등방성 재료에 있어서 물리적으로 타당한 프와송비의 범위는 다음과 같다. $$ - 1. 0 < \nu < 0. 5 \tag {4.1.5} $$ \- 직교이방성 재료 직교이방성 재료는 수직인 3개의 평면에 대해 재료 성질이 대칭을 이루는 재료이다. midas NFX에서는 2차원 형상과 3차원 형상의 요소에 대해 각각 직교이방성 재료를 사용할 수 있다. 직교이방성 재료는 재료의 주축에 대해 그 성질을 표현하며, 3차원 응력상태에 대한 응력-변형률 관계식은 다음과 같다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1 1} \\ \sigma_ {2 2} \\ \sigma_ {3 3} \\ \tau_ {1 2} \\ \tau_ {2 3} \\ \tau_ {3 1} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} \frac {1 - \nu_ {2 3} \nu_ {3 2}}{E _ {2} E _ {3} \Delta} & \frac {\nu_ {2 1} + \nu_ {3 1} \nu_ {2 3}}{E _ {2} E _ {3} \Delta} & \frac {\nu_ {3 1} + \nu_ {2 1} \nu_ {3 2}}{E _ {2} E _ {3} \Delta} & 0 & 0 & 0 \\ & \frac {1 - \nu_ {1 3} \nu_ {3 1}}{E _ {1} E _ {3} \Delta} & \frac {\nu_ {3 2} + \nu_ {1 2} \nu_ {3 1}}{E _ {1} E _ {3} \Delta} & 0 & 0 & 0 \\ & & \frac {1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}}{E _ {1} E _ {2} \Delta} & 0 & 0 & 0 \\ & \text { symmetric } & & G _ {1 2} & 0 & 0 \\ & & & & G _ {2 3} & 0 \\ & & & & & G _ {3 1} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {1 1} - \alpha_ {1 1} \Delta T \\ \varepsilon_ {2 2} - \alpha_ {2 2} \Delta T \\ \varepsilon_ {3 3} - \alpha_ {3 3} \Delta T \\ \gamma_ {1 2} \\ \gamma_ {2 3} \\ \gamma_ {3 1} \end{array} \right\} \tag {4.1.6} $$ $$ \Delta = \frac {1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1} - \nu_ {2 3} \nu_ {3 2} - \nu_ {3 1} \nu_ {1 3} - 2 \nu_ {2 1} \nu_ {3 2} \nu_ {1 3}}{E _ {1} E _ {2} E _ {3}} $$ 2차원 응력 상태에 대한 직교이방성 재료의 응력-변형률 관계식은 다음과 같다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1 1} \\ \sigma_ {2 2} \\ \tau_ {1 2} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {E _ {1}}{1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}} & \frac {\nu_ {2 1} E _ {1}}{1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}} & 0 \\ \frac {\nu_ {1 2} E _ {2}}{1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}} & \frac {E _ {2}}{1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1}} & 0 \\ 0 & 0 & G _ {1 2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \varepsilon_ {1 1} - \alpha_ {1 1} \Delta T \\ \varepsilon_ {2 2} - \alpha_ {2 2} \Delta T \\ \gamma_ {1 2} \end{array} \right\} \tag {4.1.7} $$ 횡방향 전단에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \tau_ {3 1} \\ \tau_ {2 3} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c} G _ {3 1} & 0 \\ 0 & G _ {2 3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {3 1} \\ \gamma_ {2 3} \end{array} \right\} \tag {4.1.8} $$ 일반적으로 직교이방성 재료의 경우에는 다음의 성질을 만족해야 한다. $$ \nu_ {2 1} ^ {2} < \frac {E _ {2}}{E _ {1}}, \nu_ {1 2} ^ {2} < \frac {E _ {1}}{E _ {2}}, \nu_ {3 2} ^ {2} < \frac {E _ {3}}{E _ {2}}, \nu_ {2 3} ^ {2} < \frac {E _ {2}}{E _ {3}}, \nu_ {1 3} ^ {2} < \frac {E _ {1}}{E _ {3}}, \nu_ {3 1} ^ {2} < \frac {E _ {3}}{E _ {1}} \tag {4.1.9} $$ $$ 1 - \nu_ {1 2} \nu_ {2 1} - \nu_ {2 3} \nu_ {3 2} - \nu_ {3 1} \nu_ {1 3} - 2 \nu_ {2 1} \nu_ {3 2} \nu_ {1 3} > 0 \tag {4.1.10} $$ \- 이방성 재료 midas NFX에서 이방성 재료는 3차원 형상의 요소에 대해서만 사용할 수 있다. 3차원 응력 상태에 대한 응력-변형률 관계는 다음과 같다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1 1} \\ \sigma_ {2 2} \\ \sigma_ {3 3} \\ \tau_ {1 2} \\ \tau_ {2 3} \\ \tau_ {3 1} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} G _ {1 1} & G _ {1 2} & G _ {1 3} & G _ {1 4} & G _ {1 5} & G _ {1 6} \\ & G _ {2 2} & G _ {2 3} & G _ {2 4} & G _ {2 5} & G _ {2 6} \\ & & G _ {3 3} & G _ {3 4} & G _ {3 5} & G _ {3 6} \\ & \text { symmetric } & & G _ {4 4} & G _ {4 5} & G _ {4 6} \\ & & & & G _ {5 5} & G _ {5 6} \\ & & & & & G _ {6 6} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {1 1} - \alpha_ {1} \Delta T \\ \varepsilon_ {2 2} - \alpha_ {2} \Delta T \\ \varepsilon_ {3 3} - \alpha_ {3} \Delta T \\ \gamma_ {1 2} - \alpha_ {4} \Delta T \\ \gamma_ {2 3} - \alpha_ {5} \Delta T \\ \gamma_ {3 1} - \alpha_ {6} \Delta T \end{array} \right\} \tag {4.1.11} $$ # 4.2 비선형탄성 재료의 성질 midas NFX에서는 비선형탄성(nonlinear-elastic) 재료 모델로 유효변형률과 등가응력의 비선형탄성 관계의 재료모델을 제공한다. 이 모델은 일축 인장 또는 압축에서는 정확한 비선형탄성 관계를 묘사할 수 있으나 다축 변형에서는 전체 변형률이 작다는 가정하에서 적절한 거동을 묘사 할 수 있다. 비선형탄성 재료 모델은 단순 인장상태에서 단위체적당 변형에 의한 일과 변형에너지가 일치 하도록 고안되어 있고 소성변형은 발생하지 않는다. 단순 인장상태에서의 응력-변형률 곡선에 의한 변형에너지는 아래식과 같이 묘사된다. $$ \int \overline {{{\sigma}}} d \overline {{{\varepsilon}}} = \int \sigma d \varepsilon \tag {4.2.1} $$ : 등가의 응력 dε : 유효 변형률 증분 0 : 응력 성분 벡터 ds : 증분 변형률 성분 벡터 위의 적분식을 적분하면 아래식과 같이 유효 변형률을 정의할 수 있다. $$ \frac {1}{2} E \overline {{\varepsilon}} ^ {2} = \frac {1}{2} \big \langle \pmb {\varepsilon} \big \rangle \mathbf {C} ^ {e l} \left\{\pmb {\varepsilon} \right\} \tag {4.2.2} $$ E : 선형탄성 계수 Cel : 탄성 접선강성 (s) : 변형률 행벡터 { : 변형률 열백터 앞의 식을 유효 변형률에 대하여 미분하면 유효 증분 변형률을 아래식과 같이구할 수 있다. $$ d \overline {{{\varepsilon}}} = \frac {1}{E \overline {{{\varepsilon}}}} \big \langle \pmb {\varepsilon} \big \rangle \mathbf {C} ^ {e l} \big \{d \pmb {\varepsilon} \big \} \tag {4.2.3} $$ 식(4.2.3)을 식(4.2.1)에 대입하여 정리하면 아래와 같은 응력 성분들과 변형률 성분들의 관계식을 유도할 수 있다. $$ \boldsymbol {\sigma} = \frac {\overline {{\sigma}}}{E \overline {{\varepsilon}}} \mathbf {C} ^ {e l} \boldsymbol {\varepsilon} \tag {4.2.4} $$ 비선형탄성 재질의 접선 강성(nonlinear elastic tangent modulus)을 위의 응력을 변형률로 미분함하여 아래의 식과 같이 구할 수 있다. $$ \begin{array}{l} \mathbf {C} ^ {n l} \mathbf {D} = \frac {\partial \boldsymbol {\sigma}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon}} = \frac {\partial}{\partial \varepsilon} \left(\frac {\overline {{\sigma}}}{E \overline {{\varepsilon}}} \mathbf {C} ^ {e l} \boldsymbol {\varepsilon}\right) = \frac {\overline {{\sigma}}}{E \overline {{\varepsilon}}} + \frac {1}{E} \mathbf {C} ^ {e l} \frac {\partial \overline {{\varepsilon}}}{\partial \varepsilon} \frac {\partial}{\partial \overline {{\varepsilon}}} \left(\frac {\overline {{\sigma}}}{\overline {{\varepsilon}}}\right) \\ = \frac {\overline {{\sigma}}}{E \overline {{\varepsilon}}} \mathbf {C} ^ {e l} + \frac {1}{E} \mathbf {C} ^ {e l} \frac {\partial \overline {{\varepsilon}}}{\partial \varepsilon} \left(\frac {\overline {{\varepsilon}} \frac {\partial \overline {{\sigma}}}{\partial \overline {{\varepsilon}}} - \overline {{\sigma}} \cdot 1}{\overline {{\varepsilon}} ^ {2}}\right) \\ = \frac {\bar {\sigma}}{E \bar {\varepsilon}} \left[ D _ {e} \right] + \frac {1}{E} \left[ D _ {e} \right] \frac {1}{E \bar {\varepsilon}} \left\langle \varepsilon \right\rangle \left[ D _ {e} \right] \left(\frac {\bar {\varepsilon} \frac {\partial \bar {\sigma}}{\partial \bar {\varepsilon}} - \bar {\sigma} \cdot 1}{\bar {\varepsilon} ^ {2}}\right) \tag {4.2.5} \\ = \frac {\bar {\sigma}}{E \bar {\varepsilon}} \mathbf {C} ^ {e l} + \frac {1}{(E \bar {\varepsilon}) ^ {2}} \left(\frac {\partial \bar {\sigma}}{\partial \bar {\varepsilon}} - \frac {\bar {\sigma}}{\bar {\varepsilon}}\right) \left\langle \boldsymbol {\sigma} _ {e} \right\rangle \left\{\boldsymbol {\sigma} _ {e} \right\} \\ \end{array} $$ \- 비선형탄성 재질 특성 곡선 비선형탄성의 재질특성은 등가응력과 유효변형률의 관계로 아래의 그림 4.2.1 과 같이 정의된다. 기본적으로 원점을 지나는 곡선으로 표현되며 변형률이 작은 경우에는 선형관계를 유지한다고 가정할 수 있다. 요소에 따른 유효변형률(effective strain)은 (4.2.7), (4.2.8), (4.2.9)과 같이 나타낼수 있고, 등가 응력(equivalent stress)은 각 요소에 따라 (4.2.10), (4.2.11), (4.2.12)와 같이 표현할 수 있다. 등가응력과 유효변형률은 항상 양수의 값으로 계산이 되지만 압축을 받는 경우의 비선형탄성 거동을 묘사하기 위하여 그림 4.2.1 과 같이 양수와 음수 변형률 구간을 모두 입력하고, 변수 r 을 사용하여 부호 문제를 처리하였다. 그림에서의 r 값은 아래의 식과 같이 계산된다. $$ r = \frac {I _ {1}}{\overline {{\sigma}}} (- 1 \leq r \leq 1) \tag {4.2.6} $$ $$ I _ {1} = \sigma_ {x x} + \sigma_ {y y} + \sigma_ {z z} $$ $I_{1}$ : 응력의 1 차 불변상수(First invariant of stress) 

line

| Point | x | y | |-------|-------|-------| | r = -1| ε̅ | σ̄ₜ | | r = 1 | ε̅ | σ̄ₜ | | r = 1 | ε̅ | σ̄c |

그림 4.2.1 유효변형률과 등가응력의 관계 $$ \overline {{{\varepsilon}}} ^ {2} = \frac {1}{1 - \nu^ {2}} \left\{\varepsilon_ {x} ^ {2} + \varepsilon_ {y} ^ {2} + 2 \nu \varepsilon_ {x} \varepsilon_ {y} + \frac {1 - \nu}{2} \gamma_ {x y} ^ {2} \right\} \quad \text { for plane stress } \tag {4.2.7} $$ $$ \overline {{{\varepsilon}}} ^ {2} = \frac {1}{(1 - 2 \nu) (1 + \nu)} \left\{ \begin{array}{l} (1 - \nu) \left(\varepsilon_ {x x} ^ {2} + \varepsilon_ {y y} ^ {2} + \varepsilon_ {z z} ^ {2}\right) \\ + 2 \nu \left(\varepsilon_ {x x} \varepsilon_ {y y} + \varepsilon_ {y y} \varepsilon_ {z z} + \varepsilon_ {z z} \varepsilon_ {x x}\right) \\ + \frac {(1 - 2 \nu)}{2} \gamma_ {x y} ^ {2} \end{array} \right\} \quad \text { for plane strain } \tag {4.2.8} $$ $$ \overline {{{\varepsilon}}} ^ {2} = \frac {1}{(1 - 2 \nu) (1 + \nu)} \left\{ \begin{array}{l} (1 - \nu) \left(\varepsilon_ {x x} ^ {2} + \varepsilon_ {y y} ^ {2} + \varepsilon_ {z z} ^ {2}\right) \\ + 2 \nu \left(\varepsilon_ {x x} \varepsilon_ {y y} + \varepsilon_ {y y} \varepsilon_ {z z} + \varepsilon_ {z z} \varepsilon_ {x x}\right) \\ + \frac {(1 - 2 \nu)}{2} \left(\gamma_ {x y} ^ {2} + \gamma_ {y z} ^ {2} + \gamma_ {z x} ^ {2}\right) \end{array} \right\} \quad \text {for solid} \tag {4.2.9} $$ $$ \overline {{\sigma}} ^ {2} = \left(\sigma_ {x} ^ {2} - \sigma_ {x} \sigma_ {y} + \sigma_ {y} ^ {2}\right) + 3 \tau_ {x y} ^ {2} \quad \text { for plane stress } \tag {4.2.10} $$ $$ \bar {\sigma} ^ {2} = \frac {1}{2} \left[ \left(\sigma_ {x} - \sigma_ {y}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {y} - \sigma_ {z}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {z} - \sigma_ {x}\right) ^ {2} \right] + 3 \tau_ {x y} ^ {2} \quad \text { for plane strain } \tag {4.2.11} $$ $$ \bar {\sigma} ^ {2} = \frac {1}{2} \left[ \left(\sigma_ {x} - \sigma_ {y}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {y} - \sigma_ {z}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {z} - \sigma_ {x}\right) ^ {2} \right] + 3 \left(\tau_ {x y} ^ {2} + \tau_ {y z} ^ {2} + \tau_ {z x} ^ {2}\right) \quad \text { for solid } \tag {4.2.12} $$ # 4.3 소성 재료의 성질 midas NFX에서는 비탄성(inelastic) 재료의 대표적인 모델로 소성(plastic) 재료모델을 제공한다. 소성 재료모델은 일반적으로 탄성 영역의 성질을 이용하여 소성영역의 재료 거동을 모사하며 이를 탄소성(elastoplastic) 재료라 한다. midasNFX에서 사용하는 탄소성 이론은 변형률 속도(strain rate)을 반영하지 않으며(rate independent) 소성 영역의 거동은 재료 온도와 무관하다. 또한, 탄성 변형률이 작다는 가정을 사용하여 다음과 같은 가법 분해(additive decomposition)를기초로 한다. $$ d \boldsymbol {\varepsilon} = d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {e l} + d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} \tag {4.3.1} $$ dεel : 탄성 변형률 증분 dεpl : 소성 변형률 증분 여기서 변형률 증분은 다음과 같이 정의할 수 있다. $$ d \boldsymbol {\varepsilon} = \frac {1}{2} \left[ \frac {\partial d \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}} + \left(\frac {\partial d \mathbf {u}}{\partial \mathbf {x}}\right) ^ {T} \right] = d \mathbf {D} \tag {4.3.2} $$ 변형률 속도(strain rate)와 온도를 반영하지 않는 소성 모델은 일반적으로 다음과 같은 부등식 내에서 탄성 거동을 한다. $$ f (\boldsymbol {\sigma}, \mathbf {q}) < 0 \tag {4.3.3} $$ 는 경화인자(hardening parameter)이며 소성 재료 모델의 종류에 따라 그 개수가 다르다. 탄소성 재료의 응력이 탄성 영역을 넘어서게 되면 소성 변형률이발생하며 재료의 응력 증가율은 탄성 변형률만을 반영한다. $$ d \boldsymbol {\sigma} = \mathbf {C} ^ {e l}: (d \boldsymbol {\varepsilon} - d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l}) \tag {4.3.4} $$ Cel : 탄성 접선강성 이때 발생하는 소성 변형률의 크기와 방향은 다음과 같이 정의된다. $$ d \boldsymbol {\varepsilon} ^ {p l} = d \lambda \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma}} \tag {4.3.5} $$ g 는 소성유동 포텐살(plastic flow potential) 이라 하며 λ 는 소성 변형과 함께 증가하는 스칼라 값이다. 일부 탄소성 재료는 소성유동의 방향이 항복곡면 f 에 수직인 경우가 있는데, 이를 상관(associative) 소성유동이라 한다. $$ \frac {\partial f}{\partial \sigma} \propto \frac {\partial g}{\partial \sigma} \tag {4.3.6} $$ 소성변형과 함께 경화인자 또한 변화하게 된다. $$ d \mathbf {q} = d \lambda \mathbf {h} (\boldsymbol {\sigma}, \mathbf {q}) \tag {4.3.7} $$ 함수 h 는 경화법칙(hardening law)을 정의하는 함수이며, 소성유동이 발생할 때 만족되어야 하는 일관성조건(consistency condition)에 의해 항복곡면과 관계를 가진다. $$ d f = \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}}: d \boldsymbol {\sigma} + \frac {\partial f}{\partial \mathbf {q}} \cdot d \mathbf {q} = \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}}: d \boldsymbol {\sigma} + d \lambda \frac {\partial f}{\partial \mathbf {q}} \cdot \mathbf {h} = 0 \tag {4.3.8} $$ (4.3.4)에 (4.3.5)를 대입하면 $d\sigma = \mathbf{C}^{el} : (d\varepsilon - d\lambda \frac{\partial g}{\partial \sigma})$ 이 되고, 이를 (4.3.8)에 대입하면 다음과 같이 $d\lambda$ 를 계산할 수 있다. $$ d \lambda = \frac {\frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} : \mathbf {C} ^ {e l} : d \boldsymbol {\varepsilon}}{- \frac {\partial f}{\partial \mathbf {q}} \cdot \mathbf {h} + \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} : \mathbf {C} ^ {e l} : \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma}}} \tag {4.3.9} $$ 위 식을 $d\sigma = \mathbf{C}^{el} : (d\varepsilon - d\lambda \frac{\partial g}{\partial \sigma})$ 에 대입하면 다음과 같이 탄소성 접선강성 (elastoplastic tangent modulus)을 계산할 수 있다. $$ \mathbf {C} ^ {p l} = \mathbf {C} ^ {e l} - \frac {(\mathbf {C} ^ {e l} : \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma}}) \otimes (\frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} : \mathbf {C} ^ {e l})}{- \frac {\partial f}{\partial \mathbf {q}} \cdot \mathbf {h} + \frac {\partial f}{\partial \boldsymbol {\sigma}} : \mathbf {C} ^ {e l} : \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma}}} \tag {4.3.10} $$ 탄소성 재료의 응력은 (4.3.4), (4.3.5), (4.3.7) 그리고 (4.3.8)을 적분하여 계산할 수 있다. 이 적분 방법을 회귀매핑(return mapping)이라 하며, 이는 응력 $\sigma_{n}$ 로부터 변형률 증분 $\Delta \varepsilon$ 를 이용하여 $\sigma_{n+1}$ 를 계산하는 과정이다. 회귀매핑 방법에는 여러가지 이론이 있으나, midas NFX에서는 암시적 후방 오일러(implicit backward Euler) 방법을 이용하며, von Mises 소성 재료에 대하여는 특히 반지름 방향 회귀매핑(radial return mapping) $^{1}$ 을 이용한다. (4.3.4), (4.3.5), (4.3.7) 그리고 (4.3.8)을 증분 변수로 표현하면 다음과 같다. $$ \pmb {\sigma} _ {n + 1} = \mathbf {C} ^ {e l}: \left(\pmb {\varepsilon} _ {n + 1} - \pmb {\varepsilon} _ {n + 1} ^ {p l}\right) $$ $$ \boldsymbol {\varepsilon} _ {n + 1} ^ {p l} = \boldsymbol {\varepsilon} _ {n} ^ {p l} + \Delta \lambda \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {\sigma} _ {n + 1}} \tag {4.3.11} $$ $$ \mathbf {q} _ {n + 1} = \mathbf {q} _ {n} + \Delta \lambda \mathbf {h} _ {n + 1} $$ $$ f _ {n + 1} = f (\mathbf {\sigma} _ {n + 1}, \mathbf {q} _ {n + 1}) = 0 $$ 위 식은 일련의 비선형 연립방정식에 해당하나, 결국 소성유동의 양을 대표하는 스칼라 증분인 $\Delta \lambda$ 을 계산하기 위한 식에 불과하며, 뉴튼 략슨법(Newton Raphson)을 이용하여 계산할 수 있다. 초기 $\Delta \lambda$ 의 값은 0으로 가정하며, 이는 소성유동의 양을 모르는 상태에서 탄성 가정으로 응력 $\sigma_{n+1}^{trial}$ 를 계산하는 것과 같다. 응력 $\sigma_{n+1}^{trial}$ 이 (4.3.3)을 위배하게 되면 소성유동이 발생하게 되며, 그림 4.3.1과 같이 $\Delta \lambda$ 의 반복 계산을 통하여 응력이 $\sigma_{n+1}^{trial}$ 로부터 항복곡면에 도달하게 된다. 

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Plastic flow \frac{\partial g}{\partial \sigma} Yield surface \sigma_n \dot{\sigma} \sigma_{n+1}^{trial} Return mapping \sigma_{n+1}

그림 4.3.1 소성유동의 방향과 회귀매핑 다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 탄소성 재료와 요소간의 관계를 정리한것이다. 표 4.3.1 요소별 사용 가능한 소성 재료

항복 조건	요소 종류
	Rod	Bar	Pipe	Membrane	Shell	Plane strain	Axisymmetric Solid	Solid	Surface
von Mises	v			v	v	v	v	v	v
von Mises(with Hardening)	v			v	v	v	v	v	v

• von Mises 항복조건 von Mises 항복조건에서는 편차응력(deviatoric stress)의 2 차 불변량 $J _ { 2 }$ 가 특정값에 도달할 때 항복이 일어난다고 가정한다. 이 조건은 금속 재료의소성거동을 표현함에 있어서 가장 널리 이용된다. 경화를 고려하지 않은완전소성(perfect plastic) 항복 조건을 식으로 표현하면 다음과 같다. $$ f (\boldsymbol {\sigma}) = \sqrt {3 J _ {2}} - \sigma_ {y} = \sqrt {\frac {3}{2} \boldsymbol {\sigma} _ {d e v} : \boldsymbol {\sigma} _ {d e v}} - \sigma_ {y} = 0 \tag {4.3.12} $$ $\sigma_{dev}$ : 편차응력 $\sigma_{y}$ : 항복응력 항복조건을 표현함에 있어서 편차응력만을 이용하기 때문에 정수압과 무관하게 항복이 일어나는 연성(ductile) 재료를 표현하기에 적합하다. 3 차원 응력 상태에서의 von Mises 항복곡면은 반지름이 $\sqrt{2/3}\sigma_{y}$ 이고 정수압축에 평행한 원기둥으로 나타난다. 

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von Mises yield surface σ₁ σ₁ = σ₂ = σ₃ √(2/3)σᵧ σ₃ σ₁ + σ₂ + σ₃ = 0 π-plane σ₂

그림 4.3.2 주응력 좌표계에서의 von Mises 항복곡면