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김경종
2026-06-02 11:38:52 +09:00
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.raw/MidasCivilAnalysisReference/MidasCivilAnalysisReference_046.md
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@@ -0,0 +1,345 @@
<!-- source-page: 451 -->
콘크리트의 크리프는 다음과 같은 요인에 의하여 변화합니다.
1. 물-시멘트비의 증가는 크리프의 증대를 가져옵니다.
2. 응력을 받을 때 콘크리트 재령이 클수록 크리프는 감소합니다.
3. 콘크리트 주위의 온도가 높을수록, 또 습도는 낮을수록 크리프 변형은 커집니다.
4. 이 밖에 시멘트의 종류, 골재의 품질, 공시체의 치수 등에도 영향을 받습니다.
크리프 현상은 대부분의 재료가 가지고 있는 성질이지만, 특히 콘크리트는 다른재료에 비하여 그 값이 커서 프리스트레스의 시간적 감소 원인의 하나가 되기 때문에 설계에서 무시할 수 없습니다. 보통의 콘크리트 구조물에서는 주로 자중에의하여 크리프 현상이 일어나지만 PSC 구조물에서는 프리스트레스에 의하여 추가로 크리프 현상이 일어납니다.
콘크리트 시편에 일정한 축방향 응력  =1을 콘크리트 재령 $t _ { \mathbf { \rho } _ { 0 } }$ 일에 재하하였을때, 재령 t 일에서 발생하는 1축 변형율을 ${ \cal J } ( t , t _ { 0 } )$ 라고 가정합니다.
$$
\varepsilon (t) = \varepsilon_ {i} (t _ {0}) + \varepsilon_ {c} (t, t _ {0}) = \sigma \cdot J (t, t _ {0}) \tag {1}
$$
여기서, ${ \cal J } ( t , t _ { 0 } )$ 는 단위 응력이 작용할 때의 총 변형율을 의미하며 크리프함수(Creep Function)라고 정의합니다.
![](images/page-451_eb6e770168920d4192a4b429170f3285c7fe20d36689a7ed236c17855d341bdc.jpg)
<details>
<summary>bar</summary>
| Time | σ (unit) |
|---|---|
| t0 | 1 |
| t | 1 |
</details>
![](images/page-451_c22fe356fac49e25b5c97359ddb13ac590a35a79b5ff156109c5fcfbd4b0000f.jpg)
<details>
<summary>line</summary>
| Time | τ(t) |
|------|----------|
| ω | 0 |
| t | 1/(E(t₀))|
</details>
그림 2.10.2 크리프 함수 및 특성 크리프의 정의
<!-- source-page: 452 -->
그림 2.10.2에서 보듯이 크리프 함수 ${ \cal J } ( t , t _ { 0 } )$ 를 재하시의 초기탄성변형과 크리프변형의 합으로 나타내면 식 (2)와 같습니다.
$$
J (t, t _ {0}) = \frac {1}{E (t _ {0})} + C (t, t _ {0}) \tag {2}
$$
여기서, ( ) E t 는 하중 재하시의 탄성계수를 나타내며 ( ) C t, t 는 재령 t에서의 크리프 변형을 나타내는데 이를 특성 크리프(Specific Creep)라고 합니다. 또한 크리프함수 J ( , ) t t 를 탄성변형과의 비율로 나타내어 식 (3)과 같이 표현할 수 있습니다.
$$
J (t, t _ {0}) = \frac {1 + \phi (t , t _ {0})}{E (t _ {0})} \tag {3}
$$
여기서, 0( , ) t t 는 크리프 계수(Creep Coefficient)로서 탄성변형과 크리프 변형과의비율을 나타내며, 위의 두 식으로부터 특성 크리프와 크리프 계수는 다음과 같은관계가 성립합니다.
$$
\phi (t, t _ {0}) = E (t _ {0}) \cdot C (t, t _ {0}) \tag {4}
$$
$$
C (t, t _ {0}) = \frac {\phi (t , t _ {0})}{E (t _ {0})} \tag {5}
$$
midas Civil에서는 크리프 계수나 건조수축 변형률의 계산식으로 CEB-FIP나 ACI등에서 정하고 있는 식들을 사용할 수 있고, 사용자가 실험에 의한 값을 직접 입력하여 사용할 수 있습니다.
사용자정의는 크리프 계수(Creep Coefficient), 크리프 함수(Creep Function), 특성크리프(Specific Creep)의 세가지 값 중 사용자가 원하는 형식으로 입력이 가능합니다.
<!-- source-page: 453 -->
![](images/page-453_82d47a46ab9bde1ea5822df42c206b2d631ab3b4396334d9b70576d055e2433d.jpg)
<details>
<summary>line</summary>
| Time (day) | Value |
| ---------- | --------- |
| 1 | 13,34 |
| 2 | 17,78 |
| 3 | 23,71 |
| 4 | 31,62 |
| 5 | 42,17 |
| 6 | 56,23 |
| 7 | 74,99 |
| 8 | 100,00 |
</details>
그림 2.10.3 사용자 정의 크리프 계수 지정 대화상자
콘크리트의 크리프 함수는 하중이 가해지는 시간에 따라서 각기 다른 형상을 나타내게 됩니다. 즉, 요소의 재령이 커지면 콘크리트의 강도증가(Aging) 효과에 의하여 탄성계수가 증가하기 때문에 콘크리트의 즉시 변형은 하중의 재하시기가 늦을수록 작아집니다. 그리고 하중의 재하시간으로부터 임의의 시간 후의 변형은 하중의 재하시기가 늦은 시험체의 경우 더 작아지게 됩니다.
그림 2.10.4는 이러한 관계를 나타내고 있습니다. 이렇게 재하시간이 늦어질수록즉시 변형과 크리프 변형이 감소하는 것은 콘크리트의 수화정도와 강도발현 때문입니다. 따라서 사용자 정의로 크리프 함수를 입력할 때에는 콘크리트의 강도발현특성이 잘 반영될 수 있도록 크리프 함수에서 재하시간의 범위가 시간의존해석에서 존재하는 요소의 재령(재하시간)을 포함해야하고, 서로 다른 재하시간의 크리프함수를 많이 입력할수록 정확한 해석결과를 얻을 수 있습니다.
<!-- source-page: 454 -->
![](images/page-454_b3e17b11411c92ab7961fb765c6e5bd43fd9b9b5988c8fceeba3c35d6a9d156f.jpg)
<details>
<summary>line</summary>
| Time t, τ | Creep Function J(τ, t - τ) |
| --------- | -------------------------- |
| τ₁ | Low |
| τ₂ | Medium |
| τ₃ | High |
| τ₄ | Very High |
</details>
그림 2.10.4 하중 재하 시간의 차이에 따른 크리프 함수
<table><tr><td colspan="2">지속하중을 재하 할 때의 콘크리트 재령</td><td>4~7</td><td>14</td><td>28</td><td>90</td><td>365</td></tr><tr><td rowspan="2">크리프 계수</td><td>조강 시멘트</td><td>3.8</td><td>3.2</td><td>2.8</td><td>2.0</td><td>1.1</td></tr><tr><td>보통 시멘트</td><td>4.0</td><td>3.4</td><td>3.0</td><td>2.2</td><td>1.3</td></tr></table>
표 2.10.1 보통 콘크리트의 크리프 계수
건조수축은 부재에 발생하는 응력과는 무관한 시간의 함수이며, 일반적으로 시간$t _ { 0 }$ 에서 t 까지 발생한 건조수축에 의한 변형율을 다음과 같이 나타냅니다.
$$
\varepsilon_ {s} (t, t _ {0}) = \varepsilon_ {s o} \cdot f (t, t _ {0}) \tag {6}
$$
여기서, $\varepsilon _ { s o }$ 는 최종시의 건조수축계수, $f ( t , t _ { 0 } )$ 는 시간의 함수, t는 관측시점, $t _ { 0 } \equiv$ 건조수축 발생시점을 의미합니다.
<!-- source-page: 455 -->
# 10-2-2 크리프의 계산 방법
크리프는 응력이 발생한 상태에서 시간이 경과함에 따라 추가적인 응력의 증가없이 변형이 발생하는 현상으로 응력의 이력과 시간이 중요한 요인으로 작용합니다.크리프의 특성은 하중이 재하된 시점에서 가장 크게 발생하고 시간이 지날수록 급격하게 감소하는 경향을 보입니다. 크리프를 정확하게 고려하기 위해서는 응력의시간에 대한 이력과 시간에 따른 크리프 계수를 사용해야 합니다. 하지만 모든 부재 응력의 이력을 저장하고 모든 응력이력에 대하여 크리프를 계산하는 것은 데이터 저장량과 계산량을 크게 증가시키기 때문에 프로그램내에서 크리프를 적절하게계산할 수 있는 방법들을 사용하고 있습니다. 크리프는 비역학적(Non-mechanical)변형이므로 구속조건에 따라서 응력이 발생하지 않고 변형만 발생할 수도 있습니다.
일반적으로 크리프를 고려하는 방법의 하나는 요소별 크리프 계수를 각 단계마다직접 입력하여 현상태까지 발생한 요소의 응력을 직접 사용하는 방법이고, 다른하나는 크리프의 특성함수를 수식화하여 응력과 시간에 대한 적분개념을 사용하여계산하는 방법입니다. 전자의 경우는 각 단계마다 요소별 크리프 계수를 산정하여입력해야 하고 후자의 경우는 프로그램 내부에서 규준에 따른 크리프 계수를 사용하여 응력 이력과의 적분식으로 크리프량을 계산하여 사용합니다.
midas Civil에서는 위의 두 가지 방법을 모두 적용할 수 있도록 하였고 한 요소에두 가지 방법이 모두 입력된 경우에는 요소별 크리프 계수를 입력한 방법을 적용하도록 하였습니다. 전체적으로는 한가지 방법을 사용하는 것이 타당하지만 마지막 단계에서의 20 \~ 30년 정도의 시간을 도입하거나 특정한 요소에 대하여 크리프하중을 고려하고자 할 경우에는 두 가지 방법을 적절하게 병행하여 사용할 수 있습니다.
요소별 크리프 계수를 산정하여 직접 입력하는 방법은 계수 산정을 어떻게 하느냐에 따라 결과가 상당히 달라질 수 있으므로 응력이력과 시간에 대한 충분한 자료를 가지고 크리프 계수를 산정해야 근사적인 값을 구할 수 있습니다. 그러나 경험이나 실험 등으로 각 단계에서의 크리프 계수를 알고 있다면 직접 입력하여 사용하는 것이 효율적일 수 있습니다.
<!-- source-page: 456 -->
각 시공단계마다 요소별 크리프 계수를 입력한 크리프 하중그룹을 활성화시키면입력된 크리프 계수와 현재까지 발생한 응력을 사용하여 크리프 하중을 계산하게됩니다. 이 방법은 사용자가 크리프계수를 직접 입력하여 하중의 크기를 쉽게 이해할 수 있고 사용이 간편한 장점이 있지만 크리프 계수를 산정해야하는 어려움을가지고 있습니다.
크리프 계수를 사용하여 크리프 하중을 계산하는 방법은 다음과 같습니다.
$$
\varepsilon_ {c} \left(t, t _ {0}\right) = \phi \left(t, t _ {0}\right) \varepsilon \left(t _ {0}\right): \text { 크리프 변형률 } \tag {7}
$$
$$
P = \int_ {A} E (t) \varepsilon_ {c} \left(t, t _ {0}\right) d A: \text {크리프 변형에 의한 하중} \tag {8}
$$
여기서 $ { \varepsilon } ( t _ { 0 } )$ : 시간 $t _ { 0 }$ 에서의 응력에 의한 변형률
$$
\phi (t, t _ {0}) \quad : \text { 시간 } t _ {0} \text { 에서 } t \text { 까지의 크리프 계수 }
$$
다음은 크리프의 특성함수를 수식화하여 응력과 시간에 대한 적분을 사용하는 방법입니다. 임의의 시간 $t _ { 0 }$ 에서의 전체 크리프량을 시간 t 까지의 각 단계마다 발생하는 응력에 의한 크리프량의 중첩적분으로 나타내면 다음식과 같습니다.
$$
\varepsilon_ {c} (t) = \int_ {0} ^ {t} C (t _ {0}, t - t _ {0}) \frac {\partial \sigma (t _ {0})}{\partial t _ {0}} d t _ {0} \tag {9}
$$
여기서 $\varepsilon _ { c } \left( t \right)$ : 시간 t 에서의 크리프 변형률
$$
C (t _ {0}, t - t _ {0}) : \text { 특성크리프(Specific Creep) }
$$
$$
t _ {0} \quad : \text { 하중재하시점 }
$$
위의 식에서 응력이 각 단계에서 일정하다고 가정하면 식 (10)과 같이 전체 변형률을 단계별로 구분된 변형률의 합으로 표현할 수 있습니다.
$$
\varepsilon_ {c, n} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {j}, t _ {n - j}) \tag {10}
$$
<!-- source-page: 457 -->
위 식을 사용하여 시간 $t_{n} \sim t_{n-1}$ 사이에서 발생하는 크리프 변형률의 증분( $\Delta \varepsilon_{c,n}$ )을 정리하여 나타내면 식 (11)과 같습니다.
$$
\Delta \varepsilon_ {c, n} = \varepsilon_ {c, n} - \varepsilon_ {c, n - 1} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {j}, t _ {n - j}) - \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {j}, t _ {n - j}) \tag {11}
$$
특성크리프를 다음과 같이 Dirichlet 급수의 Degenerate Kernel로 표현하면 응력의 전체 이력을 저장할 필요없이 크리프에 의한 증분변형률을 계산할 수 있습니다.
$$
C (t _ {0}, t - t _ {0}) = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i} (t _ {0}) \Big [ 1 - e ^ {- (t - t _ {0}) / \Gamma_ {i}} \Big ] \tag {12}
$$
여기서
$a_{i}(t_{0})$ : 하중재하시간 $t_{0}$ 에 관련된 특성크리프 곡선의 초기형상에 관련된 계수
$\Gamma_{i}$ : 시간의 경과에 따른 특성크리프 곡선의 형상에 관한 값
위의 특성크리프 수식을 도입하여 증분변형률을 다시 정리하면 식 (13)과 같습니다.
$$
\Delta \varepsilon_ {c, n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left[ \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} a _ {i} \left(t _ {j}\right) e ^ {- \left(t - t _ {0}\right) / \Gamma_ {i}} + \sigma_ {n - 1} a _ {i} \left(t _ {n - 1}\right) \right] \left[ I - e ^ {- \left(t - t _ {0}\right) / \Gamma_ {i}} \right] \tag {13}
$$
$$
\Delta \varepsilon_ {c, n} = \sum_ {i = 1} ^ {m} A _ {i, n} \left[ 1 - e ^ {- (t - t _ {0}) / \Gamma_ {i}} \right]
$$
여기서 $A_{i,n}=\sum_{j=1}^{n-2}\Delta\sigma_{j}a_{i}(t_{j})e^{-(t-t_{0})/\Gamma_{i}}+\Delta\sigma_{n-1}a_{i}(t_{n-1})$
$$
A _ {i, n} = A _ {i, n - 1} e ^ {- (t - t _ {n - 1}) / \Gamma_ {i}} + \Delta \sigma_ {n - 1} a _ {i} (t _ {n - 1})
$$
$$
A _ {i, 1} = \Delta \sigma_ {0} a _ {i} (t _ {0})
$$
위와 같은 방법으로 각 단계마다 요소의 증분변형률은 이전단계에서 발생하는 응력과 이전단계까지 수정된 응력의 누적값을 사용하여 계산할 수 있습니다.
<!-- source-page: 458 -->
이 방법은 응력의 변화를 고려한 비교적 정확한 해석을 할 수 있고, 사용자로 하여금 필요한 물성치만 입력하면 크리프계수를 별도로 계산하지 않아도 내부적으로자동 계산되는 장점을 가지고 있습니다. 그러나 설계기준에서 제안한 식을 사용하기 때문에 사용자가 경험에 의한 값들을 요소에 직접 입력할 수 없고 특정한 요소에 특정한 크리프 값을 입력할 수 없는 문제가 있습니다. 그리고 이 방법은 해석의 시간간격의 영향을 상당히 받게 됩니다.
일반적인 시공단계는 소요 시간이 크지 않아서 해석에 문제가 없지만 한 개의 단계에서 큰 시간 간격이 입력될 경우에는 내부적으로 시간간격을 만들어서 크리프의 효과를 적절하게 계산할 수 있도록 해야 합니다. 크리프의 특성상 시간간격은로그(Log) 스케일로 분할하는 것이 바람직하며 midas Civil에서는 간격수만 입력하면 자동으로 로그 스케일로 분할하는 기능을 가지고 있습니다. 타당한 시간간격의개수는 정해져 있지 않지만 많이 세분하면 할수록 정해에 수렴하게 되므로 큰 시간 간격이 도입되는 단계에서는 적당한 간격으로 분할해주는 것이 바람직합니다.
# 10-2-3 건조수축의 개념
건조수축은 콘크리트 부재가 시간에 따라 수축하는 현상으로 각종 설계기준에서규정하는 건조수축 특성곡선을 사용하여 해석에 반영하고 있습니다. 프레임 부재의 경우에는 길이방향의 건조수축만 고려하지만 면이나 입체의 경우에는 2축이나3축까지 포함하고 있습니다.
midas Civil 프로그램에서 건조수축 해석은 CEB-FIP Code, ACI Code, 도로교설계기준, 실험데이터를 사용한 사용자 정의 등을 사용한 건조수축 특성 곡선을 사용하여 수행하고 있습니다. 건조수축 특성 곡선을 사용하여 시공단계의 시간 경과에대하여 변형량을 계산하여 해당 단계에서의 건조수축 변형률로 사용합니다.
$$
\varepsilon_ {s h} (t _ {2}, t _ {1}) = \varepsilon_ {s h} (t _ {2}, t _ {0}) - \varepsilon_ {s h} (t _ {1}, t _ {0})
$$
여기서 $\mathcal { E } _ { s h } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } )$ : 시공단계 t1 에서 t2 까지의 건조수축 변형률
$\varepsilon _ { s h } ( t _ { 1 } , t _ { 0 } )$ : 부재의 재령 t0 에서 t1 까지의 건조수축 변형률
$\varepsilon _ { s h } ( t _ { 2 } , t _ { 0 } )$ : 부재의 재령 t0 에서 t2 까지의 건조수축 변형률
<!-- source-page: 459 -->
건조수축에 의한 하중은 탄성계수, 단면적, 건조수축 변형률의 곱으로 계산하고 축방향에 대해서만 생성합니다.
$$
F _ {p r i m a r y} = E A \varepsilon_ {s h}
$$
건조수축 변형은 온도, 크리프에 의한 변형과 같이 비역학적인(Non-mechanical) 변형이기 때문에 부재력 계산시의 변형률은 하중에 의한 변형률에서 건조수축에 의한 변형률을 감하여 계산합니다.
$$
F _ {\text { secondary }} = E A (\varepsilon - \varepsilon_ {s h}) = F - F _ {\text { primary }}
$$
그러므로 축 방향 구속이 없는 구조물에서의 건조수축에 의한 효과는 부재력을 만들지 않고 변위만을 발생시키게 됩니다. 외부하중이 없더라도 구속조건에 의한 건조수축에 의해 발생하는 부재력은 크리프 변형을 유발할 수 있습니다. 건조수축변형은 구속조건과 시간에 영향을 받습니다.
# 10-2-4 시간에 따른 탄성계수의 변화
콘크리트의 압축강도와 탄성계수는 시간에 따라 변화하기 때문에 상당한 시간이경과한 후에야 비로소 콘크리트 구조물의 고유한 강도를 발휘하게 됩니다. 실제PSC 구조물이나 교량의 시공에서 콘크리트의 초기 재령을 정확하게 예측하여, 계획된 구조물의 형상과 강도를 지니도록 하기 위해서는 이러한 Aging 효과를 합리적으로 모사하는 것이 필수적이라 할 수 있습니다. 한국 도로교 시방서의 제안 식은 ACI Code 와 유사하고 콘크리트의 압축강도와 탄성계수 식은 다음과 같습니다.
$$
f _ {c k} (t) = \frac {t}{a + b t} f _ {9 1}
$$
단위질량(mc)이 1450 \~ 2500kg/m3 인 콘크리트의 경우
$$
E _ {c} (t) = 0. 0 7 7 m _ {c} ^ {1. 5} \sqrt [ 3 ]{f _ {c u} (t)} \quad (\mathrm{MPa})
$$
<!-- source-page: 460 -->
다만, 보통골재를 사용한 콘크리트 $( \mathsf { m } _ { \mathsf { c } } { = } 2 3 0 0 \mathsf { k g } / \mathsf { m } ^ { 3 } )$ 의 경우는
$$
E _ {c} (t) = 8, 5 0 0 \sqrt [ 3 ]{f _ {c u} (t)} \quad (\mathrm{MPa})
$$
여기서 $f _ { 9 1 }$ : 91 일 평균압축강도
$f _ { c k } ( t )$ : 임의 시간 t 일의 압축강도
$E _ { c } ( t )$ : 재령 28일의 탄성계수
$$
f _ {c u} (t) = f _ {c k} (t) + 8 \quad (\mathrm{MPa})
$$
# 10-2-5 강도발현 함수
midas Civil에서는 콘크리트 부재의 재령에 따른 탄성계수의 변화를 고려함으로써강도발현 효과를 포함하여 해석할 수 있습니다. 그림 2.10.5와 같이 ACI, CEB-FIP,또는 콘크리트구조설계기준 등의 규준에 따른 콘크리트의 강도발현 함수를 정의할수 있고, 사용자가 직접 입력할 수도 있습니다. midas Civil은 이렇게 정의된 강도발현 함수를 참조하여, 각각의 시공단계에 정의된 시간의 경과에 따른 콘크리트의강도변화를 자동으로 계산해서 해석을 수행합니다.
그림 2.10.5에서 정의한 시간의존재질(크리프, 건조수축, 강도발현)은 일반재질과의연결을 통해서 해석에 적용할 수 있습니다.
![](images/page-460_1325d1a95f85471dd253820e2faf3114461efbf7c416e85dbb44d53b5341e1af.jpg)
<details>
<summary>text_image</summary>
Add/Modify Time Dependent Material (Comp. Strength)
Name
TdMat1
Scale Factor
1.0
Graph Options
X-axis log scale
Y-axis log scale
Type
Code
User
Development of Strength
Code: ACI
f(t)=teq × f28/(a+b×teq)
Concrete Compressive Strength at 28 Days(f28) :
28
kN/m²
Concrete Compressive Strength Factor(a, b)
a : 4.5
b : 0.85
Redraw Graph
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Time (day)
20
28
OK
Cancel
</details>
그림 2.10.5 규준에 따른 콘크리트의 강도발현 함수정의