MODE	Present	ABAQUS
1	1.67189	1.6736
2	1.69982	1.7033
3	2.01893	2.0198
4	2.57052	2.5706
5	3.30094	3.3003
6	3.46471	3.4751
7	4.2056	4.2041
8	5.29042	5.2879
9	6.47877	6.5154
10	6.56839	6.5648

Table. 6 Comparison of Eigenvalue for Rectangular Plate Shell with ABAQUS

MODE	Present	ABAQUS
1
2
6

Table. 7 Comparison of Mode Shape for Rectangular Plate Shell with ABAQUS # 3.3.2 Cylindrical Shell 정적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 Fig. 22과 같은 원통형쉘(cylindrical shell) 형상에 대해 정적 좌굴 해석을 수행하였다. 크기는직경 0.3m, 길이 2m이고, 두께는 0.005m로 4노드 쉘 40x80 격자로모델링 하였으며, 재료의 물성치는 탄성계수 71GPa, 푸아송 비는 0.3을적용하였다. 경계 조건은 한 면은 XYZ방향의 변위를 구속하였고, 반대쪽면은 XY방향의 변위를 구속하였으며, 하중은 YZ방향의 변위를 구속한면에 X방향으로 총 40000N의 압축력을 가하였다. 

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BC(12) BC(123) P Y z X UNIVERSITY

Fig. 22 Cylindrical Shell Model 해석 결과 고유치는 Table. 8과 같으며, ABAQUS 해석 결과와 유사하게나옴을 확인할 수 있다. 또한 고유치 벡터(eigenvector)로부터 확인할 수있는 좌굴 형상 역시 ABAQUS와 유사함을 확인할 수 있다.(Table. 10) 이 때 정적 좌굴 해석으로부터 나온 고유치를 식(2.83)에 대입하면,Table. 9와 같은 임계 좌굴 압력(critical buckling pressure)을 구할 수 있으며,이론값[6]과 비교했을 때 유사한 결과가 나옴을 알 수 있고 더불어ABAQUS 해석 결과보다 오차가 적음을 알 수 있다.

MODE	Present	ABAQUS
1	1204.05	1242.9
3	1418.57	1442.7
5	1502.83	1534.4
7	1564.76	1626.3
9	1616.48	1641.0

Table. 8 Comparison of Eigenvalue for Cylindrical Shell with ABAQUS

MODE	$P_{cr} \times 10^{9} [N/m^{2}]$ (Present)	$P_{cr} \times 10^{9} [N/m^{2}]$ (Analytical)	$P_{cr} \times 10^{9} [N/m^{2}]$ (ABAQUS)
1	1.0220	0.9926	1.0550
3	1.2041	1.1641	1.2246
5	1.2756	1.1722	1.3024
7	1.3282	1.2602	1.3804
9	1.3721	1.2993	1.3929

Table. 9 Comparison of Critical Buckling Pressure for Cylindrical Shell with Analytic Solution

MODE	Present	ABAQUS
1
3
5

Table. 10 Comparison of Mode Shape for Cylindrical Shell with ABAQUS # 3.3.3 Stiffened Square Plate Shell 정적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 Fig. 23과 같은 보강된 정사각형평판 쉘(stiffened square plate shell) 형상에 대해 정적 좌굴 해석을수행하였다. 평판은 가로 10m, 세로 10m, 두께 0.01m이고,보강재(stiffener)는 가로 10m, 세로 1m, 두께 0.01m이며, 4노드 쉘 4000개요소로 모델링 하였다. 재료의 물성치는 탄성계수 71GPa, 푸아송 비0.3을 적용하였다. 경계 조건은 한 면은 XYZ방향의 변위를 구속하였고,반대쪽 면은 XZ방향의 변위를 구속하였으며, 하중은 XZ방향의 변위를구속한 면에 Y방향으로 총 80N의 압축력을 가하였다. 

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BC(123) BC(13) F z y x

Fig. 23 Stiffened Square Plate Shell Model 해석 결과 고유치는 Table. 11과 같으며, ABAQUS 해석 결과와유사하게 나옴을 확인할 수 있다. 또한 고유치 벡터(eigenvector)로부터확인할 수 있는 좌굴 형상 역시 ABAQUS와 유사함을 확인할 수 있다.(Table. 12)

MODE	Present	ABAQUS
1	9640.01	9694.7
2	9908.3	9965.8
3	10106.5	10167.
4	10424	10483.
5	10476	10531.
6	10894.6	10970.
7	11054.2	11118.
8	11250	11307.
9	11357.8	11400.
10	11615.1	11657.

Table. 11 Comparison of Eigenvalue for Stiffened Square Plate Shell with ABAQUS

MODE	Present	ABAQUS
1
2
4

Table. 12 Comparison of Mode Shape for Stiffened Square Plate Shell with ABAQUS # 3.4 Dynamic Buckling Analysis # 3.4.1 Dynamic Buckling Analysis of Beam 

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BC(123) BC(23) P(t) Y Z Y X

Fig. 24 Dynamic Buckling Analysis Model for Beam 동적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 먼저 Fig. 24와 같은 보(beam)형상에 대한 동적 좌굴 이론값과 유한요소해석 결과를 비교해 보았다.보의 크기는 먼저 가로 800mm, 세로 30mm, 두께 3mm 이고, 요소는4노드 쉘 요소 160x6격자를 사용하였다. 탄성계수(Young‟s modulus)는68.9GPa이고, 프아송 비(Poisson‟s ration)는 0.33, 밀도는 2700kg/m3의물성치를 주었다. 경계조건은 왼쪽 면은 XYZ방향의 변위를 구속하였고,오른쪽 면은 YZ방향의 변위를 구속하였다. 하중은 식 (3.3)와 같은시간에 따른 하중을 가하였으며, 이 때 동적 좌굴 해석을 위한 방정식은식 (3.4)와 같다. 이 때 $P _ { 0 } \frac { 2 } { 2 }$ 정적 하중, P는 동적 하중의 크기, 는 가진주파수(excitation frequency), 는 동적 매개변수(Dynamic parameter), K는강성 행렬(stiffness matrix), ${ \bf K } _ { g } ^ { ( s ) }$ 는 정적 하중에 대한 기하 강성행렬(geometric stiffness matrix), $\mathbf { K } _ { g } ^ { ( d ) }$ 는 동적 하중에 대한 기하 강성 행렬,M은 질량 행렬(Mass matrix)을 의미하며, 고유치 해석(eigenvalue analysis)을통해 가진 주파수를 구할 수 있다. $$ P (t) = P _ {0} + P _ {t} \beta \cos (\theta t) \tag {3.3} $$ $$ \left| \mathbf {K} + \mathbf {K} _ {g} ^ {(s)} \pm \frac {\beta}{2} \mathbf {K} _ {g} ^ {(d)} - \frac {\theta^ {2}}{4} \mathbf {M} \right| = 0 \tag {3.4} $$ Fig. 24와 같은 보 모델에 대해 유한요소해석을 이용한 고유치 해석결과 고유진동수(natural frequency)는 10.7Hz이고, 임계좌굴하중(criticalbuckling loads) 71.73N으로 계산되었다. 그리고 동적 좌굴 해석을 수행하여불안정 경계 영역(instability region)을 구하고, 이를 이론값과 비교한 결과Fig. 25과 같이 나타낼 수 있으며, 유사한 결과가 나옴을 확인할 수 있다.이 때 $P _ { 0 } { = } 0 .$ , 인 경우 이다. 그리고 Fig. 25에서 하중이 0일 때구조물이 불안정 해지는 가진 주파수는 고유진동수의 두 배임을 확인 할수 있으며, 동적 하중의 크기가 증가할수록 불안정 경계 영역이 넓어짐을확인할 수 있다. 

line

| Pt(N) | Lower_Present (Hz) | Upper_Present (Hz) | Lower_Analytic (Hz) | Upper_Analytic (Hz) | |-------|---------------------|---------------------|----------------------|----------------------| | 0 | 21.5 | 21.5 | 21.5 | 21.5 | | 10 | 21.0 | 22.0 | 21.0 | 22.0 | | 20 | 20.5 | 22.5 | 20.5 | 22.5 | | 30 | 20.0 | 23.0 | 20.0 | 23.0 | | 40 | 19.5 | 23.5 | 19.5 | 23.5 |

Fig. 25 Dynamic Instability Region of Beam # 3.4.2 Dynamic Buckling Analysis of Plate 

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BC(Fixed) x y BC(Fixed) P(t) z BC(23)

Fig. 26 Dynamic Buckling Model for Plate 동적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 Fig. 26과 같은 판(plate)형상에 대한 동적 좌굴 실험값과 유한요소해석 결과를 비교해 보았다.판의 크기는 먼저 가로 1000mm, 세로 250mm, 두께 1mm 이고, 요소는4노드 쉘 요소 100x25격자(mesh)를 사용하였다. 탄성계수(Young‟smodulus)는 63.3GPa이고, 프아송 비(Poisson‟s ration)는 0.33, 밀도는2678.4kg/m3의 물성치를 주었다. 경계조건은 실험 모델을 바탕으로 한쪽면은 양 끝 단의 50x50mm2 영역을 고정 구속하였고, 반대쪽 면은 한쪽끝 단의 50x50mm2 영역을 XZ방향의 변위에 대해 구속하였다. 하중은 식(3.3)와 같은 시간에 따른 하중을 가하였으며, 이 때 동적 좌굴 해석을위한 방정식은 식 (3.4)와 같다. Fig. 26과 같은 판(plate) 형상에 대해 유한요소해석을 이용한 고유치해석 결과 고유진동수(natural frequency)는 5.17Hz이고, 임계 좌굴하중(critical buckling loads)는 49.6N으로 계산되었다. 그리고 동적 하중에대한 동적 좌굴 해석을 수행하여 불안정 경계 영역(instability region)을구한 결과 Fig. 27과 같은 결과를 얻을 수 있으며, 실험값과 유한요소해석결과가 유사한 경향성을 보이는 것을 확인 할 수 있다. 이 때 실선이유한요소해석 결과이고 사각형 모양의 점들이 실험결과를 나타낸다.[11] 

line

| Pt [N] | FE Analysis (rpm) | Experiment (rpm) | | ------ | ----------------- | ---------------- | | 10 | 750 | - | | 20 | 780 | 780 | | 30 | 800 | 800 | | 40 | 820 | 820 | | 50 | 840 | - | | 60 | 860 | - |

Fig. 27 Dynamic Instability Region of Plate