$$ \left\{ \begin{array}{l} M _ {a} \\ M _ {b} \end{array} \right\} = \frac {E I}{L ^ {3}} \left[ \begin{array}{l l} 4 L ^ {2} & 2 L ^ {2} \\ 2 L ^ {2} & 4 L ^ {2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \theta_ {a} \\ \theta_ {b} \end{array} \right\} \tag {73a} $$ 따라서, $$ \left\{ \begin{array}{l} \theta_ {a} \\ \theta_ {b} \end{array} \right\} = \frac {L}{E I} \left[ \begin{array}{c c} \frac {1}{3} & - \frac {1}{6} \\ - \frac {1}{6} & \frac {1}{3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} M _ {a} \\ M _ {b} \end{array} \right\} \tag {73b} $$ 여기서, $\theta_{a}=\theta_{b}$ , $M_{a}=M_{b}$ 이므로, $\theta_{a}=\frac{L}{6EI}M_{a}$ , $\theta_{b}=\frac{L}{6EI}M_{b}$ 로 나타 낼 수 있습니다. 따라서, 역대칭 모멘트를 받는 보요소의 모멘트성분의 초기유연도와 강성은 다음과 같이 정의합니다. $$ f _ {0} = \frac {L}{6 E I}, \quad k _ {0} = \frac {6 E I}{L} \tag {73c} $$ # ② 한쪽 단부에만 모멘트가 작용하는 경우  (a) Deflection Shape  (b) Moment Distribution 그림 2.8.55 한쪽 단부에만 모멘트를 받는 단순보의 변형상태( $M_{b}=0$ ) 그림 2.8.55의 경우, $v_{a} = v_{b} = 0$ 이고 $M_{b} = 0$ 가 되므로, 식(72)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. $$ \left\{ \begin{array}{c} M _ {a} \\ 0 \end{array} \right\} = \frac {E I}{L ^ {3}} \left[ \begin{array}{c c} 4 L ^ {2} & 2 L ^ {2} \\ 2 L ^ {2} & 4 L ^ {2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} \theta_ {a} \\ \theta_ {b} \end{array} \right\} \tag {74a} $$ 따라서, $$ \left\{ \begin{array}{l} \theta_ {a} \\ \theta_ {b} \end{array} \right\} = \frac {L}{E I} \left[ \begin{array}{c c} \frac {1}{3} & - \frac {1}{6} \\ - \frac {1}{6} & \frac {1}{3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} M _ {a} \\ 0 \end{array} \right\} \tag {74b} $$ $$ \theta_ {a} = \frac {L}{3 E I} M _ {a} \text { 로 나타낼 수 있습니다. } $$ 즉, 한쪽 단부에만 모멘트를 받는 보요소에 모멘트성분의 초기유연도와 강성은 다음과 같이 정의합니다. $$ f _ {0} = \frac {L}{3 E I}, \quad k _ {0} = \frac {3 E I}{L} \tag {74c} $$ ③ 양단 모멘트의 크기 및 부호가 모두 같은 경우( $M_{b} = -M_{a}$ )  (a) Deflection Shape  (b) Moment Distribution 그림 2.8.56 양단 모멘트의 크기와 부호가 같은 경우의 단순보의 변형상태 그림 2.8.56의 경우, $v_{a} = v_{b} = 0$ 이고 $M_{b} = -M_{a}$ 가 되므로, 식(72)는 다음과 같이 표현 할 수 있습니다. $$ \left\{ \begin{array}{l} M _ {a} \\ M _ {b} \end{array} \right\} = \frac {E I}{L ^ {3}} \left[ \begin{array}{l l} 4 L ^ {2} & 2 L ^ {2} \\ 2 L ^ {2} & 4 L ^ {2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \theta_ {a} \\ \theta_ {b} \end{array} \right\} \tag {75a} $$ 따라서, $$ \left\{ \begin{array}{l} \theta_ {a} \\ \theta_ {b} \end{array} \right\} = \frac {L}{E I} \left[ \begin{array}{c c} \frac {1}{3} & - \frac {1}{6} \\ - \frac {1}{6} & \frac {1}{3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} M _ {a} \\ M _ {b} \end{array} \right\} \tag {75b} $$ 즉, 양쪽 모멘트의 크기와 부호가 같은 경우, 모멘트성분의 초기유연도와 강성은 다음과 같이 정의합니다. $$ f _ {0} = \frac {L}{2 E I}, \quad k _ {0} = \frac {2 E I}{L} \tag {75c} $$ # (3) 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소는 요소 내에 여러개의 비선형 흰지를 설정합니다. 설정한 각 흰지 위치에서 탄소성 여부를 판단하여 흰지의 유연도를 계산한 후에 수치적분을 통하여 요소의 유연도행렬를 구성하고, 요소강성행렬 을 구합니다. 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 비선형 힌지는 축성분의 경우 축력-변형율 관계로 정의하고, 모멘트성분은 모멘트-곡률 관계로 정의합니다. 보-기둥요소의 비탄성 거동은 주로 요소 단부에 집중되는 경우가 많습니다.그러나, 일반적인 수치적분법으로 널리 사용되는 Gauss-Legendre적분법은 요소단부에 적분점을 설정할 수 없습니다. 따라서, midas Civil에서는 요소 단부에 적분점을 취할 수 있는 Gauss-Lobatto 수치적분법을 사용합니다. #  모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 성분별 비선형 힌지 특성 midas Civil의 정적증분해석의 모멘트-곡률관계 비선형 보요소는 요소전체의 소성화를 고려할 수 있는 분포형모델(Distributed Type)과 요소양단에서의 소성화만을 고려하는 집중형모델(Lumped Type)을 제공합니다. 모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 분포형모델(Distributed Type)은 요소양단에소성힌지의 길이를 정의할 수 있습니다. 힌지의 분포를 요소전체(Entirety)로 선택하면, 요소전체의 소성화를 고려합니다. 요소양단에 소성힌지의 길이를 정의하면, 항복시에 힌지길이만 소성화하며 요소내부는 선형탄성으로처리합니다. 힌지의 분포는 각 성분별로 정의 가능합니다. ① Moment- Curvature Distributed Type  Hinge Distribution : Entirety Type - 비선형 힌지 : 요소전체에 분포하는 적분점으로 설정(1\~20개 설정가능) - 요소전체의 소성화 고려가능 - 성분별로 적분점의 개수를 각각 설정가능  Hinge Distribution : I-End, J-End, I&J-End - 비선형 힌지 : 요소양단에 위치한 소성힌지길이로 설정(각1적분점) - 힌지길이만 소성화되며, 내부는 선형탄성으로 처리 - 성분별로 힌지분포 설정가능 ② Lumped Type - 비선형 힌지의 위치 : 요소양단(모멘트), 요소중앙(축, 전단, 비틀림) - 요소양단의 소성화만 고려가능 - 모멘트성분 비선형 힌지 : 요소에 3개의 적분점 설정(단, 중앙의 적분점은 탄성) \- 축, 전단, 비틀림 : 요소중앙에 1개의 적분점 설정 

text_image

M M Rigid Zone Integration Point (Inelastic Hinge) Rigid Zone

(a) Distributed Type 

text_image

M Inelastic Hinge M Rigid Zone Integration Point • Elastic Hinge Rigid Zone

(b) Lumped Type(모멘트성분) 그림 2.8.57 모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 비선형 힌지 ③ 소성힌지의 길이(Hinge Length) - Moment- Curvature Distributed Type만 정의가능 - 요소양단에 설정 - 소성힌지길이로 정의된 이외의 영역은 선형탄성으로 처리 - 소성힌지길이는 요소전체길이에 대한 비율로 정의(0 < Lp/L < 1.0) 단, 양단의 소성힌지길이의 합은 요소전체의 길이를 넘을수 없습니다. (LpI/L + LpJ/L ≤ 1.0)- 요소양단에 설정 - Beam End Offset 등이 설정한 경우, 요소전체길이는 Offset을 제외한 순스팬 길이로 간주하여 처리됩니다. - 소성힌지길이가 정의된 경우에는 Modified Two-Point Gauss-Radau 수치적분법에 의해 요소강성을 구성합니다. 

text_image

L_{pI}/L Linear Elastic 0 1.0

(a) I-End 

text_image

Linear Elastic 0 1.0 L_{pJ}/L

(b) J-End 

text_image

L_{pI}/L 0 Linear Elastic L_{pJ}/L 1.0 j • Integration Point (Inelastic Hinge)

(c) I&J-End 그림 2.8.58 모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 소성길이 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 각 성분별 비선형 힌지 특징은 표 2.8.3과같습니다.

성 분	비선형 힌지 특성	초기강성	힌지의 설정위치(Lumped/Distributed)
축력(Fx)	축력-변형율	EA	요소중앙 / 적분점 위치
전단력(Fy,Fz)	전단력-전단변형율	GAs	요소중앙 / 적분점 위치
비틀림(Mx)	모멘트-곡률	GJ	요소중앙 / 적분점 위치
모멘트(My,Mz)	모멘트-곡률	EI	요소양단 / 적분점 위치

표 2.8.3 모멘트-곡률관계요소의 성분별 비선형 힌지 특성 #  모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 유연도 행렬 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 요소 유연도 행렬은 각 적분점에 위치하는 비선형 힌지의 유연도를 수치적분하여 구합니다. 비선성힌지의 접선유연도 행렬은 일축(Single Component) 또는 다축-힌지(P-M-M) 모델에 의거한 상태판정으로부터 결정됩니다. 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 해석과정은 다음과 같습니다. ① (1)비선형 보요소의 해석과정의 ①\~③의 과정을 통하여 요소의 증분내력Δq 를 구합니다. 각 적분점에 위치한 비선형 힌지의 증분내력 Δq( ) x는 증분내력 Δq 를 내삽함수(Force Interpolation Function)를 이용하여다음과 같이 변환하여 구합니다. \- 축력과 모멘트성분의 비선형 힌지의 증분내력 $$ \boldsymbol {\Delta} \boldsymbol {q} _ {A B} (x) = \mathbf {b} (x) \cdot \boldsymbol {\Delta} \overline {{\boldsymbol {q}}} _ {A B} \tag {76} $$ 여기서   TAB yi zi yj zjΔq =      n m m m m : 요소의 증분내력 $$ \Delta \boldsymbol {q} _ {A B} (x) ^ {T} = \left\{\Delta n _ {\text { sec }} \quad \Delta m _ {y, \text { sec }} \quad \Delta m _ {z, \text { sec }} \right\}: \text { 비선형 히지의 증분내력 } $$ $$ \mathbf {b} (x) = \left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \xi - 1 & 0 & \xi & 0 \\ 0 & 0 & \xi - 1 & 0 & \xi \end{array} \right], \quad \xi = \frac {x}{L}: \text { 内 沿 求 求 } $$ -전단성분의 비선형 힌지의 증분내력 $$ \Delta q _ {y, \mathrm{sec}} = \frac {\Delta \bar {m} _ {z i} + \Delta \bar {m} _ {z j}}{L _ {z}} $$ $$ \Delta q _ {z, \text {sec}} = \frac {\Delta \bar {m} _ {y i} + \Delta \bar {m} _ {y j}}{L _ {y}} \tag {77} $$ $$ \Delta m _ {x, \mathrm{sec}} = \Delta \overline {{m}} _ {x} $$ 여기서 $\Delta\overline{m}_{yi},\Delta\overline{m}_{zi},\Delta\overline{m}_{yj},\Delta\overline{m}_{zj}$ : 요소 양단의 증분모멘트 $\Delta q_{y,\sec} \Delta q_{z,\sec}$ : 전단성분의 비선형 힌지의 증분내력 $\Delta m_{x,\sec}$ : 비틀림성분의 비선형 힌지의 증분내력 ② 비선형 보요소의 해석과정의 ④\~⑥의 과정을 통하여 비선형 한지의 유연도 $f(x)$ 와 내력을 산정합니다. ③ 각 적분점에서 구한 성분별 유연도 $f(x)$ 를 수치적분하여 보요소의 유연도행렬을 구성합니다. $$ \boldsymbol {F} = \int_ {0} ^ {L} b ^ {T} (x) f (x) b (x) d x \tag {78} $$ 여기서 $f(x)$ : 위치 x 에서의 단면의 유연도 행렬 $b(x)$ : 위치 x 에서의 부재력 분포 함수 행렬(내삽함수) F : 요소 유연도 행렬 L : 요소 길이 x : 단면의 위치 ④ 모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 강성행렬은 비선형 보요소의 유연도 행렬의 역행렬을 취하여 구합니다. # 트러스요소 트러스요소는 그림 2.8.59와 같이 부재 축방향(x방향)의 압축력 및 인장력을 받을수 있는 비선형 스프링을 사용합니다. 

text_image

1 F_{x1} 2 F_{x2} Axial spring x

그림 2.8.59 트러스요소의 절점력 트러스 요소의 비선형 힌지 특징은 표 2.8.4와 같습니다.

성 분	비선형 힌지 특성	초기강성	힌지의 설정위치
축력(Fx)	축력-변형(상대변위)	EA/L	요소중앙

표 2.8.4 트러스요소의 비선형 힌지 특성 # 비선형 범용연결 요소 범용연결요소(General Link)는 두 절점을 연결하는 요소로서, 세 방향의 신장 및회전을 가지는 6개의 스프링으로 구성됩니다. 정적증분해석에서는 General LinkProperties에서 Spring Type으로 설정한 후에 Pushover Hinge Properties를 할당하여 범용연결요소의 비선형특성을 정의합니다. 비선형 범용연결요소의 각 성분별 비선형 힌지 특징은 표 2.8.5와 같습니다.

성 분	비선형 힌지 특성	초기강성	힌지의 설정위치
축력(Fx)	축력-변형	사용자정의(EA/L)	요소중앙
전단력(Fy,Fz)	전단력-변형	사용자정의(GAs/L)	요소중앙
비틀림(Mx)	모멘트-회전각	사용자정의(GJ/L)	요소중앙
모멘트(My,Mz)	모멘트-회전각	사용자정의(EI/L)	요소중앙

표 2.8.5 비선형 범용 연결 요소의 성분별 비선형 힌지 특성 # 8-7-8 비선형 힌지 특성 midas Civil의 정적증분해석은 요소에 비선형 힌지를 설정하여 힌지의 변형과 그로인한 내력으로 비선형 힌지의 항복상태를 판정합니다. 비선형 힌지 특성은 각 성분이 독립적으로 거동하는 일축-힌지모델(Single Component Type)과 축력-모멘트성분의 상호작용을 고려하는 다축-힌지모델(P-M-M Type)로 구분할 수 있습니다. 비선형 힌지는 골격곡선(Skeleton Curve)에 의해 정의됩니다. 골격곡선은 해석용 최소모델 단위인 요소단면에서의 구성재료의 응력-변형율관계, 단면의 모멘트-곡률관계, 양단의 모멘트-회전각 관계 등의 비선형 거동특성을 이상화된 곡선으로 표현한것입니다. 비선형 힌지의 내력과 변형의 관계, 즉 골격곡선(Skeleton Curve)상의 힘과 변형의관계는 비선형 요소의 성분별 비선형 힌지 특성을 나타낸 표 2.8.2\~2.8.5를 참고하시기 바랍니다. # Skeleton Curve의 개요 midas Civil의 정적증분해석에서 제공하는 모든 골격곡선은 하중증분법(LoadControl)과 변위증분법(Displacement Control)에 모두 사용가능하며, 접선강성 행렬(Tangent Stiffness Matrix)을 사용합니다. # (1) Bilinear Type 대응요소 : 보요소, 벽요소, 트러스, 범용 연결요소 힌지특성 : 일축-힌지 및 다축-힌지 정의 가능 골격곡선의 초기강성 k : (+), (-)방향 대칭으로만 설정가능 # (2) Trilinear Type 대응요소 : 보요소, 벽요소, 트러스, 범용 연결요소 힌지특성 : 일축-힌지 및 다축-힌지 정의 가능 골격곡선의 초기강성 k : (+), (-)방향 대칭으로만 설정가능 # (3) FEMA Type 대응요소 : 모멘트-회전각관계 보요소, 벽요소, 트러스, 범용연결요소 힌지특성 : 일축-힌지 및 다축-힌지 정의 가능 골격곡선의 초기강성 $k _ { 0 }$ : (+), (-)방향 대칭으로만 설정가능 # (4) Slip Type 대응요소 : 트러스, 범용 연결요소 힌지특성 : 일축-힌지정의 초기 Gap 설정가능 # Multi-Linear Hinge Type : Bilinear , Trilinear Multi-Linear 힌지특성은 하중제어와 변위제어 해석에서 모두 적용될 수 있습니다.  하중과 변형관계는 Bilinear와 Trilinear의 두 가지 형식으로 정의 가능함  항복 후 강성과 균열강성은 초기강성에 대한 강성비(Stiffness Ratio)로써특성을 표현함  요소의 강성감소는 표현되지만 강도저하(부구배)는 표현할 수 없음 

text_image

Force P1(+) α1(+) K0 K0 Deform. K0: Ini. Stiff. α1(-) K0 P1(-)

(a) Bilinear Type 

text_image

Force P1(+) P1(+) α2(+) K0 α1(+) K0 K0 Deform. K0: Ini. Stiff. α1(-) K0 P1(-) α2(-) K0 P2(-)

(b) Trilinear Type 그림 2.8.60 Multi-Linear Hinge Type을 이용한 소성힌지 특성 # FEMA Hinge Type FEMA 힌지특성은 철근콘크리트 부재와 철골부재에 대하여 반복하중(ReversedCyclic Load)실험을 통해 저항능력을 평가한 후에 실무에 적용할 수 있도록 이상화(Idealized)한 것으로 아래 그림과 같이 나타내고 있습니다. midas Civil의 FEMA 힌지특성은 변위증분해석과 하중증분해석에 적용가능합니다.하중증분해석에서 일부 요소가 파괴되어 점 C이후가 되더라도, 전체구조물의 내력이 감소하지 않는다면 해석이 진행됩니다. 단, 요소의 파괴가 점차 진행되어 구조물의 전체내력이 감소하는 구간 이후에는 안정해를 구할 수 없기 때문에, midasCivil에서 제공하는 자동종료조건(Current Stiffness Ratio)에 의해 강제종료 됩니다. 

flowchart

```mermaid graph TD A["Initial Stiffness"] --> B["Yield Point"] B --> C["Strain Hardening"] C --> D["Initial Failure"] D --> E["Residual Resistance"] E --> D style A fill:#f9f,stroke:#333 style B fill:#f9f,stroke:#333 style C fill:#f9f,stroke:#333 style D fill:#f9f,stroke:#333 style E fill:#f9f,stroke:#333 ```

그림 2.8.61 FEMA Hinge Type을 이용한 소성힌지 특성 - Point A: 하중이 재하되지 않은 상태 - Slop A-B: 부재의 초기강성(Initial Stiffness) 상태 구간, 재료특성, 부재치수, 철근량, 경계조건, 응력과 변형수준에 따라 결정 - Point B: 공칭항복강도(Nominal Yield Strength) 상태 - Slop B-C: 변형경화(Strain Hardening) 구간, 일반적으로 초기강성의 5-10%를가지며 인접한 부재와의 내력 재분배에 중요한 영향을 미침 - Point C: 공칭강도(Nominal Strength), 부재내력에서 강도저하가 시작되는 시점 - Drop C-D: 부재의 초기파괴(Initial Failure)상태, 철근콘크리트 부재의 경우에 주근이 파단(Fracture)되거나 콘크리트가 파손(Spalling)되는 상태, 철골부재의 경우 전단내력이 급격하게 감소 - Zero D-E: 잔류저항(Residual Resitance) 상태, 공칭강도의 20% 수준에서 저항 - Point E: 최대변형능력, 중력하중을 더 이상 받을 수 없는 상태