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.raw/MidasCivilAnalysisReference/MidasCivilAnalysisReference_014.md

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+On-line Manual의 "Boundary탭>Spring Supports그룹>General Spring Supports" 참조
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+# 6-4 범용경계요소(General Spring Supports)
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+탄성경계요소는 모델의 경계부분에 위치한 인접구조 또는 지반 등의 강성을 고려할 때나 자유도가 부족한 요소(트러스, 평면응력, 판요소 등)가 상호 접합될 경우 접합절점에서 발생할 수 있는 특이성 오류(Singular Error)를 방지하기위해 주로 사용됩니다.
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+탄성경계요소는 임의 절점당 전체좌표계 기준의 6개 자유도(선방향 3개성분, 회전방향 3개성분)에 대해 모두 입력이 가능하며 선방향 탄성성분은 단위길이당 힘의 단위로 입력되고 회전방향 탄성성분은 단위각도(Radian)당 모멘트단위로 입력됩니다.
+
+선방향 탄성경계요소는 해석대상 구조물 하부의 기둥이나 Pile 또는 지반강성을 반영하는데 유용하게 사용됩니다. 지반을 모델링할 때는 지반반력계수(Modulus of Subgrade Reaction)에 해당절점의 유효면적(Tributary Area)을 곱한 값이 사용됩니다. 이때 토질의 특성이 압축에는 유효한 반면, 인장력에 대해서는 저항할 수 없기 때문에 주의해야 합니다.
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+탄성경계요소는 질량 및 감쇠의 설정이 가능합니다. 질량은 고유치해석, 응답스펙트럼해석, 시간이력해석에 적용됩니다. 감쇠는 응답스펙트럼해석과 시간이력해석에 적용됩니다.
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+탄성경계요소에 입력되는 감쇠는 해석의 종류에 따라 다음과 같이 고려됩니다.
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+1. 정적해석 및 고유치해석에서는 감쇠는 무시됩니다.  
+2. 응답스펙트럼해석에서는 구조물의 감쇠설정을 Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영됩니다.  
+3. 모드중첩법에 기초한 시간이력해석을 수행하는 경우에는 구조물의 감쇠설정을 Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영됩니다.  
+4. 직접적분법에 의한 시간이력해석을 수행하는 경우에는 구조물의 감쇠설정을 Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass & Stiffness
+
+<!-- source-page: 132 -->
+
+Proportional로 설정한 경우, 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 반영됩니다. 만약탄성경계요소에 요소강성 또는 요소질량에 비례하는 감쇠가 지정된 경우에는다음과 같이 탄성경계요소의 속성에서 지정된 감쇠와 합하여 해석을 수행합니다.
+
+$$
+M \ddot {u} + C \dot {u} + C _ {e f f} \dot {u} + K _ {S} u = p
+$$
+
+여기서 M : 질량행렬
+
+C : 감쇠행렬
+
+$C _ { e f f }$ Cef : 탄성경계요소의 감쇠
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+$K _ { s }$ : 탄성 요소의 강성행렬
+
+$u , \dot { u } , \ddot { u }$ : 절점에 대한 변위, 속도 및 가속도 응답
+
+p : 절점에 대한 동적하중
+
+또한, Strain Energy Proportional을 선택한 경우는 탄성경계요소의 감쇠를반영한 모드감쇠비를 이용하여, 전체 구조물의 감쇠행렬을 구성합니다.
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+이상에서 설명한 탄성경계요소의 감쇠적용규칙을 정리하면 다음과 같습니다.
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+ Response Spectrum
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+: Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 반영
+
+ Modal Analysis에 의한 시간이력해석
+
+: Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 반영
+
+ 직접적분법에 의한 시간이력해석
+
+: Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass & Stiffness Proportional로설정한 경우, 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 반영, Strain Energy Proportional인 경우는 모드감쇠비를 통해 해석에 반영
+
+<!-- source-page: 133 -->
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+# 6-5 Distributed Spring(Winkler Spring)
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+지반과 구조물의 상호작용을 고려하는 가장 쉬운 방법은 지반의 강성을 여러 개의 절점스프링으로 치환하여 해석하는 것입니다. 특히 탄성 지반 위의 기초를 모델링하는데 가장 널리 사용되는 스프링은 원클러(Winkler)모델입니다.
+
+midas Civil에서는 Boundary 탑>Spring Supports그룹>Surface Spring Supports 기능에서 분포스프링을 선택하면 원클러 스프링모델을 사용할 수 있습니다.
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+이 모델의 기본 가정은 기초가 강성이 있는 구조물과 탄성지반으로 구성되어 있고, 지반이 개별 스프링들로 표현되므로 요소들간에 상호작용 없이 독립적으로 작용한다는 것입니다.
+
+이와 같은 원클러 스프링 경계조건은 보나 판 혹은 솔리드의 면에 동일한 방식으로 부여할 수 있습니다. 보의 경우에는 유효폭을 가진 길이에, 판이나 솔리드의 경우에는 면에 분포하고 있다는 가정으로 강성을 계산합니다.
+
+여기서는 보를 기준으로 원클러 스프링의 정식화 과정을 소개합니다.
+
+가상일의 원리(Principle of Virtual Work)에 따라 내적 가상 변형율 에너지(Internal Virtual Strain Energy)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
+
+$$
+\delta U = \int [ \delta \varepsilon ] ^ {T} [ \sigma ] d V = \int [ \delta v ] k _ {v} [ v ] d V
+$$
+
+여기서 $\delta U$ : 내적 가상변형율 에너지 (Internal Virtual Strain Energy)
+
+$\delta\varepsilon$ : 가상 변형율(Virtual Strain)
+
+σ : 응력
+
+V : 부피
+
+δv : 가상 변위(Virtual Displacement)
+
+$k_{v}$ : 연직지반반력계수(Modulus of Vertical Subgrade Reaction)
+
+<!-- source-page: 134 -->
+
+![](images/page-134_b188ff5277de47f404aa5dd0b5902c84bc830d470f0b5293a384fa166a69a767.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+L
+x
+θ₁
+q₁
+y
+kᵥ·v
+θ₂
+q₂
+</details>
+
+그림 1.6.4 Beam on elastic foundation element
+
+내적 가상일과 외적 가상일(External Virtual Work)이 동일하므로 다음과 같은 수식 전개를 할 수 있습니다.
+
+$$
+\int [ \delta q ] ^ {T} [ f ] ^ {T} k _ {v} [ f ] [ q ] d V = [ \delta q ] ^ {T} \cdot [ P ]
+$$
+
+$$
+k _ {v} \int [ f ] ^ {T} [ f ] d V \cdot [ q ] = [ P ]
+$$
+
+$$
+[ K _ {r} ] \cdot [ q ] = [ P ]
+$$
+
+$$
+[ K _ {r} ] = k _ {v} \int [ f ] ^ {T} [ f ] d V
+$$
+
+여기서, P : 보요소에 가해지는 외부 하중
+
+f : 변형 형상 함수
+
+q : 절점 변위
+
+$K_{r}$ : 탄성지반위의 보요소를 위한 지반강성행렬
+
+요소의 길이가 L 인 탄성지반위의 보에 대한 원클러 스프링 강성은 다음과 같고, 이 스프링강성과 요소강성이 더해져서 최종 요소강성 행렬을 구성합니다.
+
+$$
+\left[ K _ {r} \right] = \frac {k _ {v} L}{4 2 0} \left[ \begin{array}{c c c c} 1 5 6 & 2 2 L & 5 4 & - 1 3 L \\ 2 2 L & 4 L ^ {2} & 1 3 L & - 3 L ^ {2} \\ 5 4 & 1 3 L & 1 5 6 & - 2 2 L \\ - 1 3 L & - 3 L ^ {2} & - 2 2 L & 4 L ^ {2} \end{array} \right]
+$$
+
+<!-- source-page: 135 -->
+
+보요소의 내부변위에 따라 스프링의 힘이 작용하기 때문에 보부재력을 보정할 필요가 있습니다. 이 힘을 구하기 위한 보요소의 임의의 위치 x 에서의 내부변위는 절점변위 q 와 θ를 기준으로 다음과 같이 계산합니다.
+
+$$
+v = y (x) = \frac {1}{L ^ {3}} \left[ \begin{array}{l} \left(2 x ^ {3} - 3 L x ^ {2} + L ^ {3}\right) q _ {1} + \left(- L x ^ {3} + 2 L ^ {2} x ^ {2} - L ^ {3} x\right) \theta_ {1} \\ + \left(- 2 x ^ {3} + 3 L x ^ {2}\right) q _ {2} + \left(- L x ^ {3} + L ^ {2} x ^ {2}\right) \theta_ {2} \end{array} \right]
+$$
+
+원클러 스프링에 의한 전단력과 모멘트는 보요소의 내부변위와 지반력계수를 이용하여 다음식과 같이 구합니다. 보의 부재력에 이와 같은 원클러 스프링의 내력을 더하여 최종 보 부재력이 구해집니다.
+
+$$
+\begin{array}{l} V (x ^ {\prime}) = k _ {v} \int_ {0} ^ {x ^ {\prime}} y (x) d x \\ = \frac {k _ {v}}{L ^ {3}} \left[ \begin{array}{l} \left(\frac {1}{2} x ^ {4} - L x ^ {3} + L ^ {3} x\right) q _ {1} + \left(- \frac {L}{4} x ^ {4} + \frac {2 L ^ {2}}{3} x ^ {3} - \frac {L ^ {3}}{2} x ^ {2}\right) \theta_ {1} \\ + \left(- \frac {1}{2} x ^ {4} + L x ^ {3}\right) q _ {2} + \left(- \frac {L}{4} x ^ {4} + \frac {L ^ {2}}{3} x ^ {3}\right) \theta_ {2} \end{array} \right] \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} M (x ^ {\prime}) = k _ {v} \int_ {0} ^ {x ^ {\prime}} y (x) (x ^ {\prime} - x) d x = k _ {v} x ^ {\prime} \int_ {0} ^ {x ^ {\prime}} y (x) d x - k _ {v} \int_ {0} ^ {x ^ {\prime}} y (x) \cdot x d x \\ = \frac {k _ {v}}{L ^ {3}} \left[ \begin{array}{l} \left(\frac {1}{2} x ^ {5} - L x ^ {4} + L ^ {3} x ^ {2}\right) q _ {1} + \left(- \frac {L}{4} x ^ {5} + \frac {2 L ^ {2}}{3} x ^ {4} - \frac {L ^ {3}}{2} x ^ {3}\right) \theta_ {1} \\ + \left(- \frac {1}{2} x ^ {5} + L x ^ {4}\right) q _ {2} + \left(- \frac {L}{4} x ^ {5} + \frac {L ^ {2}}{3} x ^ {4}\right) \theta_ {2} \end{array} \right] \\ - \frac {k _ {v}}{L ^ {3}} \left[ \begin{array}{l} \left(\frac {2}{5} x ^ {5} - \frac {3 L}{4} x ^ {4} + \frac {L ^ {3}}{2} x ^ {2}\right) q _ {1} + \left(- \frac {L}{5} x ^ {5} + \frac {2 L ^ {2}}{4} x ^ {4} - \frac {L ^ {3}}{3} x ^ {3}\right) \theta_ {1} \\ + \left(- \frac {2}{5} x ^ {5} + \frac {3 L}{4} x ^ {4}\right) q _ {2} + \left(- \frac {L}{5} x ^ {5} + \frac {L ^ {2}}{4} x ^ {4}\right) \theta_ {2} \end{array} \right] \\ \end{array}
+$$
+
+<!-- source-page: 136 -->
+
+# 6-6 탄성연결요소
+
+탄성연결요소는 두개의 절점을 사용자가 입력한 강성으로 연결하여 요소처럼 거동할 수 있도록 하는 기능입니다. 두개의 절점은 트러스나 보요소를 사용하여 연결할 수도 있지만, 사용자가 원하는 크기와 방향의 강성을 만들기에는 적절하지 못합니다.
+
+탄성연결요소의 입력은 각각 3방향의 이동 및 회전 강성으로 구성되어 있으며 방향은 요소좌표계를 따릅니다.
+
+탄성연결요소의 강성 크기는, 선방향은 단위길이당 힘으로 회전방향은 단위각도 (Radian)당 모멘트로 입력되고 요소좌표계의 방향은 그림 1.6.5과 같습니다.
+
+탄성연결요소에는 인정전담이나 압축전담특성을 부여할 수 있는데 이러한 경우에는 요소좌표계 x방향으로만 강성을 입력할 수 있습니다.
+
+탄성연결요소의 사용 예로는 교량구조물의 상부와 하부교각부를 연결해주는 탄성받침 등이 있고, 탄성연결요소에 압축전담특성을 부여하여 지반 경계조건으로 사용할 수 있습니다. 또한 강체 연결기능을 선택하면 Rigid Link와 같이 두 절점을 강체 연결할 수도 있습니다.
+
+![](images/page-136_63ab3629a0640a714b5dfa9f0b4e377cf4a7c82657f6690b6cf62a5f9323bebc.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+z
+Ref.
+x
+y
+N1
+N2
+</details>
+
+그림 1.6.5 2절점을 연결하는 탄성연결요소의 요소좌표계
+
+<!-- source-page: 137 -->
+
+# 6-7 범용연결요소 (General Link)
+
+![](images/page-137_02b73c9d9eef2214adfc26a2bfea4b6adc3824f2b6518ccfd4939bcf8a8fe869.jpg)
+
+<details>
+<summary>text_image</summary>
+
+L
+Lyi = cyiL    Lzi = cziL
+Lyj = cyjL    Lzj = czjL
+단, cyi + cyj = czi + czj = 1.0
+jointi
+kx
+Lyj
+ky
+Lzi
+Lzj
+kz
+jointj
+kθx
+kθy
+kθz
+local coordinate axis
+y
+x
+z
+</details>
+
+그림 1.6.6 범용연결요소의 구성
+
+범용연결요소는 제진장치, 면진장치, 압축 또는 인장 전담요소, 소성힌지, 지반스프링 등을 모델링하는데 사용되는 요소입니다. 범용연결요소는 그림 1.6.6과 같이 2개의 절점을 연결하는 6개의 스프링으로 구성됩니다. 요소좌표계는 트러스 요소와 동일한 체계를 따르며, General Link에서 다양한 요소축 설정이 가능합니다.
+
+범용연결요소의 요소자유도는 요소좌표계 또는 전체좌표계에 관계없이 절점당 각각 세가지의 이동변위(Translation) 성분과 회전변위(Rotation) 성분을 가지게 되며, 6개의 변위 성분은 1개의 재축방향 변형, 2개의 전단 변형, 1개의 비틀림 변형 및 2개의 힜 변형 성분으로 구분됩니다. 6개의 변위 성분은 각각 독립된 6개의 스프링으로 표현되며, 이 가운데 일부의 스프링만을 선택하여 속성을 부여할 수 있습니다.
+
+<!-- source-page: 138 -->
+
+범용연결요소의 속성은 General Link Properties에서 정의되며, 해석에 적용하는 방식에 따라서 크게 Element Type과 Force Type으로 구분됩니다.
+
+Element Type 범용연결요소에는 Spring, Linear Dashpot 및 Spring and LinearDashpot의 세가지 Property Type이 제공됩니다. Spring은 6개 성분 별로 선형탄성인 Stiffness만을 가지며 Linear Dashpot은 6개 성분 별로 선형점성인 Damping만을갖습니다. Spring and Linear Dashpot은 Spring과 Linear Dashpot이 병렬로 연결된형태입니다.
+
+Element Type 범용연결요소는 기본적으로 Linear Properties만을 갖는 선형요소로해석됩니다. Spring은 직접적분법에 의한 비선형시간이력해석 시에 Inelastic HingeProperties를 부여하여 비선형 요소로 사용가능하며, 비선형 해석과정에서 요소 강성행렬을 갱신함으로써 요소의 비선형 거동을 직접적으로 반영합니다. 이는 주로구조물에 부분적으로 발생하는 소성힌지나 지반의 비선형성을 모델링하기 위해 사용됩니다.
+
+Force Type 범용연결요소는 제진장치로 이용되는 Visco-elastic Damper, HystereticSystem, 면진장치로 이용되는 Lead Rubber Bearing Isolator, Friction PendulumSystem Isolator, 압축전담요소인 Gap 및 인장전담요소인 Hook 등의 Property Type이 제공되며, 비선형 시간이력해석인 경계비선형해석에 사용됩니다. Force Type 범용연결요소의 각각의 성분은 Linear Properties로서 Effective Stiffness 및 EffectiveDamping을 가지며, 사용자가 선택한 성분에 대해서 Nonlinear Properties를 입력할수 있습니다.
+
+Force Type 범용연결요소는 정적해석, 응답스펙트럼해석에서는 Effective Stiffness를갖는 선형요소로서 해석되며 Effective Damping는 무시됩니다. 선형시간이력해석에서는 Effective Stiffness에 기초한 선형요소로서 해석됩니다. 비선형시간이력해석에서는 Effective Stiffness가 가상의 선형강성 역할을 하며, 요소 강성행렬을 갱신하지않고, 비선형 속성에 따라 계산된 부재력을 외부 하중으로 치환해 줌으로써 간접적으로 비선형성을 고려합니다.
+
+범용연결요소의 Linear Properties로서 입력되는 Damping(Element Type) 또는Effective Damping(Force Type)은 해석의 종류에 따라 다음과 같이 고려됩니다.
+
+<!-- source-page: 139 -->
+
+1. 정적해석에서는 Damping 또는 Effective Damping은 무시됩니다.  
+2. 응답스펙트럼해석에서는 구조물의 감쇠설정을 Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영되며, 요소절점력 계산시Damping 또는 Effective Damping은 무시됩니다.  
+3. 모드중첩법에 기초한 선형 및 비선형 해석을 수행하는 경우에는 구조물의감쇠설정을 Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영되며, 요소절점력 계산시에도 Damping 또는 EffectiveDamping을 반영합니다.  
+4. 직접적분법에 의한 선형 및 비선형 해석을 수행하는 경우에는 구조물의 감쇠설정을 Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass &Stiffness Proportional로 설정한 경우, 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 반영됩니다. 만약 범용연결요소에 요소강성 또는 요소질량에 비례하는 감쇠가 지정된 경우에는 다음과 같이 범용연결요소의 속성에서 지정된 감쇠 또는 유효감쇠와 합하여 해석을 수행합니다.
+
+$$
+M \ddot {u} + C \dot {u} + C _ {e f f} \dot {u} + K _ {s} u = p
+$$
+
+여기서 M : 질량행렬
+
+C : 감쇠행렬
+
+$C _ { e f f }$ Cef : Damping 또는 Effective Damping
+
+$K _ { s }$ : 탄성 요소의 강성행렬
+
+u u u , ,  : 절점에 대한 변위, 속도 및 가속도 응답
+
+p : 절점에 대한 동적하중
+
+또한, Strain Energy Proportional을 선택한 경우는 범용연결요소의 Damping또는 Effective Damping를 반영한 모드감쇠비를 이용하여, 전체 구조물의감쇠행렬을 구성합니다. 단, 요소절점력 계산시는 Damping 또는 EffectiveDamping을 반영하지 않습니다.
+
+<!-- source-page: 140 -->
+
+이상에서 설명한 범용연결요소의 적용규칙을 정리하면 표1.6.2과 같습니다.
+
+<table><tr><td colspan="2">Application Type</td><td colspan="4">Element Type General Link</td><td colspan="2">Force Type General Link</td></tr><tr><td colspan="2">Property Type</td><td>Spring</td><td>Linear Dashpot</td><td>Spring and Linear Dashpot</td><td>Spring and Damping</td><td>Effective Stiffness</td><td>Effective Damping</td></tr><tr><td colspan="2">Linear Properties</td><td>Stiffness</td><td>Damping</td><td>Stiffness</td><td>Damping</td><td>Stiffness</td><td>Damping</td></tr><tr><td colspan="2">Static Analysis</td><td>탄성</td><td>-</td><td>탄성</td><td>-</td><td>탄성</td><td>-</td></tr><tr><td colspan="2">Response Spectrum</td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td></tr><tr><td rowspan="2">Linear Time History</td><td>Modal Analysis</td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td></tr><tr><td>Direct Integration</td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{2)}$ </td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{2)}$ </td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{2)}$ </td></tr><tr><td rowspan="2">Nonlinear Time History</td><td>Modal Analysis</td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td><td>탄성(가상)</td><td> $\text{선형}^{1)}$ </td></tr><tr><td>Direct Integration</td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{2)}$ </td><td>탄성</td><td> $\text{선형}^{2)}$ </td><td>탄성(가상)</td><td> $\text{선형}^{2)}$ </td></tr></table>
+
+1) Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영  
+2) Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass & Stiffness Proportional로 설정한 경우, 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 반영, Strain Energy Proportional인 경우는 모드감쇠비를 통해 해석에 반영
+
+# 표 1.6.2 범용연결요소의 적용규칙
+
+범용연결요소의 Linear Properties로서 입력되는 Damping(Element Type) 또는Effective Damping(Force Type)은 다음과 같이 강성비례형으로 계산하는 것이 일반적입니다.