는 방법이다(Bathe, 1996). 그러나 이 방법은 거 영에 지모 (spurious zero energy mode)를 유발시 는 치명적인단점을 지니고 있다. 이점을 극복하기 위하여 각종 안정화(stabilization)기법이 사용된다. 비적합모 (non-conforming or incompatible mode)를 추가함으로 요소의 휨 모 를 복원하여 쉘 유한요소의 잠김현상을 화할 수 있다. 이 방법은 요소간 변위의 적합성(inter-elemental compatibility)을 만 시 지 하는 단점과최종 강성행 을 구하기 위해 정적 (static condensation)을 사용하기 때문에 비선형 해석으로 확장 시 식이 복잡해지는 단점을 가지고 있다(Choi, Lee and Park, 1999; 최창근, 2002). 변위와 변형률을 각각 따로 근사하는 혼합법(mixedformulation)에 근거한 방법들은 쉘 유한요소의 잠김현상을화시 는 알려진 방법들 중 가장 우수하다고 평가된다. 그중 MITC(Mixed Interpolation of Tensorial Components)방법은 이론적으로 잘 확 되어 있으며 다양한 수치실험으로 잠김현상의 제어에 매우 효과적임이 증되었다(Batheand Dvorkin, 1989; Bathe, 1996; Bathe, Iosilevich andChapelle, 2000a; Hiller and Bathe, 2003). 최근의 연구들은 MITC방법에 의해 만들어진 사각형 쉘 유한요소들이 이상적인 쉘 유한요소에 상 히 접근해 있 을 보여준다(Hillerand Bathe, 2003; Bathe, Lee and Hiller, 2003). MITC 방법에서는 변위법에 근거한 쉘 유한요소의 특정한위치들(tying points)에서 공변변형률들(covariant strains)을이용하여 원 공변(covariant)변형률의 근사차수보다 은차수로 변형률장을 근사(interpolation)한다. 일반적으로 근사함수는 은 차수일수 잠김현상 제어에 효과적이지만은 근사차수는 막지배거동을 하는 쉘 구조문제를 풀때 유한요소해가 이론해에 수렴하지 하는(즉, consistency조건을 만 시 지 하는) 현상을 유발시 다. 심한 경우에는 거 영에 지모 를 발생시켜 ellipticity조건 지 만 시수 없게 만든다. 그러므로 MITC방법의 핵심은 휨 및혼합지배거동 시 잠김현상을 여주면서 막지배거동 시 수렴성을 유지하는(즉, consistency를 만 시 는) 균형 잡변형률의 근사장을 찾아내는 것이다. 대체변형률장(assumed strain field)을 사용하는 ANS(Assumed Natural Strain)방법은 MITC방법과 유사하며,EAS(Extended Assumed Strain)방법은 ANS 또는 MITC방법에 추가적인 변형률장을 도 하여 변형률장이 표현 가능한 형태들(patterns)의 수를 려주는 방법이다. EAS방법은비적합모 를 사용하는 방법과 비 하게 추가된 변형률장의자유도를 제거하기 위해 정적 을 필요로 한다는 단점을가지고 있으며 기 의 ANS나 MITC방법에 비하여 쉘 유한요소의 수렴성을 개선시 수 있지만 그 효과가 지는다고 알려져 있다. 다른 여러 가지 방법을 사용하여 휨 및 혼합지배거동 쉘구조문제에 대하여 보다 유연(flexible)한 거동을 하는 쉘 유한요소를 개발하는 것은 어 지 . 그러나 그와 동시에consistency와 ellipticity조건들을 모두 만 시 는 것은 지다. 앞으로 여러 종류의 개발된 쉘 유한요소에 대하여 쉘이론에 바탕을 심도 있는 성능시험(benchmark test)과연구가 필요하다. # 5.3 일반적으로 유한요소법을 사용하여 쉘 구조물을 해석하는대부분의 기술자들(engineers)은 구하여진 해의 오차(error)에대한 평가 없이 해석결과를 아들이기 때문에 쉘 유한요소를 개발하는 연구자들은 개발된 쉘 유한요소를 실제 해석에사용하기에 앞서 성능을 평가하고 그 결과를 보고하여야 한다. 개발된 쉘 유한요소의 오차특성이 명확하게 알려진다면사용자들은 주어진 쉘 유한요소를 어떻게 바 게 사용할수 있을지를 단할 수 있게 된다. 쉘 유한요소의 성능평가는 다 에 거된 사항들을 고려하여 이루어져야 한다. # ● 기본시험 쉘 유한요소는 표 2에 정리되어있는 기본시험들(basictests)을 통과하여야 한다. 기본시험들을 통과하지 하는 쉘유한요소의 사용은 바 하지 하다. # ● 성능평가방법 쉘 유한요소의 성능을 평가하기 위해서는 다양한 쉘 구조문제들이 사용되어야 한다. 쉘 유한요소들의 성능을 비교평가하기 위하여 오 전부터 많은 쉘 해석문제들이 제안되어다. 현재 지 가장 널리 쓰이는 성능평가방법은 1985년에MacNeal와 Harder에 의해 정리된 것으로 두께가 정해진가지 쉘 구조문제들을 해석하여 정해진 위치에서 구해진 변위 및 력/변형률 등의 결과치들을 유한요소 을 조밀화 하면서 비교하는 것이다. 이미 언 한 바와 같이 점들에서의 해의 수렴을 정하는 것은 전체 유한요소해의 거동을바 게 반영할 수 없다. 변위형상이나 력/변형률의 분는 유한요소해의 전체적인 수렴정도를 보여 수 있으며 이것들을 비교하는 것은 매우 은 보 방법이다. 그러나 이방법으로 과연 유한요소해가 어 정도 수렴 는지를 정하여 그 정도를 한 개의 으로 보여주기는 대단히 어 다.그러므로, 력과 변형률의 오차분 로부터 구해진 s-norm은전체 유한요소해를 반영하는 은 오차 정의 규준이 된다.또한 4.3절에서 설명한 바와 같이 두께의 변화를 고려한 성

시험	대상	참고문헌
영에너지 시험 (Zero energy mode test)	사각형 셀 유한요소삼각형 셀 유한요소	Bathe, 1996
조각 시험 (Patch tests)-Membrane patch test- Bending patch test	사각형 셀 유한요소삼각형 셀 유한요소	Bathe, 1996Lee and Bathe, 2004
요소 등방성 시험 (Element isotropy test)	삼각형 셀 유한요소	Lee and Bathe, 2004


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Geometric grid pattern forming a curved, dome-like shape (no text or symbols)

（a） 

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Curved grid pattern with no text or symbols


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Curved wireframe grid pattern with no text or symbols

（c） 7 . Gaussian : (a) Positive Gaussian curvatu re, (b) Zero Gaussian cu rvatu re, (c) Negative 곡률에 따Gaussian curvature 3 . ( Bathe , I osi levich and Chapel le , 2000 ; Lee and Bathe , 2002 ; Bathe ,쉘 유한요소의 성능평가를 위한 쉘 구조문제의 예들Chapel le and Lee, 2003 ; Bathe, Lee and H i l ler, 2003 ; Chapel le and Bathe, 2003 ; H i l ler and Bathe, 2003 ; Lee and Bathe,2004 ; Lee and Bathe , 2005 ; Lee , Noh and Bathe , 2007)

셀 구조문제 (shell problems)	Gaussian 곡률	점근거동 ( $\rho$ )
Fully clamped plate problem	Zero	hover지배 ( $\rho = 3.0$ )
Scodelis-Lo roof shell problem	Zero	혼합지배 ( $\rho = 1.75$ )
Modified Scodelis-Lo roof shell problem	Zero	막지배 ( $\rho = 1.0$ )
Free cylindrical shell problem	Zero	hover지배 ( $\rho = 3.0$ )
Fixed cylindrical shell problem	Zero	막지배 ( $\rho = 1.0$ )
Clamped hemispherical cap problem	Positive	막지배 ( $\rho = 1.0$ )
Monster shell problem	Positive	Not well-defined
Partly clamped hyperbolic paraboloid shell problem	Negative	hover지배 ( $\rho = 3.0$ )
Free hyperboloid shell problem	Negative	hover지배 ( $\rho = 3.0$ )
Fixed hyperboloid shell problem	Negative	막지배 ( $\rho = 1.0$ )

능평가방법을 사용하는 것이 바 하다 ·(layer) 쉘의 력변형률변위장들이 히 변하는 의즉 특성 이 는 쉘의 두께에 따라 변화한다 일반적으로 특성 이는 쉘의 두께가 얇아짐에 따라 식에 의하여 히 어든다 에서의 에 지 중현상때문에 이런 이 발생하는 쉘 구조문제를 풀 때는 균일한유한요소 을 사용하여 균일최적수렴을 기 들다 각각의 특성 이를 반영한 유한요소 을 사용하여야 한다 즉이 발생하는 영역에서 보다 조밀한 유한요소 의 사용이昱(Bathe，Iosilevich and Chapelle，2000a)．o]弭유한요소 을 라 부른다 ● 중심면의 률 쉘 구조물의 중심면은 률 을 가지고 있다면은 률의 부호에 따라 세가지로 나누어질 수 있다 특히 률이 인 면을 가지는 쉘 구조물은유한요소해석에 있어서 상 한 어려 이 따른다쉘 유한요소의 성능을 평가하기 위한 해석시험문제들 은 다양한 률을 고려하여 구성되어야 한다 이는 어 쉘 유한요소가 특정한 률을 가지는 쉘 구조문제에서 은 수렴성을 보인다고 하여 다른률을 가지는 구조문제에 대하여도 은 수렴을 보이는 것은 아니기 때문이다 그 은 률에 따른 면의예들을 보여주고 있다 ● 점근거동의 종류 장에서 우리는 쉘 구조물의 두께가 얇아짐에 따라 나타나는 가지 점근거동휨지배 막지배 혼합지배거동을 살펴 보다 각각의 점근거동을 모두 시험할 수 있도 해석시험문제들을 구성해 주어야 한다 특히 휨지배 및 혼합지배거동쉘 구조문제들에서는 잠김현상이 일어나는지를 시험하여야하며 막지배거동 쉘 구조문제들에서는 절에서 언 한조건이 만 되는지를 살펴보아야 한다 표 은 쉘유한요소의 성능평가를 위한 쉘 구조문제의 예들을 보여주고 있다 ● 요소 의 형태 유한요소해석의 해는 유한요소 을 어떻게 구성하는지에따라 그 수렴특성이 변화하게 된다 요소형상의 그러짐에민감하지 고 은 수렴성을 유지하는 쉘 유한요소를 개발하는 것은 지 은 일이다 따라서 해석시험문제들은 다양한 유한요소 에 따른 쉘 유한요소의 수렴특성을 반영해 주어야 한다 특히 비등방성 각형 쉘 유한요소의 시험에서는 유한요소 의 형태 만 아니라 요소의 방에 따라 수렴특성이 변하므로 요소의 방 성 또한 고려되(Lee,Noh and Bathe, 2007). # 6.号 리 에서 언 된 바와 같이 쉘 구조물의 유한요소해석을명확하게 이해하기 위해서는 쉘 구조물의 물리적 거동 수학모델 및 쉘 유한요소해석에 대한 이해가 동시에 체계적이고심도 있게 이루어져야 한다 본 논문에서는 이 세가지 부분에 대한 이해와 이들이 서로 어떻게 유기적으로 관계를 맺 고 있는지를 최근 주요 연구들을 대로 정리하여 고찰하고 이상적인 쉘 유한요소의 성질과 쉘 유한요소의 성능평가방법을 제시하 다. 본 논문에서는 대표적인 쉘 수학모델과 휨지배거동, 막지배거동, 혼합지배거동 등으로 나누어지는 쉘 구조물의 점근거동에 대한 기본적인 이론과 그 점근거동을 수치적으로 알아내는 방법을 알아보 다. 또한 휨지배 및 혼합지배거동에서 나타나는 쉘 유한요소의 잠김현상을 두께의 변화에 따른수렴 선을 통하여 고찰하 다. 마지막으로 이상적인 쉘 유한요소의 조건과 잠김현상의 제어하는 방법을 알아보 고 쉘유한요소의 성능평가방법을 제안하 다. 쉘 구조물의 수학모델과 점근거동은 쉘의 물리적 거동을이해하는데 핵심사항으로 쉘 구조물을 설계하는 기술자나 쉘유한요소해석을 연구하는 연구자들이 명확하게 알아야 할 매우 중요한 부분이다. 유한요소법을 이용하여 쉘 구조물을 해석하기에 앞서 쉘 구조물의 점근거동과 그와 관련된 쉘 유한요소의 감김현상에 대한 이해는 필수적이다. 통합적인 이해의 바탕이 있을 때 신뢰할 만한 쉘 유한요소의 개발이 이루어질 수 있으며 쉘 구조물의 유한요소해석을 통하여 어진 결과를 정확하게 이해할 수 있다. # 글을 맺으며 본 논문에 소개된 기본개 들을 정 하고 정리하는데 많은 가 을 주신 MIT(Massachusetts Instituteof Technology)의 Klaus-Jürgen Bathe 교수 과 KAIST(한국과학기술원)의 최창근 교수 께 은 감사 니다. # (2002) . . Ahmad, S., Irons, B.M., and Zienkiewicz, O.C. (1970) Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements. International Journal for Numerical Methods and Engineering, Vol. 2, pp. 419-451. Bathe, KJ. (1996) Finite Element Procedures. Prentice Hall: New Jersey. Bathe, K.J., Chapelle, D., and Lee, P.S. (2003) A shell problem ‘highly sensitive’ to thickness changes. International Journal for Numerical Methods and Engineering, Vol. 57, pp. 1039-1052. Bathe, K.J. and Dvorkin, E.N. (1989) A formulation of general shell elements - the use of mixed interpolation of tensorial components. International Journal for Numerical Methods and Engineering, Vol. 22, pp. 697-722. Bathe, K.J., Iosilevich, A., and Chapelle, D. (2000a) An evaluation of the MITC shell elements. Computers & Structures, Vol. 75, pp. 1-30. Bathe, K.J., Iosilevich, A., and Chapelle, D. (2000b) An inf-sup test for shell finite elements. Computers & Structures, Vol. 75, pp. 439-456. Bathe, K.J., Lee, P.S., and Hiller, J.F. (2003) Towards improving the MITC9 shell element. Computers & Structures, Vol. 81, pp. 477-489. Chapelle, D. and Bathe, K.J. (1998) Fundamental considerations for the finite element analysis of shell structures. Computers & Structures, Vol. 66, pp. 19-36, pp. 711-712. Chapelle, D. and Bathe, K.J. (2003) The finite element analysis of shells? fundamentals. Berlin:Springer-Verlag. Choi, C.K., Lee, P.S., and Park, Y.M. (1999) Defect-free 4-node flat shell element: NMS-4F element. Structural Engineering and Mechanics, Vol. 8, pp. 207-231. Hiller, J.F. and Bathe, K.J. (2003) Measuring convergence of mixed finite element discretizations: an application to shell structures. Computers & Structures, Vol. 81, pp. 639-654. Lee, P.S. and Bathe, K.J. (2002) On the asymptotic behavior of shell structures and the evaluation in finite element solutions. Computers & Structures, Vol. 80, pp. 235-255. Lee, P.S. and Bathe, K.J. (2004) Development of MITC isotropic triangular shell finite elements. Computers & Structures, Vol. 82, pp. 945-962. Lee, P.S. and Bathe, K.J. (2005) Insight into finite element shell discretizations by use of the basic shell mathematical model. Computers & Structures, Vol. 83, pp. 69-90. Lee, P.S. Noh, H.C., and Bathe, K.J. (2007) Insight into 3-node triangular shell finite elements: the effects of element isotropy and mesh patterns. Computers & Structures, Vol. 85, pp. 404- 418. Lovadina, C. (2001) Energy estimates for linear elastic shells. Computational Fluid and Solid Mechanics (Bathe KJ ed.), pp. 330- 331, Elsevier Science. MacNeal, R.H. and Harder, R.L. (1985) A proposed standard set of problems to test finite element accuracy. Finite Element in Analysis and Design, Vol. 1, pp. 3-20. Noh, H.C. (2006) Nonlinear behavior and ultimate load bearing capacity of reinforced concrete natural draught cooling tower shell. Engineering Structures, Vol. 28, pp. 399-410. ( : 2006.7.18/ : 2007.1.16/ : 2007.3.27)