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Pre-stressing force Jacking tension force ΔP P 1 P 1 Tension after release l_set Distance from the anchorage

그림 2.12.1 정착장치의 활동이 긴장력에 미치는 영향 그림 2.12.1에서 텐던의 인장력의 분포가 직선으로 나타나지만 실제로는 곡선의형태로 분포하게 되므로, midas Civil에서는 이러한 인장력의 곡선분포를 고려하여정착장치의 활동에 의한 프리스트레스의 손실을 계산하고 있습니다. # 12-2-2 텐던과 쉬스 사이의 마찰에 의한 손실 포스트텐션방식에서는 PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰로 인하여 PS 강재의 인장력이긴장재의 끝으로부터 멀어질수록 작아집니다. 이러한 마찰손실은 긴장재의 각도변화(Curvature Effect)에 의한 손실인 곡률마찰(Curvature Friction) 손실과 긴장재의길이의 영향(Length Effect)에 의한 손실인 파상마찰(Wobble Friction) 손실로 나눌수 있으며 각각 단위각도당 마찰계수  (Radian)와 단위길이당 마찰계수 k를 사용하여 나타낼 수 있습니다. 긴장단에서 P0 로 긴장했을 경우 텐던의 곡선길이  만큼 떨어진 곳에서의 총 각변화가  이면 그 지점에서의 인장력 P 는 식 (4)와 같이 나타낼 수 있습니다. $$ P _ {x} = P _ {0} e ^ {- (\mu \alpha + k l)} \tag {4} $$

긴장재의 종류			k(/m)	(μ/Rad)
부착시킨 긴장재		강선	0.0033~0.0050	0.15~0.25
		강봉	0.0003~0.0020	0.08~0.30
		고강도 스트랜드	0.0015~0.0066	0.15~0.25
부착시키지않은 긴장재	수지방수피복	강선	0.0033~0.0066	0.05~0.15
		고강도 스트랜드	0.0033~0.0066	0.05~0.15
	그리스 도포	강선	0.0010~0.0066	0.05~0.15
		고강도 스트랜드	0.0010~0.0066	0.05~0.15

표 2.12.1 k 및  의 값 (도로교 및 콘크리트 설계기준)

긴장재의 종류	덕트의 종류	k/(m)	( $\mu$ /Rad)
PS강선및 PS 강연선	금속쉬스	0.0066	0.30
	아연도금 금속쉬스	0.0050	0.25
	그리스 또는 아스팔트로 코팅하고 또 피복된 것	0.0066	0.30
	아연도금된 강성덕트	0.0007	0.25
PS 강봉	금속 쉬스	0.0010	0.20
	아연도금 금속쉬스	0.0007	0.15

표 2.12.2 k 및  의 값 (철도교 설계기준) # 12-2-3 콘크리트의 탄성변형에 의한 손실 콘크리트에 프리스트레스를 도입하면 콘크리트는 압축되어 그만큼 부재의 길이가줄어들게 되고 콘크리트에 정착된 텐던의 길이 역시 줄어들게 되어 텐던의 인장응력이 감소하게 됩니다. 이러한 탄성변형에 의한 손실은 프리텐션방식이나 포스트텐션방식에서 모두 발생하지만 그 형태는 조금 다르게 나타납니다. 프리텐션방식의 경우에는 인장재(고정지주)의 긴장력(Jacking Force)을 부재에 가하는 순간 탄성수축이 일어나고 텐던의 길이가 짧아져서 프리스트레스의 손실이 일어나게 됩니다. 즉, 그림 2.12.2에 나타난 것처럼 인장재에 가하는 긴장력( Pj )과실제로 부재에 가해지는 긴장력( Pj )은 다르게 됩니다. 그러나 포스트텐션방식의 경우 따로 인장대가 있는 것이 아니라 경화한 콘크리트부재를 받침으로 하여 텐던을 긴장합니다. 따라서 콘크리트 부재가 단축하는 것은프리텐션방식과 같지만 이 때 텐던의 인장력은 콘크리트 부재가 탄성 단축된 후에측정되기 때문에 콘크리트의 탄성변형으로 인한 인장력의 감소는 있을 수 없습니다. midas Civil에서는 임의의 시공단계에서 요소가 생성된 후 긴장력이 가해지는포스트텐션방식과는 달리 시공단계에서 모형화가 불가능한 프리텐션방식의 경우에는 콘크리트 탄성변형에 의한 프리스트레스의 손실은 고려하지 않습니다. 따라서프리텐션방식으로 긴장을 할 때는 하중값 입력시에 인장대에 가하는 긴장력( Pj )이아니라 실제로 부재에 가해지는 긴장력( P )을 입력해 주어야 합니다. 대부분의 포스트텐션 부재는 많은 수의 긴장재가 배치되어 미리 정해 놓은 긴장순서에 따라 긴장하고 정착하는 것이 일반적이므로, 콘크리트의 탄성수축도 순차적으로 일어납니다. 따라서 그림 2.12.3(b)의 Tendon 1과 같이 제일 먼저 정착하는텐던은 그 시점에서 인장력의 감소가 없지만 두번째 텐던을 정착하면 이 탄성수축때문에 그림 2.12.3(c)과 같이 첫번째 텐던의 인장력이 감소하게 됩니다. midasCivil은 매 시공단계마다 텐던의 긴장에 의한 탄성수축으로 발생하는 프리스트레스의 손실 뿐 아니라 외부하중에 의한 탄성수축으로 발생하는 프리스트레스의 손실모두 고려하고 있습니다. 

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Jacking tension force before release Pre-tension force after release Pj P1 Pre-stress tension anchorage abutment

그림 2.12.2 탄성수축으로 인한 인장력의 감소 (프리텐션 부재) 

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Tendon 1 Tendon 2

(a) 

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First tendon tensioning

(b) 

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Second tendon tensioning

(c） 그림 2.12.3 프리스트레스의 순차적인 도입에 의한 인장력의 감소 (포스트텐션 부재) # 12-2-4 시간의존적 손실 프리스트레스는 콘크리트의 크리프와 건조수축 및 PS 텐던의 이완(Relaxation) 때문에 시간의 경과와 더불어 감소하게 됩니다. midas Civil에서는 각각의 시공단계마다 콘크리트 부재의 시간의존적인 특성을 고려하여 크리프 및 건조수축에 의해 발생하는 변형을 계산하고 있습니다. 또한 계산된 콘크리트 부재의 변형으로 발생하는 PS 텐던의 인장응력의 감소도 고려합니다. 계산된 프리스트레스의 시간적 손실은 매 시공단계마다 그래프를 통하여 쉽게 확인할 수 있습니다. 이완(Relaxation)이란 PS 텐던에 인장응력을 작용시켜서 그 변형률을 일정하게 유지하면, PS 텐던에 준 인장응력이 시간의 경과와 더불어 점차 감소하는 현상으로정의되며, 이완에 의한 손실은 재하된 초기응력의 크기, 경과된 시간, 제품의 성질에 따라 각각 다르게 나타납니다. midas Civil에서는 PS 텐던의 이완을 고려하기위하여 널리 사용되고 있는 Magura1) 의 식과 CEB-FIP의 식을 사용합니다. # Magura식을 사용한 Relaxation 계산식 $$ \frac {f _ {s}}{f _ {s i}} = 1 - \frac {\log t}{C} \left(\frac {f _ {s i}}{f _ {y}} - 0. 5 5\right) \quad \text { 여기서, } \frac {f _ {s i}}{f _ {y}} \geq 0. 5 5 \tag {5} $$ 여기서, $f_{si}$ 는 초기응력, $f_{s}$ 는 재하 후 t시간 후의 응력, $f_{y}$ 는 항복응력(0.1% Offset Yield Stress), C는 제품에 관한 상수로서 일반강재인 경우 10, 저 름랙세이션 강재를 사용한 경우 45를 사용합니다. 이 식은 이완의 정의에서 설명한 것처럼 텐던의 응력이 일정하게 유지될 때를 가정하고 있습니다. 그러나 실제 PS 텐던의 인장력은 시간에 따라서 크리프, 건조수축, 외부하중의 변화에 의하여 불연속적으로 변화하기 때문에 식 (5)를 직접 적용하기에는 어려움이 있습니다. 따라서 midas Civil에서는 매 시공단계마다 이완에 의한 손실을 제외한 다른 요인에 의한 텐던의 인장력의 변화를 계산한 후에 각각의 시공단계에 해당하는 가상의 초기응력 (Fictitious Initial Prestress) $^{2}$ 을 구한 후 이완에 의한 손실을 계산합니다. # CEB-FIP식을 사용한 Relaxation 계산식 이 식은 시간에 따라서 초기응력의 일정한 비율이 감소하는 것으로 계산합니다. $$ \Delta f _ {n} = f _ {s i} \times \left(\frac {R P}{1 0 0}\right) \left(D L _ {n} - D L _ {n - 1}\right) $$ $$ - t _ {n}, t _ {n - 1} \leq 1 0 0 0 (\text { days }) $$ $$ D L _ {n} = \frac {1}{1 6} \ln \left(\frac {t _ {n} - t _ {s}}{1 0} + 1\right), \quad D L _ {n - 1} = \frac {1}{1 6} \ln \left(\frac {t _ {n - 1} - t _ {s}}{1 0} + 1\right) $$ $$ - 1 0 0 0 < t _ {n}, t _ {n - 1} \leq 5 0 0 0 0 0 (\text { days }) $$ $$ D L _ {n} = \left(\frac {t _ {n} - t _ {s}}{5 0 0 0 0 0}\right) ^ {0. 2}, \quad D L _ {n - 1} = \left(\frac {t _ {n - 1} - t _ {s}}{5 0 0 0 0 0}\right) ^ {0. 2} $$ $$ - t _ {n}, t _ {n - 1} \geq 5 0 0 0 0 0 (\text { days }) $$ $$ D L _ {n} = D L _ {n - 1} = 1. 0 $$ 여기서, $f_{si}$ : 초기응력 RP : Relaxation 발생 비율 (%) $t_{n}$ , $t_{n-1}$ : 시공단계 n, n-1 의 시간 (days) $t_{s}$ : 긴장력 도입 시간 (days) # 12-3 프리스트레스 하중 midas Civil에서 PS 텐던에 의해 구조물에 가해지는 프리스트레스 하중을 등가의 하중으로 치환하는 방법은 그림 2.12.4와 같습니다.  그림 2.12.4 텐던의 프리스트레스에 의한 등가하중 그림 2.12.4은 하나의 보요소에 텐던이 배치되어 있는 형상을 나타낸 것입니다. 설명의 편의상 2차원으로 표현하였지만 요소좌표계 xy평면에 대해서도 동일한 방법으로 계산됩니다. 그림에서 보는 바와 같이 midas Civil에서는 내부적으로 하나의 보요소를 4등분을 하여 등가하중을 계산합니다. 이때 4등분한 요소 내에서의 텐던 형상은 그림 2.12.4(b)와 같이 실제적인 텐던의 형상을 따르며, 다만 구간내에서 등가하중은 그림 2.12.4(c)와 같이 일정하다고 가정합니다. 텐던에 가해지는 인장 력 $P_{i}$ 와 $P_{j}$ 는 마찰에 의한 손실 때문에 다르게 되므로, i 와 j 단 양쪽의 3개의 집중하중( $p_{x}$ , $m_{y}$ , $p_{z}$ ) 만으로는 내부적으로 평형이 될 수 없습니다. 따라서 부재 내에서 자체로 평형을 이루도록 등분포하중을 고려합니다. 식 (6)과 (7)에 의해서 양단의 집중하중을 계산하고 식 (8)과 (9)를 이용해서 요소 내부의 등분포하중을 계산합니다. $$ p _ {x} ^ {i} = p ^ {i} \cos \theta^ {i} $$ $$ p _ {z} ^ {i} = p ^ {i} \sin \theta^ {i} \tag {6} $$ $$ m _ {y} ^ {i} = p _ {x} ^ {i} \cdot e _ {z} ^ {i} $$ $$ p _ {x} ^ {j} = p ^ {j} \cos \theta^ {j} $$ $$ p _ {z} ^ {j} = p ^ {j} \sin \theta^ {j} \tag {7} $$ $$ m _ {y} ^ {j} = p _ {x} ^ {j} \cdot e _ {z} ^ {j} $$ $$ \sum F _ {x} = p _ {x} ^ {i} + w _ {x} l - p _ {x} ^ {j} = 0 $$ $$ \sum F _ {z} = - p _ {z} ^ {i} + w _ {z} l + p _ {z} ^ {j} = 0 \tag {8} $$ $$ \sum M _ {y} ^ {j} = m _ {y} ^ {i} - p _ {z} ^ {i} l + w _ {z} \frac {l ^ {2}}{2} + m _ {y} ^ {j} + m _ {y} l = 0 $$ $$ w _ {x} = \frac {p _ {x} ^ {j} - p _ {x} ^ {i}}{l} $$ $$ w _ {z} = \frac {p _ {z} ^ {i} - p _ {z} ^ {j}}{l} \tag {9} $$ $$ m _ {y} = p _ {z} ^ {i} - w _ {z} \frac {l}{2} - \frac {m _ {y} ^ {i} + m _ {y} ^ {j}}{l} $$ midas Civil에서는 매 시공단계마다 크리프, 건조수축, 텐던의 이완 등 프리스트레스의 시간적 손실 뿐 아니라 외부하중이나 온도의 변화로 인한 구조물의 변형으로 인해 이미 설치된 텐던에서 발생하는 프리스트레스의 손실도 고려하고 있습니다. 먼저 시공단계 해석시 발생하는 변형에 의한 텐던의 인장력의 변화를 계산하고 계산된 인장력의 변화량을 앞서 설명한 방법대로 등가하중으로 치환하여 요소에 부여합니다. # Chapter 13. 이동하중해석 midas Civil의 이동하중 해석기능은 구조물의 설계시 정적차량이동하중(StaticVehicle Moving Load) 조건을 반영하는데 사용되며 주요한 기능은 다음과 같습니다.  이동하중에 따른 처짐, 부재내력, 반력 등에 대한 영향선(Influence Line)과영향면 (Influence Surface)의 산출  산출된 영향선과 영향면을 이용하여 주어진 차량이동하중조건에 대한 최대최소 절점변위, 부재내력, 지점반력의 산출 구조물에 대한 이동하중해석은 차량하중이 이동하면서 유발하는 하중에 대한 해석을 수행하는 것으로 차량하중의 이동경로 전체에 대해 해석을 수행하여 최대값,최소값을 계산하고 이동하중조건 결과로 사용합니다. 구조물에 대한 이동하중해석을 수행하기 위해서는 재하해야 할 차량하중, 차량하중이 재하되는 차선이나 차선면, 차량하중의 재하방법 등을 정의하고, 차선이나 차선면에 단위하중을 재하하여 영향선이나 영향면을 계산합니다. 영향선은 구조물의 차선을 따라가면서 단위하중을 재하하여 정적해석을 수행하고각 성분들의 해석결과를 차선상에 나타낸 것입니다. 영향면은 구조물의 차선면내에 위치한 판요소의 절점에 단위하중을 재하하여 해석한 결과를 하중작용점에 나타낸 것입니다. 영향선이나 영향면의 계산이 가능한 결과에는 구조모델에 포함된절점의 변위와 트러스요소, 보요소, 판요소의 부재력과 지점반력이 포함됩니다. 차량이동하중해석의 해석과정을 간략하게 정리하면 다음과 같습니다. 1. 차량하중, 이동하중재하방법, 차선이나 차선면 등을 정의합니다. 2. 차선이나 차선면을 사용하여 단위하중조건을 만들고 각 단위하중에 대한정적해석을 수행하여 각 성분별 영향선이나 영향면을 계산합니다. 3. 차량하중의 재하방법에 따라 영향선 또는 영향면을 사용하여 차량의 이동에 따른 해석결과들을 산출합니다. 이러한 과정을 거쳐 산출되는 해석결과들은 한 개의 이동하중조건에 대해 최대와최소의 두 가지 해석결과를 갖게 되고 다른 하중조건들과의 조합이 가능합니다.이동하중조건이 최대와 최소의 두 가지 해석결과를 갖기 때문에 하중조합을 하게되면 조합된 결과 역시 최대와 최소의 두 가지 해석 결과를 갖게 됩니다. 해석의결과로는 절점변위, 지점반력, 트러스, 보, 판요소의 부재내력 등이 출력되며, 이외의 입력된 요소에 대해서는 강성만 고려되고 해석결과는 산출하지 않습니다 차량이동하중해석에서 사용하는 영향선 또는 영향면의 단위하중은 전체좌표계의 -Z방향으로 작용하게 되며 이동하중해석 조건의 수는 무제한으로 사용이 가능합니다. 영향선해석과 영향면해석은 동시에 수행될 수 없으며, 표 2.13.1은 각각의 특징과용도를 정리한 것입니다.

구 분		영향선 해석	영향면 해석
용 도		주형에 의한 거동이 지배적인 교량 또는 교량의 입면 2차원 해석에 적용(강박스교 등)	교축직각방향으로 차량이동하중에 의한 구조적 거동의 변화가 큰 경우 (슬래브교, 라멘교 등)
영향 해석결과의 표현		차선요소(보요소)상의 영향선으로 표현	차선면요소(판요소)상의 영향면으로 표현
해석성분		절점변위, 지점반력, 부재내력	절점변위, 지점반력, 부재내력
해석대상요소		트러스, 보, 판요소 (기타요소는 해석과정에서 강성효과만 기여)	트러스, 보, 판요소 (기타요소는 해석과정에서 강성효과만 기여)
하중재하방법	차륜하중 및차선집중하중	차선요소(보요소)에 집중하중으로재하	차선을 구성하는 절점에 집중하중으로 재하
	차선분포하중	차선요소(보요소)에 분포하중으로재하	차선면요소(판요소)에 압력하중으로 재하

표 2.13.1 영향선 및 영향면 해석의 용도 및 특징 영향선은 보요소상의 차선(Traffic Lane)을 따라가면서 단위하중(수직력 또는 편심비틀림모멘트)을 재하하여 해석되며, 모델에 포함된 모든 절점과 트러스요소, 보요소, 판요소, 그리고 지지점에 대해 절점변위, 요소내력, 반력성분으로 산출됩니다. 영향면은 차선면(Traffic Surface Lane)내에 위치한 판요소 절점에 단위하중(수직력)을 재하한 해석 결과로부터 산출됩니다. 그리고 midas Civil은 산출된 영향선 또는 영향면을 이용하여 한국 도로교설계기준,AASHTO1), Caltrans2), AREA3) 또는 사용자가 임의로 입력한 차량하중(Vehicle LiveLoad) 및 재하조건에 대해서 변위, 반력, 트러스요소, 보요소, 판요소, Link요소에대한 최대최소 설계치(Design Quantities)를 계산하여 출력하며, 보요소에 대해서는보 부재력중 축력과 강약축에 대한 모멘트의 각 성분별 최대최소치 뿐 아니라 해당 최대최소부재력과 동시에 발생하는 기타 내력성분도 산출합니다. midas Civil은 입력된 다수의 차선과 차선면에 대해 양방향 주행조건, 편심비틀림조건을 포함한 모든 재하가능 조건과 각 지간(Span)별로 입력된 충격계수(ImpactFraction)를 고려하여 차량하중을 재하하게 되며, 재하되는 모든 차량하중(차륜, 차선, 기타)에 대해 가장 불리한 조건에 대한 해석결과를 산출합니다. 해석모델에 트러스요소, 보요소, 판요소 이외의 요소(평면응력요소, 입체요소 등)가포함되면 이 요소들은 구조물의 해석시 강성효과에만 반영되고 차량하중에 의한부재력은 산출되지 않습니다. 이와 같은 제약은 차량하중이 재하되면 프로그램 내부에서 하중재하점의 개수만큼에 해당하는 하중조건이 발생하게 되고, 이를 해석적으로 소화하기 위해서는 해석소요시간에 대한 문제뿐 아니라 대용량의 데이터에 따른 문제를 해소하기 위한 것입니다.