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This commit is contained in:
김경종
@@ -0,0 +1,404 @@
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※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Center of Element
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</details>
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: Output locations of the element stresses (at each connecting node and the center at top/bottom surfaces)
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(a) 응력출력 위치
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<summary>text_image</summary>
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σy
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τxy
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σx ←
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τxy
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τxy ←
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σx
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τxy
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σy
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τxy
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x
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y
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₂
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y
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1
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θ
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x
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2
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σ₁
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σ₂
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$\sigma _ { x }$ : Axial stress in the ECS x - direction
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$\sigma _ { x }$ : Axial stress in the ECS y - direction
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$\tau _ { x y }$ : Shear stress in the ECS x - y plane
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$$
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\sigma_ {l}: \text { Maximum principal stress } = \frac {\sigma_ {x} + \sigma_ {y}}{2} + \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x} - \sigma_ {y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
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$$
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$$
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\sigma_ {2}: \text { Minimum principal stress } = \frac {\sigma_ {x} + \sigma_ {y}}{2} - \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x} - \sigma_ {y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
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$$
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$$
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\tau_ {x y}: \text { Maximum shear stress } = \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x} - \sigma_ {y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
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$$
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:θ Angle between the x - axis and the principal axis,1
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$$
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\sigma_ {e f f}: \text { von - Mises Stress } = \sqrt {\left(\sigma_ {1} ^ {2} - \sigma_ {1} \sigma_ {2} + \sigma_ {2} ^ {2}\right)}
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$$
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(b) 응력 출력치의 부호규약
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그림 1.3.36 판요소의 응력출력위치 및 출력치의 부호규약
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<table><tr><td colspan="11">PLATE ELEMENT FORCES (LOCAL) DEFAULT PRINTOUT Unit System : lbf , in</td></tr><tr><td>ELEM</td><td>MAT</td><td>SEC</td><td>LC</td><td>NODE</td><td>Fx</td><td>Fy</td><td>Fz</td><td>Mx</td><td>My</td><td>Mz</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>LCOMB1</td><td>1</td><td>6.66</td><td>-0.13</td><td>1.66</td><td>-0.0</td><td>-1.1</td><td>-0.0</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>10</td><td>-7.51</td><td>0.12</td><td>0.25</td><td>-0.0</td><td>0.6</td><td>-0.0</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>11</td><td>0.61</td><td>0.57</td><td>0.21</td><td>0.8</td><td>0.5</td><td>-0.0</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>0.25</td><td>-0.56</td><td>-0.33</td><td>0.8</td><td>-0.8</td><td>-0.0</td></tr><tr><td colspan="11">PLATE ELEMENT FORCES (LOCAL, UNIT LENGTH) PRINTOUT Unit System : lbf , in</td></tr><tr><td>ELEM</td><td>MAT</td><td>SEC</td><td>LC</td><td>NODE</td><td>Fxx</td><td>Fyy</td><td>Fxy</td><td>Fmax</td><td>Fmin</td><td>ANGLE</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>LCOMB1</td><td>Cent</td><td>-4.4</td><td>0.0</td><td>0.4</td><td>0.0</td><td>-4.5</td><td>84.41</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td>-18.3</td><td>-0.7</td><td>0.5</td><td>-0.6</td><td>-18.3</td><td>88.44</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>10</td><td>-18.3</td><td>0.7</td><td>0.4</td><td>0.7</td><td>-18.3</td><td>88.80</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>11</td><td>9.5</td><td>0.7</td><td>0.5</td><td>9.5</td><td>0.7</td><td>3.11</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>9.5</td><td>-0.7</td><td>0.4</td><td>9.5</td><td>-0.7</td><td>2.24</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>NODE</td><td>Mxx</td><td>Myy</td><td>Mxy</td><td>Mmax</td><td>Mmin</td><td>ANGLE</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>Cent</td><td>-1.0</td><td>0.4</td><td>0.2</td><td>0.5</td><td>-1.0</td><td>80.73</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td>-1.7</td><td>-0.0</td><td>0.2</td><td>-0.0</td><td>-1.7</td><td>84.30</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>10</td><td>-0.8</td><td>0.0</td><td>0.3</td><td>0.1</td><td>-0.9</td><td>70.89</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>11</td><td>-0.6</td><td>0.8</td><td>0.3</td><td>0.9</td><td>-0.6</td><td>79.31</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>-0.8</td><td>0.9</td><td>0.1</td><td>0.9</td><td>-0.8</td><td>85.99</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>NODE</td><td>Vxx</td><td>Vyy</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>Cent</td><td>-0.3</td><td>-0.5</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td>-0.5</td><td>-0.4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>10</td><td>-0.5</td><td>-0.5</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>11</td><td>-0.1</td><td>-0.5</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>-0.1</td><td>-0.4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
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<table><tr><td colspan="11">PLATE ELEMENT STRESSES(LOCAL) DEFAULT PRINTOUT Unit System : lbf , in</td></tr><tr><td>ELEM</td><td>SEC</td><td>LC</td><td>NODE</td><td>Sig-xx</td><td>Sig-yy</td><td>Sig-xy</td><td>Sig-MAX</td><td>Sig-MIN</td><td>ANGLE</td><td>Sig-EFF</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>LCOMB1</td><td>Cent T</td><td>3.5e+003</td><td>-1.5e+003</td><td>-847.4250</td><td>3.6e+003</td><td>-1.7e+003</td><td>-9.35</td><td>4.7e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>B</td><td>-3.7e+003</td><td>1.5e+003</td><td>869.3237</td><td>1.7e+003</td><td>-3.8e+003</td><td>80.81</td><td>4.9e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1 T</td><td>5.8e+003</td><td>52.3091</td><td>-613.6626</td><td>5.9e+003</td><td>-12.2579</td><td>-6.01</td><td>5.9e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>B</td><td>-6.7e+003</td><td>-85.1531</td><td>637.6313</td><td>-24.5580</td><td>-6.8e+003</td><td>84.57</td><td>6.8e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>10 T</td><td>2.5e+003</td><td>-43.3576</td><td>-1.2e+003</td><td>3.0e+003</td><td>-511.7862</td><td>-21.37</td><td>3.3e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>B</td><td>-3.5e+003</td><td>77.5279</td><td>1.2e+003</td><td>455.6133</td><td>-3.8e+003</td><td>72.74</td><td>4.1e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>11 T</td><td>2.4e+003</td><td>-3.0e+003</td><td>-990.5796</td><td>2.5e+003</td><td>-3.2e+003</td><td>-10.17</td><td>4.9e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>B</td><td>-1.9e+003</td><td>3.0e+003</td><td>1.0e+003</td><td>3.2e+003</td><td>-2.1e+003</td><td>78.76</td><td>4.6e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>2 T</td><td>3.1e+003</td><td>-3.2e+003</td><td>-418.5579</td><td>3.1e+003</td><td>-3.3e+003</td><td>-3.76</td><td>5.5e+003</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>B</td><td>-2.6e+003</td><td>3.2e+003</td><td>438.4212</td><td>3.2e+003</td><td>-2.7e+003</td><td>85.72</td><td>5.1e+003</td></tr></table>
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그림 1.3.37 판요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
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# 3-10 입체요소 (Solid Element)
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# 3-10-1 일반사항
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이 요소는 임의 3차원 공간상에 위치한 4개, 6개 또는 8개의 절점으로 정의되는 3차원 입체요소(3D Solid Element)로서, Solid Structure 또는 Thick Shell 등의 모델링에 주로 사용됩니다.
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이 요소는 삼각뿔(Tetrahedron) 또는 삼각기둥(Wedge), 육면체(Hexahedron) 등의 입체 형상을 가질 수 있고, 절점당 3방향의 이동변위 자유도를 가집니다.
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midas Civil에서 이 요소는 비적합모드를 가진 등매개 정식화이론(Isoparametric Formulation with Incompatible Modes)을 사용하여 정식화 되었습니다.
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# 3-10-2 요소자유도, 요소좌표계, 요소의 종류
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midas Civil에서 3차원 입체요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을 계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.
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# 요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Y, Z 방향의 이동변위자유도를 가집니다.
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요소좌표계는 오른손 법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 원점은 요소의 중심이고, 좌표축의 방향은 면번호 1번의 형상과 동일한 판요소의 요소좌표축 방향과 같습니다.
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요소의 종류는 그림 1.3.38에서와 같이 요소 형상에 따라 8절점요소, 6절점요소 그리고 4절점요소 세 가지가 있으며, 각 요소 종류별로 절점번호의 부여 순서는 N1부터 마지막 번호까지 해당 위치의 절점번호를 순차적으로 입력합니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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N8
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Plane no. 2
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N5
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Plane no. 6
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N7
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N4
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Plane no. 5
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N6
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Plane no. 4
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N3
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N1
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Plane no. 3
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N2
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Plane no. 1
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</details>
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(a) 8절점요소 (Hexahedron)
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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N6
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N4
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Plane no. 2
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(triangular plane defined
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by nodes N4, N5 and N6)
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N5
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Plane no. 4
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Plane no. 5
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Plane no. 3
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N3
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N1
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N2
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Plane no. 1
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(triangular plane defined by nodes N1, N2 and N3)
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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(b) 6절점요소 (Wedge)
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N4
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Plane no. 4
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N3
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N1
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Plane no. 2
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Plane no. 3
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N2
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Plane no. 1
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</details>
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(c) 4절점요소 (Tetrahedron)
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그림 1.3.38 3차원 입체요소의 형상별요소 종류 및 절점번호 부여 순서
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3-10-3 요소관련 명령어
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<table><tr><td>Create Elements</td><td>요소 입력</td></tr><tr><td>Material</td><td>재료적 성질 입력</td></tr><tr><td>Pressure Loads</td><td>요소의 면에 수직방향으로 압력하중 입력</td></tr></table>
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요소하중은 압력형태로 그림 1.3.39와 같이 요소의 각 면에 입력됩니다
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※ 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Pressure loads acting on the plane no. 2
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Pressure loads acting on the plane no. 6
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Pressure loads acting on the plane no. 5
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Pressure loads acting on the plane no. 4
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Pressure loads acting on the plane no. 3
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Pressure loads acting on the plane no. 1
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</details>
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그림 1.3.39 3차원 입체요소의 면에 작용하는 압력하중
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# 3-10-4 적분점
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# 4절점 사면체 요소
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이 요소는 1 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표는 (1/4, 1/4, 1/4) 입니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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N1 = 1 - ξ - η - ζ
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N2 = ξ
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N3 = η
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N4 = ζ
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P
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N1
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N2
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ξ
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z
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y
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x
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P = (1/4, 1/4, 1/4)
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</details>
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그림 1.3.40 4절점 4면체 Solid요소의 적분점
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적분점 좌표 P 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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$$
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x _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i} = \left(1 - \frac {1}{4} - \frac {1}{4} - \frac {1}{4}\right) x _ {1} + \frac {1}{4} x _ {2} + \frac {1}{4} x _ {3} + \frac {1}{4} x _ {4} = \frac {1}{4} \left(x _ {1} + x _ {2} + x _ {3} + x _ {4}\right)
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$$
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||||
$$
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||||
y _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} y _ {i} = \frac {1}{4} \left(y _ {1} + y _ {2} + y _ {3} + y _ {4}\right)
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$$
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<!-- source-page: 77 -->
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# 6절점 5면체 요소
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이 요소는 6 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 $P_{i}$ 는 다음 그림과 같습니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ζ
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N4
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ζ = 1/√3
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N5
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P4
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x
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P5 x
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P6
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x
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N6
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z
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x
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y
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P1 x
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P2 x
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N1
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P3
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x
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N2
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ζ = -1/√3
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</details>
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$$
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P _ {1} = \left(\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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$$
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||||
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$$
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||||
P _ {2} = \left(\frac {2}{3}, \frac {1}{6}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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$$
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||||
$$
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||||
P _ {3} = \left(\frac {1}{6}, \frac {2}{3}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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||||
$$
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||||
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||||
$$
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||||
P _ {4} = \left(\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
P _ {5} = \left(\frac {2}{3}, \frac {1}{6}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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||||
$$
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||||
|
||||
$$
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||||
P _ {6} = \left(\frac {1}{6}, \frac {2}{3}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
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||||
$$
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||||
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||||
그림 1.3.41 6절점 5면체 Solid요소의 적분점
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이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
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$$
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\lambda = 1 - \xi - \eta
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$$
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$$
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N _ {1} = \frac {\lambda}{2} (1 - \zeta) \quad N _ {2} = \frac {\xi}{2} (1 - \zeta) \quad N _ {3} = \frac {\eta}{2} (1 - \zeta)
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$$
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||||
|
||||
$$
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||||
N _ {4} = \frac {\lambda}{2} (1 + \zeta) \quad N _ {5} = \frac {\xi}{2} (1 + \zeta) \quad N _ {6} = \frac {\eta}{2} (1 + \zeta)
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$$
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||||
적분점 좌표 $P_{1}$ 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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$$
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x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{3 6} \left[ (1 2 + 4 \sqrt {3}) x _ {1} + (3 + \sqrt {3}) x _ {2} + (3 + \sqrt {3}) x _ {3} \right.
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$$
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$$
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||||
\left. + (1 2 - 4 \sqrt {3}) x _ {4} + (3 - \sqrt {3}) x _ {5} + (3 - \sqrt {3}) x _ {6} \right]
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$$
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||||
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<!-- source-page: 78 -->
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같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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$$
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x _ {p} = \frac {1}{3 6} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 1 2 - 4 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} \\ & 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 1 2 - 4 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} \\ & & 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 1 2 - 4 \sqrt {3} \\ & & & 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & & 1 2 + 4 \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \\ x _ {5} \\ x _ {6} \end{array} \right\}
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$$
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# 8절점 6면체 요소
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이 요소는 8 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 $P_{i}$ 는 그림과 같습니다.
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<details>
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||||
<summary>text_image</summary>
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||||
3D geometric diagram with labeled points and coordinate axes, including mathematical expressions for P and ζ.
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</details>
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그림 1.3.42 8절점 6면체 Solid요소의 적분점
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<!-- source-page: 79 -->
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이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
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$$
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\begin{array}{l} N _ {1} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) \quad N _ {2} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) \\ N _ {3} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) \quad N _ {4} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) \\ N _ {5} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) \quad N _ {6} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) \\ N _ {7} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) \quad N _ {8} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) \\ \end{array}
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적분점 좌표 $P_{1}$ 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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\begin{array}{l} x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{3 6} \left[ (9 + 5 \sqrt {3}) x _ {1} + (3 + \sqrt {3}) x _ {2} + (3 - \sqrt {3}) x _ {3} + (3 + \sqrt {3}) x _ {4} \right. \\ \left. + \left(3 + \sqrt {3}\right) x _ {5} + \left(3 - \sqrt {3}\right) x _ {6} + \left(9 - 5 \sqrt {3}\right) x _ {7} + \left(3 - \sqrt {3}\right) x _ {8} \right] \\ \end{array}
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같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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x _ {p} = \frac {1}{3 6} \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 9 - 5 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} \\ & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 9 - 5 \sqrt {3} \\ & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 9 - 5 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} \\ & & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 9 - 5 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & & & & 9 + 5 \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \\ x _ {5} \\ x _ {6} \\ x _ {7} \\ x _ {8} \end{array} \right\}
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# 3-10-5 응력계산법(Extrapolation)
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4절점 4면체 요소의 경우 1 point gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ξ = -\frac{1}{\sqrt{3}}
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u
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P1
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P2
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P3
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s
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t
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η
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그림 1.3.43 6절점 5면체요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법
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6절점 5면체 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음 식과 같은 관계를 갖습니다.
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\lambda = 2 \left(1 - \xi - \eta - \frac {1}{6}\right), s = 2 \left(\xi - \frac {1}{6}\right), t = 2 \left(\eta - \frac {1}{6}\right), u = \zeta \sqrt {3}
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요소 내부의 특정 위치에서의 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
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\sigma_ {N} = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} \sigma_ {i}
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예를 들어 절점 1에서 응력을 계산하면 다음과 같습니다.
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\sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{6} \left[ 5 (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} - (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} - (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {3} \right.
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\left. + 5 (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {4} - (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {5} - (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {6} \right]
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