# 4절점 사각형 요소
이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 $P_{i}$ 는 다음 그림과 같습니다.
text_image
N4
η
N3
η = 1/√3
P4
P3
ξ
P1
P2
N1
ξ = -1/√3
ξ = 1/√3
N2
η = -1/√3
Z
x
$$
P _ {1} = \left(- \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
$$
$$
P _ {2} = \left(\frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
$$
$$
P _ {3} = \left(\frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
$$
$$
P _ {4} = \left(- \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
$$
그림 1.3.21 4절점 평면변형률요소의 적분점위치
이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
$$
N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta), N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta)
$$
이 요소의 적분점 좌표인 $P_{i}$ 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 $P_{1}$ 에 대한 전체좌표계에서 x 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
$$
x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{6} \left[ (2 + \sqrt {3}) x _ {1} + x _ {2} + (2 - \sqrt {3}) x _ {3} + x _ {4} \right]
$$
같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
$$
x _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text { symmetry } & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \end{array} \right\}
$$
# 3-7-5 응력계산법(Extrapolation)
3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.
text_image
ξ = -1
η = 1
ξ = 1
η = 1
t = 1
η = -1
ξ = -1
s = -1
s = 1
ξ = 1
η
ξ = -1
η
ξ = 1
t = -1
η = -1
ξ = 1
그림 1.3.22 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법
4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계를 갖습니다.
$$
s = \xi \sqrt {3}, t = \eta \sqrt {3}
$$
요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
$$
\sigma_ {N} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i}
$$
예를 들어 절점 1에서 응력에 대해 형상함수에 $\xi,\eta$ 대신 앞의 s, t 를 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$
\begin{array}{l} \sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{4} \left[ (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} + (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} \right. \\ \left. + (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {3} + (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {4} \right] \\ = \frac {1}{4} \left[ (4 + 2 \sqrt {3}) \sigma_ {1} - 2 \sigma_ {2} + (4 - 2 \sqrt {3}) \sigma_ {3} - 2 \sigma_ {4} \right] \\ \end{array}
$$
같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다.
$$
\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} \\ \sigma_ {N 2} \\ \sigma_ {N 3} \\ \sigma_ {N 4} \end{array} \right\} = \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} & - 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & - 1 \\ & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \\ \sigma_ {4} \end{array} \right\}
$$
# 3-7-6 요소내력 출력내용
평면변형요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.23은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방향의 단위 segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.
■ 연결절점에서의 요소내력 출력
■연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을 곱한 값으로 출력됩니다.
연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
▪ 요소내력의 출력
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.18과 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다.
■ 요소응력의 출력
요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.23과 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다.
※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
text_image
y
σyy
σyx
σzz
σxx
σxy
σzz
σxy
σxx
x
z
σyx
σyy
(a) 축응력 및 전단응력 성분
text_image
y
3
2
σ₃
σ₂
σ₁
θ
z
x
σ₂
σ₃
(b) 주응력 성분
$\sigma_{xx}$ : Axial stress in the ECS x - direction
$\sigma_{yy}$ : Axial stress in the ECS y - direction
$\sigma_{zz}$ : Axial stress in the ECS z - direction
$\sigma_{xy} = \sigma_{yx}$ : Shear stress in the ECS x - y plane
$\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ : Principal stresses in the directions of the principal axes, 1, 2 and 3
where, $\sigma^3 - I_1\sigma^2 - I_2\sigma - I_3 = 0$
$$
I _ {l} = \sigma_ {x x} + \sigma_ {y y} + \sigma_ {z z}
$$
$$
I _ {2} = - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right|
$$
$$
I _ {3} = \left| \begin{array}{c c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right|, \sigma_ {x z} = \sigma_ {z y} = 0
$$
$\theta$ : Angle between the x-axis and the principal axis, 1 in the ECS x-y plane
$\tau_{max}$ : Maximum shear stress = max $\left[\frac{\left|\sigma_{1}-\sigma_{2}\right|}{2},\frac{\left|\sigma_{2}-\sigma_{3}\right|}{2},\frac{\left|\sigma_{3}-\sigma_{1}\right|}{2}\right]$
$\sigma_{eff}:$ von - Mises Stress $= \sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}$
$\sigma_{oct}:$ Octahedral Normal Stress $= \frac{1}{3}\big(\sigma_{1} + \sigma_{2} + \sigma_{3}\big)$
$\tau_{oct}:$ Octahedral Shear Stress $= \sqrt{\frac{1}{9}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}$
그림 1.3.23 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
PLANE STRAIN ELEMENT FORCES(GLOBAL）DEFAULT OUTPUT
Unit System：kN，m
| ELEM | MAT | LC | NODE | FX | FZ |
| 1 | 1 | LCOMB1 | 1 | 0.00000 | -792.25733 |
| | | 2 | -368.40881 | -769.85496 |
| | | 13 | -434.10321 | 734.84737 |
| | | 12 | -69.04498 | 789.21492 |
| | LCOMB2 | 1 | 0.00000 | -1028.47676 |
| | | 2 | -352.46066 | -978.32967 |
| | | 13 | -433.19898 | 947.23949 |
| | | 12 | -85.89736 | 1021.51694 |
PLANE STRAIN ELEMENT STRESSES(GLOBAL）DEFAULT OUTPUT
Unit System:N，mm
| ELEM | MAT | LC | NODE | Sig-XX | Sig-YY | Sig-ZZ | Sig-XZ | | |
| 1 | 1 | LCOMB1 | Cent | 82.6287 | 0.0000 | -1.9933 | -3.7578 | | |
| 1 | 82.3088 | 0.0000 | -2.0162 | -3.4446 | | |
| 2 | 82.9937 | 0.0000 | -2.0140 | -3.4873 | | |
| 13 | 82.9440 | 0.0000 | -1.9716 | -4.0557 | | |
| 12 | 82.2564 | 0.0000 | -1.9716 | -4.0429 | | |
| | | NODE | Sig-P1 | Sig-P2 | Sig-P3 | MAX-SHR | Sig-EFF | Sig-Oct |
| | | Cent | 82.7952 | 0.0000 | -2.1599 | 42.4775 | 83.8960 | 39.5489 |
| | | 1 | 82.4492 | 0.0000 | -2.1567 | 42.3030 | 83.5485 | 39.3851 |
| | | 2 | 83.1365 | 0.0000 | -2.1568 | 42.6467 | 84.2356 | 39.7091 |
| | | 13 | 83.1373 | 0.0000 | -2.1648 | 42.6511 | 84.2406 | 39.7114 |
| | | 12 | 82.4501 | 0.0000 | -2.1652 | 42.3076 | 83.5537 | 39.3876 |
| | LC | NODE | Sig-XX | Sig-YY | Sig-ZZ | Sig-XZ | | |
| | LCOMB2 | Cent | 82.6287 | 0.0000 | -1.9933 | -3.7578 | | |
| | 1 | 82.3088 | 0.0000 | -2.0162 | -3.4446 | | |
| | 2 | 82.9937 | 0.0000 | -2.0140 | -3.4873 | | |
| | 13 | 82.9440 | 0.0000 | -1.9716 | -4.0557 | | |
| | 12 | 82.2564 | 0.0000 | -1.9716 | -4.0429 | | |
| | | NODE | Sig-P1 | Sig-P2 | Sig-P3 | MAX-SHR | Sig-EFF | Sig-Oct |
| | | Cent | 82.7952 | 0.0000 | -2.1599 | 43.4775 | 83.8960 | 39.5489 |
| | | 1 | 82.4492 | 0.0000 | -2.1567 | 42.3030 | 83.5485 | 39.3851 |
| | | 2 | 83.1365 | 0.0000 | -1.9716 | 42.6467 | 84.2356 | 39.7091 |
| | | 13 | 83.1373 | 0.0000 | -2.1648 | 42.6511 | 84.2406 | 39.7114 |
| | | 12 | 82.4501 | 0.0100 | -2.1652 | 42.3076 | 83.5537 | 39.3876 |
그림 1.3.24 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
# 3-8 축대칭요소 (2D Axisymmetric Element)
# 3-8-1 일반사항
이 요소는 형상, 재질, 하중조건 등이 임의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구조체(Pipe, Cylindrical Vessel Body 또는 Head 등)의 해석에 사용될 수 있으며 등매개변수 정식화이론(Isoparametric Formulation)을 근거로 개발되었습니다.
이 요소는 다른 종류의 요소와 혼용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만적용 가능합니다.
축대칭 요소는 3차원 축대칭 모델을 축대칭적 특성을 고려하여 2차원 요소로 이상화한 것입니다. midas Civil에서는 전체좌표계 Z축이 회전대칭을 위한 기준축이 되고, 전체좌표계 X-Z 평면의 Z축의 오른쪽 평면에 위치하도록 입력되어야 합니다. 이 경우 반경방향은 전체좌표계 X축 방향이 되며, 모든 절점의 X방향 좌표는 양(X≥0)의 값을 가지도록 모델링 되어야 합니다.
요소의 두께는 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian(단위폭)으로 자동 고려됩니다.
이 요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하기 때문에 원주방향에 대한 변위, 전단변형률( $\gamma_{XY}, \gamma_{YZ}$ ) 그리고 원주방향 전단응력( $\tau_{XY}, \tau_{YZ}$ )은 모두 존재하지 않습니다.
text_image
Z (axis of rotation)
1.0 radian (unit width)
N4
N3 an axisymmetric element
N1
N2
X (radial direction)
그림 1.3.25 축대칭요소의 단위 폭
# 3-8-2 요소자유도 및 요소좌표계
midas Civil에서 축대칭요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을 계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.
# 요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.
요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방향은 그림 1.3.26과 같이 설정됩니다.
사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평면상에서 오른손좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩니다.
삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.
※ 요소내력의 출력은 전체좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
text_image
ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis
in the element plane)
Fz3
Fx3
N3
Node numbering order for
creating the element
(N1→N2→N3→N4)
ECS x-axis
(N1 to N2 direction)
Center of Element
ECS z-axis (normal to the element
surface, out of the paper)
Fx1
N1
N2
Fx2
Fx3
Fz1
Fz2
(a) 사각형 요소
Z
GCS
X
Fz3
ECS y-axis (perpendicular to ECS x-
axis)
Fx3
N3
Node numbering order for creating
the element (N1→N2→N3)
ECS z-axis (normal to the element
surface,
Center of Element
ECS x-axis
(N1→N2 direction)
Fx1
N1
Fz1
N2
Fx2
Fz2
(b) 삼각형 요소
GCS
X
Z
GCS
그림 1.3.26 축대칭요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력
# 3-8-3 요소관련 기능
| Create Elements | 요소 입력 |
| Material | 재료적 성질 입력 |
| Pressure Loads | 요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력 |
축대칭요소의 압력하중은 그림 1.3.27과 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압력하중의 작용면적은 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian의 폭만큼 자동 고려됩니다.
text_image
P1
P2
P1
N4
edge number 3
N3
edge number 4
edge number 2
N1
N2
P2
P1
P2
Z
GCS
X
edge number 1
그림 1.3.27 축대칭요소의 압력하중
# 3-8-4 요소내력 출력내용
축대칭요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.28은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방향의단위 Segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.
연결절점에서의 요소내력 출력
연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을곱한 값으로 출력됩니다.
연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
요소내력의 출력
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.26과 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.
요소응력의 출력
요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.28과 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.