# 일본 나고야 공단 콘크리트 모델 일본 나고야 공단의 콘크리트 모델로 다음과 같은 특징이 있습니다. 강성 교각에 충전된 콘크리트의 응력-변형 관계이므로 최대 압축 강도에 대응하는 변형률을 초과한 이후는 최대압축강도를 그대로 유지한다고 가정합니다. 극한 변형률을 초과한 경우에는 더 이상 저항을 하지 않고, 잔류 소성 변형을 고려하고 있으며, 제하 (Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 초기강성으로 거동합니다. 시방규정에는 인장강도를 무시하도록 하고 있으나, 범용성을 갖추기 위하여 인장측 응력-변형 관계를 임의로 정의할 수 있도록 구현하였습니다. 최대 인장 변형률을 초과하는 경우 더 이상 저항을 하지 않는다고 가정합니다. 

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| ε | σ | | ---- | ---- | | ε | 0 | | ε | σ |

그림 2.9.45 일본 나고야 공단 콘크리트 섬유 구성모델 $$ \sigma_ {c} = \sigma_ {c k} \left[ 2 \left(\varepsilon_ {c} / \varepsilon_ {0}\right) - \left(\varepsilon_ {c} / \varepsilon_ {0}\right) ^ {2} \right] $$ 여기서, $\sigma_{ck}$ : 콘크리트의 설계 기준 강도 $\sigma_{bt}$ : 콘크리트의 인장 강도 $\varepsilon_{cu}$ : 콘크리트의 극한 변형률 $\varepsilon_{0}$ : 최대 압축 응력에 대응되는 변형률 # Tri-linear Concrete Model 1, 2차 압축 항복까지 구현 가능하고, 인장 강도를 가지는 일반적인 모델로서 사용 자의 의도에 따라 임의적인 정의가 가능한 모델입니다. 잔류 소성 변형을 고려하 고 있으며, 제하(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 초기강성으로 거동한다고가정합니다. # 중국 콘크리트 시방서 모델 (GB50010-2002) 중국 콘크리트 시방서(GB50010-2002)의 단축 콘크리트 응력-변형도 모델입니다.본 모델은 압축측과 인장측에 각각 최대 응력점을 가지며, 최대 응력점을 넘는 경우에 연화영역을 가집니다. 중국 콘크리트 시방서 모델의 적용범위는 다음과 같습니다. 콘크리트 강도 등급 : C20\~C80 콘크리트 질량밀도 : 2200\~2400kg/m3 정상적인 온도, 습고환경, 정상적인 재하속도 구조해석방법과 극한상태 검토의 필요성에 따라서, 단축강도( \* \* , f f )는 각 표준치( $f _ { c k } \mathrm { ~ , ~ } f _ { t k } \mathrm { ~ ) ~ }$ , 설계치 혹은 평균치( $f _ { c m } , f _ { t m }$ )를 사용할 수 있습니다. 강도의 평균치는 다음과 같이 계산합니다. $$ f _ {c m} = \frac {f _ {c k}}{1 - 1 . 6 4 5 \delta_ {c}} $$ $$ f _ {t m} = \frac {f _ {t k}}{1 - 1 . 6 4 5 \delta_ {t}} $$ 여기서, $\delta _ { c } , \delta _ { t }$ : 콘크리트 압축강도 (인장강도의 돌변계수로서 시험통계에 의해 결정) 

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| x = ε/ε_c | y = σ/f_c* | | --------- | ---------- | | 0.0 | 0.0 | | 1.0 | 1.0 | | ε_u / ε_c | 0.5 |

그림 2.9.46 콘크리트 압축 응력-변형 곡선 콘크리트 단축 압축의 응력-변형 곡선의 방정식은 다음 식과 같이 결정할 수 있습니다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {c} \leq \varepsilon ; y = \alpha_ {a} x + (3 - 2 \alpha_ {a}) x ^ {2} + (\alpha_ {a} - 2) x ^ {3} \\ \varepsilon < \varepsilon_ {c}; y = \frac {x}{\alpha_ {d} (x - 1) ^ {2} + x} \end{array} \right. $$ $$ \text { 여기서, } x = \frac {\varepsilon}{\varepsilon_ {c}}, y = \frac {\sigma}{f _ {c} ^ {*}} $$ $f_{c}^{*}$ : 콘크리트의 단축 압축강도( $f_{ck}$ , $f_{c}$ or $f_{cm}$ ) $\varepsilon_{c}$ : $f_{c}^{*}$ 에 대응하는 최대점의 압축변형 $$ \varepsilon_ {c} = \left(7 0 0 + 1 7 2 \sqrt {f _ {c} ^ {*}}\right) \times 1 0 ^ {- 6} $$ $\alpha_{a}$ : 단축 압축의 응력-변형 곡선의 상승구간의 파라메터 $$ \alpha_ {a} = 2. 4 - 0. 0 1 2 5 f _ {c} ^ {*} $$ $\alpha_{d}$ : 단축 압축의 응력-변형 곡선의 하강구간의 파라메터 $$ \alpha_ {d} = 0. 1 5 7 f _ {c} ^ {* 0. 7 8 5} - 0. 9 0 5 $$ $\varepsilon_{u}$ 는 응력-변형도 곡선의 하강구간에서 응력이 $0.5 \cdot f_{c}^{*}$ 위치에서의 변형을 의미합니다. $$ \frac {\varepsilon_ {u}}{\varepsilon_ {c}} = \frac {1}{2 \alpha_ {d}} \left(1 + 2 \alpha_ {d} + \sqrt {1 + 4 \alpha_ {d}}\right) $$ \*. $E_{u}$ 는 응력-변형곡선 하강구간에서 응력이 $0.5f_{c}^{*}$ 일때의 콘크리트 압축변형

$f_c^*(N/mm^2)$	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
$\mathcal{E}_c(x10^{-6})$	1370	1470	1560	1640	1720	1790	1850	1920	1980	2030
$\alpha_a$	2.21	2.15	2.09	2.03	1.96	1.90	1.84	1.78	1.71	1.65
$\alpha_d$	0.41	0.74	1.06	1.36	1.65	1.94	2.21	2.48	2.74	3.00
$\mathcal{E}_u/\mathcal{E}_c$	4.2	3.0	2.6	2.3	2.1	2.0	1.9	1.9	1.8	1.8

표 2.9.2 콘크리트 단축 압축 응력-변형곡선 파라메터 값 콘크리트 단축 인장의 응력-변형 곡선의 방정식은 다음 식과 같이 결정할 수 있습니다. 

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| x = ε/εₜ | y = σ/fₜ* | | -------- | --------- | | 0.0 | 0.0 | | 1.0 | 1.0 | | >1.0 | Decreasing |

그림 2.9.47 콘크리트의 단축 인장응력-변형 곡선 $$ \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon \leq \varepsilon_ {t}; y = 1. 2 x - 0. 2 x ^ {6} \\ \varepsilon_ {t} < \varepsilon ; y = \frac {x}{\alpha_ {t} (x - 1) ^ {1 . 7} + x} \end{array} \right. $$ 여기서, $x=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{t}}$ , $y=\frac{\sigma}{f_{t}^{*}}$ $$ f _ {t} ^ {*}: \text { 콘크리트의 단축 인장강도 } (f _ {t k}, f _ {t} \text { or } f _ {t m}) $$ $$ \varepsilon_ {t}: f _ {t} ^ {*} \text { 에 대응하는 최대점의 인장변형 } $$ $$ \varepsilon_ {t} = f _ {t} ^ {* 0. 5 4} \times 6 5 \times 1 0 ^ {- 6} $$ $$ \alpha_ {t}: \text { 단축 인장의 응력 - 변형 곡선의 하강구간의 파라메터 값 } $$ $$ \alpha_ {t} = 0. 3 1 2 f _ {t} ^ {* 2} $$

$f_{t}^{*}$ (N/mm $^{2}$ )	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0
$\mathcal{E}_{t}$ (x10 $^{-6}$ )	65	81	95	107	118	128	137
$\alpha_{t}$	0.31	0.70	1.25	1.95	2.81	3.82	5.00

표 2.9.3 콘크리트 단축 인장 응력-변형곡선 파라메터 값 # Mander 콘크리트 모델 횡방향으로 배근된 구속철근은 콘크리트의 극한강도와 극한변형률을 크게 증가시키는 효과를 나타냅니다. Mander(1988)7) 는 Sheikh & Uzumeri8)가 제안한 유효구속단면적 개념 뿐만 아니라, 3차원응력상태를 고려한 콘크리트의 파괴기준을 적용한 최대압축응력도의 평가식을 제안하고, 원형단면, 정방향단면, 장방형단면에대한 실험을 통하여 제안모델의 적용성을 검토하였습니다. Mander모델은 콘크리트의 단면형상에 관계없이 적용할 수 있고, 종방향 철근간격및 구속철근의 양, 구속철근의 항복강도 및 배근형태 등에 의한 콘크리트의 횡구속효과를 고려할 수 있습니다. 

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| Material Type | Compressive Stress (ε_c) | Compressive Strain (ε_t) | |-----------------------|---------------------------|---------------------------| | Confined Concrete | 2.0 | 0.0 | | Unconfined Concrete | 0.0 | 0.0 | | Cover Concrete | 0.0 | 0.0 |

그림 2.9.48 Stress-Strain Curves of Confined and Unconfined Concrete 종방향 콘크리트 압축응력은 다음과 같이 정의됩니다. $$ f _ {c} = \frac {f _ {c c} ^ {\prime} x r}{r - 1 + x ^ {r}} $$ 여기서, $f_{cc}^{'}$ : 구속 콘크리트의 압축강도 $f_{co}^{'}$ : 횡구속되지 않은 콘크리트 압축강도 $$ x = \frac {\varepsilon_ {c}}{\varepsilon_ {c c}} $$ $E_{cc}$ : 횡구속된 콘크리트의 최대압축응력에 대응하는 변형률 (longitudinal compressive concrete strain) $$ \varepsilon_ {c c} = \varepsilon_ {c o} \left[ 1 + 5 \left(\frac {f _ {c c} ^ {\prime}}{f _ {c o} ^ {\prime}} - 1\right) \right] $$ $\varepsilon_{co}$ : 구속되지 않은 콘크리트강도에 상응하는 변형률 (단, 일반적으로 $E_{co}=0.002$ 로 추측가능) $$ r = \frac {E _ {c}}{E _ {c} - E _ {\mathrm{sec}}} $$ $E_{c}$ : 콘크리트의 탄성계수, $E_{c}=5,000\sqrt{f_{co}^{'}}$ MPa $$ E _ {\mathrm{sec}} = \frac {f _ {c c} ^ {\prime}}{\varepsilon_ {c c}} $$ 구속 콘크리트의 압축강도 $f_{cc}^{'}$ 는 다음과 같이 정의됩니다. $$ f _ {c c} ^ {\prime} = f _ {c o} ^ {\prime} \left(- 1. 2 5 4 + 2. 2 5 4 \sqrt {1 + \frac {7 . 9 4 f _ {l} ^ {\prime}}{f _ {c o} ^ {\prime}}} - 2 \frac {f _ {l} ^ {\prime}}{f _ {c o} ^ {\prime}}\right) $$ 여기서, $f_{l}^{\prime}$ : 콘크리트의 측면구속응력, $f_{l}^{\prime} = \frac{1}{2} k_{e} \rho_{s} f_{yh}$ # Chapter 10. 시공단계해석 # 10-1 개요 현수교, 사장교 또는 PSC교량과 같은 토목구조물은 시공중과 시공후의 구조계가 달라지며 시공중에도 가교각 및 임시케이블의 설치와 제거, 상판과 주탑의 지지조건 변화 등에 따라 구조계가 계속 변화합니다. 또한 단계적인 시공에 의해 인접 부재간의 재령이 다르므로 부재의 탄성계수나 강도 등의 재료적 특성도 달라지게 됩니다. 그리고 콘크리트의 크리프(Creep), 건조수축(Shrinkage), 강도증가(Aging) 및 PS 텐던의 이완 등 재료의 시간의존적 특성에 의한 영향으로, 시공중이나 시공이 완료된 후에도 처짐이 변하고 응력이 재분배되어 구조물의 거동이 매우 복잡해 집니다. 이와 같이 시공의 진행에 따라 계속적으로 구조계가 변화할 경우에 부재에 따라서는 시공이 완료된 후 하중이 재하되는 시점이 아니라 시공중에 최대응력이 발생할 수도 있으므로, 구조물의 각 시공단계에 따른 응력의 변화를 예측하기 위해서는 정확히 시공단계를 고려한 시간의존해석이 필요합니다. midas Civil을 사용하여 시공단계해석을 수행할 때 고려하는 내용은 다음과 같습니다. # ▪ 시간 의존적 재료의 특성 서로 다른 재령을 갖는 콘크리트 부재의 크리프 서로 다른 재령을 갖는 콘크리트 부재의 건조수축 시간이 흐름에 따른 콘크리트 부재의 강도발현 # ▪ 시공단계의 표현 임의의 재령을 가지는 부재의 생성 및 소멸 임의의 재하시점을 가지는 하중의 재하 및 소거 경계조건의 변화 midas Civil에서 시공단계를 고려한 시간 의존해석을 수행하기 위한 절차는 다음과같습니다. 1. 구조물을 모델링 합니다. 이때 임의의 시공단계에서 함께 생성 또는 소멸시킬 요소, 하중 및 경계조건들을 그룹으로 지정합니다. 2. 크리프나 건조수축과 같은 시간의존적인 재질의 특성을 정의합니다. 이때시간의존적인 재질은 ACI나 CEB-FIP등과 같은 규준을 선택하여 생성하거나 사용자가 직접 정의할 수 있습니다. 3. 정의한 시간의존재질을 일반재질과 연결합니다. 이를 통하여 시간의 흐름에 따른 콘크리트 부재의 재질 변화를 자동으로 계산하여 고려합니다. 4. 실제 시공시 고려해야할 시공의 순서를 생각하여 시공단계 및 Time Step을생성합니다. 5. 미리 만들어놓은 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹을 이용하여 시공단계를정의합니다. 6. 원하는 방법으로 해석조건을 지정하고, 구조해석을 수행합니다. 7. 시공단계 해석결과와 완성계 해석결과를 필요한 방법으로 조합합니다. # 10-2 시간의존적 재질 midas Civil에서는 콘크리트의 시간의존적 특징중에서 크리프(Creep), 건조수축(Shrinkage), 강도증가(Aging) 등을 고려할 수 있습니다. # 10-2-1 크리프(Creep) 및 건조수축(Shrinkage) 그림 2.10.1과 같이 실제 구조물에서 크리프는 건조수축과 함께 발생됩니다. 따라서 건조수축, 탄성변형, 크리프를 각각 분리해서 생각할 수는 없습니다. 그러나 실제 해석 및 설계에서는 편의상 이들을 분리하여 고려합니다. 그림 2.10.1에서 참된 탄성변형(True Elastic Strain)이란 시간과 더불어 증가되는 콘크리트의 강도에 의한 탄성계수의 증대로 인해 감소되는 탄성변형을 나타낸 것입니다. 일반적인 경우는 걸보기 탄성변형을 탄성변형으로 보지만 midas Civil에서는 해석시 콘크리트의 강도발현을 고려할 수 있으므로 참된탄성변형으로 해석할 수도 있습니다. 크리프 변형률은 작용시킨 응력에 비례하며, 동일한 응력하에서는 고강도 콘크리트가 저강도 콘크리트보다 작은 크리프 변형률을 나타냅니다. 크리프 변형률은 탄성변형률의 1.5\~3배 정도에 이르며, 재하 후 첫 몇 개월 동안에 총 크리프 변형률의 1/2이 진행됩니다. 약 5년 후에는 대부분 Creep이 발생합니다. 

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| Time Point | True elastic strain | Shrinkage | Creep | | ---------- | ------------------- | --------- | ----- | | to | Low | Low | Low | | Peak | Low | Low | High |

그림 2.10.1 시간경과에 따른 콘크리트의 변형율