# 3.9 Cable 요소 Cable 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소로서 인장상태의 거동만을 다루며 주로 초기 힘/스트레스가 재하된 상태에서의 하중을 다룬다. Cable 요소는 인장상태의 거동을 다루기 위해 비선형 해석에 주로 사용된다. 

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Nₓₓ, εₓₓ Nₓₓ, εₓₓ 1 2 ECS-x

그림 3.9.1 Cable 요소의 좌표계와 응력/변형률 \- 좌표계 Cable 요소의 ECS는 bar 요소와 동일한 방법으로 정의하며, 유한요소 정식화는 ECS를 기준으로 한다. \- 자유도 Cable 요소는 ECS의 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다. $$ \mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T}, \quad \boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {x i} \quad \theta_ {y i} \quad \theta_ {z i} \right\} ^ {T} \tag {3.9.1} $$ \- 응력과 변형률 Cable 요소는 축 방향 변형 및 응력을 고려할 수 있다. $$ \mathbf {N} = \left\{N _ {x x} \right\}, \varepsilon = \left\{\varepsilon_ {x x} \right\} \quad \text {(축방향 힘과 변형률)} \tag {3.9.2} $$ • 하중 Cable 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. 표 3.9.1 Cable 요소에 적용되는 하중

하중 종류	설명
중력	재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력	재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
초기 힘/스트레스	선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중으로부터 요소의 내력이 증분됨
프리텐션	선행하중으로 축방향에 대한 초기 하중으로 재하재하된 초기 하중이 유지되며, 해당 요소의 축방향강성이 무시됨

• 요소 결과 Cable 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는항상 ECS이다. 표 3.9.2 Cable 요소의 결과 항목

결과 항목		설명
Stress	Axial stress	위치 : A-B 단 $\sigma_{xx}$
Strain	Axial strain	위치 : A-B 단 $\varepsilon_{xx}$
Force	Axial force	위치 : A-B 단 $N_{xx}$
Misc.	Strain energy	위치 : 요소 중심
	Total percent energy	위치 : 요소 중심
	Energy density	위치 : 요소 중심

• 훅(Hook)과 허용 인장강도 Cable 요소에 훅길이를 입력할 경우, 해당 훅길이 이상의 변형에 대해서만 내력이 발생한다. 또한 각 Cable 요소는 그림 3.9.2와 같이 허용 인장강도를 입력할 수 있다. 여기서 $\sigma _ { y }$ 는 허용인장응력, 는 훅 길이를 의미한다. 허용 인장강도 이상의 응력이 발생할 시, 완전 소성거동으로 간주하거나, 파단되는 것으로 간주할 수 있다. 

line

| δ_xx | σ_xx | |------|------| | 0 | 0 | | h₀ | 0 | | >h₀ | σ_y |

그림 3.9.2(a) 완전 소성거동 

line

σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy = δ_xy. The chart displays a step function with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = 0. The function is a piecewise linear graph with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx. The function is a piecewise linear graph with a linear increase from δ_xx = h₀ to δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = σ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_x = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx= δ_xx = δ_xx= δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx = δ_xx =

그림 3.9.2(b) 파단 • 비선형 해석 Cable 요소는 인장전담 특성이나 파단 등에 대한 비선형 거동과 기하학적비선형성만을 고려할 수 있으며, 비탄성 재료 특성은 무시된다. 그러므로 비선형해석 시에 추가적인 결과 항목은 없다. # 3.10 Membrane 요소 Membrane 요소는 평면 상에 위치한 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형또는 사각형 요소이다. 두께가 균일한 박판을 모델링하는데 주로 사용되며 2차원 응력상태를 가진다. # • 좌표계 삼각형 membrane 요소의 ECS는 요소 평면에 수직한 방향을 z 축으로 하며, 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 x축으로 한다. 사각형의 경우에도 요소 평면에 수직한 방향을 z 축으로 하며, 절점 1에서 3을 향하는 대각선과 절점 4에서2를 향하는 대각선이 이루는 각을 이등분하는 방향을 x축으로 한다. Membrane요소의 유한요소 정식화는 ECS에 대해 수행한다. 

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ECS - z 1 2 3 4 5 6 ECS - y ECS - x ECS - z 1 2 3 4 5 6 ECS - y ECS - x

그림 3.10.1 Membrane 요소의 좌표계 Membrane 요소에 직교이방성 재료를 사용하려면 재료의 주축을 적절한 방향으로 향하게 해야 한다. 이와 같은 경우 MCS를 사용하게 되는데, midas NFX의membrane 요소는 크게 두 가지 방법으로 재료의 방향을 결정할 수 있다. 첫번째로 그림 3.10.2와 같이 절점 1과 2 사이를 연결하는 변으로부터의 회전각을이용할 수 있다. 

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MCS - y 1 2 3 4 MCS - x θ

그림 3.10.2 각도를 이용한 membrane 요소의 재료축 정의 두 번째 방법은 임의의 좌표계를 이용하는 방법인데, 이 경우에는 그림 3.10.3와같이 x축을 요소면에 투영하여 그 방향을 재료의 주축으로 가정한다. 좌표계의x축을 요소면에 투영하는 방법은 요소 결과를 확인하기 위해 ERCS를 설정하는데 있어서도 동일하게 적용된다. 

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User-defined material coordinate y x z Projection 4 3 MCS - x 1 2

그림 3.10.3 좌표계를 이용한 membrane 요소의 재료축 정의 • 자유도 Membrane 요소는 ECS의 x축과 y축 방향 변위를 자유도로 가진다. $$ \mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.10.1} $$ 연계 보간법에 의해 요소에 수직한 방향의 회전을 고려하는 옵션을 사용하는 경우에는 다음의 추가 자유도를 가진다. $$ \boldsymbol {\theta} _ {i} = \left\{\theta_ {z i} \right\} \tag {3.10.2} $$ # - 응력과 변형률 Membrane 요소의 기본 가정은 2차원 응력 상태이므로 그림 3.10.4 와 같이 ECS에서 정의된 면내 방향 변형률과 합력(resultant force)을 고려할 수 있다. $$ \mathbf {N} = \left\{ \begin{array}{l} N _ {x x} \\ N _ {y y} \\ N _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\} \quad (\text {면내방향 합력과 변형률}) \tag {3.10.3} $$ 

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N_{yy}, \varepsilon_{yy} N_{xy}, \gamma_{xy} N_{xx}, \varepsilon_{xx} N_{xy}, \gamma_{xy} ECS - y ECS - x N_{xy}, \gamma_{xy} N_{xx}, \varepsilon_{xx} N_{xy}, \gamma_{xy} N_{yy}, \varepsilon_{yy}

그림 3.10.4 Membrane 요소의 응력/변형률 \- 하중 Membrane 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. 표 3.10.1 Membrane 요소에 적용되는 하중

하중 종류	설명
중력	재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
회전 관성력	재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용
압력 하중	요소면에 작용하는 분포하중또는 요소의 변에 작용하는 분포하중
요소 온도 하중	면내방향 변형을 유발하는 요소 온도

Membrane 요소는 횡방향 강성을 가지지 않으나, 요소에 작용하는 하중과 질량에 대해서는 횡방향 성분을 고려한다. • 요소 결과 midas NFX의 membrane 요소는 shell 요소와 동일한 결과 출력물을 제공한다.Shell 요소는 요소의 두께 방향으로 두 곳(상/하단)에서 요소결과를 제공하지만,엄밀한 의미에서 membrane 요소는 두께 방향으로 응력과 변형률이 일정하기때문에 상단과 하단의 결과는 항상 같다. • 요소 두께 midas NFX에서는 membrane 요소의 두께를 그림 3.10.5과 같이 설정할 수 있다.고차 요소(6/8 절점)에 대하여 꼭지점에서의 두께만을 정의할 수 있는 점에 유의해야 한다. 

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t₁ 1 t₃ 3 t₂ 2 t₁ 1 t₃ 4 t₄ 3 t₂ 2

그림 3.10.5 Membrane 요소의 두께 정의 • 요소 기법의 선택 midas NFX에서 사용할 수 있는 membrane 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된것이 기본값이다. 표 3.10.2 Membrane 요소에 사용된 성능향상 기법

형상	절점수	자유도	명칭	요소기법	강성행렬수치적분	집중질량계산방법
삼각형	3			변위가정법	1 점	Lobatto
		면외 방향회전 고려	Full integration	연계보간법	3 점	Lobatto
			Hybrid	연계보간법, 혼합법	3 점	Lobatto
사각형	4		Full integration	변위가정법	2X2 점	Lobatto
			Reduced integration	감차적분(안정화기법)	1X1 점	Lobatto

			(stabilized)
			Hybrid	혼합법	2X2 점	Lobatto
		면외 방향 회전 고려	Full integration	연계보간법	2X2 점	Lobatto
			Hybrid	연계보간법, 혼합법	2X2 점	Lobatto
삼각형	6			변위가정법	3 점	대각항 스케일링
사각형	8		Full integration	변위가정법	3X3 점	대각항 스케일링
			Reduced integration	감차적분법	2X2 점	대각항 스케일링
			Hybrid	혼합법	3X3 점	대각항 스케일링

각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. ► 3절점 요소 : 면외 방향 회전을 포함하는 연계 보간법을 사용하지 않으면 요소의 유연성(flexibility)이 현저하게 저하되어 해의 정확도가 떨어지므로 주의해야 한다. ► 4절점 요소 : 변위 가정법만을 사용한 등매개변수(isoparametric) 요소를 제외하면 대체로 정확도가 높은 편이다. ► 6절점 요소 : 요소 변에 존재하는 절점이 변의 중앙에 위치하지 않는 경우 요소의 성능이 현저하게 저하될 수 있다. ► 8절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다. 감차적분을 사용한요소는 혼합법을 적용한 요소와 비슷한 성능을 보이며 계산 효율이 뛰어나지만가영 에너지 모드가 나타날 수 있다. • 비선형 해석 Membrane 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목은 shell 요소와 같다.