여기서, $$ \Delta u _ {n, u l t} \quad := 5. 1 3 6 \frac {G _ {f} ^ {I}}{f _ {t}} $$ $$ c _ {1} \quad := 3 $$ $$ c _ {2} \quad := 6. 9 3 $$ 재하와 제하에서 할선접근방법과 탄성접근방법외 아래그림에 표현된 이력모델(hysteresis model)을 사용할 수 있다. 

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| Δu_n | t_n | |------|-----| | 0 | 1 | | Δu_n,ult | 0 |

그림 3.2.5 이력모델 # 3-2-4 전단지연법(Shear Retention) 모드-I형태의 균열 후 전단 계면력 tt 값은 줄어들게 되며 이는 다음과 같이 나타낸다. $$ t _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} k _ {t} d t & \text { if } \Delta u _ {n} < \frac {t _ {t}}{k _ {n}} \\ \beta k _ {t} d t & \text { if } \Delta u _ {n} \geq \frac {t _ {t}}{k _ {n}} \end{array} \right. \tag {3.2.6} $$ 여기서, $\beta k _ { t }$ : 감소 전단강성(reduced shear stiffness) $\beta \supseteq ~ 0 \leq \beta \leq 1$ 는 β = 0 이며 콘크리트와 같이 매끈하지 않을 경우는 $0 < \beta \leq 1 0 |$ 된다. 일반적으로 β는 0.1에서 0.3사이의 값을 사용한다. # 3-3 균열팽창 계면에서의 균열은 법선방향 상대변위 $\Delta u _ { n }$ 값이 $\Delta u _ { _ { n , u l t } }$ 보다 클 경우 발생한다. 또한 콘크리트와 같이 균열면이 매끈하지 않은 재질에서는 거친 균열면의 골재 맞물림 현상으로 접선방향의 상대변위로 인해서 법선방향의 팽창(dilatancy)이 발생한다. 따라서 법선방향의 변위와 접선방향의 변위는 독립적이지 않으며, 강성행렬은대각방향 이외에도 값을 가지게 된다. 

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dt t_n t_t Δu_n t_t t_n n t

그림 3.3.1 거친 균열(Rough crack) $$ \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} = f _ {n} \left(\Delta u _ {n}, d t\right) \\ t _ {t} = f _ {t} \left(\Delta u _ {n}, d t\right) \end{array} \right. \tag {3.3.1} $$ 식 (3.3.1)를 상대변위에 대해 편미분할 경우 기울기 함수는 식 (3.3.2).와 같다. $$ \left[ \begin{array}{l l} D _ {1 1} = \frac {\partial f _ {n}}{\partial \Delta u _ {n}} & D _ {1 2} = \frac {\partial f _ {n}}{\partial d t} \\ D _ {2 1} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial \Delta u _ {n}} & D _ {2 2} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial d t} \end{array} \right] \tag {3.3.2} $$ 균열 팽창 모델은 수식이 복잡하여, 여러 학자들에 의해 제안되었으며, 크게 두가지 형태로 분류된다. 첫 번째는 주로 실험결과에 의존한 경험적 균열모델(empirical crack models)이며, 다른 하나는 균열면의 형상을 가정하는데 기초한이론적 수치모델인 물리적 균열 모델(physical crack models)이다. midas FEA에서 지원하는 균열 팽창모델은 다음과 같다. # 경험적 균열모델 : 1. 거친 균열모델 I(rough crack model (Bazant와 Gambarova)) 2. 거친 균열모델 II(rough crack model (Gambarova와 Karakoc)) 3. 골재 맞물림모델(aggregate interlock model (Walraven과 Reinhardt)) # 물리적 균열모델 : 1. 2상모델(two-phase model (Walraven)) 2. 접촉 밀도모델(contact density model (Li et al.)) # 3-3-1 거친 균열모델 I (Bazant와 Gambarova) Bazant와 Gambarova는 균열면을 균일한 사다리꼴 형상의 요철로 가정한 거친균열모델을 제안하였다. 그림 3.3.2.는 거친 균열모델의 응답 그래프를 나타내며,아래에 열거한 가정사항을 바탕으로 한다. 1. 계면의 쐐기 효과로 인하여, 전단 응력은 변위 비율( / nr dt u = ∆ )과 가장 큰연관관계를 지닌다. 2. 대변위 비율에 대한 전단력은 골재 주위 모르타르의 미소 균열 때문에 근사값을 사용한다. 3. 법선방향의 균열 대변위에 대해서 계면의 접촉효과는 고려하지 않는다. $$ \left(\Delta u _ {n} > \frac {1}{2} D _ {\max}, \text { 여기서, } D _ {\max} \text { 는 최대 골재크기이다. }\right) $$  그림 3.3.2 거친 균열모델 Paulay와 Loeber의 테스트 결과를 기초로 한 수식은 식 (3.3.3).과 같다. $$ f _ {t} = \tau_ {u} r \frac {a _ {3} + a _ {4} | r | ^ {3}}{1 + a _ {4} r ^ {4}} \tag {3.3.3} $$ $$ f _ {n} = - \frac {a _ {1}}{\Delta u _ {n}} \left(a _ {2} \mid f _ {t} \mid\right) ^ {p} $$ 여기서, $$ p = 1. 3 0 \times \left(1 - \frac {0 . 2 3 1}{1 + 0 . 1 8 5 \Delta u _ {n} + 5 . 6 3 \left(\Delta u _ {n}\right) ^ {2}}\right) $$ $$ r = \frac {\delta t}{\Delta u _ {n}} $$ $$ \tau_ {u} = \frac {\tau_ {0} a _ {0}}{a _ {0} + \left(\Delta u _ {n}\right) ^ {2}} $$ $$ a _ {0} = 0. 0 1 D _ {\mathrm{max}} ^ {2} $$ $$ a _ {1} = 0. 0 0 0 5 3 4 $$ $$ a _ {2} = 1 4 5. 0 $$ $$ a _ {3} = \frac {2 . 4 5}{\tau_ {0}} $$ $$ a _ {4} = 2. 4 4 \times \left(1 - \frac {4}{\tau_ {0}}\right) $$ $$ \tau_ {0} = 0. 2 4 5 f _ {c} = 0. 1 9 5 f _ {c c} $$ 그리고, cf : 원통 공시체의 일축압축강도 cc f : 입방 공시체의 일축압축강도 3-3-2 거친 균열 모델 II (Gambarova와 Karakoc)  그림 3.3.3 거친 균열모델 II Bazant와 Gambarova 모델을 좀 더 향상시킨 것으로 Daschner와 Kupfer의 일정구속압상태에서의 실험결과에 맞추어 법선 계면력과 균열변위사이의 관계를 개선했기 때문에 Bazant와 Gambarova 모델 보다 더 좋은 결과를 얻을 수 있다고 알려져 있다. 추가적으로 이 수식은 골재 크기효과가 고려된다. $$ f _ {t} = \tau_ {0} \left(1 - \sqrt {\frac {2 \Delta u _ {n}}{D _ {\max}}}\right) r \frac {a _ {3} + a _ {4} | r | ^ {3}}{1 + a _ {4} r ^ {4}} \tag {3.3.4} $$ $$ f _ {n} = - a _ {1} a _ {2} \sqrt {\Delta u _ {n}} \frac {r}{\left(1 + r ^ {2}\right) ^ {0 . 2 5}} f _ {t} $$ 여기서, $$ a _ {1} a _ {2} = 0. 6 2 $$ $$ a _ {3} = \frac {2 . 4 5}{\tau_ {0}} $$ $$ a _ {4} = 2. 4 4 \times \left(1 - \frac {4}{\tau_ {0}}\right) $$ $$ \tau_ {0} = 0. 2 5 f _ {c} = 0. 2 f _ {c c} $$ # 3-3-3 골재 맞물림 (Walraven과 Reinhardt) Walraven과 Reinhardt는 경량, 자갈 콘크리트 실험결과를 통해 계면력과 상대 변위의 선형관계를 도출하였다. 이 모델은 자갈 콘크리트에 사용할 경우 매우 정확한 결과를 도출하는 것으로 알려져 있지만, 자갈 콘크리트 모델에만 적용되는 한계가 있다.  그림 3.3.4 골재 맞물림 거동 $$ f _ {t} = - \frac {f _ {c c}}{3 0} + \left(1. 8 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 8 0} + \left(0. 2 3 4 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 7 0 7} - 0. 2 0\right) f _ {c c}\right) d t \tag {3.3.5} $$ $$ f _ {n} = \frac {f _ {c c}}{2 0} - \left(1. 3 5 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 6 3} + \left(0. 1 9 1 \Delta u _ {n} ^ {- 0. 5 5 2} - 0. 1 5\right) f _ {c c}\right) d t $$ 여기서, $$ d t \geq 0 $$ $$ f _ {t} \geq 0 $$ $$ f _ {n} \leq 0 $$ # 3-3-4 2상 모델(Walraven) Walraven이 제기한 2상(two-phase) 모델은 다음의 가정에 기초한다. 1. 콘크리트는 강체의 원형 함유물과 완전소성체의 2상재료로 가정한다. 2. 골재의 입도는 Fuller 곡선과 일치한다. 3. 함유물(inclusion)과 모체(matrix) 사이의 활동 접촉 면적은 계면 변위와 기하적인 형태와 관련이 있고, 골재분포의 통계를 고려한다. 4. 모체에 대한 압축 접촉강도는 콘크리트 강도와 관련이 있다. 반면에 전단 접촉강도는 마찰계수를 고려한 압축 접촉 강도와 선형 관계가 있다. Walraven은 철근이 포함되어있지 않은 균열 내 골재의 맞물림 현상을 이론적으로전개하여 나타내었으며 식 (3.3.6)과 같다.  그림 3.3.5 2상 모델 $$ f _ {t} = \sigma_ {p u} \left(A _ {n} + \mu A _ {t}\right) \tag {3.3.6} $$ $$ f _ {n} = - \sigma_ {p u} \left(A _ {t} - \mu A _ {n}\right) $$ 여기서, An, At : n 과 t 방향에 대한 함유물과 모체사이의 평균 접촉면적 $\sigma _ { p u }$ Opt ： $\mu$ ： 이 모델은 접선강성항이 전단방향 균열변위 dt 와 법선방향 균열변위 $\Delta u _ { n }$ 및 골재 분포에 대한 함수로 이루어진 특징을 지닌다.