Section Shape	Torsional Resistance	Section Shape	Torsional Resistance
1. Solid Round Bar	$I_{xx} = \frac{1}{2} \pi r^{2}$	2. Solid Square Bar	$I_{xx} = 2.25a^{4}$
3. Solid Rectangular Bar	$I_{xx} = ab^{3} \left[ \frac{16}{3} - 3.36 \frac{b}{a} \left( I - \frac{b^{4}}{12a^{4}} \right) \right]$ (where, $a \geq b$ )

표 1.5.3 Solid Section의 비틀림강성

Section Shape	Torsional Resistance	Section Shape	Torsional Resistance
1. Rectangular Tube (Box)	$I_{xx} = \frac{2(b \times h)^2}{\left(\frac{b}{t_f} + \frac{h}{t_w}\right)}$	2. Circular Tube(Pipe)[IMAGE]	$I_{xx} = \frac{1}{2} \pi \left[ \left( \frac{D_o}{2} \right)^4 - \left( \frac{D_i}{2} \right)^4 \right]$

표 1.5.4 두께가 얇은 폐쇄형 단면의 비틀림 강성

Section Shape	Torsional Resistance
1. Angle	$I_{xx} = I_1 + I_2 + \alpha D^4$ $I_1 = ab^3 \left[ \frac{1}{3} - 0.21 \frac{b}{a} \left( 1 - \frac{b^4}{12a^4} \right) \right]$ $I_2 = cd^3 \left[ \frac{1}{3} - 0.105 \frac{d}{c} \left( 1 - \frac{d^4}{192c^4} \right) \right]$ $\alpha = \frac{d}{b} \left( 0.07 + 0.076 \frac{r}{b} \right)$ $D = 2 \left[ d + b + 3r - \sqrt{2(2r + b)(2r + d)} \right]$ (where, $b < 2(d + r)$ )
2. TeeIF $b < d$ : $t = b$ , $t_1 = d$ IF $b > d$ : $t = d$ , $t_1 = b$	$I_{xx} = I_1 + I_2 + \alpha D^4$ $I_1 = ab^3 \left[ \frac{1}{3} - 0.21 \frac{b}{a} \left( 1 - \frac{b^4}{12a^4} \right) \right]$ $I_2 = cd^3 \left[ \frac{1}{3} -0.105 \frac{d}{c} \left( 1 - \frac{d^4}{192c^4} \right) \right]$ $\alpha = \frac{t}{t_1} \left( 0.15 + 0.10 \frac{r}{b} \right)$ $D = \frac{(b + r)^2 + rd + \frac{d^2}{4}}{(2r + b)}$ (where, $d < 2(b + r)$ )
3. Chain	Sum of torsional stiffnesses of 2 angles
4. I-Section	$I_{xx} = 2I_1 + I_2 + 2\alpha D^4$ $I_1 = ab^3 \left[ \frac{1}{3} - 0.21 \frac{b}{a} \left( 1 - \frac{b^4}{12a^4} \right) \right]$ $I_2 = \frac{1}{3} cd^3$ $\alpha = \frac{t}{t_1} \left( 0.15 + 0.10 \frac{r}{b} \right)$ $D = \frac{(b + r)^2 + rd + \frac{d^2}{4}}{(2r + b)}$ (where, $d < 2(b + r)$ )

표 1.5.5 두께가 두꺼운 개방형 단면의 비틀림강성

Section Shape	Torsional Resistance
1. Angle	$I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + b \times t_{f}^{3} \right)$
2. Channel	$I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + 2 \times b \times t_{f}^{3} \right)$
3. I-Section	$I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + 2 \times b \times t_{f}^{3} \right)$
4. Tee	$I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + b \times t_{f}^{3} \right)$
5. I-Section	$I_{xx} = \frac{1}{3} \left( h \times t_{w}^{3} + b_{1} \times t_{f1}^{3} + b_{2} \times t_{f2}^{3} \right)$

표 1.5.6 두께가 얇은 개방형 단면의 비틀림강성 2개 이상의 형강을 조합하여 하나의 단면으로 만들 경우, 조합하는 형태에 따라 폐쇄형 단면과 개방형 단면이 동시에 생길 수 있습니다. 이 경우 비틀림강성의 계산은 폐쇄형 단면 부분과 개방형 단면 부분으로 나누어 각각 계산한 다음 그 값을 더하는 방법을 사용합니다. 예를 들면, 이종 H형 단면(Double H-section)의 경우 1.5.3(a)와 같이 단면의 중앙에는 폐쇄형 단면이 형성되고, 외곽 플랜지들은 개방형 단면이 됩니다. -폐쇄형 단면 부분(빗금친 부분)의 비틀림강성 $$ I _ {C} = \frac {2 (b _ {1} \times h _ {1}) ^ {2}}{\left(\frac {b _ {1}}{t _ {f}} + \frac {h _ {1}}{t _ {w}}\right)} \tag {4} $$ -개방형 단면 부분(돌출된 플랜지 부분)의 비틀림강성 $$ I _ {o} = 2 \left[ \frac {1}{3} \left(2 b - b _ {1} - t _ {w}\right) \times t _ {w} ^ {3} \right] \tag {5} $$ \- 전체단면에 대한 비틀림강성 $$ I _ {x x} = I _ {C} + I _ {O} \tag {6} $$ H형 단면을 2개의 Flat Bar로 보강할 경우에는 그림 1.5.3(b)와 같이 폐쇄형 단면이 2개 이상 생길 수 있으며 이 때의 단면 비틀림강성은 다음과 같이 계산합니다. 플랜지 끝단부의 개방형 단면에 대한 비틀림강성이 전체단면의 비틀림강성에 비해 무시할 정도로 작은 값일 경우, H형 단면의 상 하 플랜지와 보강재로 사용된 2개의 Flat Bar에 의해 형성되는 최외곽의 폐쇄 단면에 대하여 비틀림강성을 계산하면 다음과 같습니다. $$ I _ {x x} = \frac {2 (b _ {1} \times h _ {1}) ^ {2}}{\left(\frac {b _ {1}}{t _ {f}} + \frac {h _ {1}}{t _ {w}}\right)} \tag {7} $$ 그리고 전체단면을 구성하는 요소중에서 개방형 단면의 비틀림강성이 무시할 수 없을 정도로 큰 값일 경우 개방형 단면에 대한 비틀림강성을 계산하여 더합니다. 

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z b t_f h_l y t_w h b_l

(a) 폐쇄형과 개방형 단면이 함께 존재하는 경우 

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z h₁ tₛ tᵥ y h b₁ b

(b) 폐쇄형 단면이 2개 이상 존재하는 경우 그림 1.5.3 두개 이상의 형강을 조합한 단면의 비틀림강성 # 5-4 단면2차모멘트 ( $I_{yy}$ , $I_{zz}$ : Area Moment of Inertia) 단면2차모멘트(Area Moment of Inertia)는 힘모멘트(Bending Moment)에 저항하는 강성(Flexural Stiffness)을 계산하는데 사용되며, 해당 단면의 도심축에서 다음의 식에 따라 계산됩니다.- 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트 $$ I _ {y y} = \int z ^ {2} d A \tag {8} $$ \- 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트 $$ I _ {z z} = \int y ^ {2} d A \tag {9} $$ 

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8 z ③ ② Centroid y 10 3 17 Neutral axis z' 2 4 y' ① y Reference point for the centroid position calculation y 10

	1	2	3	Total
$b$	10	2	8	-
$h$	4	10	3	-
$A_{i}$	40	20	24	84
$\overline{z}_{i}$	2	9	15.5	-
$Q_{yi}$	80	180	372	63.2
$\overline{y}_{i}$	5	5	5	-
$Q_{zi}$	200	100	120	420

$A_{i}$ : area $\overline{z}_{i}$ : distance from the reference point to the centroid of the section element in the $z'$ -axis direction $\overline{y}_{i}$ : distance from the reference point to the centroid of the section element in the $y'$ -axis direction $Q_{yi}$ : first moment of area relative to the reference point in the $y'$ -axis direction $Q_{zi}$ : first moment of area relative to the reference point in the $z'$ -axis direction \- 중립축 위치 계산 ( $\bar{Z}$ , $\bar{Y}$ ) $$ \overline {{{Y}}} = \frac {\int \overline {{{z}}} d A}{A r e a} = \frac {Q _ {y}}{A r e a} = \frac {6 3 2}{8 4} = 7. 5 2 3 8 $$ $$ \overline {{{Z}}} = \frac {\int \overline {{{y}}} d A}{A r e a} = \frac {Q _ {z}}{A r e a} = \frac {4 2 0}{8 4} = 5. 0 0 0 0 $$ \- 단면 2차 모멘트 계산 (Iyy, Izz)

Section element	$A_i$	$\overline{Z} - \overline{z}_i$	$I_{y1}$	$I_{y2}$	$I_{yy}$	$\overline{Y} - \overline{y}_i$	$I_{z1}$	$I_{z2}$	$I_{zz}$
1	40	5.5328	1224.5	53.3	1277.8	0	0	333.3	333.3
2	20	1.4672	43.1	166.7	209.8	0	0	6.7	6.7
3	24	7.9762	1526.9	18.0	1544.9	0	0	128.0	128.0
Total			2794.5	238.0	3032.5		0	468.0	468.0

$$ I _ {y 1} = A _ {i} \times (\overline {{{Z}}} - \overline {{{z}}} _ {i}) ^ {2}, \quad I _ {y 2} = \frac {b h ^ {3}}{1 2}, \quad I _ {y y} = I _ {y 1} + I _ {y 2} $$ $$ I _ {z 1} = A _ {i} \times (\overline {{{Y}}} - \overline {{{y}}} _ {i}) ^ {2}, \quad I _ {z 2} = \frac {h b ^ {3}}{1 2}, \quad I _ {z z} = I _ {z 1} + I _ {z 2} $$ # 5-5 단면상승모멘트 ( $I_{yz}$ : Area Product Moment of Inertia) 단면상승모멘트(Area Product Moment of Inertia)는 비대칭단면의 응력성분을 계산하는데 사용되며 그 정의는 식 (10)과 같습니다. $$ I _ {y z} = \int y \cdot z d A \tag {10} $$ H, Pipe, Box, Channel, Tee형 단면과 같이 요소좌표계 y, z축 어느 1개의 축에 대해서 대칭인 경우에는 $I_{yz}=0$ 이 되며, Angle형 단면과 같이 어느 1개 축에 대해서도 대칭이 아닌 경우에는 $I_{yz} \neq 0$ 이므로 응력성분 계산시 고려하여야 합니다. Angle형 단면의 단면상승모멘트의 계산방법은 아래와 같습니다. 

text_image

z B ① tf centroid H ② y Z tw Y

$$ \begin{array}{l} I _ {y z} = \sum A _ {i} \times e _ {y i} \times e _ {z j} \\ = (B \times t _ {f}) \times (B / 2 - \bar {Y}) \times \{(H - t _ {f} / 2) - \bar {Z} \} \\ + \left\{\left(H - t _ {f}\right) \times t _ {w} \right\} \times \left\{t _ {w} / 2 - \bar {Y}\right) \times \left\{\left(H - t _ {f} / 2\right) - \bar {Z} \right\} \\ \end{array} $$

Section Element	$A_i$	$e_{yi}$	$e_{zi}$
1	$B \times t_f$	$B/2-\overline{Y}$	$(H-t_f/2)-\overline{Z}$
2	$(H-t_f) \times t_w$	$t_w/2-\overline{Y}$	$(H-t_f/2)-\overline{Z}$


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z m φ x y φ n z x y M_y V_y M M_z V_z V

그림 1.5.4 비대칭형 단면에서의 휈응력 분포도 중립축(Neutral Axis)은 휨모멘트에 의한 부재내 휨응력이 '0(Zero)' 이 되는 위치를 통과하는 축을 말하며, 그림 1.5.4의 우측 그림에서와 같이 n-축이 중립축이 됩니다. m-축은 n-축에 대하여 수직을 이루는 축입니다. 중립축에서는 휨모멘트에 의한 휨응력이 '0' 이므로 식 (11)로부터 중립축 방향을 구할 수 있습니다. $$ \left(M _ {y} \times I _ {z z} + M _ {z} \times I _ {y z}\right) \times z - \left(M _ {z} \times I _ {y y} + M _ {y} \times I _ {y z}\right) = 0 $$ $$ \tan \phi = \frac {y}{z} = \frac {M _ {y} \times I _ {z z} + M _ {z} \times I _ {y z}}{M _ {z} \times I _ {y y} + M _ {y} \times I _ {y z}} \tag {11} $$ 힘모멘트에 의한 단면의 힜응력을 계산하는데 적용되는 일반식은 식 (12)와 같습니다. $$ f _ {b} = \frac {M _ {y} - M _ {z} \left(I _ {y z} / I _ {z z}\right)}{I _ {y y} - \left(I _ {y z} ^ {2} / I _ {z z}\right)} \cdot z + \frac {M _ {z} - M _ {y} \left(I _ {y z} / I _ {y y}\right)}{I _ {z z} - \left(I _ {y z} ^ {2} / I _ {y y}\right)} \cdot y \tag {12} $$ 만일 H형 단면일 경우에는 $I_{yz}=0$ 이 되므로, $$ f _ {b} = \frac {M _ {y}}{I _ {y y}} \cdot z + \frac {M _ {z}}{I _ {z z}} \cdot y = f _ {b y} + f _ {b x} \tag {13} $$ 여기서, $l_{yy}$ : 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트 $I_{zz}$ : 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트 $I_{yz}$ : 단면상승모멘트 y : 요소단면의 중립축으로부터 힘응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌 표계 y축 방향의 거리 z : 요소단면의 중립축으로부터 휈응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌 표계 z축 방향의 거리 $M_{y}$ : 요소좌표계 y축에 대한 힘모멘트 $M_{z}$ : 요소좌표계 z축에 대한 힘모멘트 요소좌표계 y축 및 z축 방향으로 작용하는 전단력에 대한 전단응력을 계산하는데 적용되는 일반식은 식 (14), (15)와 같습니다. $$ \tau_ {y} = \frac {V _ {y}}{b _ {z} \times \left(I _ {y y} \cdot I _ {z z} - I _ {y z} ^ {2}\right)} \times \left(I _ {y y} \cdot Q _ {z} - I _ {y z} \cdot Q _ {y}\right) = \left(\frac {I _ {y y} \cdot Q _ {z} - I _ {y z} \cdot Q _ {y}}{I _ {y y} \cdot I _ {z z} - I _ {y z} ^ {2}}\right) \times \left(\frac {V _ {y}}{b _ {z}}\right) \tag {14} $$ $$ \tau_ {z} = \frac {V _ {z}}{b _ {y} \times \left(I _ {y y} \cdot I _ {z z} - I _ {y z} ^ {2}\right)} \times \left(I _ {z z} \cdot Q _ {y} - I _ {y z} \cdot Q _ {z}\right) = \left(\frac {I _ {z z} \cdot Q _ {y} - I _ {y z} \cdot Q _ {z}}{I _ {y y} \cdot I _ {z z} - I _ {y z} ^ {2}}\right) \times \left(\frac {V _ {z}}{b _ {y}}\right) \tag {15} $$ 여기서,Vy : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력 Vz : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력 Qy : 요소좌표계 y축에 대한 단면 1차모멘트 Qz : 요소좌표계 z축에 대한 단면 1차모멘트 by : 전단응력을 계산하는 위치에서의 요소좌표계 z축과 직각을 이루는 단면의 두께 bz : 전단응력을 계산하는 위치에서의 요소좌표계 y축과 직각을 이루는 단면의 두께