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김경종
2026-06-02 11:38:52 +09:00
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commit bd50e09e36
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.raw/MidasCivilAnalysisReference/MidasCivilAnalysisReference_048.md
+409
View File
@@ -0,0 +1,409 @@
<!-- source-page: 471 -->
$$
l _ {i}: \text { 요소의 길이 }
$$
$$
T _ {x} \colon \text { 케이블 부재의 수평장력 }
$$
교량의 횡단면, 즉 Y-Z평면상에서의 힘의 평형은 다음 그림과 같다.
![](images/page-471_0f7814e1ef1455bc1b482a9737ceae9689733a64affc8719d73f028a61d54fb4.jpg)
<details>
<summary>text_image</summary>
Main Cable
Hanger, hi
X
Y
Z
(x_i, z_i)
W_{0i} \times (y_{0i} - y_i) / (z_{0i} - z_i)
W_{0i} \rightarrow P_i
y_{0i} - y_i
z_{0i} - z_i
(y_{0i}, z_{0i})
Stiffening Truss
</details>
그림 2.10.10 Y-Z 평면에서의 평형상태
위 평형관계식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$$
T _ {i} \frac {z _ {i} - z _ {i - 1}}{l _ {i}} - T _ {i + 1} \frac {z _ {i + 1} - z _ {i}}{l _ {i + 1}} = P _ {i} \frac {z _ {G i} - z _ {i}}{h _ {i}} + W _ {c i} (i = 1, 2, \dots , N - 1) \tag {15}
$$
여기서 $P_{i}$ 는 i 번 행어의 장력이고, $h_{i}$ 는 행어의 길이
식 (15)와 식 (16)으로 부터 다음과 같이 총 N-1개의 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
$$
T _ {x} \left(- \frac {z _ {i - 1} - z _ {i}}{d _ {i}} + \frac {z _ {i} - z _ {i + 1}}{d _ {i + 1}}\right) = P _ {i} \frac {z _ {G i} - z _ {i}}{h _ {i}} + W _ {c i} = W _ {s i} + W _ {c i} \tag {16}
$$
$$
(i = 1, 2, \dots , N - 1)
$$
<!-- source-page: 472 -->
여기서 Wsi 는 보강형과 행어에 의해 케이블에 재하되는 분포하중이며, Wci 는 케이블 자중에 의한 수직하중을 의미합니다. 위의 식에서 미지수는iz ( i 1 , 2 ,..., N 1 )   와 Tx 로 총 N개이기 때문에 해를 구하기 위해 한 개의조건이 더 필요하게 됩니다. 추가적인 조건으로 기지 값인 중앙 경간의 새그(Sag) ,f 에 대한 다음과 같은 관계식을 사용하도록 합니다.
$$
\mathrm{z} _ {\frac {\mathrm{N}}{2}} = \frac {1}{2} \left(\mathrm{z} _ {\mathrm{N}} + \mathrm{z} _ {0}\right) + \mathrm{f} \tag {17}
$$
# 10-5-3 수평면 내에서의 해석
수평면내에서도 수직면내에서의 해석과 동일한 방식으로 힘의 평형관계로부터 다음과 같이 N-1개의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$
\mathrm{T} _ {\mathrm{x}} \left(- \frac {\mathrm{y} _ {\mathrm{i} - 1} - \mathrm{y} _ {\mathrm{i}}}{\mathrm{d} _ {\mathrm{i}}} + \frac {\mathrm{y} _ {\mathrm{i}} - \mathrm{y} _ {\mathrm{i} + 1}}{\mathrm{d} _ {\mathrm{i} + 1}}\right) = \mathrm{P} _ {\mathrm{i}} \frac {\mathrm{y} _ {\mathrm{Gi}} - \mathrm{y} _ {\mathrm{i}}}{\mathrm{h} _ {\mathrm{i}}} = \mathrm{W} _ {\mathrm{si}} \frac {\mathrm{y} _ {\mathrm{Gi}} - \mathrm{y} _ {\mathrm{i}}}{\mathrm{z} _ {\mathrm{Gi}} - \mathrm{z} _ {\mathrm{i}}} \tag {18}
$$
$$
(\mathrm{i} = 1, 2, \dots , \mathrm{N} - 1)
$$
여기서 수평장력( Tx )는 수직면 내에서의 해석에서 얻은 값이며, 주 케이블 양 끝단의 y 좌표인 y , y 0 N 은 기지 값이므로 총 N-1개의 미지수인 iy( i 1 , 2 ,..., N 1 )   는 연립방정식을 풀어서 얻을 수 있습니다.
이상과 같이 평형식을 사용하여 초기 기하형상을 유도하면 각 케이블의 절점 좌표와, 보강형의 좌표, 주 케이블의 수평장력이 결정할 수 있습니다.
# 10-5-4 비선형 해석을 사용한 케이블 시스템의 평형상태 계산
현수교 위저드에서 간략한 평형식으로부터 계산한 케이블의 형상과 변형전 길이를초기값으로 가정하여 케이블 시스템으로 구성하고 비선형 해석을 수행하여 정확한절점좌표와 케이블의 변형전 길이를 산정합니다. 주 케이블의 양 끝단과 주탑지점,행어의 아래 끝단 부분을 모두 고정지점으로 처리합니다. 산정된 변형전 길이를케이블 요소에 적용하면 불균형 하중을 발생시켜 케이블 구조계의 변형이 발생합니다. 이 케이블 좌표들의 변화를 검토하여 수렴여부를 판단합니다. 수렴상태가 아
<!-- source-page: 473 -->
니면 케이블 시스템 절점 좌표와 변형전 길이를 업데이트하여 수렴조건을 만족할때까지 반복 수행합니다.
![](images/page-473_dd3e2b33da6f3cec20f88db917a3b157461dd9709f17ef2fa07bc2dc61e39d62.jpg)
<details>
<summary>line</summary>
| Point | Series 1 | Series 2 |
|-------|----------|----------|
| 1 | 0.5 | 0.3 |
| 2 | 0.7 | 0.4 |
| 3 | 0.9 | 0.5 |
| 4 | 0.6 | 0.6 |
| 5 | 0.8 | 0.7 |
| 6 | 0.4 | 0.8 |
| 7 | 0.6 | 0.9 |
| 8 | 0.7 | 1.0 |
| 9 | 0.5 | 0.9 |
| 10 | 0.8 | 0.8 |
| 11 | 0.6 | 0.7 |
| 12 | 0.7 | 0.8 |
| 13 | 0.9 | 0.9 |
| 14 | 0.5 | 0.8 |
| 15 | 0.7 | 0.9 |
| 16 | 0.8 | 1.0 |
| 17 | 0.6 | 0.9 |
| 18 | 0.8 | 0.8 |
| 19 | 0.7 | 0.7 |
| 20 | 0.9 | 0.8 |
| 21 | 0.5 | 0.7 |
| 22 | 0.7 | 0.8 |
| 23 | 0.8 | 0.9 |
| 24 | 0.6 | 0.8 |
| 25 | 0.8 | 0.9 |
| 26 | 0.7 | 0.8 |
| 27 | 0.9 | 0.9 |
| 28 | 0.5 | 0.8 |
| 29 | 0.7 | 0.9 |
| 30 | 0.8 | 1.0 |
| 31 | 0.6 | 0.9 |
| 32 | 0.8 | 0.8 |
| 33 | 0.7 | 0.7 |
| 34 | 0.9 | 0.8 |
| 35 | 0.5 | 0.7 |
| 36 | 0.7 | 0.8 |
| 37 | 0.8 | 0.9 |
| 38 | 0.6 | 0.8 |
| 39 | 0.8 | 0.9 |
| 40 | 0.7 | 0.8 |
| 41 | 0.9 | 0.9 |
| 42 | 0.5 | 0.8 |
| 43 | 0.7 | 0.9 |
| 44 | 0.8 | 1.0 |
| 45 | 0.6 | 0.9 |
| 46 | 0.8 | 0.8 |
| 47 | 0.7 | 0.7 |
| 48 | 0.9 | 0.8 |
| 49 | 0.5 | 0.7 |
| 50 | 0.7 | 0.8 |
| 51 | 0.8 | 0.9 |
| 52 | 0.6 | 0.8 |
| 53 | 0.8 | 0.9 |
| 54 | 0.7 | 0.8 |
| 55 | 0.9 | 0.9 |
| 56 | 0.5 | 0.8 |
| 57 | 0.7 | 0.9 |
| 58 | 0.8 | 1.0 |
| 59 | 0.6 | 0.9 |
| 60 | 0.8 | 0.8 |
| 61 | 0.7 | 0.7 |
| 62 | 0.9 | 0.8 |
| 63 | 0.5 | 0.7 |
| 64 | 0.7 | 0.8 |
| 65 | 0.8 | 0.9 |
| 66 | 0.6 | 0.8 |
| 67 | 0.8 | 0.9 |
| 68 | 0.7 | 0.8 |
| 69 | 0.9 | 0.9 |
| 70 | 0.5 | 0.8 |
| 71 | 0.7 | 0.9 |
| 72 | 0.8 | 1.0 |
| 73 | 0.6 | 0.9 |
| 74 | 0.8 | 0.8 |
| 75 | 0.7 | 0.7 |
| 76 | 0.9 | 0.8 |
| 77 | 0.5 | 0.7 |
| 78 | 0.7 | 0.8 |
| 79 | 0.8 | 0.9 |
| 80 | 0.6 | 0.8 |
| 81 | 0.8 | 0.9 |
| 82 | 0.7 | 0.8 |
| 83 | 0.9 | 0.9 |
| 84 | 0.5 | 0.8 |
| 85 | 0.7 | 0.9 |
| 86 | 0.8 | 1.0 |
| 87 | 0.6 | 0.9 |
| 88 | 0.8 | 0.8 |
| 89 | 0.7 | 0.7 |
| 90 | 0.9 | 0.8 |
| 91 | 0.5 | 0.7 |
| 92 | 0.7 | 0.8 |
| 93 | 0.8 | 0.9 |
| 94 | 0.6 | 0.8 |
| 95 | 0.8 | 0.9 |
| 96 | 0.7 | 0.8 |
| 97 | 0.9 | 0.9 |
| 98 | 0.5 | 0.8 |
| 99 | 0.7 | 0.9 |
| 100 | 0.8 | 1.0 |
</details>
그림 2.10.11 케이블시스템만의 해석을 위한 지점처리
![](images/page-473_7b50f060898bfde6d8f248faebdf7e8c4e2410f41cde47ae0459003dffaa32e8.jpg)
<details>
<summary>flowchart</summary>
```mermaid
graph TD
A["힘의 평형식을 사용한 초기 기하형상 계산 (절점좌표, 케이블의 수평장력)"] --> B["케이블만으로 구성된 케이블 시스템 구성 (절점좌표, 주케이블의 수평장력, 행어의 장력)"]
B --> C["케이블 시스템의 기하비선형 평형상태 계산 (절점변위, 케이블의 장력 계산)"]
C --> D["절점 좌표, 케이블 변형전 길이 업데이트"]
D --> E{변위 수렴 정도 판단}
E -->|Yes| F["절점좌표와 케이블 변형전 길이 저장"]
E -->|No| G["End"]
```
</details>
그림 2.10.12 케이블 시스템만의 현수교 평형상태 결정 순서도
<!-- source-page: 474 -->
# 10-5-5 현수교 전체구조물의 평형상태 결정
하중평형식과 케이블시스템만의 비선형해석 단계를 거쳐서 계산한 3차원 현수교의케이블 좌표와 변형전 길이를 기반으로 현수교 전체구조물의 평형상태를 계산하기위한 방법입니다. 타정식 현수교인 경우에는 케이블시스템으로만 계산한 평형상태에서 추가적인 변화가 있을 경우에 이 방법을 적용하여 좀더 정확한 평형상태를계산합니다. 자정식 현수교의 경우에는 주 케이블의 양단부가 고정되어 있지 않고보강형에 연결되기 때문에 케이블시스템만으로 구한 평형상태를 적용할 수 없습니다. 자정식의 경우에는 케이블시스템만으로 계산한 평형상태의 정보를 기본값으로하여 전체구조물에 대한 평형상태해석을 수행해야 합니다. 현수교에서의 평형상태라고 하는 것은 하중과 케이블의 변형전 길이와 보강형과 주탑의 내력이 평형을이루어 추가적인 변형이 발생하지 않는 상태를 의미합니다. 전체구조물의 평형상태해석 과정에서 업데이트 되는 항목으로는 주 케이블의 절점좌표, 케이블의 변형전 길이, 보강형과 주탑의 내력 등이 있습니다. 현수교 전체구조물의 평형상태는특정한 유일한 상태에서만 수렴이 되는 것이 아니기 때문에 수렴된 결과를 적용할것인지에 대한 사용자의 판단이 필요합니다. 현수교의 전체구조물의 평형상태 계산을 위한 계산 절차는 다음과 같습니다.
![](images/page-474_db6aa1a9404c1ae42fd30185ac38f9bad500110c5b8835758a3ae88d26f2a02d.jpg)
<details>
<summary>flowchart</summary>
```mermaid
graph TD
A["전체 구조물(케이블 + 보강형 + 주탑) 구성<br>- 절정 좌표, 케이블의 변형전길이, 하중<br>- 이전 단계에서 계산된 부재내력을 초기내력 계산"] --> B["전체구조물의 기하비선형 평형상태 계산<br>- 절정변위, 부재내력 계산"]
B --> C["절정 좌표, 부재내력. 케이블 변형전 길이 엄데이트"]
C --> D{변위 수렴 정도 판단}
D --> E["절정좌표와 케이블 변형전 길이 저장"]
```
</details>
그림 2.10.13 현수교 전체구조물 평형상태 결정 순서도
<!-- source-page: 475 -->
# Chapter 11. 수화열해석
콘크리트 구조물의 대형화 및 시공방법의 발전에 의한 대량 급속시공의 증가에 따라 시멘트의 수화열에 의한 온도 응력의 발생이 구조물에 균열을 발생시켜 구조물의 내구성 뿐만 아니라 구조적인 안정을 저해하는 요인이 됩니다.
이러한 문제를 해결하기 위해 매스콘크리트 구조물의 타설시 온도와 응력의 분포를 계산하여 균열을 적절히 제어하고자 하는 목적으로 수화열해석을 수행합니다.
수화열해석을 수행해야 할 매스콘크리트 구조물의 치수는 구조형식, 사용재료, 시공조건에 따라 다르지만 대략 슬래브는 80 100cm 이상이고, 하단이 구속되어 있는 벽체는 두께 50cm 이상을 기준으로 합니다.
수화열에 의한 온도균열은 초기에 표면부와 중심부의 온도차이에 의해 발생하는 표면균열과 콘크리트 타설이 끝난 후 시멘트 수화열에 의한 온도상승이 최고치에 달한 후 온도강하에 의한 수축이 외적으로 구속되어 발생하는 관통균열로 구분할 수 있습니다. 이러한 수화열 해석은 크게 시멘트의 수화과정에서 발생하는 발열, 대류, 전도 등에 의한 온도분포해석과 발생한 온도, 재령에 의한 탄성계수의 변화, 크리프 및 건조수축 등에 의한 응력해석으로 구분할 수 있으며 각 해석에서 고려되는 사항들은 다음과 같습니다.
# 11-1 열전달해석 (Heat Transfer Analysis)
시멘트의 수화과정에서 발생하는 발열, 전도, 대류 등에 의한 시간에 따른 절점온도 변화를 계산하게 됩니다. 열전달 해석에서 사용되는 주요개념과 midas Civil에서 고려하는 사항들은 다음과 같습니다.
# 11-1-1 전도 (Conduction)
유체의 경우는 분자의 운동이나 직접적인 충돌, 고체의 경우는 전자의 이동에 의하여 고온구역에서 저온구역으로 에너지 교환이 일어나는 방식의 열전달 입니다.
<!-- source-page: 476 -->
전도에 의해 전달되는 열전달율은 열속(Heat Flux)에 수직한 면적과 그 방향 온도구배의 곱에 비례합니다. (Fourier's Law)
$$
Q _ {x} = - k A \frac {\partial T}{\partial x}
$$
여기서 Qx : 열전달률
$A$ : 면적
$k$ : 열전도율
$\frac { \partial T } { \partial x }$ : 온도구배
일반적으로 포화된 콘크리트의 열전도율은 1.21\~ 3.11 정도이며 열전도율의 단위는2 kcal m h C/    입니다. 콘크리트의 열전도율은 온도가 증가하면서 감소하는 경향을 보이지만 대기온도의 범위에서는 큰 영향을 보이지 않습니다.
# 11-1-2 대류 (Convection)
유체가 고체 위 또는 유로 내를 흐를 때 유체와 고체 표면의 온도가 다르면 표면에 대한 유체의 상대운동의 결과로 유체와 고체의 표면 사이에서 열이 전달됩니다.이러한 열전달 방법을 대류라고 합니다.
유체를 표면위로 강제로 흐르게 하는 경우처럼 유체유동을 인위적으로 일으킬 때의 열전달을 강제대류(Forced Convection)에 의한 열전달이라 하고, 유체의 유동이유체내의 온도차에 의해 생기는 밀도차에 의한 부력효과 때문에 일어나는 열전달을 자유대류(Free Convection)에 의한 열전달 이라고 합니다. 이러한 열전달에서는온도장(Temperature Field)이 유체 유동의 영향을 받기 때문에 실제 경우에 온도분포와 대류 열전달을 결정하는 것은 매우 복잡합니다.
일반적으로 온도가 T 인 고체표면과 그 위로 흐르는 평균온도가 T 인 유체 사이의 열전달 계산을 간단히 하기 위해 열전달계수 h 를 다음과 같이 정의합니다.
<!-- source-page: 477 -->
$$
q = h _ {c} (T - T _ {\infty})
$$
열전달계수( $h_c$ )는 흐름의 종류, 물체의 기하학적 형상 및 흐름의 접촉면적, 유체의 물리적 성질, 대류접촉면의 평균온도, 위치 등에 따라 복잡하게 변화하기 때문에 정식화하기 매우 어렵습니다.
일반적으로 매스콘크리트의 온도해석에서 사용되는 대류 문제는 콘크리트 표면과 대기의 열교환 형태로 이루어지므로 대기 풍속의 함수로 다음의 경험식을 사용하기도 합니다.
$$
h _ {c} = h _ {n} + h _ {f} = 5. 2 + 3. 2 v \quad (m / \sec)
$$
열전달계수(대류계수)의 단위는 kcal/m²·h·°C 입니다.
# 11-1-3 발열 (Heat Source)
수화과정에서 발생하는 열량을 모델하기 위한 것으로 매스콘크리트의 수화발열에 의한 단위시간당 단위부피의 내부 발열량은 단열온도 상승식을 미분하고 비열과 밀도를 곱하여 얻을 수 있습니다.
단위시간당 단위부피의 내부발열량 (kcal/m³·h)
$$
g = \frac {1}{2 4} \rho c K \alpha e ^ {- \alpha t / 2 4}
$$
단열온도 상승식(°C)
$$
T = K (1 - e ^ {- \alpha t})
$$
여기서 T : 단열온도(°C)
K : 단열최고상승온도(°C)
α : 반응속도
t : 시간(days)
<!-- source-page: 478 -->
# 11-1-4 파이프쿨링 (Pipe Cooling)
파이프쿨링은 콘크리트 구조물 속에 파이프를 매설하고, 파이프 속으로 온도가 낮은 유체를 흐르게 하여 열교환을 발생시켜 수화열로 인한 온도상승을 감소시키는방법입니다.
열교환의 형태는 유체와 파이프 표면사이의 대류에 의한 것이며, 파이프내의 유체온도는 파이프를 통과하면서 상승하게 됩니다. 유체와 파이프 사이의 대류에 의한열전달량은 다음과 같습니다.
$$
q _ {c o n v} = h _ {p} A _ {s} (T _ {s} - T _ {m}) = h _ {p} A _ {s} \left(\frac {T _ {s , i} + T _ {s , o}}{2} - \frac {T _ {m , i} + T _ {m , o}}{2}\right)
$$
여기서 $h _ { { } _ { p } }$ : 파이프의 유수대류계수( 2 kcal m h C /    )
As : 파이프의 표면적(m2 )
Ts , Tm : 파이프 표면과 냉각수의 온도( C )
# 11-1-5 초기온도(Initial Temperature)
콘크리트 타설시의 온도로 물, 시멘트, 골재의 평균온도이며, 해석의 초기조건이됩니다.
# 11-1-6 외기온도(Ambient Temperature)
콘크리트의 타설 후 양생과정에서의 외기온도를 의미합니다. 일정한 온도나 Sine함수 또는 시간에 대한 온도 형태의 입력이 가능합니다.
<!-- source-page: 479 -->
# 11-1-7 고정온도(Prescribed Temperature)
열전달해석의 경계조건을 구성하게 되며 항상 일정한 온도를 유지하게 됩니다. 대류조건이나 고정온도가 입력되지 않은 절점은 열의 전달이 전혀 없는 단열상태로해석을 하게 됩니다. 일반적으로 대칭모델을 사용할 경우 대칭면에서 단열경계 조건을 사용하게 됩니다.
아래 식은 열전달 해석에 사용되는 기본 평형 방정식이고, 해석결과로는 각 시간별 절점 온도가 됩니다.
$$
C T + (K + H) T = F _ {Q} + F _ {h} + F _ {q}
$$
$$
C = \left[ \int_ {V} \rho c N _ {i} N _ {j} d x d y d z \right]: \text { Capacitance (Mass) }
$$
$$
K = \left[ \int_ {V} \left(k _ {x x} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \frac {\partial N _ {j}}{\partial x} + k _ {y y} \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \frac {\partial N _ {j}}{\partial y} + k _ {z z} \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \frac {\partial N _ {j}}{\partial z}\right) d x d y d z \right]
$$
$$
H = \left[ \int_ {S} h N _ {i} N _ {j} d S _ {h} \right]: \text { Convection }
$$
$$
F _ {Q} = \int_ {V} N _ {i} Q d x d y d z: \text { Heat load due to Heat Source / Sink }
$$
$$
F _ {h} = \int_ {S} h T _ {\infty} N _ {i} d S _ {h} \quad : \text { Heat load due to Convection }
$$
$$
F _ {q} = - \int_ {S} q N _ {i} d S _ {q}: \text { Heat load due to Heat Flux }
$$
T : Nodal Temperature
여기서 ρ : 밀도
c : 비열
$k_{xx}$ $k_{yy}$ $k_{zz}$ : 열전도율
h : 대류계수
Q : 발열량
q : 열속
<!-- source-page: 480 -->
# 11-2 열응력해석(Thermal Stress Analysis)
열전달해석에서 얻어진 절점온도 분포와 시간과 온도에 따른 재질의 변화, 시간에 따른 건조수축, 시간과 응력에 따른 크리프 등을 고려하여 매스콘크리트의 각 단계별 응력을 계산합니다. 열응력 해석에서 사용되는 주요개념과 midas Civil에서 고려하는 사항들은 다음과 같습니다.
# 11-2-1 온도와 시간에 의한 등가재령, 적산온도
콘크리트의 경화 과정에서 발생하는 재질특성의 변화는 온도와 시간의 함수 형태로 나타나게 됩니다. 이러한 현상을 반영하기 위해 등가재령과 적산온도라는 개념을 사용하였습니다.
탄성계수 계산시에는 일본 콘크리트 표준시방서(JSCE, 2002) 및 일본 도로교 시방서(Japanese standard, 2002)를 따르는 경우에는 절대재령을 사용하고 나머지 규준에서는 등가재령을 사용하였습니다. 그리고, 크리프와 건조수축 계산시에는 일본 콘크리트 표준시방서 및 일본 도로교 시방서를 따르는 경우에는 등가재령을 사용하고 나머지 규준에서는 절대재령을 사용하였습니다.
등가재령은 기본적으로 CEB-FIP MODEL CODE를 사용하여 산정하였고 일본 도로교 시방서를 따르는 경우에만 해당 규준에서 정의하는 방법을 사용하였습니다. 숙성도 이론에 근거하는 적산온도는 Ohzagi식을 사용하였습니다.