| 경계조건 | 원방(far-field) 경계조건 |
| 벽면(solid wall) 경계조건 |
| 대칭(symmetric) 경계조건 |
| 난류모델 | $q - \omega$ 모델 : 벽면함수(wall function) 사용가능 |
| $k - \omega$ SST(Shear Stress Transport) 모델 |
| $k - \omega$ BSL(Base Line) 모델 |
# 1-2 RANS 방정식과 난류모델
난류 압축성 유동의 지배 방정식인 RANS 방정식과 난류모델은 다음과 같이 하나의 식으로 표현할 수 있다.
$$
\frac {\partial \mathbf {W}}{\partial t} + \frac {\partial \mathbf {E}}{\partial x} + \frac {\partial \mathbf {F}}{\partial y} = \frac {\partial \mathbf {E} _ {v}}{\partial x} + \frac {\partial \mathbf {F} _ {v}}{\partial y} + \mathbf {S} \tag {1.2.1}
$$
여기서,
W : 보존형 유동변수벡터 $\left\{ \rho , \rho u , \rho \nu , e , \rho s _ { 1 } , \rho s _ { 2 } \right\} ^ { T }$
E 와 F 는 각각 x 방향과 y 방향 비점성(inviscid) 유량(flux) 벡터, $\mathbf { E } _ { \nu }$ 와 $\mathbf { F } _ { \nu } \equiv$ 점성유량벡터이다.
$$
\mathbf {E} = \left\{\rho u, \rho u ^ {2} + p, \rho u v, (e + p) u, \rho u s _ {1}, \rho u s _ {2} \right\} ^ {T} \tag {1.2.2}
$$
$$
\mathbf {F} = \left\{\rho v, \rho u v, \rho v ^ {2} + p, (e + p) v, \rho v s _ {1}, \rho v s _ {2} \right\} ^ {T} \tag {1.2.3}
$$
$$
\mathbf {E} _ {v} = \left\{0, \tau_ {x x}, \tau_ {x y}, \Omega_ {x}, (\mu_ {m} + \sigma_ {S 1} \mu_ {t}) \frac {\partial s _ {1}}{\partial x}, (\mu_ {m} + \sigma_ {S 2} \mu_ {t}) \frac {\partial s _ {2}}{\partial x} \right\} ^ {T} \tag {1.2.4}
$$
$$
\mathbf {F} _ {v} = \left\{0, \tau_ {y x}, \tau_ {y y}, \Omega_ {y}, \left(\mu_ {m} + \sigma_ {S 1} \mu_ {t}\right) \frac {\partial s _ {1}}{\partial y}, \left(\mu_ {m} + \sigma_ {S 2} \mu_ {t}\right) \frac {\partial s _ {2}}{\partial y} \right\} ^ {T} \tag {1.2.5}
$$
여기서,
$\rho$ ：
$p$ : 압력
$e$ e : 총 에너지
$\tau _ { i j } , \Omega _ { i }$ : 점성응력, 총 에너지유량
$\mu _ { m } , \mu _ { t }$ ：，
1s 과 2s 는 2-방정식 난류모델 방정식의 변수이며 난류모델에 따라 그 정의가 달라진다. S 는 난류모델의 원천항(source term)이며 역시 난류모델에 따라 그 정의가 다르다.
midas FEA에서 사용할 수 있는 난류모델로는 앞서 설명한 바와 같이 Coakley1 의q − ω 모델과 Menter 2 의 k − ω BSL/SST 모델이 있다. q − ω 모델은 난류속도(turbulent velocity) 스케일 q 와 특성 소산율(specific dissipation rate) ω 에 관한 이동방정식을 이용하여 난류점성계수를 예측한다. 여기에서 ω 는 난류운동에너지(turbulence kinetic energy) k , 난류소산율(turbulent dissipation rate) ε 과다음과 같은 관계를 가진다.
$$
s _ {1} = q = \sqrt {k}, s _ {2} = \omega = \frac {\varepsilon}{k} \tag {1.2.6}
$$
Menter에 의해 개발된 k − ω BSL/SST 모델은 k − ε 모델과 과 k − ω모델의 장점을 결합한 혼합모델이다. 이 모델은 벽면 근처에서 k −ω모델을 사용하고 k −ε 모델을 그 밖의 영역에서 사용하는 난류모델이다. k −ω BSL/SST 모델의 변수는 다음과 같다.
$$
s _ {1} = k, s _ {2} = \omega = \frac {\varepsilon}{k} \tag {1.2.7}
$$
k − ω BSL 모델은 k − ω 모델과 유사한 특성을 보이지만 자유류(free stream)에대한 영향이 작으며, k −ω SST 모델은 난류전단응력의 전달을 포함하고 있어 역압력구배(adverse pressure gradient)에서 탁월한 성능을 보인다.
난류 압축성 방정식인 식 (1.2.1)은 낮은 속도의 유동에 대해 해석할 경우 수치적인문제점으로 인하여 수렴된 해를 얻기 힘든 것으로 알려져 있다. 이러한 문제점을해결할 수 있는 방법으로 국소 예조건화 기법(local preconditioning method)이있다. 국소 예조건화 기법은 식 (1.2.1)의 시간항을 원시형변수(primitive variable)
와 예조건화 행렬의 곱으로 표현하여 수렴의 경직성을 해결하는 방법이며 midasFEA에서는 Weiss와 Smith3 의 기법을 적용하였다. 국소 예조건화된 방정식은 다음과 같다.
$$
\Gamma \frac {\partial \mathbf {Q}}{\partial t} + \frac {\partial \mathbf {E}}{\partial x} + \frac {\partial \mathbf {F}}{\partial y} = \frac {\partial \mathbf {E} _ {v}}{\partial x} + \frac {\partial \mathbf {F} _ {v}}{\partial y} + \mathbf {S} \tag {1.2.8}
$$
여기서,
Q : 원시형변수벡터 { } 1 2, , , , , Tp u v T s s
Γ : 예조건화행렬
식 (1.2.8)은 정상해의 경우 수렴하면 ∂Q 0 / ∂ =t 이므로 정상해에 대한 예조건화행렬의 영향이 없다.
midas FEA에서는 RANS 방정식과 난류방정식을 무차원화(non-dimensionalize)하여 계산한다. 무차원화는 자유류 조건을 기준으로 하며 무차원 방정식은 식(1.2.1)과 동일한 형태를 가진다.