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김경종
@@ -0,0 +1,321 @@
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그림 1.5.2 판요소의 좌표계
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판요소는 연결된 절점 수에 따라 두 가지로 구분할 수 있다. 3 또는 4절점 판요소는절점들이 하나의 평면 위에 위치한다고 가정하여 평면판(flat plate)이라 한다. 6절점삼각형 요소와 8절점 사각형 요소는 절점들이 곡면 상에 위치할 수 있기 때문에 곡면판(curved plate)이라 한다. 4절점 판요소는 변위 및 응력 값의 정확도가 높지만,3절점 판요소는 변위에 비해 응력의 정확도가 낮은 경향이 있다. 따라서 정밀 해석결과가 필요한 부위에서는 3절점 판요소의 사용을 피하는 것이 바람직하다.
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# 1-5-2 유한요소 정식화
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판소는 요소좌표계에서 3개의 이동변위(translation)와 x, y 축에 대한 회전변위(rotation)를 갖는다. 평면판은 면내변형과 면외변형 강성을 독립적으로 고려하는 반면, 곡면판은 3차원 탄성이론을 기반으로 한 “연속체 셀이론(continuum shell approach)”을 이용한다.
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# (1) 평면판
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평면판요소에서 변형성분 별로 사용할 수 있는 강성의 종류는 다음과 같다.
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# - 면내변형
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3절점 요소
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등매개변수 요소(평면응력요소와 동일), z 축에 대한 회전 자유도를 고려한 요소 $^{1}$
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4절점 요소
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등매개변수 요소(평면응력요소와 동일), z 축에 대한 회전 자유도를 고려한 요소
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# - 면외변형
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• 3절점 요소
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DKT $^{2}$ (Discrete Kirchhoff Triangle), DKMT $^{3}$ (Discrete Kirchhoff Mindlin Triangle)
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4절점 요소
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DKQ $^{4}$ (Discrete Kirchhoff Quadrilateral), DKMQ $^{5}$ (Discrete Kirchhoff
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$^{1}$ D.J. Allman, “A Compatible Triangular Element Including Vertex Rotations for Plane Elasticity Analysis,” Comput. Struct., Vol. 19, 1-8, 1984
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$^{2}$ J.L. Batoz, K.J. Bathe and L.W. Ho, “A Study of Three-Node Triangular Plate Bending Elements,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 15, 1771-1812, 1980
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$^{3}$ I. Katili, “A New Discrete Kirchhoff-Mindlin Element Based on Mindlin-Reissner Plate Theory and Assumed Shear Strain Fields Part I: An Extended DKT Element for Thick-Plate Bending Analysis,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 36, 1859-1883, 1993
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$^{4}$ J.L. Batoz and M. Ben Tahar, “Evaluation of a New Thin Plate Quadrilateral Element,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 18, 1655-1678, 1982
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$^{5}$ I. Katili, “A New Discrete Kirchhoff-Mindlin Element Based on Mindlin-Reissner Plate Theory and Assumed Shear Strain Fields-Part II: An Extended DKQ Element for Thick-Plate Bending Analysis,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 36, 1885-1908, 1993
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# Mindlin Quadrilateral)
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면내변형 강성으로 사용할 수 있는 방법 중 등매개변수 요소는 평면응력요소와 동일하므로 “1.4 평면응력요소”에서 설명한다. z 축에 대한 회전 자유도가 고려 가능한 요소는 요소좌표계에서의 x, y 방향의 이동변위(translation) u, v 와 z 축에 대한 회전변위(rotation) $\theta_{z}$ 의 영향을 고려한다.
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i}, v _ {i}, \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {1.5.1}
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절점 수 N 개를 가지는 요소 내 임의의 좌표 x, y 와 이동변위 u, v 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} y _ {i} \tag {1.5.2}
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$$
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u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i} + \frac {1}{8} \sum_ {i = 1} ^ {N} P _ {i} \left(y _ {j} - y _ {i}\right) \left(\theta_ {z j} - \theta_ {z i}\right), v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} - \frac {1}{8} \sum_ {i = 1} ^ {N} P _ {i} \left(x _ {j} - x _ {i}\right) \left(\theta_ {z j} - \theta_ {z i}\right)
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1 \tag {1.5.3}
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여기서, $\theta_{zi}$ 는 절점에서의 회전자유도이고, 형상함수는 다음과 같다.
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3절점 요소
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N _ {1} = 1 - \xi - \eta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta \tag {1.5.4}
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P _ {1} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), \quad P _ {2} = 4 \xi \eta , \quad P _ {3} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.5.5}
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4절점 요소
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta), N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta),
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N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {1.5.6}
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P _ {1} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), P _ {2} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}), P _ {3} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta),
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P _ {4} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.5.7}
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절점변위 u 와 면내 변형률 ε 의 관계는 B 에 의하여 식(1.5.8)과 같이 나타낼 수있다.
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\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.8}
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행렬 B 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.
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\mathbf {B} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 & \frac {\left(y _ {i} - y _ {k}\right)}{8} \frac {\partial P _ {k}}{\partial x} - \frac {\left(y _ {j} - y _ {i}\right)}{8} \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\left(x _ {k} - x _ {i}\right)}{8} \frac {\partial P _ {k}}{\partial y} - \frac {\left(x _ {i} - x _ {j}\right)}{8} \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & \frac {\left(y _ {i} - y _ {k}\right)}{8} \frac {\partial P _ {k}}{\partial y} - \frac {\left(y _ {j} - y _ {i}\right)}{8} \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} + \frac {\left(x _ {k} - x _ {i}\right)}{8} \frac {\partial P _ {k}}{\partial x} - \frac {\left(x _ {i} - x _ {j}\right)}{8} \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} \end{array} \right]
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i = 1, 2,.., N - 1, N, \quad j = 2, 3,.., N, 1, \quad k = N, 1,.., N - 2, N - 1 \tag {1.5.9}
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행렬 Bi 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 표현하면 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {i j} ^ {(I)} = \int_ {A _ {e}} t \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d A \tag {1.5.10}
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여기서,
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t : 두께
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Ae : 면적
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등방성(isotropic) 재료의 경우 응력과 변형률의 관계를 나타내는 행렬 D 는 다음과같다.
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\mathbf {D} = \frac {E}{1 - \nu^ {2}} \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {1 - \nu}{2} \end{array} \right] \tag {1.5.11}
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면내변형에 대하여 z 축에 대한 회전 자유도를 고려한 요소를 사용하게 되면 요소의변에 수직한 이동변위를 2차로 보간하게 된다. 회전 자유도와 이동변위의 관계는 그림 1.5.3과 같은 휨 형태의 변형에서 꼭지점 부분에는 전단변형이 존재하지 않는 사실에 착안한 것이다.
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["Start"] --> B["Loop"]
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B --> C["End"]
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C -->|Feedback| B
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B -->|Feedback| A
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```
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</details>
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그림 1.5.3 굽힘 변형과 회전자유도 관계
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면외변형에 대한 강성으로 사용할 수 있는 방법 중 DKMT(3절점)와 DKMQ(4절점) 요소는 전단변형을 고려하며, 전단변형률 가정법을 이용한다. 절점에서의 자유도는 요소좌표계에서 z 방향의 이동변위 w 와 x, y 축에 대한 회전변위 , θ x θ y 를 고려한다.
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$$
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\mathbf {u} _ {i} = \left\{w _ {i} \quad \theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \right\} ^ {T} \tag {1.5.12}
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요소 내 임의의 좌표 x, y 는 식 (1.5.2)과 같이 계산하고, 회전변위 $\theta _ { x } , \ \theta _ { y } \in \ \mathsf { L } \mathsf { I } \frac { \circ } { \mathsf { I } }$ 과 같이 2차로 표현한다.
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\theta_ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \theta_ {x i} + \sum_ {i = 1} ^ {N} P _ {i} S _ {i j} \Delta \theta_ {n i}, \quad \theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \theta_ {y i} - \sum_ {i = 1} ^ {N} P _ {i} C _ {i j} \Delta \theta_ {n i} \tag {1.5.13}
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C _ {i j} = - x _ {i j} / L _ {i j}, S _ {i j} = - y _ {i j} / L _ {i j}, x _ {i j} = x _ {i} - x _ {j}, y _ {i j} = y _ {i} - y _ {j}, L _ {i j} ^ {2} = x _ {i j} ^ {2} + y _ {i j} ^ {2}
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1
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여기서, 형상함수 $N_{i}$ , $P_{i}$ 는 식 (1.5.4)\~(1.5.7)과 같다. 요소 변 중앙에서의 가상 회전각 $\Delta\theta_{ni}$ 를 구하기 위해 다음과 같은 가정을 이용한다.
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\- N 개의 변을 따라 전단력과 휩모멘트의 평형식을 만족한다.
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Q _ {s} = - M _ {s, s} - M _ {n s, n} \tag {1.5.14}
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\- 변에 수직한 축에 대한 회전변위는 변을 따라 2차이고, 접선방향 축에 대한 회전변위는 1차이다.
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\theta_ {n} = \left(1 - \frac {S}{L _ {i j}}\right) \theta_ {n i} + \frac {S}{L _ {i j}} \theta_ {n j} + 4 \frac {S}{L _ {i j}} \left(1 - \frac {S}{L _ {i j}}\right) \Delta \theta_ {n i}, \quad \theta_ {s} = \left(1 - \frac {S}{L _ {i j}}\right) \theta_ {s i} + \frac {S}{L _ {i j}} \theta_ {s j}
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$$
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1 \tag {1.5.15}
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\- 식 (1.5.14)를 통해 계산되는 전단변형률 $\overline{\gamma}_{sz}$ 는 형상함수로부터 직접 계산되는 전단변형률 $\gamma_{sz}$ 와 다음 관계를 만족한다.
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\int_ {0} ^ {L _ {i j}} \left(\gamma_ {s z} - \overline {{\gamma}} _ {s z}\right) d s = 0 \tag {1.5.16}
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위 가정을 통하여 구한 $\Delta\theta_{ni}$ 를 식 (1.5.13)에 대입하면, 다음과 같이 회전변위 $\theta_{x}, \theta_{y}$ 를 $u_{i}$ 로 표현할 수 있다.
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\theta_ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {H} _ {x i} ^ {T} \mathbf {u} _ {i}, \theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {H} _ {y i} ^ {T} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.17}
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여기서, $H_{xi}, H_{yi}$ 는 다음과 같다.
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\mathbf {H} _ {x i} = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ N _ {i} \\ 0 \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} \frac {3 P _ {k} S _ {k i}}{2 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} - \frac {3 P _ {i} S _ {i j}}{2 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \\ \frac {3 P _ {k} S _ {k i} y _ {k i}}{4 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} + \frac {3 P _ {i} S _ {i j} y _ {i j}}{4 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \\ - \frac {3 P _ {k} S _ {k i} x _ {k i}}{4 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} - \frac {3 P _ {i} S _ {i j} x _ {i j}}{4 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \end{array} \right\} \tag {1.5.18}
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\mathbf {H} _ {y, i} = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ N _ {i} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} - \frac {3 P _ {k} C _ {k i}}{2 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} + \frac {3 P _ {i} C _ {i j}}{2 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \\ - \frac {3 P _ {k} C _ {k i} y _ {k i}}{4 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} - \frac {3 P _ {i} C _ {i j} y _ {i j}}{4 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \\ \frac {3 P _ {k} C _ {k i} x _ {k i}}{4 L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} + \frac {3 P _ {i} C _ {i j} x _ {i j}}{4 L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} \end{array} \right\} \tag {1.5.19}
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$$
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\phi_ {i j} = \frac {2}{\kappa (1 - \nu)} (\frac {t ^ {2}}{L _ {i j} ^ {2}}) \quad \text {(등방성 재료의 경우)}
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$$
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i = 1, 2,.., N - 1, N \quad j = 2, 3,.., N, 1 \quad k = N, 1,.., N - 2, N - 1
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$$
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절점변위와 곡률 κ 의 관계는 $\mathbf { B } _ { b i }$ 에 의해 다음과 같이 표현된다.
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\mathbf {k} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {b i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.20}
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\mathbf {B} _ {b i} = \left[ \begin{array}{c} - \frac {\partial \mathbf {H} _ {y i} ^ {T}}{\partial x} \\ \frac {\partial \mathbf {H} _ {x i} ^ {T}}{\partial y} \\ \frac {\partial \mathbf {H} _ {x i} ^ {T}}{\partial x} - \frac {\partial \mathbf {H} _ {y i} ^ {T}}{\partial y} \end{array} \right] \tag {1.5.21}
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전단변형 γ 의 계산에는 식 (1.5.16)으로부터 계산되는 $\overline { { \gamma } } _ { s z }$ 를 이용하며, 절점변위와의 관계를 정의하는 행렬 $\mathbf { B } _ { s i }$ 는 다음과 같다.
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\boldsymbol {\gamma} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {s i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.5.22}
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3절점 요소
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\mathbf {B} _ {s i} = \left[ \begin{array}{c c} \left(\frac {S _ {j k}}{A _ {j}} N _ {j} - \frac {S _ {k i}}{A _ {i}} N _ {i}\right) \frac {\phi_ {i j}}{L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} & \left(\frac {S _ {i j}}{A _ {i}} N _ {i} - \frac {S _ {j k}}{A _ {k}} N _ {k}\right) \frac {\phi_ {k i}}{L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} \\ \left(\frac {C _ {k i}}{A _ {i}} N _ {i} - \frac {S _ {j k}}{A _ {j}} N _ {j}\right) \frac {\phi_ {i j}}{L _ {i j} \left(1 + \phi_ {i j}\right)} & \left(\frac {S}{A _ {k}} N _ {k} - \frac {S}{A _ {i}} N _ {i}\right) \frac {\phi_ {k i}}{L _ {k i} \left(1 + \phi_ {k i}\right)} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \frac {- y _ {i j}}{2} & \frac {x _ {i j}}{2} \\ - 1 & \frac {- y _ {k i}}{2} & \frac {x _ {k i}}{2} \end{array} \right]
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i = 1, 2, 3 \quad j = 2, 3, 1 \quad k = 3, 1, 2, A _ {i} = C _ {i j} S _ {k i} - C _ {k i} S _ {i j} \tag {1.5.23}
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4절점 요소
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\mathbf {B} _ {s i} = \left[ \begin{array}{l l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial x} \frac {\phi_ {i j}}{\left(1 + \phi_ {i j}\right)} & \frac {\partial N _ {k}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial x} \frac {\phi_ {k i}}{\left(1 + \phi_ {k i}\right)} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial y} \frac {\phi_ {i j}}{\left(1 + \phi_ {i j}\right)} & \frac {\partial N _ {k}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial y} \frac {\phi_ {k i}}{\left(1 + \phi_ {k i}\right)} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \frac {- y _ {i j}}{2} & \frac {x _ {i j}}{2} \\ - 1 & \frac {- y _ {k i}}{2} & \frac {x _ {k i}}{2} \end{array} \right] \tag {1.5.24}
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i = 1, 2, 3, 4 \quad j = 2, 3, 4, 1 \quad k = 4, 1, 2, 3
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\frac {\partial N _ {i}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial x} = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} \frac {\partial \xi}{\partial x} & i = 1, 3 \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} \frac {\partial \eta}{\partial x} & i = 2, 4 \end{array} , \quad \frac {\partial N _ {i}}{\partial \lambda} \frac {\partial \lambda}{\partial y} = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial N _ {i}}{\partial \xi} \frac {\partial \xi}{\partial y} & i = 1, 3 \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial \eta} \frac {\partial \eta}{\partial y} & i = 2, 4 \end{array} \right. \right. \tag {1.5.25}
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따라서 힘과 전단변형에 관계된 요소 강성은 다음과 같다.
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\mathbf {K} _ {i j} ^ {(O)} = \int_ {A _ {e}} \left(\mathbf {B} _ {b i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {b j} \frac {t ^ {3}}{1 2} + \mathbf {B} _ {s i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {s j} t\right) d A \tag {1.5.26}
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면외변형에 대한 강성으로 사용할 수 있는 방법 중 DKT(3절점) 요소와 DKQ(4절점) 요소는 전단변형을 고려하지 않는다. 이들 두 요소는 Kirchhoff–Love 가정의 이산화 (discretization)를 이용한다. 절점에서의 자유도는 식 (1.5.12)와 같이 요소좌표계에서 z 방향의 이동변위 w와 x, y 축에 대한 회전변위 $\theta_{x}$ , $\theta_{y}$ 를 고려한다. 요소 내 임의의 좌표 x, y 는 식 (1.5.2)와 같이 계산하고, 회전변위 $\theta_{x}$ , $\theta_{y}$ 는 다음과 같이 2차로 표현한다.
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\theta_ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \theta_ {x i} + \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i + N} \Delta \theta_ {x i}, \quad \theta_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} \theta_ {y i} + \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i + N} \Delta \theta_ {y i} \tag {1.5.27}
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3절점 요소
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N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)
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N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.5.28}
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4절점 요소
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8}, N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6}
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N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7}, \quad N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8}
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N _ {5} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), N _ {6} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2})
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N _ {7} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta), N _ {8} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.5.29}
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요소 변 중앙에서의 가상 회전각 $\Delta\theta_{xi}$ , $\Delta\theta_{yi}$ 를 구하기 위해 다음과 같은 가정을 이용한다.
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\- Kirchhoff-Love의 가정을 각 절점과 변의 중점에서 적용한다.
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절점: $-\theta_{x}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$ , $\theta_{y}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$ , 변의 중점: $-\theta_{n}+\frac{\partial w}{\partial s}=0$ (1.5.30)
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\- 면외방향 이동변위는 변을 따라 3차이고, 변의 접선방향을 향하는 축에 대한 회전변위는 1차이다.
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\frac {\partial w (L _ {i j} / 2)}{\partial s} = - \frac {3}{2 L _ {i j}} w _ {i} - \frac {1}{4} \frac {\partial w (0)}{\partial s} + \frac {3}{2 L _ {i j}} w _ {j} + \frac {1}{4} \frac {\partial w (L _ {i j})}{\partial s} \tag {1.5.31}
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\Delta \theta_ {s i} = \frac {1}{2} (\theta_ {s i} + \theta_ {s j}) , i = 1, 2,..., N - 1, N \quad j = 2, 3,..., N, 1 \tag {1.5.32}
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