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김경종
@@ -0,0 +1,388 @@
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30개의 좌표를 입력할 수 있으며, 최초 좌표는 0.d0 이어야 한다. (그림 2.6.1(e)).[조건 < 0.d0 , 변형률은 단조 감소의 값을 입력하여야 한다.]
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# 포화 모델
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본 모델을 사용하기 위해 입력해야 하는 물성치들은 다음과 같다. (그림 2.6.1(f)).
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초기압축강도(initial compressive strength) : fco 0.0
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극한압축강도(ultimate compressive strength) : fc 0.0
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불변경화계수(constant hardening modulus) : Ehar 0.0
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붕괴 계수(decaying factor) : 0.0
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# 포물선 모델
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포물선(parabolic) 모델은 Feenstra5 가 제안한 모델로서 파괴 에너지에 근거하여유도되었다. 본 곡선은 아래 그림과 같이 세 개의 특성 값으로 표현될 수 있다.(그림 2.6.1(g)).
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압축강도(compressive strength) : fc 0.0
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압축파괴에너지(compressive fracture energy) : Gc 0.0
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특성요소길이(characteristic element length) : h 0.0
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5 FEENSTRA, P. H., “Computational Aspects of Biaxial Stress in Plain and Reinforced Concrete”, PhD thesis, Delft University of Technology, 1993.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Point | f | Gc/h |
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|-------|-------|-------|
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| αu | - | - |
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| αc | - | - |
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| αc/3 | - | - |
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| fc/3 | - | - |
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</details>
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그림 2.6.3 포물선 압축곡선
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최대 압축강도 $f_{c}$ 의 1/3 에 도달하는 지점의 변형률은 다음과 같다.
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\alpha_ {c / 3} = \frac {1}{3} \frac {f _ {c}}{E} \tag {2.6.3}
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최대 압축 강도에 해당하는 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\alpha_ {c} = - \frac {4}{3} \frac {f _ {c}}{E} = 4 \alpha_ {c / 3} \tag {2.6.4}
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$$
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위 값들은 요소 크기나 압축 파괴 에너지와는 무관하게 결정됨을 알 수 있다. 끝으로 압축부에서 연화가 완료된 상태를 의미하는 극한 변형률은 다음과 같다.
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$$
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\alpha_ {u} = \alpha_ {c} - \frac {3}{2} \frac {G _ {c}}{h f _ {c}} \tag {2.6.5}
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$$
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이상의 변수들을 바탕으로 아래와 같은 곡선 관계식을 얻을 수 있다.
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$$
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f = \left\{ \begin{array}{l l} - f _ {c} \frac {1}{3} \frac {\alpha_ {j}}{\alpha_ {c / 3}} & \text { if } \quad 0 \leq \alpha_ {j} < \alpha_ {c / 3} \\ - f _ {c} \frac {1}{3} \left(1 + 4 \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c / 3}}{\alpha_ {c} - \alpha_ {c / 3}}\right) - 2 \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c / 3}}{\alpha_ {c} - \alpha_ {c / 3}}\right) ^ {2}\right) & \text { if } \quad \alpha_ {c / 3} \leq \alpha_ {j} < \alpha_ {c} \\ - f _ {c} \left(1 - \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c}}{\alpha_ {u} - \alpha_ {c}}\right) ^ {2}\right) & \text { if } \quad \alpha_ {c} \leq \alpha_ {j} < \alpha_ {u} \\ 0 & \text { if } \quad \alpha_ {u} \leq \alpha_ {j} \end{array} \right. \tag {2.6.6}
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$$
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한편, 파괴에너지 Gc 와 특성요소길이 h 가 연화부분에서 지배적임을 다음과 같이유도할 수 있다.
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$$
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\int_ {\alpha_ {c}} ^ {\alpha_ {u}} f d \alpha_ {j} = f _ {c} \left(\alpha_ {j} - \frac {1}{3} \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c}}{\alpha_ {u} - \alpha_ {c}}\right) ^ {3}\right) \Bigg | _ {\alpha_ {c}} ^ {\alpha_ {u}} = \frac {G _ {c}}{h} \tag {2.6.7}
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$$
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# 2-7인장 모델
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# 2.7.1 인장연화에 대한 배경이론
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균열의 수직방향 응력과 변형률 사이의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\sigma_ {n n} ^ {c r} (\mathcal {E} _ {n n} ^ {c r}) = f _ {t} \cdot y \left(\frac {\mathcal {E} _ {n n} ^ {c r}}{\mathcal {E} _ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) \tag {2.7.1}
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$$
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여기서 $f_{t}$ 는 인장강도를 의미하고, $\varepsilon_{nn.ult}^{cr}$ 는 극한균열변형률을 의미한다.
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함수 $y(\cdot)$ 는 다양한 연화 도식(softening diagram)을 모사하게 된다.
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응력과 변형률 관계에 있어서 연화 거동이 균열폭(crack bandwidth) h 를 통해 Mode-I 파괴에너지, $G_{f}^{I}$ 와 연관이 있다고 보면, 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있다.
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$$
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G _ {f} ^ {I} = h \int_ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} ^ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = \infty} \sigma_ {n n} ^ {c r} (\varepsilon_ {n n} ^ {c r}) d \varepsilon_ {n n} ^ {c r} \tag {2.7.2}
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$$
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식 (2.45)을 식 (2.46)에 대입하면,
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$$
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G _ {f} ^ {I} = h f _ {t} \int_ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} ^ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = \infty} y \left(\frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) d \varepsilon_ {n n} ^ {c r} \tag {2.7.3}
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$$
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여기서 $f_{t}$ 는 상수라고 보았다.
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식 (2.7.4)와 같이 치환을 하고 $\varepsilon_{nn.ult}^{cr}$ 을 유한하다고 가정하면, 식 (2.7.5) 를 얻을 수 있다.
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$$
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x = \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} \tag {2.7.4}
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$$
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$$
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G _ {f} ^ {I} = h f _ {t} \left(\int_ {x = 0} ^ {x = \infty} y (x) d x\right) \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} \tag {2.7.5}
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$$
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이상의 과정을 통해 최종적인 극한균열변형률, $\varepsilon_{nn.ult}^{cr}$ 을 식 (2.7.6)과 같이 얻을 수 있다.
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이 값은 해석 수행 도중에는 일정하다고 보며, 식 (2.7.6) 에 나타난 바와 같이 요소의 물성치와 인장강도, 파괴에너지, 균열폭을 고려하여 계산된다.
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$$
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\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} = \frac {1}{\alpha} \times \frac {G _ {f} ^ {I}}{h f _ {t}} \tag {2.7.6}
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$$
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$$
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\alpha = \int_ {x = 0} ^ {x = \infty} y (x) d x \tag {2.7.7}
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$$
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인장강도가 초과되거나 변형이 특정요소에 집중되는 경우 Mode-I 파괴에너지는소산되게 된다. 이러한 해석 기법에서는 유한 요소 망의 정밀도(mesh refinement)와 해석결과는 밀접한 관계를 가지게 된다. 경우에 따라 요소 분할이 너무 크게 되어 구성모델상에서 스냅백(snap-back) 문제가 야기될 수 있다. 결과적으로 본해석기법에서 가정된 객관적인 파괴에너지 개념이 만족되지 않을 수 있다.
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구성 모델에서의 스냅백 문제는 연화 도식(softening diagram)의 초기 기울기가영 계수보다 절대값으로 클 경우 발생할 수 있다. 여기서 전제로 된 가정은 인장연화 도식(tension softening diagram)의 초기 접선 기울기가 가장 큰 절대값을 가진다고 본 것이다. 이러한 조건을 수식으로 표현해 보면 아래와 같다.
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$$
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\left. \frac {d \sigma_ {n n} ^ {c r}}{d \varepsilon_ {n n} ^ {c r}} \right| _ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} \geq - E \tag {2.7.8}
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$$
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위 식은 식 (2.7.9) 와 같이 다시 표현될 수 있다.
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식 (2.7.9)에 식 (2.7.6)의 극한균열변형률을 대입하고, 다시 정리하면 식 (2.7.10)을 얻을 수 있다.
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$$
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\left. \frac {f _ {t}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} \geq - E \tag {2.7.9}
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$$
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$$
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\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} \geq - \frac {f _ {t}}{E} \left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = \varepsilon_ {n n. u l t. \min} ^ {c r} \tag {2.7.10}
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$$
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만약 식 (2.7.10)의 조건이 만족되지 못할 경우, 이를 해결하기 위한 몇 가지 대안이 있다.
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먼저 균열폭을 줄이는 방법이다. 그러나 이 값은 요소의 고유한 값이며 일정하게유지되어야 한다. 다음으로는 파괴에너지, I Gf 를 증가시키는 방법이 있다. 이것은
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결국 재료의 연성을 증가시키는 역할을 하게 된다. 마지막으로는 인장 강도 tf 를감소시키는 방법이 있다. 이는 파괴에너지는 일정하게 하면서 재료의 연성을 증가시키는 역할을 하게 된다.
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이상 제시된 방안들 중 가장 효율적인 방법은 물리적인 의미를 고려할 때, 인장강도를 감소시키는 방법이다. 고려되는 영역이 클수록 인장강도가 감소될 확률은 높아진다. 이는 곳 요소가 큰 요소의 경우 적절히 인장강도가 감소되어야 함을 의미한다. 왜냐하면 이렇게 큰 요소의 경우에는 응력집중이 나타나기 힘들기 때문이다.따라서 만약 식 (2.7.10) 이 만족되지 않는 경우 다음과 같이 인장강도는 감소되어야 한다.
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$$
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f _ {t, r e d} ^ {2} = - \frac {G _ {f} ^ {\prime} E}{\alpha h \frac {d y}{d x} \Big | _ {x = 0}} \tag {2.7.11}
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$$
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다른 대안으로는 균열폭이 아래와 같은 값을 갖도록 요소 크기를 줄여주는 방법도있다.
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$$
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h _ {\max} = - \frac {G _ {f} ^ {I} E}{\left. \alpha f _ {t} ^ {2} \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0}} \tag {2.7.12}
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$$
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# 2.7.2 전변형률 균열모델의 인장 모델
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전변형률 균열모델에서 제공하는 인장 거동 모델은 탄성(elastic), 불변(constant),취성(brittle), 선형(linear), 지수(exponential), Hordijk, 다중선형(multi-linear)이다.이들은 다음과 같이 이론적 차이를 바탕으로 구분할 수 있다.
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전변형률 균열모델에서는 파괴에너지에 근거한 연화 함수들을 구현하고 있다. 이연화함수들을 바탕으로 모델을 구분해보면, 선형 연화 곡선(linear softeningcurve), 지수 연화 곡선(exponential softening curve), 비선형 연화 곡선(nonlinear softening curve - Hordijk6 )이 있다. 이들 모델들은 분산균열모델에서와 마찬가지로 균열폭과 연관을 가진다.
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다음으로, 파괴에너지에 직접적으로 상관관계가 없는 인장 거동이 있다. 이들은 전변형률 개념 안에서 적절히 모사될 수 있다. 이들은 불변, 다중선형, 취성 거동들이다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ
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ε
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</details>
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(a) elastic
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ
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fₜ
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</details>
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||||
(b) constant
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε | σ |
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| ---- | ----- |
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| 0 | 0 |
|
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| 0.5 | 1 |
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| 1 | 0 |
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</details>
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(c) brittle
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ
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fₜ
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Gₙ/h
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ε
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</details>
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(d) linear
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<details>
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<summary>line</summary>
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| f_t | σ |
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|-----|-------|
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| 0 | 0 |
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| Peak| 1 |
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| 1 | 0 |
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| 2 | 0 |
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</details>
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(e) exponential
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε | σ |
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| ------- | ----- |
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| 0 | 0 |
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| G_f^I / h | Peak |
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| (σ₀, ε₀) | (σ₀, ε₀) |
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</details>
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(f) Hordijk
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε | σ |
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|---|---|
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| (ε₁, σ₁) | |
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| (ε₂, σ₂) | |
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| (εₙ, σₙ) | |
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</details>
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(g) multi-linear
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그림 2.7.1 인장 모델
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# 탄성 모델
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일반적인 탄성 모델로서 영 계수를 사용한다. (그림 2.7.1(a)).
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# 불변 모델
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인장강도를 초과 하면 더 이상 인장응력 증가가 없는 모델이다. (그림 2.7.1(b)).
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인장강도 : ft 0.0 의 값을 입력한다.
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# 취성 모델
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인장강도를 초과 하면 더 이상 인장응력 증가가 없고, 저항 응력이 0 이 되는 모델이다. (그림 2.7.1(c)).
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인장강도 : ft 0.0 의 값을 입력한다.
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그림 2.7.2 에서 알 수 있듯이 파괴 에너지 소산과 피크 변형률, peaknn 의 관계는다음 식과 같다.
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$$
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G _ {f} = \frac {1}{2} f _ {t} \varepsilon_ {n n} ^ {\text { peak }} h \tag {2.7.13}
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$$
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<details>
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<summary>line</summary>
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| ε_nn | σ_nn |
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|------|------|
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| 0 | 0 |
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| peak | 1 |
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</details>
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그림 2.7.2 취성 균열거동
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# - 선형연화 모델
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인장강도를 초과 하면 선형 연화(linear softening)가 일어난다고 본 모델이다. (그림 2.7.1(d)).
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입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.
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인장강도: $f_{t} > 0.0$ 의 값을 입력한다.
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인장 파괴에너지: $G_{f}^{I} > 0.0$
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균열폭: h > 0.0
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<details>
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<summary>line</summary>
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||||
| ε_cr_nn | σ_cr_nn |
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||||
| ------- | ------- |
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||||
| f_t | σ_cr_nn |
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| ε_cr_nn, ult | σ_cr_nn, G_f^I / h |
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</details>
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그림 2.7.3 선형 인장연화
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균열응력(crack stress)의 관계식과 α 은 아래와 같이 주어진다.
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$$
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\frac {\sigma_ {n n} ^ {c r} \left(\varepsilon_ {n n} ^ {c r}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} & \left(i f \quad 0 < \varepsilon_ {n n} ^ {c r} < \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r}\right) \\ 0 & \left(i f \quad \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} < \varepsilon_ {n n} ^ {c r} < \infty\right) \end{array} \right. \tag {2.7.14}
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$$
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$$
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||||
\alpha = \int_ {0} ^ {\infty} y (x) d x = \int_ {0} ^ {1} y (x) d x + \int_ {0} ^ {\infty} 0 d x = \int_ {0} ^ {1} (1 - x) d x = \frac {1}{2} \tag {2.7.15}
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$$
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||||
이상의 유도 과정을 통해 극한균열변형률을 다음과 같이 얻을 수 있다.
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$$
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\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} = 2 \frac {G _ {f} ^ {I}}{h f _ {t}} \tag {2.7.16}
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$$
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||||
여기서 간단히 식 (2.7.17) 을 유도할 수 있으며, 이를 통해 극한균열변형률의 최소값을 식 (2.7.18) 과 같이 얻을 수 있다. 또한 감소된 인장 강도도 식 (2.7.19) 와같이 얻을 수 있다.
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$$
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\left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = - 1 \tag {2.7.17}
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$$
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$$
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||||
\varepsilon_ {\mathrm{nn.ult.min}} ^ {c r} = \frac {f _ {t}}{E} \tag {2.7.18}
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$$
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||||
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||||
$$
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||||
f _ {t} = \sqrt {2 \frac {G _ {f} ^ {I} E}{h}} \tag {2.7.19}
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$$
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||||
|
||||
# 지수연화 모델
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||||
인장강도를 초과하면 지수연화(exponential softening)가 일어난다고 본 모델이다.(그림 2.7.1(e)).
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||||
입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.
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||||
인장강도 : ft 0.0 의 값을 입력한다.
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인장 파괴에너지 : 0.0 I Gf
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균열폭 : h 0.0
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# Hordijk 모델
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인장강도를 초과하면 Hordijk이 제안한 연화가 일어난다고 본 모델이다. (그림2.7.1(f)).
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입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.
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인장강도 : ft 0.0 의 값을 입력하면 된다.
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