# Chapter 2. Total Strain Crack # 2-1 개요 # 2.1.1 콘크리트 균열모델 콘크리트의 균열에 대한 해석 방법은 그림 2.1.1과 같이 이산균열모델(discretecrack model)과 분산균열모델(smeared crack model)로 구분할 수 있다. 이산균열모델은 균열을 경계로 분리된 유한요소를 사용하는 방법이며, 분산균열모델은균열이 분산 분포된 것으로 가정하여 균열 위치에 분리된 요소를 사용하지 않는방법이다. 

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Discrete Crack fct σnσ Gf w Smeared Crack σnσ fct σnσ Gf/h εnσ

그림 2.1.1 콘크리트 균열 모델 이산균열모델은 콘크리트 균열에 의한 물리적인 불연속 및 철근의 파단과 미끄러짐 등의 거동을 구체적으로 모사할 수 있는 장점이 있다. 그러나 해석에 필요한 물성치에 따라 해석의 정밀도가 크게 좌우되거나, 유한요소 모델링이 상당히 복잡하다는 단점이 있다. 모델링 방법으로는 균열 발생 위치에서 요소를 자동으로 분할하게 하거나, 균열이 예상되는 부위에 계면 요소(interface element)를 미리 추가하는 방법 등이 있다. 분산균열모델은 국부적으로 발생하는 균열이 넓은 면에 고르게 분산된 것으로 가정하는 방법을 사용한다. 일반적으로 철근이 많이 배근된 철근 콘크리트 구조물의해석에 적합하다고 알려져 있으며, 유한요소 모델링이 비교적 간단하다. 분산균열 모델은 발생 균열의 각도를 가정하는 방법에 따라 균열 방향이 서로 직교하는 직교 균열(orthogonal crack)모델과 균열 방향이 서로 직교하지 않는 비직교 균열(non-orthogonal crack)모델로 구분하기도 한다. 또한 균열에 대한 수치적 해석방법에 따라 변형률 분해 모델(decomposed-strain model), 전변형률 모델(totalstrain model) 및 기타 다양한 모델로 구분된다. 분산균열모델에서의 변형률분해 모델은 전변형률을 재료변형률(material strain)과균열변형률(crack strain)로 분리하여 계산을 수행한다. 재료변형률은 선형변형률(elastic strain), 소성변형률(plastic strain), 크리프변형률(creep strain), 열변형률(thermal strain) 등을 포함할 수 있기 때문에 다양한 확장성을 가지고 있다. 그리고 균열 변형률은 다른 각도를 가진 여러 개의 균열변형률을 포함할 수 있어 비직교 다방향균열모델(non-othogonal multi-directional crack model)로의 확장도가능하다. 그러나 알고리즘이 복잡하고, 물성치 선정이 어려우며, 수렴 성능이 낮아질 수 있는 단점이 있다. 분산균열모델에서의 전변형률 모델은 변형률 성분을 분리하지 않고 전변형률을 사용하므로 비교적 간단한 방법으로 수식화할 수 있다. 또한 균열을 포함한 인장 및압축 거동 모두에 대하여 각각 한가지만의 응력-변형률 관계를 사용하기 때문에알고리즘의 이해가 쉽다. 그리고 비선형 거동을 정의하기 위한 물성치의 입력이비교적 단순하여 실무에서 사용하기 쉬운 장점이 있다. # 2.1.2 전변형률 균열모델 midas FEA에서는 분산균열모델의 전변형률 균열모델(total strain crack model)을 사용하고 있다. 그리고 그림 2.1.2와 같이 균열 축을 취급하는 방법에 따라 고정균열모델(fixed crack model) 및 회전균열모델(rotating crack model)로 구분되는 두 가지 방법을 제공한다. 전자는 균열 축이 한번 결정되면 변화하지 않는 것으로 가정하는 방법이며, 후자는 주변형률의 변화에 따라 균열 방향이 계속해서 회전한다고 가정하는 방법이다. 

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σc2 τ ε1 ε2 τ σc1 y x

(a）fixed crack model 

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σc2 ε2 σc1 ε1 y x

(b）rotating crack model 그림 2.1.2 직교균열모델 고정균열모델과 회전균열모델 모두 적분점에서의 첫번째 균열은 항상 주변형률 방향에서 발생한다. 콘크리트는 균열 발생 전에는 등방성(isotropic)의 특성을 가지지만 균열 발생 이후에는 이방성(anisotropic) 특징을 가지게 된다. midas FEA에서는 균열 이후 콘크리트의 특성을 직교이방성(orthotropic)의 재료로 취급하며 균열면에서 수직응력(normal stress)과 전단응력(shear stress)을 산정한다. 고정균열모델에서는 초기 균열의 방향이 변하지 않는 것으로 가정하기 때문에 그림2.1.2(a)와 같이 균열면에 수직응력과 전단응력이 존재한다. 그러나 회전균열모델에서는 전단계에서 발생한 균열을 무시하고, 현재의 주변형률 방향에서 새로운 균열이 발생하는 것으로 가정한다. 따라서 그림 2.1.2(b)와 같이 균열 면에서 수직응 력만이 발생한다. midas FEA의 고정균열모델과 회전균열모델에서는 균열각이 수직인 경우만을 고려하기 때문에 직교균열모델로 분류할 수 있다. 고정균열모델은 균열 현상에 대한 물리적 특성을 구체적으로 반영할 수 있는 있지만 직교균열모델인 경우 비직교균열모델에 비하여 강성과 강도를 약간 과대 평가하는 경향이 있다. 반면에 회전균열모델은 이전의 균열 상태를 기억할 필요가 없으므로 알고리즘이 비교적 단순하며 수렴성도 좋다. 이러한 장점으로 인하여 회전균열모델은 철근콘크리트 구조물의 비선형 해석 방법으로 오랫동안 사용되어 왔다.전변형률을 바탕으로 한 구성 모델(constitutive model)은 Vecchio와 Collins1 가제안한 수정압축장 이론(modified compression field theory)에 이론적인 바탕을두고 있다. 이 이론은 기본적으로 2차원 기반이다. 따라서 3차원으로의 확장 모델은 Selby와 Vecchio2 가 제안한 이론에 준하여 프로그램을 구현하였다. 1 Vecchio, F. J., and Collins, M. P. “The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear”. ACI Journal 83, 22 (1986), 219–231. 2 Selby, R. G., and Vecchio, F. J., “Three-dimensional Constitutive Relations for Reinforced Concrete”. Tech. Rep. 93-02, Univ. Toronto, dept. Civil Eng., Toronta, Canada, 1993. # 2-2 기본특성 전변형률 균열모델 해석을 수행하기 위해서는 다음과 같은 값을 정의하여야 한다. - 균열모델타입(crack model type) - 일반적인 콘크리트 특성(general concrete properties ) - 인장거동(tensile behavior) - 압축거동(compression behavior) - 전단거동(shear behavior) - 횡방향영향(lateral influences) # 2.2.1 균열모델타입 midas FEA에서 구현하고 있는 전변형률 균열모델은 분산 고정균열모델 과 분산회전균열모델 두 종류이다. 회전균열모델과 고정균열모델 은 일반적인 철근 콘크리트 구조물의 균열 거동 모사에 탁월한 것으로 알려져 있으며, 특히 고정균열모델은 콘크리트 균열의 물리적인 거동을 적절히 모사하고 있는 것으로 평가 받고있다. 두 모델의 차이는 균열 방향을 결정하는 과정에 있다. # 2.2.2 일반 콘크리트 특성 균열해석에 필요한 물성치는 직접 수치로 입력할 수도 있고, 시방서에서 제안하는값을 사용할 수도 있다.(현재 midas FEA 에서는 CEB-FIP 1990기준을 적용하고있음). # 1) 사용자입력 사용자가 직접 수치로 입력해야 하는 경우, 다음과 같은 물성치를 입력하여야 한다. (1) 영 계수(Young’s modulus) (2) 포아송비(Poisson’s ratio) [default = 0. 0] (3) 인장강도(tensile strength) (4) 압축강도(compressive strength) (5) 파괴에너지(fracture energy) [if necessary] # 2) 설계 기준 입력 설계기준에서 제시하는 값을 적용하고자 할 때 사용하는 방식이며, 현재는 CEB-FIP 1990 기준으로 물성치를 계산하여 해석에 적용한다. 전변형률 균열모델에서필요한 물성치를 적절히 입력하기 위해서 사용자는 콘크리트 강도등급과 콘크리트최대 골재크기를 입력해야 하며 입력된 두 값을 이용하여 CEB-FIP 1990에서 제시하는 압축강도와 인장강도 사이의 관계식 뿐만 아니라, 압축강도와 파괴에너지사이의 관계식을 통해 물성치를 계산한다. $$ \begin{array}{l l} \text {Grade} & : \text {콘크리트 강도등급} \\ D _ {\max} & : \text {콘크리트 최대골재 크기} \end{array} $$ 콘크리트 강도등급은 특성압축강도, ckf (characteristic compressive strength)로 구분하며 다음과 같다. $$ \text { 콘크리트 강도등급 }: \mathrm{C12,C20,C30,C40,C50,C60,C70,C80} $$ $\Theta \vert 7 \vert k \vert ~ \subset 6 0 \{ \underline { { \circ } } _ { k } ~ f _ { c k } = 6 0 [ \mathsf { N / \bar { \ m } } ] ~ \equiv ~ \underline { { \underline { { \ o } } } } | \mathsf { D } | \bar { \underline { { \varphi } } } \vdash \mathsf { L } .$ CEB-FIP 1990에서는 입력된 콘크리트 등급과 최대골재 크기를 사용하여 영 계수,평균압축강도(mean compressive strength), 평균인장강도(mean tensile strength),그리고 파괴에너지를 산정하게 된다. 평균압축강도는 다음과 같이 계산된다. $$ f _ {c m} = f _ {c k} + \Delta f \tag {2.2.1} $$ 여기서 $\Delta f = 8$ [MPa] 이다. 영 계수는 평균압축강도를 이용하여 아래의 식으로 구하게 된다. $$ E _ {c} = E _ {c 0} \left(\frac {f _ {c m}}{f _ {c m 0}}\right) ^ {\frac {1}{3}} \tag {2.2.2} $$ 여기서 $E_{c0}=2.15\times10^{4}$ [N/mm²]이며, 기준 평균압축강도, fcm0 는 10 [N/mm²]이다. 평균인장강도는 아래와 같이 계산된다. $$ f _ {c t, m} = f _ {c t k 0, m} \left(\frac {f _ {c k}}{f _ {c k 0}}\right) ^ {\frac {2}{3}} \tag {2.2.3} $$ 여기서, $f_{ctk0}$ 는 1.40 $[N/mm^{2}]$ , $f_{ck0}$ 는 10 $[N/mm^{2}]$ 이다. 파괴에너지는 압축강도와 최대골재 크기와 관계가 있으며, 아래와 같은 관계식을 사용하고 있다. $$ G _ {f} = G _ {f 0} \left(\frac {f _ {c m}}{f _ {c m 0}}\right) ^ {0. 7} \tag {2.2.4} $$ 여기서, $f_{cm0}$ 는 10 $[N/mm^{2}]$ , $G_{f0}$ 는 아래 표와 같이 최대 골재 크기와 관련 있다.

Dmax[mm]	Gf0[J/m2]
8	25
16	30
32	58

# 2-3 재하 및 제하 midas FEA에서 구현하고 있는 전변형률 균열모델은 균열(cracking)과 압괴(crushing)와 같은 재료적 극한 상태를 모두 모사하고 있으며, 특히 전단 거동은전단 응력과 전단 변형률간의 관계를 통해 명시적으로 모사할 수 있다. 전변형률균열모델은 하중이 제하(unloading)되는 경우 응력-변형률 관계에서 원점을 지향하도록 하였다. 해석적인 구현 과정을 자세히 살펴보면 다음과 같다. 하중을 받는 콘크리트는 인장력이나 압축력에 저항하게 되며, 균열과 압괴 같은재료적 극한 상태에 이르기도 한다. 고정균열모델을 사용할 경우 전단 거동을 명시적으로 모사할 수 있다. 콘크리트의 균열과 압괴에 의한 재료의 열화는 여섯 개의 손상 변수(damage variables) k (  1,...,2  strk n ( nstr = 주응력 개수))에 의해평가될 수 있다. 내부 손상 변수들은 벡터 α 를 구성한다. 최대 인장 변형률에 관한 변수들 $( \mathbf { \nabla } k = 1 , . . , n _ { s t r } ) \supseteq \mathbf { \nabla } ^ { \circ } \cdot \mathbf { 0 } ^ { \circ }$ 이상의 값을 갖게 된다. 최소 압축 변형률을 파악해주는 변수들 $( \textit { \textbf { k } } = 1 + n _ { s t r } , . . . , 2 \times n _ { s t r } \textit { \textbf { ) } } \stackrel { \mathrm { { O } } } { = } \textit { \mathrm { { \Omega } } } ^ { , }$ 이하의 값을 갖는다. 손상의 복원(damage recovery)은 일어날 수 없다고 가정하기 때문에 손상 변수들의 절대값은증가하기만 한다. 하중의 재하-제하-재재하(loading-unloading-reloading) 조건은 추가적인 제하제한(unloading constraints)변수 kr 에 의해 파악한다. 제하 제한 변수는 인장과 압축 영역 각각에서 결정되고, 각 영역의 강성 저감(stiffness degradation)을 모사하는데 사용된다. 인장영역에서 제하 제한 변수는 다음과 같다. $$ r _ {k} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text { if } \quad \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {k} > \alpha_ {k} \\ 1 & \text { if } \quad \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {k} \leq \alpha_ {k} \end{array} \right. (k = 1,..., n _ {s t r}) \tag {2.3.1} $$ 압축영역에서 제하 제한 변수는 다음과 같다. $$ r _ {k} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text { if } \quad \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {k - 3} < \alpha_ {k} \\ 1 & \text { if } \quad \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {k - 3} \geq \alpha_ {k} \end{array} \right. (k = 1 + n _ {s t r}, \dots , 2 \times n _ {s t r}) \tag {2.3.2} $$ 그리고 내부 변수들의 갱신은 다음과 같이 수행된다. $$ { } _ { i + 1 } ^ { t + \Delta t } \boldsymbol { \alpha } = { } ^ { t } \boldsymbol { \alpha } + \mathbf { W } \Delta \boldsymbol { \varepsilon } \tag {2.3.3} $$ 여기서, $$ \mathbf {W} = \left\{ \begin{array}{c c} W _ {k, k} = 1 - r _ {k} & k = 1, \dots , n _ {s t r} \\ W _ {k + n _ {s t r}, k} = 1 - r _ {k} & k = 1 + n _ {s t r}, \dots , 2 \times n _ {s t r} \end{array} \right. \tag {2.3.4} $$ 손상 복원이 일어나지 않는다는 가정하에, j 방향 응력은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \sigma_ {j} = f _ {j} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \cdot g _ {j} (\boldsymbol {\alpha}, \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}) \tag {2.3.5} $$ 일축 응력-변형률 관계를 나타내는 j 방향의 내부 변수 j 뿐만 아니라 나머지 방향들의 내부 변수들과 변형률에 의한 영향을 받기 때문에 위와 같이 α와 ε의 함수로 표현된다. 제하와 재재하가 각 방향의 최대, 최소 변형률을 고려한 할선 (secant) 방식으로 모사가 된다면, $g_{j}$ 로 명명된 재하-제하 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ g _ {j} = \left\{ \begin{array}{c c c} 1 - \frac {\alpha_ {j} - \varepsilon_ {j}}{\alpha_ {j}} = \frac {\varepsilon_ {j}}{\alpha_ {j}} & \text { if } & \varepsilon_ {j} > 0 \\ 1 - \frac {\alpha_ {j + n s t r} - \varepsilon_ {j}}{\alpha_ {j + n s t r}} = \frac {\varepsilon_ {j}}{\alpha_ {j + n s t r}} & \text { if } & \varepsilon_ {j} < 0 \end{array} \right. \quad \left[ 0 \leq g \leq 1 \right] \tag {2.3.6} $$ 일축 응력-변형률 관계식은 균열 방향의 기본 강도를 의미하는 재하-제하 함수를 곱하여 얻어진다. midas FEA에서 구현된 재료 모델은 구속 효과(confinement effect)와 횡균열(lateral cracking)이 강도에 미치는 영향을 고려하고 있다. 왜냐하면 이들 요인이 최대 강도 및 응력-변형률 곡선의 개형에 영향을 미치기 때문에 적절히 고려될 필요가 있기 때문이다. # 2-4 균열변형률 변화 전변형률 균열모델의 구성 모델은 응력을 전변형률의 함수로서 정의하고 있다.midas FEA에서는 하중재하와 제하를 각기 다른 경로상에서 일어나는 것으로 모사되고 있으며 특히 하중제하는 할선 기울기를 가지고 일어난다고 본다. 전변형률 균열모델의 응력-변형률 관계을 위해서는 midas FEA가 제공하는 이력 모델을사용할 수 있다. 본 절에서 설명할 직교균열모델개념은 균열 해석에서 널리 사용되고 있는 대표적인 방식으로서 변형률 벡터의 주방향(principal direction)에 따라 응력-변형률 관계를 정의한다. 회전균열모델은 철근콘크리트 구조물의 거동 예측에 탁월한 것으로 알려져 있다.한편 고정균열모델은 초기 균열 방향에 따른 고정된 좌표 축을 기초로 응력-변형률 관계를 정의한다. 이상 두 가지 개념은 균열 방향들이 고정되어 있는지, 회전하는지의 차이가 있을 뿐 공통적으로 비슷한 틀 안에서 비교적 용이하게 설명될 수있다. 전변형률 균열모델의 기본적인 개념은 균열 방향들을 고려하여 응력들이 산정된다는 점이다. 요소 좌표계에서의 변형률은 변형률 증분량 xyz 을 고려하여 다음과같이 갱신된다. $$ { } _ { i + 1 } ^ { t + \Delta t } \varepsilon _ { x y z } = { } ^ { t } \varepsilon _ { x y z } + { } _ { i + 1 } ^ { t + \Delta t } \Delta \varepsilon _ { x y z } \tag {2.4.1} $$ 균열 방향의 변형률은 요소좌표계의 변형률에 변환행렬을 곱하여 다음과 같이 구해진다. $$ \mathbf {\Sigma} _ {i + 1} ^ {t + \Delta t} \varepsilon_ {n s t} = \mathbf {T} _ {i + 1} ^ {t + \Delta t} \varepsilon_ {x y z} \tag {2.4.2} $$ 회전균열모델에서 변환 행렬 T 는 다음과 같이 현재 변형률에 의해 결정된다. $$ \mathbf {T} = \mathbf {T} \left( \begin{array}{c} t + \Delta t \\ i + 1 \end{array} \varepsilon_ {x y z}\right) \tag {2.4.3} $$ 반면 고정균열모델에서 변환 행렬은 초기 균열 방향에 의해 고정되며 변형률 텐서(strain tensor)가 다음과 같을 때,