을 입력한다. Spring 요소는 표 3.18.1과 같은 요소 결과를 출력한다. 단, spring 요소의 자유도는 변위 또는 회전을 임의로 선택할 수 있기 때문에 일관성 있는 단위 환산을할 수 없으므로, 응력과 힘/모멘트의 결과를 검토할 때에는 이를 고려해야 한다. 표 3.18.1 Spring 요소의 결과 항목

결과 항목		설명
Stress	Stress component	위치 : 요소중심응력 계수 s 로부터 계산( $\sigma = sN$ or $\sigma = sM$ )
Force/Moment	Force/momentcomponent	위치 : 요소중심 $N$ or $M$
Misc.	Strain energy	위치 : 요소 중심
	Total percent energy	위치 : 요소 중심

• Bush 요소 Bush 요소는 스프링과 감쇠기능을 동시에 가지고 있으며, 일반적으로 두 개의절점으로 구성된다. bush 요소는 절점의 위치 정보를 이용하기 때문에 1차원 요소로 분류할 수 있으나, 하나의 절점으로 정의하는 경우에는 스칼라 요소와 동일한 성질을 가지게 된다. 특히, 2절점 bush 요소는 양 끝단의 움직임에 ECS가따라 변하게 되므로 기하학적 비선형성을 가질 수 있다. Bush 요소는 그 형상 정의의 다양성에서 스칼라 요소와 차이점을 가진다. 그림3.18.2는 여러가지 입력값에 의해 정의할 수 있는 bush 요소의 일반적인 형상을보여주고 있다. 

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ECS - y ECS - z Spring/Damper Location 2 ECS - x S₃ S₂ 1 S₁ z y GCS x

그림 3.18.2 Bush 요소의 형상 정의 Bush 요소의 강성과 감쇠는 ECS에 대해 각 방향으로 6 성분을 입력할 수 있다.강성 또는 감쇠가 비선형성을 가지는 경우, 요소의 내력과 감쇠력을 각각 변형률(절점간 상대변위)과 변형률 속도(절점간 상대속도)에 대한 함수로 정의하여운동을 나타낼 수 있다. $$ \begin{array}{r l} F _ {\text {elastic}} ^ {I} & = f \left(\Delta u ^ {I}\right) \\ & = f \left(\Delta u ^ {I}\right) \end{array} \tag {3.18.1} $$ $$ F _ {d a m p i n g} ^ {I} = f (\Delta \dot {u} ^ {I}) $$ $F _ { e l a s t i c } ^ { I } , \ F _ { d a m p i n g } ^ { I }$ : 번째 자유도에 작용하는 내력과 감쇠력 $\Delta u ^ { I } , \Delta \dot { u } ^ { I }$ : 번째 자유도의 상대변위와 상대속도 

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| System | Δu | F_elastic | F_damping | | --------------- | ---- | --------- | --------- | | Multi-linear | 0 | 0 | 0 | | Multi-linear | ∞ | 0 | 0 | | Multi-linear | ∞ ∞ | 0 | 0 | | Coulomb-damping| ∞ ∞ | 0 | 0 | | Coulomb-damping| ∞ ∞ ∞| 0 | 0 |

그림 3.18.3 Bush 요소의 비선형 강성 및 감쇠 위의 그림은 다중-선형(multi-linear) 특성을 가지는 강성 모델과 Coulomb 감쇠모델로 이 함수들은 항상 원점을 통과해야 한다. 또한, Bush 요소에서 제공하는인장전담, 압축전담, 훅, 갭의 거동은 3.4의 Rod 요소의 비선형 강성 모델의 거 동과 동일하다. Bush 요소 결과는 spring 요소와 유사하며 변형률 결과를 포함한다. \- 특수 요소 midas NFX의 특수 요소로는 집중 mass가 있다. 집중 mass는 1절점 요소이지만 앞서 설명한 1절점 mass요소와는 다르게 절점으로부터의 오프셋과 다음과 같은 질량 회전관성 모멘트 텐서 $I_{ij}$ 를 입력할 수 있다. $$ I _ {x x} = \int \rho \left(y ^ {2} + z ^ {2}\right) d V, I _ {y y} = \int \rho \left(z ^ {2} + x ^ {2}\right) d V, I _ {z z} = \int \rho \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) d V \tag {3.18.2} $$ $$ I _ {x y} = \int \rho x y d V, I _ {x z} = \int \rho x z d V, I _ {y z} = \int \rho y z d V $$ ρ : 밀도 x, y, z : 무게중심으로부터의 거리 \- 강체/보간 요소 강체 요소와 보간 요소는 절점들 간의 상대적인 운동을 상호 구속하는 요소이다. 여기서, 구속의 주체가 되는 절점을 주절점(independent node) 또는 구속의 주체가 되는 자유도를 주자유도(independent DOF)라 하고 구속을 받는 절점 또는 자유도를 종속절점(dependent node) 또는 종속자유도(dependent DOF)라 한다. 강체 요소는 하나의 절점에 의해 다른 여러 절점의 기하학적 상대거동을 구속하는 기능을 한다. 그러므로 주절점 1개에 여러 개의 종속절점이 연결되어 있는 형태이다. 주절점과 종속절점 사이의 상호 관계식은 다음과 같다. $$ \mathbf {u} ^ {D} = \mathbf {u} ^ {I} + \mathbf {r} \times \boldsymbol {\theta} ^ {I} = \mathbf {u} ^ {I} + (\Delta \mathbf {x}) \times \boldsymbol {\theta} ^ {I} \tag {3.18.3} $$ $$ \boldsymbol {\theta} ^ {D} = \boldsymbol {\theta} ^ {I} $$ $u^{D}, \theta^{D}$ : 종속절점의 변위와 회전 $u^{I}, \theta^{I}$ : 주절점의 변위와 회전 $\Delta x$ : 종속절점에서 주절점을 향하는 벡터 $(\mathbf{x}^{I}-\mathbf{x}^{D})$ 종속절점의 6 자유도 중에서 주절점의 구속을 받아 거동하도록 하고자 하는 자유도를 선택할 수 있으며 이를 이용하여 방향 별 선택적 강체 요소를 만들 수 있다. 다음은 x-y 평면 상에서 강체 거동을 하도록 구속하는 예이다. $$ u ^ {D} = u ^ {I} - \theta_ {z} ^ {I} \Delta y, v ^ {D} = v ^ {I} + \theta_ {z} ^ {I} \Delta x, \theta_ {z} ^ {D} = \theta_ {z} ^ {I} \tag {3.18.4} $$ 

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1 2 3 4 y x


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y 4 3 1 Independent node 2 x

그림 3.18.4 평면 내 강체 거동의 예 보간 요소는 하나의 절점이 다른 여러 절점의 운동에 따라 상대적 거동을 하는요소이다. 그러므로 종속절점 1개에 여러 개의 주절점이 연결되어 있는 형태이다. 보간 요소는 여러 절점에 힘 또는 질량을 분포시킬 때 유용하게 사용되며강체 요소에 비해 구속되는 절점이 적기 때문에 구속력 또한 약하다. 예를 들어x-y 평면 상에서 종속절점과 주절점의 변위 관계를 알기 위해 힘의 분포 과정을살펴보자. 

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w₁ r₁ r₃ w₃ C.G. r₂ w₂ e Reference point


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F^D M^D + e × F^D M^D F^D

그림 3.18.5 주절점의 무게중심과 종속절점에 작용하는 힘의 관계 그림 3.18.5와 같이 가중치 $w _ { i } \frac { \overline { { \mathbf { s } } } } { \overline { { \mathbf { u } } } }$ 가지고 분포되어 있는 주절점들의 무게중심에서 거리 만큼 떨어진 위치에 종속절점이 위치하면, 종속절점에 가해지는 힘$F ^ { D }$ 와 모멘트 $M ^ { D }$ 는 무게중심에 대해 $\boldsymbol { M } ^ { D } + \boldsymbol { e } \times \boldsymbol { F } ^ { D }$ 의 모멘트로 작용한다. 종속 절점에 의해 무게중심에 작용하는 힘과 모멘트는 각 주절점에 다음과 같이 가중 평균된 힘으로 분산시킬 수 있다. $$ \mathbf {F} _ {i} \stackrel {\text { def }} {=} \hat {w} _ {i} \left(\mathbf {F} ^ {D} + \mathbf {T} ^ {- 1} \left(\mathbf {M} ^ {D} + \mathbf {e} \times \mathbf {F} ^ {D}\right) \times \mathbf {r} _ {i}\right) \tag {3.18.5} $$ 여기서 $\hat{w}_{i}$ 는 가중치 합으로 정규화된 가중치이며, T 는 주절점들의 무게중심에서의 평균적인 관성텐서(Inertia tensor)이다. $$ \hat {w} _ {i} = \frac {w _ {i}}{\sum w _ {i}} \tag {3.18.6} $$ $$ \mathbf {T} = \sum_ {i} \hat {w} _ {i} \left[ \left(\mathbf {r} _ {i} ^ {\mathrm{T}} \mathbf {r} _ {i}\right) \mathbf {I} - \mathbf {r} _ {i} \mathbf {r} _ {i} ^ {\mathrm{T}} \right] \tag {3.18.7} $$ 이와 같은 힘의 관계식은 다음의 변위와 회전 관계식으로 변환할 수 있다. $$ \mathbf {u} ^ {D} = \sum_ {i} \hat {w} _ {i} \mathbf {u} ^ {I} + \left(\mathbf {T} ^ {- 1} \sum_ {i} \hat {w} _ {i} \left(\mathbf {r} _ {i} \times \mathbf {u} ^ {I}\right)\right) \times \mathbf {e} \tag {3.18.8} $$ $$ \theta^ {D} = \mathbf {T} ^ {- 1} \sum_ {i} \hat {w} _ {i} \left(\mathbf {r} _ {i} \times \mathbf {u} ^ {I}\right) \tag {3.18.9} $$ 결국 주절점들의 평균적인 거동이 종속절점의 움직임을 결정하는 형태가 되며, 이러한 특성 때문에 강체 요소에 비해 작은 개수의 자유도 구속이 발생한다. 

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Rigid (RBE2)


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Interpolation (RBE3)

그림 3.18.6 강체/보간 요소의 거동 비교 • 조인트 요소 조인트(Joint) 요소는 두 점 간의 상대적인 운동을 미리 정의된 다양한 조인트타입에 따라 구속하는데 사용되는 요소이다. 여기서 상대적인 거동이 구속되는두 점은 접지점(ground point)-절점 또는 절점-절점으로 구성될 수 있다. 일반적으로 조인트 요소가 연결하는 두 점은 각각 강체 요소에 포함된 특정 절점인 경우가 많다. 이러한 경우, 조인트 요소는 두 강체요소 사이의 상대적인 거동을 표현하는데 용이하게 사용된다. 선형해석의 경우 조인트 요소는 (3.18.3)으로 표현되는 강체요소의 확장된 형태로 생각할 수 있다. 이 경우 종속절점의 절점좌표계에 대하여 자유도의 구속여부가 정의되어 구속된 절점 자유도에 대한 구속식이 즉시 소거가능한 형태로 주어지는 강체요소의 경우와 달리 조인트 요소의 구속식은 요소의 ECS에 대하여정의가 되므로 이를 적절히 소거가능한 형태로 변환하여야 한다. 따라서 조인트요소에서는 주자유도, 종속자유도가 요소의 정의과정에서 결정되는 것이 아니고ECS에 대하여 주어진 구속식을 소거가능한 형태로 변환하는 과정에서 전체 구속상태를 고려하여 내부에서 적절히 선택하게 된다. 즉, 모든 조인트 요소에 포함된 모든 자유도 에 대한 전체 구속식이 다음과 같이 표현된다면 $$ \mathbf {C u} ^ {c} = \mathbf {0} \tag {3.18.10} $$ 여기서 단일 절점 구속이 적용된 자유도 등을 제외하여 적절히 종속자유도를 구속식의 개수( 행렬의 행 수)만큼 선택하면 (3.18.8)을 다음과 같이 주자유도와 종속자유도 로 분리하여 표현할 수 있고 $$ \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {C} _ {D} & \mathbf {C} _ {I} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} ^ {D} \\ \mathbf {u} ^ {I} \end{array} \right\} = \mathbf {0} \tag {3.18.11} $$ 여기서 행렬 $\mathbf { C } _ { D }$ 의 랭크가 구속식의 개수와 같다면(full rank) 가우스 소거법을통해서 다음과 같이 종속자유도를 소거가능한 형태로 표현할 수 있다. $$ \mathbf {u} ^ {D} = - \mathbf {C} _ {D} ^ {- 1} \mathbf {C} _ {I} \mathbf {u} ^ {I} \tag {3.18.12} $$ 만약 행렬 $\mathbf { C } _ { D }$ 의 랭크가 구속식보다 작다면 이 시스템은 과도구속(over-constraint) 상태이며 이 경우 소거 과정에서 남은 부분이 모두 0인지 아닌지에따라 과도구속의 기존 구속과의 일치 여부를 판별할 수 있다. 이와 같이 종속자유도의 선택과 소거 과정을 통함으로써 선형해석에서 조인트 요소의 경우 강체요소에 비하여 훨씬 복잡한 구속관계를 용이하게 정의할 수 있으며 또한 이 과정에서 과도구속 여부와 과도구속의 기존 구속과의 일치 여부를 정확하게 판단하여 적절한 조치를 취할 수 있다. 조인트 타입에 따라 허용되는 상대적인 거동(자유도)은 요소의 ECS에 대하여 정의되며 특히 기하학적 비선형 해석에서 절점-절점으로 구성된 조인트 요소의 경우 요소의 회전에 따라 ECS가 변화하게 된다. 또한 조인트 요소는 상대적 거동이 허용된 자유도에 Bush 요소처럼 스프링 강성 및 감쇠를 부여 할 수 있다. 조인트 요소의 요소력은 구속된 자유도의 경우 ECS에 대한 구속력이 출력되며상대적 거동이 허용된 자유도에 대해서는 Bush 요소의 경우와 같은 요소력이ECS에 대해 출력된다. 표 3.18.2 조인트 요소의 결과 항목

결과 항목		설명
Stress	Stress component	응력 계수 s 로부터 계산( $\sigma = sN$ or $\sigma = sM$ )
Strain	Strain component	변형률 계수 e 로부터 계산( $\varepsilon = e\mathbf{u}$ or $\gamma = e\boldsymbol{\theta}$ )
Force/Moment	Force/moment component	N or M

midas NFX 에서는 Join, Spherical, Cylindrical, Slot, Revolute, Planar, Translational,Universal, General 타입의 조인트 요소를 지원한다. 표 3.18.3는 각 조인트 타입에 대하여 허용 상대 자유도를 나타내고 그림 3.18.6은 몇 가지 대표적 조인트 타입을 각자의 상대적 거동에 초첨을 맞춰서 도식화한 것이다. Universal 타입의 조인트 요소는 레퍼런스 점의 좌표계인 ECS와 종속점의 좌표계, ECS2를 가지며, 변형중 ECS의 x축과 ECS2의 z축은 수직조건을 만족한다. 표 3.18.3 Joint 요소 타입 및 허용 자유도

조인트 타입	허용 상대 자유도
Join	-
Spherical	$\theta_x, \theta_y, \theta_z$
Cylindrical	$w, \theta_z$
Slot	$u, \theta_x, \theta_y, \theta_z$
Revolute	$\theta_z$
Planar	$u, v, \theta_z$
Translational	$u$
Universal	$\theta_x, \theta_z$
General	사용자 정의


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3D rendered illustration of a mechanical component with orange and gray sections, no text or symbols present

SSphericalpherical 

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3D mechanical component with red and gray parts, labeled ECS-z (no other text or symbols)

Cylindrical Cylindrical 

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3D diagram of a mechanical component with red and black sections and a labeled rotation arrow (no text or symbols beyond label)

Revolute 

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ECS-z ECS-x ECS-y

Planar 

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3D diagram of two mechanical components with labeled ECS-x (no other text or symbols)

Translational 

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3D mechanical assembly diagram showing a component with labeled axes ECS2-z and ECS-x (no text or symbols on the diagram itself)

UniversalUniversal 그림 3.18.6 조인트 타입과 거동 • Gap 요소 Gap 요소는 압축전담 요소에 전단방향 마찰이 추가된 형태의 비선형 요소로 1차원 일반접촉 요소라고 할 수 있다. Gap 요소는 2절점 bush 요소와 같이 절점의 위치 정보를 이용하기 때문에 1차원 요소로 분류하지만, 1절점 bush 요소와같이 요소축이 GCS를 따르는 경우로도 사용이 가능하다. 접촉과는 다르게 초기의 열린거리(Opening) 정의 기준을 고정해야 하므로 기하비선형성을 고려하지않는다. 표 3.18.4 Gap 요소의 결과 항목

결과 항목		설명
Stress	Slip	위치 : 요소중심요소 Y, Z 방향 Slip 거리
	Status	위치 : 요소중심Open/Slide/Stick/Slip = 0/1/2/3
Strain	Relative Displacement	두 절점간 상대변위
Force	Force component	위치 : 요소중심 $N_{xx}, Q_y, Q_z, \sqrt{Q_y^2 + Q_z^2}$

축방향과 전단방향에 대한 거동은 각각 절점간 상대변위 $x _ { B } - x _ { A }$ ${ y _ { B } - y _ { A } }$ 대해서 그림 3.18.8과 같이 표현된다.