의 입력이 가능하다. 일반적으로 매스콘크리트의 온도해석에서 사용되는 대류 문제는 콘크리트 표면과 대기의 열교환 형태로 이루어지므로, 대류계수를 식 (2.2.1)과 같은 경험식으로 계산하기도 한다. $$ h _ {c} (k c a l / (m ^ {2} \cdot h \cdot {} ^ {o} C)) = h _ {n} + h _ {f} = 5. 2 (k c a l / (m ^ {2} \cdot h \cdot {} ^ {o} C)) + 3. 2 V (m / \sec) \tag {2.2.1} $$ 파이프쿨링은 콘크리트 구조물 속에 파이프를 매설하고, 파이프 속으로 온도가 낮은 유체를 흐르게 하여 수화열로 인한 온도상승을 감소시키는 방법이다. # 발열 발열(heat source)은 수화과정에서 발생하는 열량을 모델하기 위한 것이다. 매스 콘크리트에서 수화발열에 의한 단위시간당 단위부피의 내부 발열량은 단열온도 상승식을 미분하고, 비열과 밀도를 곱하여 얻을 수 있다. 일반적으로 콘크리스의 수화발열에 의한 단열온도 상승식과 내부발열량은 다음과 같은 형태로 표현된다. 단위시간당 단위부피의 내부발열량 (kcal/(m³·h)) $$ g = \frac {1}{2 4} \rho c K \alpha e ^ {- \alpha t / 2 4} \tag {2.2.2} $$ 단열온도 상승식(°C) $$ T = K (1 - e ^ {- \alpha t}) \tag {2.2.3} $$ 여기서 $$ \begin{array}{l} T \quad : \text { 단열온도( } ^ {\circ} \text { C) } \\ K \quad : \text { 단열최고상승온도( } ^ {\circ} \text { C) } \\ \alpha \quad : \text { 반응속도 } \\ t \quad : \text { 시간(days) } \\ \end{array} $$ # 2-3 열응력 해석 열전달 해석에서 얻어진 절점온도 분포, 시간과 온도에 따른 재질의 변화, 시간에따른 건조수축, 시간과 응력에 따른 크리프 변형 등을 고려하여 매스콘크리트의각 단계별 응력을 계산한다. 수화열 해석의 열응력 계산 단계에서 사용할 수 있는요소와 하중의 종류 그리고 콘크리트의 특성은 다음과 같다. # 요소 열응력 해석 단계에서는 입체요소와 트러스요소 그리고 철근요소를 사용할 수 있다. 철근요소는 계산에 반영되지만 요소 결과를 출력하지 않는다. 철근요소의 온도변화는 모재요소(mother element)와 같다고 가정하며 일반적으로 열팽창률 또한모재요소와 같다. # 하중 수화열 해석에서 사용할 수 있는 하중은 자중과 프리스트레스(prestress)이다. 자중은 해석에 포함된 모든 요소에 대해 적용되며 요소의 생성과 동시에 발생한다. # 온도와 시간에 의한 등가재령 콘크리트의 경화 과정에서 발생하는 재질특성의 변화는 온도와 시간의 함수 형태로 나타나게 된다. 동일한 단계에 타설된 절점이라도 온도분포가 다르게 되면 발현하는 재료의 성질이 달라지게 된다. 이러한 현상을 반영하기 위해 시간과 온도를 사용하여 등가의 재령(equivalent age)을 만들고, 이를 사용하여 콘크리트의강성발현 등 재료변화를 반영한다. 등가재령은 CEB-FIP Model Code 90를 사용하여 산정한다. CEB-FIP Model Code 90 에서의 등가재령 계산식 $$ t _ {e q} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta t _ {i} \exp \left[ 1 3. 6 5 - \frac {4 0 0 0}{2 7 3 + T \left(\Delta t _ {i}\right) / T _ {0}} \right] $$ 여기서 $$ t _ {e q} \quad : \text { 등가재령 (days) } $$ $$ \Delta t _ {i} \quad : \text { 각 해석단계에서의 시간간격 (days) } $$ $$ T \left(\Delta t _ {i}\right) \quad : \text { 각 해석단계에서의 온도 } \left(^ {\circ} \mathrm{C}\right) $$ $$ T _ {0} \quad : 1 \text { day } $$ 일본 도로교 시방서에 따른 콘크리트 모델의 경우에는 다음과 같이 등가재령을 산정한다. $$ t _ {e q} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta t _ {i} \frac {1 0 + T (\Delta t _ {i})}{3 0} $$ midas FEA에서는 콘크리트의 강도/강성 발현에 등가재령을 반영하며 크리프와 건조수축 계산에는 반영하지 않는다. 단, 일본 콘크리트 표준시방서와 도로교시방서에 따른 콘크리트 모델의 경우에는 크리프와 건조수축의 계산에만 등가재령을 사용한다. # 콘크리트 압축강도 계산방법 콘크리트의 압축강도를 계산하는 방법은 아래와 같이 국가별 시방서에 따른다. 압축강도를 기준으로 하여 탄성계수, 인장강도 등을 계산하여 사용한다. # 〈한국 콘크리트 구조설계기준〉 $$ \sigma_ {c} (t) = \frac {t}{a + b t _ {e q}} \sigma_ {c (9 1)} $$ 여기서 $$ a, b \quad : \text { 시멘트종류에 따른 계수 } $$ $$ \sigma_ {c (9 1)} \quad : 9 1 \text {일 압축강도 } $$ < ACI 209(1995) > $$ \sigma_ {c} (t) = \frac {t}{a + b t _ {e q}} \sigma_ {c (2 8)} $$ 여기서 a, b : 시멘트종류에 따른 계수 $\sigma _ { c ( 2 8 ) }$ c(28) ：28 ACI committee 209, 1992년, Materials and general properties of concrete prediction of creep, shrinkage and temperature effects in concrete structures. ACI manual of concrete practice 1995, Part I, 209R-4 < CEB-FIP Model Code 90 > $$ \sigma_ {c} (t) = \exp \left\{s \left[ 1 - \left(\frac {2 8}{t _ {e q} / t _ {1}}\right) ^ {1 / 2} \right] \right\} \sigma_ {c (2 8)} $$ 여기서 s : 시멘트 종류에 따른 계수 $\sigma _ { c ( 2 8 ) }$ σ c(28) : 28일 압축강도 1t : 1 day COMITE EURO-INTERNATIONAL DU ETON, 1991년 CEB-FIP Model Code, p51 < 일본 콘크리트 표준시방서 > $$ \sigma_ {c} (t) = \frac {d t}{a + b t} \sigma_ {c (2 8)} $$ $$ \sigma_ {t e n s i l e} (t) = c \sqrt {\sigma_ {c} (t)} $$ 여기서 c(28) ：28 c : 인장강도 발현 계수( 0.44 ) # 온도의 변화에 의한 변형률 열전달해석을 통해서 구해진 각 단계별 절점온도의 변화를 사용하여 온도에 의한변형률을 산정하고, 강성에 따른 등가하중을 계산하여 해석을 수행한다. # 건조수축에 의한 변형 콘크리트의 초기 양생이 끝나게 되면 거푸집을 떼어내게 되는데 이때부터 건조수축이 시작되고 이로 인해 변형으로 응력이 추가로 발생하게 된다. midas FEA에서는 한국 콘크리트 구조설계기준, ACI 209, CEB-FIP Model Code 90, JAPANCode 등을 사용하여 시멘트의 종류, 구조물의 형상, 시간에 따른 건조수축률을 계산하여 열응력 해석에 포함한다. # 크리프에 의한 변형 콘크리트에 응력이 발생하게 되면 시간이 흐름에 따라 크리프 변형이 발생하게 되고, 구조물에 추가적인 변형률과 응력을 발생하게 된다. midas FEA에서는 한국콘크리트 구조설계기준, ACI 209, CEB-FIP Model Code 90, JAPAN Code 등을사용하여 크리프에 의한 효과를 고려한다. # 2-4 시공단계를 고려한 수화열 해석 수화열 해석은 시간에 따른 해석이고, 시공단계를 고려한 해석이 필요하다. 시공단계에 따라 구조물이나 경계조건이 변경될 수 있고, 프리스트레스나 추가적인 하중이 도입될 수도 있다. 그림 2.4.1은 시공단계에 따른 구조모델의 변화를 나타내고있다. 시공단계에 따라 구조물이 추가되고 열 경계조건이 변화하지만, 동일한 시공단계에서는 같은 구조모델과 경계조건을 가져야 한다. 각 시공단계는 여러 개의시간 단계로 구성되고, 각 단계별로 하중을 추가하거나 제거할 수 있다. 자중은 새롭게 생성되는 구조모델에 대하여 각 시공단계 첫 번째 시간 단계에 반영된다.각 시공단계에서 입력하는 사항에는 추가되는 구조모델, 구조와 열 하중/경계조건이 있다. 구조모델과 구조 경계조건은 추가만 가능하고, 하중은 시공단계의 시간단계별로 추가와 삭제가 가능하다. 열 하중/경계조건은 추가와 제거가 모두 가능하다. 

flowchart

```mermaid graph TD A["structure 1"] -->|convection boundary| B["structure 2"] B -->|prescribed temperature| C["soil"] style A fill:#f9f,stroke:#333 style B fill:#f9f,stroke:#333 style C fill:#f9f,stroke:#333 note1["(a) 첫번째 시공단계 모델"] --> A note2["(b) 두번째 시공단계 모델"] --> B ```

그림 2.4.1. 수화열 시공단계 해석 모델 # 2-5 시간의존적 재질특성 midas FEA에서는 콘크리트의 시간의존적 특징으로 크리프(creep), 건조수축(shrinkage), 강도증가(aging) 등을 고려할 수 있다. # 2-5-1 크리프 그림 2.5.1와 같이 실제 구조물에서 크리프는 건조수축과 함께 발생한다. 따라서건조수축, 탄성변형, 크리프를 각각 분리해서 고려할 수는 없다. 그러나 실제 해석및 설계에서는 편의상 이들을 분리하여 고려한다. 그림 2.5.1에서 실제 탄성변형(true elastic strain)이란 시간과 더불어 증가되는 탄성계수의 증대로 인해 감소되는 탄성변형을 나타낸 것이다. 일반적인 경우는 겉보기 탄성변형(apparent elastic strain)을 탄성변형으로 보지만 해석에서는 콘크리트의 강도발현을 고려할 수 있으므로 실제 탄성변형으로 해석할 수도 있다. 크리프 변형률은 하중재하시의 탄성변형률에 비례하며, 동일한 응력에서는 고강도콘크리트가 저강도 콘크리트보다 작은 크리프 변형률을 나타낸다. 크리프 변형률은 탄성변형률의 1.5\~3배 정도에 이르며, 재하 후 첫 몇 개월 동안에 크리프 변형이 크게 진행되고, 그 이후에 완만하게 진행되다가 약 5년 내에 대부분 변형이 발생한다. 크리프 현상은 대부분의 재료가 가지고 있는 성질이지만, 특히 콘크리트는 다른재료에 비하여 그 값이 커서 변형의 시간적 증가 원인의 하나가 되기 때문에 설계에서 무시할 수 없다. 보통의 콘크리트 구조물에서는 주로 자중과 외력에 의하여크리프 현상이 일어나지만, 프리스트레스를 도입하는 경우에는 프리스트레스 응력에 의한 크리프 현상이 추가로 발생한다. 

line

| Time Point | Creep strain | Shrinkage strain | True elastic strain | Apparent elastic strain | | ---------- | ------------ | ---------------- | ------------------- | ----------------------- | | to | Low | Low | Low | Low | | Time to | High | Low | Low | Low |

그림 2.5.1 시간경과에 따른 콘크리트의 변형률 일축방향 응력상태에서 콘크리트 탄성변형률과 크리프 변형률의 합은 다음과 같이나타낼 수 있다. $$ \varepsilon (t) = \varepsilon_ {i} (\tau) + \varepsilon_ {c} (t, \tau) = \sigma \cdot J (t, \tau) \tag {2.5.1} $$ 여기서 J ( , ) t τ : 단위 응력이 작용할 때의 총 변형률, 크리프 함수(creep function) T t : 변형률을 계산하고자 하는 임의의 시간 

line

| Time | σ | |------|-------| | τ | 1 |


line

| Time | J(t, τ) | |------|---------| | τ | 1/(E(τ)) | | t | J(t, τ) curve |

그림 2.5.2 크리프 함수 및 특성 크리프의 정의 그림 2.5.2에서 보듯이 크리프 함수 J ( , ) t τ 를 초기탄성변형과 크리프 변형의 합으로 나타내면 다음과 같다. $$ J (t, \tau) = \frac {1}{E (\tau)} + C (t, \tau) \tag {2.5.2} $$ 여기서 E( ) τ : 하중 재하시의 탄성계수 C t( , ) τ : 재령 t에서의 크리프 변형, 특성크리프(specific creep) 또한 크리프 함수J ( , ) t τ 를 탄성변형과의 비율로 나타내면 다음과 같다. $$ J (t, \tau) = \frac {1 + \phi (t , \tau)}{E (\tau)} \tag {2.5.3} $$ 여기서 (t,τ）： (creep coefficient)， 위의 두 식으로부터 특성크리프와 크리프 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. $$ \phi (t, \tau) = E (\tau) \cdot C (t, \tau) \tag {2.5.4} $$ $$ C (t, \tau) = \frac {\phi (t , \tau)}{E (\tau)} \tag {2.5.5} $$ midas FEA에서는 크리프 계수나 건조수축 변형률의 계산식으로 CEB-FIP나 ACI등에서 정하고 있는 식들을 사용할 수 있고, 사용자가 실험에 의한 값을 직접 입력하여 사용할 수도 있다. 사용자 정의는 크리프 계수(creep coefficient), 크리프 함수(creep function), 특성 크리프(specific creep)의 세가지 값 중 사용자가 원하는 형식으로 입력이 가능하다. 

line

| Time (day) | Value | | ---------- | ------ | | 1 | 13.00 | | 2 | 17.00 | | 3 | 23.00 | | 4 | 31.00 | | 5 | 42.00 | | 6 | 56.00 | | 7 | 74.00 | | 8 | 100.00 |

그림 2.5.3 사용자 정의 크리프 계수 지정 대화상자 콘크리트의 크리프 함수는 그림 2.5.4와 같이 하중이 가해지는 시간에 따라서 각기 다른 형상을 나타내게 된다. 즉, 요소의 재령이 커지면 콘크리트의 강도증가(aging) 효과에 의하여 탄성계수가 증가하기 때문에, 콘크리트의 즉시 변형은 하중의 재하시기가 늦을수록 작아진다. 그리고 하중의 재하시간으로부터 임의의 시간후의 변형은 하중의 재하시기가 늦은 경우에 더 작아지게 된다. 재하시간이 늦어질수록 즉시 변형과 크리프 변형이 감소하는 것은 콘크리트의 수화정도와 강도발현 때문이다. 따라서 사용자 정의를 사용하여 크리프 함수를 입력할 경우에는 콘크리트의 강도발현 특성이 잘 반영될 수 있도록 하여야 한다. 즉,크리프 함수에서 재하시간의 범위는 시간의존해석에서 존재하는 요소의 재령(재하시간)을 포함하여야 하고, 서로 다른 재하시간의 크리프 함수를 많이 입력할수록정확한 해석결과를 얻을 수 있다.