할 수 있다. + +$$ +\text { Empirical law 1: } \varepsilon_ {t o t a l} ^ {c} = A (\sigma) \left[ 1 - \exp (- R (\sigma) t) \right] + K (\sigma) t +$$ + +$$ +A (\sigma) = a \sigma^ {b} \quad \text { or } \quad a \exp (b \sigma) +$$ + +$$ +R (\sigma) = c \exp (d \sigma) \quad \text { or } \quad c \sigma^ {d} \tag {4.6.2} +$$ + +$$ +K (\sigma) = e \left[ \sinh (f \sigma) \right] ^ {g} \text { or } e \exp (f \sigma) +$$ + +$$ +\text { Empirical law 2: } \varepsilon_ {t o t a l} ^ {c} = a \sigma^ {b} t ^ {d} + \mathrm{e} \sigma^ {f} t +$$ + +$$ +a, b, c, d, e, f \quad : \text { 재료 상수 } +$$ + +$$ +t \quad : \text { 시간 } +$$ + +$k_{p}, c_{p}, c_{s}$ 는 실험식 1의 경우 $k_{p} = \sigma / A(\sigma), c_{p} = \sigma / (A(\sigma)R(\sigma)), c_{s} = \sigma / K(\sigma)$ 이며, 실험식 2의 경우는 $\varepsilon_{tota}^{c}$ 에 대한 1차 및 2차 미분 방정식을 이용하여 계산한다. + +일축상태의 Kelvin-Maxwell 크리프 모델의 평형방정식은 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {C} \Delta \dot {\mathbf {e}} + \mathbf {k} \Delta \mathbf {e} = \Delta \mathbf {s} +$$ + +$$ +\mathbf {C} = \left[ \begin{array}{c c} c _ {s} & - c _ {s} \\ - c _ {s} & (c _ {p} + c _ {s}) \end{array} \right], \mathbf {k} = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 0 \\ 0 & k _ {p} \end{array} \right], \Delta \mathbf {s} ^ {T} = \left\langle \Delta s _ {1} \quad 0 \right\rangle \tag {4.6.3} +$$ + +중앙 차분법(central difference method)을 이용한 변형률 증가량을 식 (4.6.3)에 대입하여 나타내면 다음 식과 같다. + +$$ +\left[ \frac {2}{\Delta t} \mathbf {C} + \mathbf {k} \right] \Delta \mathbf {e} = 2 \mathbf {C} \dot {\mathbf {e}} + \Delta \mathbf {s} \tag {4.6.4} +$$ + + + +Kelvin-Maxwell 크리프 모델의 1차 크리프 $k_{1}$ 과 2차 크리프의 인자 $k_{2}$ 및 등가의 크리프 강성 $k_{c}$ 는 다음 식과 같이 정의 된다. + +$$ +k _ {1} = k _ {p} + \frac {2 c _ {p}}{\Delta t}, k _ {2} = \frac {2 c _ {s}}{\Delta t}, k _ {c} = \frac {k _ {1} k _ {2}}{k _ {1} + k _ {2}} \tag {4.6.5} +$$ + +(4.6.4)과 (4.6.5)를 이용하여 응력이완을 나타내는 가상의 증분 변형률 $\Delta \varepsilon'$ 은 다음 식과 같다. + +$$ +\Delta \varepsilon^ {\prime} = \frac {\Delta s ^ {\prime}}{k _ {c}} = 2 \left[ \frac {c _ {s}}{k _ {2}} \left(\dot {\varepsilon} _ {\text { total }} ^ {c} - \dot {\varepsilon} _ {\text { primary }} ^ {c}\right) + \frac {c _ {p}}{k _ {1}} \dot {\varepsilon} _ {\text { primary }} ^ {c} \right] \tag {4.6.6} +$$ + +다축상태의 크리프 변형에서는 유효응력(effective stress)에 대한 $\overline{k}_{p}$ , $\overline{c}_{p}$ , $\overline{c}_{s}$ 를사용하고 이를 이용하여 가상의 증분 변형률을 나타내면 다음 식과 같다. + +$$ +k _ {1} = \frac {2}{3} \left(\overline {{k}} _ {p} + \frac {2 \overline {{c}} _ {p}}{\Delta t}\right), k _ {2} = \frac {2}{3} \left(\frac {2 \overline {{c}} _ {s}}{\Delta t}\right) \tag {4.6.7} +$$ + +$$ +\boldsymbol {\Delta} \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\prime} = \frac {4}{3} \left[ \frac {\overline {{c}} _ {s}}{k _ {2}} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {\text { total }} ^ {c} - \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {\text { primary }} ^ {c}\right) + \frac {\overline {{c}} _ {p}}{k _ {1}} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {\text { primary }} ^ {c} \right] +$$ + +탄성 증분 변형률과 크리프 증분 변형률의 합인 총 증분 변형률로 응력-변형률 +관계를 나타내면 다음 식과 같다. + +$$ +\Delta \boldsymbol {\sigma} = \left[ \mathbf {C} ^ {e l} + \mathbf {C} ^ {c} \right] \left[ \Delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {e l} + \Delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {e c} \right] \tag {4.6.8} +$$ + +$C^{el}$ : 탄성 강성행렬 + +$C^{c}$ : 크리프 접선 강성 행렬 + +탄성 변형률의 증가량과 크리프 변형률의 증가량의 합은 전체 증분 변형률에서 + + + +가상의 증분 변형률을 제외한 것과 동일해야 하므로 응력-변형률 관계는 다음과 같다. + +$$ +\Delta \boldsymbol {\sigma} = \mathbf {C} ^ {e c} \left[ \Delta \boldsymbol {\varepsilon} - \Delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\prime} \right] \tag {4.6.9} +$$ + +$C^{ec}$ 는 탄성-크리프 접선강성(elastic-creep tangent matrix)으로 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {C} ^ {e c} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} K _ {0} + \frac {2}{3} k _ {e c} & K _ {0} - \frac {1}{3} k _ {e c} & K _ {0} - \frac {1}{3} k _ {e c} & 0 & 0 & 0 \\ & K _ {0} + \frac {2}{3} k _ {e c} & K _ {0} - \frac {1}{3} k _ {e c} & 0 & 0 & 0 \\ & & K _ {0} + \frac {2}{3} k _ {e c} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \frac {1}{2} k _ {e c} & 0 & 0 \\ & \text { symmetric } & & & \frac {1}{2} k _ {e c} & 0 \\ & & & & & \frac {1}{2} k _ {e c} \end{array} \right] \tag {4.6.10} +$$ + +여기서, $K_{0}$ 는 체적 탄성계수이며 $\frac{1}{k_{ec}}=\frac{1}{2G}+\frac{1}{k_{c}}$ 이고 G 는 전단 탄성계수 이다. + +다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 재령 독립적 점탄성 재료와 요소간의 관계를 정리한 것이다. + +표 4.6.1 요소별 사용 가능한 재령 독립적 점탄성 재료 +
요소 종류
RodBarPipeCableMembraneShellPlane strainAxisymmetric SolidSolidSurface
VVVVVVVV
+ + + +# 4.6.2 재령 종속적 점탄성 재료 + +콘크리트와 같은 재료는 시간에 따라 재료 물성치가 변화하고 비 역학적 변형인크리프와 건조수축 변형이 발생한다. 또한 크리프 변형은 응력 발생 시점에 따라 시간에 따른 변형량이 달라진다. + +시간에 따른 크리프 변형은 콘크리트 시편에 일축 단위응력을 콘크리트 재령에 재하하였을때, t 일에서 발생하는 총 변형률을 의미 하는 크리프 컴플라이언스(creep compliance), 크리프 함수에서 탄성변형을 제외한 특성 크리프(specific creep), 크리프 함수를 탄성변형과의 비율로 나타낸 크리프 계수(creepcoefficient)로 표현할 수 있다. 특정 응력이 작용하는 시간이 다른 경우는 다른형태의 크리프 함수를 사용하여야 한다. 따라서 시간에 따라 응력이 변화하는경우에 각 시간에서의 증감하는 응력은 독자적인 크리프 함수를 필요로 한다.임의의 시점에서의 크리프 변형은 응력이 변화하는 시점에서 증감하는 응력들에의한 변형률을 독자적으로 계산하고 이 값을 중첩하여 산정한다. 이와 같은 중첩법을 사용하기 위해서는 모든 부재에 대한 응력이력을 저장하고, 매 단계마다모든 응력에 대하여 초기 단계 부터 현재의 시점까지의 변형률을 계산할 수 있어야 한다. 따라서 중첩법은 많은 양의 데이터의 저장 및 많은 계산을 필요로한다. + +midas NFX에서는 계산의 효율을 높이기 위하여 응력의 전체 이력을 저장하지않고, 크리프의 특성함수를 수식화하여 아래와 같은 적분 방법을 사용한다. + +특정시간에서 임의의 시간까지의 전체 크리프 변형량은 각 단계마다 발생하는응력에 의한 크리프의 중첩 적분으로 나타내면 다음 식과 같다. + +$$ +\varepsilon_ {c} (t) = \int_ {0} ^ {t} C (t, \tau) \frac {\partial \sigma (\tau)}{\partial \tau} d \tau \tag {4.6.11} +$$ + +: 시간 에서의 크리프 변형률 + +: 특성 크리프 + +T : 하중 재하시점 + +위 식에서 응력이 각 단계에서 일정하다고 가정하면 다음 식과 같이 전체 + + + +변형률을 단계별로 구분된 변형률의 합으로 표현할 수 있다. + +$$ +\varepsilon_ {c} ^ {n} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n}, \tau_ {j}) \tag {4.6.12} +$$ + +위 (4.6.12)식을 사용하여 시간 $t_{n}-t_{n-1}$ 에서 발생하는 크리프 변형률의 증분을 정리하여 나타내면 다음 식과 같다. + +$$ +\Delta \varepsilon_ {c} ^ {n} = \varepsilon_ {c} ^ {n} - \varepsilon_ {c} ^ {n - 1} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n}, \tau_ {j}) - \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n - 1}, \tau_ {j}) \tag {4.6.13} +$$ + +특성 크리프를 다음 식과 같이 Dirichlet 급수의 Degenerate Kernel로 표현하면 응력의 전체 이력을 저장할 필요없이 크리프에 의한 증분변형률을 계산할 수 있다. + +$$ +C (t, \tau) = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i} (t) \left[ 1 - e ^ {- (t - \tau) / \Gamma_ {i}} \right] \tag {4.6.14} +$$ + +$a(t)$ : 하중 재하시간 $\tau$ 에 관련된 특성크리프 형상계수 + +Γ : 시간의 경과에 따른 특성크리프 곡선의 형상에 관한 값 + +midas NFX에서는 5개의 Γ 를 사용하여 aging-Kelvin 크리프 모델과 aging-Kelvin 크리프 모델에서 스프링을 제외한 형태인 aging-viscous 크리프 모델을 사용할 수 있다. + +![](images/page-177_c304c8d675da6be5a5bb1847bd0b52dd3df6d810aade7dba9c5ce328c63c978b.jpg) + +
+text_image + +k₁ +k₂ +k₃ +k₄ +k₅ +η₁ +η₂ +η₃ +η₄ +η₅ +σ +
+ +그림 4.6.4 aging-Kelvin 크리프 모델 + + + +특성 크리프 수식을 도입하여 증분 변형률을 다시 정리하면 다음 식과 같다. + +$$ +\Delta \varepsilon = \Delta \sigma \left(\frac {1}{E} + \sum_ {i = 1} ^ {5} a _ {i} (t) \left(1 - \lambda_ {i}\right)\right) + \sum_ {i = 1} ^ {5} \left(1 - \beta_ {i}\right) \varepsilon_ {c} ^ {n - 1} +$$ + +$$ +\lambda_ {i} = (1 - \beta_ {i}) \Gamma_ {i} / \Delta t \tag {4.6.15} +$$ + +$$ +\beta_ {i} = e ^ {- \Delta t / \Gamma_ {i}} +$$ + +$\varepsilon_{c}^{n-1}$ : 직전 단계 크리프 변형률 + +E : 탄성 계수 + +위 식을 정리 하면 다음과 같다. + +$$ +\Delta \sigma = \overline {{E}} \left(\Delta \varepsilon - \Delta \varepsilon^ {\prime \prime}\right) +$$ + +$$ +\frac {1}{E} = \frac {1}{E} + \sum_ {i = 1} ^ {5} a _ {i} (t) \left(1 - \lambda_ {i}\right) \tag {4.6.16} +$$ + +$$ +\Delta \varepsilon^ {"} = \sum_ {i = 1} ^ {5} \left(1 - \beta_ {i}\right) \varepsilon_ {c} ^ {n - 1} +$$ + +최종적으로 건조수축 변형률을 포함하면 다음과 같다. + +$$ +\Delta \sigma = \overline {{E}} \left(\Delta \varepsilon - \Delta \varepsilon^ {"} - \Delta \varepsilon_ {s h}\right) \tag {4.6.17} +$$ + +다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 재령 종속적 점탄성 재료와 요소간의 관계를 정리한 것이다. + + + +표 4.6.2 요소별 사용 가능한 재령 종속적 점탄성 재료 + +
요소 종류
RodBarPipeCableMembraneShellPlane strainAxisymmetric SolidSolidSurface
vvvvvvvvv
+ + + +# 4.7 복합재료 적층이론 + +복합재료 적층이론은 이방성 재료로 이루어진 여러 개의 층(ply or lamina)을 적층했을 경우 발생하는 평균적 재료성질을 계산하는 과정이다. midas NFX에서는layered shell 요소의 내력, 강성 등의 계산에 적층이론을 사용한다. + +적층 복합재료(laminated composite)를 구성하는 각각의 층은 서로 다른 재료일뿐만 아니라 재료의 주축 방향 또한 다르다. + +![](images/page-180_ec84d457819e700222c82f501f4333289b8ccc55304f822b9a84758621cf24a4.jpg) + +
+text_image + +material - axis 2 +material - axis 1 +material - axis 1 +material - axis 2 +
+ +그림 4.7.1 적층 복합재료의 주축 + +각각의 층에서 재료의 성질은 섬유(fiber)의 방향, 섬유와 기지(matrix)의 비율 등에 의해 결정되며, 주축(1방향)이 섬유(fiber) 방향과 대체로 일치하는 직교이방성 재료인 경우가 많다. 적층이론의 기본 가정은 다음과 같다. + +► 적층판을 구성하는 각각의 층은 서로 완전하게 접착되어 있다. +► 접착부는 두께를 가지지 않으며 층간의 변위는 연속적이기 때문에 접착부의전단변형은 없다. +► 변형률은 두께방향으로 직선적인 분포를 나타낸다. + +두께방향 변형률 및 각 층의 면내응력은 다음과 같이 표현된다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_019.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_019.md new file mode 100644 index 00000000..2bdd129f --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_019.md @@ -0,0 +1,196 @@ + + +$$ +\varepsilon (z) = \varepsilon_ {o} + z \mathbf {k} \tag {4.7.1} +$$ + +$$ +\pmb {\sigma} ^ {(i)} (z) = \mathbf {C} ^ {(i)} \left(\pmb {\varepsilon} _ {o} + z \pmb {\kappa}\right) +$$ + +$\varepsilon_{0}, \kappa$ : 면내 변형률과 굽힘 + +$\mathbf{C}^{(i)}$ : i 번째 층의 탄성 강성 + +면내 합력과 굽힘 모멘트는 두께방향 적분을 통하여 계산된다. + +$$ +\mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\} = \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \boldsymbol {\sigma} ^ {(i)} (z) d z = \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \mathbf {C} ^ {(i)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o} + z \boldsymbol {\kappa}\right) d z \tag {4.7.2} +$$ + +$$ +\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {x x} \\ M _ {y y} \\ M _ {x y} \end{array} \right\} = \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \boldsymbol {\sigma} ^ {(i)} (z) d z = \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o} + z \mathbf {k}\right) d z +$$ + +이를 행렬 형식으로 표현하면 다음과 같다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathbf {N} \\ \mathbf {M} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \mathbf {C} ^ {(i)} d z & \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} d z \\ \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} d z & \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z ^ {2} \mathbf {C} ^ {(i)} d z \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {\mathbf {0}} \\ \boldsymbol {\kappa} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {A} & \mathbf {B} \\ \mathbf {B} & \mathbf {D} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {\mathbf {0}} \\ \boldsymbol {\kappa} \end{array} \right\} \tag {4.7.3} +$$ + +여기서 A, B, D 행렬은 각각 적층판의 면내강성, 굽힘강성, 그리고 면내/굽힘 연계 강성 (coupling stiffness)를 의미하며, layered shell 요소의 강성 평가를 위한 기본 정보가 된다. + +횡방향 전단 강성의 경우에는 1차 전단변형 이론(first-order shear deformation theory)을 근거로 횡방향 전단변형률이 두께 방향으로 일정하다는 가정하게 계산할 수 있다. + + + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} Q _ {x} \\ Q _ {y} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \sigma_ {x z} d z \\ \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \sigma_ {x y} d z \end{array} \right\} = \mathbf {G} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z x} \\ \gamma_ {y z} \end{array} \right\} \tag {4.7.4} +$$ + +사용환경에 의한 온도 요인을 고려할 경우, 구성방정식은 다음과 같이 평균적인 열팽창 계수를 포함하게 된다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathbf {N} \\ \mathbf {M} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {A} & \mathbf {B} \\ \mathbf {B} & \mathbf {D} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {\mathbf {0}} \\ \boldsymbol {\kappa} \end{array} \right\} - \left[ \begin{array}{l l} \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} \mathbf {C} ^ {(i)} \boldsymbol {\alpha} ^ {(i)} d z & \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} \boldsymbol {\alpha} ^ {(i)} d z \\ \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z \mathbf {C} ^ {(i)} \boldsymbol {\alpha} ^ {(i)} d z & \int_ {- h / 2} ^ {h / 2} z ^ {2} \mathbf {C} ^ {(i)} \boldsymbol {\alpha} ^ {(i)} d z \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \Delta T _ {0} \\ \Delta T _ {1} \end{array} \right\} \tag {4.7.5} +$$ + +$\Delta T_{0}$ : 평균 온도변화 + +$\Delta T_{1}$ : 두께방향 온도구배 + + + +# 4.8 복합재료 파손이론 + +복합재료 적층판 강도해석의 핵심은 적층판의 파손이론(failure criteria)에 있으며, 이를 근거로 주어진 응력 또는 변형률 상태에 대해 적층판의 안전여부를 판단한다. 현재 여러 가지 파손이론이 존재하며, 일반적으로 다양한 적층판, 즉 다양한 구성재료와 적층각에 대해 모두 정확한 파손을 예측할 수 있는 파손식은 없는 것으로 알려져 있다. 따라서 파손이론을 선택하는데 있어서, 재료의 특성, 파손이론이 필요로 하는 실험치(강도 데이터 및 파라미터)의 존재여부, 등 다양한 측면을 고려해야 한다. + +midas NFX 에서 제공하는 파손이론으로는 파손의 계산에 있어서 응력 또는 변형률 성분간의 연관성이 없는 최대응력 파손이론(maximum stress failure criteria)과 최대 변형률 파손이론(maximum strain failure criteria), 연계 항이 존재하는 Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hoffman 파손이론 그리고NASA LaRC02 파손이론이 있다. 이중 LaRC02 파손이론의 경우에는 파손 모드의 정보를 제공한다는 장점을 갖는다. + +\- 모드 사이의 연계가 없는(non-interactive) 파손이론 : 최대 응력(maximum stress), 최대 변형률 (maximum strain) + +표 4.8.1 Non-interactive 파손이론 + +
파손이론주축방향횡방향전단방향
Max stress $-X' < \sigma_x < X$ $-Y' < \sigma_y < Y$ $-S < \sigma_s < S$
Max strain $-E_x' < \varepsilon_x < E_x$ $-E_y' < \varepsilon_y < E_y$ $-E_s < \varepsilon_s < E_s$
+ +\- 등방성 von-Mises 파손이론을 이방성 재료로 확장한 2차 파손이론(quadratic failure criterion) : Tsai-Hill, Hoffman, Tsai-Wu + +$$ +F I = \frac {\sigma_ {x} ^ {2}}{X X ^ {\prime}} + 2 F _ {x y} \sigma_ {x} \sigma_ {y} + \frac {\sigma_ {y} ^ {2}}{Y Y ^ {\prime}} + \frac {\sigma_ {s} ^ {2}}{S ^ {2}} + \left(\frac {1}{X} - \frac {1}{X ^ {\prime}}\right) \sigma_ {x} + \left(\frac {1}{Y} - \frac {1}{Y ^ {\prime}}\right) \sigma_ {y} \tag {4.8.1} +$$ + + + +표 4.8.2 2 차 파손이론 + +
파손이론단축 강도FxyFxy* (all materials)
Tsai-Hill $X = X', Y = Y'$ $-\frac{1}{2X^{2}}$ $-0.014 \leq -\frac{Y}{2X} \leq -0.008$
Hoffman $X \neq X', Y \neq Y'$ $-\frac{1}{2X X'}$ $-0.041 \leq -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{YY'}{XX'}} \leq -0.022$
Tsai-Wu $X \neq X', Y \neq Y'$ $\frac{F_{xy}^{*}}{\sqrt{XX'YY'}}$ $-1 \leq F_{xy}^{*} \leq 1$
+ +# - LaRC02 파손이론 + +Hashin 파손이론을 기반으로 미국 NASA Langley 연구소에서 개발된 LaRC02 파손이론은 가정된 파손면을 기반으로 한다. LaRC02의 특징으로는 섬유복합재료 각 층의 파손여부 정보뿐만 아니라 복합재를 구성하는 섬유(fiber)와 기지 (matrix)의 파손여부까지 제공한다는 점이다. 복합재료 구성원의 파손여부는 다음의 판단식을 기준으로 한다. + +표 4.8.3 LaRC02 파손 판단식 + +
Matrix crackingMatrix tension $\sigma_{22} \geq 0$ Matrix compression, $\sigma_{22} < 0$
$FI_M = \left( \frac{\sigma_{22}}{Y} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{12}}{S^L} \right)^2$ $\sigma_{11} < Y'$ $\sigma_{11} \geq Y'$
$FI_M = \left( \frac{\tau_{eff}^{mT}}{S^T} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{eff}^{mL}}{S^L} \right)^2$ $FI_M = \left( \frac{\tau_{eff}^T}{S^T} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{eff}^L}{S^L} \right)^2$
Fiber failureFiber tension $\sigma_{11} \geq 0$ Fiber compression, $\sigma_{11} < 0$
$FI_F = \frac{\varepsilon_{11}}{\varepsilon_1^T}$ $\sigma_{22}^{m} < 0$ $\sigma_{22}^{m} \geq 0$
$FI_F = \left\langle \frac{\left| \tau_{12}^{m} \right| + \eta^L \sigma_{22}^{m}}{S^L} \right\rangle$ $FI_F = \left( \frac{\sigma_{22}^{m}}{Y} \right)^2 + \left( \frac{\tau_{12}^{m}}{S^L} \right)^2$
+ +위 표에서 유효응력과 횡방향 전단 강도는 각각 다음과 같이 표현된다. + + + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \tau_ {e f f} ^ {T} = \left\langle - \sigma_ {2 2} \cos \alpha \left(\sin \alpha - \eta^ {T} \cos \alpha\right) \right\rangle \\ \tau_ {e f f} ^ {L} = \left\langle \cos \alpha \left(\left| \tau_ {1 2} \right| + \eta^ {L} \sigma_ {2 2} \cos \alpha\right) \right\rangle \end{array} \right. \tag {4.8.2} +$$ + +$$ +S ^ {T} = Y ^ {\prime} \cos \alpha_ {0} \left(\sin \alpha_ {0} + \frac {\cos \alpha_ {0}}{\tan 2 \alpha_ {0}}\right) \tag {4.8.3} +$$ + +$\alpha_{0}$ 는 기지방향 단축 압축 하중 하에서 파손면의 각도이며 일반적으로 53°가 사용된다. $\alpha$ 는 파손 지수가 최대가 되도록 결정되며 $\eta^{T}, \eta^{L}$ 는 다음과 같다. + +$$ +\eta^ {T} = - 1 / \tan 2 \alpha_ {0}, \eta^ {T} = \left. ^ {- S ^ {L} \cos 2 \alpha_ {0}} \right/ _ {Y ^ {\prime} \cos^ {2} \alpha_ {0}} \tag {4.8.4} +$$ + +또한 파손면에서의 응력은 다음과 같다. + +$$ +\sigma_ {1 1} ^ {m} = \cos^ {2} \varphi \sigma_ {1 1} + \sin^ {2} \varphi \sigma_ {2 2} + 2 \sin \varphi \cos \varphi \tau_ {1 2} +$$ + +$$ +\sigma_ {2 2} ^ {m} = \sin^ {2} \varphi \sigma_ {1 1} + \cos^ {2} \varphi \sigma_ {2 2} - 2 \sin \varphi \cos \varphi \tau_ {1 2} \tag {4.8.5} +$$ + +$$ +\tau_ {1 2} ^ {m} = - \sin \varphi \cos \varphi \sigma_ {1 1} + \sin \varphi \cos \varphi \sigma_ {2 2} + (\cos^ {2} \varphi - \sin^ {2} \varphi) \tau_ {1 2} +$$ + +$$ +\varphi = \frac {\tau_ {1 2} + (G _ {1 2} - X ^ {\prime}) \varphi^ {c}}{G _ {1 2} + \sigma_ {1 1} - \sigma_ {2 2}}, \varphi^ {c} = \tan^ {- 1} \left(\frac {1 - \sqrt {1 - 4 \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}} + \eta^ {L}\right) \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}}\right)}}{2 \left(\frac {S ^ {L}}{X ^ {\prime}} + \eta^ {L}\right)}\right) \tag {4.8.6} +$$ + +midas NFX에서는 복합재료 파손이론을 근거로 복합재료의 파손여부 판단을 위하여 유한요소 파손지수(FE failure index), 파손지수(failure index, k ), 또는 강도비(strength ratio, R) 값을 출력할 수 있다. 유한요소 파손지수는 파손식에서 직접 추출된다. 따라서 주어진 파손이론에 따라서 물리적인 의미가 부족한 경우가 발생할 수 있다. 파손에 이르렸을 때의 응력상태, 즉 파손식을 만족하는 응력을 $\sigma'$ 라고 했을 경우 파손지수 k 는 $\sigma' = \frac{1}{k} \sigma_{FE}$ 를 만족하도록 결정되며, 유사하게 + + + +강도비 R 은 ${ \bf { \sigma } } ^ { \prime } = R { \bf { \sigma } } _ { F E }$ 를 만족하도록 결정된다. 즉, 파손지수 와 강도비값은 주어진 응력상태가 어느 정도 배분되었을 때 파손될지 판단하는데 도움이된다. + + + +# 5. Algorithm + +# 5.1 연립방정식 해법 + +연립방정식의 해법(system of equation solver)은 (5.1.1)과 같은 선형 행렬식의해 를 구하는 방법이다. + +$$ +\mathbf {K} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {5.1.1} +$$ + +연립방정식 해법은 선형정적 구조해석뿐만 아니라, 고유치/좌굴 해석, 동적 해석,비선형 해석 등 모든 해석에 이용되며, 일반적으로 가우스 소거법(Gausselimination) 또는 분해법에 기반한 직접해법(direct solver)과 반복 계산을 통해 오차를 최소화하는 해로 수렴시켜 가는 반복해법(iterative solver)이 있다. 직접해법은 행렬의 수치적 특성에 영향을 받지 않고 안정적으로 해를 구할 수 있어 구조해석에 일반적으로 많이 사용되고 있으나 문제의 규모가 커지는 경우 기억용량과 계산량이 급격하게 증가하는 경향이 있다. 따라서 대형 문제의 경우에는 상대적으로 기억용량이 적게 요구되는 반복해법을 적용하는 것이 좋다. 그러나 구조해석의 경우 반복해법은 행렬의 수치적 특성으로 인하여 원하는 해를 얻을 수 없거나, 수렴된 해를 얻기 위한 반복 계산이 많아질 수 있음에 주의해야한다. midas NFX에서는 해석하고자 하는 문제의 규모에 따라 직접해법과 반복해법을 자동으로 결정해 주는 기능을 제공하고 있다. + +직접해법에서는 연립방정식의 해를 두 단계에 걸쳐 구하게 된다. 첫 번째 단계는 행렬 분해 (decomposition) 이고, 두 번째 단계는 전-후진 대입(forward-backward substitution : FBS) 과정이다. 일반적인 비대칭 행렬에 적용되는 분해법은 유한요소 해석 과정에서 발생되는 대칭 강성행렬 의 경우 다음과 같은 형태의 행렬 분해로 적용될 수 있다. + +$$ +\mathbf {L} \mathbf {L} ^ {T} \mathbf {u} = \mathbf {p} \quad \text { or } \quad \mathbf {L} \mathbf {D} \mathbf {L} ^ {T} \mathbf {u} = \mathbf {p} \tag {5.1.2} +$$ + +L : 하삼각 행렬(lower triangular matrix) + +D : 대각 행렬(diagonal matrix) + + + +일반적으로 가 포함된 행렬 분해법은 강성행렬이 양의 정부호(positivedefinite)가 아닌 경우에 필요하다. midas NFX에서는 선형정적 구조해석의 경우형태의 행렬 분해법(Cholesky 분해법)을 사용하고 고유치 해석 또는 비선형 해석의 경우는 양의 정부호를 보장할 수 없기 때문에 형태의 행렬 분해법을 사용한다. + +직접해법 적용 시 중요한 점은 행렬의 희소성(sparsity)을 적절히 이용해야 하는것이다. 일반적으로 유한요소해석 시에 발생하는 강성행렬 K 는 행렬 내에 다수의 0이 존재하는 희소행렬(sparse matrix)이며, 이 희소성을 활용하는 방법에따라 계산량과 요구되는 기억 용량이 현저하게 달라진다. 따라서 midas NFX에서는 행렬의 희소성을 활용하지 않는 일반적인 조밀행렬(dense matrix)에 대한직접해법(dense solver) 외에 행렬의 희소성을 적절히 활용해 계산량과 기억 용량을 획기적으로 줄일 수 있는 다중프런트 해법(multi-frontal solver)을 기본 직접해법으로 지원하고 있다. + +다중프런트 해법에서는 행렬의 희소성을 활용해 계산량과 기억용량을 최소화하기 위해 자유도의 재배치(ordering)가 필요하며 이렇게 재배치된 정보에 따라 행렬을 여러 개의 프런트 행렬로 분리하여 행렬 분해를 수행한다. 그림 5.1.1은 자유도의 재배치에 의한 직사각형 요소망에서의 효과적인 계산 순서를 도식적으로표현한 것이다. 자유도 재배치를 구현하기 위한 알고리즘은 재귀 이분할법(recursive bisection)을 이용하며, 전진 대입은 행렬의 분해와 같은 순서로, 후진대입은 그 역순으로 계산하게 된다. + + + +![](images/page-189_dc3a7fe74d9d231ca2fb8045dfc338cd3c3997da94dfd0671498d23008e74242.jpg) + +
+text_image + +1 2 1 4 1 2 1 +3 3 +1 2 1 1 2 1 +
+ +그림 5.1.1 다중프런트 해법의 행렬 분해 순서 예시 + +midas NFX에서 사용하는 다중프런트 해법은 전체 영역에 대한 강성행렬을 따로조립하여 저장하지 않음으로써 일반적인 다중프런트 해법에 비해 기억용량을 더적게 필요로 하며, 대형 문제의 해결을 위해 메모리가 부족한 경우 자동적으로하드디스크를 추가로 활용해서 계산을 진행할 수 있도록 하는 out-of-core 해석기능을 지원하고 있다. + +또한, 다중프런트 해법의 구현에 있어서 그래픽 처리 장치(Graphics ProcessingUnit: GPU)의 연산 능력을 활용하여 계산을 진행할 수 있도록 하였다. 최근 초대형 문제에 대한 수요가 많아짐에 따라 유한요소 해석의 가장 중심이 되는 연립방정식 해법의 성능에 대한 중요성이 더욱 부각되고 있다. GPU는 매우 많은 수의 계산 단위(core)로 이루어져 있으며 CPU에 비해 매우 높은 연산성능을 제공한다. 이러한 GPU의 높은 성능을 활용하여 가장 많은 연산시간을 차지하는 실수 행렬분해(real matrix decomposition) 과정에 대하여 적용하여, 전체적으로 개선된 연산성능을 제공한다. + +반복해법은 반복적인 계산에 의해 근사해의 오차를 줄여 수렴시켜 나가는 방법으로서 적은 반복계산으로 수렴 오차를 빠르게 줄이는 것이 매우 중요하다. 일반적으로 반복계산의 횟수는 예조건화(preconditioning) 기법에 의해 좌우된다.midas NFX에서는 요소의 형상에 관계 없이 안정적인 예조건화 기법으로 알려진 + + + +SA(smoothed aggregation) AMG(algebraic multi-grid)1 방법을 이용한다. AMG방법은 다중격자(multi-grid)를 활용하기 때문에 반복회수가 자유도 개수의 영향을 크게 받지 않으며, shell 요소와 같이 절점당 자유도가 변위와 회전으로 이루어진 요소를 사용하는 경우에도 안정적인 수렴성을 보인다. AMG 방법을 이용한반복해법에서는 다중격자가 자동으로 구성되며, 이는 인접한 절점들의 집합과각 절점 집합을 대표하는 자유도에 의해 만들어진다. 그림 5.1.2는 다중격자를구성하는 절점 집합의 예를 보여주고 있다. + +![](images/page-190_aa27be4eba1dfa4b08ea86e391eb5b74de7f62f3bfd28bf2f009bb4cb98b73f9.jpg) + +
+natural_image + +Geometric wireframe structure resembling a 3D polyhedron or tessellated polygon (no text or symbols) +
+ +그림 5.1.2 다중격자 구성을 위한 절점 집합의 예시 + +앞서 설명한 바와 같이 직접해법과 반복해법은 해석하고자 하는 문제의 규모에따라 그 성능이 달라지기 때문에 midas NFX에서는 이를 자동으로 결정해 주는기능을 제공한다. 방정식 해법의 자동선택 기능을 사용하는 경우에는 소규모의문제에 대해서는 조밀행렬을 이용한 직접해법, 중규모의 문제에 대해서는 다중프런트 해법, 그리고 대규모 문제에 대해서는 AMG 반복(해)법을 문제 규모에따라 자동으로 선택하여 사용한다. 자동 선택의 기준은 다음 사항을 고려하여결정된다. + +► 경험적인 조건을 알고 있는 경우 : 사용자가 입력한 절점 또는 요소개수를 기준으로 결정 +► 경험적인 조건을 모르는 경우 : 모델의 자유도 개수와 시스템 메모리 크기를기준으로 프로그램 내에서 결정 diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_020.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_020.md new file mode 100644 index 00000000..eeb0b479 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_020.md @@ -0,0 +1,282 @@ + + +# 5.2 고유치 추출법 + +고유치의 추출(eigenvalue extraction)은 모드 해석(normal mode analysis)과 선형좌굴 해석의 핵심 알고리즘이며, 모드 해석과 선형 좌굴 해석에서 발생하는 고유치 추출 문제의 형태는 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {K} \phi_ {i} - \lambda_ {i} \mathbf {B} \phi_ {i} = \mathbf {0} (n o s u m m a t i o n) \tag {5.2.1} +$$ + +K : 강성 행렬 + +B : 모드 해석 시 - 질량 행렬 ( ) + +: 좌굴 해석 시 - 기하강성 행렬 ( ) + +midas NFX에서는 연립방정식 해법에 따라 고유치 추출방법이 연동하여 바뀌게된다. 연립방정식 해법의 기본값인 다중프런트 해법에서는 Lanczos 반복법을 사용하며, 조밀행렬 해법을 선택하게 되면 고유치 추출 또한 조밀행렬을 이용한직접법을 사용한다. 각각의 방법은 다음과 같은 특징을 가지고 있다. + +• Lanczos 반복법 +► 대규모 문제에 적합하다. +► 고유치가 누락될 수 있으므로 Sturm sequence check 옵션을 사용하는 것이좋다. +• 조밀행렬을 이용한 직접법 +► 자유도 개수가 수준에서 급격히 성능이 저하될 수 있으므로 작은 규모의테스트 모델에 적합하다. +► 고유치가 누락되지 않는다. + +Lanczos 반복법은 Krylov 부분공간(subspace) 을 생성하는 과정을 통하여 발생하는 삼중 대각행렬을 이용하여 고유치의 근사값을 구하는 방법2이다. 효과적인 고유치 계산을 위하여 블록 삼중대각행렬3을 이용하기도 하며, + + + +삼중대각행렬의 크기가 구하고자 하는 고유치 개수의 수준과 비슷하게 유지되므로 계산 속도가 매우 빠르고 대규모 문제에 적합하다. 그러나 고유치의 누락이발생할 수 있기 때문에 이를 확인하는 옵션을 사용하는 것이 좋다. + +조밀행렬을 이용한 직접법은 강성행렬의 분해, 삼중대각행렬(tridiagonal matrix)생성, 고유치 계산 과정을 거치게 된다. 삼중대각행렬 생성과 고유치 계산을 전체 행렬에 대해 수행하므로 고유치의 누락은 발생하지 않으나, 대규모 문제를푸는 데는 부적합하다. + +# • 고유치의 계산범위 + +일반적으로 모드해석 시의 고유치 개수 및 범위는 모드 참여계수(modalparticipation factor) 또는 모드 유효 질량(modal effective mass)을 고려하거나관심 주파수 영역을 기준으로 결정할 수 있다. 좌굴 해석에서는 최소 임계하중이 중요한 결과항목이므로 가장 작은 임계하중 몇 개만을 계산하는 것이 일반적이다. 이와 같이 계산하고자 하는 고유치의 개수와 범위를 결정하게 되면, 다음과 같은 입력을 통하여 이를 설정할 수 있다. + +표 5.2.1 고유치 개수와 범위의 설정 방법 + +
변수 설정 $(v_{1}, v_{2}, N$ 입력 또는 미입력)고유치 범위고유치 개수
$v_{1}, v_{2}, N$ $v_{1} < v < v_{2}$ 최대 $N$ 개
$v_{1}, \text{미입력}, N$ $v_{1} < v$ 최대 $N$ 개
미입력, $v_{2}, N$ $v < v_{2}$ 최대 $N$ 개
미입력, 미입력, $N$ $-\infty < v < \infty$ 최대 $N$ 개
$v_{1}, v_{2}, \text{미입력}$ $v_{1} < v < v_{2}$ 모든 고유치
$v_{1}, \text{미입력}, \text{미입력}$ $v_{1} < v$ 모든 고유치
미입력, $v_{2}, \text{미입력}$ $v < v_{2}$ 모든 고유치
미입력, 미입력, 미입력 $-\infty < v < \infty$ 모든 고유치
+ +위의 입력에서 $\nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } \in \Sigma \underline { { \mathsf { E } } }$ 해석에서는 주파수(Hz)이며, 좌굴 해석 시에는 임계 하중 계수(critical load factor)이다. + + + +\- 고유치 계산 결과 + +고유치 문제의 결과인 고유벡터는 그 크기가 바뀌어도 (5.2.1)을 만족한다. + +$$ +\begin{array}{l} a \left(\mathbf {K} \phi_ {i} - \lambda_ {i} \mathbf {B} \phi_ {i}\right) = \mathbf {K} \varphi_ {i} - \lambda_ {i} \mathbf {B} \varphi_ {i} = \mathbf {0} \\ a _ {i} = a _ {i} ^ {d} \end{array} \tag {5.2.2} +$$ + +$$ +\varphi_ {i} = a \phi_ {i} +$$ + +그러므로 계산된 고유벡터의 크기를 일관적으로 표현하는 방법이 필요하게 되며, midas NFX에서는 해석 종류에 따라 다음의 식을 만족하도록 고유벡터의 표준화 (normalization) 과정을 적용하고 있다. + +▶ 모드 해석 : $\phi_{i}^{T}M\phi_{i}=1$ +▶ 좌굴 해석 : $\max(\phi_{i})=1$ (회전 자유도 제외) + +고유치 계산 알고리즘은 조밀행렬에 의한 직접법을 사용하더라도 근사해에 불과하기 때문에 그 정확도를 보장할 수 없다. 그러므로 midas NFX에서는 계산된 고유치와 고유벡터의 정확도를 확인할 수 있도록 다음과 같은 값들을 고유치 계산 결과로 채택하였다. + +표 5.2.2 고유치와 고유벡터 이외의 계산 결과 +
결과 항목계산 방법
Generalized mass $b_{i} = \phi_{i}^{T} \mathbf{B} \phi_{i}$
Generalized stiffness $k_{i} = \phi_{i}^{T} \mathbf{K} \phi_{i}$
Orthogonality loss $\delta_{i} = \max(\frac{\phi_{i-1}^{T} \mathbf{K} \phi_{i}}{k_{i}}, \frac{\phi_{i-1}^{T} \mathbf{B} \phi_{i}}{b_{i}})$
Error measure $e_{i} = \frac{\|\mathbf{K} \phi_{i} - \lambda_{i} \mathbf{B} \phi_{i}\|}{\|\mathbf{K} \phi_{i}\|}$
+ + + +# 5.2.1 모드상관계수 + +모드상관계수(modal assurance criterion)은 고유치 해석에서 얻은 고유벡터와 실험모드해석에서 구한 고유벡터를 비교하여 유한요소 모델이 실재 구조물과 얼마나 일치하는지 평가하며 모드직교성(modal cross orthogonality) 또는 모드상관계수(modal assurance criterion)를 그 지표로서 사용한다. + +# - 모달축소법 + +실험모드해석에서 사용된 제한된 수의 자유도와 유한요소 모델의 자유도의 크기가 같지 않으므로 유한요소 모델과 등가의 축소모델을 만들어서 실험모델과 비교한다. 이를 위하여 실험모드해석에서 사용된 측정점의 좌표를 입력받아 유한요소 모델에서 이와 가장 가까운 절점들을 선택하여 모달축소법(modal reduction method)을 사용한다. 모달축소법의 변환행렬은 (5.2.3)과 같다. + +$$ +\mathbf {T} = \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol {\Phi} _ {d} \left(\boldsymbol {\Phi} _ {a} ^ {T} \boldsymbol {\Phi} _ {a}\right) ^ {- 1} \boldsymbol {\Phi} _ {a} ^ {T} \\ \mathbf {I} _ {a a} \end{array} \right], \quad \boldsymbol {\Phi} _ {A} = \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol {\Phi} _ {d} \\ \boldsymbol {\Phi} _ {a} \end{array} \right] \tag {5.2.3} +$$ + +# - 모드직교성 + +해석모드와 실험모드에서 얻은 고유벡터 사이의 독립성 또는 직교성을 나타낸다. + +$$ +M X O _ {i j} = \phi_ {i} ^ {T} M \phi_ {j} \tag {5.2.4} +$$ + +# - 모드상관계수 + +해석모드와 실험모드에서 얻은 고유벡터 사이의 일관성 또는 선형성을 나타낸다. + +$$ +M A C _ {i j} = \frac {\left(\phi_ {i} ^ {T} \phi_ {j}\right) ^ {2}}{\left(\phi_ {i} ^ {T} \phi_ {i}\right) \left(\phi_ {j} ^ {T} \phi_ {j}\right)} \tag {5.2.5} +$$ + + + +# 5.3 유효질량과 모드중첩법 + +# 5.3.1 유효질량 + +모드 해석을 통하여 고유진동수(natural frequency), 고유주기(natural period) 그리고 모드 형상을 계산하고 나면 이들을 이용하여 모드 유효질량 또는 모드 참여계수 등의 유용한 정보를 산출할 수 있다. i 번째 모드의 방향별 참여계수는 $\Gamma_{i\alpha}$ 로 표기하며 다음과 같이 계산한다. + +$$ +\Gamma_ {i \alpha} = \frac {1}{m _ {i}} \phi_ {i} ^ {T} \mathbf {M T} _ {\alpha}, \alpha = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \quad (\text {no summation}) \tag {5.3.1} +$$ + +$$ +m _ {i} = \phi_ {i} ^ {T} \mathbf {M} \phi_ {i} \quad (\text { generalized mass }) +$$ + +α : 자유도 방향 (1\~3 : 변위, 4\~6 : 회전) + +여기서 $T_{\alpha}$ 는 방향별 강체 거동의 크기를 나타내는 행렬이며, 각각의 절점에 대해 다음과 같은 성질을 가지도록 정의한다. + +$$ +\left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 & 0 & 0 & 0 & z - z _ {0} & y _ {0} - y \\ 0 & 1 & 0 & z _ {0} - z & 0 & x - x _ {0} \\ 0 & 0 & 1 & y - y _ {0} & x _ {0} - x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} e _ {1} \\ e _ {2} \\ e _ {3} \\ e _ {4} \\ e _ {5} \\ e _ {6} \end{array} \right\}, \quad e _ {\beta} = \delta_ {\alpha \beta} \tag {5.3.2} +$$ + +$x_{0}, y_{0}, z_{0}$ 는 회전 중심을 의미하는데, midas NFX에서는 회전 중심을 임의의 절점 또는 전체 모델의 질량 중심으로 설정할 수 있다. + +모드 유효질량 역시 방향별 값으로 정의되며 모드 참여계수를 이용하여 다음과 같이 간단하게 계산할 수 있다. + +$$ +m _ {i \alpha} ^ {e f f} = (\Gamma_ {i \alpha}) ^ {2} m _ {i} \tag {5.3.3} +$$ + + + +모든 모드에 대한 유효질량을 더하면 구속조건이 부여된 절점을 제외한 모델 전체의 질량과 같아지게 된다. + +# 5.3.2 모드 중첩법 + +midas NFX에서는 동적응답의 해석에 모드 중첩법(mode superposition)을 적용할 수 있다. 모드 중첩법은 다음 식과 같이 주어지는 선형 동적 평형방정식을직접 푸는 대신 고유치 해석을 통해 구한 고유모드 형상을 이용하여 문제의 크기를 축소시킨 모드 평형방정식을 푸는 방법이다. + +$$ +\mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {C} \dot {\mathbf {u}} (t) + \mathbf {K} \mathbf {u} (t) = \mathbf {f} (t) \tag {5.3.4} +$$ + +고유모드 형상 를 이용하여 공간 좌표계의 변위 를 모드 변위 의 조합으로 나타내면 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {u} (t) = \boldsymbol {\Phi} \boldsymbol {\xi} (t), \boldsymbol {\Phi} = \left[ \begin{array}{l l l l} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \dots & \phi_ {N} \end{array} \right] \tag {5.3.5} +$$ + +이를 이용하여 동적 평형방정식 (5.3.4)를 모드 좌표계에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. + +$$ +[ \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} ] \ddot {\boldsymbol {\xi}} (t) + [ \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\Phi} ] \dot {\boldsymbol {\xi}} (t) + [ \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi} ] \boldsymbol {\xi} (t) = \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {f} (t) \tag {5.3.6} +$$ + +일반적으로 모드 중첩법을 적용하는 경우, 고유모드 형상 를 구성하기 위해고차 모드를 제외한 주요 저차 모드 일부만을 사용하기 때문에 (5.3.6)은 식(5.3.4)에 대한 근사식에 해당된다. 따라서 실제 물리적인 변위를 잘 표현할 수있을 정도의 충분한 개수의 고유모드를 포함하여 계산하지 않으면 계산 결과의정확도가 많이 떨어질 수 있음에 주의해야 한다. + +모드 평형방정식 (5.3.6)은 모드 감쇠행렬 이 0인 경우 다음과 같이 각각의 모드에 대해 독립적으로 표현된다. + + + +$$ +m _ {i} \ddot {\xi} _ {i} (t) + k _ {i} \xi_ {i} (t) = p _ {i} (t) \tag {5.3.7} +$$ + +mi : i 번째 모드 질량 + +ki : i 번째 모드 강성 + +Pi : i 번째 모드 하중 + +: i 번째 모드 변위 + +이와 같이 모드 중첩법을 이용하면 평형방정식을 계산된 고유모드 개수만큼의미지수를 가지도록 축소시킬 수 있으며, 특히 모드 평형방정식이 모드간에 완전히 분리되는 경우 매우 효율적으로 해석을 수행할 수 있다. + +• 감쇠항의 처리 + +고유모드를 이용해 축소된 모드 평형방정식 (5.3.6)은 모드 감쇠행렬 이대각화되어 연성(coupling)이 제거되면 식 (5.3.7)의 경우와 마찬가지로 각각의모드에 대해 분리하여 표현할 수 있다. + +$$ +m _ {i} \ddot {\xi} _ {i} (t) + b _ {i} \dot {\xi} _ {i} (t) + k _ {i} \xi_ {i} (t) = p _ {i} (t) \tag {5.3.8} +$$ + +bi : i 번째 모드 감쇠 + +또는 다음과 같이 표현하기도 한다. + +$$ +\ddot {\xi} _ {i} (t) + 2 \zeta_ {i} \omega_ {i} \dot {\xi} _ {i} (t) + \omega_ {i} ^ {2} \xi_ {i} (t) = \frac {1}{m _ {i}} p _ {i} (t) \tag {5.3.9} +$$ + +$\zeta _ { i } = b _ { i } \big / \big ( 2 m _ { i } \omega _ { i } \big )$ : 모드 감쇠비 + +$\omega _ { i } ^ { 2 } = k _ { i } / m _ { i }$ : 모드 주파수 + +midas NFX에서는 모드별 감쇠값을 주파수에 따라 다르게 입력할 수 있는데, 이경우 모드 감쇠(modal damping)값은 질량비례감쇠(mass-proportional damping),강성비례감쇠(stiffness-proportional damping) 및 구조감쇠(structural damping)등 다른 일반적인 감쇠값들로부터 구성된 모드 감쇠행렬 에 더해진다. 따라서 모드 평형방정식의 모드별 분리가 가능한 경우는 모드감쇠행렬 가대각행렬인 경우이며, 이는 각 비례감쇠계수와 구조감쇠가 모든 요소에서 일정 + + + +하고 감쇠요소(bush, damper)가 없는 경우에 해당한다. 그렇지 않은 경우는 대 +각화되지 않은 모드 감쇠항으로 인한 각 모드별 평형방정식 간의 연성 +(coupling)을 고려하여 계산해야 한다. + +\- 강제 운동(Enforced motion) + +모드 중첩법에서 강제 운동이 주어지는 경우, 이를 직접적으로 모드 평형방정식에 적용할 수 없으므로 midas NFX에서는 다음과 같은 과정을 통해 강제 운동을 적용한다. + +먼저 평형방정식 (5.3.4)를 강제 운동이 주어진 자유도와 그렇지 않은 자유도로 분리한다. + +$$ +\left[ \begin{array}{l l} \mathbf {M} _ {1 1} & \mathbf {M} _ {1 2} \\ \mathbf {M} _ {2 1} & \mathbf {M} _ {2 2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \ddot {\mathbf {u}} _ {1} \\ \ddot {\mathbf {u}} _ {2} \end{array} \right\} + \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {C} _ {1 1} & \mathbf {C} _ {1 2} \\ \mathbf {C} _ {2 1} & \mathbf {C} _ {2 2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \dot {\mathbf {u}} _ {1} \\ \dot {\mathbf {u}} _ {2} \end{array} \right\} + \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {K} _ {1 1} & \mathbf {K} _ {1 2} \\ \mathbf {K} _ {2 1} & \mathbf {K} _ {2 2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} _ {1} \\ \mathbf {u} _ {2} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {1} \\ \mathbf {f} _ {2} \end{array} \right\} \tag {5.3.10} +$$ + +$u_{1}$ : 구속되지 않은 자유도의 변위 + +$u_{2}$ : 강제 운동으로 구속된 자유도의 변위 + +$f_{1}$ : 구속되지 않은 자유도에 작용하는 하중 + +$f_{2}$ : 강제 운동으로 구속된 자유도에 작용하는 구속력 + +이 식에서 강제 운동으로 구속되지 않은 변위 $u_{1}$ 을 다음과 같이 준정적(quasi-static) 변위 $u_{1}^{gs}$ 와 동적 상대변위 y 로 분리한 다음 + +$$ +\mathbf {u} _ {1} = \mathbf {u} _ {1} ^ {q s} + \mathbf {y} \tag {5.3.11} +$$ + +$$ +\mathbf {u} _ {1} ^ {q s} = - \mathbf {K} _ {1 1} ^ {- 1} \mathbf {K} _ {1 2} \mathbf {u} _ {2} +$$ + +동적 상대변위 y 에 대해서 정리하면 다음과 같이 표현된다. + +$$ +\mathbf {M} _ {1 1} \ddot {\mathbf {y}} + \mathbf {C} _ {1 1} \dot {\mathbf {y}} + \mathbf {K} _ {1 1} \mathbf {y} = \mathbf {f} _ {1} + \left(\mathbf {M} _ {1 1} \mathbf {K} _ {1 1} ^ {- 1} \mathbf {K} _ {1 2} - \mathbf {M} _ {1 2}\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {2} \tag {5.3.12} +$$ + +이 식에서 우변의 감쇠 관련 항은 무시하였다. 모드 중첩법을 적용하여 $\mathbf{y}(t)=\mathbf{\Phi}_{11}\mathbf{x}(t)$ 인 모드 상대변위 x로 방정식을 표현하면 다음과 같다. + + + +$$ +[ \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} ^ {T} \mathbf {M} _ {1 1} \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} ] \ddot {\mathbf {x}} + [ \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} ^ {T} \mathbf {C} _ {1 1} \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} ] \dot {\mathbf {x}} + [ \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} ^ {T} \mathbf {K} _ {1 1} \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} ] \mathbf {x} = \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} ^ {T} \left[ \mathbf {f} _ {1} + \left(\mathbf {M} _ {1 1} \mathbf {K} _ {1 1} ^ {- 1} \mathbf {K} _ {1 2} - \mathbf {M} _ {1 2}\right) \ddot {\mathbf {u}} _ {2} \right] +$$ + +$$ +\mathbf {u} _ {1} = \mathbf {u} _ {1} ^ {q s} + \mathbf {y} = - \mathbf {K} _ {1 1} ^ {- 1} \mathbf {K} _ {1 2} \mathbf {u} _ {2} + \boldsymbol {\Phi} _ {1 1} \mathbf {x} \tag {5.3.13} +$$ + +구조물에 강체운동 모드(rigid-body mode)가 존재함으로 인하여 이 특이성을 가지는 경우에는 강성행렬 $\mathbf { K } _ { 1 1 }$ 을 질량행렬 $\mathbf { M } _ { 1 1 }$ 을 이용하여 적절히 이동(shift)시켜 줌으로써 특이성을 제거할 수 있다. + +# • 잔차 벡터 (Residual vector) + +모드 중첩법을 사용하는 경우 앞서 언급한 바와 같이 고유모드 형상 에 포함되지 않은 고차 모드로 인해 오차가 발생하게 되는데 midas NFX에서는 이러한오차를 줄이기 위해 다음과 같이 질량행렬 M 및 강성행렬 K에 대해 기존 고유모드와 수직이 되게 구성되는 잔차 벡터 R를 사용한다. + +$$ +\mathbf {R} = \mathbf {K} ^ {- 1} (\mathbf {I} - \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} \boldsymbol {\Phi} ^ {T}) \mathbf {F} \tag {5.3.14} +$$ + +여기서 F는 일반적으로 하중벡터로 구성되며, 감쇠요소가 있는 경우 감쇠력을포함한다. + +midas NFX에서는 Dickens4 등이 제안한 방법을 이용하여 잔차 벡터 R로부터 서로 수직이 되는 부가 모드 형상(augmented mode shape)들을 구한 다음 이를기존의 고유모드 형상 에 추가하여 모드 중첩법을 적용한다. + + + +# 5.4 동적응답 해법 + +# 5.4.1 시간 적분법 + +midas NFX에서는 (5.3.4)와 같이 주어지는 선형 운동방정식에 대한 과도응답을얻기 위해 직접 시간적분법(direct time integration)과 모드 중첩법(modesuperposition)을 사용할 수 있다. 선형문제에 대한 직접 시간적분법은 내연적(implicit) 방법을 사용한다. + +• 내연적 직접 시간적분법 + +midas NFX에서는 내연적 직접 시간적분법으로 Hilber, Hughes, Taylor가 제안한방법(HHT- ) 5을 사용한다. HHT- 는 Newmark 방법6의 일반화된 형태이며, 조절가능한 수치적 감쇠효과를 갖는다. 이를 통해 고주파 노이즈를 제어할수 있으며, Newmark 방법과 동일하게 시간스텝에 대하여 2차 정확도를 갖는다.HHT- 방법은 다음과 같은 수정된 형태의 동적 평형방정식을 사용한다. + +$$ +\mathbf {M} \mathbf {a} ^ {n + 1} + (1 + \alpha_ {H}) \left[ \mathbf {C} \mathbf {v} ^ {n + 1} + \mathbf {f} ^ {\text { int }, n + 1} - \mathbf {f} ^ {\text { ext }, n + 1} \right] - \alpha_ {H} \left[ \mathbf {C} \mathbf {v} ^ {n} + \mathbf {f} ^ {\text { int }, n} - \mathbf {f} ^ {\text { ext }, n} \right] = \mathbf {0} \tag {5.4.1} +$$ + +여기서 $\mathbf { a } ^ { n + 1 }$ 과 n1v 는 각각 n1번째 시간스텝에서의 가속도와 속도 벡터를 의미하며, $\alpha _ { H }$ [ 1 3 0]  는 수치적 감쇠효과를 결정짓는 계수이다. 재료의 열팽창과같은 비역학적(non-mechanical) 변형률에 의한 효과, 그리고 초기응력을 고려했을 때, 선형해석의 내력은 강성행렬과 자유도의 곱을 포함한 다음의 식으로 표현된다. + +$$ +\mathbf {f} ^ {\text { int }, n + 1} = \mathbf {K} \mathbf {u} ^ {n + 1} - \mathbf {f} ^ {\text { nonmech }, n + 1} + \mathbf {f} ^ {\text { int }, 0} \tag {5.4.2} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_021.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_021.md new file mode 100644 index 00000000..ff46b118 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_021.md @@ -0,0 +1,420 @@ + + +Newmark 방법에 의한 시간 차분식을 도입하면, 시간스텝 $n, n+1$ 에서의 속도, 변위 및 가속도는 다음과 같은 관계식으로 표현된다. + +$$ +\begin{array}{l} \mathbf {v} ^ {n + 1} = \mathbf {v} ^ {n} + \Delta t \left[ \gamma \mathbf {a} ^ {n + 1} + (1 - \gamma) \mathbf {a} ^ {n} \right] \\ \mathbf {u} ^ {n + 1} = \mathbf {u} ^ {n} + \Delta t \mathbf {v} ^ {n} + \frac {1}{2} \Delta t ^ {2} \left[ 2 \beta \mathbf {a} ^ {n + 1} + (1 - 2 \beta) \mathbf {a} ^ {n} \right] \tag {5.4.3} \\ \end{array} +$$ + +(5.4.2), (5.4.3)을 이용하여 평형방정식 (5.4.1)을 재구성하면, 시간 $n+1$ 에 변위를 미지수로 하는 연립방정식 형태로 다음과 같이 정리할 수 있다. + +$$ +\begin{array}{l} \mathbf {K} ^ {e f f} \mathbf {u} _ {n + 1} = \mathbf {f} ^ {e f f} \\ \mathbf {K} ^ {e f f} = \frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {M} + \frac {(1 + \alpha_ {H}) \gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {C} + (1 + \alpha_ {H}) \mathbf {K}, \\ \mathbf {f} ^ {\text { eff }} = - \mathbf {f} ^ {\text { int }, 0} + (1 + \alpha_ {H}) \left[ \mathbf {f} ^ {\text { ext }, n + 1} + \mathbf {f} ^ {\text { nonmech }, n + 1} \right] - \alpha_ {H} \left[ \mathbf {f} ^ {\text { ext }, n} + \mathbf {f} ^ {\text { nonmech }, n} \right] + \tag {5.4.4} \\ \mathbf {M} \left[ \frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {u} ^ {n} + \frac {1}{\beta \Delta t} \mathbf {v} ^ {n} + \left(\frac {1}{2 \beta} - 1\right) \mathbf {a} ^ {n} \right] + \\ \mathbf {C} \left[ \frac {(1 + \alpha_ {H}) \gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} ^ {n} + \left\{\frac {(1 + \alpha_ {H}) \gamma}{\beta} - 1 \right\} \mathbf {v} ^ {n} + \Delta t (1 + \alpha_ {H}) \left(\frac {\gamma}{2 \beta} - 1\right) \mathbf {a} ^ {n} \right] + \alpha_ {H} \mathbf {K} \mathbf {u} ^ {n} \\ \end{array} +$$ + +(5.4.4)에서 우변 $f^{eff}$ 은 외력 및 시간스텝 n 에서 이미 계산된 변위, 속도, 가속도에 의하여 결정된다. 우변이 결정되면 앞 절에서 설명된 연립방정식 해법을 이용하여 $n+1$ 에서의 변위 벡터 $u_{n+1}$ 을 계산할 수 있으며, 계산된 변위를 Newmark 차분식 (5.4.3)에 대입하여 $n+1$ 에서의 속도와 가속도를 얻을 수 있다. 구조물의 과도응답은 이러한 일련의 과정을 반복하는 시간적분 과정을 통해서 이루어진다. + +(5.4.4) 좌변의 유효강성 행렬( $K^{eff}$ )은 시간스텝이 일정하게 유지되는 경우 한번 분해된 행렬을 재활용하여 전후진 대입과정만을 반복함으로써 효과적인 해석이 가능하다. + +HHT- $\alpha$ 시간적분법은 $\gamma=(1-2\alpha_{H})/2$ , $\beta=(1-\alpha_{H})^{2}/4$ 의 경우 무조건적 안정성 (unconditional stability)을 갖으며, $\alpha_{H}=0$ 인 경우 평균 가속도(average acceleration)를 사용하는 Newmark 방법으로 특수화된다. midas NFX 에서는 $\alpha_{H}=-0.05$ 를 기본값으로 사용한다. + + + +• 내연적 직접 시간적분법에서의 자동 시간스텝 제어 + +직접 시간적분법에 의한 선형 과도응답해석에서는 일반적으로 고정된 시간스텝을 사용한다. 이는 시간스텝의 변화에 따른 강성행렬의 재분해에 의한 계산비용의 증가 그리고, 급격한 시간스텝 변화에 따른 노이즈의 발생을 피하기 위해서이다. 이러한 측면에서 고정 시간스텝의 결정은 해석 이전에 이루어지는 것이보다 적당하고, midas NFX에서는 사용자의 편이를 위하여 최저차 유연 진동모드(또는 최장 유연 주기)를 기준으로, 주기내에 시간스텝의 개수를 사용자가 지정할 수 있도록 하는 방법을 제공한다. 또한, 급격한 하중의 변화에 의해 발생된노이즈의 효과적인 제어를 위하여 중간스텝 잔여력(half-step residual)을 기반으로 한 자동 시간스텝 제어방법을 포함한다. + +• 감쇠(Damping) 효과 + +midas NFX에서는 고려하는 감쇠의 종류로는 질량비례감쇠(mass-proportionaldamping), 강성비례감쇠(stiffness-proportional damping) 및 구조감쇠(structuraldamping)가 있다. 그리고 5.3.2절에서 언급된 바와 같이 모드 중첩법의 경우에만 적용되는 모드 감쇠가 있다. 선형 동적응답 해석에서 감쇠의 효과는 다음과같은 형태로 감쇠행렬 에 적용되게 된다. + +$$ +\mathbf {C} = \alpha_ {j} ^ {e} \mathbf {M} _ {j} ^ {e} + \beta_ {j} ^ {e} \mathbf {K} _ {j} ^ {e} + \frac {\eta}{\omega_ {d}} \mathbf {K} + \frac {1}{\omega_ {d} ^ {e}} \eta_ {j} ^ {e} \mathbf {K} _ {j} ^ {e} + \mathbf {B} \tag {5.4.5} +$$ + +a : j 번째 요소에 대한 요소 질량비례 감쇠계수 + +: j번째 요소에 대한 요소 강성비례 감쇠계수 + +M : j번째 요소의 요소질량행렬 + +K : j번째 요소의 요소강성행렬 + +n,@d : 전역 구조감쇠 계수 및 전역 구조감쇠 지배주파수 + +n : j 번째 요소의 요소 구조감쇠 + +: 요소 구조감쇠 지배주파수 + +B : 감쇠 요소(Damper, Bush 등)로 인한 감쇠행렬 + +• 모드 중첩법의 적용 + + + +모드 중첩법을 이용한 시간적분을 사용하기 위해 모드 평형방정식 (5.3.6)의 질량을 1로 맞춤으로써 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. + +$$ +\ddot {\xi} _ {i} (t) + \overline {{{C}}} _ {i j} \dot {\xi} _ {j} (t) + \omega_ {i} ^ {2} \xi_ {i} (t) = p _ {i} (t) = p _ {i} (t - \Delta t) + \frac {\Delta p _ {i}}{\Delta t} t \tag {5.4.6} +$$ + +$$ +\overline {{\boldsymbol {C}}} _ {i j} = [ \overline {{\boldsymbol {C}}} ] _ {i j} = [ \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \boldsymbol {\mathbf {C}} \boldsymbol {\Phi} ] _ {i j} +$$ + +모드 중첩법을 이용한 시간적분은 모드 감쇠행렬 $\overline{C}_{ij}$ 의 연성 상태에 따라 다음과 같이 두 가지로 구분되어 적용된다. + +① 비연성 감쇠계 (uncoupled system) + +모드 감쇠행렬 $\overline{C}_{ij}$ 이 대각화되어 연성이 제거되면 응답이 모드마다 독립적으로 해석되며, 각 시간스텝에서의 변위와 속도는 이전 시간스텝에서의 변위와 속도에 의해 다음 식과 같이 결정된다. i 번째 모드에 대한 모드별 적분계수 $a_{\alpha\beta}^{i}$ , $b_{\alpha\beta}^{i}$ 는 (5.4.6)의 특이해(particular solution)와 일반해(homogeneous solution)를 구하여 초기조건(이전 시간스텝에서의 변위와 속도)을 적용하면 얻을 수 있다. + +$$ +\left[ \begin{array}{l} \xi_ {i} ^ {n + 1} \\ \dot {\xi} _ {i} ^ {n + 1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} a _ {1 1} ^ {i} & a _ {1 2} ^ {i} \\ a _ {2 1} ^ {i} & a _ {2 2} ^ {i} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \xi_ {i} ^ {n} \\ \dot {\xi} _ {i} ^ {n} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} b _ {1 1} ^ {i} & b _ {1 2} ^ {i} \\ b _ {2 1} ^ {i} & b _ {2 2} ^ {i} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} p _ {i} ^ {n} \\ p _ {i} ^ {n + 1} \end{array} \right] \tag {5.4.7} +$$ + +② 연성감쇠계 (coupled system) + +모드 감쇠행렬의 연성이 제거되지 않는 경우 모드 간 연성을 고려해야 하므로 앞에서처럼 모드마다 독립적으로 해석할 수가 없다. 이런 경우 midas NFX에서는 모드 감쇠행렬을 다음과 같이 대각 성분( $\overline{\mathbf{C}}_{diag}$ )과 비대각 성분( $\overline{\mathbf{C}}_{off}$ )으로 나누어서 비대각 성분으로 인한 감쇠력을 외부 하중으로 취급하여 해석한다. + +$$ +\overline {{{\mathbf {C}}}} = \overline {{{\mathbf {C}}}} _ {\text { diag }} + \overline {{{\mathbf {C}}}} _ {\text { off }} \tag {5.4.8} +$$ + +이 경우에는 모드 변위는 독립이고 모드 속도는 연성되어 다음과 같이 연립방정식이 구성되며 시간스텝이 고정이면 직접 시간적분법과 마찬가지로 행렬 재분해를 하지 않고 풀 수 있다. + + + +$$ +\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {I} & \mathbf {B} _ {1 2} \overline {{\mathbf {C}}} _ {\text {off}} ^ {T} \\ 0 & \mathbf {I} + \mathbf {B} _ {2 2} \overline {{\mathbf {C}}} _ {\text {off}} ^ {T} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol {\xi} ^ {n + 1} \\ \dot {\boldsymbol {\xi}} ^ {n + 1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} _ {1 1} & \mathbf {A} _ {1 2} \\ \mathbf {A} _ {2 1} & \mathbf {A} _ {2 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol {\xi} ^ {n} \\ \dot {\boldsymbol {\xi}} ^ {n} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {B} _ {1 1} & \mathbf {B} _ {1 2} \\ \mathbf {B} _ {2 1} & \mathbf {B} _ {2 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {p} ^ {n} - \overline {{\mathbf {C}}} _ {\text {off}} ^ {T} \dot {\boldsymbol {\xi}} ^ {n} \\ \mathbf {p} ^ {n + 1} \end{array} \right] \\ \mathbf {A} _ {\alpha \beta} = \operatorname{diag} \left(a _ {\alpha \beta} ^ {i}\right) \tag {5.4.9} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\mathbf {B} _ {\alpha \beta} = d i a g (b _ {\alpha \beta} ^ {i}) +$$ + +\- 모드 중첩법에서의 초기조건 (Initial condition) + +초기 변위와 초기 속도가 주어졌을 때 모드 좌표계에서의 초기 변위 $\xi_{i}^{0}$ 와 초기 속도 $\dot{\xi}_{i}^{0}$ 는 다음과 같이 정의된다. 모든 모드를 사용하면 등식이 성립하며 모드의 일부가 사용되면 근사 관계식이 된다. + +$$ +\xi_ {i} ^ {0} = \frac {1}{m _ {i}} \phi_ {i} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {u} _ {0} \tag {5.4.10} +$$ + +$$ +\dot {\xi} _ {i} ^ {0} = \frac {1}{m _ {i}} \phi_ {i} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {v} _ {0} +$$ + +$\phi_{i}$ : i 번째 고유모드 형상 + +$u_{0}$ : 초기 변위 + +$v_{0}$ : 초기 속도 + +# 5.4.2 주파수 응답 + +주파수 응답 해석은 일정한 주파수로 진동하는 하중에 대한 구조물의 응답을 계산하는 방법이다. 주파수 응답 해석에서 모든 하중은 주파수 영역에서 정의되며 가진 주파수에 따른 함수로 표현된다. 즉, 회전 가진 주파수(angular excitation frequency)가 ω 일 때 주파수 응답 해석에서의 하중은 다음과 같이 복소 조화함수를 이용해 나타낼 수 있으며 + +$$ +\mathbf {f} (t) = \mathbf {f} (\omega) e ^ {i \omega t} \tag {5.4.11} +$$ + +그에 따른 응답 역시 같은 형태로 표현할 수 있다. + + + +$$ +\mathbf {u} (t) = \mathbf {u} (\omega) e ^ {i \omega t} \tag {5.4.12} +$$ + +이를 이용하면 운동방정식은 다음과 같은 형태로 표현이 된다. + +$$ +\left[ - \omega^ {2} \mathbf {M} + i \omega \mathbf {C} + \mathbf {K} \right] \mathbf {u} (\omega) = \mathbf {f} (\omega) \tag {5.4.13} +$$ + +여기서 하중과 변위는 모두 복소수로 표현이 되는데 midas NFX에서는 복소수 데이터를 크기(magnitude)/위상각(phase angle) 또는 실수부(real component)/허수부(imaginary component)의 두 가지 형태로 출력할 수 있다. 복소수 값을 크기/위상각으로 표현하는 경우 크기값은 해당 하중 또는 변위의 진동주기 내에서의 최대값을 나타내고 위상각은 진동주기 내에서 최대값이 나타나는 위치(각)를 나타내게 된다. 반면 실수부/허수부로 복소수 값을 표현하는 경우 실수부는 진동주기 시작점에서의 해당 하중 또는 변위의 크기가 되며 허수부는 1/4 주기 ( $\pi/2$ )가 지났을 때의 하중 또는 변위가 되어 진동주기에 따라 그 값이 변화하게 되는 것을 나타낸다. 크기/위상각과 실수부/허수부의 관계를 식으로 나타내면 다음과 같다. + +$$ +u = \sqrt {u _ {r} ^ {2} + u _ {i} ^ {2}} \quad : \exists \text { 7 } | (\text { magnitude }) +$$ + +$$ +\theta = \tan^ {- 1} \left(u _ {i} / u _ {r}\right): \text { 위상각 (phase angle) } +$$ + +$$ +u _ {r} = u \cos \theta \quad : \text { 실수부(real component) } +$$ + +$$ +u _ {i} = u \sin \theta \quad : \text { 허수부(imaginary component) } +$$ + +\- 직접법에 의한 주파수 응답 해석 (Direct frequency response analysis) + +주파수 응답 해석을 위해 직접법을 이용하는 경우 (5.4.13)을 그대로 연립방정식으로 풀면 주파수 응답 $\mathbf{u}(\omega)$ 을 구할 수 있다. 감쇠가 없는 경우 (5.4.13)은 실수 연립방정식이 되지만 감쇠가 있는 경우에는 복소수 연립방정식을 풀어야 한다. 직접법을 사용하는 경우 해는 정확하게 구할 수 있지만 매 가진 주파수마다 연립방정식을 다시 구성해서 풀어야 하므로 문제가 조금 크거나 가진 주파수가 많은 경우에는 계산이 매우 비효율적이 된다. + + + +• 모드 중첩법에 의한 주파수 응답 해석 (Modal frequency response analysis)주파수 응답 해석에 모드 중첩법을 적용하기 위해 모드 평형방정식 (5.3.6)에(5.4.11)과 (5.4.12)를 대입하면 다음과 같이 표현된다. + +$$ +\left[ - \omega^ {2} \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} + i \omega \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\Phi} + \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi} \right] \boldsymbol {\xi} (\omega) = \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {f} (\omega) = \mathbf {p} (\omega) \tag {5.4.14} +$$ + +여기서 모드 감쇠행렬 이 0이거나 대각화되어 연성(coupling)이 제거되면(5.3.8)과 마찬가지로 (5.4.14)도 모드별로 완전히 분리되어 다음과 같이 i번째 모드 변위 를 간단하게 구할 수 있다. + +$$ +\xi_ {i} (\omega) = \frac {p _ {i} (\omega)}{- \omega^ {2} m _ {i} + i \omega b _ {i} + k _ {i}} \tag {5.4.15} +$$ + +이와 같이 모드 중첩법에 의해 모드 감쇠행렬의 연성이 제거되는 경우 한 번의고유치해석만 수행되고 나면 매 가진 주파수 별 계산은 매우 효율적으로 진행될수 있으므로 문제가 상대적으로 크고 주파수의 개수가 많은 경우 직접법에 비하여 정확도는 다소 떨어지지만 매우 효율적으로 계산이 될 수 있다. 그러나 모드감쇠행렬의 연성이 남아있는 경우에는 고유모드 수 개수로 축소된 연립방정식을매 가진 주파수마다 다시 풀어야 하므로 효율성이 상대적으로 크게 떨어지게 된다. + +# 5.4.3 랜덤 응답 + +가진원(loading source)으로부터 불규칙하게 변동하는 랜덤 하중을 받는 물체는시간에 따라 매우 복잡한 응답을 나타내며 랜덤 응답의 크기는 평균, 표준 편차,확률 등의 통계적인 특성값을 통해서 설명된다. 랜덤 응답 해석(randomresponse analysis)의 예로는 지진에 의한 지반 운동, 바람에 의한 높은 건물들의흔들림 등이 있으며 이런 운동은 주로 파워 스펙트럼 밀도(power spectraldensity)를 통해서 기술된다. + + + +![](images/page-207_68ba1fa26db25a575101f3377905c4605993264ff766c5f33591d9fc2fbd8945.jpg) + +
+line + +| Time Point | Value | +| ---------- | ----- | +| 1 | 0.1 | +| 2 | 0.3 | +| 3 | 0.2 | +| 4 | 0.4 | +| 5 | 0.1 | +| 6 | 0.5 | +| 7 | 0.3 | +| 8 | 0.2 | +| 9 | 0.4 | +| 10 | 0.1 | +| 11 | 0.6 | +| 12 | 0.3 | +| 13 | 0.2 | +| 14 | 0.5 | +| 15 | 0.4 | +| 16 | 0.1 | +| 17 | 0.7 | +| 18 | 0.3 | +| 19 | 0.2 | +| 20 | 0.4 | +| 21 | 0.1 | +| 22 | 0.6 | +| 23 | 0.3 | +| 24 | 0.2 | +| 25 | 0.5 | +| 26 | 0.4 | +| 27 | 0.1 | +| 28 | 0.8 | +| 29 | 0.3 | +| 30 | 0.2 | +| 31 | 0.4 | +| 32 | 0.1 | +| 33 | 0.7 | +| 34 | 0.3 | +| 35 | 0.2 | +| 36 | 0.5 | +| 37 | 0.4 | +| 38 | 0.1 | +| 39 | 0.6 | +| 40 | 0.3 | +| 41 | 0.2 | +| 42 | 0.4 | +| 43 | 0.1 | +| 44 | 0.8 | +| 45 | 0.3 | +| 46 | 0.2 | +| 47 | 0.5 | +| 48 | 0.4 | +| 49 | 0.1 | +| 50 | 0.7 | +| 51 | 0.3 | +| 52 | 0.2 | +| 53 | 0.4 | +| 54 | 0.1 | +| 55 | 0.6 | +| 56 | 0.3 | +| 57 | 0.2 | +| 58 | 0.5 | +| 59 | 0.4 | +| 60 | 0.1 | +| 61 | 0.8 | +| 62 | 0.3 | +| 63 | 0.2 | +| 64 | 0.4 | +| 65 | 0.1 | +| 66 | 0.7 | +| 67 | 0.3 | +| 68 | 0.2 | +| 69 | 0.5 | +| 70 | 0.4 | +| 71 | 0.1 | +| 72 | 0.6 | +| 73 | 0.3 | +| 74 | 0.2 | +| 75 | 0.4 | +| 76 | 0.1 | +| 77 | 0.8 | +| 78 | 0.3 | +| 79 | 0.2 | +| 80 | 0.2 | +| 81 | 0.5 | +| 82 | 0.4 | +| 83 | 0.1 | +| 84 | 0.7 | +| 85 | 0.3 | +| 86 | 0.2 | +| 87 | 0.4 | +| 88 | 0.1 | +| 89 | 0.6 | +| 90 | 0.3 | +| 91 | 0.2 | +| 92 | 0.5 | +| 93 | 0.4 | +| 94 | 0.1 | +| 95 | 0.8 | +| 96 | 0.3 | +| 97 | 0.2 | +| 98 | 0.4 | +| 99 | 0.1 | +| 100 | 0.7 | +
+ +그림 5.4.1 랜덤 하중 + +midas NFX에서 랜덤 응답 해석은 주파수 응답 해석의 결과를 후처리하는 과정이다. 먼저 입력에 대한 출력의 비율인 전달 함수(transfer function)를 단위 하중조건에 대한 주파수 응답으로서 계산하고 여기에 가진원의 파워 스펙트럼 밀도를 곱하여 응답의 파워 스펙트럼 밀도를 얻는다. 하중 조건이 여러 개이면 이들의 주파수 응답을 공통의 주파수 영역에서 동시에 해석한다. 주파수 응답 해석에 사용되는 각각의 하중은 서로 구별되는 랜덤 가진원을 나타내며 여러 절점또는 요소에 작용할 수 있다. 랜덤 응답 해석 결과로는 응답의 파워 스펙트럼밀도 외에 RMS(root mean square)와 제로크로싱(number of positive zerocrossing)이 있다. + +# • 랜덤 응답의 통계적 특성값 + +두 절점 와 에서의 물리량 $u _ { i }$ 와 $u _ { j }$ 의 상호 상관 함수(cross-correlationfunction) $R _ { i j } ( \tau ) \frac { \underline { { \alpha } } } { \equiv }$ (5.4.16)과 같이 정의한다. 특별히 동일한 두 절점에서의 값을자기 상관 함수(autocorrelation function) $R _ { j } ( \tau )$ 라고 한다. 여기서 $R _ { j } ( 0 ) \equiv ~ u _ { j } ^ { 2 } \ : \underline { { \circ } } |$ 시간 평균값으로서 구조물의 파손 해석에 사용된다. + +$$ +R _ {i j} (\tau) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {0} ^ {T} u _ {i} (t) u _ {j} (t - \tau) d \tau \tag {5.4.16} +$$ + +$$ +R _ {j} (\tau) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {0} ^ {T} u _ {j} (t) u _ {j} (t - \tau) d t +$$ + +두 절점 와 에서의 물리량 $u _ { j }$ 와 $\boldsymbol { u } _ { k }$ 의 상호 스펙트럼 밀도(cross spectraldensity) $S _ { j k } ( \omega )$ 와 물리량 $u _ { j }$ 의 파워 스펙트럼 밀도 $S _ { j } ( \omega ) \overset { \smile } { = } ( 5 . 4 . 1 7 ) \underline { { \beth } } \vdash$ 같이 정 + + + +의된다. + +$$ +S _ {j k} (\omega) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {2}{T} \int_ {0} ^ {T} e ^ {- i \omega t} u _ {j} (t) d t \int_ {0} ^ {T} e ^ {i \omega t} u _ {k} (t) d t \tag {5.4.17} +$$ + +$$ +S _ {j} (\omega) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {2}{T} \left| \int_ {0} ^ {T} e ^ {- i \omega t} u _ {j} (t) d t \right| ^ {2} +$$ + +푸리에 적분(Fourier integral)을 사용하면 자기 상관 함수와 파워 스펙트럼 밀도가 푸리에 변환쌍(Fourier transform pair)인 것을 보여줄 수 있다. + +$$ +R _ {j} (\tau) = \frac {1}{2 \pi} \int_ {0} ^ {\infty} S _ {j} (\omega) \cos (\omega t) d \omega \tag {5.4.18} +$$ + +\- 랜덤 응답의 계산 + +전달 함수 $H_{ja}(\omega)$ 는 절점 a 에 가진원 $Q_{a}(\omega)$ 가 작용할 때 절점 j 에서 응답 $u_{j}(\omega)$ 을 결정하는 구조물의 특성이다. + +$$ +u _ {j} (\omega) = H _ {j a} (\omega) Q _ {a} (\omega) \quad \text {(no summation)} \tag {5.4.19} +$$ + +$u_{j}(\omega)$ : 물리량 $u_{j}(t)$ 의 푸리에 변환(Fourier transform) + +$Q_{a}(\omega)$ : 가진원 $Q_{a}(t)$ 의 푸리에 변환 + +응답의 파워 스펙트럼 밀도 $S_{j}(\omega)$ 는 가진원의 파워 스펙트럼 밀도 $S_{a}(\omega)$ 와 (5.4.20)의 관계가 있다. 만약 여러 가진원들이 통계적으로 독립이어서 상관 관계가 없으면 전체 응답의 파워 스펙트럼 밀도는 각각의 독립적인 가진원들의 응답의 파워 스펙트럼 밀도들의 단순합과 같다. + +$$ +S _ {j} (\omega) = \left| H _ {j a} (\omega) \right| ^ {2} S _ {a} (\omega) \tag {5.4.20} +$$ + +만약 여러 가진원들이 통계적으로 상관 관계를 가지고 있으면 그 강도는 상호스펙트럼 밀도에 의해서 표현되고 응답의 파워 스펙트럼 밀도는 (5.4.21)과 같이 구할 수 있다. + + + +$$ +S _ {j} (\omega) = \sum_ {a} \sum_ {b} H _ {j a} (\omega) H _ {j b} ^ {*} (\omega) S _ {a b} (\omega) \tag {5.4.21} +$$ + +$H_{jb}^{*}(\omega)$ : 전달함수 $H_{jb}(\omega)$ 의 컬레 복소수(complex conjugate) + +랜덤 응답 해석을 할 때 가진원이 반드시 하나의 절점에서의 힘일 필요는 없다. 여러 작용 힘들이 완전히 연성되어 있어도 그들을 모두 몽친 것을 하나의 가진원으로 취급할 수도 있다. 그리고 그 응답은 내력, 응력, 변위, 속도, 가속도 등의 임의의 물리량이 될 수 있다. + +# - RMS와 제로크로싱 + +평균이 영인 정규 분포를 따르는 랜덤 응답의 RMS는 1σ의 표준 편차를 나타내는데 응답 시간의 68.27% 동안 응답의 크기가 RMS 이내의 값이라고 평가할 수 있다. 크기가 RMS의 2배 또는 3배에 해당하는 응답들은 정규 분포의 2σ 또는 3σ의 표준 편차 영역에 포함되며 각각 응답 시간의 95.45%, 99.73% 동안 응답의 크기가 RMS 이내의 값이라고 평가할 수 있다. 제로크로싱은 단위 시간당 zero축을 음의 값에서 양의 값으로 넘어가는 수로서 응답의 파워스펙트럼 밀도의 총합이 작용하는 대표 주파수에 해당한다. RMS와 제로크로싱의 크기는 로그-로그 보간에 의한 적분을 사용하여 각각 (5.4.22)와 (5.4.23)에 의해 계산된다. + +$$ +S _ {R M S} = R _ {j} (0) ^ {1 / 2} = \left(\frac {1}{2 \pi} \int_ {0} ^ {\infty} S _ {j} (\omega) d \omega\right) ^ {1 / 2} \tag {5.4.22} +$$ + +$$ +N _ {0} = \left(\frac {\int_ {0} ^ {\infty} \omega^ {2} S _ {j} (\omega) d \omega}{\int_ {0} ^ {\infty} S _ {j} (\omega) d \omega}\right) ^ {1 / 2} \tag {5.4.23} +$$ + + + +![](images/page-210_e0681e759800349d5ccd665ddbeb15d6e3d8fd34a8daa340e116cf4f3cd2bd77.jpg) + +
+line + +| Time | Sxx | von Mises | +|------|------|-----------| +| 0 | 0.0 | 0.0 | +| 1 | 0.5 | 0.7 | +| 2 | 0.0 | 0.0 | +| 3 | -0.5 | -0.7 | +| 4 | 0.0 | 0.0 | +| 5 | 0.5 | 0.7 | +| 6 | 0.0 | 0.0 | +| 7 | -0.5 | -0.7 | +| 8 | 0.0 | 0.0 | +| 9 | 0.5 | 0.7 | +| 10 | 0.0 | 0.0 | +| 11 | -0.5 | -0.7 | +| 12 | 0.0 | 0.0 | +| 13 | 0.5 | 0.7 | +| 14 | 0.0 | 0.0 | +| 15 | -0.5 | -0.7 | +| 16 | 0.0 | 0.0 | +| 17 | 0.5 | 0.7 | +| 18 | 0.0 | 0.0 | +| 19 | -0.5 | -0.7 | +| 20 | 0.0 | 0.0 | +
+ +그림 5.4.2 동적 해석의 von Mises 응력 + +• von Mises 응력 + +그림 5.4.2와 같이 동적 하중을 받는 구조물의 von Mises 응력의 확률 분포는다른 응답과는 달리 정규 분포도 아니고 평균값이 영인 것도 아니므로 vonMises 응력의 파워 스펙트럼 밀도는 응력 성분의 파워 스펙트럼 밀도를 사용해서 계산할 수 없다. midas NFX에서는 랜덤 응답 해석에서 von Mises 응력의 파워 스펙트럼 밀도를 계산하기 위해 Segalman7 등이 제시한 방법을 사용한다.이 방법은 위상 정보를 필요로 하며 복소수 응력에서만 사용할 수 있다. + +$$ +S _ {\sigma \nu M} (\omega_ {i}) = \operatorname{trace} ([ A ] \cdot [ S _ {\sigma \sigma} (\omega_ {i}) ]) +$$ + +$$ +S _ {\sigma \sigma} (f _ {m}) = \overline {{s}} s ^ {T} \tag {5.4.24} +$$ + +$$ +s ^ {T} = \left\lfloor H _ {s _ {x}} \quad H _ {s _ {y}} \quad H _ {s _ {z}} \quad H _ {s _ {x y}} \quad H _ {s _ {x z}} \quad H _ {s _ {y z}} \right\rfloor +$$ + +: 복소수 응력 성분 + +: 켤레 복소수 응력 성분 + +3차원 응력 상태일 때 행렬 는 (5.4.25)과 같다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_022.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_022.md new file mode 100644 index 00000000..faf55eed --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_022.md @@ -0,0 +1,288 @@ + + +$$ +[ A ] = \left( \begin{array}{c c c c c c} 1 & - 0. 5 & - 0. 5 & 0 & 0 & 0 \\ - 0. 5 & 1 & - 0. 5 & 0 & 0 & 0 \\ - 0. 5 & - 0. 5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \tag {5.4.25} +$$ + +# 5.4.4 응답 스펙트럼 + +응답 스펙트럼 해석(response spectrum analysis)은 지반운동(base motion: 경계조건으로 구속된 절점들의 동일한 흔들림), 특히 지진에 의한 구조물의 응답을평가하기 위한 방법중 하나로 내진설계시 사용하는 가장 보편화된 해석방법이다.이 방법은 시스템의 응답을 선형으로 가정하여 최대응답만을 평가하는 기법이기때문에 비선형성이 지배적이거나 특정시간스텝의 동시성을 고려한 결과가 중요한 문제에 대해서는 5.4.1절이나 5.7절의 시간적분법을 이용한 해석이 적절하다.최대응답은 미리 정의된 스펙트럼 함수에 상응하는 모드별 응답에 모드 참여율을 고려한 모드조합으로 평가된다. 여기서, 모드별 최대응답의 동시성은 고려하지 않고 모드별 응답의 최대값을 조합방법을 통하여 최대응답을 계산하기 때문에 응답 스펙트럼 해석결과는 시간적분법에 대한 근사해라고 볼 수 있다. 따라서, 스펙트럼 함수를 특정 가진 가속도 혹은 특정 지진파에 대해서 정의한다면응답 스펙트럼 해석의 결과는 해당 입력 가속도에 대한 선형 과도응답 해석결과의 근사 최대값을 얻을 수 있다. 하지만, 특정지역이나 국가에 발생한 역사지진파를 통계하여 만들어진 설계 응답 스펙트럼을 사용하여 내진설계를 위한 해석결과를 얻는 경우가 더 일반적이다. + +• 모드별 스펙트럼 응답 + +응답 스펙트럼 해석을 위한 동적 평형방정식은 (5.3.6)과 같으며, 모드별 최대응답은 스펙트럼 데이터를 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다. + + + +$$ +\xi_ {i} ^ {\max} = \max \left[ \xi_ {i} (t) \right] = \Gamma_ {i} S _ {D} \left(\omega_ {i}, \zeta_ {i}\right) +$$ + +$$ +\dot {\xi} _ {i} ^ {\max} = \max \left[ \dot {\xi} _ {i} (t) \right] = \Gamma_ {i} S _ {V} \left(\omega_ {i}, \zeta_ {i}\right) \tag {5.4.26} +$$ + +$$ +\ddot {\xi} _ {i} ^ {\max} = \max \left[ \ddot {\xi} _ {i} (t) \right] = \Gamma_ {i} S _ {A} \left(\omega_ {i}, \zeta_ {i}\right) +$$ + +$S_{D}(\omega_{i},\zeta_{i})$ : 변위 스펙트럼 데이터 + +$S_{V}(\omega_{i},\zeta_{i})$ : 속도 스펙트럼 데이터 + +$S_{A}(\omega_{i},\zeta_{i})$ : 가속도 스펙트럼 데이터 + +$\Gamma_{i}$ : i 번째 모드의 방향별 참여계수 + +(5.4.26)을 (5.3.5)에 대입하면 모드별 변위, 속도, 가속도 최대값 기여도를 스펙트럼 데이터에 대한 식으로 표현할 수 있다. + +$$ +u _ {i} ^ {\max} = \phi_ {i} \Gamma_ {i} S _ {D} (\omega_ {i}, \zeta_ {i}) = \phi_ {i} \Gamma_ {i} S _ {A} (\omega_ {i}, \zeta_ {i}) / \omega_ {i} ^ {2} +$$ + +$$ +v _ {i} ^ {\max} = \phi_ {i} \Gamma_ {i} S _ {V} \left(\omega_ {i}, \zeta_ {i}\right) = \phi_ {i} \Gamma_ {i} S _ {A} \left(\omega_ {i}, \zeta_ {i}\right) / \omega_ {i} \tag {5.4.27} +$$ + +$$ +a _ {i} ^ {\max} = \phi_ {i} \Gamma_ {i} S _ {A} \left(\omega_ {i}, \zeta_ {i}\right) +$$ + +스펙트럼 데이터의 한 점은 고유주기(혹은 고유주파수)에 대한 모드별 절대최대 응답값으로 정의되며, 모드 감쇠비에 따른 영향을 포함한다. 특정 가속도 이력에 대한 응답스펙트럼은 주기별 최대응답의 크기가 매우 다양하기 때문에 매우 복잡한 형태의 그래프로 표현되지만, 설계 응답스펙트럼의 경우에는 그림 5.4.3처럼 로그 스케일상에서 단순한 직선의 조합형태로 표현되는 것이 일반적이다. + + + +![](images/page-213_31475b24f8ad45762a5192b044e97fd2d4dded126e07579889a340c35629f2b9.jpg) + +
+line + +| Period(sec) | ζ = 0.02 | ζ = 0.05 | ζ = 0.10 | +| ----------- | -------- | -------- | -------- | +| 0.01 | 200 | 200 | 200 | +| 0.1 | 200 | 200 | 200 | +| 1 | 350 | 300 | 250 | +| 10 | 100 | 100 | 100 | +
+ +그림 5.4.3 가속도 응답스펙트럼 예 + +• 모드조합(Modal combination) 방법 + +모드별 최대 물리량(변위, 응력, 부재력, 반력 등의 각 성분별 최대값)을라고 하고, 실제 물리량의 최대값이 각 모드의 최대값의 합이라고가정한다면 각 모드의 최대값을 더하면 되겠지만, 각 모드의 최대값이 동일한시간스텝에 발생한다는 보장이 없기 때문에 단순 선형중첩만으로는 모드별최대값에서 실제 물리량의 최대값을 표현하기에는 무리가 있다. + +$$ +R _ {\max} \neq \sum_ {i = 1} ^ {N} R _ {i} ^ {\max} \tag {5.4.28} +$$ + +따라서, 근사적으로 최대값을 평가할 수 있는 모드조합 방법의 도입이 필요하다.모드 간의 간섭 특성이나 감쇠의 영향 등을 고려한 여러가지 모드조합 방법이제안되었지만 모든 경우에 대해서 적절한 근사값을 주는 방법은 없기 때문에제안된 여러가지 모드조합 방법들의 특성을 잘 파악할 필요가 있다. + +① Summation of the absolute value (ABS) + +$$ +R _ {\max} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \left| R _ {i} ^ {\max} \right| \tag {5.4.29} +$$ + + + +이 방법은 모든 모드별 응답이 동일한 위상을 가진다는 가정으로 모드별 절대 최대값이 모두 동일한 시간에 발생한다고 판단하므로 가장 보수적인 결과를 제공한다. + +② Square root of the summation of the squares (SRSS) + +$$ +R _ {\max} = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {N} \left(R _ {i} ^ {\max}\right) ^ {2}} \tag {5.4.30} +$$ + +이 방법은 각 모드가 충분히 분리되어있는 경우에 적절한 결과를 제공한다. + +③ Naval research laboratory method (NRL) + +$$ +R _ {\max} = \left| R _ {m} ^ {\max} \right| + \sqrt {\sum_ {i = 1 , i \neq m} ^ {N} \left(R _ {i} ^ {\max}\right) ^ {2}} \tag {5.4.31} +$$ + +이 방법은 SRSS 방법에서 절대 최대값을 가지는 모드(m) 하나만 분리한 형태이다. SRSS 방법과 마찬가지로, 각 모드가 충분히 분리되어있는 경우에 적절한 결과를 제공한다. + +위의 방법들은 모드가 인접되어있지 않고 충분히 분리되어있는 경우에만 유효하므로, 미국 원자력 규제 위원회 (NRC)의 regulatory guide 1.92(1976)에서는 여러 모드가 인접한 경우에 대해서도 최대값을 적절하게 평가할 수 있는 방법들을 제안하고 있다. + +④ Ten percent method (TENP) + +$$ +R _ {\max} = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {N} \left(R _ {i} ^ {2} + 2 \sum_ {j = 1} ^ {i - 1} \left| R _ {i} R _ {j} \right|\right)} \tag {5.4.32} +$$ + + + +이 방법은 SRSS 방법에 10% 이내로 인접한 주파수의 모든 모드들에 대한 영향을 포함시킨 방법이다. 여기서 두 모드 i,j (j + +형상 등 방향성을 가지는 결과에 대해서는 적절한 부호를 가질 필요가 있다.조합된 결과의 부호를 결정하는 방법 중에 가장 보편적인 방법은주요모드(major mode)의 부호를 따라가는 것이다. 주요모드는 방향성분별로질량참여율이 가장 큰 모드들 중에서 스펙트럼이 정의된 방향(하중방향)과 가장근접한 방향에 해당하는 모드로 정의된다. + +# • 스펙트럼 데이터의 보정 + +스펙트럼 데이터는 (5.4.26)에서도 알 수 있듯이, 고유 주파수와 모드 감쇠비에대한 함수형태이다. 하지만, 사용자가 해석을 수행하기 전에 주파수를 알 수없다는 문제 때문에 스펙트럼 데이터는 일정한 간격을 가진 테이블 형태로정의된다. 따라서, 구조물의 해당 주파수나 주기에 해당하는 스펙트럼값을 읽을때는 보간(interpolation) 방법을 사용하게 되는데 고유주기 변화에 대한스펙트럼 응답을 가장 잘 표현하는 로그선형보간(linear interpolation on alogarithmic scale)을 사용하는 것이 일반적이다. 스펙트럼 데이터를 여러감쇠비에 대해서 작성하여 입력한 경우도 구조물의 모드 감쇠비에 대해서 고유주파수와 동일한 방법으로 로그선형보간을 수행한다. + +하지만, 스펙트럼 데이터를 한 개의 감쇠비에 대해서만 작성한 경우에는 보간할수 있는 데이터가 없기 때문에, 한 개의 감쇠비에 대한 특별한 보정방법이필요하다. 일본도로교시방서(2002)에서는 (5.4.37)과 같이 감쇠비에 대한보정계수(correction factor)를 제안하고 있다. + +$$ +C _ {D} (\zeta) = \frac {1 . 5}{4 0 \zeta + 1} + 0. 5 \tag {5.4.37} +$$ + + + +![](images/page-217_c40b7ae55645d42885922dd4a92c6a7bb7f7dc2a05391a766ceed22c0a6f5567.jpg) + +
+line + +| Damping ratio, ζ | Correction factor, C_D | +| ---------------- | ---------------------- | +| 0.05 | 1.0 | +
+ +그림 5.4.4 감쇠계수별 보정계수 + +감쇠비가 0.05 일 때 $C_{D}=1$ 이므로(점 A), (5.4.37)은 스펙트럼데이터의 감쇠비가 0.05 일때의 보정계수임을 내포하고 있다. 따라서, 스펙트럼데이터의 감쇠비가 0.05 가 아닌 경우에는 (5.4.38)처럼 각 감쇠에 해당하는 보정계수의 비율을 최종 감쇠 보정계수로 적용한다. + +$$ +\overline {{{R}}} _ {i} ^ {\max} = \frac {C _ {D} \left(\zeta_ {i}\right)}{C _ {D} \left(\zeta_ {\text { spectrum }}\right)} R _ {i} ^ {\max} \tag {5.4.38} +$$ + + + +# 5.5 비선형 유한요소 해법 + +비선형 유한요소 해법은 반복계산의 누적 증분해(incremental solution)가 정해에 수렴하도록 하는 방법이며 그림 5.5.1에서 그려진 바와 같이 진행된다. + +![](images/page-218_55b5f9531bd3897c765ca5db86911b074ebaba19b97464a3ec27e11cbeaa8d74.jpg) + +
+line + +| u | f | +|---------|---------| +| t | f_ext | +| t+Δt | f_ext | +| g_i | f_int,i | +| Δu_i | f_ext | +| δu_{i+1} | f_ext | +| Δu_{i+1} | f_ext | +| t+Δt | f_ext | +
+ +그림 5.5.1 누적 증분해와 비선형 유한요소법의 수렴 과정 + +그림에서, $^{t}f_{ext}$ 와 $^{t+\Delta t}f_{ext}$ 는 각각 시간 t 와 시간 $t+\Delta t$ 에서의 외력을 의미하고, 시간 t 와 시간 $t+\Delta t$ 사이에서의 해와 증분해는 다음과 같은 관계로 표시될 수 있다. + +$$ +{ } ^ { t + \Delta t } \mathbf { u } = { } ^ { t } \mathbf { u } + \Delta \mathbf { u } \tag {5.5.1} +$$ + +Δu : 시간 증분 Δt 사이에 발생하는 증분해 + +시간 증분 $\Delta t$ 구간에서 비선형 해석을 위한 반복계산이 이루어지면 증분해의 누적은 다음과 같다. + +$$ +\Delta \mathbf {u} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \delta \mathbf {u} _ {i} \quad \text { or } \quad \Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta \mathbf {u} _ {i} + \delta \mathbf {u} _ {i + 1} \tag {5.5.2} +$$ + +$\Delta u_{i}$ : i 번째 반복계산까지 발생한 누적 증분해 + +$\delta\mathbf{u}_{i+1}$ : $i+1$ 번째 반복계산에서 발생한 증분해 + +$\delta\mathbf{u}_{i+1}$ 는 접선강성행렬 (tangential stiffness matrix) $\mathbf{K}_{i+1}$ 을 사용하여 다음과 같이 + + + +선형 연립방정식을 통해 계산된다. + +$$ +\delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \mathbf {K} _ {i + 1} ^ {- 1} \mathbf {g} _ {i} \tag {5.5.3} +$$ + +$g_{i}$ : 불평형력 (residual force, unbalance force) + +불평형력 $g_{i}$ 는 다음과 같이 외력 $t+\Delta t f_{ext}$ 과 내력 $f_{int,i}$ 의 차이로 표현된다. + +$$ +\mathbf {g} _ {i} = ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} - \mathbf {f} _ {\text { int }, i} \tag {5.5.4} +$$ + +반복계산 과정 (5.5.2)-(5.5.4)는 사용자가 지정한 수렴조건(convergence criteria)을 만족할 때까지 반복되며, 수렴조건은 부재력, 변위 또는 에너지 등의 변화량으로 판단한다. + +# - 선탐색 (Line search) + +midas NFX에서는 위에 설명된 기본적인 반복해법의 성능 향상을 위하여 선탐색 기능을 제공한다. 선탐색의 기본적인 개념은 (5.5.3)에서 계산된 증분해 $\delta u_{i+1}$ 를 누적 증분해에 더하는 과정에서, 스칼라 값 $\eta$ 를 도입하여 정확도를 향상시키는데 있다. 이러한 경우 누적 증분해는 다음과 같은 방식으로 계산된다. + +$$ +\Delta \mathbf {u} _ {i + 1} = \Delta \mathbf {u} _ {i} + \eta \delta \mathbf {u} _ {i + 1} \tag {5.5.5} +$$ + +위 식에서 계산된 $\Delta u_{i+1}$ 가 평형상태를 만족한다고 가정했을 경우, 평형상태에서 총 포텐셜 에너지가 고정된다는 원리(principal of stationary total potential energy)을 이용하면, 선탐색 문제는 총 포텐셜 에너지의 $\eta$ 에 대한 미분값이 0이 되는 $\eta$ 를 찾는 문제로 귀결된다. + +$$ +s (\eta) = \delta \mathbf {u} _ {i + 1} ^ {T} \mathbf {g} (\eta) = 0 \tag {5.5.6} +$$ + + + +![](images/page-220_d77fb52f6113bb54947758dedbc6dfb37c25d510ff4fec40e08bbd898ffd1c22.jpg) + +
+text_image + +Potential energy +Acceptable range +tan⁻¹(−s(η)) +Exact solution +δuᵢ₊₁ᵀg(η) = 0 +
+ +그림 5.5.2 선탐색 알고리즘의 개념도 + +에너지의 미분값 $s(\eta)$ 가 $\eta$ 에 대해 선형으로 변한다고 가정했을 때, (5.5.6)을 만족하는 $\eta$ 는 다음과 같이 계산된다. + +$$ +\eta_ {2} = \frac {- s (\eta = 0)}{s (\eta = 1) - s (\eta = 0)} \tag {5.5.7} +$$ + +여기서 η 가 0인 경우와 1인 경우의 기울기는 다음과 같이 나타낼 수 있다. + +$$ +s (\eta = 0) = \delta \mathbf {u} _ {i + 1} ^ {T} \mathbf {g} _ {i} \tag {5.5.8} +$$ + +$$ +s (\eta = 1) = \delta \mathbf {u} _ {i + 1} ^ {T} \mathbf {g} _ {i + 1} +$$ + +실제로 선탐색 알고리즘을 위해 가정한 것들이 정확히 만족되지 않기 때문에, (5.5.7)에 의해 계산된 $s(\eta)$ 는 일반적으로 0이 아니다. midas NFX에서는 $s(\eta_{j}) / s(\eta = 0)$ 값이 사용자가 지정한 일정 값 미만으로 계산될 때까지 반복적으로 위에서 설명된 절차가 적용된다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_023.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_023.md new file mode 100644 index 00000000..3a135514 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_023.md @@ -0,0 +1,273 @@ + + +• 초기 강성법(Initial stiffness), 뉴튼 랩슨법(Newton Raphson), 수정(Modified)뉴튼 랩슨법 + +비선형해석에서의 반복법은 접선강성의 계산 시점에 따라 초기 강성법, 뉴튼 랩슨법, 수정 뉴튼 랩슨법 등으로 분류할 수 있다. 초기 강성법에서는 해석 시작시점에서 계산된 접선강성을 계속 유지하고, 뉴튼 랩슨법에서는 매 반복 계산마다 접선강성을 재계산하며, 수정 뉴튼 랩슨법은 외력의 변화가 발생하는 시점에서 접선강성을 계산한다. 접선강성행렬의 계산 및 행렬분해는 많은 계산시간을요구하므로 초기 강성법과 수정 뉴튼 랩슨 법을 활용할 경우, 수렴 과정에 문제가 발생하지 않는다면 뉴튼 랩슨 법에 비해 빠른 계산 속도를 얻을 수 있다.midas NFX에서는 초기 강성법 또는 뉴튼 랩슨법 등을 명시적으로 구분하지 않고, 접선강성의 재계산 시점을 정의함으로써 모든 반복법의 효과를 얻을 수 있다. + +• 자동 강성행렬 재계산 + +해석하고자 하는 모델의 비선형 정도, 수렴해의 평탄함 정도 등 해당 문제 특징에 따라 적절한 접선강성의 계산 시점을 선택하는 것이 중요하다. midas NFX에서는 비선형 유한요소 해법으로 해당 비선형 문제의 특징, 즉 반복계산시의 수렴특징, 발산여부 등을 종합적으로 판단하여 적절한 시점에 강성행렬을 재계산하는 자동 강성행렬 재계산 방법(automatic tangential stiffness update)을 제공한다. 기본적으로 다음과 같은 몇 가지 조건이 만족되는 경우 강성행렬 재계산이수행된다. + +► 사용자가 지정한 최대 반복계산 횟수보다 예상되는 반복계산 횟수가 많은 경우 + +► 해가 발산하는 것으로 판정된 경우 + +• 수렴조건, 발산 판정 및 하중 이등분(Load bisection) + +반복법에서 해의 수렴여부는 부재력 기준(force norm), 변위기준(displacementnorm), 그리고 에너지 기준(energy norm) 으로 판정한다. + +$$ +\text { Force norm ratio } = \frac {\sqrt {\mathbf {g} _ {i} ^ {T} \mathbf {g} _ {i}}}{\sqrt {\Delta \mathbf {f} _ {\text { int } , i} ^ {T} \Delta \mathbf {f} _ {\text { int } , i}}} \tag {5.5.9} +$$ + + + +$$ +\text { Displacement norm ratio } = \frac {\sqrt {\delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \delta \mathbf {u} _ {i}}}{\sqrt {\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {u} _ {i}}} \tag {5.5.10} +$$ + +$$ +\text { Energy magnitude ratio } = \left| \frac {\delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {g} _ {i}}{\Delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \Delta \mathbf {f} _ {\text { int } , i}} \right| \tag {5.5.11} +$$ + +midas NFX에서는 이 세 가지 기준 중 하나 또는 다수의 기준에 대하여 사용자가 제공하는 허용치와의 비교를 통해 수렴여부를 판단한다. + +• 발산 판정 및 하중단계 이등분 + +해의 발산 여부는 자동 강성행렬 재계산 방법에서 중요한 기준으로 사용되며,발산율(divergence rate) 을 기초로 결정한다. + +$$ +E _ {i} = \frac {\delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {g} _ {i}}{\delta \mathbf {u} _ {i} ^ {T} \mathbf {g} _ {i - 1}} \tag {5.5.12} +$$ + +발산율의 절대값이 1보다 큰 경우( ), 비선형해석의 해는 발산의 위험이 있다고 판단할 수 있으며, 강성행렬 재계산 또는 하중 이등분 등의 알고리즘 상필요한 조치가 취해진다. + +하중 이등분은 해가 발산하거나 수렴을 위한 반복계산 수가 사용자가 지정한 최대 횟수보다 많아지는 등, 현재 하중단계의 증분이 수렴해를 얻기에 너무 크다고 판정되는 경우에 적용된다. 기존 하중 증분을 이등분하여 반복계산을 재시작함으로써, 부적절한 하중 증분 크기에 대해 유연하게 대처할 수 있다. midasNFX에서는 사용자가 지정하는 최대 이등분 단계(maximum bisection level)에 도달할 때까지 필요에 따라 하중 이등분 자동 수행하게 된다. + +• 시간 증분 자동조절 + +비선형 해석의 효율성을 증가시키기 위하여, midas NFX에는 시간 증분의 크기를비선형해석의 수렴성을 기초로 자동 조절하는 기능을 포함한다. 기본이 되는 시간 증분 크기와 최대 증분 크기는 사용자의 입력에 의하여 결정된다. 비선형 해석에서 시간증분 자동 조절 기능을 사용할 경우, 이전 증분단계에서 수렴하는데필요로 하는 반복계산 횟수를 기초로 다음 단계의 시간 증분크기는 증가 또는 + + + +감소된다. + +$$ +\Delta t ^ {i + 1} = n _ {s} \Delta t ^ {i} \quad (1 \leq n _ {s} \leq n _ {s, \max}) \tag {5.5.13} +$$ + +여기서 증분 조정계수 ( )는 자연수로 국한시킴으로써 사용자가 의도한 시점또는 하중 크기에서 비선형 해를 최대한 얻을 수 있도록 하였다. 증분 조정계수는 초기 증분량을 의미하는 1을 최소로, 사용자가 제공하는 값 $\mathit { \Pi } _ { . \mathit { n } _ { s , \operatorname* { m a x } } }$ )을 최대로하는 범위를 갖는다. + + + +# 5.6 대변형을 고려한 변형률/응력 산출법 + +기하학적 선형 해석에서는 변형 전과 변형 후의 형상 차이를 고려하지 않고 변형률과 응력을 정의한다. 일반적으로 기하학적 선형 해석에서의 변형률은 다음과 같이 정의된다. + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} = \frac {1}{2} \left[ \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}}\right) ^ {T} \right] \tag {5.6.1} +$$ + +u : 변위 + +X : 변형 전 또는 변형 후 좌표 + +대변형을 고려한 기하학적 비선형 해석에서는 다양한 방법으로 변형률을 정의할수 있으며, 가상일(virtual work)을 정의할 수 있도록 각각의 변형률에 대응하는응력이 존재한다. + +• 변형률의 정의 + +midas NFX에서 사용하는 변형률로는 그린(Green) 변형률 또는 그린-라그랑지(Green-Lagrange) 변형률과 변형 속도(rate of deformation) 또는 변형률 속도(strain rate)가 있다. 그린 변형률 텐서 는 다음과 같이 정의된다. + +$$ +d s ^ {2} - d S ^ {2} = 2 d \mathbf {X} \cdot \mathbf {E} \cdot d \mathbf {X} \tag {5.6.2} +$$ + +X : 구조물 특정 위치의 변형 전 좌표 + +그린 변형률은 변형 전 미소 길이 의 제곱과 변형 후 미소길이 제곱의차이에 관한 값으로 볼 수 있다. 그린 변형률 텐서는 다음과 같이 변형구배(deformation gradient)에 의해 정의할 수 있다. + +$$ +\mathbf {E} = \frac {1}{2} (\mathbf {F} ^ {T} \cdot \mathbf {F} - \mathbf {I}) \tag {5.6.3} +$$ + +강체운동만이 있는 경우 그린 변형률은 발생하지 않기 때문에, 변형을 측정하는값으로 타당하다. midas NFX에서는 초탄성 재료와 같이 에너지 포텐셜이 존재하 + + + +는 경우에 대하여, 계산의 편이를 도모하기 위해 그린 변형률을 사용하지만 사용자에게 제공되는 결과값은 다음과 같이 주 신장률(principal stretch)과 그 방향을 이용하여 계산한 변형률이다. + +$$ +\boldsymbol {\varepsilon} = \ln \left(\lambda_ {1}\right) \mathbf {n} _ {1} \mathbf {n} _ {1} + \ln \left(\lambda_ {2}\right) \mathbf {n} _ {2} \mathbf {n} _ {2} + \ln \left(\lambda_ {3}\right) \mathbf {n} _ {3} \mathbf {n} _ {3} \tag {5.6.4} +$$ + +: 주 신장률 + +n : 주 신장 방향 벡터 (변형 후) + +초탄성 재료 이외의 모든 재료에 대하여 사용되는 변형속도는 속도구배(velocitygradient)에 의해 다음과 같이 정의된다. + +$$ +\mathbf {D} = \frac {1}{2} (\mathbf {L} + \mathbf {L} ^ {T}) = \text { sym } [ \frac {\partial \mathbf {v}}{\partial \mathbf {x}} ] \tag {5.6.5} +$$ + +V : 속도 벡터 + +X : 구조물 특정 위치의 변형 후 좌표 + +즉 속도구배 텐서의 대칭 부분에 해당한다. 변형속도는 미소길이 제곱의 변화율에 대한 값으로 볼 수 있다. + +$$ +\frac {\partial d s ^ {2}}{\partial t} = 2 d \mathbf {x} \cdot \mathbf {D} \cdot d \mathbf {x} \tag {5.6.6} +$$ + +변형속도 역시 강체운동만이 존재하는 경우 발생하지 않으며, 그린 변형률과 다음의 관계를 가진다. + +$$ +\mathbf {D} = \mathbf {F} ^ {- T} \cdot \dot {\mathbf {E}} \cdot \mathbf {F} ^ {- 1} \tag {5.6.7} +$$ + +변형속도는 시간에 대한 변화율이기 때문에 이를 시간적분하여 변형률로 사용하는 것이 일반적이다. midas NFX에서 초탄성 재료 이외의 재료에 대해 기하학적비선형성을 고려한 해석을 수행하게 되면 변형속도를 시간에 대해 적분하여 변형률로 산출한다. + + + +• 응력의 정의 + +기하학적으로 변형이 커지게 되면 응력 또한 다양한 방법으로 정의할 수 있다.midas NFX에서 사용하는 응력의 종류로는 코시 응력(Cauchy stress)와 2ndPK(Piola-Kirchhoff) 응력이 있다. + +코시 응력은 현재 형상에 대해 평형 방정식을 만족하는 값이기 때문에 진응력(true stress)이라 불리기도 하며, 다음과 같이 정의된다. + +$$ +\mathbf {n} \cdot \boldsymbol {\sigma} \cdot d \Gamma = d \mathbf {f} = \mathbf {t} d \Gamma \tag {5.6.8} +$$ + +변형 전 형상에 대해 코시응력은 다음과 같이 2nd PK 응력으로 변환할 수 있다. + +$$ +\mathbf {S} = \boldsymbol {J} \mathbf {F} ^ {- 1} \cdot \boldsymbol {\sigma} \cdot \mathbf {F} ^ {- T} \tag {5.6.9} +$$ + +![](images/page-226_fd454b6f1961e88a09ecdc755545b83227d1a20dc3806d65ea89576e8aaf7fe3.jpg) + +
+text_image + +n₀ +df +dΓ₀ +
+ +Reference configuration + +![](images/page-226_1d9213de0175992199cbb52d9cddc7a7c6b4cadb4ba1196d6b9643b4bb913fb7.jpg) + +
+text_image + +n +df +dΓ +F⁻¹df +
+ +Current configuration +그림 5.6.1 응력 정의를 위한 변형 전/후 형상과 힘의 방향 + +2nd PK 응력은 물리적 의미가 명쾌하지 않으나 그린 변형률과 짝을 이루어 운동 방정식을 기술하는 데 유용하기 때문에 에너지 포텐셜을 가지는 고무 재료등의 거동을 정의하는 데 주로 사용된다. 특히 초탄성 재료의 경우 그린 변형률로부터 2nd PK 응력을 계산할 수 있기 때문에 별도의 응력 적분법이 필요하지않다. 그러나, 초탄성 재료의 경우에도 사용자에게 제공되는 응력값은 (5.6.9)의 + + + +역변환을 통하여 계산된 코시 응력이다. 그 밖의 모든 재료에 대하여는 다음에설명하는 응력과 변형률의 적분 방법을 이용한다. + +• 응력 속도와 변형률 속도의 적분 + +탄소성 재료, 점탄성 재료 등은 에너지 포텐셜이 주어지지 않는 반면 변형률 속도(strain rate)와 객관 응력 속도(objective stress rate)의 관계식으로 표현되는 구성방정식을 이용한다. midas NFX에서 사용하는 Jaumann 응력속도는 다음과 같이 정의할 수 있다. + +$$ +\dot {\boldsymbol {\sigma}} ^ {J} = \dot {\boldsymbol {\sigma}} - \mathbf {w} \cdot \boldsymbol {\sigma} - \boldsymbol {\sigma} \cdot \mathbf {w} ^ {T} \tag {5.6.10} +$$ + +변형률 속도와 객관 응력속도는 재료의 구성 방정식에 의해 관계를 가진다. + +$$ +\dot {\boldsymbol {\sigma}} ^ {J} = \mathbf {C}: \mathbf {D} \tag {5.6.10} +$$ + +스텝 에서 계산된 응력과 변형률 증분을 이용하여 스텝 에서의 응력을 계산하기 위해 (5.6.10)에 중앙 차분법(central difference)을 반영하고 구조물의 회전을 고려한다. + +$$ +\boldsymbol {\sigma} _ {n + 1} = \Delta \mathbf {R} \cdot \boldsymbol {\sigma} _ {n} \cdot \Delta \mathbf {R} ^ {T} + \mathbf {C}: \Delta \boldsymbol {\varepsilon} \tag {5.6.11} +$$ + +회전량 증분 은 다음과 같이8 계산함으로써 객관 응력 증분(incrementallyobjective) 조건을 만족할 수 있다. + +$$ +\Delta \mathbf {R} = (\mathbf {I} - \frac {1}{2} \Delta \mathbf {W}) ^ {- 1} (\mathbf {I} + \frac {1}{2} \Delta \mathbf {W}) \tag {5.6.12} +$$ + +특히 변형률 증분과 증분 스핀(spin) 계산은 형상에서 수행함에 주의해야 한다. + + + +$$ +\Delta \boldsymbol {\varepsilon} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \Delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x} _ {n + 1 / 2}} + \left[ \frac {\partial \Delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x} _ {n + 1 / 2}} \right] ^ {T}\right), \Delta \mathbf {w} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \Delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x} _ {n + 1 / 2}} - \left[ \frac {\partial \Delta \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x} _ {n + 1 / 2}} \right] ^ {T}\right) \tag {5.6.13} +$$ + +변형률 속도의 적분 역시 (5.6.11)과 동일하게 구조물의 회전량 증분 을 이용하여 계산한다. + + + +# 5.7 비선형 동적응답 해법 + +midas NFX는 내연적 시간적분법(implicit time integration) 또는 외연적 시간적분법(explicit time integration)을 사용하는 비선형 과도응답해석(nonlinear transient response analysis)을 모두 지원한다. + +# 5.7.1 외연적 시간 적분법 + +midas NFX의 비선형 과도응답해석에서는 외연적 시간적분법 중 가장 널리 알려진 중앙차분법(central difference)을 이용하며 집중질량(lumped mass)을 사용하고 있다. + +# - 중앙차분법 + +시간축에 대해 중앙차분법을 적용하기 위해 시간 스텝을 $n+1/2$ 과 $n, n+1$ 스텝으로 구분한다. + +$$ +\Delta t ^ {n + 1 / 2} = t ^ {n + 1} - t ^ {n}, t ^ {n + 1 / 2} = \frac {1}{2} \left(t ^ {n + 1} + t ^ {n}\right), \Delta t ^ {n} = t ^ {n + 1 / 2} - t ^ {n - 1 / 2} \tag {5.7.1} +$$ + +스텝 $n+1$ 에서의 변위는 $n+1/2$ 스텍에서의 속도로부터 계산할 수 있다. + +$$ +\dot {\mathbf {u}} ^ {n + 1 / 2} = \mathbf {v} ^ {n + 1 / 2} = \frac {1}{\Delta t ^ {n + 1 / 2}} \left(\mathbf {u} ^ {n + 1} - \mathbf {u} ^ {n}\right), \quad \mathbf {u} ^ {n + 1} = \mathbf {u} ^ {n} + \Delta t ^ {n + 1 / 2} \mathbf {v} ^ {n + 1 / 2} \tag {5.7.2} +$$ + +스텝 $n+1/2$ 에서의 속도는 n 스텝에서 가속도로부터 다음과 같이 계산한다. + +$$ +\ddot {\mathbf {u}} ^ {n} = \mathbf {a} ^ {n} = \frac {1}{\Delta t ^ {n}} \left(\mathbf {v} ^ {n + 1 / 2} - \mathbf {v} ^ {n - 1 / 2}\right), \quad \mathbf {v} ^ {n + 1 / 2} = \mathbf {v} ^ {n - 1 / 2} + \Delta t ^ {n} \mathbf {a} ^ {n} \tag {5.7.3} +$$ + +가속도 $a^{n}$ 은 공간상의 이산화(discretization)을 통하여 다음과 같이 계산할 수 있다. + + + +$$ +\mathbf {M} \mathbf {a} ^ {n} = \mathbf {f} ^ {n} = \mathbf {f} ^ {\text { ext }} (\mathbf {u} ^ {n}, t ^ {n}) - \mathbf {f} ^ {\text { int }} (\mathbf {u} ^ {n}, t ^ {n}), \mathbf {a} ^ {n} = \mathbf {M} ^ {- 1} \left(\mathbf {f} ^ {\text { ext }} (\mathbf {u} ^ {n}, t ^ {n}) - \mathbf {f} ^ {\text { int }} (\mathbf {u} ^ {n}, t ^ {n})\right) \tag {5.7.4} +$$ + +결국, 중앙차분법을 이용한 외연적 시간 적분은 (5.7.2)에서 (5.7.4)까지의 반복계산을 의미한다. 또한 대각행렬 형태의 질량 행렬을 사용함으로써, (5.7.4)에서 역행렬을 계산하는 비용은 무시할 수 있을 정도가 된다. 이러한 절차를 시간 증분에 대하여 반복함으로써 구조물의 과도 특성, 준정적 특성 등, 일반적인 동적 거동을 효과적으로 모사할 수 있다. + +# - 임계 시간스텝(Critical time step) + +외연적 시간적분법은 알고리즘이 비교적 간단하며 강건한 특성을 갖는데 반해, 조건적 안정성(conditional stability)을 갖는다. 즉, 시간스텝의 크기가 임계값을 초과하였을 경우, 외연적 시간적분법에 의한 해는 발산하게 된다. 여기서 임계시간스텝(critical time step) 또는 최소 안정시간스텝(minimum stable time step) 은해석 모델에 포함된 모든 요소 각각의 안정시간스텝 중 가장 작은 값을 기준으로 계산된다. + +$$ +\Delta t = \alpha \Delta t _ {c r i t}, \Delta t _ {c r i t} = \frac {2}{\omega_ {\max}} \leq \min _ {e} \left\{\Delta t _ {e} \right\} \tag {5.7.5} +$$ + +여기서 $\omega_{max}$ 는 선형화된 시스템 전체의 최대 주파수이며, $\Delta t_{e}$ 는 각 요소의 최소 안정시간스텝이다. 또한 $\alpha$ 는 외연적 시간적분법의 안정성을 향상시키기 위하여 도입되는 스케일 팩터로 0.85를 기본값으로 갖는다. + +각 요소의 최소 안정시간스텝은 일반적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. + +$$ +\Delta t _ {e} = \frac {2}{\omega_ {\max} ^ {e}} = \min \left\{\frac {L _ {e}}{c _ {d}} \right\} \tag {5.7.7} +$$ + +여기서 $L_{e}$ 는 요소의 특성길이(characteristic length)이며, 일반적으로 요소 내부를 통과하는 가장 짧은 직선 길이로 볼 수 있다. 팽창파 속도(dilation wave speed) $c_{d}$ 는 재료 물성치에 의해 계산되며, 예를 들어 3차원 요소에 대해 다음과 같다. diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_024.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_024.md new file mode 100644 index 00000000..0624627a --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_024.md @@ -0,0 +1,242 @@ + + +$$ +c _ {d} = \sqrt {\frac {M}{\rho}} = \sqrt {\frac {K + 4 \mu / 3}{\rho}} \tag {5.7.8} +$$ + +M : 팽창탄성계수 + +$K , \mu$ : 체적탄성계수, 전단강성 + +임계 시간스텝은 물리적인 시간에 비해 굉장히 작은 경우가 많기 때문에 외연적시간적분법의 효과적인 수행을 위해서는 각 요소의 내력 계산 시간이 매우짧아야 한다. 이로 인하여 고차 형상함수를 가지는 요소는 대부분 사용하지않으며, 저차 형상함수를 가지는 요소 역시 가장 계산량이 적은 요소 기법을사용하는 것이 좋다. 표 5.7.1 은 midas NFX 에서 외연적 시간적분법에 사용할수 있는 요소 기법과 절점 수를 정리한 것이다. + +표 5.7.1 외연적 동해석에서 사용 가능한 요소 종류 +
요소 종류요소 기법, 절점 수
Rod2 절점
Bar2 절점
Pipe2 절점
Cable2 절점
Membrane, Shell3 절점, 변위가정법/ANS4 절점, 감차적분(안정화 기법)
Surface3 절점4 절점, 감차적분6 절점
Solid4 절점5 절점, 감차적분6 절점, 감차적분(안정화 기법)8 절점, 감차적분(안정화 기법)10 절점, 비적합요소
+ + + +\- 인공 체적점성(Artificial bulk viscosity) + +외연적 동해석에서, 특히 고속거동을 하는 구조물의 해석을 위해서는 인공 체적 점성을 이용하여 중앙차분법의 해를 안정화 시켜야 한다. 체적 점성 효과는 요소의 내력(internal force)을 변화시킴으로써 반영할 수 있다. + +체적 점성에 의한 압력은 체적 변형률 속도(volumetric strain rate)가 음수인 경우, 즉 압축되는 형태로 속도가 발생하는 경우와 양수인 경우에 따라 다르게 적용되며, 체적 변형률 속도에 선형으로 비례하는 부분과 제곱에 비례하는 부분으로 나눈다. 예를 들어 3차원 요소에 대해 다음과 같이 압력을 계산한다. + +$$ +p = \left\{ \begin{array}{l l} \rho L _ {e} (C _ {0} L _ {e} \dot {\varepsilon} _ {k k} ^ {2} - C _ {1} c _ {d} \dot {\varepsilon} _ {k k}) & \text { if } \dot {\varepsilon} _ {k k} < 0 \\ \rho L _ {e} (- C _ {1} c _ {d} \dot {\varepsilon} _ {k k}) & \text { if } \dot {\varepsilon} _ {k k} \geq 0 \end{array} \right. \tag {5.7.9} +$$ + +위식에 의해 계산된 압력은 요소의 응력에 반영되어 내력을 변화시키게 된다. 단, 점성 효과에 의한 압력은 요소의 변형률과 구성방정식으로부터 발생한 응력이 아니기 때문에 내력 계산에만 반영함에 주의해야 한다. $C_{0}, C_{1}$ 는 인공 체적점성 계산을 위한 계수이며 기본값은 각각 1.5, 0.06 이다. + +굽힘(bending)을 받는 요소, 예를 들어 bar 또는 shell 요소의 경우에는 굽힘 변형에 대한 인공 체적점성이 (5.7.9)에 추가적으로 반영된다. + +\- 감쇠(Damping) 효과 + +외연적 시간적분법에서 고려하는 감쇠의 종류로는 질량비례감쇠(mass-proportional damping), 강성비례감쇠(stiffness-proportional damping) 그리고 구조감쇠(structural damping)가 있다. 외연적 동해석 평형방정식 (5.7.4)에서 감쇠 효과를 고려하면 다음과 같이 표현된다. + +$$ +\mathbf {M} \mathbf {a} ^ {n} = \mathbf {f} ^ {\text { ext }} (\mathbf {u} ^ {n}, t ^ {n}) - \mathbf {f} ^ {\text { int }} (\mathbf {u} ^ {n}, t ^ {n}) - \mathbf {f} _ {\text { damp }} ^ {n - 1 / 2} \tag {5.7.10} +$$ + +$$ +\mathbf {f} _ {d a m p} ^ {n - 1 / 2} = \sum_ {e} \alpha_ {e} \mathbf {M} _ {e} \mathbf {v} _ {e} ^ {n - 1 / 2} + \sum_ {e} \left(\beta_ {e} + \frac {\eta}{\omega_ {d} ^ {e}}\right) \int_ {\Omega_ {e}} \mathbf {C}: \dot {\varepsilon} d \Omega \tag {5.7.11} +$$ + +$\alpha_{e}$ : 질량비례 감쇠계수 + +$\beta_{e}$ : 강성비례 감쇠계수 + +$\eta, \omega_{d}^{e}$ : 구조감쇠 계수, 지배 주파수 + +C : 재료의 탄성계수 + + + +여기서 질량비례감쇠, 강성비례감쇠와 구조감쇠는 인공체적점성과 유사하게 각요소 차원에서 계산된다. + +중앙차분법에서 감쇠는 임계시간스텝을 작게 만드는 경향을 보인다. 일반적으로감쇠가 시간스텝을 변화시키는 효과는 임계 감쇠비를 통하여 반영된다. + +$$ +\Delta t _ {e} = \frac {2}{\omega_ {\max} ^ {e}} (\sqrt {\xi^ {2} + 1} - \xi) \tag {5.7.12} +$$ + +임계 감쇠비 는 질량비례 감쇠와 강성비례 및 구조감쇠를 반영하여 다음과 같이 계산한다. + +$$ +\xi = \frac {\alpha_ {e}}{2 \omega} + \frac {(\beta_ {e} + \eta / \omega_ {d} ^ {e}) \omega}{2} \tag {5.7.13} +$$ + +감쇠에 의한 임계시간스텝의 변화뿐만 아니라, 앞서 설명한 인공체적점성 또한임계시간스텝의 변화를 초래하게 된다. 일반적으로 감쇠와 체적점성은 시간스텝을 작게 만들기 때문에 불필요하게 큰 값을 사용하는 것을 권장하지 않는다. + +# • 질량 스케일(Mass scaling) + +질량 스케일은 외연적 동해석의 계산비용을 줄이기 위하여 도입된 방법이다. 앞서 설명한 바와 같이 임계 시간스텝이 요소의 크기에 의해 결정되기 때문에, 일부 요소의 크기가 매우 작거나 변형에 의해 작아지는 경우, 이들 요소에 의해전체 해석의 안정시간 스텝이 매우 작게 결정되며, 결과적으로 해석 시간과 비용이 매우 증가하는 경우가 발생한다. 질량 스케일 방법은 이러한 요소의 질량을 인위적으로 증가시킴으로써 팽창파 속도를 작게 하고, 결과적으로 안정시간스텝이 커지도록 하는 역할을 한다. + +주의할 부분은 과도한 질량 스케일의 적용으로 인한 시스템 전체 질량 및 관성력의 변화가 동적 특성을 변화시킬 정도 반영되는 경우이다. midas NFX에서는질량 스케일 방법을 적용하는데 있어서 다음과 같은 방법들을 제공한다. + + + +► 전체 모델의 질량을 일관되게 스케일 하는 방법 +► 시간스텝을 특정 값으로 맞추는 방법 + +또한, 질량 스케일에 의한 계산비용의 증가를 감안하여, 질량 스케일의 빈도를조절할 수 있는 기능을 포함한다. + +• 조인트 조건 부가법 + +조인트(Joint) 요소는 요소에 속하는 두 점 간의 상대적 운동을 미리 정의된 형태로 구속하는 요소이다. 외연적 시간적분법을 사용하는 비선형 과도응답해석에서는 벌칙기법(penalty method)을 이용하여 두 절점이 지정된 상대적 거동을 하도록 구속한다. 비선형 과도응답해석에서 조인트 요소는 절점 수에 따라 1절점(그라운드점i , 절점 ), 또는 2절점(절점 )을 갖는 형태로 구별되며, 각각 6개와 12개의 자유도를 갖는다. 조인트 구속 방정식을 C 라고 했을 때, 구속방정식은 조인트 요소 자유도에 의해 표현된다. 이때, 절점 와 j 에 대한 구속력은 개략적으로 다음과 같이 표현된다. + +$$ +\mathbf {f} _ {i} = - k C \frac {\partial C}{\partial \mathbf {x} _ {i}}, \quad \mathbf {f} _ {j} = - k C \frac {\partial C}{\partial \mathbf {x} _ {j}} \tag {5.7.14} +$$ + +k : 벌칙계수 + +C : 조인트 구속 방정식 + +여기서 벌칙계수 는 외연적 시간적분법의 안정성을 확보하는 동시에 지정된상대적 거동을 정확히 모사할 수 있도록 적절한 값을 사용해야 한다. midas-NFX에서는 현 단계에서의 임계 시간스텝(critical time step)값과 선형화된 조인트운동방정식의 고유치를 이용해서 벌칙계수를 자동으로 계산한다. + + + +# 5.7.2 내연적 시간 적분법 + +midas NFX의 비선형 과도응답해석에서는 5.4.1절에서 소개된 HHT- 방법을 내연적 시간적분법으로 사용한다. 비선형 과도응답해석에서의 동적 평형방정식은(5.4.1)과 동일하며, 비선형 유한요소 해법을 이용한 반복계산을 통해서 누적 증분해를 수렴시키는 방법을 사용하여 각 시간스텝에서의 해를 구한다. (5.4.1)의동적 평형방정식으로부터 구한 불평형력은 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {g} _ {n + 1} = \mathbf {M} \ddot {\mathbf {u}} _ {n + 1} + (1 + \alpha_ {H}) \left(\mathbf {C} _ {n + 1} \dot {\mathbf {u}} _ {n + 1} + \mathbf {f} _ {\text { int }, n + 1} - \mathbf {f} _ {\text { ext }, n + 1}\right) - \alpha_ {H} \left(\mathbf {C} _ {n} \dot {\mathbf {u}} _ {n} + \mathbf {f} _ {\text { int }, n} - \mathbf {f} _ {\text { ext }, n}\right) \tag {5.7.15} +$$ + +내연적 시간 적분법 내의 비선형 해법은 기본적으로 5.5절에 소개된 방법과 동일하며, (5.7.15)의 불평형력이 0이 되는 방향으로 진행된다. 선형 과도응답해석과 마찬가지로 $\alpha _ { H } = - 0 . 0 5 \overset { \equiv } { \equiv }$ 기본값으로 사용한다. + +# • 자동 시간스텝 제어 + +내연적 비선형 과도응답해석에서는 중간스텝 불평형력을 기반으로 한 자동 시간스텝 제어방법을 지원한다. 사용자는 모델에 가해지는 외력의 크기에 대한 중간스텝 불평형력의 크기의 비를 입력하여 허용가능한 중간스텝 불평형력의 크기를정할 수 있고, 내연적 비선형 과도응답해석에서는 이를 기반으로하여 시간스텝의 크기를 제어한다. + +# • 감쇠(Damping) 효과 + +내연적 시간 적분법에서는 기본적으로 5.4.1절의 선형 동적응답 해석에서 모드감쇠를 제외한 질량비례감쇠, 강성비례감쇠 및 구조감쇠를 고려한다. 이 경우 감쇠 행렬은 (5.4.5)와 같이 구성되지만, 비선형 과도응답해석에서는 대변형에 의한회전효과가 고려된 질량행렬과 재료 비선형성이 고려된 강성행렬을 사용하여 감쇠 행렬을 구성한다. + + + +# 5.8 접촉 조건 + +접촉해석(contact analysis)은 공간상의 두 물체가 서로 맞닿을 수는 있으나, 관통할 수 없다는 조건 (non-penetration condition)을 기본 가정으로 하며, 물리적인관점에서 비선형 거동 또는 조건에 해당한다. 접촉의 종류로는 그림 5.8.1과 같이 물체간의 충돌 및 충돌 시의 마찰을 고려해서 해석하는 일반접촉(generalcontact), 미끄러짐을 반영하지 않는 거친접촉(rough contact), 그림 5.8.2와 같이해석 초기에 두 물체가 접착되어 해석이 진행되는 접착접촉(welded contact) 그리고 접선방향의 미끄러짐만을 고려하는 미끄러짐 접촉(sliding contact) 등이 있다. 이 중에서 접착접촉과 미끄러짐 접촉은 두 물체 간의 해석 초기 위치에 따라 조건이 부여되는 것으로서 선형 조건으로 볼 수 있다. + +![](images/page-236_6a3f3699bd51832f84a33061b41bbd6eb56f58bf4ba77a6ef210fc436efaaf86.jpg) + +
+text_image + +General contact +Rough contact +
+ +그림 5.8.1 일반접촉과 거친접촉의 개념 + + + +![](images/page-237_1f34a70475b4897a4423963a2384ec71c04bf83dce7eb0c4fe318e30c841cde2.jpg) + +
+text_image + +Welded contact +
+ +그림 5.8.2 접착접촉의 개념 + +• 접촉조건과 해석종류의 관계 + +midas NFX에서는 선형 구조해석 및 열전달 해석 시에 초기 인접한 물체 간의접착조건 및 미끄러짐 접촉조건을 사용할 수 있으며 접촉조건과 유사한 보간 요소를 사용할 수 있다. 보간요소는 종속절점(slave node)과 주접촉면(mastersegment)의 절점을 연결하여 이들 간의 상대 운동을 구속하는 방법이다. + +비선형 해석(정적, 동적)에서는 접착조건, 미끄러짐 접촉조건 그리고 보간요소법이외에 일반접촉과 거친접촉 조건을 사용할 수 있다. 일반접촉과 거친접촉은 비선형 조건에 해당하며 해석 기법상으로 기하학적 비선형성의 고려 여부에 따라그 거동을 달리한다. 기하학적 비선형을 고려하는 경우에는 대변위가 발생할 수있다는 가정에 의해 모든 주접촉면에 대해 접촉 가능성을 고려하는 반면, 기하학적 비선형을 고려하지 않게 되면 초기에 사용자가 지정한 거리 이내에 인접한주접촉면과 종속절점간의 접촉만을 고려하여 계산한다. + +접촉의 정의는 점-면 접촉(node to surface contact) 또는 면-면 접촉(surface tosurface contact), 그리고 단일면 접촉(single surface contact)을 선택할 수 있다.이 중 단일면 접촉은 일반접촉과 거친접촉에 대해서만 적용이 가능하다. 점-면접촉은 계산 시간이 적게 든다는 장점이 있으나 주물체의 절점이 종속물체를 관통하는 경향이 크므로 해의 정확성이 상대적으로 떨어진다. 반면에 면-면 접촉은 점-면 접촉에 비해 계산 시간이 많이 소요되나 비관통 조건을 상대적으로 정확하게 만족하므로 구조물의 거동을 비교적 정확하게 모사할 수 있다. + +삼차원 문제의 경우 위와 같은 접촉 정의를 따르며, 이차원 또는 축대칭 문제의 + + + +우, 해석 상황에 따라 접촉을 다르게 정의한다. + +먼저 이차원 외연적 비선형 해석의 경우, 해석 시간의 이점을 위해 삼차원과 동일한 접촉 방식을 따른다. 하지만 그 외 해석의 경우, 모르타 방법(mortarmethod) 이라고 알려진 접촉 해석방식을 사용한다. 이 방법은 접촉 제한조건을절점(node)에 부여하는 방식이 아닌 접촉면(interface)에 부과하는 방식으로, 절점-면 접촉 방식(node to surface contact) 보다 더 정확한 해로의 수렴성을 가지는 것으로 알려져 있다. + +접촉면에서의 접촉 제한 조건을 계산하는 방식은 아래 그림 5.8.3와 같다. 이는종속면(slave segment) 또는 비-모르타 면(non mortar segment) 에서의 적분점을 주 종속면(master segment) 또는 모르타 면(mortar segment)에 직각 투영시켜 접촉면 에서의 적분을 수행한다. 적분점의 개수는 저차요소의 경우 4개 고차요소의 경우 5개를 사용하며, 이는 패치테스트(patch-test) 를 통과하기 위한 최소한의 적분점 개수이다. + +![](images/page-238_e9d16e56b576a3057f5beccbd3c6ef10fc715bbeeb045b6e3fd60843cd260caf.jpg) + +
+text_image + +Non-mortar segment +:Integration point +Mortar segment +
+ +그림 5.8.3 모르타 접촉의 개념 + +• 접촉면의 검색 + +접촉 검색은 종속절점(slave-node)/주접촉면(master segment) 알고리즘을사용한다. 모르타 접촉의 경우, 종속 절점은 종속 요소의 (slave segment)내부의 적분점(integration point)이다. + +이 알고리즘은 종속절점과 주접촉면 간의 인접한 정도 또는 종속절점이 + + + +주접촉면을 관통한 정도에 따라 접촉 여부를 판정한다. 일반적으로 종속절점을 포함한 물체와 주접촉면을 포함한 물체는 서로 뒤바뀌어도 관계 없으나, 수치적인 관점에서 볼 때 상대적으로 강성이 큰 물체, 또는 상대적으로 요소가 조밀하지 않은 물체에 주접촉면을 정의해야 좀 더 정확한 해석 결과를 얻을 수 있다. + +실제로 종속절점과 주접촉면의 접촉여부 판정을 하기 위해서는 전역 검색(global search) 과정을 거친다. 전역 검색이란 공간 상에서 물체 혹은 접촉면이 충돌 할 수 있는 예비 종속 절점/요소들을 결정하는 과정을 의미한다. 전역 검색에 의해 결정된 종속 절점/요소와 주접촉면 집합에 대해서만 접촉검색을 수행하게 된다. + +실제로 절점또는 적분점이 주접촉면에 접촉하는 지를 파악하기 위해서는 그림 5.8.3과 같이 종속절점을 주접촉면 상에 직각 투영(orthogonal projection)해야 한다. 삼차원 접촉의 경우, 벡터 r 을 원점에서 투영된 점(A)까지의 벡터이라하고 $x_{s}$ 를 원점에서 종속절점까지의 벡터라 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. + +$$ +\frac {\partial \mathbf {r} \left(\xi_ {c} , \eta_ {c}\right)}{\partial \xi} \cdot \left[ \mathbf {x} _ {s} - \mathbf {r} \left(\xi_ {c}, \eta_ {c}\right) \right] = 0 \tag {5.8.1} +$$ + +$$ +\frac {\partial \mathbf {r} \left(\xi_ {c} , \eta_ {c}\right)}{\partial \eta} \cdot \left[ \mathbf {x} _ {s} - \mathbf {r} \left(\xi_ {c}, \eta_ {c}\right) \right] = 0 +$$ + +여기서 $(\xi_{c},\eta_{c})$ 는 접촉점(A)의 위치를 주접촉면 상의 자연좌표계로 표현한 것이다. 위식을 만족하는 $(\xi_{c},\eta_{c})$ 는 뉴튼랩슨법을 이용하여 수치적으로 계산할 수 있다. 뉴튼랩슨법을 적용하기 위한 좌표 증분 $(\Delta\xi_{c},\Delta\eta_{c})$ 은 다음과 같다. + +$$ +\left[ \begin{array}{l} \frac {\partial \mathbf {r}}{\partial \xi} \\ \frac {\partial \mathbf {r}}{\partial \eta} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} \frac {\partial \mathbf {r}}{\partial \xi} & \frac {\partial \mathbf {r}}{\partial \eta} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \Delta \xi \\ \Delta \eta \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l} \frac {\partial \mathbf {r}}{\partial \xi} \\ \frac {\partial \mathbf {r}}{\partial \eta} \end{array} \right] \left\{\mathbf {r} \left(\xi_ {c}, \eta_ {c}\right) - \mathbf {x} _ {s} \right\} \tag {5.8.2} +$$ + +위 식은 초기조건 $\left(\xi_{c},\eta_{c}\right)=(0,0)$ 을 이용한 경우, 접촉점(A) 또는 종속절점(B)의 위치가 주접촉면으로부터 멀리 떨어지지 않다면 쉽게 수렴한다. 이제 종속절점이 접촉 면을 관통했는지를 검사하고 관통한 경우에 대해서는 관통한 + + + +깊이에 비례하는 힘(접촉력)을 종속 절점과 접촉 면에 부가한다. + +![](images/page-240_0467219c6f0f8cbd6b06ec45aa3a86673b645c201a4b99ed8f59a18a650a6030.jpg) + +
+text_image + +B +n_A +A +η +ξ +
+ +그림 5.8.4 종속절점과 주접촉면 사이의 수직 관계 + +이차원, 축대칭 문제의 경우, 해당되는 자연좌표계의 개수는 2개가 아닌 이며,계산 방식은 위와 동일하다. + +# • 접촉력의 계산 + +접촉으로 판단된 종속절점과 주접촉면 사이의 변위 관계는 벌칙기법(penaltymethod)을 통하여 구속된다. midas NFX에서는 절점 사이의 갭(gap)과 접촉력을다음 (5.8.3), (5.8.4)와 같이 정의한다. + +$$ +\mathbf {g} _ {N} = \left(\mathbf {x} ^ {B} - \mathbf {x} ^ {A}\right) \cdot \mathbf {n} ^ {A} \tag {5.8.3} +$$ + +$$ +f ^ {C} = - k _ {N} g _ {N} \quad \text { if } g _ {N} < 0 \tag {5.8.4} +$$ + +$k _ { n }$ : 벌칙 계수 + +$\mathbf { x } ^ { A } , \mathbf { x } ^ { B }$ : 주접촉면 상의 점(A)와 종속절점(B)의 위치벡터 + +$\mathbf { n } ^ { A }$ : 주접촉면 상의 점(A)의 수직벡터 diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_025.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_025.md new file mode 100644 index 00000000..b93b999b --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_025.md @@ -0,0 +1,304 @@ + + +위 식에서 사용하는 벌칙계수 $k _ { N }$ 은 주접촉면과 종속절점 간에 탄성 강성을 부여하는 효과를 가지며, 값의 크기에 따라 비관통 조건을 대략적으로 만족시키게된다. 접착조건 또는 미끄러짐 접촉조건에서는 $g _ { N }$ 이 양수일 때에도 접촉력을부여하여 초기에 인접한 접촉면과 종속절점이 떨어지지 않도록 하는 효과를 반영한다. midas NFX에서는 벌칙 계수를 다음 (5.8.5)에 의해 프로그램이 자동으로계산한다. + +$$ +\text { solid elements }: k _ {i} = \frac {f _ {s} K _ {i}}{h} A _ {s i} +$$ + +$$ +\text { plane / shell elements }: k _ {i} = \frac {f _ {s} M _ {i}}{h} A _ {s i} +$$ + +$$ +h = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n 1} \frac {V _ {m i}}{A _ {m i}} + \sum_ {i = 1} ^ {n 2} A _ {m i} ^ {1 / 2}}{n 1 + n 2} \tag {5.8.5} +$$ + +$$ +f _ {s} \quad : \text { 비례계수 } +$$ + +$$ +K _ {i} \quad : \text { 체적 탄성계수 (bulk modulus) } +$$ + +$$ +M _ {i} \quad : \text { 팽창 탄성계수 } +$$ + +$$ +A _ {m i} \quad : \text { 주접촉면의 면적 } +$$ + +$$ +A _ {s i} \quad : \text { 종속절점이 분담하는 면적 } +$$ + +$$ +V _ {m i} \quad : \text { 주접촉면의 부피 } +$$ + +$$ +n _ {1} \quad : \text { solid 요소의 수 } +$$ + +$$ +n _ {2} \quad : \text { plane / shell 요소의 수 } +$$ + + + +위식에서 비례계수 $f_{s}$ 는 접촉조건의 종류 또는 해석 종류에 따라 다르게 결정되며, 사용자는 이를 변경하여 비관통 조건 또는 접착조건을 효과적으로 만족시킬 수 있다. 접착조건의 경우에는 접촉면에 수평 방향으로도 미끄러짐에 저항하는 힘을 부여하게 되는데 그 크기는 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {g} _ {T} = \left\{ \begin{array}{l} \left(\mathbf {u} ^ {B} - \mathbf {u} ^ {A}\right) \cdot \mathbf {t} _ {x} ^ {A} \\ \left(\mathbf {u} ^ {B} - \mathbf {u} ^ {A}\right) \cdot \mathbf {t} _ {y} ^ {A} \end{array} \right\} \tag {5.8.6} +$$ + +$$ +\mathbf {f} ^ {T} = k _ {T} \mathbf {g} _ {T} \tag {5.8.7} +$$ + +$k_{T}$ : 벌칙계수 + +$t_{x}^{A}, t_{y}^{A}$ : 주접촉면 상의 점 (A)에서의 수평방향 벡터 + +접착조건에서는 벌칙계수 $k_{T}$ 를 $k_{N}$ 과 같은 값으로 사용한다. + +(5.8.4)와 (5.8.7)과 같이 선형 탄성의 접촉력 또는 미끄러짐에 대한 저항력은 비선형 해석에 사용하는 일반접촉과 거친접촉 조건에 적합하지 않다. 일반접촉과 거친접촉은 갑의 부호에 따라 강성이 0에서 $k_{N}$ 으로 급격히 변화하기 때문에 수렴된 해를 얻기까지 많은 진동(oscillation) 현상이 발생할 수 있다. midas NFX에서는 이를 보완하기 위해 다음과 같이 접촉력을 수정하여 사용한다. + +$$ +f ^ {C} = 0 \quad \text { if } g _ {N} > d _ {1} +$$ + +$$ +f ^ {C} = \frac {f _ {0}}{(\exp (1) - 1)} \left[ \left(\frac {- g _ {N}}{d _ {1}} + 1\right) \left(\exp \left(\frac {- g _ {N}}{d _ {1}} + 1\right) - 1\right) \right] \quad i f - d _ {2} < g _ {N} < d _ {1} \tag {5.8.8} +$$ + +$$ +f ^ {C} = \frac {f _ {0}}{(\exp (1) - 1)} \left[ \left(\frac {d _ {2}}{d _ {1}} + 1\right) \left(\exp \left(\frac {d _ {2}}{d _ {1}} + 1\right) - 1\right) \right] + k _ {N} \left(- g _ {N} - d _ {2}\right) \quad i f \quad g _ {N} < - d _ {2} +$$ + + + +![](images/page-243_36fd92ac0bc3b54b535a69e43f1dce748eb373bf6a8ffaf07b46c7bde2bd2338.jpg) + +
+line + +| -g_N | f^C | +|------|-----| +| -d₁ | 0 | +| d₂ | f^C = exponential | +| >d₂ | f^C = linear | +
+ +그림 5.8.5 갭과 수정된 접촉력의 관계 + +수평 방향으로 미끄러짐에 대해 저항하는 힘은 수직 방향 힘이 작용하는경우에만 발생하기 때문에 더욱 복잡한 비선형성이 존재하게 된다. 이에 따라(5.8.7)을 변형하여 다음과 같이 적용한다. + +$$ +\mathbf {f} ^ {T} = \frac {k _ {T} f ^ {C}}{k _ {N} d _ {2}} \mathbf {g} _ {T} \tag {5.8.9} +$$ + +위 식은 수직 방향 접촉력과 수평 방향 힘을 비례하게 함으로써 접촉이 갑자기사라지는 순간에 발생할 수 있는 힘의 불연속성을 최소화 할 수 있다.거친접촉의 경우에는 (5.8.9)를 그대로 이용하며, 일반접촉의 경우에는추가적으로 마찰을 고려할 수 있다. 마찰에 의한 미끄러짐을 반영하기 위해파괴 함수를 다음과 같이 정의한다. + +$$ +f = \left\| \mathbf {f} ^ {T} \right\| - \mu f ^ {C} \leq 0 \tag {5.8.10} +$$ + +从 : 마찰계수 + + + +위 식을 만족하는 거동은 탄성 운동이 되며, 수평방향 이동이 커져서 위 식을만족하지 않으면 미끄러짐이 발생한다. (5.8.9)와 (5.8.10)을 비교해 보면 일정거리 이내에서의 수평방향 상대 변위는 탄성 운동을 하게 되며, 그 이상의상대 변위는 미끄러짐으로 가정했음을 알 수 있다. 마찰을 고려한 일반접촉은비대칭 강성행렬을 발생시키므로 수치적으로 계산 효율이 현저하게 저해된다.또한 마찰계수가 크거나(0.3\~0.4 이상) 수평방향 탄성계수 가 큰 경우 역시수렴성에 문제를 발생시키는 요인이 될 수 있다. + +# • 분리가능 일체접촉(Breaking-weld) + +midas NFX에서 분리가능 일체접촉 기능은 종속절점에 걸리는 접촉력이 파괴함수인 다음 (5.8.11)을 만족할 때까지는 종속절점과 주접촉면의 상대 운동을구속하는 접착 접촉과 같으며 만약 해석 중에 접촉력이 (5.8.11)식을 만족하지않으면 그 이후로는 종속절점과 주접촉면의 상대 구속이 해제되면서 일반접촉과같다. + +$$ +\left(\frac {\max \left(C F ^ {n} , 0\right)}{F _ {f} ^ {n}}\right) ^ {2} + \left(\frac {C F ^ {s}}{F _ {f} ^ {s}}\right) ^ {2} \leq 1 \tag {5.8.11} +$$ + +F : 수직 파괴 힘 + +F : 수평 파괴 힘 + +CF" : 수직 방향 접촉력 + +CFs : 수평 방향 접촉력 + +(5.8.11)에서 수직 방향의 접촉력의 경우 인장력만 고려되며 압축력을 고려하지않는다. + +만약 파괴 힘이 수직 혹은 수평 한쪽 방향에 대해서만 주어지면 접촉력 역시 그방향에 대해서만 고려한다. 즉, 만 주어지면 수직 방향을 접촉력만을고려하고 만 주어지면 수평 방향의 접촉력만 고려한다. + + + +# 5.9 피로 해석 + +피로파괴는 부재의 항복강도 보다 낮은 하중이 반복하여 작용할 때 부재가 파괴되는 현상을 의미한다. 피로해석을 수행하는 방법은 피로하중의 정의를 시간영역에서 정의 하는 방법과 주파수 영역에서 정의하는 방법으로 크게 두 가지로나뉜다. 시간영역에서 정의한 하중을 사용한 해석은 응력 기반의 응력-수명(stress-life) 방법과 변형률 기반의 변형률-수명(strain-life) 방법이 있으며, 주파수영역에서 정의한 하중을 사용한 해석은 랜덤 진동 피로해석 방법이 있다. 응력-수명 방법은 주로 항복응력에 비해 상대적으로 낮은 응력 수준에서 발생하는 피로해석에 사용되고, 변형률-수명 방법은 소성변형이 발생하는 상대적으로 높은응력 수준에서 발생하는 피로해석에 사용된다. 일반적으로 변형률-수명 방법에서 얻어지는 수명은 응력-수명 방법에서 얻어지는 수명에 비해 상대적으로 더정확하며, 특히 응력 집중부와 같이 응력 수준이 상대적으로 높은 경우에는 변형률-수명 방법을 사용한 피로해석이 타당하다고 할 수 있다. 그리고 랜덤 진동피로해석은 대상 하중이력이 매우 복잡하여 시간영역에서 정의하기 힘든 경우주파수 영역에서 정의하여 효과적으로 해석을 수행한다. 본 매뉴얼에서는 S-N선도(curve)를 이용하는 응력-수명 방법, E-N선도를 이용하는 변형률-수명 방법그리고 랜덤 진동 피로해석 방법에 대하여 정리하였다. + +# 5.9.1 응력-수명 방법 + +응력-수명 방법은 일정한 하중을 반복적으로 작용하여 파괴가 발생하였을 때의반복횟수(N)와 응력 진폭(S)의 관계를 사용하여 주어진 하중 이력하에서의 피로정도를 예측하는 방법이다. S-N 선도는 구조물에 일정 진폭(constant amplitude)의 반복하중(cyclic loading)이 작용할 때 발생하는 응력진폭(stress amplitude, S)과 해당 진폭의 응력이 반복될 때 파괴에 이르게 하는 반복횟수(cycles to failure,N)의 관계를 나타낸 선도이다. 응력-수명 방법을 사용한 피로해석을 위해서는먼저 구조물에 대한 선형 탄성해석을 수행 한 후, von Mises 응력 또는 주응력등의 등가 응력을 구하고, 이를 S-N 선도에 적용하여 피로파괴가 일어나기 까지소요되는 하중 반복횟수를 예측 한다. + +각각의 재료들은 다양한 조건에 따라 서로 다른 S-N 선도를 가지고 있으나 예상되는 모든 경우에 대해서 피로시험을 할 수 없기 때문에 표준 단축 피로시험 + + + +을 통하여 얻어진 S-N 선도에 수정계수를 적용하여 사용한다. 또한 일반적으로구조물에는 가변진폭(variable amplitude)의 반복하중이 작용되는데 레인플로-집계(rainflow-counting) 기법을 사용하여 가변진폭의 반복응력으로부터 개별 응력진폭을 추출하여 S-N 선도에 적용한다. + +응력-수명 방법의 장점 및 단점은 다음과 같다. + +► 비교적 간단한 알고리즘을 통해 피로해석을 수행할 수 있다. +► 계산이 간단하고 해석시간이 짧다. +► 탄성 변형을 다루기 때문에 소성 변형이 큰 경우에 유효하지 않다. + +• 반복 하중(Load cycles) + +그림 5.9.1과 같이 일정 진폭의 응력이 규칙적으로 작용하는 경우, 응력진폭 $\sigma _ { a }$ 와 평균응력 $\sigma _ { m }$ 은 다음과 같이 계산 할 수 있다. + +$$ +\sigma_ {a} = \frac {\sigma_ {\max} - \sigma_ {\min}}{2} \tag {5.9.1} +$$ + +$$ +\sigma_ {m} = \frac {\sigma_ {\max} + \sigma_ {\min}}{2} \tag {5.9.2} +$$ + +![](images/page-246_4dc0a419e55354da3569ab968ffc4e3ee2c2dd2c25c35dfa283228f661dc5755.jpg) + +
+line +| t | stress (σₐ) | stress (σₘ) | +|-------|-------------|-------------| +| 0 | 0 | 0 | +| t₁ | σₐ | σₘ | +| t₂ | σₘ | σₘ | +| t₃ | σₘ | σₘ | +
+ +그림 5.9.1 반복하중 진폭과 평균 응력 + +응력-수명 방법에서는 평균응력이 영(zero)인 상태로 일정 진폭의 응력이 규칙적으로 반복되는 경우에 대하여 S-N 선도를 사용하여 피로수명을 계산한다. 일반적으로 S-N 선도는 그림 5.9.2와 같은 모양을 가진다. 이는 두 점 P와 Q를 연결하는 직선임을 알 수 있다. 점 P는 최대허용응력 $( S _ { u }$ )의 90%에 해당하는 크기의 + + + +응력진폭이 작용했을 때 피로파괴가 일어나는 횟수( $N _ { 0 } \ \mathrm { ~ . ~ }$ )를 이용하여 구한다. 점Q는 피로파괴가 일어나지 않는 피로한계응력진폭( )을 이용하거나 106회 반복으로 파괴가 일어나는 응력진폭을 이용하여 계산한다. 그리고 점 R은 점 P와 점Q를 연결한 직선의 연장선에 위치하며, 하중이 1회 작용하였을 때 파괴가 발생하는 파손응력( $S _ { f }$ )을 의미한다. 일반적으로 강철의 경우 $N _ { 0 } = 1 0 0 0 \quad \underline { { { \circ } } } \underline { { { \Xi } } }$ ,로 가정할 수 있다. + +![](images/page-247_359eb65834661354ba103f0ee8af2070f1bf42f47da64739ea920435a52402b1.jpg) + +
+line + +| Life of failure. N (cycles) | Se/Su | +| --------------------------- | ----- | +| 10^0 | 1.0 | +| 10^3 | 0.9 | +| 10^7 | 0.5 | +| 10^8 | 0.5 | +
+ +그림 5.9.2 전형적인 S-N 선도의 예 + +그림 5.9.2와 같은 S-N 선도에서 직선의 기울기를 라고 하면, 특정 응력진폭가 반복하여 작용할 때 피로파괴에 이르게 하는 반복횟수 을 (5.9.4)와 같이계산 할 수 있다. + +$$ +b = - \frac {\left(\log S - \log S _ {e}\right)}{\log N _ {e} - \log N} \tag {5.9.3} +$$ + +$$ +N = N _ {e} \left(\frac {S}{S _ {e}}\right) ^ {\frac {1}{b}} \tag {5.9.4} +$$ + +• Miner의 누적손상이론 + +여러 응력진폭이 존재하는 경우 재료의 손상 정도(damage)는 각 응력진폭에 의한 개별 손상 정도를 누적하여 계산한다. 특정 응력진폭에 해당하는 반복횟수가 + + + +$n_{i}$ 이며 피로수명이 $N_{i}$ 인 경우 누적된 손상 정도는 다음의 식으로 계산된다. + +$$ +\text { Damage } = \sum_ {i} \frac {n _ {i}}{N _ {i}} \tag {5.9.5} +$$ + +구조물의 피로수명은 손상 정도의 역수이다. + +$$ +\text { Life } = \frac {1}{\text { Damage }} \tag {5.9.6} +$$ + +\- 평균 응력 효과 + +응력진폭 $\sigma_{a}$ 가 동일하여도 그림 5.9.1과 같이 평균응력 $\sigma_{m}$ 이 다르면 피로수명도 달라진다. 평균응력의 영향을 고려하기 위해 아래와 같은 방법 $^{9,10}$ 을 제공한다. 재료의 피로 특성에 따라 적절한 방법을 사용하여야 하며, Goodman과 Gerber 방법이 대중적으로 쓰인다. + +▶ Goodman (England, 1899) + +$$ +\frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \frac {\sigma_ {m}}{S _ {u}} = 1 \tag {5.9.7} +$$ + +▶ Gerber (Germany, 1874) + +$$ +\frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \left(\frac {\sigma_ {m}}{S _ {u}}\right) ^ {2} = 1 \tag {5.9.8} +$$ + +▶ Soderberg (USA, 1930) + +$$ +\frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \frac {\sigma_ {m}}{S _ {y}} = 1 \tag {5.9.9} +$$ + + + +► Morrow (USA, 1960s) + +$$ +\frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \frac {\sigma_ {m}}{S _ {f}} = 1 \tag {5.9.10} +$$ + +► SWT (Smith-Watson-Topper, 1970) + +$$ +S _ {e} = \sqrt {\sigma_ {a} \sigma_ {\max}} \tag {5.9.11} +$$ + +여기서 는 평균응력을 고려하여 수정 된 값이라는 것에 주의하여야 한다. 평균응력에 의하여 수정된 를 사용하여 S-N 선도를 재구성하여 평균응력에 의한 영향을 반영한다. + +# 5.9.2 변형률-수명 방법 + +응력이 증가하여 소성변형이 발생하게 되고 이로 인해 파괴를 유발하는 반복 횟수는 소성변형이 발생하지 않는 경우에 비해 급격히 작아지게 된다. 이러한 현상을 고려하기 위하여 변형률-수명 관계를 구하여 피로파괴 정도를 파악하게 되는데 이 방법을 변형률-수명 방법이라고 한다. 반복하중 상태에서의 소성변형률을 계산하기 위해서 비선형 해석을 통해서 구한 변형률 이력을 직접 사용할 수도 있고, 선형 탄성해석의 응력결과에 Neuber 법칙11을 적용하여 반복하중 상태에서의 소성 변형률을 구하여 사용할 수도 있다. 계산 비용이 상대적으로 적은선형 탄성해석과 Neuber 법칙을 사용한 변형율 계산 방법이 많이 사용되어 왔으나 보다 정확한 변형률 계산이 가능한 비선형 이력 해석 방법이 최근 들어 선호되고 있다. 응력-수명 방법과 마찬가지로 변형률-수명 방법 역시 구조물 전체에 소성 변형이 발생하는 경우보다는 일부 응력 집중 영역에서 소성이 발생하는경우에 적합하다고 할 수 있다. + + + +\- 선형탄성해석과 Neuber 법칙을 사용한 변형률 계산 + +일정한 하중을 반복적으로 작용하는 경우의 반복되는 변형률의 크기는 (5.9.12)와 같이 탄성변형과 소성변형의 합으로 구한다. 탄성변형( $\Delta\varepsilon^{e}$ )의 크기는 응력변화( $\Delta\sigma$ )와 탄성계수( $E$ )로 계산이 되고 소성변형( $\Delta\varepsilon^{p}$ )의 크기는 응력변화와 반복 변형 강도 계수( $\kappa'$ )와 반복 변형률 경화 계수( $n'$ )를 사용하여 계산한다. 여기에서 사용되는 응력변화 역시 그림 5.9.3에서와 같이 소성변형을 고려한 응력이 기 때문에 (5.9.13)의 Neuber법칙을 사용하여 계산해야 한다. 선형탄성 해석 결과에서 얻어지는 응력은 (5.9.13)의 $K_{f}\Delta S$ 에 해당한다. (5.9.12)에서 변형률의 변화량은 응력 변화량이 변형률의 변화량을 포함하고 있기 때문에 반복적인 방법으로 구하게 된다. 가변진폭의 반복하중에 대한 응력변화량( $\Delta S$ )의 계산은 응력-수명 방법과 동일한 레인플로-집계기법을 적용한다. + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\Delta \varepsilon^ {e}}{2} + \frac {\Delta \varepsilon^ {p}}{2} = \frac {\Delta \sigma}{2 E} + \left[ \frac {\Delta \sigma}{2 \kappa^ {\prime}} \right] ^ {1 / n ^ {\prime}} \tag {5.9.12} +$$ + +$$ +K _ {f} (\Delta S \Delta e) ^ {\frac {1}{2}} = (\Delta \sigma \Delta \varepsilon) ^ {\frac {1}{2}} \tag {5.9.13} +$$ + +$K_{f}$ : 응력 집중 계수 + +ΔS : 명목 응력 변화량(응력 집중효과가 없는 위치에서의 응력 변화량) + +Nueber법칙은 적용하려는 등가응력의 종류에 따라 (5.9.14)\~(5.9.15)와 같이 탄성응력과 변형률의 관계를 다르게 정의하여 사용한다. + +▶ Von mises 등가응력 + +$$ +\Delta e = \frac {\Delta S}{3 G} = \frac {\Delta S}{\left(\frac {3 E}{2 (1 + v)}\right)}, \frac {\left(K _ {f} \Delta S\right) ^ {2}}{3 G} = \Delta \sigma \Delta \varepsilon \tag {5.9.14} +$$ + +▶ 최대 전단응력 또는 최대 주응력 + +$$ +\Delta e = \frac {\Delta S}{E}, \frac {\left(K _ {f} \Delta S\right) ^ {2}}{E} = \Delta \sigma \Delta \varepsilon \tag {5.9.15} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_026.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_026.md new file mode 100644 index 00000000..54823cc0 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_026.md @@ -0,0 +1,331 @@ + + +![](images/page-251_4a7f9cd9dd8beb2e3596d18aaefb8001eb285ec9166202d22babf88559fa3310.jpg) + +
+text_image + +Δε^e +Δε^p +σ +A +B +Δσ/2 +O +ε +Δε/2 +C +Δε/2 +Δσ/2 +
+ +그림 5.9.3 전형적인 소성변형 발생시의 응력-변형률 선도 + +\- 비선형 이력 해석을 사용한 변형률 계산 + +변형률-수명방법에서 사용되는 변형률의 이력을 비선형 해석을 통하여 직접 계산하는 경우에, 반복 변형 강도 계수( $\kappa'$ )와 반복 변형률 경화 계수( $n'$ )등이 사용되지 않고 재료비선형 해석을 위한 비선형 재질특성을 입력하고 이를 활용한 비선형 해석 결과를 사용한다. 변형률은 탄성변형률과 소성변형률의 합이며, 각 변형률은 등가변형률의 종류에 따라 (5.9.16)\~(5.9.18)와 같이 주변형률( $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ )을 이용하여 계산할 수 있다. 평균 응력 효과를 계산하기 위한 등가응력 또한 비선형 해석 결과를 사용하고, 응력과 변형률의 변화량의 동시성을 고려하기 위해 여러 성분을 동시에 사용하는 레인플로-집계기법(multi-components rainflow-counting)을 적용한다. + +▶ Von mises 등가변형률 + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon^ {e}}{2} = \frac {1}{\sqrt {2} (1 + \nu)} \left[ \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {e}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {2} ^ {e}}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {2} ^ {e}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {3} ^ {e}}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {3} ^ {e}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {e}}{2}\right) ^ {2} \right] ^ {1 / 2} \tag {5.9.16} +$$ + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon^ {p}}{2} = \frac {\sqrt {2}}{3} \left[ \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {p}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {2} ^ {p}}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {2} ^ {p}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {3} ^ {p}}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {3} ^ {p}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {p}}{2}\right) ^ {2} \right] ^ {1 / 2} +$$ + + + +▶ 최대 전단변형률 + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon^ {e}}{2} = \text { maximum } \left(\frac {\left| \Delta \varepsilon_ {1} ^ {e} - \Delta \varepsilon_ {2} ^ {e} \right|}{2} \text { or } \frac {\left| \Delta \varepsilon_ {2} ^ {e} - \Delta \varepsilon_ {3} ^ {e} \right|}{2} \text { or } \frac {\left| \Delta \varepsilon_ {3} ^ {e} - \Delta \varepsilon_ {1} ^ {e} \right|}{2}\right) \tag {5.9.17} +$$ + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon^ {p}}{2} = \text { maximum } \left(\frac {\left| \Delta \varepsilon_ {1} ^ {p} - \Delta \varepsilon_ {2} ^ {p} \right|}{2} \text { or } \frac {\left| \Delta \varepsilon_ {2} ^ {p} - \Delta \varepsilon_ {3} ^ {p} \right|}{2} \text { or } \frac {\left| \Delta \varepsilon_ {3} ^ {p} - \Delta \varepsilon_ {1} ^ {p} \right|}{2}\right) +$$ + +▶ 최대 주변형률 + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon^ {e}}{2} = \frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {e}}{2} \tag {5.9.18} +$$ + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon^ {p}}{2} = \frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {p}}{2} +$$ + +\- E-N선도 + +그림 5.9.4 는 (5.9.19)의 변형률과 피로파괴 유발 반복횟수의 관계를 나타내는 E-N 선도이다. 레인플로-집계를 거쳐 추출한 여러 개의 개별 변형률 진폭을 E-N 선도에 적용하여 각각의 반복횟수와 이에 해당하는 개별 손상 정도를 구한다. S-N 기법과 마찬가지로 miner 누적손상이론을 적용하여, 개별 손상정도를 선형누적하여 최종 손상과 수명을 예측한다. + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\sigma_ {f} ^ {\prime}}{E} (2 N) ^ {b} + \varepsilon_ {f} ^ {\prime} (2 N) ^ {c} \tag {5.9.19} +$$ + +변형률-수명 방법의 장점 및 단점은 다음과 같다. + +▶ 선형탄성 해석 결과를 사용하여 부분적으로 소성 변형이 발생하는 경우에 대한 피로해석에 적용이 가능하다. +▶ 비선형 이력해석 결과를 사용한 계산이 가능하다. +▶ 계산이 복잡하고 해석시간이 길다. +- 평균 응력 효과 + +구조물의 변형률 변화량이 동일하여도 그림 5.9.1과 같이 평균응력 $\sigma_{m}$ 이 다르면 피로수명도 달라진다. 변형률-수명 방법에서 평균응력의 영향을 고려하기 위 + + + +해서 다음과 같은 제안식들이 사용된다. + +▶ SWT (Smith-Watson-Topper, 1970) + +$$ +\sigma_ {\max} \frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\left(\sigma_ {f} ^ {\prime}\right) ^ {2}}{E} (2 N) ^ {2 b} + \sigma_ {f} ^ {\prime} \varepsilon_ {f} ^ {\prime} (2 N) ^ {b + c} \tag {5.9.20} +$$ + +$$ +\sigma_ {\max} = \frac {\Delta \sigma}{2} + \sigma_ {m} +$$ + +▶ Morrow (1968) + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\left(\sigma_ {f} ^ {\prime} - \sigma_ {m}\right)}{E} (2 N) ^ {b} + \varepsilon_ {f} ^ {\prime} (2 N) ^ {c} \tag {5.9.21} +$$ + +▶ Manson-Halford (1981) + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\left(\sigma_ {f} ^ {\prime} - \sigma_ {m}\right)}{E} (2 N) ^ {b} + \varepsilon_ {f} ^ {\prime} \left(\frac {\sigma_ {f} ^ {\prime} - \sigma_ {m}}{\sigma_ {f} ^ {\prime}}\right) ^ {\frac {c}{b}} (2 N) ^ {c} \tag {5.9.22} +$$ + +![](images/page-253_67638ca2a02afbca84207b3930d71a447880d8cf7023cc619212ce95fdc040c4.jpg) + +
+line +| Reversals to failure, 2N | Strain amplitude (ε'f) | Strain amplitude (ε'f) | Strain amplitude (σ'f/E) | Strain amplitude (b) | Strain amplitude (c) | +| ------------------------ | ------------------------ | ------------------------ | -------------------------- | --------------------- | --------------------- | +| 10^0 | 1.0 | 1.0 | 0.001 | 0.001 | 0.01 | +| 10^1 | 0.1 | 0.1 | 0.001 | 0.001 | 0.001 | +| 10^2 | 0.01 | 0.01 | 0.001 | 0.001 | 0.0001 | +| 10^3 | 0.001 | 0.001 | 0.001 | 0.001 | 0.00001 | +| 10^4 | 0.0001 | 0.0001 | 0.001 | 0.001 | 0.000001 | +| 10^5 | 0.00001 | 0.00001 | 0.001 | 0.001 | 0.0000001 | +| 10^6 | 0.000001 | 0.000001 | 0.001 | 0.001 | 0.00000001 | +| 10^7 | 0.0000001 | 0.0000001 | 0.001 | 0.001 | 0.000000001 | +
+ +그림 5.9.4 변형률(Δε)-피로 파괴 유발 반복횟수(N) 관계 + + + +\- 비선형 이력 해석을 사용한 초탄성재료의 E-N선도 + +초탄성 재료의 경우 변형률 이력을 그대로 레인플로-집계하여 다음식으로 개별손상정도를 계산하여 누적한다. + +$$ +\frac {\Delta \varepsilon}{2} = K \left(2 N _ {f}\right) ^ {b} \tag {5.9.23} +$$ + +SWT 와 Morrow 평균응력에 대한 보정은 각각 다음처럼 변형된 형태를 사용한다. + +$$ +\mathrm{SWT}: \sigma_ {\max} \frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\Delta \sigma}{2} K \left(2 N _ {f}\right) ^ {b} \tag {5.9.24} +$$ + +$$ +\text { Morrow, Manson - Halford }: \frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\sigma_ {f} ^ {\prime} - \sigma_ {m}}{E} \left(2 N _ {f}\right) ^ {b} = \left(K - \varepsilon_ {m}\right) \left(2 N _ {f}\right) ^ {b} \tag {5.9.25} +$$ + +SWT 는 평균응력이 0 일 때 최대응력과 응력진폭의 절반이 동일하다는 것을 이용한다. 하지만 응력진폭은 작고 평균응력이 크면 변형률을 너무 크게 보정하기 때문에, 응력진폭은 평균응력의 $\sqrt{2}$ 배보다 커질 수 없도록 하는 제한을 두었다. Morrow 방법은 기존 식에서 평균응력 대신 평균변형률을 사용하여 보정하는 개념이다. + +# 5.9.3 랜덤 진동 피로해석 + +피로하중이력이 복잡할수록 데이터의 양이 증가하여 데이터의 처리나 피로해석 시간의 증가로 시간영역에서의 해석은 제약이 있고, 특히 랜덤하중은 시간영역에서의 표현이 힘들다. 따라서 주파수 영역에서 PSD(파워 스펙트럼 밀도) 함수로 정의한 랜덤 하중에 대해 랜덤 응답 해석을 수행하여 응력의 + + + +파워스펙트럼 밀도를 계산하고, 이를 사용하여 통계적 방법으로 피로수명을예측 및 평가한다. 이러한 방법을 랜덤 진동 피로해석(random vibration fatigueanalysis)이라고 한다. midas NFX 에서는 랜덤 진동 피로해석 방법으로 협대역근사법, Steinberg 방법, Dirlik 방법을 제공한다. + +• Palmgren-Miner 누적손상 이론 + +랜덤 진동 피로해석 또한 Palmgren-Miner 의 누적손상 이론에 기반하여손상도를 계산한다. + +$$ +D = \sum_ {i} \frac {n _ {i}}{N (S _ {i})} \tag {5.9.26} +$$ + +는 피로 손상도, $n _ { i }$ 는 스트레스 레벨 의 작용 횟수, 는 $N _ { i }$ 는 S-N 선도에서산정된 스트레스 에 대한 피로 수명으로 다음과 같다. + +$$ +N (S) = a S ^ {- m} \tag {5.9.27} +$$ + +와 은 재료 물성치이다. + +• 랜덤하중에 대한 피로손상 + +랜덤 해석을 통해 얻은 응력 PSD 함수로부터 를 산정하는 방법과 나아가서$D _ { t o t a l } \ { \overline { { \overline { { \mathbf { u } } } } } }$ 계산하는 방법에 따라 여러가지 해석 방법이 제안되고 있다. 응력 PSD함수의 차 모멘트는 다음과 같다. + +$$ +m _ {n} = \int_ {0} ^ {\infty} f ^ {n} G (f) d f \tag {5.9.28} +$$ + +f 는 주파수, G f  는 주파수 에 대한 응력 PSD함수이다. + + + +▶ 협대역 근사법 + +랜덤 피로하중에 의해 누적된 피로손상은 다음과 같다. + +$$ +D = \sum_ {i} \frac {n _ {i}}{N (S _ {i})} = \frac {E [ P ] T}{a} \int S ^ {m} p (S) d S \tag {5.9.29} +$$ + +T 는 피로 하중이 작용하는 시간, E[P] 는 응력이력의 1 초 샘플에 대한 최고점의 평균 개수로 다음과 같다. + +$$ +E [ P ] = \sqrt {\frac {m _ {4}}{m _ {2}}} \tag {5.9.30} +$$ + +$p(S)$ 는 응력 범위의 확률밀도함수로 협대역 주파수 하중이 작용하는 경우 응력이력 최고점의 확률 밀도 함수가 폭이 좁은 Rayleigh 분포와 경향이 비슷하여 이를 이용해 피로손상을 산정한다. + +$$ +p (S) _ {N B} = \left[ \frac {S}{4 m _ {0}} e ^ {- \frac {S ^ {2}}{8 m _ {0}}} \right] \tag {5.9.31} +$$ + +(5.9.31)을 (5.9.29)에 대입하여 정리하면 다음과 같다. + +$$ +D = \frac {E [ P ] T}{a} \left(\sqrt {2 m _ {0}}\right) ^ {m} \Gamma \left(1 + \frac {m}{2}\right) \tag {5.9.32} +$$ + +$\Gamma()$ 는 감마 함수이다. + +▶ Steinberg 방법 + +Steinberg 방법으로 계산한 피로 손상도는 다음과 같다. + + + +$$ +D = \frac {E [ 0 ] T}{a} \left[ 0. 6 8 3 \left(2 \sqrt {m _ {0}}\right) ^ {m} + 0. 2 7 1 \left(4 \sqrt {m _ {0}}\right) ^ {m} + 0. 0 4 3 \left(6 \sqrt {m _ {0}}\right) ^ {m} \right] \tag {5.9.33} +$$ + +E[0]는 응력이력의 1 초 샘플에 대한 영점교차의 평균 개수로 다음과 같다. + +$$ +E [ 0 ] = \sqrt {\frac {m _ {2}}{m _ {0}}} \tag {5.9.34} +$$ + +▶ Dirlik 방법 + +랜덤 피로하중에 의해 누적된 피로손상은 다음과 같다. + +$$ +D = \sum_ {i} \frac {n _ {i}}{N (S _ {i})} = \sum_ {i} \frac {E [ P ] T p (S _ {i}) d S}{N (S _ {i})} \tag {5.9.35} +$$ + +Dirlic 방법에선 응력 범위의 확률밀도함수 $p(S)$ 를 다음과 같은 경험적인 식으로 계산한다. + +$$ +p (S) = \frac {\frac {D _ {1}}{Q} e ^ {- \frac {Z}{Q}} + \frac {D _ {2}}{R ^ {2}} e ^ {- \frac {Z ^ {2}}{2}} + D _ {3} Z e ^ {- \frac {Z ^ {2}}{2}}}{2 \sqrt {m _ {0}}} \tag {5.9.36} +$$ + +Z, D₁, D₂, D₃, R, Q, Xₘ, γ 는 다음과 같이 응력 PSD 함수의 모멘트로 구성된 식이다. + +$$ +Z = \frac {S}{2 \sqrt {m _ {0}}} \tag {5.9.37} +$$ + +$$ +D _ {1} = \frac {2 \left(X _ {m} - \gamma^ {2}\right)}{1 + \gamma^ {2}} \tag {5.9.38} +$$ + + + +$$ +D _ {2} = \frac {1 - \gamma - D _ {1} + D _ {1} ^ {2}}{1 - R} \tag {5.9.39} +$$ + +$$ +D _ {3} = 1 - D _ {1} - D _ {2} \tag {5.9.40} +$$ + +$$ +R = \frac {\gamma - X _ {m} - D _ {1} ^ {2}}{1 - \gamma - D _ {1} + D _ {1} ^ {2}} \tag {5.9.41} +$$ + +$$ +Q = \frac {5 \left(\gamma - D _ {1} - D _ {2} R\right)}{4 D _ {1}} \tag {5.9.42} +$$ + +$$ +X _ {m} = \frac {m _ {1}}{m _ {0}} \sqrt {\frac {m _ {2}}{m _ {4}}} \tag {5.9.43} +$$ + +$$ +\gamma = \frac {E [ 0 ]}{E [ P ]} = \frac {m _ {2}}{\sqrt {m _ {0} m _ {4}}} \tag {5.9.44} +$$ + + + +# 5.10 응력의 선형보간 + +응력의 선형보간(stress linearization)은 복잡한 응력 상태를 등가의 막응력(membrane stress)와 굽힘응력(bending stress)으로 표현하는 계산 과정을 의미한다. 주로 압력 용기(pressure vessel)의 설계에 사용되며 ASME B&PV 코드를기초로 한다. + +응력의 선형보간 방법은 유한요소 모델의 응력상태에 따라 다르며, 크게 3차원응력상태와 축대칭(axisymmetric) 응력상태로 구분할 수 있다. Solid 요소와plane strain 요소는 3차원 응력상태로 가정하고, axisymmetric solid 요소는 축대칭 응력상태로 가정하여 계산한다. 선형보간을 적용하는 구간은 사용자가 임의로 결정할 수 있으나, 유한요소 모델에서 두께 방향에 해당하는 구간으로 정의하는 것이 일반적이다. + +# • 3차원 응력상태 + +그림 5.10.1과 같이 3차원 모델에 대해 A 점과 B 점을 정의하면 선형보간을 위한 구간과 좌표계를 결정할 수 있다. 점 A에서 점 B를 향하는 방향을 x축으로정의하고, 이 축과 GCS-y 축이 이루는 평면에 y축이 존재하는 것으로 가정한다.막응력은 선형보간 구간에 작용하는 응력의 평균값으로 다음과 같다. + +$$ +\sigma^ {m} = \frac {1}{t} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} \sigma d x \tag {5.10.1} +$$ + +구간에 작용하는 응력의 1 차 모멘트와 등가를 이루는 굽힘응력은 다음과 같이계산할 수 있다. + +$$ +\boldsymbol {\sigma} _ {B} ^ {b} = - \boldsymbol {\sigma} _ {A} ^ {b} = \frac {6}{t ^ {2}} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} x \boldsymbol {\sigma} d x \tag {5.10.2} +$$ + + + +![](images/page-260_40b5b554ff4d5d7cbb49f1a302d64a8a5a3308f3ad07e9d2d55af1d0dc2de045.jpg) + +
+text_image + +A +y +x +B +t +
+ +그림 5.10.1 응력 선형보간을 위한 구간 설정과 좌표계 정의 (3 차원 모델) + +# - 축대칭 응력상태 + +그림 5.10.2와 같은 축대칭 모델에 대해서는 응력의 각 성분이 서로 다른 방법에 의해 계산된다. 축대칭 모델에서 선형보간을 위한 좌표계는 점 A와 B에 의해 유일하게 결정된다. 축대칭 모델에서의 선형보간은 기본적으로 3차원 모델과 같은 원리를 이용하지만, 중립축이 x=0 인 중심에서 바깥쪽으로 이동해 있다는 점 때문에 응력의 성분별로 조금씩 다른 방법으로 계산한다. + +자오선 응력(meridional stress)는 $\sigma_{y}$ 에 해당하며, 다음의 식을 이용하여 막응력과 굽힘응력을 계산한다. + +$$ +\sigma_ {y} ^ {m} = \frac {1}{R _ {C} t} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} \sigma_ {y} R d x \tag {5.10.3} +$$ + +$$ +\sigma_ {y, \alpha} ^ {b} = \frac {x _ {\alpha} - x _ {f}}{\int_ {- t / 2} ^ {t / 2} (x - x _ {f}) ^ {2} R d x} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} (x - x _ {f}) \sigma_ {y} R d x, \quad \alpha = A, B \tag {5.10.4} +$$ + +$x_{f}$ : 구간의 중심과 중립면 사이의 거리 + +원주 응력(hoop stress)는 $\sigma_{z}$ 에 해당하며, 다음의 식을 이용하여 막응력과 굽힘 응력을 계산한다. + +$$ +\sigma_ {z} ^ {m} = \frac {1}{t} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} \sigma_ {z} (1 + \frac {x}{\rho}) d x \tag {5.10.5} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_027.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_027.md new file mode 100644 index 00000000..adfea1e8 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_027.md @@ -0,0 +1,263 @@ + + +$$ +\sigma_ {z, \alpha} ^ {b} = \frac {x _ {\alpha} - x _ {f}}{\int_ {- t / 2} ^ {t / 2} (x - x _ {f}) ^ {2} (1 + \frac {x}{\rho}) d x} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} (x - x _ {f}) \sigma_ {z} (1 + \frac {x}{\rho}) d x, \alpha = A, B \tag {5.10.6} +$$ + +$x_{f}$ : 구간의 중심과 중립면 사이의 거리 + +곡률 반지름(radius of curvature) ρ 는 모델의 모양에 의해 결정되지 않고 사용자가 정의하는 값이며, 입력하지 않는 경우 곡률이 존재하지 않는 것으로 가정한다. 또한 $x_{f}$ 는 자오선 응력의 계산에 사용된 값과 다르다는 점에 주의해야 한다. + +![](images/page-261_e0bee4509ea9244f5fae84d8354263c6317ae5cd227e5abd3d458dabfb78559d.jpg) + +
+text_image + +GCS - z +y +x +B +x_f +ρ +A +Neutral surface +R_A +R_C +R_B +GCS - x +
+ +그림 5.10.2 응력 선형보간을 위한 구간 설정과 좌표계 정의 (축대칭 모델) + +두께방향 응력(thickness stress)는 $\sigma_{x}$ 에 해당하며, 다음의 식을 이용하여 막응력과 굽힘응력을 계산한다. + +$$ +\sigma_ {x} ^ {m} = \frac {1}{t} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} \sigma_ {x} d x \tag {5.10.7} +$$ + +$$ +\sigma_ {x, \alpha} ^ {b} = \sigma_ {x, A} - \sigma_ {x} ^ {m}, \alpha = A, B \tag {5.10.8} +$$ + + + +전단 응력의 경우에는 포물선 형태로 가정하여, 양 끝점 A,B에서 값을 0으로간주한다. 그러므로 굽힘응력 성분은 존재하지 않고 막응력 성분만을 다음 식을이용하여 계산하다. + +$$ +\sigma_ {x y} ^ {m} = \frac {1}{t} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} \sigma_ {x y} \frac {R}{R _ {C}} d x \tag {5.10.9} +$$ + + + +# 5.11 위상 최적화 + +위상 최적화는 주어진 목적에 가장 적합하도록 재료의 분포를 결정하는 레이아웃 최적화 문제이다. 전체 설계단계 중 개념설계 단계에서 설계자의 공학적인판단에 핵심적인 근거를 제시하거나, 새로운 대안에 대한 아이디어를 제공하는데 주로 사용된다. 또한 기본 위상 최적화 문제구성에 다양한 제약조건을 고려하여 좀 더 현실적인 설계안을 만들어내기도 한다. + +위상 최적화에서 재료의 분포를 표현하기 위한 방법으로 해석을 위해 생성한 유한요소의 밀도 변수를 사용한다. 요소 밀도가 “1”이라는 것은 요소가 필요한 부분, “0”은 요소가 필요 없는 부분을 의미한다. 일반적인 최적설계와는 다르게 설계변수가 재료의 사용여부를 판단하는 요소의 밀도밖에 없기 때문에 사용자가별도의 설계변수를 지정하지 않고, 목적함수와 제약조건의 조합만으로 최적화문제를 구성한다. 이 절에서는 midas NFX에서 제공하는 위상 최적화의 문제구성의 종류와 각 최적화 해법에 대해 설명한다. + +# 5.11.1 목적함수와 민감도 + +위상 최적화의 문제 구성 방식은 일반적인 최적화 방법과 마찬가지로 제약조건하에서 목적함수를 최대화 또는 최소화하는 설계변수를 찾는 방식이다. 목적함수를 최소화하는 경우 위상 최적화 문제구성은 (5.11.1)과 같이 표현할 수 있다. + +$$ +\text { Minimize: } c (\mathbf {x}) +$$ + +$$ +\text { subject to }: \mathrm{h} _ {i} (\mathbf {x}) = 0 \quad (i = 1, \dots , M) \tag {5.11.1} +$$ + +C : 목적함수(Objective function) + +$h _ { \scriptscriptstyle i }$ : 제약조건(Constraints) + +X : ( :요소밀도) + +M : 제약조건 개수 + + + +midas NFX가 제공하는 위상최적화의 문제구성은 목적함수에 따라 표 5.11.1과같이 분류할 수 있다. + +표 5.11.1 목적함수에 따른 문제구성 종류 + +
목적함수설계 제약조건관련 해석제조조건(공통)
정적 컴플라이언스(최소)부피비· 선형 정적 해석· 성형 방향· 대칭 조건(1~3축 대칭)
동적 컴플라이언스(최소)부피비· 주파수 응답 해석
부피비(최소)변위/응력/피로/모드· 선형 정적 해석· 주파수 응답 해석(변위제약)· 피로 해석· 모드 해석
평균 고유치(최대)부피비· 모드 해석
+ +• 정적 컴플라이언스(static compliance) + +정적 컴플라이언스는 요소밀도에 대한 함수로, (5.11.2)와 같이 전체변형에너지의형태로 표현된다. + +$$ +c _ {s} = \mathbf {f} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {u} = \mathbf {u} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {K} \mathbf {u} = \sum_ {e = 1} ^ {N} u _ {e} ^ {\mathrm{T}} k _ {e} \left(x _ {e}\right) u _ {e} \tag {5.11.2} +$$ + +f : 하중 벡터 + +: 전체 및 요소 변위 벡터 + +: 전체 및 요소 강성 행렬 + +정적 컴플라이언스의 민감도는 (5.11.2)에 보조변수법(adjoint method)을 적용하여 (5.11.3)과 같이 표현된다. + + + +$$ +\frac {\partial c _ {s}}{\partial x _ {e}} = 2 \frac {\partial \mathbf {f} ^ {\mathrm{T}}}{\partial x _ {e}} \mathbf {u} - \mathbf {u} ^ {\mathrm{T}} \frac {\partial \mathbf {K}}{\partial x _ {e}} \mathbf {u} \tag {5.11.3} +$$ + +(5.11.3)에 포함된 하중에 대한 민감도는 중력이나 회전 관성력과 같이 요소밀도에 따라 하중이 변하는 체적력 형태의 하중에 대해서 존재한다. + +\- 동적 컴플라이언스(dynamic compliance) + +동적 컴플라이언스는 주파수응답과 같은 복소수 응답에 대한 컴플라이언스를 정의하기 위한 것으로 (5.11.4)와 같이 복소수의 크기 형태로 표현된다. + +$$ +\boldsymbol {c} _ {d} = \left| \mathbf {f} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {u} \right| \tag {5.11.4} +$$ + +동적 컴플라이언스의 민감도는 보조변수법을 적용하고, 컬레복소수(conjugate complex number) 표현을 도입하여 (5.11.5)와 같이 표현된다. + +$$ +\frac {\partial c _ {d}}{\partial x _ {e}} = \Re \left[ \frac {\overline {{{\mathbf {f}}}} ^ {\mathrm{T}} \overline {{{\mathbf {u}}}}}{\left| \mathbf {f} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {u} \right|} \left(2 \frac {\partial \mathbf {f} ^ {\mathrm{T}}}{\partial x _ {e}} \mathbf {u} - \mathbf {u} ^ {\mathrm{T}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial x _ {e}} \mathbf {u}\right) \right] \tag {5.11.5} +$$ + +S : 동적 유효강성 : $-\omega^{2}M + i\omega C + K$ , (5.4.13) 참고 + +$\overline{f}, \overline{u}$ : f, u 의 콜레복소수 + +$\Re[\Box]$ : 복소수의 실수부 + +\- 평균 고유치 + +설계 모드의 고유치에 대한 평균값은 (5.11.6)과 같은 고유치의 역수 형태 (reciprocal formulation $^{12}$ )를 이용한다. + + + +$$ +\Lambda = \left(\sum_ {i = 1} ^ {m} \frac {w _ {i}}{\lambda_ {i}}\right) ^ {- 1} \tag {5.11.6} +$$ + +Λ : 평균 고유치 + +$\lambda_{i}$ : i 번째 고유치 + +$w_{i}$ : i 번째 고유치에 대한 가중치 + +m : 설계 모드 개수 + +평균 고유치의 민감도는 고유치 민감도를 이용해 (5.11.7)과 같이 표현할 수 있다. + +$$ +\frac {\partial \Lambda}{\partial x _ {e}} = - \Lambda^ {2} \sum_ {i = 1} ^ {m} \frac {w _ {i}}{\lambda_ {i} ^ {2}} \left(\frac {\partial \lambda_ {i}}{\partial x _ {e}}\right) \tag {5.11.7} +$$ + +(5.11.7)의 모드별 고유치 민감도는 중복고유치가 아닌 경우 (5.11.8)과 같이 해당 모드의 고유벡터와 요소강렬 및 질량행렬로 표현된다. + +$$ +\frac {\partial \lambda_ {i}}{\partial x _ {e}} = \phi_ {i} ^ {\mathrm{T}} \left(\frac {\partial \mathbf {K}}{\partial x _ {e}} - \lambda_ {i} \frac {\partial \mathbf {M}}{\partial x _ {e}}\right) \phi_ {i} \tag {5.11.8} +$$ + +\- 부피비 (volume fraction) + +부피비는 전체 설계 영역의 부피 대비 최종 재료분포가 결정된 상태의 부피의 비율을 의미한다. 동일한 재료분포인 경우 질량비나 무게비와 동일하다. 위상최적화의 설계변수가 요소의 밀도이기 때문에 부피비에 대한 민감도는 설계영역 전체부피 대비 해당 요소의 원래 부피의 비율로 표현할 수 있다. + +$$ +\frac {\partial (V (\mathbf {x}) / V _ {0})}{\partial x _ {e}} = \frac {\partial \left(\sum_ {e = 1} ^ {N} v _ {e} x _ {e} / V _ {0}\right)}{\partial x _ {e}} = \frac {v _ {e}}{V _ {0}} \tag {5.11.9} +$$ + +$V_{0}$ : 설계영역 전체 부피 + + + +V : 요소밀도가 반영된 설계영역 전체 부피 + +$v_{e}$ : 요소 e 의 부피 + +# 5.11.2 재료 보간 방법 + +재료 보간 방법(material interpolation scheme)은 위상최적화 과정 중 요소밀도가 "0"이나 "1"이 아닌 중간값을 가질 때 실재 재료의 물리적인 강성이나 요소밀도에 따른 질량을 보정하기 위해 도입된다. midas NFX에서는 표 5.11.2의 두가지 방법을 선택적으로 적용한다. + +표 5.11.2 재료 보간 방법 + +
SIMPsolid isotropic material with penalizationRAMP13rational approximation of material properties
보간식 $k_{e}(x_{e}) = x_{e}^{p} k_{e0}$ $k_{e}(x_{e}) = \frac{x_{e}}{1 + q(1 - x_{e})} k_{e0}$
미분식 $\frac{\partial k_{e}}{\partial x_{e}} = px_{e}^{p-1} k_{e0}$ $\frac{\partial k_{e}}{\partial x_{e}} = \frac{1 + q}{[1 + q(1 - x_{e})]^{2}} k_{e0}$
관련해석선형 정적모달, 주파수 응답
벌칙계수 $p = 3.0 \sim 4.0$ $q = 5.0 \sim 6.0$
+ + + +![](images/page-268_b9cb62298bba51dc43abea1b7dc7c05cfa4deae270b30158a82484c47b0b5add.jpg) + +
+line + +| Material density, x_e | Young's modulus ratio (p=1.0 or q=0.0) | Young's modulus ratio (p=3.0) | Young's modulus ratio (q=5.0) | +| --------------------- | -------------------------------------- | ----------------------------- | ----------------------------- | +| 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | +| 0.2 | 0.2 | 0.05 | 0.03 | +| 0.4 | 0.4 | 0.15 | 0.08 | +| 0.6 | 0.6 | 0.25 | 0.15 | +| 0.8 | 0.8 | 0.45 | 0.30 | +| 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 | +
+ +그림 5.11.1 재료보간모델별 밀도에 따른 강성비 + +# 5.11.3 최적화 기준법 + +최적화 기준법(optimality criteria: OC)은 (5.11.1)로 정의한 최적화 문제에서 제약조건을 라그랑지 승수와 함께 목적함수에 포함시켜 제약조건 없는 최적화 문제(unconstrained optimization problem)로 구성하고, 새로 구성된 목적함수의 미분값이 0이 되는 조건(Karush-Kuhn-Tucker(KKT) conditions)을 찾는 방법이다. + +$$ +\frac {\partial c}{\partial x _ {e}} + \sum_ {i = 1} ^ {M} \mu_ {i} \frac {\partial h _ {i}}{\partial x _ {e}} = 0 \tag {5.11.10} +$$ + +$\mu _ { i } \qquad : \exists { \sf I } \exists \stackrel { \exists } { \circ } \pi | \ \underset { 0 } { \widehat { \circ } } \pi |$ + +Bendsøe는 제약조건이 하나만 있는 경우 최적화 기준법을 이용한 경험적 설계변수 업데이트 방법14을 다음과 같이 제안하였다. + + + +$$ +x _ {e} ^ {\text { new }} = \left\{ \begin{array}{l l} \max \left(x _ {\min}, x _ {e} - m\right) & \text { if } x _ {e} B _ {e} ^ {\eta} \leq \max \left(x _ {\min}, x _ {e} - m\right) \\ x _ {e} B _ {e} ^ {\eta} & \text { if } \max \left(x _ {\min}, x _ {e} - m\right) \leq x _ {e} B _ {e} ^ {\eta} \leq \min \left(1, x _ {e} + m\right) \\ \min \left(1, x _ {e} + m\right) & \text { if } \min \left(1, x _ {e} + m\right) \leq x _ {e} B _ {e} ^ {\eta} \end{array} \right. \tag {5.11.11} +$$ + +η : 수치적인 감쇠(numerical damping, 0 < η ≤ 0.5) + +m : 업데이트 제한 길이(0 < m ≤ 0.65) + +$x_{e}^{new}$ : 업데이트된 밀도 + +$$ +B _ {e} \quad : - \frac {\partial c}{\partial x _ {e}} / \mu \frac {\partial h}{\partial x _ {e}} (= 1 \text { at optimality }) +$$ + +# 5.11.4 이동 접근선 기법 + +이동 점근선 기법(method of moving asymptotes: MMA) $^{15}$ 은 (5.11.1)로 정의한 최적화 문제를 아래의 (5.11.12)와 같은 점근선 근사함수로 표현한다. + +$$ +f _ {i} ^ {(k)} (\mathbf {x}) = \sum_ {j = 1} ^ {n} \left(\frac {p _ {i j} ^ {(k)}}{u _ {j} ^ {(k)} - x _ {j}} + \frac {q _ {i j} ^ {(k)}}{x _ {j} - l _ {j} ^ {(k)}}\right) + r _ {i} ^ {(k)} \tag {5.11.12} +$$ + +이때 접근선 근사함수는 분리된 볼록함수(convex separable function)이기 때문에 각 설계변수는 아래와 같이 라그랑지 승수로 표현이 가능하다. + +$$ +x _ {j} (\boldsymbol {\lambda}) = \min \left\{\max \left\{\frac {\left(p _ {0 j} + \boldsymbol {\lambda} ^ {T} \mathbf {p} _ {j}\right) ^ {1 / 2} l _ {j} + \left(q _ {0 j} + \boldsymbol {\lambda} ^ {T} \mathbf {q} _ {j}\right) ^ {1 / 2} u _ {j}}{\left(p _ {0 j} + \boldsymbol {\lambda} ^ {T} \mathbf {p} _ {j}\right) ^ {1 / 2} + \left(q _ {0 j} + \boldsymbol {\lambda} ^ {T} \mathbf {q} _ {j}\right) ^ {1 / 2}}, \alpha_ {j} \right\}, \beta_ {j} \right\} \tag {5.11.13} +$$ + +보통의 위상최적화 문제에서는 설계변수의 개수가 제약조건의 개수보다 매우 많기 때문에 (5.11.13)와 같은 업데이트 방법을 이용하여 효율적인 해탐색이 가능하다. 또한, OC와 달리 사용할 수 있는 제약조건의 개수가 한정되지 않기 때문에 일반적으로 위상 최적화의 최적점 탐색 기법으로 널리 사용된다. + + + +# 5.12 치수최적화 + +치수최적화(size optimization)에서는 재료 혹은 특성 등의 사용자가 조절할 수있는 파라미터들을 설계변수(design variable)로 지칭한다. 이때 시스템의 성능특성들을 설계응답(design response)이라 한다. 치수최적화는 사용자가 원하는성능 특성을 갖는 시스템을 설계하기 위한 설계변수(design variable)들의 조합을찾는 것을 그 목적으로 한다. + +midas NFX 에서는 비선형 해석이나 대규모 해석을 수반하는 시스템의 최적화에용이한 근사모델기반 치수최적화를 기본적으로 제공한다. 근사모델기반 치수최적화의 전체적인 과정은 1) 실험점의 추출, 2) 근사모델의 생성, 3) 근사모델로표현된 최적화 문제의 풀이로 진행된다. + +# 5.12.1 실험점 추출 + +• 실험계획법 (Design of Experiments, DOE) + +설계변수와 설계응답의 관계에 대해서 탐색하는 과정을 실험점 추출(designsampling)을 통해 수행한다. 실험점 추출은 여러 설계변수들의 조합에 대한 설계응답들을 평가하여, 설계변수의 주효과(main effect) 혹은 각 설계변수들의 교호작용들을 파악한다. midas NFX에서는 실험점추출의 도구로써 다양한 실험계획법을 제공한다. + +► 일차원 파라미터 스터디 : 특정한 한 설계변수를 변동시키고 다른 설계변수들을 고정시키며 설계응답을 관찰한다. 이를 통해 한 설계변수에 대한 설계응답들의 특성을 살펴볼 수 있다. 실험점의 개수는 사용자가 직접 정의할 수 있다. +► 완전요인 계획법 : 각 설계변수에 대해 2수준 혹은 3수준에 대한 모든 조합을관찰한다. 실험점의 개수가 설계변수의 개수에 대해 기하급수적으로 증가하는차원의 저주(curse of dimensionality)가 발생할 수 있다. +► 중심합성 계획법 : 각 설계변수에 대한 2수준의 부분요인 계획법(fractional diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_028.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_028.md new file mode 100644 index 00000000..f2541ecd --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_028.md @@ -0,0 +1,394 @@ + + +factorial design)과 중심점(center point) 및 별점(star point)에서 평가한다. 이때실험점의 위치에 따라 모서리법(faced)과 내접법(inscribed)으로 구분된다. 모서리법은 중심점을 제외한 실험점이 모두 설계공간의 경계에 존재하며, 내접법은 회전성(rotatability)를 만족하도록 실험점을 설계공간의 안쪽에 배치한다. + +► 라틴방격 계획법 : 강도(strength) 1의 직교배열표로, 난수를 생성하여 각 설계변수에 대해 골고루 평가하는 것을 목적으로 한다. 실험점의 개수를 사용자가임의로 결정할 수 있다는 장점이 있다. 공간 충진성(space-filling)이 좋아 크리깅근사모델을 만들기 위한 실험계획법으로 많이 사용된다. + +► 다구찌 직교배열표 : 각 설계변수의 직교성(orthogonality)를 만족시켜 주효과와 교호작용을 효과적으로 평가하도록 만들 직교배열표를 이용하여 실험계획법을 수행한다. 직교배열표는 2수준에서 5수준까지 구성되어 있으며, 최대 48개의설계변수까지 처리할 수 있다. + +# • 상관도 분석 + +실험점 추출을 통해 설계변수와 설계응답간의 관계를 평가할 수 있다. 각 설계응답에 대해 어떤 설계변수가 큰 영향을 주는지 파악하는데 활용한다. 향후 근사모델 기반 치수최적화를 수행하기에 앞서 중요한 설계변수들을 추출할 수 있어서 효율적인 최적화를 가능하게 해준다. + +Midas NFX에서의 각 설계변수 와 설계응답 Y 의 상관도는 Coefficient ofImportance(CoI)로 부터 다음과 같이 얻을 수 있다. + +$$ +C o I (X _ {i}, Y) = C o I _ {Y, X _ {i}} = R _ {Y, \mathbf {X}} ^ {2} - R _ {Y, \mathbf {X} \sim i} ^ {2} \tag {5.12.1} +$$ + +여기에서 는 Coefficient of Determination(CoD)로 다음과 같이 얻을 수 있다. + +$$ +R ^ {2} = \frac {S S _ {R}}{S S _ {T}} = 1 - \frac {S S _ {E}}{S S _ {T}}, \quad 0 \leq R ^ {2} \leq 1 \tag {5.12.2} +$$ + +$$ +S S _ {T} = \sum_ {i = 1} ^ {N} (y _ {i} - \mu_ {Y}), \quad S S _ {R} = \sum_ {i = 1} ^ {N} (y _ {i} - \mu_ {Y}), \quad S S _ {E} = \sum_ {i = 1} ^ {N} (y _ {i} - y _ {i}) \tag {5.12.3} +$$ + + + +$R _ { Y , { \bf X } } ^ { 2 }$ 는 $\Xi \in$ 설계변수를 고려하여 생성한 다항회귀모델의 CoD이며, $R _ { Y , { \bf X } \sim i } ^ { 2 }$ 는 설계변수 $X _ { i }$ 를 제외하고 생성한 다항회귀모델의 CoD이다. 다라서 CoI는 간접적으로 다항회귀모델에서 설계변수 $X _ { i }$ 의 영향을 파악할 수 있다. 이때 생성하는다항회귀모델의 종류에 따라 1차 상관도 혹은 2차 상관도를 얻을 수 있다. + +# 5.12.2 근사모델기반 치수최적화 + +항공기 혹은 자동차 산업에서 CAE를 효과적으로 사용하여 설계를 하기 위하여근사모델의 개념이 도입되었다. 근사모델은 구조해석을 통해 암시적(implicit)으로 파악하던 설계변수와 설계응답간의 관계를 수학식을 통해 명시적(explicit)으로 파악하도록 한다. 이때의 수학식을 근사모델(approximate model) 혹은 반응표면모델(response surface model)이라 부른다. 근사모델은 크게 회귀모델(regression model)과 보간모델(interpolation model)로 나눌 수 있다. 회귀모델은실험점의 결과를 비슷하게 따르는 근사모델을 의미하며, 보간모델은 각 실험점의 결과를 완벽히 추종하는 근사모델을 의미한다. + +![](images/page-272_eff0f48da82b0d3cf3f5ea12493e365af72a4172baa807723541c6b57716dd86.jpg) + +
+line + +| Point | X | Y | +|---|---|---| +| 1 | 0.5 | 0.3 | +| 2 | 0.6 | 0.2 | +| 3 | 0.7 | 0.1 | +
+ +Regression model + +![](images/page-272_8d79506eef71c43877bb2deb302e86f6da7a2875092b0a6d3f5f44f88636c671.jpg) + +
+line + +| Point | X | Y | +|---|---|---| +| 1 | 0.5 | 0.5 | +| 2 | 0.6 | 0.4 | +| 3 | 0.7 | 0.3 | +| 4 | 0.8 | 0.5 | +| 5 | 0.9 | 0.7 | +| 6 | 1.0 | 0.9 | +| 7 | 1.1 | 1.1 | +| 8 | 1.2 | 1.3 | +| 9 | 1.3 | 1.5 | +| 10 | 1.4 | 1.7 | +| 11 | 1.5 | 1.9 | +| 12 | 1.6 | 2.1 | +| 13 | 1.7 | 2.3 | +| 14 | 1.8 | 2.5 | +| 15 | 1.9 | 2.7 | +| 16 | 2.0 | 2.9 | +| 17 | 2.1 | 3.1 | +| 18 | 2.2 | 3.3 | +| 19 | 2.3 | 3.5 | +| 20 | 2.4 | 3.7 | +| 21 | 2.5 | 3.9 | +| 22 | 2.6 | 4.1 | +| 23 | 2.7 | 4.3 | +| 24 | 2.8 | 4.5 | +| 25 | 2.9 | 4.7 | +| 26 | 3.0 | 4.9 | +| 27 | 3.1 | 5.1 | +| 28 | 3.2 | 5.3 | +| 29 | 3.3 | 5.5 | +| 30 | 3.4 | 5.7 | +| 31 | 3.5 | 5.9 | +| 32 | 3.6 | 6.1 | +| 33 | 3.7 | 6.3 | +| 34 | 3.8 | 6.5 | +| 35 | 3.9 | 6.7 | +| 36 | 4.0 | 6.9 | +| 37 | 4.1 | 7.1 | +| 38 | 4.2 | 7.3 | +| 39 | 4.3 | 7.5 | +| 40 | 4.4 | 7.7 | +| 41 | 4.5 | 7.9 | +| 42 | 4.6 | 8.1 | +| 43 | 4.7 | 8.3 | +| 44 | 4.8 | 8.5 | +| 45 | 4.9 | 8.7 | +| 46 | 5.0 | 8.9 | +| 47 | 5.1 | 9.1 | +| 48 | 5.2 | 9.3 | +| 49 | 5.3 | 9.5 | +| 50 | 5.4 | 9.7 | +| 51 | 5.5 | 9.9 | +| 52 | 5.6 | 10.1 | +| 53 | 5.7 | 10.3 | +| 54 | 5.8 | 10.5 | +| 55 | 5.9 | 10.7 | +| 56 | 6.0 | 10.9 | +| 57 | 6.1 | 11.1 | +| 58 | 6.2 | 11.3 | +| 59 | 6.3 | 11.5 | +| 60 | 6.4 | 11.7 | +| 61 | 6.5 | 11.9 | +| 62 | 6.6 | 12.1 | +| 63 | 6.7 | 12.3 | +| 64 | 6.8 | 12.5 | +| 65 | 6.9 | 12.7 | +| 66 | 7.0 | 12.9 | +| 67 | 7.1 | 13.1 | +| 68 | 7.2 | 13.3 | +| 69 | 7.3 | 13.5 | +| 70 | 7.4 | 13.7 | +| 71 | 7.5 | 13.9 | +| 72 | 7.6 | 14.1 | +| 73 | 7.7 | 14.3 | +| 74 | 7.8 | 14.5 | +| 75 | 7.9 | 14.7 | +| 76 | 8.0 | 14.9 | +| 77 | 8.1 | 15.1 | +| 78 | 8.2 | 15.3 | +| 79 | 8.3 | 15.5 | +| 80 | 8.4 | 15.7 | +| 81 | 8.5 | 15.9 | +| 82 | 8.6 | 16.1 | +| 83 | 8.7 | 16.3 | +| 84 | 8.8 | 16.5 | +| 85 | 8.9 | 16.7 | +| 86 | 9.0 | 16.9 | +| 87 | 9.1 | 17.1 | +| 88 | 9.2 | 17.3 | +| 89 | 9.3 | 17.5 | +| 90 | 9.4 | 17.7 | +| 91 | 9.5 | 17.9 | +| 92 | 9.6 | 18.1 | +| 93 | 9.7 | 18.3 | +| 94 | 9.8 | 18.5 | +| 95 | 9.9 | 18.7 | +| 96 | 10.0 | 18.9 | +| 97 | 10.1 | 19.1 | +| 98 | 10.2 | 19.3 | +| 99 | 10.3 | 19.5 | +| 100 | 10.4 | 19.7 | +
+ +Interpolation model +그림 5.12.1 회귀모델과 보간모델 + + + +회귀모델은 각 실험점에서의 랜덤오차의 효과를 저감시킬 수 있으며, 보간모델은 결정론적인 해석(deterministic analysis)에 사용되었을 때 장점이 있다. midasNFX에서는 회귀모델과 보간모델로써 각각 다항회귀모델(polynomial regression)과 크리깅모델(Kriging model)을 제공한다. + +# • 다항회귀모델 + +다항회귀모델은 설계변수와 설계응답간의 관계를 설계변수의 다항식의 형태로표현하며 이때 다항식의 종류에 따라 1) 선형다항회귀모델(linear polynomialregression), 2) 순수이차다항회귀모델(pure quadratic polynomial regression), 3)완전이차다항회귀모델(full quadratic polynomial regression), 4)순수삼차다항회귀모델(pure cubic polynomial regression)으로 나뉜다. + +다항회귀모델은 다음과 같이 표현할 수 있다. + +$$ +\tilde {y} = \mathbf {f} ^ {T} \mathbf {b} \tag {5.12.4} +$$ + +: 설계응답 예상 값 + +f : 설계 벡터 (design vector) + +b : 계수(regressor) + +결국, 다항회귀모델은 위의 항에서 계수를 결정하는 문제를 푸는 것이며 이때의계수는 최소자승법(least squares)에 의해 다음과 같이 구해진다. + +$$ +\mathbf {b} = \left(\mathbf {F} ^ {T} \mathbf {F}\right) ^ {- 1} \mathbf {F} ^ {T} \mathbf {y} _ {\exp} \tag {5.12.5} +$$ + +yexp : 실험점에서의 설계응답 값 + +F : 설계 행렬(design matrix) + +이때 (5.12.2)에서 역행렬은 특이값 분해(singular value decomposition, svd)를 이용한다. + + + +-크리킹 모델 + +크리킹 모델은 가장 보편적인 보간모델로서, 전역모델과 지역적인 잔차(residual)로 표현할 수 있다. + +$$ +y (\mathbf {x}) = G (\mathbf {x}) + z (\mathbf {x}) \tag {5.12.6} +$$ + +이때 지역적인 잔차는 평균은 0으로, 분산은 다음과 같이 가정한다. + +$$ +C o v \Big [ z (\mathbf {x} ^ {i}), z (\mathbf {x} ^ {j}) \Big ] = \sigma^ {2} \Big [ R (\mathbf {x} ^ {i}, \mathbf {x} ^ {j}) \Big ] \tag {5.12.7} +$$ + +이러한 분산은 연관성 모델(correlation model) R 에 따라 결정되며, 연관성 모델의 종류는 다음과 같다. + +$$ +\text { Exponential: } \quad R (\mathbf {d}) = \prod_ {i = 1} ^ {n d v} \exp \left(- \theta_ {i} | d _ {i} |\right) = \exp \left(- \sum_ {i = 1} ^ {n d v} \theta_ {i} | d _ {i} |\right) \tag {5.12.8} +$$ + +$$ +\text { Gaussian: } \quad R (\mathbf {d}) = \prod_ {i = 1} ^ {n d v} \exp \left(- \theta_ {i} \left| d _ {i} \right| ^ {2}\right) = \exp \left(- \sum_ {i = 1} ^ {n d v} \theta_ {i} \left| d _ {i} \right| ^ {2}\right) \tag {5.12.9} +$$ + +$$ +\text { Exponential General: } \quad R (\mathbf {d}) = \prod_ {i = 1} ^ {n d v} \exp \left(- \theta_ {i} | d _ {i} | ^ {p _ {i}}\right) = \exp \left(- \sum_ {i = 1} ^ {n d v} \theta_ {i} | d _ {i} | ^ {p _ {i}}\right) \tag {5.12.10} +$$ + +각 실험점에 대하여 연관성 모델을 적용하여 연관성 행렬 R (correlation matrix)을 만들 수 있다. 이때 최대우도추정법(maximum likelihood estimation, mle)을 통해 연관성 모델의 미지수인 $\theta_{i}$ 와 $p_{i}$ 를 구할 수 있다. 최대우도추정법은 다음과 같은 최적화 문제로 귀결된다. + + + +Find $\theta_{i}$ + +$$ +\begin{array}{l} \text { to maximize } \quad - \frac {1}{2} \left(n e x p \cdot \ln \left(\sigma^ {2}\right) + \ln | \mathbf {R} |\right) \\ \text { subject to } \quad \theta_ {i} \geq 0 \quad i = 1, \dots , n d v \end{array} \tag {5.12.11} +$$ + +$$ +\text { where } \quad \sigma^ {2} = \frac {\left(\mathbf {y} _ {\exp} - \mathbf {F} \boldsymbol {\beta} ^ {*}\right) ^ {t} \mathbf {R} ^ {- 1} \left(\mathbf {y} _ {\exp} - \mathbf {F} \boldsymbol {\beta} ^ {*}\right)}{n e x p} \text { and } \left| \mathbf {R} \right| \text { is determinant of } \mathbf {R} +$$ + +(5.12.8)의 문제는 유전자 알고리즘(genetic algorithm) $^{16}$ 이나 다이렉트방법 (DIRECT method) $^{17}$ 과 같은 전역 최적화 알고리즘을 통하여 해를 얻는다. + +결국 크리킹을 통한 설계응답의 예상값은 다음 식의 최량선형불편추정량(best linear unbiased estimator, BLUE)을 통해 구할 수 있다. + +$$ +\mathbf {y} = \mathbf {f} ^ {t} (\mathbf {x}) \boldsymbol {\beta} ^ {*} + \mathbf {r} ^ {t} (\mathbf {x}) \mathbf {R} ^ {- 1} \left\{\mathbf {y} _ {\exp} - \mathbf {F} \boldsymbol {\beta} ^ {*} \right\} \tag {5.12.12} +$$ + +$$ +\text { where } \quad \boldsymbol {\beta} ^ {*} = \left(\mathbf {F} ^ {T} \mathbf {R} ^ {- 1} \mathbf {F}\right) ^ {- 1} \mathbf {F} ^ {T} \mathbf {R} ^ {- 1} \mathbf {y} _ {\exp} +$$ + +설계변수의 조합에 대한 설계응답의 관계를 근사모델로 대체하고, 이 근사모델로 표현된 최적화 문제를 구성하고 최적화를 수행하면, 근사 최적설계점을 얻게 된다. 이러한 근사모델 기반 최적화는 사용자가 원하는 성능을 가지는 시스템을 효율적으로 얻을 수 있도록 한다. + + + +# 5.13성형 한계도 + +# 5.13.1 성형 한계도 정의 + +성형한계도(Forming limit diagram, FLD)는 박강판 성형 공정(Sheet metalforming process) 판금의 파손 여부를 판단하기 위해서 사용되는 척도이다1819.FLD(그림 5.13.1)에서 성형 한계 곡선(Forming limit curve, FLC)은 파손이 일어나기 시작하는 변형률을 나타내며 재료의 특성에 따라서 달라진다. 변형률 대신응력을 기준으로 하는 성형 한계 곡선을 구할 수도 있다. 최대 주변형률(majorprincipal strain)과 최소 주변형률(minor principal strain)의 조합이 성형 한계 곡선의 하단에 위치한 경우 안전하다고 평가하고, 성형 한계 곡선 부근 혹은 상단에 위치한 경우 파손이 일어난다고 평가하며 후자인 경우에는 파손을 예방하기위해서 공정을 변경해야 한다. 예를 들면 그림 5.13.1에 사용된 박강판의 특정지점에서 최소 변형률이 0.3이고 최대 변형률이 0.5인 경우에는 성형 한계 곡선에 매우 가깝기 때문에 불안정한 설계이며, 공정을 수정해야 할 것이다. + +![](images/page-276_cba6f0f486bb8be0f7a82625b0fd0ba36f7eda31434c831405e085d696e922ad.jpg) + +
+line + +| Minor Strain | Major Strain | +| ------------ | ------------ | +| -0.3 | 0.65 | +| -0.2 | 0.55 | +| -0.1 | 0.40 | +| 0.0 | 0.25 | +| 0.1 | 0.35 | +| 0.2 | 0.45 | +| 0.3 | 0.50 | +| 0.4 | 0.55 | +| 0.5 | 0.60 | +
+ +그림 5.13.1 성형 한계도 + + + +![](images/page-277_ee1c0b09ba321a17c7f6fd5dba1b92ae4c3b1deb2320b6d71dc8b53a9cea1341.jpg) + +
+text_image + +σ₁ +σ₂ +
+ +그림 5.13.2 박강판 인장 시험 + +# 5.13.2 MMFC 배경 이론 + +본 제품에서는 FLC를 계산하기 위한 알고리즘으로 MMFC 모델(modifiedmaximum force criterion) 를 사용한다202122. 이 모델은 그림 5.13.2와 같은 인장시험에서 발생한 최대 주변형률이 최소 주변형률에 비해서 매우 클 때에 국부적네킹(local necking)이 일어난다고 가정한다. 국부적 네킹이 일어나는 과정은 두단계로 요약 할 수 있다. 첫번째 단계는 박강판 내에 최대 하중(maximum force)이 발생하기 전까지의 과정이며, 이 때에는 균일한 변형만 발생한다. 최대 하중에 도달 한 후에는 두번째 단계에 진입하며 이 때에는 변형이 점차적으로 평면변형(plane strain) 상태에 도달 하면서 추가적인 하중을 견디게 된다. + +# 5.13.3 MMFC 알고리즘 + +$\varepsilon _ { 1 }$ 와 $\varepsilon _ { 2 }$ 를 각각 최대 주변형률과 최소 주변형률이라 하자. 주변형률 증가량 비 + + + +$\beta=\Box\varepsilon_{2}/\Box\varepsilon_{1}$ 의 변화 과정은 다음 식을 이용해서 표현 할 수 있다. + +$$ +\frac {\partial \beta}{\partial \varepsilon_ {1}} = \frac {\sigma_ {1} - \frac {\partial \sigma_ {1}}{\partial \varepsilon_ {1}}}{\frac {\partial \sigma_ {1}}{\partial \beta}} \tag {5.13.1} +$$ + +알고리즘과 필요한 관계식을 요약하여 아래의 순서도(그림 5.13.3)에 나타내었다. 이를 설명하면 다음과 같다. 우선 성형 한계 곡선 계산에 사용할 항복 폐곡선과 경화 모델을 선택하고 재료에 따라서 알맞은 매개 변수를 입력한다. 관련 수식 표현은 제5.13.4장과 제5.13.5장에 기술하였다. 다음으로 초기 주응력비 $\alpha=\sigma_{2}/\sigma_{1}(0<\alpha<1)$ 를 선택하고 이에 대응하는 초기값 $\beta$ 를 연관 유동 법칙 (associative flow rule)에서 구한다. While 루프를 통해 $\varepsilon_{1}$ 을 점차적으로 증가시키면서 $\beta$ 의 변화 과정을 확인한다. $\beta$ 가 기준값보다 작아졌을 때( $\beta\rightarrow0$ 일 때) 루프를 중단하고 $\varepsilon_{1}$ 와 $\varepsilon_{2}$ 를 구한다. For 루프를 이용해 여러 초기 주응력비 $\alpha$ 에 대해서 앞의 과정을 반복함으로써 성형 한계 곡선을 구할 수 있다. + +1: procedure FLC PREDICTION BY MMFC +2: for $0 \leq \alpha \leq 1$ do +3: $\beta = \beta(\alpha) = \frac{\partial \bar{\sigma} / \partial \sigma_2}{\partial \bar{\sigma} / \partial \sigma_1}$ 4: while $\beta > \beta_{cr}$ do +5: $\triangle \varepsilon_2 = \beta \triangle \varepsilon_1, \varepsilon_1 = \varepsilon_1 + \triangle \varepsilon_1, \varepsilon_2 = \varepsilon_2 + \triangle \varepsilon_2$ 6: $\triangle \bar{\varepsilon} = (1 + \alpha \beta) f(\alpha) \varepsilon_1, \bar{\varepsilon} = \bar{\varepsilon} + \triangle \bar{\varepsilon}$ 7: $\bar{\sigma} = H(\bar{\varepsilon})$ and $\partial \bar{\sigma} / \partial \bar{\varepsilon} = H'(\bar{\varepsilon})$ 8: $\sigma_1 = f(\alpha) \bar{\sigma}, \triangle \sigma_1 / \triangle \varepsilon_1 = f^2(\alpha) (1 + \alpha \beta) \partial \bar{\sigma} / \partial \bar{\varepsilon}, \frac{\partial \sigma_1}{\partial \beta} = \bar{\sigma} \frac{\partial f}{\partial \beta} = f'(\alpha) \bar{\sigma} \frac{\partial \alpha}{\partial \beta}$ 9: if $(\sigma_1 < \triangle \sigma_1 / \triangle \varepsilon_1)$ goto line 5, +10: else $\beta^{(\text{new})} = \triangle \varepsilon_1 \left( \sigma_1 - \frac{\triangle \sigma_1}{\triangle \varepsilon_1} \right) / \frac{\partial \sigma_1}{\partial \beta} + \beta^{(\text{old})}, \alpha = \alpha (\beta^{(\text{new})})$ and goto line 5. + +그림 5.13.3 MMFC를 이용한 성형 한계곡선 계산 알고리즘 + +$\bar{\sigma}=H(\bar{\varepsilon})$ 은 경화 모델(hardening model)로써, $\bar{\sigma}$ 와 $\bar{\varepsilon}$ 은 각각 등가 응력과 등가 변화율을 의미한다. 참고로 위 알고리즘에서 $\alpha\rightarrow\beta$ 맹핑과 $\beta\rightarrow\alpha$ 맹핑을 수식적으로 표현하기 어려운 경우에는 수치적인 계산이 필요하다. + +# 5.13.4 등방성 재료 항복 곡선 + + + +\- von Mises 항복 폐곡선 + +소성 변형일 경우에는 응력이 항복 폐곡선 위에 위치 하기 때문에 등가 응력을 경화 모델에서 구할 수 있다. 따라서 von Mises 항복 폐곡선(yield locus)은 다음과 같이 표현된다. + +$$ +\sigma_ {1} ^ {2} - \sigma_ {1} \sigma_ {2} + \sigma_ {2} ^ {2} = \overline {{\sigma}} ^ {2} \text { where } \overline {{\sigma}} = H (\overline {{\varepsilon}}). \tag {5.13.2} +$$ + +MMFC 모델에 사용된 관련 수식을 나타내면 아래와 같다. + +$$ +f (\alpha) = \frac {\sigma_ {1}}{\overline {{\sigma}}} = \frac {1}{\sqrt {1 - \alpha + \alpha^ {2}}}, \tag {5.13.3} +$$ + +$$ +\beta = \frac {\Box \varepsilon_ {2}}{\Box \varepsilon_ {1}} = \frac {\partial \overline {{{\sigma}}} / \partial \sigma_ {2}}{\partial \overline {{{\sigma}}} / \partial \sigma_ {1}} = \frac {2 \alpha - 1}{2 - \alpha}, \tag {5.13.4} +$$ + +$$ +f (\alpha (\beta)) = f ^ {*} (\beta) = \frac {2 + \beta}{\sqrt {3 (1 + \beta + \beta^ {2})}}. \tag {5.13.5} +$$ + +\- Hill 1979 항복 폐곡선 + +Hill 1979 항복 폐곡선을 사용할 경우 관련된 수식은 아래와 같이 표현된다. + +$$ +\frac {1}{2 (1 + r)} \left| \sigma_ {1} + \sigma_ {2} \right| ^ {m} + \frac {(1 + 2 r)}{2 (1 + r)} \left| \sigma_ {1} - \sigma_ {2} \right| ^ {m} = \overline {{\sigma}} ^ {m}, m > 1, \tag {5.13.6} +$$ + +$$ +f (\alpha) = \left[ \frac {1}{2 (1 + r)} (1 + \alpha) ^ {m} + \frac {(1 + 2 r)}{2 (1 + r)} (1 - \alpha) ^ {m} \right] ^ {(- 1 / m)}, \tag {5.13.7} +$$ + +$$ +f ^ {\prime} (\alpha) = - f (\alpha) ^ {m + 1} \frac {(1 + \alpha) ^ {m - 1} - (1 + 2 r) (1 - \alpha) ^ {m - 1}}{2 (1 + r)}, \tag {5.13.8} +$$ + +$$ +\beta = \frac {\partial \overline {{{\sigma}}} / \partial \sigma_ {2}}{\partial \overline {{{\sigma}}} / \partial \sigma_ {1}} = \frac {(1 + \alpha) ^ {m - 1} - (1 + 2 r) (1 - \alpha) ^ {m - 1}}{(1 + \alpha) ^ {m - 1} + (1 + 2 r) (1 - \alpha) ^ {m - 1}}, \tag {5.13.9} +$$ + +$$ +\alpha = \frac {\left[ (1 + \beta) (1 + 2 r) \right] ^ {1 / (m - 1)} - (1 - \beta) ^ {1 / (m - 1)}}{\left[ (1 + \beta) (1 + 2 r) \right] ^ {1 / (m - 1)} + (1 - \beta) ^ {1 / (m - 1)}}, \tag {5.13.10} +$$ + +$$ +\frac {\partial \alpha}{\partial \beta} = \frac {\left[ (1 + \alpha) ^ {m - 1} + (1 + 2 r) (1 - \alpha) ^ {m - 1} \right] ^ {2}}{4 (1 - \alpha^ {2}) ^ {m - 2} (2 m r + m - 2 r - 1)}. \tag {5.13.11} +$$ + + + +이 모델을 사용하기 위해서는 매개변수 과 이 필요하며 이는 실험을 통해서 구한다. + +# 5.13.5 경화 모델 + +와 을 제외한 나머지는 매개변수이며 실험을 통해서 구하는 값이다. + +• Ghosh 모델 + +$$ +\bar {\sigma} = H (\overline {{{\varepsilon}}}) = A (\overline {{{\varepsilon}}} + \overline {{{\varepsilon}}} _ {0}) ^ {n} - C. \tag {5.13.12} +$$ + +• Hockett-Sherby 모델 + +$$ +\overline {{{\sigma}}} = H (\overline {{{\varepsilon}}}) = \sigma_ {1} - (\sigma_ {1} - \sigma_ {0}) e ^ {- m \overline {{{\varepsilon}}} ^ {n}}. \tag {5.13.13} +$$ diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_029.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_029.md new file mode 100644 index 00000000..6e003bdb --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_029.md @@ -0,0 +1,268 @@ + + +# 6. Load/Constraint + +# 6.1 하중 + +midas NFX에서 사용할 수 있는 정적 하중은 크게 힘, 관성력, 변위 그리고 온도에 의한 열팽창으로 구분할 수 있으며 각각을 정리하면 표 6.1.1과 같다. + +표 6.1.1 midas NFX 에서 사용할 수 있는 하중 + +
종류적용 범위
절점하중 (nodal force)절점
압력하중 (pressure load)2 차원 요소, 3 차원 요소
Bar 요소 하중Bar 요소
중력 (gravity)질량을 가지는 모든 요소
회전 관성력 (rotational force)질량을 가지는 모든 요소
강제 변위하중 (specified displacement)절점
온도(열팽창) 하중 (temperature load)절점, bar 요소, shell 요소
선행 하중 (preload)질량을 가지는 모든 요소
+ +• 절점하중 + +절점하중은 가장 기본적인 하중으로 각 절점 별로 3개 성분의 힘과 3개 성분의모멘트를 입력할 수 있으며, 그 방향은 임의의 좌표계에 대해 정의할 수 있다. + +• 압력하중 + +압력하중은 요소의 면(face)이나 변(edge)에 분포하중 형태로 입력한다. 2차원 요소 또는 3차원 요소에 사용 가능하며, 입력 방향은 임의 좌표계의 축방향, 임의벡터 방향 그리고 수직방향이 가능하다. 그림 6.1.1은 여러 가지 요소에 작용하는 압력하중의 예를 보여주고 있다. + + + +![](images/page-282_fef5f6876c91303b2e3878ad1c4fa17f5137e515e2d61c4e576f2591fac977a0.jpg) + +
+natural_image + +Three 3D structural diagrams showing force distribution on a rectangular frame, with arrows indicating direction and grid lines (no text or symbols) +
+ +그림 6.1.1 여러가지 요소에 작용하는 압력하중 + +• 중력 + +중력은 구조물의 자중 또는 관성력을 모델링 하는데 사용되며 질량을 가지는 모든 요소에 재하가 가능하다. 위치에 따라 다른 크기의 중력을 받도록 하거나 임의의 좌표계에 대해 방향을 입력할 수 있다. + +• 회전 관성력 + +회전 관성력은 구조물이 특정 축에 대해 회전하는 경우, 각속도(angular velocity)에 의한 원심력(centrifugal force)과 각가속도(angular acceleration)에 의한 관성력을 모델링하는데 사용된다. + +![](images/page-282_a8f353f9cddd2a2864df014323b50dac5485104113d2f929786a6015276a9d20.jpg) + +
+text_image + +ω,α +G +r +a×r +m +F +-ω×(ω×r) +z +y +x +
+ +그림 6.1.2 회전 관성력의 정의와 작용하는 힘의 방향 + + + +그림 6.1.2와 같이 축 R을 중심으로 회전하고 있는 절점의 회전 관성력은 다음식으로 표현된다. + +$$ +\mathbf {F} = m (- \boldsymbol {\omega} \times (\boldsymbol {\omega} \times \mathbf {r}) + \boldsymbol {\alpha} \times \mathbf {r}) \tag {6.1.1} +$$ + +ω : 회전 각속도 벡터 + +r : 회전축으로부터의 위치벡터 + +α : 회전 각가속도 벡터 + +\- 강제 변위 + +강제 변위는 특정 절점에 변위를 부여하는 것으로서 절점의 변형 후 위치를 알고 있을 때 사용된다. 강제 변위는 구조물의 변형을 발생시키기 때문에 하중으로 분류하고 있으나, 구속력이 발생하는 등 경계조건과 유사한 특징이 있다. + +해석하고자 하는 문제의 자유도 전체를 $u_{A}$ 라 하고 이를 강제 변위가 부여된 자유도와 나머지 자유도로 구분하면 다음과 같다. + +$$ +\mathbf {u} _ {A} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} _ {F} \\ \mathbf {u} _ {S} \end{array} \right\} \tag {6.1.2} +$$ + +$u_{F}$ : 강제 변위가 부여되지 않은 자유도 + +$u_{S}$ : 강제 변위가 부여된 자유도 + +같은 원리로 강성행렬 역시 다음과 같이 구분하여 표현할 수 있다. + +$$ +\mathbf {K} _ {A A} \mathbf {u} _ {A} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {K} _ {F F} & \mathbf {K} _ {F S} \\ \mathbf {K} _ {S F} & \mathbf {K} _ {S S} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} _ {F} \\ \mathbf {u} _ {S} \end{array} \right\} = \mathbf {f} _ {A} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {F} \\ \mathbf {f} _ {S} \end{array} \right\} \tag {6.1.3} +$$ + +위식에서 $u_{s}$ 는 결정된 값이므로 행렬 방정식의 두 번째 행은 의미를 가지지 않는다. $u_{s}$ 를 이용하여 첫 번째 행을 정리하면 다음과 같이 강제 변위에 의한 하중을 계산할 수 있다. + +$$ +\mathbf {K} _ {F F} \mathbf {u} _ {F} = \mathbf {f} _ {A} - \mathbf {K} _ {F S} \mathbf {u} _ {S} \tag {6.1.4} +$$ + + + +# • 온도 하중 + +온도 하중은 초기온도와 최종온도의 차이 로 나타낼 수 있으며, 재료온도$T _ { m }$ 에 의해 결정되는 열팽창 계수에 의하여 변형률 를 발생시킨다.그러므로 초기온도와 최종온도를 각각 구조물에 정의해야 한다. 온도를 정의하는 방법은 표 6.1.2와 같다. + +표 6.1.2 구조물에 정의할 수 있는 온도의 종류 + +
종류적용 범위
기본 온도온도가 정의되지 않은 모든 절점
절점 온도절점
요소 온도bar, membrane, plane strain, shell온도 구배 : bar, shell
+ +표 6.1.2에 표시된 온도는 초기온도와 최종온도로 모두 사용될 수 있으며, 초기온도를 설정하지 않은 경우에는 재료 성질에 정의되어 있는 참조온도(referencetemperature)를 사용한다. + +# • 선행 하중 + +선행 하중은 요소가 해석 초기에 받게 되는 부재력을 정의하는 것으로서, 볼트의 체결력(bolt load) 혹은 프리텐션과 초기힘/스트레스가 이에 해당한다. 선행하중은 다른 하중과 분리하여 해석하게 되며, 그 해석 절차는 다음과 같다. + +예를 들어 bar 요소에 작용하는 선행 하중의 크기를 라 하면, 이를 요소 내력으로 간주하여 선행 하중해석을 수행한다. + +$$ +\mathbf {K} \mathbf {u} = - \mathbf {f} _ {\text { int }} \tag {6.1.5} +$$ + +$\mathbf { f } _ { \mathrm { i n t } }$ : 선행 하중 에 의한 요소 내력 + +이 때 볼트의 체결력은 선행 하중을 받은 요소의 강성을 무시함으로써, 인접 요소에 선행 하중의 크기가 정확하게 전달되도록 한다. 해석 결과는 초기응력(initial stress)으로 간주하여 일반 하중과 함께 해석에 적용한다. + +초기 힘/스트레스는 재하된 선행 하중으로 발생한 초기응력이 다른 일반 하중에 + + + +의한 응력과 합쳐지며, 선행 하중을 받은 요소의 강성을 무시하지 않아 인접 요소에 선행 하중의 크기가 정확히 전달되지 않는다. 이 하중은 케이블 혹은 바요소 등의 초기 긴장력을 표현하는데 사용한다. + +$$ +\mathbf {K} \Delta \mathbf {u} = \mathbf {f} - \mathbf {f} _ {\text { int }} (\boldsymbol {\sigma}) \tag {6.1.6} +$$ + +f(0) : 초기응력에 의한 요소 내력 + + + +# 6.2 구속조건 + +구속조건은 크게 단일 절점 구속(single-point constraint)과 다중 절점 구속(multi-point constraint)이 있다. 단일 절점 구속이란 구속조건이 하나의 절점에적용되는 것을 의미하며 다중 절점 구속이란 여러 개의 절점 자유도 간에 특정한 관계가 성립하도록 구속하는 것을 의미한다. + +# • 단일 절점 구속 + +단일 절점 구속은 구속하고자 하는 개별 절점의 자유도 성분을 선택적으로 고정시킴으로써 해당 자유도를 제거하는 결과를 가져오게 된다. 단일 절점 구속을사용하는 대표적인 경우는 실제로 변위가 발생하지 않는 지점에 적용하거나 대칭조건을 설정하기 위하여 사용하는 것이다. + +이 밖에도 해석에 반영하면 안 되는 자유도를 제거하기 위하여 단일 절점 구속을 사용하기도 한다. 이 방법은 강성행렬의 특이성을 제거하는 것과 같으며, 특히 구속조건을 적용하고자 하는 방향을 적절하게 설정하는 것이 중요하다. 예를들어 다음 그림과 같은 예제에 있어서 두 rod 요소가 만나는 절점은 축방향으로만 자유도를 가지게 되므로 그 이외의 자유도는 해석에 반영되면 안 된다. 따라서 그 이외의 방향을 적절히 구속하여 강성행렬에서 특이성을 제거해야 하는데, 좌표축이 그림과 같이 x-y 좌표계로 정의되어 있다면 적절한 구속 방향을결정할 수 없다. 그러므로 요소의 축방향과 이에 수직인 벡터 을 포함하는 새로운 절점 변위 좌표계를 정의하여, n 방향을 구속해 줌으로써 해석에 필요한적절한 구속조건의 설정이 이루어질 수 있다. + +![](images/page-286_60f1a09abfae3fd2ebd174dcfc6519ac1bebfba4bf17208e9b1870862c2195c5.jpg) + +
+text_image + +n +y +ROD 1 +ROD 2 +x +
+ +그림 6.2.1 절점 변위 좌표계의 사용 예 + + + +• 다중 절점 구속 + +다중 절점 구속은 여러 개의 절점 자유도 간의 선형 관계식을 이용하여 구속조건을 적용하는 것으로서 선형 관계식의 일반적인 형태는 다음과 같다. + +$$ +R _ {j} u _ {j} = 0 \tag {6.2.1} +$$ + +$R _ { j }$ : 선형 관계식의 계수 + +$u _ { j }$ : 구속조건에 관계된 자유도 + +다중 절점구속 조건이 여러 개 있을 경우 다음과 같이 행렬 형태로 나타낼 수있다. + +$$ +\mathbf {R} _ {M} \mathbf {u} _ {M} = \mathbf {0} \tag {6.2.2} +$$ + +위와 같은 다중 절점 구속조건을 연립방정식에 적용하기 위해서는 $\mathbf { u } _ { M }$ 을 주자유도(independent DOF)와 종속자유도(dependent DOF)로 구분하여, 연립방정식으로부터 종속자유도를 소거하는 방법을 사용한다. 먼저 다중 자유도 구속조건에 관여하는 자유도를 다음과 같이 주자유도 $\mathbf { u } _ { I }$ 와 종속자유도 ${ \bf u } _ { D }$ 로 구분한다. + +$$ +\mathbf {u} _ {M} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} _ {I} \\ \mathbf {u} _ {D} \end{array} \right\}, \mathbf {R} _ {M} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {R} _ {I} & \mathbf {R} _ {D} \end{array} \right] \tag {6.2.3} +$$ + +위 식을 이용하면 (6.2.2)를 다음과 같이 표현할 수 있다. + +$$ +\mathbf {R} _ {I} \mathbf {u} _ {I} + \mathbf {R} _ {D} \mathbf {u} _ {D} = \mathbf {0} \tag {6.2.4} +$$ + +주어진 식에서 $\mathbf { R } _ { D }$ 의 역행렬이 존재한다면 주자유도와 종속자유도 간의 관계식을 다음과 같이 정리할 수 있다. + +$$ +\mathbf {u} _ {D} = - \mathbf {R} _ {D} ^ {- 1} \mathbf {R} _ {I} \mathbf {u} _ {I} = \mathbf {G} \mathbf {u} _ {I} \tag {6.2.5} +$$ + +이 식을 이용하여 전체 모델로 이루어진 연립방정식으로부터 종속자유도 $\mathbf { u } _ { D } \triangleqq$ + + + +소거할 수 있다. + +다중 절점 구속은 그 적용 범위가 매우 넓어서 다음과 같은 다양한 경우에 활용할 수 있다. + +► 두 절점 간의 상대적 운동을 모사하는 경우 +► 힌지 또는 슬라이딩 조인트를 모사하는 경우 +► 절점 당 자유도 개수가 서로 다른 요소 간의 인접부를 결합하는 경우 +► 하중을 분산하여 작용하도록 하고자 할 때 +► 절점에 할당된 변위 좌표계에 일치하지 않는 방향으로 구속조건을 적용하고자하는 경우 + +강체/보간 요소에서 발생하는 자유도 간의 구속은 다중 절점 구속의 한 종류에해당하며, 실제로 강체/보간 요소에 의해 표현되는 거동의 경우에는 다중 절점구속을 사용하는 것보다 강체/보간 요소를 이용하는 것이 편리하다. + +• 자동 단일 절점 구속 + +midas NFX에서는 절점 단위에서 강성행렬의 특이성(단일 절점 특이성)을 자동으로 발견하여 구속조건을 자동으로 적용해 주는 자동 단일 절점 구속(automatic single-point constraint) 기능이 있다. 이 기능을 사용하게 되면 절점단위로 변위 또는 회전에 대해 구성된 3x3 강성행렬을 분석하여, 강성이 0에 가까운 방향으로 구속 조건을 생성한다. + +그림 6.2.1과 같이 rod 요소로 이루어진 모델에 대해서 자동 구속을 사용하면,앞서 설명한 단일 자유도 구속을 정의하지 않더라도 강성 성분이 없는 방향으로의 구속조건이 자동 생성된다. 이 경우 앞에서와 마찬가지로 요소의 축방향과 이에 수직인 벡터 을 포함하는 절점 변위 좌표계를 정의해 두는 것이 중요하다. + +• 구속력 계산 + +구속조건이 적용된 자유도에 대해서는 구속력이 작용하게 되는데, 해가 구해진경우 다음과 같이 단일 절점 구속 및 다중 절점 구속에 대한 구속력을 계산할수 있다. + +단일 절점 구속력 와 다중 절점 구속력 는 다음 평형방정식을 만족시켜야한다. + + + +$$ +\mathbf {f} _ {\text { int }} = \mathbf {f} _ {\text { ext }} + \mathbf {f} _ {S} + \mathbf {f} _ {M} \tag {6.2.6} +$$ + +$f_{ext}$ : 외부 하중 벡터 + +$f_{int}$ : 내력 벡터 ( $\int B^{T}\sigma d\Omega$ ) + +위 식을 주자유도(,,I)와 종속자유도 성분(,,D)으로 분리하고, 단일 절점 구속과 다중 절점 구속이 동일한 자유도에 적용될 수 없다는 조건을 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있다. + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {\text { int }, I} \\ \mathbf {f} _ {\text { int }, D} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {\text { ext }, I} \\ \mathbf {f} _ {\text { ext }, D} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {S, I} \\ \mathbf {0} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {M, I} \\ \mathbf {f} _ {M, D} \end{array} \right\} \tag {6.2.7} +$$ + +따라서 종속자유도에 대한 구속력 $f_{M,D}$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다. + +$$ +\mathbf {f} _ {M, D} = \mathbf {f} _ {\text { int }, D} - \mathbf {f} _ {\text { ext }, D} \tag {6.2.8} +$$ + +또한 주자유도에 대한 구속력 $f_{M,I}$ 는 (6.2.5)를 이용하면 다음의 관계를 만족한다. + +$$ +\mathbf {f} _ {M, I} = - \mathbf {G} ^ {T} \mathbf {f} _ {M, D} \tag {6.2.9} +$$ + +이와 같이 다중 절점 구속력이 구해지고 나면 (6.2.7)로부터 단일 절점 구속력 $f_{S,I}$ 를 최종적으로 계산할 수 있다. + + + +# 6.3 열하중/경계조건 + +midas NFX 열전달 해석에 있어서 열 하중 및 경계조건으로는 절점에 부가되는온도 경계조건, 절점, 선 및 표면에 가해지는 열속(heat flux), 대류(convection),복사(radiation) 등을 사용할 수 있으며, 각각을 정리하면 표 6.3.1과 같다. 그림6.3.1은 midas NFX 열전달 해석에서 고려할 수 있는 하중조건 및 경계조건을 나타낸다. + +표 6.3.1 midas NFX 에서 사용할 수 있는 열 하중/경계조건 + +
종류적용 범위
절점 온도조건 (prescribed nodal temperature)절점
발열 (heat generation)1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소
열속 (heat flux)절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소
대류 (convection)절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소
파이프 냉각(pipe cooling)1 차원 요소
복사 (radiation)절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소
공동 복사 (cavity radiation)2 차원 요소, 3 차원 요소
diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_030.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_030.md new file mode 100644 index 00000000..252a81a7 --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_030.md @@ -0,0 +1,291 @@ + + +![](images/page-291_caa982852666829fea7ae661af03c4d3eff3abec4236b7014162738fecb299a4.jpg) + +
+flowchart + +```mermaid +graph TD + A["Convection"] --> B["Insulated"] + B --> C["Prescribed temperature"] + C --> D["Heat generated internally"] + D --> E["Cavity radiation"] + E --> F["Pipe cooling"] + F --> G["Flux"] + G --> H["Radiation"] + H --> A + style A fill:#f9f,stroke:#333 + style B fill:#ccf,stroke:#333 + style C fill:#cfc,stroke:#333 + style D fill:#fcc,stroke:#333 + style E fill:#cff,stroke:#333 + style F fill:#ffc,stroke:#333 + style G fill:#fcf,stroke:#333 + style H fill:#cff,stroke:#333 +``` +
+ +그림 6.3.1 열 하중/경계조건의 개념도 + +• 절점 온도조건 + +모델에 일정한 알려진 온도를 부가하기 위하여 사용된다. 구조해석의 강제 변위와 마찬가지로 온도조건이 부가된 절점의 온도 자유도는 전체 자유도에서 소거되며 하중 벡터에 영향을 준다. + +• 발열 + +고체 내부에서 발생하는 열량을 모사하기 위해 사용된다. 단위부피당 발열률을 입력함으로써 요소내부의 발열에 의한 효과를 얻을 수 있다. + +• 열속 + +열속은 단위면적당 일률(power) 또는 단위시간, 단위면적에 대한 에너지를 나타 + + + +낸다. midas NFX에서는 절점, 요소의 면(face)이나 변(edge)에 열속을 가할 수있다. 절점에 열속을 부가하는 경우, 추가적으로 면적인수(area factor) 값을 통하여 면적이 결정된다. 변에 열속이 가해질 경우에는 가해진 변의 두께정보 또는사용자가 제공하는 면적인수를 이용하여 면적이 결정된다. + +# • 대류 + +midas NFX 에서는 외기온도(ambient temperature)와 표면온도 차이에 의한 자연대류(natural convection) 조건을 절점, 요소의 경계 면이나 변에 부가할 수 있다. 대류현상에 의한 열교환량 또는 열속은 다분히 경험적이며, midas NFX에서는 다음과 같은 두 가지 형태의 대류에 의한 열속 관계식을 제공한다. + +$$ +q = h \left(T ^ {*}\right) \left(T - T _ {A}\right) ^ {\alpha_ {c} + 1} \tag {6.3.1} +$$ + +$$ +q = h (T ^ {*}) (T ^ {\alpha_ {c}} - T _ {A} ^ {\alpha_ {c}}) +$$ + +T : 표면 온도 + +TA : 외기 온도 + +a : 지수 + +h : 표면 대류계수 + +표면 대류계수는 표면 온도 또는 외기 온도에 대한 함수로 표현 가능하며, 절점에 대류조건을 부가하는 경우에는 추가적으로 면적인수를 통하여 면적이 결정된다. 변에 부가된 경우 가해진 변의 두께정보 또는 사용자가 제공하는 면적인수를 이용하여 면적이 결정된다. + +# • 파이프 냉각 + +midas NFX에서는 1 차원 요소 내부를 흐르는 유체에 의한 냉각 효과를 하중으로 부여할 수 있다. 유체는 1 차원 요소 내부에서 일정 유속으로 이동하며, 1차원 요소와 유체간에 대류 열전달이 발생한다. 여기서 축방향 전도에 의한 열전달과 유체의 운동 및 포텐셜 에너지는 무시될 수 있다. 유체의 온도는 유체와관사이의 총 열전달량과 대류에 의해서 전달되는 열량이 같다는 조건을 사용하여 다음과 같이 순차적으로 구할 수 있다. + + + +$$ +T _ {w, o} = \frac {\frac {h _ {p} A _ {s}}{2} \left(T _ {i} + T _ {o}\right) - \left(\frac {h _ {p} A _ {s}}{2} - \dot {m} c _ {m}\right) T _ {w , i}}{\left(\frac {h _ {p} A _ {s}}{2} + \dot {m} c _ {m}\right)} \tag {6.3.2} +$$ + +$\dot{m}$ : 단위시간당 물의 유입량 + +$c_{m}$ : 물의 비열 + +$T_{w,i}$ , $T_{w,o}$ : 냉각수 유입 및 유출 온도 + +$h_{p}$ : 관의 유슈 대류계수 + +$A_{s}$ : 물과 접하는 관의 표면적 + +$T_{i}$ , $T_{o}$ : 관의 표면 온도 + +# - 복사열 + +표면과 외기 온도 사이의 온도 차이가 존재하는 경우에 복사에 의한 열교환이 발생한다. midas NFX에서는 복사에 의한 열교환 조건을 부가할 수 있으며, 복사에 의한 열유량은 다음과 같이 표현된다. + +$$ +q = \sigma F \left(\varepsilon T ^ {4} - \alpha T _ {A} ^ {4}\right) \tag {6.3.3} +$$ + +σ : Stephan-Boltzmann 상수 + +ε : 방사율 (emissivity) + +α : 흡수율 (absorptivity) + +F : 복사형상 계수 (radiation view factor) + +복사 열전달 관계식은 절대온도에 관한 식임에 주의해야 한다. + +# - 공동 복사 + +표면과 표면 사이 또는 여러 표면으로 구성된 공동 내부의 복사 해석에서는 각각의 표면들 사이에 연계된 형식으로 열교환이 발생하기 때문에 앞에서 소개된 외기와의 복사 열교환과는 다른 형태를 갖는다. 공동 복사에 의한 i 번째 면에 전해지는 단위면적당 열유량은 다음과 같이 표현된다. + + + +$$ +\begin{array}{l} q _ {i} = \frac {\sigma \varepsilon_ {i}}{A _ {i}} \sum_ {j} \varepsilon_ {j} \sum_ {j} F _ {i j} C _ {k j} ^ {- 1} \left(T _ {j} ^ {4} - T _ {i} ^ {4}\right) \tag {6.3.4} \\ C _ {i j} = \frac {1}{A _ {i}} \left[ \left(\delta_ {i j} - \left(1 - \varepsilon_ {i}\right) F _ {i j}\right) \right] \quad (n o s u m m a t i o n) \\ \end{array} +$$ + +$\varepsilon_{i}$ : i 면의 방사율 + +$F_{ij}$ : j 면에 대한 i 면의 형상계수 + +$A_{i}$ : i 면의 면적 + +$\delta_{ij}$ : 크로네커 델타 (kronecker delta) + +![](images/page-294_f9678bc2149c3f6641a6ca98c47bed752ec682967713c680ee08d1dff7b5b5ac.jpg) + +
+text_image + +dA_i +n_i +φ_i +R_ij +n_j +φ_j +dA_j +
+ +그림 6.3.2 기하학적 형상과 복사형상계수 + +복사형상계수는 두 면사이의 복사열교환이 발생하는 정도를 나타내며 기하학적으로 다음과 같이 정의된다. + +$$ +F _ {i j} = \frac {1}{A _ {i}} \int_ {A _ {i}} \int_ {A _ {j}} \frac {\cos \phi_ {i} \cos \phi_ {j}}{\pi R _ {i j} ^ {2}} d A _ {i} d A _ {j} \tag {6.3.5} +$$ + +위 적분식은 양 면의 두 점이 서로 가시관계가 유지되는 경우에만 성립하며, 그렇지 않은 부분은 적분식에서 제외되는데, 복사열이 제3의 물체에 의해 도달하 + + + +지 않을 경우(radiation blockage)가 이에 해당된다 (그림 6.3.3). 닫힌 공동(enclosed cavity)의 경우 주어진 번째 면에 대한 나머지 모든 면의 복사형상계수를 더했을 경우 1이 나오게 되며, 복사형상계수 계산의 정확도를 확인하는데도움이 된다. + +$$ +\sum_ {j} F _ {i j} = 1 \tag {6.3.6} +$$ + +열린 공동의 경우 위 식의 합계는 1보다 작게 되고, 이 경우 외기로 복사열이전달되게 된다. midas NFX에서는 3차원 임의의 형상에 대해 자동으로 복사형상계수를 계산하는 기능이 제공된다. + +![](images/page-295_8682cfd1a1425372f0e4f57fea9e10610ae62a42b9988814c3b57b3b0c8adc38.jpg) + +
+text_image + +G +Cavity +Blockage +Blocked from G +
+ +그림 6.3.3 복사 열전달이 차단되는 예 + + + +# 6.4 특이성 오류 + +강성행렬의 특이성(singularity) 오류가 발생하면 유일한 해가 존재하지 않으며,이는 유한요소 모델에 오류가 있음을 시사한다. 특이성 오류는 하나의 절점에서판단할 수 있는 단일 절점 특이오류와 전체 강성을 판단하여 알아낼 수 있는 메커니즘(mechanism) 형태의 특이오류로 구분할 수 있다. + +• 단일 절점 특이오류 + +단일 절점 특이오류는 요소의 특성을 정확하게 알지 못하고 사용하는 경우에 발생한다. 예를 들어 rod, membrane과 같이 특정 방향으로 강성을 전혀 가지지않는 요소를 사용하거나 spring 요소의 강성 방향을 특정 방향으로만 지정한 경우에 발생한다. 이런 경우 해를 정상적으로 구하기 위해서는 단일 절점 구속을적절하게 이용하여 특이오류를 제거해야 한다. 단일 절점 특이오류는 강성행렬을 분해하지 않고도 절점단위에서 판단할 수 있기 때문에 6.2절의 자동 단일 절점 구속 기능을 이용하여 오류에서 제거할 수 있다. + +• 메커니즘 특이오류 + +메커니즘 형태의 특이오류는 두 개 또는 그 이상의 절점이 서로 연관되어 나타난다. 특히 구속조건이 부적절하게 설정된 경우에 흔히 발생한다. + +![](images/page-296_245a61b2d229a1263b9fd1efd199c37a0286329810e4885643a0629c6e5339fb.jpg) + +
+text_image + +u₁ +k +u₂ +
+ +그림 6.4.1 구속조건이 없는 탄성 연결 + +예를 들어 위 그림과 같은 시스템의 경우 평형 방정식은 다음과 같이 표현할 수있다. + + + +$$ +\left[ \begin{array}{l l} k & - k \\ - k & k \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} u _ {1} \\ u _ {2} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} p _ {1} \\ p _ {2} \end{array} \right\} \tag {6.4.1} +$$ + +이 강성행렬은 역행렬이 존재하지 않으며 하중이 $P_{1} = -P_{2}$ 인 경우에는 많은 해를 가지게 된다. 이 때 강성행렬의 고유치에는 0이 포함되어 있으며 이에 해당하는 고유벡터는 구조물이 변형 에너지 없이 변위가 발생하는 모양에 해당한다. 일반적인 구조물의 경우 구속조건이 전혀 가해지지 않게 되면 강성행렬은 강체운동(rigid-body motion)에 해당하는 6개의 0인 고유치를 가지게 되며 특이성 오류에 의해 유일한 해를 계산할 수 없다. + +메커니즘 특이오류의 존재 여부는 강성행렬의 분해 과정에서 알아낼 수 있는데, 강성 분해 과정 중 대각항에서 0에 가까운 값이 발견되었을 경우 특이오류로 판단한다. 분해 과정 중 특이오류가 발생하게 되면 프로그램 실행을 중단하거나 작은 크기의 강성을 대각항에 추가하여 계산을 계속 수행할 수 있다. 대각항에 강성을 추가하는 방법은 유한요소 모델에 spring 요소를 추가하는 것과 같은 결과를 가져온다. + + + +# 6.5 하중의 비선형성 + +시스템의 비선형성은 재료의 비선형성(소성, 초탄성 등) 또는 기하학적 비선형성에 기인하는 경우가 많다. 이에 추가하여 하중의 비선형성에 의한 시스템의 비선형 해석이 필요한 경우가 있다. 예를 들어 하중의 방향이 구조물의 변위에 따라 바뀌거나, 심하게는 하중의 크기가 구조물의 거동에 의존적인 경우이다. midas NFX에서는 기하학적 비선형 해석을 수행하는 경우 하중의 방향이 구조물의 변위에 따라 바뀌는 종동력(follower load) 효과를 반영할 수 있다. + +# - 종동력 + +절점 하중(nodal force)의 방향이 다른 두 점의 상대적인 위치에 의해 결정되는 경우, 그 크기와 방향은 다음과 같다. + +$$ +f _ {\beta} = F n _ {\beta} = F \frac {(x _ {k \beta} - x _ {j \beta})}{\left\| \mathbf {x} _ {k} - \mathbf {x} _ {j} \right\|} \tag {6.5.1} +$$ + +j, k : 하중 방향을 결정하는 절점 + +$\beta$ : 하중 성분 $(x,y,z)$ + +$f_{\beta}$ 를 $x_{j\alpha}$ 에 대해 미분하면 다음과 같다. + +$$ +\frac {\partial f _ {\beta}}{\partial x _ {j \alpha}} = F \left(\frac {(x _ {k \alpha} - x _ {j \alpha}) (x _ {k \beta} - x _ {j \beta})}{\left\| \mathbf {x} _ {k} - \mathbf {x} _ {j} \right\| ^ {3}} - \frac {\delta_ {\alpha \beta}}{\left\| \mathbf {x} _ {k} - \mathbf {x} _ {j} \right\|}\right) \tag {6.5.2} +$$ + +이와 동일한 과정으로 $x_{k\alpha}$ 에 대한 미분값 역시 계산할 수 있으며, 결과적으로 비대칭 강성행렬이 구성된다. 이와 같이 하중의 비선형성에 의한 강성을 하중강성이(load stiffness)라 하며 비대칭성이 매우 강한 행렬이 발생하는 것이 일반적이다. + +구조물의 특정 면에 수직으로 작용하는 압력은 그 면의 방향이 변화함에 의해 압력 방향 또한 바뀐다. 그림 6.5.1은 구조물의 면에 작용하는 힘이 수직압력인 + + + +경우와 방향이 고정되어 있는 경우에 대한 대변형 효과를 보여준다. + +![](images/page-299_806c43460205d2252ccd51988a37fbef969ed03f569180e2fae3102de2e2abae.jpg) + +
+natural_image + +Pure diagram of a curved surface with arrow-like patterns and dotted lines, no text or symbols present +
+ +Normal pressure + +![](images/page-299_eca6762b846774d90da9139a659ac18e3b9422b150385ce44c8d5527bf945e06.jpg) + +
+natural_image + +Pure diagram of a curved surface with arrows indicating direction, no text or symbols present +
+ +Pressure in specified direction +그림 6.5.1 대변형에 의한 압력 하중의 방향 변화 + +요소면에 수직으로 작용하는 압력에 의한 하중강성의 계산과정 $^{1}$ 은 다음과 같다. 요소의 I 번째 절점의 절점하중은 압력 $p(\xi,\eta)=p^{J}N^{J}(\xi,\eta)$ 을 이용하여 다음과 같이 적분하여 계산한다. + +$$ +\mathbf {f} ^ {I} = \iint p (\xi , \eta) \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \xi} \times \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \eta} N ^ {I} (\xi , \eta) d \xi d \eta \tag {6.5.3} +$$ + +기하강성 $K^{IJ}$ 는 위 식을 절점 위치에 대해 미분하여 계산할 수 있다. + +$$ +\mathbf {K} ^ {I J} = \frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial \mathbf {x} ^ {J}} = \left[ \frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial x _ {1} ^ {J}} \quad \frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial x _ {2} ^ {J}} \quad \frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial x _ {3} ^ {J}} \right] \tag {6.5.4} +$$ + +강성을 구성하는 각 열은 (6.5.3)에서 변위에 의해 변화하는 x 의 미분으로부터 구할 수 있다. + +$$ +\frac {\partial \mathbf {f} ^ {I}}{\partial x _ {j} ^ {I}} = \iint p \left[ \left(\frac {\partial}{\partial x _ {j} ^ {I}} \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \xi}\right) \times \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \eta} + \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \xi} \times \left(\frac {\partial}{\partial x _ {j} ^ {I}} \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \eta}\right) \right] N ^ {I} d \xi d \eta \tag {6.5.5} +$$ + +이 밖에 bar 요소 하중, 중력, 회전 관성력 등이 종동력의 효과가 있으며, 각 하중에 대해 변위에 따라 변화하는 영향을 고려할 것인지 여부를 선택할 수 있다. 표 6.5.1은 midas NFX에서 종동력 효과를 적용할 수 있는 하중의 종류를 + + + +설명한 것이다. + +표 6.5.1 midas NFX 에서 종동력의 효과를 고려할 수 있는 하중 + +
종류적용 범위/방법
절점하중두 절점으로 방향을 정의한 경우,하중강성 이용
압력하중요소면에 수직으로 작용하는 하중의 경우,하중강성 이용
Bar 요소 하중방향을 ECS 기준으로 정의한 경우,하중강성 이용
중력하중강성 이용하지 않음
회전 관성력하중강성 이용
diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_031.md b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_031.md new file mode 100644 index 00000000..ddcf938d --- /dev/null +++ b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/MidasNFXAnalysisManual_031.md @@ -0,0 +1,5 @@ + + +# midas NFX + +최적설계용 다분야 통합해석 솔루션 diff --git a/.raw/MidasNFXAnalysisManual/images/page-001_5c4853f0cd473169cebe55c5b70d3a49e1275af6e6e9ad8039583d40fcfb83ea.jpg b/.raw/MidasNFXAnalysisManual/images/page-001_5c4853f0cd473169cebe55c5b70d3a49e1275af6e6e9ad8039583d40fcfb83ea.jpg new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa815b133026b44d403f5812e54f6791fdcd5c77 GIT binary patch literal 26186 zcmbTe2RNMV_C7je^e7P|$|x}eL-MK7doYMH7(GIi#E9Mr1|f(#T8J`w@0|z|(OdK$ zqW9?0&&c=f{oDJ0o!`06Ig{%V=6&Uw^*pQG>%P~U>xt`mz-?s(B?SNw2mk=Fe*o9h z06735K0X0H9w7k%0TB@)F$onZ$*o%?w09`UsTk;(7#ZlmU}n}w?943O5HOfSh?AR# zS3p33iCsiOm{0r>zX0FOKLR8oA|km(LPJVQ!*?HipYQ+k>$(L%L5L%bg9ie#0B|UP zAPV4h8-NM>Iq`shUVwjIKpYS*9zFpf5%DeT4b`^+I6x2x2N#5ghl`87+Z%fwfJ=dQ z=RU6tJ|*0gfW?7|&o4Ti5F%UNO0D_*7c2h@M}H#XyZ2~l>DV5yb8tch1Ro0ti-^iS zkylWJDJg4dBXo52^bO3+Ei7NYvO+pJySTc!dw2%C4Gel091@C-iH(a-_>h>Ck(rg9 zlbe@cP*GV`T~k|E-|*#Y+qd?P&aUpE;gQj?@rlW)g`bN{%PXsE>l=If2Zu+;C%;e6 zZtMaAK!2Ns{rb0I|A$=^Si5j=aY48QH+BJW+^`Eofs1#a7yph7oWRt9l7-KYkV-Z> zy}XqO!ms&@`i0|n;=8N@3v7Egrv0((|D9p}|GzBzw_*Qd*A##R1jHU5hyox5_{otG zdZt0lk(rOd32h`rz53d9pLUBtS;;0{CeG5%SYDS4CxzNXk?0C?I&`Yx`{wFJ0tfZ0 zLSsbp$@Br0ht4(Nhg~nc8_xhb5NCIJeDRI(S?$dgM?V8}v4`uAo2$#yzTVBeDzU^> zh_px3SDr%aFtdQFpa>1F?^+%XF@Y~s^;I|w`1&|$XxYos<;$r!Ngq-(vr)mN@u=W1 z+>B5Tz|G3a&dLJHQ)yv;-~_ z%4l;1vw&)BA}58%jx)sC+U){bL9Cj=^VfjXpxih=1)7%LiYalHQ@7)51Fy@ zNaf0#_pl#cG2xGK;35m;zYYC+3mnU-^9m)knXraxdT3k&-ds65mT|$gKK#7eyV!sg zn?>#GI}N8+an#@`a}Gg^!U`NQ^GpU%1^tXrE{v&;nS7vl`}yzAV`_sOtyPvbcheK~ z(rN*m;?^Gr|S?o>)QNfi9`X@A$Fu3{YH6D?&_r^-5*IRXa z6H)MyRR4ID`Amz7)H?E+OX$eMB9vV;X@R9&z~$UZfx4pwz4TPtEH$s+oEgnmn24M0 zdyU%>Fx?sNaoP;sNgz4F#E{mPltxtNn!Hfy7)F*(*+5yE3NFt~jQs|1b41uBjXlh# zIH4Rj=cj>Pnt&{UDh(X$M+3y(+{%%GB91n3)o8QPYF8D8va-mbS21gxW_9Lanfq^7 z8NO+%&XjMQ!Ws4D^GeqMV!p z_yJFfc#u``%VfUq#^Sj$>c~5fc6CPM#-TFQxsA;Hp}-5XeSwd<=ZpJ-j)o?a9Ik0< z?fDhkuX(1dh3E+%m!5Piy_#zN!4#bZp^AgtLt>BCMFTIES>; zK^S>4OX(g{0~D5NH3JQMC{Tj)_3rVhBB(w)RU<0{oc7ahUDHVUz81-omzg}<+u8*m zD=M%)%*7kOmJzx}gWUw6=+6b&m=MKT_TNpPtLehOnr?_{LEC+X#5@+S0Zi9`%~4xW zvF)48<*pO*b)Dt#XRr-Y%ev0lA5AKFt%#`~&d!pt!)q;}dcCRv!{s@Mv1wM5GFC=; z`K69VCZSc$pLm|iNqX@j#0P$JSv9ZXA`ZpG%D3gK%SdZ0J%S~uMi<$t{kK7HQUlJC z3I#WBYcj=odnM(L6(%a0aH}{xoJkXNSf3z9caXc232P{a7V(u+UM@zqz)6Zp3R#Y* zIX7MLdW2@soab#zkp^!kd+6im!+K`0r-eYAI@ggU zd3Dm0%`m5RRS&6sMei8E0&N=?hYZ$V4^$urej(#j2_K)=p5UrunCpQHmJy??<4F1O7U zwC!U{D15;?k~*4&6vEsUQoU`Z-xcEfSTZho$1#gvuMiVBEf}N1^6m5Tr zwbX_Oc(V9DMd2 zA)CwYxECUlahfF;jQ~x}AsrKJm;(%N(ir9@KWC<6H^1@qFQo_TzsUE<1~mEsv2Wp( z)iRoY^*4GQ7c`BcD%hm+{Dgq*o?0061EWtVA3l2u&;9>`+0nZ5R8>nO$Hz^J#8mIXT>30Il-$&1wqoln(YQevFK*l~UOW6~Q_$jm4 zrpHL_630)w;Vf+&JgIo1rU*x%#e(d~mQMtZ;$MBXc{dXgJNcKnGZe!iVJ}i>`t@eQt0_~VA>`(u#P=omJuS)X^jINWQOKTE z-pxK3Rlde0_lB2!(r@-clV?X>R&j#)8ju^Jc=@Y&5n-yiqwT`%r<3+5MY_SFhS)y9 zZxdnQ%p9H-u&aZg)OCv%%qbB8jV++42_lX78B+gnFld#5v&qVeiy{!aNB&VmLv(+N zLajWNu8hpz)j$KNOh#tKfgz}y5sGY2BiWZv3BLva#r>fIufdE#{=`B|ez_}nX;87E z5BOc8AG$UVuK~n)GPwRc^1{n{)U0m!Majlb)TD-Pn=k(E`2D?(s*kEFj)m1OiB+Oq z`x+ps>L+=+dY)OV{2`d8i_y$?F}GUUk!Zm9=&4!QJDTUQp2U{k9#ooiQH;U#?85Mo zr22ciR0VZ5nHfu9gyJ;-&M0wkl!0%NLhRBfu+`!uNmCTy&Tz)mpJdjZAXl&W9Ij=| z!TrqhWn{LF4%9Ih|J~;dR(5BZNL%tISp`yqFe2(u67x6RVhGzzhHnp0${ZP4IOupZ z>QCh(rP91fT>s@wcu>EQLn?q$3+5ou*dIkL6Mcrrde!YgBeFy8qy%Qupr$p`Y9*9I zd2Bo{;nMqtlBaTws;U4-`Rq1lYj{}H#gwv_{mlB5tny&wr{Fws1ox@tVu{q#q1cjB zofaH6agV~rVS>|<*V%gc8=O%62F0|d+N1$zTV9kyq4m!yiaC5sn*tP^)U zr2qOrw#1a`4drumwAvVGJ~5eh2t~v2#d`x8I?@ZO$56V3HRVOTmj&=t2RdK(vmt}& z4#?g6iTC0q2!?VjJ+cpIf-&!NME%x}3c_sisC7ghnR~F>V8E5N$mb#&9|K2)x4rit|4(D5P`35phi7PSt<@U5>94$@J z(oP#TAmbp|z4XJw|ECE2w}0LEnI?IPYid)0D6qAU2P}f;6(P^9DWF*tY~St3X_%Jm 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"[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" --- # Abaqus Constitutive Integration @@ -44,6 +48,8 @@ Element routines pass kinematic information to material calculations at integrat For plasticity, the manual organizes material behavior through yield functions, flow potentials, hardening laws, rate dependence, and stress integration. A backward-Euler style integration with consistent linearization is central because the quality of the material tangent strongly affects Newton convergence. +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] gives the programming-side counterpart: yield criteria are selected at element/material level, plastic flow and hardening update integration-point state variables, and nonlinear solution methods either use a changing tangent stiffness or move plastic corrections into pseudo-load terms. + [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] adds the analyst-facing side of this same layer. It shows how built-in material behaviors are selected and combined, how tabular material data are supplied, how damage and state variables are exposed, and how user materials must return stresses, state variables, and, in Abaqus/Standard, a material Jacobian. ## Why It Matters @@ -57,8 +63,10 @@ Constitutive integration is where material theory becomes finite element stiffne - [[Hybrid Incompressible Elements]] relies on constitutive separation of deviatoric and pressure-like response. - [[Abaqus Material Library and Data Definition]] supplies the input-level material blocks that drive constitutive updates. - [[Abaqus User-Defined Material Behavior]] is the direct extension point for custom stress updates and tangents. +- [[Finite Element Plasticity]] supplies the general plasticity algorithm vocabulary behind Abaqus material-point integration. ## Sources - [[Abaqus Theory Manual]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] diff --git a/wiki/concepts/Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity.md b/wiki/concepts/Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity.md index df6ad883..7d9af993 100644 --- a/wiki/concepts/Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity.md +++ b/wiki/concepts/Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity.md @@ -4,7 +4,7 @@ title: "Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity" complexity: advanced domain: computational-mechanics created: 2026-06-01 -updated: 2026-06-01 +updated: 2026-06-02 address: c-000097 aliases: - Abaqus Drucker-Prager plasticity @@ -26,8 +26,12 @@ related: - "[[Abaqus Porous Media and Pore Fluid Materials]]" - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" - "[[Mixed Finite Element Formulations]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" + - "[[Plastic Flow Rules and Hardening]]" sources: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" --- # Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity @@ -42,6 +46,8 @@ The source separates these models from ordinary metal plasticity because hydrost Crushable foam models target energy-absorbing foams and similar crushable media. Jointed material behavior represents continua containing dense sets of joint surfaces, such as sedimentary rock. Concrete is represented by multiple models: smeared cracking in Abaqus/Standard, brittle cracking in Abaqus/Explicit, and concrete damaged plasticity in both solvers. +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] provides the classical finite element plasticity context for this page's pressure-dependent models. It treats Mohr-Coulomb and Drucker-Prager criteria alongside metal-style criteria and highlights the role of non-associated flow rules for frictional materials. + ## Why It Matters These materials cannot usually be modeled by metal-style pressure-insensitive plasticity. They require pressure-dependent yield surfaces, inelastic volumetric strain, tensile cracking, crushing, or damage recovery effects that are tied to element choice, confinement, and loading path. @@ -51,8 +57,9 @@ These materials cannot usually be modeled by metal-style pressure-insensitive pl - [[Mixed Finite Element Formulations]] are relevant when volumetric locking or pressure-like fields dominate the response. - [[Abaqus Porous Media and Pore Fluid Materials]] extends geomaterial modeling to pore-fluid flow and saturation effects. - [[Nonlinear Finite Element Analysis]] supplies the global iteration framework for pressure-dependent plasticity and concrete damage. +- [[Plasticity Yield Criteria]] separates pressure-dependent Mohr-Coulomb and Drucker-Prager behavior from pressure-insensitive metal plasticity. ## Sources - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] - +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] diff --git a/wiki/concepts/Abaqus Metal Plasticity Models.md b/wiki/concepts/Abaqus Metal Plasticity Models.md index 9e69e0ac..63545c92 100644 --- a/wiki/concepts/Abaqus Metal Plasticity Models.md +++ b/wiki/concepts/Abaqus Metal Plasticity Models.md @@ -4,7 +4,7 @@ title: "Abaqus Metal Plasticity Models" complexity: advanced domain: computational-mechanics created: 2026-06-01 -updated: 2026-06-01 +updated: 2026-06-02 address: c-000096 aliases: - Abaqus plasticity @@ -24,8 +24,13 @@ related: - "[[Abaqus Constitutive Integration]]" - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" - "[[Abaqus Progressive Damage and Failure]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" + - "[[Plastic Flow Rules and Hardening]]" + - "[[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]]" sources: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" --- # Abaqus Metal Plasticity Models @@ -42,6 +47,8 @@ For metals, the major built-in families include classical Mises and Hill plastic The source highlights data interpretation details: plastic hardening data use plastic strain rather than total strain; finite-strain metal data should generally be true stress and logarithmic plastic strain; and initial equivalent plastic strain can be supplied when prior hardening must be represented. +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] supplies the generic finite element mechanics beneath these Abaqus model choices: pressure-insensitive yield criteria such as Tresca and von Mises, associated flow, isotropic and kinematic hardening, elasto-viscoplastic rate dependence, and incremental solution methods. + ## Why It Matters Plasticity is the primary material nonlinearity in many structural and manufacturing analyses. The correct model depends on loading history, rate, temperature, pressure dependence, cyclic behavior, and whether damage or failure is part of the simulation goal. @@ -51,8 +58,9 @@ Plasticity is the primary material nonlinearity in many structural and manufactu - [[Abaqus Constitutive Integration]] performs the integration-point return/evolution calculations implied by plasticity models. - [[Nonlinear Finite Element Analysis]] provides the global incremental framework for plastic deformation. - [[Abaqus Progressive Damage and Failure]] often extends plasticity models with stiffness degradation and element deletion. +- [[Finite Element Plasticity]] provides the solver-development view of yield checks, plastic strain updates, and tangent or pseudo-load corrections. ## Sources - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] - +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] diff --git a/wiki/concepts/Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies.md b/wiki/concepts/Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies.md index bbb8a381..5d368075 100644 --- a/wiki/concepts/Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies.md +++ b/wiki/concepts/Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies.md @@ -23,6 +23,7 @@ related: - "[[Abaqus Output Database and Results Files]]" - "[[Abaqus Job Execution Workflow]]" - "[[Finite Element Program Implementation]]" + - "[[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]]" sources: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]]" --- @@ -50,8 +51,8 @@ Optimization and parametric studies turn finite element analysis from one result - [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] remains necessary because optimization can amplify modeling errors. - [[Abaqus Output Database and Results Files]] supplies the responses used by optimization and parametric reports. - [[Abaqus Job Execution Workflow]] runs the repeated jobs behind design cycles and studies. +- [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]] provides a sibling production reference for topology optimization, size optimization, DOE/surrogate workflows, SIMP/RAMP interpolation, OC/MMA search, and forming-limit checks. ## Sources - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] - diff --git a/wiki/concepts/Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials.md b/wiki/concepts/Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials.md index e7281075..c705a4a2 100644 --- a/wiki/concepts/Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials.md +++ b/wiki/concepts/Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials.md @@ -27,6 +27,7 @@ related: - "[[Abaqus Multiphysics Coupling and Co-simulation]]" - "[[Abaqus Thermal Expansion and Damping Materials]]" - "[[Abaqus Porous Media and Pore Fluid Materials]]" + - "[[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]]" sources: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]]" --- @@ -54,8 +55,8 @@ These properties show that the Abaqus material library is not only a solid-mecha - [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]] is the broader finite element field-problem context. - [[Abaqus Multiphysics Coupling and Co-simulation]] uses these properties in sequential and coupled analyses. - [[Abaqus Thermal Expansion and Damping Materials]] connects mechanical strain and damping to field variables. +- [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]] provides a sibling production reference for electric potential, current density, Joule heating, and thermal/electrical coupling. ## Sources - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] - diff --git a/wiki/concepts/Direct Time Integration Methods.md b/wiki/concepts/Direct Time Integration Methods.md index 4469556b..df1290d6 100644 --- a/wiki/concepts/Direct Time Integration Methods.md +++ b/wiki/concepts/Direct Time Integration Methods.md @@ -8,7 +8,7 @@ aliases: - direct integration - Newmark method created: 2026-05-28 -updated: 2026-05-29 +updated: 2026-06-02 address: c-000014 tags: - concept @@ -26,6 +26,13 @@ related: - "[[Abaqus Eulerian and Particle Methods]]" - "[[Beam and Frame Finite Elements]]" - "[[Bar and Truss Finite Elements]]" + - "[[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]]" + - "[[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]" + - "[[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]]" + - "[[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]]" + - "[[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]]" sources: - "[[Finite Element Procedures]]" - "[[MITC Study Notes]]" @@ -33,6 +40,10 @@ sources: - "[[Abaqus Theory Manual]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Direct Time Integration Methods @@ -55,6 +66,14 @@ The dynamic buckling thesis uses time-dependent axial compression as the loading [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] expands the production procedure choices: implicit direct integration, explicit dynamic analysis, direct-solution steady-state dynamics, modal dynamics, subspace steady-state dynamics, response spectrum, and random response analysis. +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] adds the material-nonlinearity view of time integration: elasto-viscoplastic updates depend directly on time-step size, and transient dynamic elasto-plastic analysis couples inertia terms with evolving plastic zones. + +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds production time-history context: mode superposition and direct integration are treated alongside Rayleigh or modal damping, load-time interpolation, and practical time-step selection relative to modal periods and load intervals. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds civil seismic context: direct integration appears beside modal/Ritz analysis, damping choices, response spectrum procedures, multi-support excitation, nonlinear time history, and hysteretic member/link models. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds both linear and nonlinear transient details: HHT implicit integration, central-difference explicit integration, critical time-step control, artificial bulk viscosity, damping, mass scaling, residual-vector mode augmentation, and enforced-motion partitioning. + ## Why It Matters Time integration choices control stability, phase accuracy, numerical damping, and computational cost. Explicit methods can be efficient for very small stable time steps; implicit methods are more expensive per step but can support larger steps and nonlinear equilibrium iterations. @@ -69,6 +88,10 @@ Time integration choices control stability, phase accuracy, numerical damping, a - [[Abaqus Explicit Analysis Efficiency Techniques]] covers mass scaling, subcycling, and steady-state detection around explicit integration. - [[Abaqus Eulerian and Particle Methods]] uses explicit time integration for Eulerian, DEM, and SPH workflows. - [[Beam and Frame Finite Elements]] and [[Bar and Truss Finite Elements]] provide simple structural examples for mass-matrix construction. +- [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]] and [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]] show how time stepping interacts with rate-dependent and plastic material state variables. +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] connects time history analysis to Midas modal, response spectrum, and buckling procedure choices. +- [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] and [[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]] connect time integration to seismic damping, multi-support excitation, and hysteretic bridge components. +- [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]] and [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]] connect time integration to NFX modal superposition, explicit stability, HHT residual iteration, damping, and mass scaling. ## Sources @@ -78,3 +101,7 @@ Time integration choices control stability, phase accuracy, numerical damping, a - [[Abaqus Theory Manual]] - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis.md b/wiki/concepts/Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..60b19fbb --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis.md @@ -0,0 +1,52 @@ +--- +type: concept +title: "Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000138 +aliases: + - plastic Mindlin plate + - elasto-plastic plate bending +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - plate-elements + - shell-elements +status: current +related: + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[MITC4 Shell Element]]" + - "[[Abaqus Structural Element Families]]" + - "[[Abaqus Beam and Shell Section Definitions]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis + +## Definition + +Elasto-plastic Mindlin plate analysis models plate bending with transverse shear deformation while allowing material yielding through the thickness. + +## How It Works + +The source treats Mindlin plate bending with both nonlayered and layered plasticity idealizations. The layered view is important for implementation: each layer or through-thickness integration point can have a different stress state and plastic history, so yielding can spread through the thickness as the moment increases. + +The source limits the plate plasticity treatment mainly to Tresca and von Mises yield criteria. That makes the page a structural counterpart to [[Plasticity Yield Criteria]] and a useful bridge from continuum plasticity to shell and plate elements. + +## Why It Matters + +Plate and shell plasticity require more than a material law. The solver must also decide how section integration, transverse shear, bending resultants, and through-thickness state variables are represented. + +## Connections + +[[MITC4 Shell Element]] and [[Abaqus Structural Element Families]] provide the shell/plate element context. [[Abaqus Beam and Shell Section Definitions]] is the production counterpart for thickness, layers, section points, and material assignment. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis.md b/wiki/concepts/Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..8af6a9f5 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis.md @@ -0,0 +1,51 @@ +--- +type: concept +title: "Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000137 +aliases: + - plastic Timoshenko beam + - beam plasticity finite element +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - beam-elements +status: current +related: + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Beam and Frame Finite Elements]]" + - "[[Abaqus Structural Element Families]]" + - "[[Abaqus Beam and Shell Section Definitions]]" + - "[[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis + +## Definition + +Elasto-plastic Timoshenko beam analysis extends beam finite elements to include shear deformation and plastic material response under bending and axial effects. + +## How It Works + +The beam element retains Timoshenko kinematics, so rotations and transverse shear deformation are part of the formulation. Plasticity is evaluated through section stress resultants or through integration over the cross-section, depending on the implementation detail. + +The source uses this as a bridge between one-dimensional plasticity and higher-dimensional continuum plasticity. It shows that plasticity is not only a continuum-element issue: structural elements also need state storage, section integration, and incremental equilibrium. + +## Why It Matters + +Beam plasticity is useful for frames, members, and reduced structural models where a continuum mesh is unnecessary or too expensive. It also exposes solver issues that recur in shells and plates: section integration, through-thickness yielding, and tangent stiffness degradation. + +## Connections + +[[Beam and Frame Finite Elements]] provides the elastic structural-element base. [[Abaqus Structural Element Families]] and [[Abaqus Beam and Shell Section Definitions]] provide the production element and section-definition counterpart. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis.md b/wiki/concepts/Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..157bc86f --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis.md @@ -0,0 +1,55 @@ +--- +type: concept +title: "Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000136 +aliases: + - viscoplastic finite element analysis + - elasto-viscoplasticity +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - dynamics + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Direct Time Integration Methods]]" + - "[[Abaqus Metal Plasticity Models]]" + - "[[Abaqus Constitutive Integration]]" + - "[[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis + +## Definition + +Elasto-viscoplastic finite element analysis models irreversible deformation as a rate-dependent process. Plastic flow develops over time rather than being represented only as a rate-independent constraint at a yield surface. + +## How It Works + +The source treats viscoplasticity first in one dimension and then in two-dimensional finite element problems. The implementation view is time-step based: strain increments, stress updates, viscoplastic strain rates, and material state variables are advanced over a finite time interval. + +Viscoplastic formulations can also be used as a numerical regularization of plastic flow. The finite element program still assembles internal forces from stress states at integration points, but the constitutive update depends directly on the step size and rate parameters. + +## Why It Matters + +Rate dependence is important when deformation speed, creep-like effects, or numerical regularization of sharp plastic transitions matter. It also forms a bridge to [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]], where inertia and time integration interact with material inelasticity. + +## Solver Checklist + +- Define the viscoplastic strain-rate law and rate parameters. +- Store accumulated viscoplastic strain and other hardening variables at integration points. +- Select an explicit or implicit update for the material state. +- Make the global time increment consistent with both stability and constitutive accuracy. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Contact Formulation.md b/wiki/concepts/Finite Element Contact Formulation.md index 322bdb8e..f6c6c37e 100644 --- a/wiki/concepts/Finite Element Contact Formulation.md +++ b/wiki/concepts/Finite Element Contact Formulation.md @@ -4,7 +4,7 @@ title: "Finite Element Contact Formulation" complexity: advanced domain: computational-mechanics created: 2026-05-29 -updated: 2026-06-01 +updated: 2026-06-02 address: c-000060 aliases: - contact formulation @@ -33,11 +33,16 @@ related: - "[[Abaqus Special-Purpose Interaction Elements]]" - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" - "[[ABAQUS]]" + - "[[Midas FEA Static Contact Analysis]]" + - "[[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]]" + - "[[Midas NFX Contact Analysis]]" sources: - "[[Abaqus Theory Manual]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Finite Element Contact Formulation @@ -58,6 +63,10 @@ The user guide adds the model-definition layer: contact and interface behavior a [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Volume V]] expands contact into a complete modeling workflow: define general contact or contact pairs, assign surface and contact properties, select formulation and enforcement methods, inspect diagnostics, resolve modeling difficulties, and use Abaqus/Standard contact elements only for specialized cases. +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds a search-and-penalty view: global bucket search, local master-surface search, Newton closest-point calculation, penetration-based penalty force, symmetric weld/general contact, and contact force output on slave surfaces. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds a broader contact set: general, rough, welded, sliding, breaking-weld, single-surface, node-to-surface, surface-to-surface, and mortar contact, with penalty normal force, friction limits, smoothed force transition, and contact-force based weld release. + ## Why It Matters Contact is one of the common reasons a finite element problem becomes nonlinear. It can dominate convergence, mesh sensitivity, and physical response, especially in shell-to-solid interaction, impact, forming, bolted assemblies, and problems with changing boundary conditions. @@ -71,6 +80,9 @@ Contact is one of the common reasons a finite element problem becomes nonlinear. - [[Abaqus Contact Interaction Definition]], [[Abaqus Contact Property Models]], and [[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]] split the Abaqus contact workflow into definition, behavior, and numerical enforcement. - [[Abaqus Contact Diagnostics and Modeling Difficulties]] covers initial overclosures, surface quality, redundant constraints, and other contact failure modes. - [[Abaqus Connector Elements and Behaviors]] and [[Abaqus Cohesive and Gasket Elements]] cover element-based interaction alternatives. +- [[Midas FEA Static Contact Analysis]] describes contact search and penalty enforcement in Midas. +- [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] covers predefined interface elements and nonlinear interface laws. +- [[Midas NFX Contact Analysis]] describes NFX penalty contact, mortar contact, friction, and breaking-weld behavior. ## Sources @@ -78,3 +90,5 @@ Contact is one of the common reasons a finite element problem becomes nonlinear. - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Eigenproblem Solvers.md b/wiki/concepts/Finite Element Eigenproblem Solvers.md index f4554376..cb3d00e7 100644 --- a/wiki/concepts/Finite Element Eigenproblem Solvers.md +++ b/wiki/concepts/Finite Element Eigenproblem Solvers.md @@ -8,7 +8,7 @@ aliases: - finite element eigenvalue analysis - modal analysis created: 2026-05-28 -updated: 2026-05-29 +updated: 2026-06-02 address: c-000015 tags: - concept @@ -24,11 +24,19 @@ related: - "[[BLZPACK]]" - "[[Abaqus Analysis Procedures]]" - "[[Abaqus General and Linear Perturbation Steps]]" + - "[[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]]" + - "[[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" + - "[[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" sources: - "[[Finite Element Procedures]]" - "[[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method]]" - "[[Abaqus Theory Manual]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Finite Element Eigenproblem Solvers @@ -47,6 +55,12 @@ The dynamic buckling thesis adds an implementation example: [[BLZPACK]], based o [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] adds the step-level user workflow: eigenvalue buckling, natural frequency extraction, complex eigenvalue extraction, modal dynamics, response spectrum, and random response are treated as Abaqus procedure choices, usually through linear perturbation or modal procedure contexts. +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds a comparable production workflow: modal analysis reports participation and effective modal mass, Lanczos and subspace methods are available, Sturm sequence checks are used for missed eigenvalues, and buckling uses geometric stiffness with shift-invert Lanczos extraction. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds civil structural modal and stability workflows: eigenvectors and Ritz vectors support vibration/seismic response, while buckling analysis uses critical load factors and mode shapes for bridge/civil stability checks. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds detailed eigen-result checks: eigenvalue range/count controls, Lanczos versus matrix-direct extraction, mode normalization, modal assurance/cross-orthogonality ideas, generalized mass/stiffness, orthogonality loss, residual error measures, modal effective mass, and buckling-vector normalization. + ## Why It Matters Large finite element models can have many degrees of freedom, but engineering decisions often require only selected modes or eigenvalues. Solver choice determines whether the analysis can efficiently find the physically relevant part of the spectrum. @@ -58,6 +72,9 @@ Large finite element models can have many degrees of freedom, but engineering de - [[Finite Element Program Implementation]] must support sparse matrix operations and vector iteration workflows. - [[Abaqus Analysis Procedures]] frames eigen extraction as one procedure family among static, transient, and coupled analyses. - [[Abaqus General and Linear Perturbation Steps]] explains why many eigen and modal procedures are interpreted as perturbations about a base state. +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] links eigen extraction to modal, response spectrum, and linear buckling workflows in Midas. +- [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] and [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]] connect eigen extraction to Ritz-vector seismic analysis and buckling factors. +- [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]] and [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]] connect eigen extraction to solver selection, mode-superposition, effective-mass, and buckling workflows. ## Sources @@ -65,3 +82,6 @@ Large finite element models can have many degrees of freedom, but engineering de - [[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method]] - [[Abaqus Theory Manual]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Heat Transfer and Field Problems.md b/wiki/concepts/Finite Element Heat Transfer and Field Problems.md index 79d54d27..127e117d 100644 --- a/wiki/concepts/Finite Element Heat Transfer and Field Problems.md +++ b/wiki/concepts/Finite Element Heat Transfer and Field Problems.md @@ -7,7 +7,7 @@ aliases: - finite element field problems - finite element heat transfer created: 2026-05-28 -updated: 2026-06-01 +updated: 2026-06-02 address: c-000012 tags: - concept @@ -26,12 +26,19 @@ related: - "[[Abaqus Loads and Predefined Fields]]" - "[[Abaqus Contact Property Models]]" - "[[Abaqus Cavity Radiation Interactions]]" + - "[[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]]" + - "[[Midas FEA CFD Analysis]]" + - "[[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]]" sources: - "[[Finite Element Procedures]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Finite Element Heat Transfer and Field Problems @@ -52,6 +59,12 @@ The governing field equation and boundary conditions are written in a weak or we [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] adds the boundary and interaction side: thermal loads, predefined temperature fields, thermal contact properties, pore-fluid contact properties, and cavity radiation interactions. +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds civil-field workflows: general heat transfer, hydration heat, equivalent-age thermal stress, and structured-grid CFD for wind-related aerodynamic coefficients. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds a bridge/civil concrete workflow for conduction, convection, heat sources, pipe cooling, initial/ambient/prescribed temperature, equivalent age, maturity, strength development, shrinkage, creep, and thermal stress. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds a general field-analysis workflow: temperature DOFs, thermal conductivity/capacitance matrices, nonlinear temperature-dependent heat transfer, backward-difference integration, Newton iteration, Joule heating, electric potential coupling, current-density output, and thermal structural handoff. + ## Why It Matters The chapter shows that finite element procedures are not limited to solid mechanics. Similar discretization and assembly patterns can solve different physical laws when the governing equations and boundary terms are formulated correctly. @@ -67,6 +80,10 @@ The chapter shows that finite element procedures are not limited to solid mechan - [[Abaqus Porous Media and Pore Fluid Materials]] supplies material data for coupled pore-fluid and stress problems. - [[Abaqus Loads and Predefined Fields]] covers thermal, acoustic, electromagnetic, and pore-fluid prescribed conditions. - [[Abaqus Cavity Radiation Interactions]] covers enclosure radiation as a heat-transfer surface interaction. +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] connects heat transfer to concrete age, hydration, and thermal stress. +- [[Midas FEA CFD Analysis]] records the manual's wind-CFD finite-volume workflow. +- [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] connects heat transfer to equivalent age, maturity, shrinkage, creep, and concrete thermal stress. +- [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]] connects scalar heat transfer to Joule heating and thermal-stress coupling. ## Sources @@ -75,3 +92,6 @@ The chapter shows that finite element procedures are not limited to solid mechan - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Load Vector Assembly.md b/wiki/concepts/Finite Element Load Vector Assembly.md index 924b1fd3..67f3fcd9 100644 --- a/wiki/concepts/Finite Element Load Vector Assembly.md +++ b/wiki/concepts/Finite Element Load Vector Assembly.md @@ -4,7 +4,7 @@ title: "Finite Element Load Vector Assembly" complexity: intermediate domain: computational-mechanics created: 2026-05-29 -updated: 2026-06-01 +updated: 2026-06-02 address: c-000068 aliases: - equivalent nodal forces @@ -25,10 +25,13 @@ related: - "[[Abaqus Surface and Assembly Modeling]]" - "[[Abaqus Loads and Predefined Fields]]" - "[[Abaqus Prescribed Conditions and Amplitudes]]" + - "[[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]]" + - "[[Midas Civil Special Load and Design Utilities]]" sources: - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" --- # Finite Element Load Vector Assembly @@ -47,6 +50,8 @@ The Abaqus user guide shows the production modeling counterpart: named surfaces [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Volume V]] broadens this to the full prescribed-condition layer: concentrated and distributed loads, thermal loads, electromagnetic loads, acoustic and shock loads, pore-fluid flow, pretension, connector loads and motions, and predefined fields all enter the model through procedure-compatible definitions and optional amplitudes. +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds bridge load-generation workflows: moving vehicle positions, lane definitions, traffic surface lanes, support settlement combinations, wave forces, and unknown-load optimization all eventually need consistent conversion into structural load vectors or response envelopes. + ## Why It Matters Stiffness assembly alone does not define a finite element problem. Incorrectly transformed or assembled loads can produce wrong reactions, stress fields, and convergence behavior even when the element stiffness matrix is correct. @@ -60,9 +65,11 @@ Stiffness assembly alone does not define a finite element problem. Incorrectly t - [[Abaqus Surface and Assembly Modeling]] supplies the named surfaces used by production input files for many distributed loads. - [[Abaqus Loads and Predefined Fields]] catalogs the Abaqus load and field workflows. - [[Abaqus Prescribed Conditions and Amplitudes]] controls how loads vary through step or total time. +- [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] and [[Midas Civil Special Load and Design Utilities]] connect load assembly to vehicle placement, settlement, wave, and optimization-generated load cases. ## Sources - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Method.md b/wiki/concepts/Finite Element Method.md index 355bbbe6..c7133ff7 100644 --- a/wiki/concepts/Finite Element Method.md +++ b/wiki/concepts/Finite Element Method.md @@ -7,7 +7,7 @@ aliases: - FEM - finite element analysis created: 2026-05-28 -updated: 2026-05-29 +updated: 2026-06-02 address: c-000006 tags: - concept @@ -27,6 +27,15 @@ related: - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Direct Stiffness Method]]" - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[Midas FEA Analysis Workflow]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" + - "[[Midas Civil Numerical Analysis Model]]" + - "[[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]]" + - "[[Midas NFX Analysis Workflow]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" sources: - "[[Finite Element Procedures]]" - "[[A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell]]" @@ -34,6 +43,9 @@ sources: - "[[Solid Element Notes]]" - "[[Abaqus Theory Manual]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Finite Element Method @@ -60,6 +72,12 @@ The shell FE review reinforces the same modeling-first point: shell results requ [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] adds a pedagogical layer: it walks the method from springs and bars to trusses, beams, frames, plane elements, axisymmetric elements, isoparametric elements, heat transfer, thermal stress, and dynamics. +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds a second production-solver layer beside Abaqus: it connects structural element libraries, concrete cracking, interface laws, nonlinear algorithms, staged construction, hydration heat, contact, fatigue, and CFD into one civil structural analysis workflow. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds the bridge/civil structural layer: it connects nodes, elements, local coordinates, section stiffness, supports, links, seismic dynamics, nonlinear hinges, construction stages, hydration thermal stress, PSC, moving loads, and civil design utilities. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds the general-purpose MIDAS layer: it connects nodes, DOFs, coordinate systems, finite rotations, element formulations, material/composite models, solver selection, eigen extraction, nonlinear dynamics, contact, fatigue, heat transfer, Joule heating, optimization, and forming-limit analysis. + ## Key Connections - [[Engineering Mathematical Models]] defines what is being solved. @@ -70,6 +88,9 @@ The shell FE review reinforces the same modeling-first point: shell results requ - [[Continuum Mechanics Based Four-Node Shell Element]] is a focused low-order shell formulation example. - [[Static Equilibrium Equation Solvers]], [[Direct Time Integration Methods]], and [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] solve the resulting systems. - [[Abaqus Element Library]] and [[Abaqus Analysis Procedures]] show how those ideas are packaged in a general-purpose FE code. +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] and [[Midas FEA Element Library]] show how the same ideas are packaged in a civil nonlinear detail analysis product. +- [[Midas Civil Numerical Analysis Model]] and [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]] show how the same ideas are packaged for bridge/civil structural analysis. +- [[Midas NFX Analysis Workflow]] and [[Midas NFX Element Library]] show how the same ideas are packaged in a general-purpose MIDAS finite element product. ## Sources @@ -79,3 +100,6 @@ The shell FE review reinforces the same modeling-first point: shell results requ - [[Solid Element Notes]] - [[Abaqus Theory Manual]] - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Modeling and Convergence Checks.md b/wiki/concepts/Finite Element Modeling and Convergence Checks.md index 2b7c0d82..6ef49eca 100644 --- a/wiki/concepts/Finite Element Modeling and Convergence Checks.md +++ b/wiki/concepts/Finite Element Modeling and Convergence Checks.md @@ -4,7 +4,7 @@ title: "Finite Element Modeling and Convergence Checks" complexity: intermediate domain: computational-mechanics created: 2026-05-29 -updated: 2026-05-29 +updated: 2026-06-02 address: c-000069 aliases: - finite element modeling checks @@ -27,10 +27,21 @@ related: - "[[Abaqus Output Database and Results Files]]" - "[[Abaqus Adaptivity and Mesh Replacement]]" - "[[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]]" + - "[[Midas FEA Analysis Workflow]]" + - "[[Midas FEA Fatigue Analysis]]" + - "[[Midas Civil Numerical Analysis Model]]" + - "[[Midas Civil Boundary Supports and Links]]" + - "[[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]]" + - "[[Midas NFX Analysis Workflow]]" + - "[[Midas NFX Fatigue Analysis]]" + - "[[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]]" sources: - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Finite Element Modeling and Convergence Checks @@ -49,6 +60,12 @@ The Abaqus user guide adds output and execution checks to this modeling view. Fi Volume II adds model-evolution checks: adaptive meshing, remeshing, mesh-to-mesh mapping, submodeling, optimization, and parametric studies all require the analyst to verify that transferred state, changed meshes, local models, and repeated design runs still represent the intended physics. +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] reinforces the same reliability point from a product manual perspective: analysts must understand the theory, selected models, solver controls, and result quantities before trusting production FE output. Its fatigue workflow also makes stress interpretation and mesh-dependent stress concentration checks explicit. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] reinforces the bridge/civil version of the same point: node local axes, element type, section stiffness, support idealization, rigid offsets, moving-load lanes, and staged construction assumptions can change the result as much as the numerical solver. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds general-purpose checks around coordinate-system selection, element result locations, stress-error output, fatigue stress histories, optimization response definitions, and forming-limit interpretation. These are postprocessing checks as much as solver checks. + ## Why It Matters Finite element output is numerical, not automatically reliable. Many errors are modeling errors rather than solver errors: the wrong idealization, poor element shapes, overly coarse meshes, misunderstood symmetry constraints, or overinterpretation of stress near singularities. @@ -62,9 +79,15 @@ Finite element output is numerical, not automatically reliable. Many errors are - [[Abaqus Resource and Parallel Execution]] affects whether large model checks can be run efficiently enough to support refinement. - [[Abaqus Adaptivity and Mesh Replacement]] describes mesh changes driven by distortion control, accuracy, and solution mapping. - [[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]] turns modeling checks into repeated design-space checks. +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] and [[Midas FEA Fatigue Analysis]] connect modeling reliability to Midas procedure selection and stress-life postprocessing. +- [[Midas Civil Numerical Analysis Model]], [[Midas Civil Boundary Supports and Links]], and [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] connect modeling reliability to bridge member idealization, support/link assumptions, and vehicle-load generation. +- [[Midas NFX Analysis Workflow]], [[Midas NFX Fatigue Analysis]], and [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]] connect modeling reliability to NFX result coordinates, stress histories, design responses, and forming-limit checks. ## Sources - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Plasticity Program Architecture.md b/wiki/concepts/Finite Element Plasticity Program Architecture.md new file mode 100644 index 00000000..05fa0e11 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Finite Element Plasticity Program Architecture.md @@ -0,0 +1,60 @@ +--- +type: concept +title: "Finite Element Plasticity Program Architecture" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000140 +aliases: + - plasticity finite element program structure + - plasticity FE code architecture +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - implementation +status: current +related: + - "[[Finite Element Program Implementation]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]]" + - "[[Abaqus User Subroutines and Utility Routines]]" + - "[[Abaqus User-Defined Material Behavior]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Finite Element Plasticity Program Architecture + +## Definition + +Finite element plasticity program architecture is the software organization needed to run plasticity analyses: input parsing, element loops, material-state storage, nonlinear solution control, stress recovery, and verification output. + +## Source Pattern + +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] describes modular FORTRAN routines linked into multiple plasticity programs. The important architecture lesson is not the language; it is the separation of responsibilities: + +- model and material input; +- element stiffness, mass, and internal force routines; +- integration-point stress update and state-variable storage; +- global nonlinear or transient solution control; +- postprocessing for displacements, reactions, stresses, and internal forces; +- benchmark input cases for regression testing. + +## Why It Matters + +Plasticity code fails when state ownership is unclear. Element routines need access to previous and trial state, material routines need a stable state-variable contract, and the global solver needs residuals and tangents that match the accepted material update. + +## Solver Development Checklist + +- Define state variables per integration point and section point. +- Separate trial, iterative, and committed material states. +- Make element routines independent of specific global solver choices where possible. +- Emit enough output to compare displacements, reactions, element internal forces, stresses, and plastic variables. +- Keep reference input cases small enough for TDD and regression runs. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Plasticity.md b/wiki/concepts/Finite Element Plasticity.md new file mode 100644 index 00000000..8287a87f --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Finite Element Plasticity.md @@ -0,0 +1,62 @@ +--- +type: concept +title: "Finite Element Plasticity" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000132 +aliases: + - elasto-plastic finite element analysis + - FE plasticity +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" + - "[[Abaqus Constitutive Integration]]" + - "[[Abaqus Metal Plasticity Models]]" + - "[[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]]" + - "[[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" + - "[[Plastic Flow Rules and Hardening]]" + - "[[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Finite Element Plasticity + +## Definition + +Finite element plasticity is the finite element treatment of irreversible material deformation. The global problem remains an equilibrium or momentum balance problem, but the element integration points carry history-dependent stress, plastic strain, hardening variables, and yield-state information. + +## How It Works + +The analysis advances by load or time increments. Within each increment, element strains are computed from nodal unknowns, material states are updated at integration points, internal forces are assembled, and a linearized global system is solved until the residual and state updates are acceptable. + +The central algorithmic pieces are [[Plasticity Yield Criteria]], [[Plastic Flow Rules and Hardening]], and [[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]]. A yield function decides whether a stress state remains elastic. A flow rule maps yield-surface information into plastic strain increments. A hardening law evolves the yield condition after plastic work. + +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds a production material-model perspective: associated and non-associated flow, isotropic strain hardening, explicit and implicit rate-form integration, Rankine and Tresca criteria, total strain cracking, and interface material laws are tied directly to concrete and civil structural nonlinear analysis. + +## Why It Matters + +Plasticity is one of the main reasons a finite element solver must be incremental and path-dependent. The same mesh can produce different results depending on increment size, tangent consistency, stress return/update method, hardening law, and convergence tolerance. + +## Solver Implementation View + +- Store state variables at integration points, not just at nodes. +- Separate elastic trial response from plastic correction or viscoplastic update. +- Assemble internal force from the updated stress field. +- Provide a tangent stiffness or iterative update strategy consistent with the selected plasticity algorithm. +- Verify with element-level and structure-level cases before trusting production simulations. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Program Implementation.md b/wiki/concepts/Finite Element Program Implementation.md index 691f78b3..4200bca5 100644 --- a/wiki/concepts/Finite Element Program Implementation.md +++ b/wiki/concepts/Finite Element Program Implementation.md @@ -7,7 +7,7 @@ aliases: - finite element code architecture - STAP created: 2026-05-28 -updated: 2026-05-29 +updated: 2026-06-02 address: c-000016 tags: - concept @@ -31,6 +31,16 @@ related: - "[[Abaqus Output Database and Results Files]]" - "[[Abaqus Matrix Generation and Reduced Models]]" - "[[Abaqus User Subroutines and Utility Routines]]" + - "[[Finite Element Plasticity Program Architecture]]" + - "[[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]]" + - "[[Midas FEA Analysis Workflow]]" + - "[[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]]" + - "[[Midas Civil Numerical Analysis Model]]" + - "[[Midas Civil Boundary Supports and Links]]" + - "[[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]]" + - "[[Midas NFX Analysis Workflow]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" sources: - "[[Finite Element Procedures]]" - "[[Four-Node-Quadrilateral-Shell-Element-MITC4]]" @@ -38,6 +48,10 @@ sources: - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Finite Element Program Implementation @@ -60,6 +74,14 @@ The dynamic buckling thesis adds a second program implementation pattern: a cust [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] adds the extension and reduction view: generated matrices, substructures, restart state, imported results, co-simulation exchange, and user subroutines are all implementation-facing boundaries where a finite element program exposes internal state or accepts external code. +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] adds the plasticity-code view: integration-point history variables, trial and committed material states, yield-criterion switches, flow and hardening updates, pseudo-load corrections, and reference input cases become part of the program contract. + +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds another production-code view: element libraries, embedded reinforcement, interface laws, equation-solver selection, nonlinear iteration, staged construction state, hydration heat coupling, contact search, fatigue postprocessing, and CFD results all become explicit feature boundaries. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds the bridge/civil product view: local coordinate systems, section stiffness, supports and links, seismic procedures, construction stages, PSC losses, moving-load generation, settlement combinations, and design utilities all become input, state, solver, and output contracts. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds a general-purpose solver-kernel view: analysis cases, file formats, coordinate-system layers, structural/field elements, material and composite models, automatic equation-solver selection, modal/eigen checks, nonlinear transient controls, contact enforcement, fatigue postprocessing, and optimization responses all become explicit implementation contracts. + ## Why It Matters The finite element method becomes useful only when the mathematical formulation is encoded into reliable data structures and algorithms. Implementation details determine whether element routines, sparse matrix storage, solver selection, boundary condition handling, and postprocessing remain consistent. @@ -77,6 +99,10 @@ The finite element method becomes useful only when the mathematical formulation - Expose controlled extension points for user code, matrix exchange, restart, and solver coupling. - Verify new element implementations with patch tests and benchmark problems before treating production results as reliable. - Check mesh quality, convergence, and result interpretation before trusting a program output table. +- For plasticity, compare nodal displacement, reactions, element internal forces, stresses, and plastic state variables against reference cases. +- For Midas-style workflows, keep staged activation, contact forces, temperature history, fatigue damage, and aerodynamic coefficients separate from the core structural result contract until each feature has its own reference checks. +- For midas Civil-style workflows, test support/link behavior, stage state transfer, prestress losses, moving-load envelopes, and design-utility outputs separately before combining them in bridge regression models. +- For midas NFX-style workflows, test coordinate transformations, element result coordinate systems, equation solver selection, modal normalization, contact active-set behavior, thermal/electrical coupling, fatigue postprocessing, and optimization response extraction as separate harness layers. ## Sources @@ -86,3 +112,7 @@ The finite element method becomes useful only when the mathematical formulation - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Finite Element Thermal Stress Analysis.md b/wiki/concepts/Finite Element Thermal Stress Analysis.md index 5af2fea4..2ff45de3 100644 --- a/wiki/concepts/Finite Element Thermal Stress Analysis.md +++ b/wiki/concepts/Finite Element Thermal Stress Analysis.md @@ -4,7 +4,7 @@ title: "Finite Element Thermal Stress Analysis" complexity: intermediate domain: computational-mechanics created: 2026-05-29 -updated: 2026-06-01 +updated: 2026-06-02 address: c-000070 aliases: - thermal stress finite element analysis @@ -23,9 +23,14 @@ related: - "[[Axisymmetric Finite Elements]]" - "[[Displacement-Based Finite Element Formulation]]" - "[[Abaqus Thermal Expansion and Damping Materials]]" + - "[[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]]" + - "[[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]]" sources: - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Finite Element Thermal Stress Analysis @@ -42,6 +47,10 @@ The same idea is applied to one-dimensional bars, plane stress and plane strain [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] adds production material definitions for this mechanism: thermal expansion coefficients, reference temperatures, temperature/field dependencies, isotropic/orthotropic/anisotropic expansion, and user-defined expansion increments through `UEXPAN`. +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds the civil concrete workflow: hydration heat first defines a temperature and equivalent-age history, then structural stress analysis combines thermal strain, shrinkage, creep, and age-dependent concrete strength. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds a general-purpose thermal-stress view: structural elements can be reused as thermal elements by changing the DOF to temperature, thermal gradients and fluxes are recovered as element results, and composite laminates can receive average temperature change plus through-thickness gradient terms that generate membrane and bending resultants. + ## Why It Matters Thermal loading is not just another external force. It changes the strain state inside the element and can create stress only through constraint, incompatibility, or temperature gradients. Treating it as an equivalent nodal contribution keeps the global equation format compatible with the displacement formulation. @@ -52,8 +61,12 @@ Thermal loading is not just another external force. It changes the strain state - [[Finite Element Load Vector Assembly]] explains the equivalent nodal force interpretation. - [[Plane Stress and Plane Strain Elements]] and [[Axisymmetric Finite Elements]] provide common structural discretizations for thermal stress. - [[Abaqus Thermal Expansion and Damping Materials]] supplies Abaqus-specific thermal expansion and field expansion material definitions. +- [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] connects thermal strain to equivalent age, shrinkage, creep, and concrete strength development. +- [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]] connects thermal stress to NFX heat-transfer, Joule-heating, and laminate temperature-gradient workflows. ## Sources - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Incremental Elasto-Plastic Solution Methods.md b/wiki/concepts/Incremental Elasto-Plastic Solution Methods.md new file mode 100644 index 00000000..c66fb6b7 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Incremental Elasto-Plastic Solution Methods.md @@ -0,0 +1,65 @@ +--- +type: concept +title: "Incremental Elasto-Plastic Solution Methods" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000133 +aliases: + - elasto-plastic iteration methods + - plasticity Newton iteration +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" + - "[[Static Equilibrium Equation Solvers]]" + - "[[Abaqus Nonlinear Solution Control]]" + - "[[Abaqus Constitutive Integration]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Incremental Elasto-Plastic Solution Methods + +## Definition + +Incremental elasto-plastic solution methods are nonlinear finite element procedures that advance a path-dependent plastic response through load increments and equilibrium iterations. + +## Main Methods + +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] presents the standard one-dimensional nonlinear methods before extending them to plasticity applications: + +- Direct iteration or successive approximation updates the nonlinear response with a repeated approximate solve. +- Newton-Raphson iteration repeatedly linearizes the residual about the current state. +- Tangential stiffness methods update the stiffness according to the current tangent response. +- Initial stiffness methods reuse an earlier stiffness while moving nonlinear effects into residual or pseudo-load corrections. + +## FE Plasticity Loop + +1. Apply a load or time increment. +2. Predict displacement or strain increments. +3. Update stresses and internal variables at integration points. +4. Assemble internal forces and tangent or secant stiffness terms. +5. Solve for a correction and test convergence. +6. Commit the plastic state only when the increment is accepted. + +## Why It Matters + +Plasticity makes equilibrium path-dependent. Large increments can cross yield surfaces poorly, inconsistent tangents can slow or prevent convergence, and initial-stiffness schemes can be robust but inefficient when the plastic zone changes quickly. + +## Connections + +- [[Abaqus Nonlinear Solution Control]] is the production Abaqus counterpart: increments, Newton iterations, cutbacks, stabilization, and convergence checks. +- [[Abaqus Constitutive Integration]] supplies the material-point update that each global iteration relies on. +- [[Static Equilibrium Equation Solvers]] covers the global equation solution layer beneath each nonlinear iteration. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Boundary Supports and Links.md b/wiki/concepts/Midas Civil Boundary Supports and Links.md new file mode 100644 index 00000000..2f236c8d --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Boundary Supports and Links.md @@ -0,0 +1,49 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Boundary Supports and Links" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000161 +aliases: + - MIDAS Civil boundary conditions + - midas Civil supports and links +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - boundary-conditions +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Abaqus Initial and Boundary Conditions]]" + - "[[Abaqus Kinematic Constraints and MPCs]]" + - "[[Finite Element Contact Formulation]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Boundary Supports and Links + +## Definition + +Midas Civil boundary supports and links are the restraint, spring, link, rigid-connection, offset, and prescribed-displacement mechanisms used to represent support behavior and member connectivity. + +## How It Works + +The manual distinguishes node boundary conditions and element boundary conditions. Nodal restraints fix or prescribe selected DOFs. Surface spring supports convert tributary area and ground reaction coefficients into nodal spring stiffness. Winkler springs let beam, plate, or solid foundation interfaces be modeled as distributed soil support. Elastic links connect two nodes for bearings, ground springs, or rigid-like behavior. + +General Links are two-node, six-spring elements for damping devices, isolators, compression-only or tension-only behavior, plastic hinges, and ground springs. Rigid End Offsets and panel zones modify beam/tapered-beam connectivity and affect element stiffness, load conversion, self-weight length, and force-output positions. Rigid Links constrain relative geometry across selected DOFs or geometric subspaces. + +## Solver Development Notes + +- Boundary objects should be represented as assembly contributions or constraint equations with explicit DOF ownership. +- Compression-only and tension-only supports introduce active-set or nonlinear constraint behavior. +- Rigid offsets affect both stiffness and load-vector conversion, so they cannot be treated as output cosmetics. +- Prescribed displacement on an otherwise free DOF must define the solver's internal constraint semantics. + +## Connections + +- [[Abaqus Initial and Boundary Conditions]] and [[Abaqus Kinematic Constraints and MPCs]] are comparable Abaqus workflow pages. +- [[Finite Element Contact Formulation]] connects to one-sided foundation and interface behavior. +- [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] gives a detail-FE interface counterpart. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis.md b/wiki/concepts/Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..5e0375eb --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis.md @@ -0,0 +1,50 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000164 +aliases: + - MIDAS Civil nonlinear analysis + - midas Civil material nonlinear analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - nonlinear-analysis + - plasticity +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis + +## Definition + +Midas Civil boundary and material nonlinear analysis is the incremental finite element workflow for nonlinear supports, nonlinear links, plastic material behavior, and path-dependent structural response. + +## How It Works + +The analysis reference includes Newton-Raphson iteration, arc-length methods, P-Delta effects, boundary nonlinear analysis, material nonlinear analysis, and pushover-related workflows. Material nonlinearity is described through plasticity theory, constitutive matrices, stress integration, plastic material models, and hardening laws such as perfectly plastic, isotropic, kinematic, and mixed hardening. + +Boundary nonlinearity appears through support or link behavior whose stiffness changes with force state, gap/contact status, or hysteretic rule. The nonlinear solve must therefore update both element state and boundary/link state across increments and iterations. + +## Solver Development Notes + +- Each nonlinear feature needs state variables, trial-state updates, accepted-state commits, and rollback behavior. +- Newton methods require consistent residual, tangent, convergence norms, and line or increment control policies. +- Arc-length control is a requirement when the load-displacement path passes limit points. +- Boundary nonlinearities should share the same active-state and convergence infrastructure as material nonlinearities where possible. + +## Connections + +- [[Nonlinear Finite Element Analysis]] is the general nonlinear FE context. +- [[Finite Element Plasticity]], [[Plasticity Yield Criteria]], and [[Plastic Flow Rules and Hardening]] provide the plasticity theory layer. +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] is the sibling product algorithm reference. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity.md b/wiki/concepts/Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity.md new file mode 100644 index 00000000..7a2d0f44 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity.md @@ -0,0 +1,50 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000163 +aliases: + - MIDAS Civil buckling + - midas Civil P-Delta + - midas Civil geometric nonlinearity +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - buckling + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Geometric Stiffness Matrix]]" + - "[[Static Equilibrium Equation Solvers]]" + - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity + +## Definition + +Midas Civil buckling, P-Delta, and geometric nonlinearity are the stability-related procedures that account for axial-force-dependent stiffness, displaced geometry, and critical load factors. + +## How It Works + +The analysis reference separates linear buckling from nonlinear geometric effects. Buckling analysis is an eigenvalue-style procedure for critical load factors and buckling shapes. P-Delta analysis captures second-order force effects from axial loads acting through lateral displacements. More general geometric nonlinearity requires incremental equilibrium iterations because stiffness depends on the current configuration. + +## Solver Development Notes + +- Buckling requires a linear stiffness matrix, an initial-stress or geometric stiffness matrix, and an eigenvalue solver. +- P-Delta should be treated as a second-order equilibrium correction, not as a postprocessing scale factor. +- Geometric nonlinearity requires clear choices for tangent update, load stepping, convergence criteria, and force recovery. +- Verification should include columns, frames, and bridge-pier examples where first-order and second-order responses diverge. + +## Connections + +- [[Geometric Stiffness Matrix]] is the common FE stability ingredient. +- [[Static Equilibrium Equation Solvers]] provides the nonlinear iteration context. +- [[Nonlinear Finite Element Analysis]] is the broader nonlinear analysis page. +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] gives a detail-FE sibling reference. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis.md b/wiki/concepts/Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..e79dbc9b --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis.md @@ -0,0 +1,48 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000167 +aliases: + - MIDAS Civil construction stage analysis + - midas Civil time-dependent analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - construction-stage + - creep +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Midas FEA Construction Stage Analysis]]" + - "[[Abaqus General and Linear Perturbation Steps]]" + - "[[Finite Element Program Implementation]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis + +## Definition + +Midas Civil construction stage and time-dependent analysis is the staged structural analysis workflow for activation/deactivation, concrete age, creep, shrinkage, strength development, and long-duration bridge construction behavior. + +## How It Works + +The manual describes base stage, construction stages, and final stage. Time-dependent material behavior includes creep, shrinkage, changing elastic modulus, and concrete strength development. Nonlinear construction stages can be treated independently or accumulated across stages. Suspension bridge equilibrium state analysis includes cable-only wizards and vertical/horizontal plane equilibrium steps before full-structure equilibrium. + +## Solver Development Notes + +- Stage data should carry active elements, active boundary conditions, active loads, material age, state variables, and restartable results. +- Creep and shrinkage require history-dependent strain evolution, not only stage-wise stiffness scaling. +- Construction sections and composite behavior require section property changes as the stage changes. +- Verification should compare stage-by-stage displacement, reaction, cable force, member force, and stress histories. + +## Connections + +- [[Midas FEA Construction Stage Analysis]] is the detail-FE sibling page. +- [[Abaqus General and Linear Perturbation Steps]] provides a broader step/state propagation comparison. +- [[Finite Element Program Implementation]] frames the data structures needed for state transfer. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis.md b/wiki/concepts/Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..236a7f6f --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis.md @@ -0,0 +1,51 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000162 +aliases: + - MIDAS Civil dynamic analysis + - midas Civil seismic analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - dynamics + - seismic-analysis +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Direct Time Integration Methods]]" + - "[[Finite Element Eigenproblem Solvers]]" + - "[[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis + +## Definition + +Midas Civil dynamic and seismic analysis is the set of modal, damping, response-spectrum, and time-history procedures described in the [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]. + +## How It Works + +Free vibration is treated through eigenvector analysis and Ritz vector analysis. Ritz vectors are generated from initial load vectors and repeated static analyses that include inertia effects, so fewer load-relevant vectors can capture response than a broad eigenmode extraction. + +Damping options include proportional and nonproportional forms: mass/stiffness/Rayleigh damping, strain-energy proportional damping, mode damping, element Rayleigh damping, and General Link damping. Response spectrum analysis decomposes an MDOF structure into modal SDOF responses and combines modal contributions using rules such as SRSS and CQC. Time-history analysis supports mode superposition and direct integration, with direct integration needed when stiffness or damping is nonlinear. + +## Solver Development Notes + +- Modal analysis requires consistent mass, stiffness, eigen extraction, normalization, and modal participation output. +- Ritz vectors add a load-dependent reduced basis, so the initial load-vector contract is part of the input schema. +- Rayleigh damping needs mode-frequency selection and safeguards against excessive damping after yielding. +- Multi-support seismic input requires support-specific ground-motion histories and constraint-compatible load assembly. + +## Connections + +- [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] covers modal extraction. +- [[Direct Time Integration Methods]] covers Newmark-style transient solution. +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] provides a sibling product comparison. +- [[Nonlinear Newmark-Beta Integration]] is relevant when nonlinear time stepping is added. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Element Library and Section Stiffness.md b/wiki/concepts/Midas Civil Element Library and Section Stiffness.md new file mode 100644 index 00000000..5c671615 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Element Library and Section Stiffness.md @@ -0,0 +1,51 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Element Library and Section Stiffness" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000160 +aliases: + - MIDAS Civil element library + - midas Civil section stiffness +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - elements +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Beam and Frame Finite Elements]]" + - "[[Plane Stress and Plane Strain Elements]]" + - "[[Isoparametric Linear Solid Elements]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Element Library and Section Stiffness + +## Definition + +Midas Civil element library and section stiffness is the product layer that maps structural members and continua to finite element types and their required stiffness data. + +## How It Works + +The analysis reference lists truss, tension-only hook, cable, compression-only gap, beam, tapered beam, plane stress, plane strain, axisymmetric, plate, and solid elements. Element input combines type, material, stiffness data, location, shape, size, and connection node numbers. + +Section and stiffness requirements depend on element family. Truss, tension-only, and compression-only elements need cross-sectional area. Beam elements need section properties. Plane stress and plate elements need thickness. Plane strain, axisymmetric, and solid elements use material and geometry without a separate section input. SRC beams and composite sections require equivalent stiffness handling. + +## Solver Development Notes + +- Element type should determine DOF set, interpolation, local axes, required property schema, and result recovery. +- Effective shear area must be explicit because omitting it changes shear-deformation stiffness. +- Torsional stiffness should not be blindly equated with polar moment except for appropriate circular or tube sections. +- Composite and construction sections require time- or stage-dependent effective properties. + +## Connections + +- [[Beam and Frame Finite Elements]] covers member stiffness ideas. +- [[Plane Stress and Plane Strain Elements]] and [[Isoparametric Linear Solid Elements]] cover continuum families. +- [[Midas FEA Element Library]] is the detail-FE sibling reference. +- [[Abaqus Element Library]] is the broad production-library comparison point. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis.md b/wiki/concepts/Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..810fb5ec --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis.md @@ -0,0 +1,50 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000168 +aliases: + - MIDAS Civil hydration heat analysis + - midas Civil thermal stress analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - heat-transfer + - thermal-stress +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]]" + - "[[Finite Element Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis + +## Definition + +Midas Civil heat of hydration and thermal stress analysis is the coupled temperature and stress workflow for mass concrete and concrete-age effects. + +## How It Works + +The manual describes heat transfer by conduction, convection, internal heat generation, pipe cooling, initial temperature, ambient temperature, and prescribed temperature. Thermal stress analysis uses equivalent age or maturity to model concrete strength development and combines temperature strain, shrinkage strain, and creep strain in stress evaluation. + +Hydration analysis therefore has two layers: first solve the temperature field, then transfer the temperature and age-dependent material state into structural stress analysis. + +## Solver Development Notes + +- Thermal DOFs, heat capacity, conductivity, convection, heat source, and boundary temperature data need a field-problem input schema. +- Structural transfer must define thermal strain, reference temperature, age-dependent modulus or strength, shrinkage, and creep. +- Equivalent-age and maturity functions should be regression-tested against simple closed-form or reference-solver cases. +- Output should include temperature history, thermal stress, crack risk indicators, and structural reaction effects. + +## Connections + +- [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]] provides the field equation base. +- [[Finite Element Thermal Stress Analysis]] covers constrained thermal strain and equivalent force ideas. +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] is the detail-FE sibling page. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Moving Load Bridge Analysis.md b/wiki/concepts/Midas Civil Moving Load Bridge Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..1d08016d --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Moving Load Bridge Analysis.md @@ -0,0 +1,48 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Moving Load Bridge Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000170 +aliases: + - MIDAS Civil moving load analysis + - midas Civil vehicle load analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - bridge-analysis + - loads +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Finite Element Load Vector Assembly]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" + - "[[Static Equilibrium Equation Solvers]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Moving Load Bridge Analysis + +## Definition + +Midas Civil moving load bridge analysis is the vehicle-load generation and placement workflow for bridge structures. + +## How It Works + +The analysis reference distinguishes lanes, traffic surface lanes, vehicle definitions, moving loads, and vehicle placement conditions. The workflow is load generation on top of the finite element model: vehicle axle or wheel loads are placed over admissible lanes or surfaces, then critical effects are evaluated through combinations or influence-style searches. + +## Solver Development Notes + +- Lane geometry and traffic surface definitions should be data structures, not manual load cases only. +- Load generation must convert vehicle position into equivalent nodal or element loads. +- Critical response extraction requires response components, envelopes, and placement metadata. +- Reference comparisons should include displacement, reaction, member force, and stress envelopes for simple bridge models. + +## Connections + +- [[Finite Element Load Vector Assembly]] covers load conversion into the global RHS. +- [[Static Equilibrium Equation Solvers]] provides the repeated linear solve context. +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] covers mesh and result-sensitivity checks. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models.md b/wiki/concepts/Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models.md new file mode 100644 index 00000000..b2a11210 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models.md @@ -0,0 +1,50 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000166 +aliases: + - MIDAS Civil nonlinear time history + - midas Civil hysteresis models +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - dynamics + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Direct Time Integration Methods]]" + - "[[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]" + - "[[Abaqus Metal Plasticity Models]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models + +## Definition + +Midas Civil nonlinear time history and hysteresis models are the direct dynamic analysis procedures and inelastic component laws used when member, link, truss, or fiber behavior changes during a time-dependent load history. + +## How It Works + +The manual describes nonlinear equations of motion, nonlinear static initialization, initial section-force consideration, initial stiffness options, and Newton-Raphson iteration with or without convergence calculation. Inelastic components include inelastic beams, inelastic General Links, and inelastic trusses. + +Hysteresis options include bilinear, trilinear, tetralinear, origin-oriented, peak-oriented, Clough, Takeda-family, slip, Ramberg-Osgood, and Hardin-Drnevich models. Multi-axial hinge models include kinematic hardening and P-M or P-M-M interaction. Fiber models include steel and concrete constitutive models for section response. + +## Solver Development Notes + +- Time integration, nonlinear iteration, and hysteresis state update must share one accepted-state timeline. +- Hysteresis laws need explicit unloading/reloading rules; a yield surface alone is not enough. +- Multi-axial hinge interaction requires robust section-force mapping and yield-surface projection. +- Fiber sections require material-point state management inside a member-level element. + +## Connections + +- [[Direct Time Integration Methods]] gives the transient integration base. +- [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]] connects inertia and plasticity. +- [[Abaqus Metal Plasticity Models]] and [[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]] provide constitutive comparison points. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Numerical Analysis Model.md b/wiki/concepts/Midas Civil Numerical Analysis Model.md new file mode 100644 index 00000000..c77b7a7a --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Numerical Analysis Model.md @@ -0,0 +1,49 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Numerical Analysis Model" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000159 +aliases: + - MIDAS Civil numerical model + - midas Civil analysis model +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - modeling +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Finite Element Method]]" + - "[[Finite Element Program Implementation]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Numerical Analysis Model + +## Definition + +Midas Civil numerical analysis model is the structural model abstraction described in the [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]: nodes locate the structure, finite elements convert members and continua into numerical data, and boundary conditions describe connection to adjacent bodies or supports. + +## How It Works + +The manual emphasizes three coordinate layers. Global coordinates define the model reference frame. Element coordinates define member or element-local quantities. Node local coordinates let users prescribe constraints, boundary springs, displacements, and reactions in arbitrary directions. + +The model is intentionally simplified from the real structure. The manual's practical warning is that simplification must stay inside the analysis purpose: element type, mesh idealization, member offsets, boundary assumptions, and local axes can strongly change the computed response. + +## Solver Development Notes + +- Input data should separate nodes, element connectivity, element type, material, stiffness/section data, and boundary/link definitions. +- Coordinate transformations are first-class data, not postprocessing details. +- A custom solver needs diagnostics for missing stiffness, inconsistent local axes, overconstraints, and boundary assumptions. +- Verification should include model-equivalence checks: same physical bridge member modeled with different element or offset choices should be compared intentionally. + +## Connections + +- [[Finite Element Method]] supplies the general discretization logic. +- [[Finite Element Program Implementation]] maps this model into assembly, solve, and recovery stages. +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] captures the analyst-side reliability concern. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis.md b/wiki/concepts/Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..dd778916 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis.md @@ -0,0 +1,48 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000169 +aliases: + - MIDAS Civil PSC analysis + - midas Civil prestress loss analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - prestress + - bridge-analysis +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Beam and Frame Finite Elements]]" + - "[[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]]" + - "[[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis + +## Definition + +Midas Civil PSC and prestress loss analysis is the prestressed concrete workflow for tendon force application and loss evaluation in bridge/civil member models. + +## How It Works + +The manual covers prestress loading and losses from anchorage slip, tendon-sheath friction, elastic deformation of concrete, relaxation, and time-dependent concrete behavior. Relaxation models include Magura and CEB-FIP style references. The PSC workflow is tightly coupled to construction stages because tendon stressing, section age, creep, shrinkage, and prestress losses evolve over time. + +## Solver Development Notes + +- Tendon geometry and eccentricity must be converted to equivalent nodal/member actions consistently. +- Loss calculations need staged state: jack force, anchorage conditions, friction path, concrete elastic shortening, creep, shrinkage, and relaxation. +- Result comparison should include tendon force, member force, stress, camber/deflection, and reaction histories. +- PSC tests should isolate immediate losses before combining them with long-term losses. + +## Connections + +- [[Beam and Frame Finite Elements]] supplies the member-analysis base. +- [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]] supplies the stage/time dependence. +- [[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]] provides a detail-FE prestress modeling counterpart. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Pushover and Performance Evaluation.md b/wiki/concepts/Midas Civil Pushover and Performance Evaluation.md new file mode 100644 index 00000000..2ffe74f5 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Pushover and Performance Evaluation.md @@ -0,0 +1,50 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Pushover and Performance Evaluation" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000165 +aliases: + - MIDAS Civil pushover + - midas Civil seismic performance evaluation +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - nonlinear-analysis + - seismic-analysis +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" + - "[[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Pushover and Performance Evaluation + +## Definition + +Midas Civil pushover and performance evaluation is the static incremental seismic workflow that applies lateral loading, traces nonlinear capacity, and evaluates structural performance against target or performance-point criteria. + +## How It Works + +The manual treats pushover as an incremental nonlinear static analysis. It includes load-control and displacement-control options, applied lateral load patterns, nonlinear element or hinge properties, performance point estimation, and a seismic performance evaluation workflow. + +Pushover is not just a solver setting. It packages model idealization, hinge definitions, load pattern selection, control DOF selection, capacity-curve extraction, and acceptance criteria. + +## Solver Development Notes + +- A custom solver needs a repeatable way to define control nodes, displacement targets, load patterns, and stopping criteria. +- Plastic hinge output should expose yield state, demand/capacity ratios, and member-level response in addition to global displacements. +- Verification should compare capacity curves, hinge sequence, base shear, and target displacement against a reference solver. +- Test harnesses should include both load-controlled and displacement-controlled paths. + +## Connections + +- [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]] supplies the nonlinear solution base. +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] frames model sensitivity. +- [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]] suggests regression-case structure. diff --git a/wiki/concepts/Midas Civil Special Load and Design Utilities.md b/wiki/concepts/Midas Civil Special Load and Design Utilities.md new file mode 100644 index 00000000..3358095d --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas Civil Special Load and Design Utilities.md @@ -0,0 +1,48 @@ +--- +type: concept +title: "Midas Civil Special Load and Design Utilities" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000171 +aliases: + - MIDAS Civil special utilities + - midas Civil support settlement and wave loads +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-civil + - bridge-analysis + - loads +status: current +related: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]]" + - "[[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]]" + - "[[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# Midas Civil Special Load and Design Utilities + +## Definition + +Midas Civil special load and design utilities are the analysis-reference workflows that sit around the core FE solve: support-settlement combinations, before/after composite-section analysis, unknown-load optimization, arbitrary-shape column design, and wave-load generation. + +## How It Works + +Support settlement auto-consideration generates settlement cases or combinations. Steel composite section before/after composite analysis changes section stiffness as composite action develops. Unknown load solution uses optimization to identify loads that satisfy target responses. Arbitrary-shape column design includes moment magnification, long-column effects, braced/unbraced classification, 3D P-M interaction, and shear design. Wave load generation includes offshore member wave forces and wave theories such as Airy, Stokes, stream function, cnoidal, and solitary waves. + +## Solver Development Notes + +- Some production features are model generators or postprocessors rather than new FE equations. +- Optimization-based load identification needs a clear objective, constraints, design variables, and verification against the recovered target response. +- Design utilities require traceable mapping from FE force output to code-check quantities. +- Wave and settlement generators should be tested at the load-vector/envelope level before full-structure tests. + +## Connections + +- [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] is another load-generation workflow. +- [[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]] shares staged section and bridge-design concerns. +- [[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]] gives a broad optimization comparison point. diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Analysis Workflow.md b/wiki/concepts/Midas FEA Analysis Workflow.md new file mode 100644 index 00000000..076793d6 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Analysis Workflow.md @@ -0,0 +1,52 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Analysis Workflow" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000145 +aliases: + - MIDAS FEA workflow + - midas FEA analysis workflow +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-fea + - implementation +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[Finite Element Method]]" + - "[[Finite Element Program Implementation]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Analysis Workflow + +## Definition + +Midas FEA analysis workflow is the production analysis sequence implied by the [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]: choose element and material models, define loads and constraints, select a linear or nonlinear procedure, solve with appropriate equation and iteration algorithms, then interpret field and result outputs. + +## How It Works + +The manual divides the solver into libraries and procedures. Element and material libraries define the local finite element behavior. General algorithms handle loads, boundaries, equation solution, and nonlinear iteration. Analysis chapters then package those pieces into static, dynamic, buckling, staged, thermal, contact, fatigue, and CFD workflows. + +This organization is useful for requirements design. A solver feature is not only an equation; it also needs input data, element data, state variables, solver controls, convergence tests, output quantities, and validation cases. + +## Implementation Signals + +- Element support must include degrees of freedom, coordinate systems, interpolation, numerical integration, and local-to-global assembly. +- Material support must define stress update, tangent behavior, history variables, and failure or cracking outputs. +- Solver support must distinguish direct and iterative equation solution, symmetric and nonsymmetric stiffness, nonlinear tangent update strategy, and convergence norms. +- Analysis support must define what state is carried between increments, stages, or coupled field transfers. +- Result support must expose nodal displacements, reactions, element forces, stresses, contact forces, temperatures, fatigue damage, or aerodynamic coefficients depending on procedure. + +## Connections + +- [[Finite Element Program Implementation]] is the general code architecture view. +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] describes the equation solver and nonlinear iteration layer. +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] and [[Midas FEA Construction Stage Analysis]] are procedure-level workflow examples. +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] captures the analyst responsibility behind the workflow. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA CFD Analysis.md b/wiki/concepts/Midas FEA CFD Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..1649707d --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA CFD Analysis.md @@ -0,0 +1,50 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA CFD Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000156 +aliases: + - MIDAS FEA CFD + - midas FEA wind CFD +tags: + - concept + - finite-element-method + - cfd + - wind-loads + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]]" + - "[[Abaqus Fluid Acoustic Eulerian and Particle Elements]]" + - "[[Abaqus Eulerian and Particle Methods]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA CFD Analysis + +## Definition + +Midas FEA CFD analysis is the manual's computational fluid dynamics workflow for wind-loading and aerodynamic response of civil structural sections, especially bridge-like two-dimensional sections. + +## How It Works + +The manual describes a structured two-dimensional mesh, compressible viscous Navier-Stokes equations, Favre-averaged RANS equations, two-equation turbulence models, density-based time marching, and finite-volume spatial discretization. + +Boundary conditions include far-field, solid wall, and symmetry conditions. Turbulence options include q-omega and k-omega SST/BSL type models. Numerical ingredients include local preconditioning for low-speed flow, Roe numerical flux, entropy correction, MUSCL extrapolation, limiters, steady AF-ADI, and unsteady dual time integration. + +Outputs include velocity, pressure, vorticity, turbulent viscosity or turbulence ratios, turbulent energy or intensity, and aerodynamic coefficients such as lift, drag, and moment. + +## Solver Development Notes + +- This CFD chapter is a useful multiphysics boundary reference, but it is not part of a minimal structural FE solver core. +- For a custom structural solver roadmap, treat CFD as an external reference or later coupling target after structural elements, materials, dynamics, and contact are stable. +- If implemented, use a proven finite-volume or CFD library for the flow solver rather than folding it into the structural element assembly path. + +## Connections + +- [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]] captures the broader field-problem theme. +- [[Abaqus Fluid Acoustic Eulerian and Particle Elements]] and [[Abaqus Eulerian and Particle Methods]] are related production references, though they are not the same CFD formulation. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Concrete Cracking and Material Models.md b/wiki/concepts/Midas FEA Concrete Cracking and Material Models.md new file mode 100644 index 00000000..2c652fd7 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Concrete Cracking and Material Models.md @@ -0,0 +1,55 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Concrete Cracking and Material Models" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000149 +aliases: + - MIDAS FEA material models + - midas FEA concrete cracking + - midas FEA total strain crack model +tags: + - concept + - finite-element-method + - material-models + - concrete + - plasticity + - nonlinear-analysis + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" + - "[[Plastic Flow Rules and Hardening]]" + - "[[Abaqus Constitutive Integration]]" + - "[[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Concrete Cracking and Material Models + +## Definition + +Midas FEA concrete cracking and material models are the material-library features used to represent elastic-plastic behavior, total strain cracking, compression and tension models, shear transfer, interface nonlinearity, and concrete-related path dependence. + +## How It Works + +The manual presents plasticity through elastic-plastic strain decomposition, yield functions, flow rules, hardening, and rate-form integration. It distinguishes associated and non-associated flow, noting that non-associated flow is often used for pressure-dependent concrete or geomaterial behavior when associated flow would produce excessive volumetric dilation. + +The total strain crack model thread covers loading and unloading, crack strain change, stiffness construction, compression behavior, tension behavior, shear behavior, and lateral effects. Interface material laws then add discrete cracking, crack dilatancy, bond-slip, Coulomb friction, and combined cracking-shearing-crushing for jointed or masonry-like behavior. + +## Important Solver Implications + +- Yield functions, plastic potentials, hardening variables, and integration schemes must be tied to integration-point state. +- Non-associated flow can make the material stiffness nonsymmetric, which affects equation solver choice. +- Crack and interface laws need state variables for opening, slip, unloading, shear retention, and damage-like softening. +- For custom implementation, compare stress, internal force, reaction, displacement, and material state variables against a reference solver rather than checking displacement only. + +## Connections + +- [[Finite Element Plasticity]], [[Plasticity Yield Criteria]], and [[Plastic Flow Rules and Hardening]] give the generic plasticity theory. +- [[Abaqus Constitutive Integration]] gives the parallel material-point update concept in Abaqus. +- [[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]] is the closest Abaqus material-family counterpart. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Construction Stage Analysis.md b/wiki/concepts/Midas FEA Construction Stage Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..9f36356b --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Construction Stage Analysis.md @@ -0,0 +1,51 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Construction Stage Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000152 +aliases: + - MIDAS FEA staged construction + - midas FEA construction stage +tags: + - concept + - finite-element-method + - construction-stage + - concrete + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]]" + - "[[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]]" + - "[[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]]" + - "[[Abaqus General and Linear Perturbation Steps]]" + - "[[Abaqus Restart and Results Transfer]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Construction Stage Analysis + +## Definition + +Midas FEA construction stage analysis simulates structural systems whose elements, loads, boundary conditions, and concrete material properties change over time during construction. + +## How It Works + +The manual describes stage analysis through model groups, time-dependent concrete materials, element activation and deactivation, boundary and load group changes, stage duration, and incremental state transfer. Concrete strength gain, creep, and shrinkage are part of the construction-stage material context. + +When a new element is activated, it starts without the previously accumulated internal stress of older active elements. Existing elements carry the final stress from the previous stage as initial state for the next stage. Current stiffness is assembled from currently active elements, and load increments are built from the difference between current and previous active loads. + +## Practical Warnings + +- Newly cast concrete at age zero can give unrealistic displacement if modeled as structural stiffness before sufficient strength develops. +- Load, boundary, and element activation times must be treated as part of the analysis definition, not as preprocessing annotations. +- Construction stage verification should compare final displacements, reactions, stresses, and internal forces stage by stage. + +## Connections + +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] supplies the hydration and equivalent-age thermal-stress thread. +- [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]] provides the bridge/civil counterpart with creep, shrinkage, strength development, and suspension-bridge equilibrium. +- [[Abaqus General and Linear Perturbation Steps]] and [[Abaqus Restart and Results Transfer]] provide parallel concepts for state propagation and continuation. +- [[Finite Element Program Implementation]] frames stage state as a solver data contract. diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Element Library.md b/wiki/concepts/Midas FEA Element Library.md new file mode 100644 index 00000000..2c61277f --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Element Library.md @@ -0,0 +1,52 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Element Library" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000146 +aliases: + - MIDAS FEA element library + - midas FEA structural elements +tags: + - concept + - finite-element-method + - elements + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[Finite Element Method]]" + - "[[Isoparametric Finite Elements]]" + - "[[Abaqus Element Library]]" + - "[[Abaqus Structural Element Families]]" + - "[[Abaqus Continuum Element Families]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Element Library + +## Definition + +Midas FEA element library is the set of structural and field elements described in the [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], including truss, beam, plane stress, plate, plane strain, axisymmetric, solid, spring, rigid link, reinforcement, interface, contact, heat-transfer, and CFD elements. + +## How It Works + +The structural element chapters organize each element around finite element kinematics, degrees of freedom, coordinate systems, stiffness contribution, and result recovery. The same product library also includes embedded reinforcement, interface elements, geometric nonlinear variants, and heat-transfer or fluid elements used by specialized analyses. + +The manual's element coverage sits between textbook element derivations and broad commercial element catalogs. It is not just a list of element names; it shows how production analysis procedures depend on element-specific stiffness, mass, geometric stiffness, body force, pressure load, contact, and result output routines. + +## Solver Development Notes + +- Start a custom solver with a small structural subset before mirroring the full production library. +- Treat element routines as contracts: nodal DOFs, shape functions, Jacobian mapping, material calls, element matrices, load vectors, and output recovery. +- Keep geometric stiffness and nonlinear strain measures separate from the linear stiffness path so buckling and nonlinear procedures can reuse them explicitly. +- Use [[Abaqus Element Library]] as a comparative reference for naming, family selection, reduced integration, hybrid behavior, sections, and user elements. + +## Connections + +- [[Isoparametric Finite Elements]] provides the common interpolation and mapping framework. +- [[Abaqus Element Selection and Formulation]] gives a parallel production selection workflow. +- [[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]] and [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] are specialized element-library extensions. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling.md b/wiki/concepts/Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling.md new file mode 100644 index 00000000..8c080372 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling.md @@ -0,0 +1,51 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000147 +aliases: + - MIDAS FEA embedded reinforcement + - midas FEA rebar modeling +tags: + - concept + - finite-element-method + - reinforcement + - concrete + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" + - "[[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]]" + - "[[Abaqus Embedded Elements and Overconstraints]]" + - "[[Abaqus Structural Element Families]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling + +## Definition + +Midas FEA embedded reinforcement modeling represents reinforcing bars or grids inside host finite elements so reinforced concrete behavior can be modeled without requiring every reinforcement line to match the host mesh topology. + +## How It Works + +The manual separates rebar bar elements and rebar grid elements, then describes their finite element formulation and their use inside plane strain, axisymmetric, plane stress, solid, and plate elements. Prestress context is also included, so the reinforcement thread is tied to both element formulation and staged concrete analysis. + +In implementation terms, embedded reinforcement is a coupling problem. Reinforcement strain is obtained from host-element kinematics or mapped coordinates, the reinforcement constitutive response contributes stiffness and internal force, and the contribution is assembled into the host/global degrees of freedom. + +## Solver Development Notes + +- Define whether reinforcement has independent DOFs or is fully embedded in host interpolation. +- Store reinforcement orientation, area, material, prestress data, and host-element mapping explicitly. +- Include tests for mesh-independent reinforcement placement and for reinforcement crossing host element boundaries. +- Verify reinforcement response with displacement, reaction, element force, and stress comparison against a reference solver. + +## Connections + +- [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]] supplies the concrete-side material context. +- [[Abaqus Embedded Elements and Overconstraints]] is the closest Abaqus workflow counterpart. +- [[Finite Element Program Implementation]] frames reinforcement as an element or constraint contribution to global assembly. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Fatigue Analysis.md b/wiki/concepts/Midas FEA Fatigue Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..8bafe217 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Fatigue Analysis.md @@ -0,0 +1,47 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Fatigue Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000155 +aliases: + - MIDAS FEA fatigue + - midas FEA S-N fatigue +tags: + - concept + - finite-element-method + - fatigue + - verification + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" + - "[[Abaqus Progressive Damage and Failure]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Fatigue Analysis + +## Definition + +Midas FEA fatigue analysis estimates fatigue damage and life from stress histories, using stress-life S-N data, rainflow counting, mean stress treatment, modification factors, and Miner linear damage accumulation. + +## How It Works + +The manual presents fatigue as a post-analysis workflow built from elastic stress results. Nodal stresses are derived from stress measures such as von Mises or maximum principal stress, stress amplitude histories are constructed, and S-N data are used to estimate damage and life. + +The procedure accounts for mean stress, stress concentration, surface finish, load type, size or shape factors, temperature, environment, rainflow cycle counting, and linear cumulative damage. Outputs include fatigue life and safety-factor style quantities at nodes. + +## Solver Development Notes + +- Treat fatigue as a results-processing feature unless material degradation is explicitly coupled back into the solve. +- Keep the stress measure, location, interpolation, and scaling rules fixed for regression tests. +- Use small hand-checkable stress histories to verify rainflow counting and Miner summation before using full FE histories. + +## Connections + +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] is important because fatigue is sensitive to stress concentration and mesh interpretation. +- [[Abaqus Progressive Damage and Failure]] provides a broader production reference for damage and fatigue-like modeling options. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis.md b/wiki/concepts/Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..040041b9 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis.md @@ -0,0 +1,54 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000153 +aliases: + - MIDAS FEA hydration heat analysis + - MIDAS FEA heat transfer analysis + - midas FEA thermal stress analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - heat-transfer + - thermal-stress + - concrete + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]]" + - "[[Finite Element Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Midas FEA Construction Stage Analysis]]" + - "[[Abaqus Multiphysics Coupling and Co-simulation]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis + +## Definition + +Midas FEA heat transfer and hydration analysis models temperature evolution, hydration heat, equivalent age, thermal strain, and thermal stress in concrete structures. + +## How It Works + +The general heat-transfer part covers the heat equation, heat-transfer elements, initial temperature, fixed temperature, heat flux, convection, heat generation, and staged heat-transfer results. The hydration heat part couples heat transfer to concrete material development and thermal stress analysis. + +The manual uses equivalent age to connect temperature history to strength and material evolution. Thermal stress outputs include nodal displacement, element stress, tensile strength by equivalent age, and crack ratio. Crack ratio is treated as a comparison between allowable tensile stress and generated tensile stress. + +## Solver Development Notes + +- Keep temperature as a field variable with its own boundary conditions and time history. +- Define whether thermal stress is solved sequentially from a temperature field or coupled in one analysis. +- Preserve concrete age and temperature history when construction stages activate or transfer state. +- Include thermal-stress verification cases with free expansion, constrained expansion, transient heat flow, and hydration heat. + +## Connections + +- [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]] covers the general FE field-equation context. +- [[Finite Element Thermal Stress Analysis]] gives the thermal strain and equivalent force viewpoint. +- [[Midas FEA Construction Stage Analysis]] provides the staged concrete context. +- [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] provides the bridge/civil counterpart for equivalent age, maturity, shrinkage, creep, and thermal stress. diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities.md b/wiki/concepts/Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities.md new file mode 100644 index 00000000..c9edea19 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities.md @@ -0,0 +1,53 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000148 +aliases: + - MIDAS FEA interface elements + - midas FEA interface nonlinearities +tags: + - concept + - finite-element-method + - interface + - contact + - nonlinear-analysis + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" + - "[[Midas FEA Static Contact Analysis]]" + - "[[Finite Element Contact Formulation]]" + - "[[Abaqus Cohesive and Gasket Elements]]" + - "[[Abaqus Contact Property Models]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities + +## Definition + +Midas FEA interface elements and nonlinearities model relative displacement and traction across points, lines, or surfaces, including cracks, bond-slip, friction, and masonry-like joint behavior. + +## How It Works + +The element-library side describes point, line, and surface interface elements and their finite element formulation in terms of relative displacement. The material-library side then assigns nonlinear laws such as discrete crack behavior, crack dilatancy, bond-slip, Coulomb friction, and combined cracking-shearing-crushing. + +The manual emphasizes that normal and tangential interface behavior can be coupled. Crack dilatancy and frictional flow can introduce off-diagonal stiffness terms or nonsymmetric tangent behavior, which matters for solver selection and convergence. + +## Solver Development Notes + +- Store interface orientation and relative displacement components carefully. +- Treat interface elements separately from general contact: an interface element has predefined connectivity, while contact often needs search and active-set updates. +- Expect non-associated friction or dilatancy to produce nonsymmetric stiffness and slower convergence. +- Include element-level tests for normal opening, tangential slip, coupled dilation, and unloading/reloading. + +## Connections + +- [[Finite Element Contact Formulation]] gives the broader contact and interface context. +- [[Midas FEA Static Contact Analysis]] describes search-based contact in the same product. +- [[Abaqus Cohesive and Gasket Elements]] and [[Abaqus Contact Property Models]] give parallel production concepts. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses.md b/wiki/concepts/Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses.md new file mode 100644 index 00000000..992a4bbf --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses.md @@ -0,0 +1,52 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000151 +aliases: + - MIDAS FEA modal analysis + - MIDAS FEA time history analysis + - MIDAS FEA response spectrum analysis + - MIDAS FEA linear buckling analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - dynamics + - eigenproblems + - buckling + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Direct Time Integration Methods]]" + - "[[Finite Element Eigenproblem Solvers]]" + - "[[Geometric Stiffness Matrix]]" + - "[[Dynamic Buckling Analysis]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses + +## Definition + +Midas FEA linear dynamics and buckling analyses are the manual's linear static, modal, time history, response spectrum, and eigenvalue buckling procedure family. + +## How It Works + +Linear static analysis solves the assembled stiffness equation with loads, boundary conditions, coordinate transformations, and singularity checks. The manual also warns that nonlinear member cases such as tension-only or compression-only links use internal iteration, so their results should not be combined as if they were purely linear load cases. + +Modal analysis solves `K phi = lambda M phi` and reports mode shapes, participation factors, effective modal mass, and modal direction factors. Lanczos and subspace methods are described, including shift-invert ideas, rigid-mode handling, and Sturm sequence checks for missed eigenvalues. + +Time history analysis is organized through mode superposition and direct integration, with damping models such as Rayleigh damping and modal damping. The manual gives a practical time-step accuracy rule: choose a step small enough relative to the highest mode of interest and the load time interval. + +Response spectrum analysis approximates a multi-degree-of-freedom response through modal single-degree-of-freedom spectra and modal combination rules such as ABS, SRSS, and CQC. Linear buckling analysis forms a geometric stiffness contribution from a pre-buckling stress or internal force state and solves an eigenvalue problem for critical load factors and modes. + +## Connections + +- [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] covers modal and buckling eigenvalue algorithms. +- [[Direct Time Integration Methods]] covers transient dynamics and direct integration. +- [[Geometric Stiffness Matrix]] connects internal stress to buckling stiffness. +- [[Dynamic Buckling Analysis]] extends stability thinking to time-dependent loading. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms.md b/wiki/concepts/Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms.md new file mode 100644 index 00000000..98ceb61e --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms.md @@ -0,0 +1,54 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000150 +aliases: + - MIDAS FEA nonlinear algorithms + - midas FEA equation solvers + - midas FEA iteration methods +tags: + - concept + - finite-element-method + - nonlinear-analysis + - linear-solvers + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" + - "[[Static Equilibrium Equation Solvers]]" + - "[[Finite Element Program Implementation]]" + - "[[Abaqus Nonlinear Solution Control]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms + +## Definition + +Midas FEA nonlinear solution algorithms are the load, boundary, equation-solver, and iteration methods used to solve linearized and nonlinear finite element systems in [[midas FEA]]. + +## How It Works + +The manual's general algorithm section covers nodal constraints, skewed support, constraint equations, nodal loads, pressure loads, body forces, prescribed displacements, direct equation solvers, iterative equation solvers, and nonlinear iteration strategies. + +Direct equation solvers include skyline and multifrontal methods. Iterative solvers include conjugate gradient and GMRES with preconditioning options such as ILUT and Jacobi. The manual notes practical solver choices: multifrontal solution is favored for buckling, Lanczos, constraint-equation cases, and some dynamic contexts; GMRES is used when an iterative method must handle unsymmetric stiffness. + +For nonlinear iteration, the manual describes initial stiffness, Newton-Raphson, modified Newton-Raphson, and arc-length methods. Convergence can be checked by force norm, displacement norm, or energy norm. Softening problems require stricter attention, and comparing more than one convergence criterion is recommended when the appropriate measure is uncertain. + +## Solver Development Notes + +- Keep equation solver selection tied to matrix symmetry, definiteness, constraint handling, and procedure type. +- Commit state only after a converged increment or step, especially for path-dependent material and contact states. +- Test Newton, modified Newton, and arc-length paths with both monotonic hardening and softening/snap-through cases. +- Make convergence norms part of the test harness output, not only internal diagnostics. + +## Connections + +- [[Static Equilibrium Equation Solvers]] gives the general solver family context. +- [[Nonlinear Finite Element Analysis]] frames tangent, residual, and convergence behavior. +- [[Abaqus Nonlinear Solution Control]] is a parallel production nonlinear-control reference. + diff --git a/wiki/concepts/Midas FEA Static Contact Analysis.md b/wiki/concepts/Midas FEA Static Contact Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..ec76a1e6 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas FEA Static Contact Analysis.md @@ -0,0 +1,53 @@ +--- +type: concept +title: "Midas FEA Static Contact Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000154 +aliases: + - MIDAS FEA contact analysis + - midas FEA penalty contact +tags: + - concept + - finite-element-method + - contact + - nonlinear-analysis + - midas-fea +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Finite Element Contact Formulation]]" + - "[[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]]" + - "[[Abaqus Contact Interaction Definition]]" + - "[[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# Midas FEA Static Contact Analysis + +## Definition + +Midas FEA static contact analysis models bodies that may touch, separate, or weld without allowing physical penetration, using contact detection and penalty enforcement. + +## How It Works + +The manual describes general contact and weld contact. Master and slave surfaces can be swapped, but the master surface should generally be the stiffer, more rigid, or coarser side for stable results. Contact is enforced with penalty springs, so contact force is proportional to penetration distance. + +The contact search is divided into global search, local search, and contact point search. Global search reduces cost with bucket sorting. Local search finds the nearest master surface. Contact point search solves for the closest point on an isoparametric master surface, using Newton-Raphson iteration for local coordinates. + +The manual distinguishes symmetric weld contact and symmetric general contact, notes that self-contact is not supported, and describes automatic adjustment of initial penetration by moving slave nodes. Contact force output is reported on the slave contact surface in global coordinates. + +## Solver Development Notes + +- Separate contact search, gap evaluation, force calculation, and tangent contribution in code. +- Add tests for no contact, initial overclosure, sliding, separation, recontact, and welded contact. +- Keep penalty stiffness scaling explicit because it controls both penetration error and conditioning. +- Report contact status and contact forces as first-class verification data. + +## Connections + +- [[Finite Element Contact Formulation]] covers the general finite element contact problem. +- [[Abaqus Contact Interaction Definition]] and [[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]] provide parallel production contact concepts. +- [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] handles predefined interface connectivity, which is different from search-based contact. + diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Analysis Workflow.md b/wiki/concepts/Midas NFX Analysis Workflow.md new file mode 100644 index 00000000..9a596b58 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Analysis Workflow.md @@ -0,0 +1,52 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Analysis Workflow" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000174 +aliases: + - NFX analysis workflow +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - solver-workflow +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Finite Element Program Implementation]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Analysis Workflow + +## Definition + +The NFX workflow is the production analysis loop described in the [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]: define the finite element model, define the analysis case, solve, and inspect postprocessing results. + +## Model Contract + +The manual frames model definition around nodes, elements, mesh, loads, boundary conditions, analysis type, and result interpretation. It also makes the coordinate-system contract explicit: global coordinate systems, nodal displacement coordinate systems, element coordinate systems, material coordinate systems, element result coordinate systems, and element formulation coordinate systems can all be distinct. + +## File Contract + +The source identifies model files, solver input, run logs, text output, and binary postprocessing data. For a custom solver, that split is important because test harnesses need stable locations for model input, execution records, raw result files, and postprocessed quantities. + +## Analysis Families + +NFX covers linear static structural analysis, normal modes, linear buckling, direct/modal transient response, direct/modal frequency response, response spectrum, random response, nonlinear steady/transient heat transfer, nonlinear static, nonlinear quasi-static, nonlinear explicit transient, and nonlinear implicit transient analysis. + +## Solver Development Use + +This page is a requirements checklist for the outer application layer of a solver. Before implementing an element or constitutive model, the solver needs a concrete model schema, unit convention, coordinate-system policy, analysis-case type, input/output file contract, result-coordinate policy, and postprocessing result list. + +## Connections + +- [[Finite Element Program Implementation]] gives the generic implementation data flow. +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] and [[Midas Civil Numerical Analysis Model]] are sibling MIDAS workflow references. +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] connects the workflow to model idealization and verification. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Contact Analysis.md b/wiki/concepts/Midas NFX Contact Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..8bfe2174 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Contact Analysis.md @@ -0,0 +1,53 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Contact Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000180 +aliases: + - NFX contact analysis + - NFX penalty contact +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - contact + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Finite Element Contact Formulation]]" + - "[[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]]" + - "[[Midas FEA Static Contact Analysis]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Contact Analysis + +## Definition + +NFX contact analysis enforces non-penetration and optional tangential behavior between bodies. The manual covers general contact, rough contact, welded contact, sliding contact, breaking-weld contact, node-to-surface, surface-to-surface, single-surface, and mortar contact. + +## Contact Search and Discretization + +The source distinguishes global contact search from local projection. Contact can be detected through slave node to master segment projection, surface-to-surface integration, or mortar segment integration. It notes the usual tradeoff: node-to-surface contact is cheaper, while surface-to-surface contact is generally more accurate for contact pressure distribution. + +## Penalty Enforcement + +Normal contact force is enforced with a penalty relation based on the normal gap, with contact active when the gap becomes negative. NFX automatically computes penalty stiffness from element/material scale quantities and smooths the contact-force transition to reduce oscillation near contact onset. + +## Friction and Breaking Weld + +Tangential behavior uses a penalty relation coupled to normal contact force. The manual gives a friction yield-like condition based on tangential force norm and `mu f_C`. Breaking-weld contact maintains welded relative motion until combined normal and tangential contact force measures exceed a failure envelope. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, this page separates contact into five testable pieces: search/projection, active set detection, normal penalty force, tangential/friction update, and tangent contribution. Each needs reference-model checks because contact errors can look like element or nonlinear-solver failures. + +## Connections + +- [[Finite Element Contact Formulation]] gives the shared FE contact formulation context. +- [[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]] is a commercial contact enforcement comparison. +- [[Midas FEA Static Contact Analysis]] is the sibling MIDAS static contact reference. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Element Library.md b/wiki/concepts/Midas NFX Element Library.md new file mode 100644 index 00000000..1566f968 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Element Library.md @@ -0,0 +1,52 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Element Library" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000175 +aliases: + - NFX element library +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - elements +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Isoparametric Finite Elements]]" + - "[[Abaqus Element Library]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" + - "[[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Element Library + +## Definition + +The NFX element library is the collection of structural, field, rigid, interpolation, and joint element formulations documented in the [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]. + +## Structural Coverage + +The library includes scalar spring/mass/damper elements; one-dimensional rod, embedded rod, bar, embedded bar, pipe, cable, bush, and gap elements; two-dimensional membrane, shell, surface, plane strain, and axisymmetric solid elements; and three-dimensional solid, layered shell, and layered solid elements. The manual also covers geometric stiffness for rods, bars, pipes, membranes, shells, axisymmetric solids, solids, springs, bushes, rigid elements, and contact conditions. + +## Formulation Details + +The manual starts from variational finite element formulations and shape functions, then describes element-local coordinates, material/result coordinate systems, DOFs, stress/strain/result locations, integration choices, stabilization, reduced integration, assumed natural strain behavior, hybrid variants, drilling DOFs, offsets, and through-thickness integration. Shell elements are especially explicit: membrane forces, bending moments, transverse shear forces, top/bottom/center result locations, director vectors, and optional 5-DOF or 6-DOF behavior are treated as separate implementation choices. + +## Field Elements + +NFX thermal elements reuse the structural mesh topology but switch nodal DOFs to temperature and produce heat flux and thermal-gradient output. Joule heating adds electric potential as a coupled field, current-density results, electric potential gradients, and nonsymmetric coupled matrices. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, this page separates element taxonomy from element implementation. Each element family should specify interpolation, DOF set, local coordinate system, integration rule, stiffness/mass/capacitance contributions, geometric stiffness availability, load conversion, result recovery, and nonlinear-state support. + +## Connections + +- [[Isoparametric Finite Elements]] gives the shared interpolation framework. +- [[Abaqus Element Library]] provides a broad commercial element-family comparison. +- [[Midas FEA Element Library]] and [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]] are sibling MIDAS element references. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction.md b/wiki/concepts/Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction.md new file mode 100644 index 00000000..e292a600 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction.md @@ -0,0 +1,53 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000177 +aliases: + - NFX equation solvers + - NFX eigen extraction +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - solvers + - eigenproblem +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Static Equilibrium Equation Solvers]]" + - "[[Finite Element Eigenproblem Solvers]]" + - "[[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction + +## Definition + +NFX equation solvers are the linear algebra back end used across static, eigenvalue, dynamic, and nonlinear analyses. The manual frames the basic linear problem as `K u = p` and the modal/buckling eigenproblem as `K phi_i - lambda_i B phi_i = 0`. + +## Linear Equation Solvers + +The source distinguishes dense direct solution, sparse multifrontal direct solution, out-of-core solution, GPU-assisted real matrix decomposition, and iterative solution. It states that direct solvers are generally robust but memory-intensive, while iterative solvers reduce memory demand but require preconditioning and can struggle with structural matrix characteristics. + +## Automatic Solver Selection + +NFX can select a solver by model size and available memory. The manual describes small problems going to dense or direct strategies, medium problems to multifrontal direct solution, and very large problems to AMG iterative solution when appropriate. + +## Eigen Extraction + +For normal modes and linear buckling, the manual connects solver choice to eigen extraction. Lanczos iteration is used with the multifrontal solver and is suited to large problems, while direct matrix methods are positioned for smaller tests. The source also emphasizes eigenvalue range/count settings, missing-eigenvalue checks, mode normalization, generalized mass/stiffness, orthogonality loss, and residual error measures. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, this page defines verification targets beyond `K u = f`: sparse ordering, matrix factorization strategy, preconditioner policy, eigenvector normalization, modal mass checks, orthogonality checks, and residual norms should be part of the harness. + +## Connections + +- [[Static Equilibrium Equation Solvers]] gives the generic static solver context. +- [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] gives the shared modal and buckling eigenproblem context. +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] and [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] are sibling MIDAS solver references. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Fatigue Analysis.md b/wiki/concepts/Midas NFX Fatigue Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..29b4abbd --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Fatigue Analysis.md @@ -0,0 +1,56 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Fatigue Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000181 +aliases: + - NFX fatigue analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - fatigue + - verification +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" + - "[[Abaqus Progressive Damage and Failure]]" + - "[[Midas FEA Fatigue Analysis]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Fatigue Analysis + +## Definition + +NFX fatigue analysis estimates fatigue damage and life from finite element stress or strain histories. The manual covers stress-life, strain-life, and random vibration fatigue approaches. + +## Stress-Life Method + +The stress-life method uses S-N curves and is positioned for relatively low stress levels where elastic behavior dominates. The manual describes stress amplitude, mean stress, rainflow counting for variable-amplitude histories, S-N curve correction factors, Miner cumulative damage, and life as inverse damage. + +## Mean-Stress Corrections + +The source includes Goodman, Gerber, Soderberg, Morrow, and Smith-Watson-Topper style mean-stress correction ideas. This matters for solver verification because identical FE stress histories can produce different fatigue lives depending on correction method. + +## Strain-Life Method + +The strain-life method is positioned for higher stress/strain concentration regions where plastic strain can control life. The manual includes elastic/plastic strain decomposition, cyclic strength/hardening parameters, and Neuber-rule based recovery from linear elastic results. + +## Random Vibration Fatigue + +For complex load histories, the manual also treats frequency-domain random vibration fatigue. That workflow connects modal/frequency response outputs to fatigue damage rather than relying on explicit time histories. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, fatigue is primarily a postprocessing harness problem. The FE solver must first produce trusted stress/strain histories at documented locations; only then should rainflow counting, S-N/E-N interpolation, mean-stress correction, Miner damage, and random-response fatigue be tested. + +## Connections + +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] connects fatigue accuracy to stress recovery and mesh quality. +- [[Abaqus Progressive Damage and Failure]] provides a broader damage/failure comparison. +- [[Midas FEA Fatigue Analysis]] is the sibling MIDAS fatigue reference. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress.md b/wiki/concepts/Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress.md new file mode 100644 index 00000000..7e54f363 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress.md @@ -0,0 +1,67 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000182 +aliases: + - NFX heat transfer + - NFX Joule heating + - NFX thermal stress +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - heat-transfer + - thermal-stress + - multiphysics +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]]" + - "[[Finite Element Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress + +## Definition + +The NFX thermal/electrical thread covers steady and transient heat transfer, temperature-dependent conductivity and capacitance, latent heat, convection, radiation, internal heat generation, Joule heating, and structural thermal-stress coupling. + +## Heat Transfer Formulation + +The manual presents transient heat transfer as an energy balance with heat flux, internal heat generation, specific heat, density, and temperature rate. Fourier's law relates heat flux to thermal gradient, and finite element discretization leads to + +```text +C(T) T_dot + K(T) T = R(q_ext, r) +``` + +with backward difference time integration and Newton-Raphson iteration for nonlinear temperature-dependent properties. + +## Element Matrices and Results + +Thermal element conductivity and capacitance matrices are documented for 1D, 2D, and 3D elements. Thermal results include flux components, flux resultant, thermal-gradient components, and gradient resultant at element centers. + +## Joule Heating + +Joule heating introduces electric potential and current density. The source couples electric conduction and heat transfer through generated electric energy, producing a coupled block matrix in temperature and electric potential. Temperature-dependent electric conductivity creates nonsymmetric coupled stiffness terms. + +## Thermal Stress Handoff + +Thermal structural coupling is treated through temperature loads and thermal expansion. In laminated composite context, the source also distinguishes average temperature change and through-thickness temperature gradient, which create membrane and bending resultants. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, this page suggests a staged implementation: scalar heat equation first, nonlinear temperature-dependent material second, structural thermal strain third, and coupled electric-thermal Joule heating only after scalar field assembly and result recovery are stable. + +## Connections + +- [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]] gives the general field-problem frame. +- [[Finite Element Thermal Stress Analysis]] gives the structural thermal strain and equivalent-force frame. +- [[Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials]] provides a sibling field-property reference. +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] and [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] are MIDAS thermal-stress siblings. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses.md b/wiki/concepts/Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses.md new file mode 100644 index 00000000..bd414436 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses.md @@ -0,0 +1,61 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000178 +aliases: + - NFX linear dynamics + - NFX buckling analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - dynamics + - buckling +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Direct Time Integration Methods]]" + - "[[Finite Element Eigenproblem Solvers]]" + - "[[Geometric Stiffness Matrix]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses + +## Definition + +The NFX linear dynamics and buckling thread covers normal modes, linear buckling, effective mass, mode superposition, transient response, frequency response, random response, and response spectrum analysis. + +## Modal and Buckling Base + +Normal mode analysis uses mass-normalized modes, generalized mass, generalized stiffness, participation factors, and modal effective mass. Buckling uses the same generalized eigenproblem structure but replaces the dynamic mass-like matrix with geometric stiffness and normalizes buckling vectors by maximum displacement component rather than modal mass. + +## Mode Superposition + +The manual presents mode superposition as a reduction of the physical dynamic equation + +```text +M u_ddot(t) + C u_dot(t) + K u(t) = f(t) +``` + +into modal coordinates. It also documents residual vectors for improving truncated modal bases and enforced-motion handling through constrained/free DOF partitioning. + +## Linear Response Families + +NFX covers direct and modal transient response, direct and modal frequency response, random response, and response spectrum analysis. The manual includes damping treatment, frequency-domain response, random response statistical values, RMS and zero crossing, modal combination, and spectrum correction. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, this page defines output checks that should be testable against reference solvers: natural frequencies, periods, mode shapes, modal mass, effective mass ratios, buckling load factors, transient displacement histories, frequency-response amplitudes/phases, response-spectrum modal combinations, and random-response statistics. + +## Connections + +- [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] gives the common eigen extraction context. +- [[Direct Time Integration Methods]] gives the time-domain integration frame. +- [[Geometric Stiffness Matrix]] connects linear buckling to stress stiffness. +- [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] and [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] are sibling MIDAS references. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Material and Composite Models.md b/wiki/concepts/Midas NFX Material and Composite Models.md new file mode 100644 index 00000000..b0d37a72 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Material and Composite Models.md @@ -0,0 +1,60 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Material and Composite Models" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000176 +aliases: + - NFX material models + - NFX composite models +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - materials + - composites +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Abaqus Material Library and Data Definition]]" + - "[[Abaqus Progressive Damage and Failure]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Material and Composite Models + +## Definition + +The NFX material-model thread covers the elastic, nonlinear, plastic, hyperelastic, thermal, viscoelastic, laminated-composite, and composite-failure behavior described in the [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]. + +## Material Families + +The manual includes isotropic, orthotropic, anisotropic, and rigid elastic materials; nonlinear elastic material behavior; plastic material properties; hyperelastic behavior; thermal conductivity properties; age-independent and age-dependent viscoelasticity; and temperature-dependent material properties. + +## Composite Laminate Theory + +For laminated composites, the source gives the classic membrane-bending relation + +```text +{N, M} = [[A, B], [B, D]] {epsilon_0, kappa} +``` + +where `A`, `B`, and `D` represent in-plane, coupling, and bending stiffness. The manual also includes transverse shear stiffness and thermal expansion terms for average temperature change and through-thickness temperature gradient. + +## Composite Failure + +The composite failure section covers maximum stress, maximum strain, Tsai-Hill, Hoffman, Tsai-Wu, and NASA LaRC02 criteria. The output concepts include finite-element failure index, failure index, and strength ratio. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, this page points to two implementation layers: constitutive integration at integration points and laminate section integration through thickness. Composite failure should be treated as a postprocessing or damage-initiation contract unless the solver explicitly implements degradation, because a failure index alone does not define stiffness loss. + +## Connections + +- [[Finite Element Plasticity]] and [[Abaqus Constitutive Integration]] cover path-dependent material updates. +- [[Abaqus Material Library and Data Definition]] and [[Abaqus Progressive Damage and Failure]] provide sibling commercial material/failure references. +- [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]] is a MIDAS sibling focused on civil concrete and interface material behavior. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms.md b/wiki/concepts/Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms.md new file mode 100644 index 00000000..1748061b --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms.md @@ -0,0 +1,59 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000179 +aliases: + - NFX nonlinear algorithms + - NFX nonlinear dynamics +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - nonlinear-analysis + - dynamics +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Nonlinear Finite Element Analysis]]" + - "[[Direct Time Integration Methods]]" + - "[[Geometric Stiffness Matrix]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms + +## Definition + +The NFX nonlinear algorithm thread covers nonlinear static, quasi-static, explicit transient, and implicit transient procedures, including large-deformation stress/strain recovery and nonlinear time stepping. + +## Nonlinear Static + +The manual discusses nonlinear finite element solution as an iterative incremental process. It includes Newton-Raphson style correction, line search, and convergence toward equilibrium under material, geometric, contact, and load nonlinearities. + +## Large Deformation + +For large deformation, the source treats stress and strain recovery separately from small-strain linear behavior. Geometric stiffness is derived from the tangent of internal virtual work and depends on current stress, objective stress rates, displacement gradients, and updated Lagrangian assumptions. + +## Explicit Transient + +The explicit transient procedure uses central difference ideas, diagonal/lumped mass, critical time step calculation, artificial bulk viscosity, damping, mass scaling, and penalty-based joint constraints. The manual stresses that low-order elements are usually preferred in explicit analysis because critical time step and computational cost are sensitive to element size and formulation. + +## Implicit Transient + +The implicit nonlinear transient procedure uses the HHT method, nonlinear iteration on the dynamic residual, automatic time-step control based on residual behavior, and damping matrices that account for current deformation and material nonlinearity. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, this page suggests separate implementation tracks: nonlinear static residual/tangent tests, geometric stiffness tests, explicit stable-step tests, mass-scaling checks, implicit dynamic residual tests, and damping verification. Treating all nonlinear procedures as one solver loop would hide important differences in state update, stability, and verification. + +## Connections + +- [[Nonlinear Finite Element Analysis]] gives the common nonlinear solution context. +- [[Direct Time Integration Methods]] gives the time-integration base. +- [[Geometric Stiffness Matrix]] connects to large-deformation tangent stiffness and buckling. +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] and [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]] are sibling MIDAS nonlinear references. diff --git a/wiki/concepts/Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis.md b/wiki/concepts/Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..45808196 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis.md @@ -0,0 +1,58 @@ +--- +type: concept +title: "Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000183 +aliases: + - NFX topology optimization + - NFX size optimization + - NFX forming limit analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - midas-nfx + - optimization + - forming-limit +status: current +related: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" + - "[[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis + +## Definition + +The NFX optimization/forming thread covers topology optimization, size optimization, and forming-limit diagram checks documented in the [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]. + +## Topology Optimization + +The manual defines topology optimization as determining material distribution over a design domain. Design variables are element densities, and typical objectives include static compliance, dynamic compliance, volume fraction, and average eigenvalue. Manufacturing constraints include drawing direction and symmetry conditions. + +## Material Interpolation and Search + +NFX describes SIMP and RAMP material interpolation. Optimization search methods include optimality criteria with KKT-style stationarity and the method of moving asymptotes for larger constrained design-variable sets. + +## Size Optimization + +Size optimization treats adjustable parameters as design variables and uses design responses to seek target system performance. The source describes design of experiments, sampling, surrogate model construction, polynomial regression, and approximate-model-based optimization. + +## Forming Limit + +The forming-limit section includes forming-limit diagram definition, MMFC background, MMFC algorithm, isotropic yield curves, and hardening models. This is less central to a structural solver kernel, but it is important when the solver is expected to evaluate sheet-forming failure envelopes. + +## Solver Development Use + +For a custom solver, optimization should not be an early core feature unless design-response gradients and analysis repeatability are already verified. The practical harness must test response extraction, sensitivity calculation, filtering/interpolation, constraint evaluation, and convergence independently from the primal FE solve. + +## Connections + +- [[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]] is a sibling commercial optimization reference. +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] connects optimization to mesh sensitivity and response reliability. +- [[Midas Civil Special Load and Design Utilities]] connects MIDAS design utility workflows to optimization-like procedures. diff --git a/wiki/concepts/Nonlinear Finite Element Analysis.md b/wiki/concepts/Nonlinear Finite Element Analysis.md index b0b2732f..f8c5d4dd 100644 --- a/wiki/concepts/Nonlinear Finite Element Analysis.md +++ b/wiki/concepts/Nonlinear Finite Element Analysis.md @@ -7,7 +7,7 @@ aliases: - nonlinear FEA - incremental finite element analysis created: 2026-05-28 -updated: 2026-06-01 +updated: 2026-06-02 address: c-000011 tags: - concept @@ -31,6 +31,15 @@ related: - "[[Abaqus Hyperelastic and Viscoelastic Materials]]" - "[[Abaqus Progressive Damage and Failure]]" - "[[Finite Element Contact Formulation]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]]" + - "[[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]" + - "[[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]]" + - "[[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]]" + - "[[Midas FEA Static Contact Analysis]]" + - "[[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]]" + - "[[Midas Civil Pushover and Performance Evaluation]]" + - "[[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]]" sources: - "[[Finite Element Procedures]]" - "[[A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell]]" @@ -38,6 +47,9 @@ sources: - "[[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method]]" - "[[Abaqus Theory Manual]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" --- # Nonlinear Finite Element Analysis @@ -60,6 +72,12 @@ The dynamic buckling thesis uses geometric nonlinearity to build the geometric s [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] expands the material-nonlinearity side: hyperelasticity, viscoelasticity, plasticity, pressure-dependent geomaterials, concrete, progressive damage, EOS behavior, and user-defined material updates all introduce state dependence into the nonlinear finite element problem. +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] specializes the nonlinear workflow for plasticity. It connects direct iteration, Newton-Raphson, tangential stiffness, and initial stiffness methods to integration-point yield checks, flow rules, hardening variables, pseudo-loads, and transient dynamic elasto-plastic schemes. + +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds production nonlinear controls from another solver: initial stiffness, Newton-Raphson, modified Newton-Raphson, arc-length iteration, force/displacement/energy convergence norms, concrete cracking, interface laws, and penalty contact. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds bridge/civil nonlinear workflows: nonlinear supports and links, P-Delta, geometric nonlinearity, material plasticity, pushover analysis, inelastic time history, hysteresis models, interaction hinges, and fiber sections. + ## Why It Matters Many engineering failures, large deformation behaviors, buckling events, contact interactions, and elastoplastic responses cannot be captured by a single linear solve. Nonlinear analysis adds physical realism but also adds dependence on increments, tangent quality, convergence tests, and path-following strategy. @@ -72,6 +90,9 @@ Many engineering failures, large deformation behaviors, buckling events, contact - Do convergence criteria reflect the physical quantity of interest? - Are material updates and contact constraints supplying a tangent that matches the active nonlinear state? - Is the selected material model path-dependent, rate-dependent, damage-softening, or nearly incompressible? +- For plasticity, are yield-state transitions, hardening variables, and committed integration-point states handled consistently across increments? +- For Midas-style civil nonlinear analysis, are concrete cracking, contact status, construction stages, and hydration-related state changes committed only after convergence? +- For bridge/civil nonlinear analysis, are support/link states, hinge hysteresis, section interaction surfaces, and construction-stage states committed on the same converged timeline? ## Sources @@ -81,3 +102,6 @@ Many engineering failures, large deformation behaviors, buckling events, contact - [[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method]] - [[Abaqus Theory Manual]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] diff --git a/wiki/concepts/Plastic Flow Rules and Hardening.md b/wiki/concepts/Plastic Flow Rules and Hardening.md new file mode 100644 index 00000000..d8cb9791 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Plastic Flow Rules and Hardening.md @@ -0,0 +1,59 @@ +--- +type: concept +title: "Plastic Flow Rules and Hardening" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000135 +aliases: + - associated plasticity + - non-associated plasticity + - isotropic hardening + - kinematic hardening +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - constitutive-modeling +status: current +related: + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" + - "[[Abaqus Constitutive Integration]]" + - "[[Abaqus Metal Plasticity Models]]" + - "[[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Plastic Flow Rules and Hardening + +## Definition + +Plastic flow rules and hardening laws define what happens after a stress state reaches a yield surface. The flow rule gives the direction of plastic strain increment, and the hardening law evolves the yield condition as plastic deformation accumulates. + +## Flow Rules + +In associated plasticity, the plastic potential is the same as the yield function, so the plastic strain increment is normal to the yield surface. In non-associated plasticity, the plastic potential differs from the yield function, which is often important for pressure-dependent frictional materials where dilatancy must be controlled separately from yield. + +## Hardening + +The source distinguishes hardening ideas that are central to implementation: + +- Isotropic hardening expands or contracts the yield surface. +- Kinematic hardening translates the yield surface and is important for reversed or cyclic loading. +- Work hardening links yield evolution to accumulated plastic work or equivalent plastic strain. + +## Solver Consequences + +Flow and hardening choices determine which internal variables must be stored at integration points. They also determine the material tangent used by implicit global iteration and the pseudo-load corrections used by simpler incremental schemes. + +## Connections + +[[Plasticity Yield Criteria]] gives the elastic/plastic boundary. [[Abaqus Constitutive Integration]] is the production stress-update layer that turns flow and hardening rules into state updates and tangent terms. [[Abaqus Metal Plasticity Models]] and [[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]] are user-facing model families built from these ideas. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/Plasticity Benchmark and Input Data Cases.md b/wiki/concepts/Plasticity Benchmark and Input Data Cases.md new file mode 100644 index 00000000..2bdba8f3 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Plasticity Benchmark and Input Data Cases.md @@ -0,0 +1,61 @@ +--- +type: concept +title: "Plasticity Benchmark and Input Data Cases" +complexity: intermediate +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000141 +aliases: + - plasticity verification cases + - plasticity input data cases +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - verification + - implementation +status: current +related: + - "[[Finite Element Plasticity Program Architecture]]" + - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]]" + - "[[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Plasticity Benchmark and Input Data Cases + +## Definition + +Plasticity benchmark and input data cases are small finite element models used to verify elasto-plastic, elasto-viscoplastic, structural plasticity, and dynamic plasticity implementations. + +## Source Cases + +The appendices in [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] document input data for several program families: + +- `PLANET` for elasto-plastic plane and axisymmetric solids. +- `VISCOUNT` for elasto-viscoplastic two-dimensional solids. +- `MINDLIN` and `MINDLAY` for nonlayered and layered elasto-plastic Mindlin plates. +- `DYNPAK` and `MIXDYN` for transient dynamic elasto-plastic or viscoplastic analysis. + +The cases include element selections, material parameters, yield-criterion flags, load data, boundary conditions, and output expectations. + +## Why It Matters + +For a custom solver, these cases are useful as a verification pattern even when the original FORTRAN programs are not reused. A good plasticity test harness should compare displacement, reactions, element forces, stress components, and plastic state variables against a reference solver or a trusted benchmark. + +## Harness Use + +- Start with single-element elastic and plastic patch cases. +- Add small plane stress, plane strain, and axisymmetric plasticity cases. +- Add beam and Mindlin plate section-yielding cases. +- Add rate-dependent and transient dynamic cases only after the static plasticity state update is stable. +- Record tolerances separately for nodal, element, and stress/state outputs. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/Plasticity Yield Criteria.md b/wiki/concepts/Plasticity Yield Criteria.md new file mode 100644 index 00000000..7499bda2 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Plasticity Yield Criteria.md @@ -0,0 +1,65 @@ +--- +type: concept +title: "Plasticity Yield Criteria" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000134 +aliases: + - yield surface + - plastic yield functions + - Tresca yield criterion + - von Mises yield criterion + - Mohr-Coulomb yield criterion + - Drucker-Prager yield criterion +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - constitutive-modeling +status: current +related: + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Plastic Flow Rules and Hardening]]" + - "[[Abaqus Metal Plasticity Models]]" + - "[[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]]" + - "[[Plane Stress and Plane Strain Elements]]" + - "[[Axisymmetric Finite Elements]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Plasticity Yield Criteria + +## Definition + +A plasticity yield criterion defines the stress states at which a material leaves elastic response and begins plastic flow. In finite element analysis, the yield function is evaluated at integration points during each increment. + +## Criteria In The Source + +[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] emphasizes four criteria for two-dimensional and axisymmetric plasticity programs: + +- Tresca: pressure-insensitive yielding based on maximum shear stress. +- von Mises: pressure-insensitive yielding based on distortional energy or deviatoric stress invariant. +- Mohr-Coulomb: pressure-dependent yielding commonly used for frictional geomaterials. +- Drucker-Prager: smooth pressure-dependent approximation useful for soils, rocks, and other frictional media. + +## Solver Consequences + +The yield criterion affects: + +- how elastic trial stresses are tested; +- where plastic corrections are projected; +- whether the yield surface has corners or singular points; +- whether pressure contributes to yielding; +- which stress components and invariants must be computed in each element routine. + +## Connections + +Pressure-insensitive criteria connect directly to [[Abaqus Metal Plasticity Models]]. Pressure-dependent criteria connect to [[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]]. All criteria depend on [[Plastic Flow Rules and Hardening]] to define the post-yield strain increment and evolution of the yield surface. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/Static Equilibrium Equation Solvers.md b/wiki/concepts/Static Equilibrium Equation Solvers.md index 366680c8..6adf9357 100644 --- a/wiki/concepts/Static Equilibrium Equation Solvers.md +++ b/wiki/concepts/Static Equilibrium Equation Solvers.md @@ -7,7 +7,7 @@ aliases: - static finite element solvers - finite element equation solution created: 2026-05-28 -updated: 2026-05-29 +updated: 2026-06-02 address: c-000013 tags: - concept @@ -23,11 +23,19 @@ related: - "[[Direct Stiffness Method]]" - "[[Abaqus General and Linear Perturbation Steps]]" - "[[Abaqus Nonlinear Solution Control]]" + - "[[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]]" + - "[[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]]" + - "[[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" + - "[[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]]" sources: - "[[Finite Element Procedures]]" - "[[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Static Equilibrium Equation Solvers @@ -46,6 +54,12 @@ The dynamic buckling thesis uses static nonlinear formulation to produce geometr [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] adds the Abaqus/Standard operational view: the direct sparse solver uses a sparse direct Gauss elimination approach, while the iterative solver uses Krylov methods with a preconditioner and is most appropriate for large, well-conditioned, blocky three-dimensional models. +[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] adds a second production solver view: direct skyline and multifrontal solvers are paired with iterative conjugate gradient and GMRES solvers, with solver selection depending on buckling, Lanczos extraction, dynamics, constraint equations, matrix symmetry, and conditioning. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] adds bridge/civil static contexts where the same solver layer is reused for P-Delta, geometric nonlinearity, pushover, support settlement, moving-load envelopes, and construction-stage equilibrium. + +[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds a general-purpose solver-selection view: dense/direct, sparse multifrontal, out-of-core, GPU-assisted, and AMG iterative solvers are selected according to model size, memory, matrix properties, and analysis procedure. + ## Why It Matters The finite element method produces algebraic systems whose solution cost and numerical stability can dominate the analysis. Solver choice depends on matrix symmetry, definiteness, sparsity, conditioning, model size, and whether the equations are linear or nonlinear. @@ -57,6 +71,9 @@ The finite element method produces algebraic systems whose solution cost and num - [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] uses related matrix factorizations and definiteness concepts. - [[Direct Stiffness Method]] supplies the assembled linear system these solvers operate on. - [[Abaqus Nonlinear Solution Control]] describes the Newton iterations and residual checks wrapped around repeated static tangent solves. +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] describes Midas solver selection, Newton variants, arc-length iteration, and convergence norms. +- [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]] and [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]] connect static solves to second-order and nonlinear bridge workflows. +- [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]] and [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]] connect static solves to NFX solver selection, Newton iteration, and nonlinear residual control. ## Sources @@ -64,3 +81,6 @@ The finite element method produces algebraic systems whose solution cost and num - [[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method]] - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] diff --git a/wiki/concepts/Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis.md b/wiki/concepts/Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis.md new file mode 100644 index 00000000..7cc2dd49 --- /dev/null +++ b/wiki/concepts/Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis.md @@ -0,0 +1,52 @@ +--- +type: concept +title: "Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis" +complexity: advanced +domain: computational-mechanics +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000139 +aliases: + - dynamic elasto-plastic finite element analysis + - transient plasticity analysis +tags: + - concept + - finite-element-method + - plasticity + - dynamics + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Direct Time Integration Methods]]" + - "[[Nonlinear Newmark-Beta Integration]]" + - "[[Dynamic Buckling Analysis]]" + - "[[Abaqus Explicit Analysis Efficiency Techniques]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis + +## Definition + +Transient dynamic elasto-plastic analysis solves finite element motion with inertia, time-dependent loading, nonlinear geometry or large displacement effects, and plastic material response. + +## How It Works + +The source presents explicit transient dynamic analysis and implicit-explicit transient dynamic analysis for elasto-plastic problems. In these workflows, the global equations include mass and inertia terms while the material state at integration points evolves plastically during each time increment. + +The implementation challenge is coupled: time integration must satisfy stability and accuracy requirements, and the material update must remain consistent with rapidly changing strain rates and plastic zones. + +## Why It Matters + +Dynamic plasticity appears in impact, rapid loading, dynamic buckling, forming, collapse, and other problems where a static plastic solution misses inertia effects. It also connects directly to solver architecture because explicit and implicit schemes expose different cost, stability, and tangent requirements. + +## Connections + +[[Direct Time Integration Methods]] supplies the time-stepping foundation. [[Nonlinear Newmark-Beta Integration]] is the implicit nonlinear dynamics pattern. [[Abaqus Explicit Analysis Efficiency Techniques]] is the Abaqus production counterpart for explicit dynamic cost control. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/concepts/_index.md b/wiki/concepts/_index.md index 1de48608..f97c41fc 100644 --- a/wiki/concepts/_index.md +++ b/wiki/concepts/_index.md @@ -1,7 +1,8 @@ --- type: meta title: "Concepts Index" -updated: 2026-06-01 +created: 2026-05-28 +updated: 2026-06-02 tags: - meta - index @@ -14,6 +15,16 @@ related: - "[[Wiki Map]]" - "[[Computational Mechanics]]" - "[[Finite Element Method]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" + - "[[Plastic Flow Rules and Hardening]]" + - "[[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]]" + - "[[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]]" + - "[[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]]" + - "[[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]" + - "[[Finite Element Plasticity Program Architecture]]" + - "[[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]]" - "[[Continuum Mechanics Based Four-Node Shell Element]]" - "[[MITC4 Shell Element]]" - "[[MITC Shell Kinematics]]" @@ -87,6 +98,28 @@ related: - "[[Finite Element Load Vector Assembly]]" - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" - "[[Finite Element Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Midas FEA Analysis Workflow]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" + - "[[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]]" + - "[[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]]" + - "[[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]]" + - "[[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]]" + - "[[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas FEA Construction Stage Analysis]]" + - "[[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]]" + - "[[Midas FEA Static Contact Analysis]]" + - "[[Midas FEA Fatigue Analysis]]" + - "[[Midas FEA CFD Analysis]]" + - "[[Midas NFX Analysis Workflow]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" + - "[[Midas NFX Material and Composite Models]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" + - "[[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]]" + - "[[Midas NFX Contact Analysis]]" + - "[[Midas NFX Fatigue Analysis]]" + - "[[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]]" + - "[[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]]" --- # Concepts Index @@ -110,6 +143,16 @@ All concept pages: finite-element and computational-mechanics concepts extracted - [[Incompatible Mode Solid Elements]] - internal-mode enrichment and static condensation for solid elements - [[Mixed Finite Element Formulations]] - multi-field formulations for incompressibility, constraints, and pressure-like variables - [[Nonlinear Finite Element Analysis]] - incremental solution of geometric, material, contact, and load nonlinearities +- [[Finite Element Plasticity]] - finite element treatment of irreversible deformation and integration-point history variables +- [[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]] - direct iteration, Newton-Raphson, tangential stiffness, and initial stiffness methods for plasticity +- [[Plasticity Yield Criteria]] - Tresca, von Mises, Mohr-Coulomb, and Drucker-Prager yield functions +- [[Plastic Flow Rules and Hardening]] - associated/non-associated flow and isotropic, kinematic, and work hardening +- [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]] - rate-dependent plasticity as a time-stepped finite element workflow +- [[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]] - beam plasticity with shear deformation and section response +- [[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]] - plate bending plasticity with layered or nonlayered through-thickness yielding +- [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]] - transient dynamics with inertia and evolving plastic zones +- [[Finite Element Plasticity Program Architecture]] - software organization for plastic material state, element routines, and nonlinear solution +- [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]] - verification input cases for elasto-plastic, viscoplastic, plate, and dynamic plasticity programs - [[Abaqus Analysis Procedures]] - Abaqus procedure families for nonlinear, dynamic, modal, buckling, coupled-field, and special analyses - [[Abaqus Element Library]] - Abaqus element formulations, interpolation, numerical integration, and multi-field element choices - [[Abaqus Element Selection and Formulation]] - Abaqus element family, degrees of freedom, interpolation, formulation, and integration selection workflow @@ -198,6 +241,41 @@ All concept pages: finite-element and computational-mechanics concepts extracted - [[Direct Time Integration Methods]] - transient finite element dynamics and first-order field integration - [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] - modal and eigenvalue algorithms for FE matrices - [[Finite Element Program Implementation]] - software data flow for FE codes and STAP-style implementation +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] - Midas production analysis workflow for civil nonlinear detail analysis +- [[Midas FEA Element Library]] - Midas structural, reinforcement, interface, thermal, and CFD element coverage +- [[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]] - embedded rebar and prestress modeling in host finite elements +- [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] - interface elements, cracking, bond-slip, friction, and masonry-joint behavior +- [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]] - plasticity, total strain cracking, concrete, and interface material laws +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] - equation solvers, Newton variants, arc-length iteration, and convergence checks +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] - modal, time history, response spectrum, and linear buckling procedures +- [[Midas FEA Construction Stage Analysis]] - staged activation, concrete aging, creep, shrinkage, and state transfer +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] - heat transfer, hydration heat, equivalent age, and thermal stress +- [[Midas FEA Static Contact Analysis]] - penalty contact, contact search, weld/general contact, and contact force output +- [[Midas FEA Fatigue Analysis]] - S-N fatigue, rainflow counting, mean stress correction, and Miner damage +- [[Midas FEA CFD Analysis]] - structured-grid RANS CFD for wind and aerodynamic coefficient workflows +- [[Midas Civil Numerical Analysis Model]] - civil structural model topology, coordinate systems, nodes, elements, and boundary data +- [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]] - member, plane, plate, solid, cable, gap, and section stiffness inputs +- [[Midas Civil Boundary Supports and Links]] - supports, springs, elastic links, general links, rigid links, offsets, and prescribed displacements +- [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] - eigenvectors, Ritz vectors, damping, response spectrum, and time-history analysis +- [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]] - eigenvalue buckling, second-order effects, and geometric nonlinear solution +- [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]] - nonlinear boundaries, plasticity, hardening, Newton iteration, and arc-length control +- [[Midas Civil Pushover and Performance Evaluation]] - static incremental seismic capacity and performance evaluation workflow +- [[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]] - inelastic time history, hysteresis laws, interaction hinges, and fiber models +- [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]] - staged activation, creep, shrinkage, strength development, and suspension-bridge equilibrium +- [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] - heat transfer, hydration heat, equivalent age, thermal stress, shrinkage, and creep +- [[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]] - prestress loading and loss calculations for PSC bridge members +- [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] - lane, traffic surface, vehicle-load, and placement workflow for bridges +- [[Midas Civil Special Load and Design Utilities]] - settlement, composite-section, unknown-load, column-design, and wave-load utilities +- [[Midas NFX Analysis Workflow]] - model, analysis-case, coordinate-system, and result-check workflow +- [[Midas NFX Element Library]] - structural, thermal, field, mass, spring, rigid, weld, bolt, and gasket element coverage +- [[Midas NFX Material and Composite Models]] - material, composite laminate, failure, fatigue, and temperature-dependent property definitions +- [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]] - direct/iterative equation solvers, convergence controls, and eigen extraction methods +- [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]] - modal, response spectrum, frequency response, transient, and buckling procedures +- [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]] - geometric, material, and dynamic nonlinear solution controls +- [[Midas NFX Contact Analysis]] - contact pair definition, search, enforcement, friction, and contact-result workflow +- [[Midas NFX Fatigue Analysis]] - stress-life, strain-life, event, load-history, and fatigue-damage workflow +- [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]] - thermal, electrical, Joule-heating, and sequential thermal-stress workflows +- [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]] - topology, size, shape optimization, and sheet-metal forming-limit checks --- diff --git a/wiki/domains/Computational Mechanics.md b/wiki/domains/Computational Mechanics.md index b0729a59..119acb90 100644 --- a/wiki/domains/Computational Mechanics.md +++ b/wiki/domains/Computational Mechanics.md @@ -2,7 +2,7 @@ type: domain title: "Computational Mechanics" created: 2026-05-28 -updated: 2026-06-01 +updated: 2026-06-02 address: c-000005 tags: - domain @@ -24,6 +24,10 @@ related: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" - "[[Finite Element Method]]" - "[[Engineering Mathematical Models]]" sources: @@ -41,13 +45,17 @@ sources: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Computational Mechanics ## Scope -Computational mechanics uses numerical methods to model, discretize, and solve physical problems in solids, structures, heat transfer, fluids, field problems, and coupled multiphysics systems. This vault currently enters the domain through [[Finite Element Procedures]], [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]], [[Solid Element Notes]], the shell element paper [[A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell]], the MITC4 implementation paper [[Four-Node-Quadrilateral-Shell-Element-MITC4|Four-Node Quadrilateral Shell Element MITC4]], [[MITC Study Notes]], the shell buckling thesis [[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method|Dynamic Buckling Analysis of Shell Structures using Finite Element Method]], the shell FE review [[On-the-Finite-Element-Analysis-of-Shell-Structures|On the Finite Element Analysis of Shell Structures]], the industrial theory reference [[Abaqus Theory Manual]], and the operational references [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]], and [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]. +Computational mechanics uses numerical methods to model, discretize, and solve physical problems in solids, structures, heat transfer, fluids, field problems, and coupled multiphysics systems. This vault currently enters the domain through [[Finite Element Procedures]], [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]], [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]], [[Solid Element Notes]], the shell element paper [[A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell]], the MITC4 implementation paper [[Four-Node-Quadrilateral-Shell-Element-MITC4|Four-Node Quadrilateral Shell Element MITC4]], [[MITC Study Notes]], the shell buckling thesis [[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method|Dynamic Buckling Analysis of Shell Structures using Finite Element Method]], the shell FE review [[On-the-Finite-Element-Analysis-of-Shell-Structures|On the Finite Element Analysis of Shell Structures]], the industrial theory reference [[Abaqus Theory Manual]], the operational Abaqus Analysis User's Guide references, the [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], the [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]], and the [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]. ## Core Threads @@ -58,6 +66,7 @@ Computational mechanics uses numerical methods to model, discretize, and solve p - [[Isoparametric Linear Solid Elements]], [[Solid Element Shape Functions]], [[Solid Element Strain-Displacement Matrix]], [[Solid Element Stiffness Integration]], and [[Incompatible Mode Solid Elements]] - 3D continuum solid element formulation and enrichment. - [[Mixed Finite Element Formulations]] - stable formulations for incompressibility and constrained fields. - [[Nonlinear Finite Element Analysis]] - incremental, iterative treatment of geometric, material, and contact nonlinearities. +- [[Finite Element Plasticity]], [[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]], [[Plasticity Yield Criteria]], [[Plastic Flow Rules and Hardening]], [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]], [[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]], [[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]], [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]], [[Finite Element Plasticity Program Architecture]], and [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]] - finite element plasticity theory, structural applications, dynamics, implementation, and verification cases. - [[Abaqus Analysis Procedures]], [[Abaqus Element Library]], [[Reduced Integration and Hourglass Control]], [[Hybrid Incompressible Elements]], [[Abaqus Constitutive Integration]], and [[Finite Element Contact Formulation]] - production finite element procedure, element, material, integration, and interface modeling choices. - [[Abaqus Element Selection and Formulation]], [[Abaqus Continuum Element Families]], [[Abaqus Structural Element Families]], [[Abaqus Beam and Shell Section Definitions]], [[Abaqus Inertial Rigid and Capacitance Elements]], [[Abaqus Connector Elements and Behaviors]], [[Abaqus Cohesive and Gasket Elements]], [[Abaqus Special-Purpose Interaction Elements]], [[Abaqus Fluid Acoustic Eulerian and Particle Elements]], [[Abaqus User-Defined Elements]], and [[Abaqus Element Indexes and Naming Conventions]] - production Abaqus element-family, section, interaction, particle, user-element, and naming workflows. - [[Abaqus Prescribed Conditions and Amplitudes]], [[Abaqus Initial and Boundary Conditions]], [[Abaqus Loads and Predefined Fields]], [[Abaqus Kinematic Constraints and MPCs]], [[Abaqus Surface-Based Constraints and Couplings]], [[Abaqus Embedded Elements and Overconstraints]], [[Abaqus Contact Interaction Definition]], [[Abaqus Contact Property Models]], [[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]], [[Abaqus Contact Diagnostics and Modeling Difficulties]], [[Abaqus Standard Contact Elements]], and [[Abaqus Cavity Radiation Interactions]] - production Abaqus prescribed-condition, constraint, contact, diagnostic, contact-element, and radiation-interaction workflows. @@ -72,6 +81,9 @@ Computational mechanics uses numerical methods to model, discretize, and solve p - [[Dynamic Buckling Analysis]], [[Dynamic Instability Region]], and [[Geometric Stiffness Matrix]] - stability workflow for dynamically compressed shell and plate structures. - [[Static Equilibrium Equation Solvers]], [[Direct Time Integration Methods]], and [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] - solver families for different equation types. - [[Finite Element Program Implementation]] - the practical data flow from input to element calculations, assembly, solution, and stress recovery. +- [[Midas FEA Analysis Workflow]], [[Midas FEA Element Library]], [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]], [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]], [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]], [[Midas FEA Construction Stage Analysis]], [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]], [[Midas FEA Static Contact Analysis]], [[Midas FEA Fatigue Analysis]], and [[Midas FEA CFD Analysis]] - Midas production finite element workflows for civil nonlinear analysis, staged concrete behavior, contact, fatigue, and wind-CFD. +- [[Midas Civil Numerical Analysis Model]], [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]], [[Midas Civil Boundary Supports and Links]], [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]], [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]], [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]], [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]], [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]], [[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]], and [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] - midas Civil bridge-oriented structural analysis workflows for model definition, supports, dynamics, nonlinear response, staged construction, hydration thermal stress, prestress, and moving loads. +- [[Midas NFX Analysis Workflow]], [[Midas NFX Element Library]], [[Midas NFX Material and Composite Models]], [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]], [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]], [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]], [[Midas NFX Contact Analysis]], [[Midas NFX Fatigue Analysis]], [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]], and [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]] - midas NFX general-purpose workflows for model setup, elements, materials, equation solving, eigen extraction, dynamics, nonlinear analysis, contact, fatigue, thermal/electrical coupling, optimization, and forming-limit checks. ## Current Source Base @@ -89,3 +101,7 @@ Computational mechanics uses numerical methods to model, discretize, and solve p - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]] from `.raw/AbaqusAnalysisUserGuide4/`. - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] from `.raw/AbaqusAnalysisUserGuide5/`. - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] by [[Daryl L. Logan]]. +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] by [[D. R. J. Owen]] and [[E. Hinton]] from `.raw/FiniteElementsinPlasticityTheoryandPractice/`. +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] from `.raw/MidasFEAAnalysisManual/`. +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] from `.raw/MidasCivilAnalysisReference/`. +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] from `.raw/MidasNFXAnalysisManual/`. diff --git a/wiki/domains/_index.md b/wiki/domains/_index.md index 7eb9329d..eade691a 100644 --- a/wiki/domains/_index.md +++ b/wiki/domains/_index.md @@ -1,6 +1,7 @@ --- type: meta title: "Domains Index" +created: 2026-05-28 updated: 2026-05-28 tags: - meta diff --git a/wiki/entities/D. R. J. Owen.md b/wiki/entities/D. R. J. Owen.md new file mode 100644 index 00000000..f7dbdd5e --- /dev/null +++ b/wiki/entities/D. R. J. Owen.md @@ -0,0 +1,35 @@ +--- +type: entity +title: "D. R. J. Owen" +entity_type: person +role: "Co-author of Finite Elements in Plasticity" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000130 +tags: + - entity + - person + - finite-element-method + - plasticity +status: current +related: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# D. R. J. Owen + +## Overview + +D. R. J. Owen is a co-author of [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] with [[E. Hinton]]. + +## Role In The Wiki + +Owen's role in this vault is tied to the finite element plasticity thread: incremental elasto-plastic solution, viscoplasticity, plastic beam and plate formulations, transient dynamic plasticity, and modular plasticity program implementation. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/entities/E. Hinton.md b/wiki/entities/E. Hinton.md new file mode 100644 index 00000000..cbcca86b --- /dev/null +++ b/wiki/entities/E. Hinton.md @@ -0,0 +1,35 @@ +--- +type: entity +title: "E. Hinton" +entity_type: person +role: "Co-author of Finite Elements in Plasticity" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000131 +tags: + - entity + - person + - finite-element-method + - plasticity +status: current +related: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" +sources: + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" +--- + +# E. Hinton + +## Overview + +E. Hinton is a co-author of [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] with [[D. R. J. Owen]]. + +## Role In The Wiki + +Hinton's role in this vault is tied to the finite element plasticity thread: nonlinear solution procedures, yield and flow modeling, elasto-viscoplastic analysis, structural plasticity elements, and implementation examples for plasticity finite element programs. + +## Sources + +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] + diff --git a/wiki/entities/MIDAS Information Technology.md b/wiki/entities/MIDAS Information Technology.md new file mode 100644 index 00000000..524eba0c --- /dev/null +++ b/wiki/entities/MIDAS Information Technology.md @@ -0,0 +1,44 @@ +--- +type: entity +subtype: organization +title: "MIDAS Information Technology" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000143 +aliases: + - MIDAS Information Technology Co., Ltd. + - MIDAS IT +tags: + - entity + - organization + - finite-element-method +status: current +related: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[midas NFX]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# MIDAS Information Technology + +## Role + +MIDAS Information Technology is the organization identified in the [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]], and [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] as the developer and publisher of [[midas FEA]], [[midas Civil]], and [[midas NFX]]. + +## Why It Matters + +In this vault, MIDAS Information Technology is primarily a source and product owner. Its manuals provide production finite element references for general-purpose structural and field analysis, civil structural nonlinear detail analysis, bridge workflows, construction stages, concrete behavior, contact, fatigue, CFD, seismic response, prestress, moving loads, optimization, and civil design utilities. + +## Related + +- [[midas FEA]] - finite element product described by the source. +- [[midas Civil]] - civil-structure analysis and design product described by the analysis reference. +- [[midas NFX]] - general-purpose finite element analysis product described by the NFX manual. +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] - analysis workflow extracted from the manual. diff --git a/wiki/entities/_index.md b/wiki/entities/_index.md index f814a25e..8812f3a8 100644 --- a/wiki/entities/_index.md +++ b/wiki/entities/_index.md @@ -1,7 +1,8 @@ --- type: meta title: "Entities Index" -updated: 2026-06-01 +created: 2026-05-28 +updated: 2026-06-02 tags: - meta - index @@ -33,6 +34,16 @@ related: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[D. R. J. Owen]]" + - "[[E. Hinton]]" + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Entities Index @@ -53,12 +64,15 @@ All entity pages: people, organizations, products, and tools. - [[Phill-Seung Lee]] - author of [[On-the-Finite-Element-Analysis-of-Shell-Structures|On the Finite Element Analysis of Shell Structures]] - [[Hyuk-Chun Noh]] - author of [[On-the-Finite-Element-Analysis-of-Shell-Structures|On the Finite Element Analysis of Shell Structures]] - [[Daryl L. Logan]] - author of [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] +- [[D. R. J. Owen]] - co-author of [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] +- [[E. Hinton]] - co-author of [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] --- ## Organizations - [[Inha University]] - degree-granting institution for the dynamic shell buckling thesis +- [[MIDAS Information Technology]] - developer and publisher of [[midas FEA]], [[midas Civil]], and [[midas NFX]] --- @@ -67,6 +81,9 @@ All entity pages: people, organizations, products, and tools. - [[OOFEM]] - finite element code used for the MITC4 shell element implementation - [[BLZPACK]] - Block Lanczos eigenvalue solver used for vibration and buckling analysis - [[ABAQUS]] - commercial finite element software, documented theory reference, user-guide workflow, material-library reference, element-library reference, and interaction-modeling reference +- [[midas FEA]] - civil and bridge-oriented nonlinear detail finite element analysis product +- [[midas Civil]] - civil-structure analysis and design product with bridge, seismic, prestress, moving-load, and staged-construction workflows +- [[midas NFX]] - general-purpose finite element analysis product with structural, thermal, contact, fatigue, optimization, and forming-limit workflows --- diff --git a/wiki/entities/midas Civil.md b/wiki/entities/midas Civil.md new file mode 100644 index 00000000..f95774ac --- /dev/null +++ b/wiki/entities/midas Civil.md @@ -0,0 +1,48 @@ +--- +type: entity +subtype: product +title: "midas Civil" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000158 +aliases: + - MIDAS Civil + - Midas Civil +tags: + - entity + - product + - finite-element-method + - bridge-analysis +status: current +related: + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Midas Civil Numerical Analysis Model]]" + - "[[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]]" + - "[[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]]" +sources: + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" +--- + +# midas Civil + +## Definition + +midas Civil is a civil-structure analysis and design product from [[MIDAS Information Technology]]. The [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] presents it as part of the MIDAS Family Program and frames "Civil" as civil structural analysis and design. + +## Manual Coverage + +The analysis reference organizes the product around a structural numerical model of nodes, elements, and boundary data, then adds static, dynamic, seismic, buckling, nonlinear, construction-stage, heat-of-hydration, PSC, moving-load, settlement, composite-section, optimization, column-design, and wave-load procedures. + +## Why It Matters + +For this vault's solver-development thread, midas Civil is a reference product for bridge-oriented solver requirements. It makes local coordinate systems, member stiffness data, support and link elements, construction history, prestress losses, vehicle loads, seismic combinations, and civil design utilities visible as solver-facing contracts rather than only analyst GUI features. [[midas NFX]] is the sibling MIDAS reference for more general structural, field, contact, fatigue, and optimization solver-kernel behavior. + +## Related + +- [[midas FEA]] - sibling MIDAS product focused on nonlinear detail finite element analysis. +- [[midas NFX]] - sibling MIDAS product focused on general-purpose finite element analysis. +- [[ABAQUS]] - broad commercial finite element product represented in the vault. +- [[Finite Element Program Implementation]] - common implementation workflow. diff --git a/wiki/entities/midas FEA.md b/wiki/entities/midas FEA.md new file mode 100644 index 00000000..a4aa91b5 --- /dev/null +++ b/wiki/entities/midas FEA.md @@ -0,0 +1,50 @@ +--- +type: entity +subtype: product +title: "midas FEA" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000144 +aliases: + - MIDAS FEA + - Midas FEA +tags: + - entity + - product + - finite-element-method + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Midas FEA Analysis Workflow]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" + - "[[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]]" + - "[[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]]" +sources: + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" +--- + +# midas FEA + +## Definition + +midas FEA is a finite element analysis product from [[MIDAS Information Technology]] for advanced nonlinear and detail analysis, especially in bridge and civil structural engineering contexts. + +## Manual Coverage + +The [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] organizes the product around structural elements, reinforcement embedding, interface elements, nonlinear material models, equation solvers, nonlinear iteration, linear static/dynamic/buckling analyses, construction stages, heat transfer and hydration, contact, fatigue, and CFD. + +## Why It Matters + +For this vault's custom-solver thread, midas FEA is a useful reference product because its manual exposes the analysis features and validation targets an engineering FE solver must make explicit: model input, element libraries, state-dependent materials, solver selection, convergence checks, and output quantities. [[midas Civil]] complements it with bridge-oriented member modeling, staged construction, prestress, seismic, moving-load, and civil design workflows. [[midas NFX]] complements it with a broader general-purpose structural, field, contact, fatigue, optimization, and forming-limit analysis manual. + +## Related + +- [[ABAQUS]] - another production finite element product represented in this vault. +- [[midas Civil]] - sibling MIDAS product represented by [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]. +- [[midas NFX]] - sibling MIDAS product represented by [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]. +- [[Finite Element Program Implementation]] - common implementation workflow. +- [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]] - reliability and verification context. diff --git a/wiki/entities/midas NFX.md b/wiki/entities/midas NFX.md new file mode 100644 index 00000000..4a8741a1 --- /dev/null +++ b/wiki/entities/midas NFX.md @@ -0,0 +1,48 @@ +--- +type: entity +subtype: product +title: "midas NFX" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000173 +aliases: + - MIDAS NFX + - Midas NFX +tags: + - entity + - product + - finite-element-method + - nonlinear-analysis +status: current +related: + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Midas NFX Analysis Workflow]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" +sources: + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" +--- + +# midas NFX + +## Definition + +midas NFX is a general-purpose finite element analysis product from [[MIDAS Information Technology]]. The [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] presents it as a structural and field-analysis program covering linear, nonlinear, dynamic, heat-transfer, fatigue, contact, and optimization workflows. + +## Manual Coverage + +The manual organizes NFX around model definition, node/DOF and coordinate-system conventions, element libraries, material laws, equation solvers, eigen extraction, linear and nonlinear dynamics, contact, fatigue, thermal/electrical coupling, load/constraint definitions, optimization, and forming-limit analysis. + +## Why It Matters + +For this vault's custom-solver thread, midas NFX is a useful reference because it exposes a broad production FE solver contract without being only bridge-specific. It complements [[midas FEA]] by adding more general structural, thermal/electrical, optimization, and forming-limit coverage, and complements [[midas Civil]] by focusing on solver-kernel mechanics rather than civil design utilities. + +## Related + +- [[midas FEA]] - sibling MIDAS product focused on nonlinear detail finite element analysis. +- [[midas Civil]] - sibling MIDAS product focused on civil/bridge analysis and design workflows. +- [[ABAQUS]] - broad commercial finite element product represented in this vault. +- [[Finite Element Program Implementation]] - common implementation workflow. diff --git a/wiki/getting-started.md b/wiki/getting-started.md index e0519c4b..9e6b625b 100644 --- a/wiki/getting-started.md +++ b/wiki/getting-started.md @@ -1,7 +1,8 @@ --- type: meta title: "Getting Started" -updated: 2026-06-01 +created: 2026-05-28 +updated: 2026-06-02 tags: - meta - onboarding @@ -23,6 +24,10 @@ related: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" - "[[Finite Element Method]]" - "[[Wiki Map]]" --- @@ -60,6 +65,10 @@ This vault is currently organized around finite element procedures and computati - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]] - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] by [[Daryl L. Logan]] +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] by [[D. R. J. Owen]] and [[E. Hinton]] +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] by [[MIDAS Information Technology]] +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] by [[MIDAS Information Technology]] +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] by [[MIDAS Information Technology]] --- @@ -81,6 +90,16 @@ This vault is currently organized around finite element procedures and computati - [[Incompatible Mode Solid Elements]] - [[Mixed Finite Element Formulations]] - [[Nonlinear Finite Element Analysis]] +- [[Finite Element Plasticity]] +- [[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]] +- [[Plasticity Yield Criteria]] +- [[Plastic Flow Rules and Hardening]] +- [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]] +- [[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]] +- [[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]] +- [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]] +- [[Finite Element Plasticity Program Architecture]] +- [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]] - [[Abaqus Analysis Procedures]] - [[Abaqus Element Library]] - [[Abaqus Element Selection and Formulation]] @@ -168,3 +187,38 @@ This vault is currently organized around finite element procedures and computati - [[Direct Time Integration Methods]] - [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] - [[Finite Element Program Implementation]] +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] +- [[Midas FEA Element Library]] +- [[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]] +- [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] +- [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]] +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] +- [[Midas FEA Construction Stage Analysis]] +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] +- [[Midas FEA Static Contact Analysis]] +- [[Midas FEA Fatigue Analysis]] +- [[Midas FEA CFD Analysis]] +- [[Midas Civil Numerical Analysis Model]] +- [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]] +- [[Midas Civil Boundary Supports and Links]] +- [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] +- [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]] +- [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]] +- [[Midas Civil Pushover and Performance Evaluation]] +- [[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]] +- [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]] +- [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] +- [[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]] +- [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] +- [[Midas Civil Special Load and Design Utilities]] +- [[Midas NFX Analysis Workflow]] +- [[Midas NFX Element Library]] +- [[Midas NFX Material and Composite Models]] +- [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]] +- [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]] +- [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]] +- [[Midas NFX Contact Analysis]] +- [[Midas NFX Fatigue Analysis]] +- [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]] +- [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]] diff --git a/wiki/hot.md b/wiki/hot.md index 29465c0a..e3b106a1 100644 --- a/wiki/hot.md +++ b/wiki/hot.md @@ -1,7 +1,8 @@ --- type: meta title: "Hot Cache" -updated: 2026-06-01T00:00:00+09:00 +created: 2026-05-28 +updated: 2026-06-02T00:00:00+09:00 tags: - meta - hot-cache @@ -10,34 +11,48 @@ related: - "[[index]]" - "[[log]]" - "[[overview]]" - - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" - - "[[Abaqus Prescribed Conditions and Amplitudes]]" - - "[[Abaqus Kinematic Constraints and MPCs]]" - - "[[Abaqus Contact Interaction Definition]]" - - "[[Abaqus Contact Property Models]]" - - "[[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]]" - - "[[Abaqus Contact Diagnostics and Modeling Difficulties]]" - - "[[Abaqus Cavity Radiation Interactions]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[Midas Civil Numerical Analysis Model]]" + - "[[Midas Civil Boundary Supports and Links]]" + - "[[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]]" + - "[[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]]" + - "[[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]]" + - "[[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]]" + - "[[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]]" + - "[[Midas NFX Analysis Workflow]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" + - "[[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]]" + - "[[Midas NFX Contact Analysis]]" + - "[[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]]" --- # Recent Context ## Last Updated -2026-06-01. The wiki is finite-element scoped and now includes `.raw/AbaqusAnalysisUserGuide5/` as the Abaqus prescribed-condition, constraint, contact, and cavity-radiation thread. Current source count is 14 and wiki markdown page count is 138. +2026-06-02. The wiki is finite-element scoped and now includes `.raw/MidasNFXAnalysisManual/` as a midas NFX general-purpose production analysis reference thread. Current source count is 18 and wiki markdown page count is 194. ## Key Recent Facts -- Current Abaqus user-guide sequence: [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Volume I]] covers input/model/execution/output, [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Volume II]] covers procedures and analysis techniques, [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Volume III]] covers materials, [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Volume IV]] covers elements, and [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Volume V]] covers prescribed conditions, constraints, and interactions. -- New Volume V concepts: [[Abaqus Prescribed Conditions and Amplitudes]], [[Abaqus Initial and Boundary Conditions]], [[Abaqus Loads and Predefined Fields]], [[Abaqus Kinematic Constraints and MPCs]], [[Abaqus Surface-Based Constraints and Couplings]], [[Abaqus Embedded Elements and Overconstraints]], [[Abaqus Contact Interaction Definition]], [[Abaqus Contact Property Models]], [[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]], [[Abaqus Contact Diagnostics and Modeling Difficulties]], [[Abaqus Standard Contact Elements]], and [[Abaqus Cavity Radiation Interactions]]. -- Volume V connects model history to solver behavior: amplitude curves, condition propagation/removal, load histories, constraints, and contact enforcement are all analysis-strategy choices. -- Contact is now split into definition, property, formulation/enforcement, diagnostics, and specialized Abaqus/Standard contact element pages. +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] adds a general-purpose production-solver reference beside Abaqus, Midas FEA, and Midas Civil. +- New Midas NFX concepts cover [[Midas NFX Analysis Workflow]], [[Midas NFX Element Library]], [[Midas NFX Material and Composite Models]], [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]], [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]], [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]], [[Midas NFX Contact Analysis]], [[Midas NFX Fatigue Analysis]], [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]], and [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]]. +- The strongest custom-solver thread is now production requirements and harness design: use NFX pages to specify coordinate-system contracts, element/material coverage, direct/iterative solver choices, eigen-result checks, nonlinear controls, contact enforcement, fatigue damage, thermal/electrical coupling, optimization, and forming-limit outputs. +- The address allocator script was unavailable because WSL is not installed; addresses were assigned manually from `.vault-meta/address-counter.txt`. ## Recent Changes -- Created: [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] and 12 prescribed-condition/constraint/contact concept pages. -- Updated: [[index]], [[overview]], [[log]], [[sources/_index]], [[concepts/_index]], [[entities/_index]], [[Computational Mechanics]], [[ABAQUS]], [[Abaqus Input File Syntax]], [[Abaqus Surface and Assembly Modeling]], [[Finite Element Load Vector Assembly]], [[Abaqus Nonlinear Solution Control]], [[Abaqus Connector Elements and Behaviors]], [[Finite Element Contact Formulation]], [[Abaqus Multiphysics Coupling and Co-simulation]], [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]], [[dashboard]], [[getting-started]], and [[Wiki Map]]. +- Created: [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]], [[midas NFX]], and 10 Midas NFX concept pages. +- Updated: [[index]], [[overview]], [[log]], [[sources/_index]], [[concepts/_index]], [[entities/_index]], [[Computational Mechanics]], [[MIDAS Information Technology]], [[midas FEA]], [[midas Civil]], [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]], [[Finite Element Method]], [[Finite Element Program Implementation]], [[Static Equilibrium Equation Solvers]], [[Direct Time Integration Methods]], [[Finite Element Eigenproblem Solvers]], [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]], [[Finite Element Thermal Stress Analysis]], [[Finite Element Contact Formulation]], [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]], [[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]], [[Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials]], [[dashboard]], [[getting-started]], and [[Wiki Map]]. ## Active Threads -- User is curating a computational mechanics wiki with an Abaqus production-reference thread that now spans theory, input/execution, procedures, materials, element selection, prescribed conditions, constraints, and contact/interactions. +- User is curating a computational mechanics wiki for custom finite element solver development. The current high-value thread is connecting production solver manuals, plasticity theory, bridge/civil workflows, implementation architecture, reference-solver comparisons, and benchmark/regression harness design. diff --git a/wiki/index.md b/wiki/index.md index 26e65427..294a1f01 100644 --- a/wiki/index.md +++ b/wiki/index.md @@ -1,7 +1,8 @@ --- type: meta title: "Wiki Index" -updated: 2026-06-01 +created: 2026-05-28 +updated: 2026-06-02 tags: - meta - index @@ -31,6 +32,7 @@ related: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" - "[[Abaqus Analysis Procedures]]" - "[[Abaqus Element Library]]" - "[[Abaqus Element Selection and Formulation]]" @@ -89,9 +91,21 @@ related: - "[[Reduced Integration and Hourglass Control]]" - "[[Hybrid Incompressible Elements]]" - "[[Abaqus Constitutive Integration]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" + - "[[Plastic Flow Rules and Hardening]]" + - "[[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]]" + - "[[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]]" + - "[[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]]" + - "[[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]" + - "[[Finite Element Plasticity Program Architecture]]" + - "[[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]]" - "[[Finite Element Contact Formulation]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" - "[[Daryl L. Logan]]" + - "[[D. R. J. Owen]]" + - "[[E. Hinton]]" - "[[Direct Stiffness Method]]" - "[[Bar and Truss Finite Elements]]" - "[[Beam and Frame Finite Elements]]" @@ -100,11 +114,47 @@ related: - "[[Finite Element Load Vector Assembly]]" - "[[Finite Element Modeling and Convergence Checks]]" - "[[Finite Element Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Midas FEA Analysis Workflow]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" + - "[[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]]" + - "[[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]]" + - "[[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]]" + - "[[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]]" + - "[[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas FEA Construction Stage Analysis]]" + - "[[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]]" + - "[[Midas FEA Static Contact Analysis]]" + - "[[Midas FEA Fatigue Analysis]]" + - "[[Midas FEA CFD Analysis]]" + - "[[Midas Civil Numerical Analysis Model]]" + - "[[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]]" + - "[[Midas Civil Boundary Supports and Links]]" + - "[[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]]" + - "[[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]]" + - "[[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]]" + - "[[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Midas NFX Analysis Workflow]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" + - "[[Midas NFX Material and Composite Models]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" + - "[[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]]" + - "[[Midas NFX Contact Analysis]]" + - "[[Midas NFX Fatigue Analysis]]" + - "[[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]]" + - "[[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]]" --- # Wiki Index -Last updated: 2026-06-01 | Total pages: 138 | Sources ingested: 14 +Last updated: 2026-06-02 | Total pages: 194 | Sources ingested: 18 Navigation: [[overview]] | [[log]] | [[hot]] | [[dashboard]] | [[Wiki Map]] | [[getting-started]] @@ -123,6 +173,16 @@ Navigation: [[overview]] | [[log]] | [[hot]] | [[dashboard]] | [[Wiki Map]] | [[ - [[Incompatible Mode Solid Elements]] - internal displacement mode enrichment and static condensation for solid elements (status: current) - [[Mixed Finite Element Formulations]] - multi-field formulations for incompressibility, constraints, and pressure-like variables (status: current) - [[Nonlinear Finite Element Analysis]] - incremental solution of geometric, material, contact, and load nonlinearities (status: current) +- [[Finite Element Plasticity]] - finite element treatment of irreversible material deformation and integration-point history (status: current) +- [[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]] - load-increment and iteration strategies for plasticity (status: current) +- [[Plasticity Yield Criteria]] - Tresca, von Mises, Mohr-Coulomb, and Drucker-Prager yield functions (status: current) +- [[Plastic Flow Rules and Hardening]] - associated/non-associated flow and isotropic, kinematic, and work hardening (status: current) +- [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]] - rate-dependent plasticity as a time-stepped finite element workflow (status: current) +- [[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]] - beam plasticity with shear deformation and section response (status: current) +- [[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]] - plate bending plasticity with layered or nonlayered through-thickness yielding (status: current) +- [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]] - dynamic finite element analysis with inertia and evolving plastic zones (status: current) +- [[Finite Element Plasticity Program Architecture]] - code organization for plastic material states, element routines, and nonlinear solves (status: current) +- [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]] - verification inputs for plasticity finite element programs (status: current) - [[Abaqus Analysis Procedures]] - Abaqus procedure families for nonlinear, dynamic, modal, buckling, coupled-field, and special analyses (status: current) - [[Abaqus Element Library]] - Abaqus element formulations, interpolation, and integration choices (status: current) - [[Abaqus Element Selection and Formulation]] - Abaqus element family, DOF, interpolation, formulation, and integration selection workflow (status: current) @@ -211,6 +271,41 @@ Navigation: [[overview]] | [[log]] | [[hot]] | [[dashboard]] | [[Wiki Map]] | [[ - [[Direct Time Integration Methods]] - transient FE dynamics and first-order field integration (status: current) - [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] - modal and eigenvalue algorithms for FE matrices (status: current) - [[Finite Element Program Implementation]] - software data flow for FE codes and STAP-style implementation (status: current) +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] - Midas production analysis workflow for civil nonlinear detail analysis (status: current) +- [[Midas FEA Element Library]] - Midas structural, reinforcement, interface, thermal, and CFD element coverage (status: current) +- [[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]] - embedded rebar and prestress modeling in host finite elements (status: current) +- [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] - interface elements, cracking, bond-slip, friction, and masonry-joint behavior (status: current) +- [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]] - plasticity, total strain cracking, concrete, and interface material laws (status: current) +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] - equation solvers, Newton variants, arc-length iteration, and convergence checks (status: current) +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] - modal, time history, response spectrum, and linear buckling procedures (status: current) +- [[Midas FEA Construction Stage Analysis]] - staged activation, concrete aging, creep, shrinkage, and state transfer (status: current) +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] - heat transfer, hydration heat, equivalent age, and thermal stress (status: current) +- [[Midas FEA Static Contact Analysis]] - penalty contact, contact search, weld/general contact, and contact force output (status: current) +- [[Midas FEA Fatigue Analysis]] - S-N fatigue, rainflow counting, mean stress correction, and Miner damage (status: current) +- [[Midas FEA CFD Analysis]] - structured-grid RANS CFD for wind and aerodynamic coefficient workflows (status: current) +- [[Midas Civil Numerical Analysis Model]] - civil structural model topology, coordinate systems, nodes, elements, and boundary data (status: current) +- [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]] - member, continuum, cable, gap, and section stiffness inputs for midas Civil (status: current) +- [[Midas Civil Boundary Supports and Links]] - supports, springs, links, rigid constraints, offsets, and prescribed displacements (status: current) +- [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] - eigenvectors, Ritz vectors, damping, response spectrum, and time-history procedures (status: current) +- [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]] - buckling, second-order, and geometric nonlinear analysis context (status: current) +- [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]] - nonlinear supports, plasticity, hardening, Newton iteration, and arc-length control (status: current) +- [[Midas Civil Pushover and Performance Evaluation]] - static incremental seismic capacity and performance evaluation workflow (status: current) +- [[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]] - inelastic dynamic analysis, hysteresis laws, interaction hinges, and fiber models (status: current) +- [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]] - staged activation, creep, shrinkage, strength development, and bridge equilibrium (status: current) +- [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] - hydration heat, equivalent age, thermal stress, shrinkage, and creep workflow (status: current) +- [[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]] - prestressed concrete loading and loss analysis for bridge members (status: current) +- [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] - 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[[Daryl L. Logan]] - author of [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] (status: current) +- [[D. R. J. Owen]] - co-author of [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] (status: current) +- [[E. Hinton]] - co-author of [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] (status: current) - [[Inha University]] - degree-granting institution for the dynamic shell buckling thesis (status: current) - [[BLZPACK]] - Block Lanczos eigenvalue solver used in the dynamic buckling implementation (status: current) - [[ABAQUS]] - commercial finite element software, documented theory reference, and user-guide workflow (status: current) +- [[MIDAS Information Technology]] - developer and publisher of [[midas FEA]], [[midas Civil]], and [[midas NFX]] (status: current) +- [[midas FEA]] - civil and bridge-oriented nonlinear detail finite element analysis product (status: current) +- [[midas Civil]] - civil-structure analysis and design product for bridge, seismic, staged-construction, prestress, and moving-load workflows (status: current) +- [[midas NFX]] - general-purpose finite element analysis product for structural, thermal, contact, fatigue, optimization, and forming-limit workflows (status: current) --- @@ -247,6 +348,10 @@ Navigation: [[overview]] | [[log]] | [[hot]] | [[dashboard]] | [[Wiki Map]] | [[ - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]] - Abaqus user guide for element families, formulations, sections, connectors, special elements, particles, and element indexes - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] - Abaqus user guide for prescribed conditions, constraints, contact interactions, contact properties, diagnostics, contact elements, and cavity radiation - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - Daryl L. Logan textbook introducing FEM through stiffness assembly and common structural, field, thermal, and dynamic elements +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] - Owen and Hinton book on finite element plasticity theory, implementation, structural applications, dynamics, and benchmark input cases +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] - Midas manual for element libraries, material models, algorithms, linear procedures, construction stages, heat/hydration, contact, fatigue, and CFD +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] - midas Civil manual for civil structural model definition, dynamics, nonlinear analysis, construction stages, hydration heat, PSC, moving loads, and bridge utilities +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] - midas NFX manual for general-purpose structural, field, nonlinear, dynamic, contact, fatigue, optimization, and forming-limit analysis --- diff --git a/wiki/log.md b/wiki/log.md index 75d5e93b..6448c725 100644 --- a/wiki/log.md +++ b/wiki/log.md @@ -1,7 +1,8 @@ --- type: meta title: "Operation Log" -updated: 2026-06-01 +created: 2026-05-28 +updated: 2026-06-02 tags: - meta - log @@ -25,6 +26,34 @@ Parse recent entries: `grep "^## \[" wiki/log.md | head -10` --- +## [2026-06-02] ingest | Midas NFX Analysis Manual +- Source: `.raw/MidasNFXAnalysisManual/` +- Summary: [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] +- Pages created: [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]], [[midas NFX]], [[Midas NFX Analysis Workflow]], [[Midas NFX Element Library]], [[Midas NFX Material and Composite Models]], [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]], [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]], [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]], [[Midas NFX Contact Analysis]], [[Midas NFX Fatigue Analysis]], [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]], [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]] +- Pages updated: [[index]], [[overview]], [[hot]], [[sources/_index]], [[concepts/_index]], [[entities/_index]], [[Computational Mechanics]], [[MIDAS Information Technology]], [[midas FEA]], [[midas Civil]], [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]], [[Finite Element Method]], [[Finite Element Program Implementation]], [[Static Equilibrium Equation Solvers]], [[Direct Time Integration Methods]], [[Finite Element Eigenproblem Solvers]], [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]], [[Finite Element Thermal Stress Analysis]], [[Finite Element Contact Formulation]], [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]], [[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]], [[Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials]], [[dashboard]], [[getting-started]], [[Wiki Map]] +- Key insight: Midas NFX adds the general-purpose MIDAS production-solver layer: coordinate-system contracts, broad element/material coverage, direct/iterative solver selection, eigen-result checks, linear/nonlinear dynamics, contact, fatigue, thermal/electrical coupling, optimization, and forming-limit checks become explicit custom-solver requirements. + +## [2026-06-02] ingest | Midas Civil Analysis Reference +- Source: `.raw/MidasCivilAnalysisReference/` +- Summary: [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] +- Pages created: [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]], [[midas Civil]], [[Midas Civil Numerical Analysis Model]], [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]], [[Midas Civil Boundary Supports and Links]], [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]], [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]], [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]], [[Midas Civil Pushover and Performance Evaluation]], [[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]], [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]], [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]], [[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]], [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]], [[Midas Civil Special Load and Design Utilities]] +- Pages updated: [[index]], [[overview]], [[hot]], [[sources/_index]], [[concepts/_index]], [[entities/_index]], [[Computational Mechanics]], [[MIDAS Information Technology]], [[midas FEA]], [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], [[Finite Element Method]], [[Nonlinear Finite Element Analysis]], [[Finite Element Program Implementation]], [[Static Equilibrium Equation Solvers]], [[Direct Time Integration Methods]], [[Finite Element Eigenproblem Solvers]], [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]], [[Finite Element Thermal Stress Analysis]], [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]], [[Finite Element Load Vector Assembly]], [[dashboard]], [[getting-started]], [[Wiki Map]] +- Key insight: Midas Civil adds the bridge/civil production solver layer: numerical model topology, section stiffness, supports and links, seismic dynamics, buckling, nonlinear hinges, construction-stage state transfer, hydration thermal stress, PSC losses, moving-load envelopes, settlement, wave loads, and design utilities become explicit custom-solver requirements and regression targets. + +## [2026-06-02] ingest | Midas FEA Analysis Manual +- Source: `.raw/MidasFEAAnalysisManual/` +- Summary: [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] +- Pages created: [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], [[MIDAS Information Technology]], [[midas FEA]], [[Midas FEA Analysis Workflow]], [[Midas FEA Element Library]], [[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]], [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]], [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]], [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]], [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]], [[Midas FEA Construction Stage Analysis]], [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]], [[Midas FEA Static Contact Analysis]], [[Midas FEA Fatigue Analysis]], [[Midas FEA CFD Analysis]] +- Pages updated: [[index]], [[overview]], [[hot]], [[sources/_index]], [[concepts/_index]], [[entities/_index]], [[Computational Mechanics]], [[Finite Element Method]], [[Nonlinear Finite Element Analysis]], [[Finite Element Program Implementation]], [[Static Equilibrium Equation Solvers]], [[Direct Time Integration Methods]], [[Finite Element Eigenproblem Solvers]], [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]], [[Finite Element Contact Formulation]], [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]], [[Finite Element Plasticity]], [[dashboard]], [[getting-started]], [[Wiki Map]] +- Key insight: The Midas manual adds a civil nonlinear production-solver reference: element libraries, embedded reinforcement, concrete cracking, interface laws, nonlinear algorithms, linear dynamics and buckling, construction stages, hydration heat, static contact, fatigue, and wind-CFD become concrete requirements and verification targets for a custom FE solver roadmap. + +## [2026-06-02] ingest | Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice +- Source: `.raw/FiniteElementsinPlasticityTheoryandPractice/` +- Summary: [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] +- Pages created: [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]], [[D. R. J. Owen]], [[E. Hinton]], [[Finite Element Plasticity]], [[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]], [[Plasticity Yield Criteria]], [[Plastic Flow Rules and Hardening]], [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]], [[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]], [[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]], [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]], [[Finite Element Plasticity Program Architecture]], [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]] +- Pages updated: [[index]], [[overview]], [[hot]], [[sources/_index]], [[concepts/_index]], [[entities/_index]], [[Computational Mechanics]], [[Nonlinear Finite Element Analysis]], [[Abaqus Constitutive Integration]], [[Abaqus Metal Plasticity Models]], [[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]], [[Finite Element Program Implementation]], [[Direct Time Integration Methods]], [[dashboard]], [[getting-started]], [[Wiki Map]] +- Key insight: Owen and Hinton add the missing finite element plasticity implementation layer: yield criteria, flow and hardening laws, elasto-viscoplastic updates, beam/plate plasticity, transient dynamic plasticity, and benchmark input cases for solver verification. + ## [2026-06-01] ingest | Abaqus Analysis User's Guide Volume V - Source: `.raw/AbaqusAnalysisUserGuide5/` - Summary: [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] diff --git a/wiki/meta/dashboard.md b/wiki/meta/dashboard.md index 462f215c..fb00b320 100644 --- a/wiki/meta/dashboard.md +++ b/wiki/meta/dashboard.md @@ -1,7 +1,8 @@ --- type: meta title: "Dashboard" -updated: 2026-06-01 +created: 2026-05-28 +updated: 2026-06-02 tags: - meta - dashboard @@ -25,6 +26,10 @@ related: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Wiki Dashboard @@ -37,9 +42,9 @@ The dashboard uses Obsidian Bases. Open `wiki/meta/dashboard.base` directly. ## Current Focus -- Sources: [[Finite Element Procedures]], [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]], [[Solid Element Notes]], [[A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell]], [[Four-Node-Quadrilateral-Shell-Element-MITC4|Four-Node Quadrilateral Shell Element MITC4]], [[MITC Study Notes]], [[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method|Dynamic Buckling Analysis of Shell Structures using Finite Element Method]], [[On-the-Finite-Element-Analysis-of-Shell-Structures|On the Finite Element Analysis of Shell Structures]], [[Abaqus Theory Manual]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] +- Sources: [[Finite Element Procedures]], [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]], [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]], [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]], [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]], [[Solid Element Notes]], [[A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell]], [[Four-Node-Quadrilateral-Shell-Element-MITC4|Four-Node Quadrilateral Shell Element MITC4]], [[MITC Study Notes]], [[Dynamic-Buckling-Analysis-of-Shell-Structures-using-Finite-Element-Method|Dynamic Buckling Analysis of Shell Structures using Finite Element Method]], [[On-the-Finite-Element-Analysis-of-Shell-Structures|On the Finite Element Analysis of Shell Structures]], [[Abaqus Theory Manual]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] - Domain: [[Computational Mechanics]] -- Main concepts: [[Finite Element Method]], [[Direct Stiffness Method]], [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]], [[Abaqus Analysis Procedures]], [[Abaqus Element Library]], [[Abaqus Element Selection and Formulation]], [[Abaqus Continuum Element Families]], [[Abaqus Structural Element Families]], [[Abaqus Beam and Shell Section Definitions]], [[Abaqus Connector Elements and Behaviors]], [[Abaqus Fluid Acoustic Eulerian and Particle Elements]], [[Abaqus User-Defined Elements]], [[Abaqus Prescribed Conditions and Amplitudes]], [[Abaqus Loads and Predefined Fields]], [[Abaqus Kinematic Constraints and MPCs]], [[Abaqus Contact Interaction Definition]], [[Abaqus Contact Property Models]], [[Abaqus Contact Formulations and Enforcement]], [[Abaqus Contact Diagnostics and Modeling Difficulties]], [[Abaqus Cavity Radiation Interactions]], [[Abaqus Input File Syntax]], [[Abaqus Job Execution Workflow]], [[Abaqus Output Database and Results Files]], [[Abaqus General and Linear Perturbation Steps]], [[Abaqus Nonlinear Solution Control]], [[Abaqus Multiphysics Coupling and Co-simulation]], [[Abaqus User Subroutines and Utility Routines]], [[Abaqus Material Library and Data Definition]], [[Abaqus Hyperelastic and Viscoelastic Materials]], [[Abaqus Metal Plasticity Models]], [[Abaqus Progressive Damage and Failure]], [[Abaqus Transport Acoustic and Electromagnetic Materials]], [[Abaqus User-Defined Material Behavior]], [[Continuum Mechanics Based Four-Node Shell Element]], [[MITC4 Shell Element]], [[Shell Locking Phenomenon]], [[Dynamic Buckling Analysis]] +- Main concepts: [[Finite Element Method]], [[Direct Stiffness Method]], [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]], [[Nonlinear Finite Element Analysis]], [[Finite Element Plasticity]], [[Plasticity Yield Criteria]], [[Plastic Flow Rules and Hardening]], [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]], [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]], [[Finite Element Plasticity Program Architecture]], [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]], [[Midas FEA Analysis Workflow]], [[Midas FEA Element Library]], [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]], [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]], [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]], [[Midas FEA Construction Stage Analysis]], [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]], [[Midas FEA Static Contact Analysis]], [[Midas FEA Fatigue Analysis]], [[Midas Civil Numerical Analysis Model]], [[Midas Civil Boundary Supports and Links]], [[Midas Civil Dynamic and 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Material Behavior]], [[Continuum Mechanics Based Four-Node Shell Element]], [[MITC4 Shell Element]], [[Shell Locking Phenomenon]], [[Dynamic Buckling Analysis]] ## Useful Queries diff --git a/wiki/meta/lint-report-2026-06-02.md b/wiki/meta/lint-report-2026-06-02.md new file mode 100644 index 00000000..1618eb91 --- /dev/null +++ b/wiki/meta/lint-report-2026-06-02.md @@ -0,0 +1,115 @@ +--- +type: meta +title: "Lint Report 2026-06-02" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +tags: + - meta + - lint +status: developing +--- + +# Lint Report: 2026-06-02 + +## Summary + +- Pages scanned: 182 markdown pages, 2 canvas files +- Issues found: 4 concrete findings plus 21 heuristic cross-reference candidates +- Auto-fixed: 15 concrete findings, plus cross-reference heuristic reduced from 87 to 21 candidates +- Needs review: 4 intentional placeholder sections and 21 heuristic cross-reference candidates + +## Auto-Fixes Applied + +- Updated `skills/wiki-lint/SKILL.md` behavior: + - 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These are now narrower review candidates rather than broad title/frontmatter noise. + +Representative candidates: + +- `ABAQUS` appears as plain prose in several non-Abaqus concept pages such as [[Finite Element Method]], [[Finite Element Modeling and Convergence Checks]], [[Static Equilibrium Equation Solvers]], and [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]. +- `midas Civil` appears as plain prose in [[Finite Element Program Implementation]] and [[Computational Mechanics]]. +- `midas FEA` appears as plain prose in [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]. + +Recommendation: link the first prose mention of a product entity only when the page is making a cross-product comparison. 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Logan]], solid element notes, shell element sources, MITC derivation notes, shell buckling analysis, [[On-the-Finite-Element-Analysis-of-Shell-Structures|On the Finite Element Analysis of Shell Structures]] by [[Phill-Seung Lee]] and [[Hyuk-Chun Noh]], the [[Abaqus Theory Manual]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-I|Abaqus Analysis User's Guide Volume I]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-II|Abaqus Analysis User's Guide Volume II]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]], [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]], and [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]. +This vault is currently focused on computational mechanics, seeded from [[Finite Element Procedures]] by [[Klaus-Jurgen Bathe]], [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] by [[Daryl L. Logan]], [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] by [[D. R. J. Owen]] and [[E. Hinton]], solid element notes, shell element sources, MITC derivation notes, shell buckling analysis, [[On-the-Finite-Element-Analysis-of-Shell-Structures|On the Finite Element Analysis of Shell Structures]] by [[Phill-Seung Lee]] and [[Hyuk-Chun Noh]], the [[Abaqus Theory Manual]], Abaqus Analysis User's Guide Volumes I-V, the [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]], the [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]], and the [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]. --- @@ -73,6 +81,16 @@ This vault is currently focused on computational mechanics, seeded from [[Finite - [[Incompatible Mode Solid Elements]] - internal-mode enrichment for solid element flexibility - [[Mixed Finite Element Formulations]] - pressure and constraint-aware formulations - [[Nonlinear Finite Element Analysis]] - incremental nonlinear solution workflow +- [[Finite Element Plasticity]] - irreversible material deformation in an incremental FE solver +- [[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]] - direct iteration, Newton-Raphson, tangential stiffness, and initial stiffness plasticity workflows +- [[Plasticity Yield Criteria]] - Tresca, von Mises, Mohr-Coulomb, and Drucker-Prager criteria +- [[Plastic Flow Rules and Hardening]] - associated/non-associated flow and hardening evolution +- [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]] - rate-dependent plasticity and time-step-dependent material updates +- [[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]] - structural beam plasticity with shear deformation +- [[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]] - plate plasticity with through-thickness plastification +- [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]] - dynamic analysis with inertia and evolving plastic zones +- [[Finite Element Plasticity Program Architecture]] - plasticity solver data structures and module boundaries +- [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]] - plasticity verification model patterns - [[Abaqus Analysis Procedures]] - Abaqus procedure families for nonlinear, dynamic, modal, buckling, coupled-field, and special analyses - [[Abaqus Element Library]] - Abaqus element formulation and integration choices - [[Abaqus Element Selection and Formulation]] - Abaqus element family, DOF, interpolation, formulation, and integration selection @@ -161,6 +179,41 @@ This vault is currently focused on computational mechanics, seeded from [[Finite - [[Direct Time Integration Methods]] - transient dynamics and time integration - [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] - modal and eigenvalue algorithms - [[Finite Element Program Implementation]] - FE code data flow and STAP-style implementation +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] - Midas production analysis workflow for civil nonlinear detail analysis +- [[Midas FEA Element Library]] - Midas structural, reinforcement, interface, thermal, and CFD element coverage +- [[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]] - embedded rebar and prestress modeling in host finite elements +- [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] - interface elements, cracking, bond-slip, friction, and masonry-joint behavior +- [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]] - plasticity, total strain cracking, concrete, and interface material laws +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] - equation solvers, Newton variants, arc-length iteration, and convergence checks +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] - modal, time history, response spectrum, and linear buckling procedures +- [[Midas FEA Construction Stage Analysis]] - staged activation, concrete aging, creep, shrinkage, and state transfer +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] - heat transfer, hydration heat, equivalent age, and thermal stress +- [[Midas FEA Static Contact Analysis]] - penalty contact, contact search, weld/general contact, and contact force output +- [[Midas FEA Fatigue Analysis]] - S-N fatigue, rainflow counting, mean stress correction, and Miner damage +- [[Midas FEA CFD Analysis]] - structured-grid RANS CFD for wind and aerodynamic coefficient workflows +- [[Midas Civil Numerical Analysis Model]] - civil structural model topology, coordinate systems, nodes, elements, and boundary data +- [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]] - member, continuum, cable, gap, and section stiffness inputs for bridge/civil analysis +- [[Midas Civil Boundary Supports and Links]] - supports, springs, elastic links, general links, rigid links, offsets, and prescribed displacements +- [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] - eigenvectors, Ritz vectors, damping, response spectrum, and time-history procedures +- [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]] - buckling, second-order, and geometric nonlinear analysis context +- [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]] - nonlinear supports, plasticity, hardening, Newton iteration, and arc-length control +- [[Midas Civil Pushover and Performance Evaluation]] - static incremental seismic capacity and performance evaluation workflow +- [[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]] - inelastic dynamic analysis, hysteresis laws, interaction hinges, and fiber models +- [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]] - staged activation, creep, shrinkage, strength development, and bridge equilibrium +- [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] - heat transfer, hydration heat, equivalent age, thermal stress, shrinkage, and creep +- [[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]] - prestressed concrete loading and loss analysis for bridge members +- [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] - lane, traffic surface, vehicle, and placement workflow for bridge moving loads +- [[Midas Civil Special Load and Design Utilities]] - settlement, composite-section, unknown-load, column-design, and wave-load utilities +- [[Midas NFX Analysis Workflow]] - general-purpose NFX model, analysis-case, coordinate-system, and result-check workflow +- [[Midas NFX Element Library]] - structural, thermal, field, mass, spring, rigid, weld, bolt, and gasket element coverage +- [[Midas NFX Material and Composite Models]] - material, composite laminate, failure, fatigue, and temperature-dependent property definitions +- [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]] - direct/iterative equation solvers, convergence controls, and eigen extraction methods +- [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]] - modal, response spectrum, frequency response, transient, and buckling procedures +- [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]] - geometric, material, and dynamic nonlinear solution controls +- [[Midas NFX Contact Analysis]] - contact pair definition, search, enforcement, friction, and contact-result workflow +- [[Midas NFX Fatigue Analysis]] - stress-life, strain-life, event, load-history, and fatigue-damage workflow +- [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]] - thermal, electrical, Joule-heating, and sequential thermal-stress workflows +- [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]] - topology, size, shape optimization, and sheet-metal forming-limit checks **Entity:** - [[Klaus-Jurgen Bathe]] - author of [[Finite Element Procedures]] and co-author of [[A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell]] @@ -172,9 +225,15 @@ This vault is currently focused on computational mechanics, seeded from [[Finite - [[Phill-Seung Lee]] - author of the shell finite element review - [[Hyuk-Chun Noh]] - author of the shell finite element review - [[Daryl L. Logan]] - author of the introductory finite element method textbook +- [[D. R. J. Owen]] - co-author of the finite element plasticity textbook +- [[E. Hinton]] - co-author of the finite element plasticity textbook - [[Inha University]] - degree-granting institution for the thesis - [[BLZPACK]] - Block Lanczos eigenvalue solver used in the thesis - [[ABAQUS]] - commercial finite element software, documented theory reference, and user-guide workflow +- [[MIDAS Information Technology]] - developer and publisher of [[midas FEA]], [[midas Civil]], and [[midas NFX]] +- [[midas FEA]] - civil and bridge-oriented nonlinear detail finite element analysis product +- [[midas Civil]] - civil-structure analysis and design product for bridge, seismic, staged-construction, prestress, and moving-load workflows +- [[midas NFX]] - general-purpose finite element analysis product for structural, thermal, contact, fatigue, optimization, and forming-limit workflows **Source:** - [[Finite Element Procedures]] - finite element analysis textbook @@ -191,14 +250,18 @@ This vault is currently focused on computational mechanics, seeded from [[Finite - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]] - Abaqus element guide for element families, formulations, sections, connectors, special elements, particles, and element indexes - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] - Abaqus interaction guide for prescribed conditions, constraints, contact, diagnostics, contact elements, and cavity radiation - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - introductory FEM textbook covering stiffness assembly, structural elements, field problems, thermal stress, and dynamics +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] - finite element plasticity source covering nonlinear solution, yield/flow/hardening, beams, plates, viscoplasticity, dynamics, and program input cases +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] - Midas finite element manual covering element libraries, material models, algorithms, linear procedures, construction stages, heat/hydration, contact, fatigue, and CFD +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] - midas Civil analysis reference covering civil structural model definition, supports, dynamics, nonlinear analysis, construction stages, hydration heat, PSC, moving loads, and bridge utilities +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] - midas NFX analysis manual covering general-purpose structural, field, nonlinear, dynamic, contact, fatigue, optimization, and forming-limit analysis --- ## Current State -- Sources ingested: 14 -- Wiki pages: 138 -- Last activity: 2026-06-01 (ingested Abaqus Analysis User's Guide Volume V) +- Sources ingested: 18 +- Wiki pages: 194 +- Last activity: 2026-06-02 (ingested Midas NFX Analysis Manual) --- @@ -236,8 +299,16 @@ This vault is currently focused on computational mechanics, seeded from [[Finite **Abaqus material workflows expose constitutive strategy.** Volume III connects material data, elasticity, hyperelasticity, plasticity, damage, EOS, thermal and transport properties, porous media, and user material subroutines into the analyst-facing material workflow. +**Finite element plasticity makes solver state explicit.** Owen and Hinton connect yield criteria, flow rules, hardening, viscoplasticity, structural plasticity elements, transient dynamics, and benchmark input cases into a concrete implementation workflow for custom solvers. + **Abaqus element workflows expose discretization strategy.** Volume IV connects element families, formulation suffixes, integration choices, section definitions, connectors, cohesive/gasket elements, Eulerian and particle elements, user elements, and element indexes into the analyst-facing discretization workflow. **Abaqus interaction workflows expose boundary and interface strategy.** Volume V connects initial conditions, boundary conditions, loads, predefined fields, constraints, contact definitions, contact properties, contact enforcement, diagnostics, contact elements, and cavity radiation into the analyst-facing interaction workflow. **Introductory element sequences keep the method grounded.** Logan's textbook shows how the same displacement and assembly pattern grows from springs and bars into trusses, beams, frames, plane continua, axisymmetric solids, thermal stress, and dynamics. + +**Midas FEA adds civil nonlinear production coverage.** The Midas manual connects element libraries, concrete cracking, embedded reinforcement, nonlinear algorithms, construction stages, hydration heat, contact, fatigue, and CFD into a solver workflow useful for custom-solver requirements and reference comparisons. + +**Midas Civil adds bridge-oriented production coverage.** The Midas Civil reference connects member/section modeling, supports and links, seismic dynamics, buckling, nonlinear hinges, construction stages, hydration thermal stress, PSC losses, moving loads, settlement, wave loads, and design utilities into concrete solver requirements. + +**Midas NFX adds general-purpose production coverage.** The NFX manual connects coordinate-system contracts, broad element/material definitions, equation solvers, eigen extraction, linear/nonlinear dynamics, contact, fatigue, thermal/electrical coupling, optimization, and forming-limit checks into custom-solver requirements and reference comparison targets. diff --git a/wiki/sources/Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice.md b/wiki/sources/Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice.md new file mode 100644 index 00000000..94ddc552 --- /dev/null +++ b/wiki/sources/Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice.md @@ -0,0 +1,81 @@ +--- +type: source +title: "Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice" +source_type: book +authors: + - "[[D. R. J. Owen]]" + - "[[E. Hinton]]" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000129 +aliases: + - Finite Elements in Plasticity + - Finite Elements in Plasticity Theory and Practice +tags: + - source + - finite-element-method + - plasticity + - nonlinear-analysis +status: current +confidence: high +raw_path: ".raw/FiniteElementsinPlasticityTheoryandPractice/" +source_files: + markdown_files: 61 + markdown_bytes: 1637742 + image_files: 1227 + image_bytes: 48705752 +related: + - "[[D. R. J. Owen]]" + - "[[E. Hinton]]" + - "[[Finite Element Plasticity]]" + - "[[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]]" + - "[[Plasticity Yield Criteria]]" + - "[[Plastic Flow Rules and Hardening]]" + - "[[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]]" + - "[[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]]" + - "[[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]]" + - "[[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]]" + - "[[Finite Element Plasticity Program Architecture]]" + - "[[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]]" +--- + +# Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice + +## Summary + +This book by [[D. R. J. Owen]] and [[E. Hinton]] presents finite element techniques for material plasticity. It covers quasi-static incremental elasto-plastic analysis, elasto-viscoplastic analysis, beam and plate plasticity, two-dimensional continuum plasticity, and transient dynamic elasto-plastic analysis. + +For this wiki, the source fills the theory-and-implementation gap between general [[Nonlinear Finite Element Analysis]] and production material pages such as [[Abaqus Metal Plasticity Models]] and [[Abaqus Geomaterial and Concrete Plasticity]]. It is especially useful for building a custom solver because it treats plasticity as an algorithmic finite element workflow: load/time increments, element integration, yield checks, flow rules, hardening variables, tangent or initial stiffness iterations, program modules, and benchmark-style input data. + +## Scope + +The source is organized in three parts: + +- One-dimensional nonlinear problems, elasto-viscoplasticity, and elasto-plastic Timoshenko beam analysis. +- Two-dimensional elasto-plastic and elasto-viscoplastic continuum analysis, including Tresca, von Mises, Mohr-Coulomb, and Drucker-Prager yield criteria. +- Elasto-plastic Mindlin plate bending and transient dynamic elasto-plastic analysis using explicit, implicit, and mixed implicit-explicit schemes. + +## Extracted Threads + +- [[Finite Element Plasticity]] - the overall finite element treatment of irreversible material behavior. +- [[Incremental Elasto-Plastic Solution Methods]] - direct iteration, Newton-Raphson, tangential stiffness, and initial stiffness workflows. +- [[Plasticity Yield Criteria]] - Tresca, von Mises, Mohr-Coulomb, and Drucker-Prager yield surfaces. +- [[Plastic Flow Rules and Hardening]] - associated and non-associated flow, isotropic and kinematic hardening, and yield surface evolution. +- [[Elasto-Viscoplastic Finite Element Analysis]] - rate-dependent plastic response and time-stepping interpretation. +- [[Elasto-Plastic Timoshenko Beam Analysis]] - beam bending plasticity with shear deformation. +- [[Elasto-Plastic Mindlin Plate Analysis]] - layered and nonlayered plate plastification through thickness. +- [[Transient Dynamic Elasto-Plastic Analysis]] - inertia, geometric deformation, and plastic material state in dynamic FE analysis. +- [[Finite Element Plasticity Program Architecture]] - modular program structure for plasticity finite element codes. +- [[Plasticity Benchmark and Input Data Cases]] - appendices and program cases useful for verification harness design. + +## Connections + +The source complements [[Finite Element Procedures]] by specializing the nonlinear solution workflow for plasticity. It complements [[Abaqus Theory Manual]] and [[Abaqus Constitutive Integration]] by giving a programming-oriented path from yield criteria and flow rules to element routines and global iteration. It complements [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] by explaining the finite element mechanics behind many metal and geomaterial plasticity model choices. + +## Source Files + +- Raw path: `.raw/FiniteElementsinPlasticityTheoryandPractice/` +- Markdown chunks: 61 +- Image assets: 1227 +- Composite hash: `9325d0e281943b3a81d7f1869b03a208b94fc93a020d64b7c5fb5c784207ebe9` + diff --git a/wiki/sources/Midas-Civil-Analysis-Reference.md b/wiki/sources/Midas-Civil-Analysis-Reference.md new file mode 100644 index 00000000..bda563af --- /dev/null +++ b/wiki/sources/Midas-Civil-Analysis-Reference.md @@ -0,0 +1,78 @@ +--- +type: source +title: "Midas Civil Analysis Reference" +source_type: manual +publisher: "[[MIDAS Information Technology]]" +product: "[[midas Civil]]" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000157 +aliases: + - MIDAS Civil Analysis Reference + - midas Civil Analysis Reference + - Midas Civil Vol 2 Analysis Reference +tags: + - source + - finite-element-method + - midas-civil + - bridge-analysis + - structural-analysis +status: current +raw_path: ".raw/MidasCivilAnalysisReference/" +source_files: + markdown_files: 57 + markdown_bytes: 1027489 + image_files: 1448 + image_bytes: 19216843 +related: + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[Midas Civil Numerical Analysis Model]]" + - "[[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]]" + - "[[Midas Civil Boundary Supports and Links]]" + - "[[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]]" + - "[[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]]" + - "[[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]]" + - "[[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]]" +--- + +# Midas Civil Analysis Reference + +## Scope + +This source is Volume 2, Analysis Reference, for [[midas Civil]], a civil-structure analysis and design product from [[MIDAS Information Technology]]. The raw source covers the numerical analysis model, coordinate systems, element types, element stiffness data, boundary conditions, static and dynamic analysis, buckling, nonlinear analysis, construction stages, heat of hydration, PSC analysis, moving loads, and special bridge/civil utilities. + +The manual is useful in this vault because it complements [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] and [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]. Midas FEA is a detail nonlinear finite element reference; midas Civil is a bridge/civil structural analysis reference that emphasizes member models, staged construction, seismic procedures, prestressing, moving loads, settlement, composite sections, wave loads, and design-oriented postprocessing. Midas NFX is the general-purpose MIDAS reference for broader element, field, contact, fatigue, optimization, and forming-limit solver workflows. + +## Extracted Threads + +- [[Midas Civil Numerical Analysis Model]] - nodes, finite elements, boundary data, and modeling responsibility. +- [[Midas Civil Element Library and Section Stiffness]] - truss, cable, beam, plane, plate, solid, and section-property stiffness data. +- [[Midas Civil Boundary Supports and Links]] - nodal constraints, surface springs, elastic links, general links, rigid links, rigid end offsets, and specified displacements. +- [[Midas Civil Dynamic and Seismic Analysis]] - eigenvectors, Ritz vectors, damping, response spectrum, and time-history procedures. +- [[Midas Civil Buckling P-Delta and Geometric Nonlinearity]] - eigenvalue buckling, P-Delta effects, and large-displacement solution context. +- [[Midas Civil Boundary and Material Nonlinear Analysis]] - nonlinear supports, Newton-Raphson, arc-length, plasticity, and hardening choices. +- [[Midas Civil Pushover and Performance Evaluation]] - static incremental seismic performance workflow. +- [[Midas Civil Nonlinear Time History and Hysteresis Models]] - inelastic members, general links, trusses, hysteresis laws, interaction surfaces, and fiber models. +- [[Midas Civil Construction Stage and Time-Dependent Analysis]] - staged activation, creep, shrinkage, strength development, and suspension bridge equilibrium. +- [[Midas Civil Heat of Hydration and Thermal Stress Analysis]] - heat transfer, hydration heat, equivalent age, concrete strength, thermal strain, shrinkage, and creep. +- [[Midas Civil PSC and Prestress Loss Analysis]] - tendon forces, anchorage slip, friction, elastic shortening, relaxation, and time-dependent losses. +- [[Midas Civil Moving Load Bridge Analysis]] - lanes, traffic surface lanes, vehicles, and load-placement rules. +- [[Midas Civil Special Load and Design Utilities]] - settlement combinations, before/after composite sections, unknown-load optimization, column design, and wave loads. + +## Solver Development Value + +For custom solver development, this manual is valuable as a requirements checklist for bridge and civil structural solvers. It shows that a production solver feature must define not only equations, but also model topology, local/global coordinate conventions, support/link semantics, section stiffness inputs, construction-stage state transfer, load generation rules, output interpretation, and verification examples against theory or reference programs. + +## Connections + +- [[Finite Element Method]] gives the shared discretization base. +- [[Finite Element Program Implementation]] frames model input, assembly, solution, recovery, and output contracts. +- [[Static Equilibrium Equation Solvers]], [[Direct Time Integration Methods]], and [[Finite Element Eigenproblem Solvers]] connect to the analysis procedures. +- [[Finite Element Thermal Stress Analysis]] connects to hydration and temperature-change stress workflows. +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] provides a sibling MIDAS product reference for detail FE analysis. +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] provides a sibling MIDAS product reference for general-purpose FE analysis. diff --git a/wiki/sources/Midas-FEA-Analysis-Manual.md b/wiki/sources/Midas-FEA-Analysis-Manual.md new file mode 100644 index 00000000..18449cd2 --- /dev/null +++ b/wiki/sources/Midas-FEA-Analysis-Manual.md @@ -0,0 +1,81 @@ +--- +type: source +title: "Midas FEA Analysis Manual" +source_type: manual +publisher: "[[MIDAS Information Technology]]" +product: "[[midas FEA]]" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000142 +aliases: + - Midas FEA Analysis and Algorithm Manual + - MIDAS FEA Analysis Manual + - midas FEA Analysis Manual +tags: + - source + - finite-element-method + - midas-fea + - analysis-manual + - nonlinear-analysis +status: current +raw_path: ".raw/MidasFEAAnalysisManual/" +source_files: + markdown_files: 51 + markdown_bytes: 739213 + image_files: 1624 + image_bytes: 14029312 +related: + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" + - "[[Midas FEA Analysis Workflow]]" + - "[[Midas FEA Element Library]]" + - "[[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]]" + - "[[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]]" + - "[[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]]" + - "[[Midas FEA Static Contact Analysis]]" +--- + +# Midas FEA Analysis Manual + +## Scope + +This source is the analysis and algorithm manual for [[midas FEA]], a civil and bridge-oriented nonlinear detail analysis program from [[MIDAS Information Technology]]. The raw source covers element formulations, material models, general algorithms, linear analysis procedures, construction stage analysis, heat transfer and hydration, contact, fatigue, and CFD. + +The manual is useful in this vault because it adds a second production-solver reference beside the Abaqus manuals. Abaqus pages describe a broad general-purpose FE platform; the Midas manual emphasizes civil structural nonlinear analysis, concrete cracking, construction stages, hydration heat, static contact, fatigue checks, and wind-related CFD. + +[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] is the sibling MIDAS product reference for bridge/civil member analysis, seismic procedures, staged construction, prestress, moving loads, and civil design utilities. [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] is the sibling MIDAS reference for general-purpose structural, field, contact, fatigue, optimization, and forming-limit analysis workflows. + +## Extracted Threads + +- [[Midas FEA Analysis Workflow]] - how the manual packages modeling, solver choice, analysis procedure, and result interpretation. +- [[Midas FEA Element Library]] - truss, beam, plane stress, plate, plane strain, axisymmetric, solid, spring, rigid link, and geometric-nonlinearity element coverage. +- [[Midas FEA Embedded Reinforcement Modeling]] - rebar bar and grid reinforcement embedded in continuum or plate host elements, including prestress context. +- [[Midas FEA Interface Elements and Nonlinearities]] - point, line, and surface interfaces plus crack, bond-slip, friction, and masonry-joint nonlinearities. +- [[Midas FEA Concrete Cracking and Material Models]] - plasticity, total strain crack models, concrete tension/compression behavior, and interface material laws. +- [[Midas FEA Nonlinear Solution Algorithms]] - boundary/load handling, equation solvers, Newton variants, arc-length iteration, and convergence checks. +- [[Midas FEA Linear Dynamics and Buckling Analyses]] - static, modal, time history, response spectrum, and eigenvalue buckling workflows. +- [[Midas FEA Construction Stage Analysis]] - activation/deactivation, concrete age, creep, shrinkage, and stage-wise load/state transfer. +- [[Midas FEA Heat Transfer and Hydration Analysis]] - heat transfer, hydration heat, equivalent age, thermal stress, and crack ratio output. +- [[Midas FEA Static Contact Analysis]] - penalty contact, contact search, master/slave choice, weld contact, and general contact. +- [[Midas FEA Fatigue Analysis]] - stress-life fatigue, rainflow counting, mean stress correction, and Miner damage. +- [[Midas FEA CFD Analysis]] - 2D structured-grid RANS CFD for wind-load and aerodynamic coefficient workflows. + +## Solver Development Value + +For custom solver development, the manual is most valuable as a reference for production-level feature boundaries. It shows which choices must be made explicit in requirements and tests: element family, nonlinear material law, boundary/load conversion, direct versus iterative solver selection, convergence criteria, modal/eigen extraction, construction stage state transfer, contact search, and result quantities. + +## Connections + +- [[Finite Element Method]] gives the shared discretization base. +- [[Finite Element Program Implementation]] frames the input, assembly, solve, recovery, and output contract. +- [[Nonlinear Finite Element Analysis]] gives the common incremental solution context. +- [[Finite Element Plasticity]], [[Plasticity Yield Criteria]], and [[Plastic Flow Rules and Hardening]] connect to the manual's plastic material model descriptions. +- [[Finite Element Contact Formulation]] connects to Midas contact and interface behavior. +- [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]] and [[Finite Element Thermal Stress Analysis]] connect to the thermal and hydration workflows. +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] connects the same MIDAS ecosystem to bridge-oriented structural analysis and design workflows. +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] connects the same MIDAS ecosystem to broader general-purpose FE solver-kernel workflows. diff --git a/wiki/sources/Midas-NFX-Analysis-Manual.md b/wiki/sources/Midas-NFX-Analysis-Manual.md new file mode 100644 index 00000000..4c5df072 --- /dev/null +++ b/wiki/sources/Midas-NFX-Analysis-Manual.md @@ -0,0 +1,75 @@ +--- +type: source +title: "Midas NFX Analysis Manual" +source_type: manual +publisher: "[[MIDAS Information Technology]]" +product: "[[midas NFX]]" +created: 2026-06-02 +updated: 2026-06-02 +address: c-000172 +aliases: + - MIDAS NFX Analysis Manual + - midas NFX Analysis Manual +tags: + - source + - finite-element-method + - midas-nfx + - analysis-manual + - nonlinear-analysis +status: current +raw_path: ".raw/MidasNFXAnalysisManual/" +source_files: + markdown_files: 31 + markdown_bytes: 484727 + image_files: 766 + image_bytes: 11120504 +related: + - "[[MIDAS Information Technology]]" + - "[[midas NFX]]" + - "[[midas FEA]]" + - "[[midas Civil]]" + - "[[Midas NFX Analysis Workflow]]" + - "[[Midas NFX Element Library]]" + - "[[Midas NFX Material and Composite Models]]" + - "[[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]]" + - "[[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]]" + - "[[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]]" + - "[[Midas NFX Contact Analysis]]" + - "[[Midas NFX Fatigue Analysis]]" + - "[[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]]" + - "[[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]]" +--- + +# Midas NFX Analysis Manual + +## Scope + +This source is the analysis manual for [[midas NFX]], a general-purpose finite element analysis product from [[MIDAS Information Technology]]. The raw manual covers the analysis model, node degrees of freedom, coordinate systems, finite rotations, structural element formulations, material models, equation solvers, eigen extraction, dynamic response, nonlinear algorithms, contact, fatigue, optimization, forming-limit checks, and thermal/electrical field analysis. + +The manual is useful in this vault because it bridges the two existing MIDAS references. [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] emphasizes civil nonlinear detail analysis, while [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] emphasizes bridge and civil workflows. The NFX manual is broader and more solver-kernel oriented: it names the structural analysis cases, describes file contracts, gives element and material coverage, and exposes algorithm choices such as sparse direct solution, AMG iteration, Lanczos extraction, HHT integration, explicit central difference, penalty contact, fatigue damage, and topology optimization. + +## Extracted Threads + +- [[Midas NFX Analysis Workflow]] - model definition, analysis case selection, solve, and postprocessing file/result contract. +- [[Midas NFX Element Library]] - scalar, rod, bar, pipe, cable, membrane, shell, surface, plane strain, axisymmetric, solid, layered, thermal, electrical, rigid, interpolation, and joint elements. +- [[Midas NFX Material and Composite Models]] - elastic, nonlinear elastic, plastic, hyperelastic, thermal, viscoelastic, laminated composite, and composite failure models. +- [[Midas NFX Equation Solvers and Eigen Extraction]] - direct, multifrontal, out-of-core, GPU-assisted, AMG iterative, Lanczos, and matrix-direct eigen workflows. +- [[Midas NFX Linear Dynamics and Buckling Analyses]] - modal, buckling, effective mass, mode superposition, transient, frequency response, random, and response spectrum procedures. +- [[Midas NFX Nonlinear Static and Dynamic Algorithms]] - Newton iteration, line search, large-strain stress recovery, explicit/implicit transient integration, critical time step, damping, and mass scaling. +- [[Midas NFX Contact Analysis]] - general, rough, welded, sliding, mortar, single-surface, node-to-surface, surface-to-surface, penalty, friction, and breaking-weld contact. +- [[Midas NFX Fatigue Analysis]] - stress-life, strain-life, rainflow counting, Miner damage, mean-stress correction, and random vibration fatigue. +- [[Midas NFX Heat Transfer Joule Heating and Thermal Stress]] - transient/steady heat transfer, thermal element matrices, Joule heating, electric potential coupling, and thermal-stress handoff. +- [[Midas NFX Structural Optimization and Forming Limit Analysis]] - topology optimization, size optimization, DOE/surrogate models, SIMP/RAMP, OC/MMA, and forming-limit diagram methods. + +## Solver Development Value + +For custom solver development, this source is a production requirements checklist for a general-purpose FE kernel. It highlights contracts that must be nailed down before implementation: nodal DOF sets, local/global/material/result coordinate systems, element formulation coordinate systems, file formats, element result locations, solver selection logic, mode normalization, time-integration controls, contact enforcement, fatigue postprocessing, and optimization response definitions. + +## Connections + +- [[Finite Element Method]] supplies the common discretization frame. +- [[Finite Element Program Implementation]] connects the manual's workflow to custom solver data structures and execution stages. +- [[Static Equilibrium Equation Solvers]], [[Finite Element Eigenproblem Solvers]], and [[Direct Time Integration Methods]] connect to NFX solver algorithms. +- [[Finite Element Contact Formulation]] connects to NFX penalty, search, mortar, and friction contact. +- [[Finite Element Heat Transfer and Field Problems]] and [[Finite Element Thermal Stress Analysis]] connect to heat transfer, Joule heating, and temperature-load coupling. +- [[Abaqus Structural Optimization and Parametric Studies]] provides a sibling commercial-solver optimization reference. diff --git a/wiki/sources/_index.md b/wiki/sources/_index.md index 268bee8a..b5320a2a 100644 --- a/wiki/sources/_index.md +++ b/wiki/sources/_index.md @@ -1,7 +1,8 @@ --- type: meta title: "Sources Index" -updated: 2026-06-01 +created: 2026-05-28 +updated: 2026-06-02 tags: - meta - index @@ -25,6 +26,10 @@ related: - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]]" - "[[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]]" - "[[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]]" + - "[[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]]" + - "[[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]]" + - "[[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]]" + - "[[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]]" --- # Sources Index @@ -39,6 +44,7 @@ All source pages: summaries of ingested documents, transcripts, articles, and da - [[Finite Element Procedures]] - finite element analysis textbook by [[Klaus-Jurgen Bathe]] - [[A-First-Course-in-the-Finite-Element-Method|A First Course in the Finite Element Method]] - introductory finite element method textbook by [[Daryl L. Logan]] +- [[Finite-Elements-in-Plasticity-Theory-and-Practice|Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice]] - finite element plasticity textbook by [[D. R. J. Owen]] and [[E. Hinton]] --- @@ -50,6 +56,9 @@ All source pages: summaries of ingested documents, transcripts, articles, and da - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-III|Abaqus Analysis User's Guide Volume III]] - Abaqus user guide for material definitions, constitutive models, damage, EOS, field properties, porous media, and user materials - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-IV|Abaqus Analysis User's Guide Volume IV]] - Abaqus user guide for element families, formulations, sections, connectors, special elements, particles, and element indexes - [[Abaqus-Analysis-User-s-Guide-Volume-V|Abaqus Analysis User's Guide Volume V]] - Abaqus user guide for prescribed conditions, constraints, contact interactions, contact properties, diagnostics, contact elements, and cavity radiation +- [[Midas-FEA-Analysis-Manual|Midas FEA Analysis Manual]] - Midas FEA manual for element libraries, material models, algorithms, linear procedures, construction stages, heat/hydration, contact, fatigue, and CFD +- [[Midas-Civil-Analysis-Reference|Midas Civil Analysis Reference]] - midas Civil manual for civil structural model definition, elements, supports, dynamics, nonlinear analysis, construction stages, hydration heat, PSC, moving loads, and bridge utilities +- [[Midas-NFX-Analysis-Manual|Midas NFX Analysis Manual]] - midas NFX manual for general-purpose structural, field, nonlinear, dynamic, contact, fatigue, optimization, and forming-limit analysis ---

    &4XkebRjKvN*puZ-JWb(TwsMB|R6UwIlz6!ipGJc@e%Ljk z*r*Mr0>EHq2Bn5-WiV~?Tk{d*`xiZ~)otQa7)kEID{=4&ei+{Tue~Yg;>(meT3O~v z=;k_B6ZkH6Ln&^i=kSXT$jM*au~MYziSzqnk#Xj8OB4`99tv5M@;kK%FRU-@hS;3b1f z-m}FdNsniAj9*`ng`VSq(bHzk^2Q$O^GLb_GEKI!c90}-->_w)NC|s#D16_hzabyM z?Jd{-UAdF(-}^>abBMzCb187OFPGrz!j_kLZIj|s1Gl9XWy{&Xb8kfBvgDenv=du+ zwqX8UWY0CJZ(RG0U(48gI&lj$_(Q*Ktict89`Op~ z912IV)|}xY$HMQqvv1S6(pY3A7SmqL6Q0K{GsH8#Jk;Wx^2n_lQ>733zj%N0^^aG7 zuF!WJ9bStaqUT(O-FG>_1d8qck1k2JoXY`1B49djF%kO6!?GR9DLk8ZAb-w`r1;d~ zcQ?-UOi{BX2^VsZ_0@OYJC!5jxOz3{D55js9_FmETp|>~h1gn63 z>t?W+<<=b;1AEWwUFgrup!hfhjV45f=^(quJAUJ+C)d+&lQO{EpBceWrry zVl)1f_Y_$UhpD^k=c%yNP&-Fyzd6_rZG=kG`>btNCQ$E%MV-VTS7qEA73O=pvraK2y_ke}=Q;BW`u< zc;p&sMx6PQ3?AQaj5&;R$CDo->xkTp{rBhLkElN<>4V1JN&+}vPO+N zj~t2FFiiau>53|N+KBAW3G0v-j;sqfN_zJAT>&rzAyrt|*@*fOyYXyLuQRd|U#}gv zg$u?Qsm3`Y+tO}9%in8xZo)L=pF6Bo6~*fu|eiaT#*#%QMK*RD3MTT*@# zGT$qMzlj#7%t=uBW+dVC^er;8fsT}G&t*ypv0aY_)S-IFbpGW6qa3RRk_U?(QH39y~0i=^Oo4E&pxlbLmR9A(J<3XshK_| 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