표 3.14.4 Axisymmetric solid 요소의 비선형해석 결과 항목

결과 항목		설명
Stress	Equivalent stress	위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
	Plastic status	위치 : 적분점탄성/소성, 0/1
Strain	Equivalent strain	위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
	Effective plastic strain	위치 : 적분점 $e_{p}$

# 3.15 Solid 요소 Solid 요소는 자동차 엔진, 두꺼운 벽 등과 같이 부피가 있는 구조물의 모델링에주로 이용된다. midas NFX에서 사용할 수 있는 solid 요소는 사면체(tetrahedron), 오면체(pentahedron), 육면체(hexahedron) 모양이며4/5/6/8/10/13/15/20 개의 절점을 가질 수 있다. 오면체 요소로는 쐐기(wedge)형상과 피라미드(pyramid) 형상이 있다. # • 좌표계 사면체 요소의 ECS는 절점 1, 2, 3이 이루는 삼각형 형상에 membrane 요소의ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다. 오면체 쐐기 요소의 ECS는 절점 1과 4, 절점 2와 5, 절점 3과 6의 중점들이 이루는 삼각형 형상에 membrane 요소의 ECS정의 규칙을 적용한 것과 같다. 오면체 피라미드 요소의 ECS는 절점 1, 2, 3, 4가이루는 사각형 형상에 membrane 요소의 ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다.육면체 요소의 경우에는 먼저 ECS에 근접한 벡터를 다음과 같이 정의한다. ► r : 절점 1, 5, 8, 4의 중점에서 절점 2, 6, 7, 3의 중점을 향하는 벡터 ► s : 절점 1, 2, 6, 5의 중점에서 절점 4, 3, 7, 8의 중점을 향하는 벡터 ► t : 절점 1, 2, 3, 4의 중점에서 절점 5, 6, 7, 8의 중점을 향하는 벡터 위 세 개의 벡터와 가장 근접하게 놓이는 직교 좌표계가 육면체 요소의 ECS가된다. 

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4 10 8 9 3 ECS - z ECS - y 5 7 6 2 ECS - x


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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ECS - z ECS - y ECS - x


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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ECS - z ECS - y ECS - x


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5 20 8 19 7 17 6 18 15 13 14 4 11 3 12 10 2 1 9 ECS - z ECS - y ECS - x

그림 3.15.1 Solid 요소의 좌표계 \- 자유도 Solid 요소는 GCS의 x, y, z축 모든 방향에 대한 변위를 자유도로 가진다. $$ \mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \quad w _ {i} \right\} ^ {T} \tag {3.15.1} $$ \- 응력과 변형률 Solid 요소는 GCS에서 정의된 변형률과 응력을 고려하며 그 성분은 다음과 같다. $$ \boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \varepsilon_ {z z} \\ \gamma_ {x y} \\ \gamma_ {y z} \\ \gamma_ {z x} \end{array} \right\} \quad (\text { 음력과 변형률 }) \tag {3.15.2} $$ 

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GCS - z GCS - y GCS - x σ_zz, ε_zz τ_yz, γ_yz τ_zx, γ_zx τ_zx, γ_zx τ_xy, γ_xy σ_yy, ε_yy τ_yz, γ_yz τ_xy, γ_xy σ_xx, ε_xx

그림 3.15.2 Solid 요소의 응력/변형률 \- 하중 Solid 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다. 표 3.15.1 Solid 요소에 적용되는 하중

하중 종류	설명
중력	재료의 밀도에 대해 적용
회전 관성력	재료의 밀도에 대해 적용
압력 하중	요소의 면에 작용하는 분포하중

\- 요소 결과 midas NFX의 solid 요소의 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에 대한 값으로 출력된다. 사용자가 선택할 수 있는 좌표계는 ECS, MCS 그리고 임의의 좌표계이다. 표 3.15.2 Solid 요소의 결과 항목

결과 항목		설명
Stress	Stress component	위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_{xx}$ , $\sigma_{yy}$ , $\sigma_{zz}$ , $\tau_{xy}$ , $\tau_{yz}$ , $\tau_{zx}$
	Principal stress	위치: 꼭지점/요소중심 $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , 주응력 방향
	Von-Mises stress	위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$
	Max shear stress	위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_{\text{max}}$
	Octahedral stress	위치: 꼭지점/요소중심 $\tau_o$
	Mean pressure	위치: 꼭지점/요소중심 $p_0$
	Safety factor	위치: 꼭지점/요소중심 $\sigma_v$ 또는 $P_1$ , $P_3$ 와 한계응력(limit stress)을 이용하여 계산등방성 재료에 대해서만 계산
Strain	Strain component	위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_{xx}$ , $\varepsilon_{yy}$ , $\varepsilon_{zz}$ , $\gamma_{xy}$ , $\gamma_{yz}$ , $\gamma_{zx}$
	Principal strain	위치: 꼭지점/요소중심 $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , 주변형률 방향
	Von-Mises strain	위치: 꼭지점/요소중심 $\varepsilon_v$
	Max shear strain	위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_{\text{max}}$
	Octahedral strain	위치: 꼭지점/요소중심 $\gamma_o$
	Mean	위치: 꼭지점/요소중심

	compression	$c_0$
Misc.	Strain energy	위치 : 요소 중심
	Total percent energy	위치 : 요소 중심
	Energy density	위치 : 요소 중심

• 요소 기법의 선택 midas NFX에서 사용할 수 있는 solid 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas NFX에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 진하게 표시된 것이기본값이다. 표 3.15.3 Solid 요소에 사용된 성능향상 기법

형상	절점수	명칭	요소기법	강성행렬수치적분	집중질량계산방법
사면체	4	Full integration	변위가정법	1 점	Lobatto
		Enhanced	EAS, u-p 혼합법	4 점	Lobatto
쇄기	6	Full integration	변위가정법	3X2 점	Lobatto
		Reduced integration (stabilized)	감차적분법(안정화 기법)	1X1 점	Lobatto
		Hybrid	혼합법	3X2 점	Lobatto
피라미드	5	Full integration	변위가정법	4X2 점	대각항스케일링
		Reduced integration	감차적분법	1X1 점	대각항스케일링
		Hybrid	혼합법	4X2 점	대각항스케일링
육면체	8	Full integration	변위가정법	2X2X2 점	Lobatto

		Reduced integration (stabilized)	감차적분법 (안정화 기법)	1X1X1 점	Lobatto
		Hybrid	혼합법	2X2X2 점	Lobatto
사면체	10	Full integration	변위가정법	4 점	대각항 스케일링
		Enhanced	비적합요소	4 점	대각항 스케일링
쇄기	15	Full integration	변위가정법	3X3 점	대각항 스케일링
		Reduced integration	감차적분법	3X2 점	대각항 스케일링
		Hybrid	혼합법	3x3 점	대각항 스케일링
피라미드	13		변위가정법	9X3 점	대각항 스케일링
육면체	20	Full integration	변위가정법	3X3X3 점	대각항 스케일링
		Reduced integration	감차적분법	2X2X2 점	대각항 스케일링
		Hybrid	혼합법	3X3X3 점	대각항 스케일링

각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. ► 4절점 요소 : 기법에 관계없이 변위 결과는 비슷하나, EAS와 u-p 혼합법을 이용한 요소가 더 정확한 응력 결과를 보인다. ► 6절점 요소 : 얇은 구조물에 대해 혼합법을 적용한 요소의 성능이 월등하다. ► 8절점 요소 : 굽힘을 받는 구조물에 대해 혼합법 또는 감차적분법을 적용한요소의 성능이 월등하다. ► 10절점 요소 : 대체로 모든 기법이 비슷한 수준의 결과를 보이지만, 얇은 구조물에 대해 비적합 요소가 상대적으로 유연한 결과를 보인다. ► 20절점 요소 : 모든 기법이 대체로 정확한 결과를 보인다. 얇은 구조물에 대해 혼합법을 적용한 요소가 우수한 성능을 보인다. # • 비선형 해석 Solid 요소는 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 탄소성 재료와 초탄성 재료를 적용할 수 있다. 비선형 해석에서의 결과 항목(탄소성 재료 적용)은 다음과같다. 표 3.15.4 Solid 요소의 비선형해석(탄소성 재료) 결과 항목

결과 항목		설명
Stress	Equivalent stress	위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\sigma_{eq}$
	Plastic status	위치 : 적분점탄성/소성, 0/1
Strain	Equivalent strain	위치 : 적분점소성 모델에 따라 계산, $\varepsilon_{eq}$
	Effective plastic strain	위치 : 적분점 $e_{p}$

# 3.16 Layered shell 요소 Layered shell 요소는 복합재료 및 샌드위치와 같이 두께방향으로 주축 방향이 다르거나 물성이 다른 재료들이 적층된 얇은 구조물을 효과적으로 해석하는데 사용된다. 기본적인 좌표계, 곡면 모델, 자유도 등은 일반 shell요소와 동일하며, 3/4/6/8 개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는 사각형 요소들로 구성된다. 즉 layered shell 요소는 1차 전단변형 이론을 기초로 하며 유한요소 정식화는 shell 요소와 동일하지만, 구성방정식은 4.3장에서 소개될 적층이론을 사용한다. \- 횡방향 전단강성 계산 및 전단응력 복원 적층 복합재료는 등방성 재료와 달리 전단 보정 계수(shear correction factor)를 기초로 한 횡방향 강성 계산방법을 일반화하여 적용하기가 어렵다. 따라서, 몇 가지 가정된 변형 형상과 응력 평형식을 이용하여 횡방향 전단 강성을 계산하는 방법이 바람직하다 $^{22}$ . 또한, 이를 적용한 일련의 절차를 이용하여 횡방향 전단응력의 복원이 가능하다는 장점을 갖는다. 1차 전단변형 이론을 기초로 한 면내응력과 3차원 응력 평형식을 기초로 한 횡방향 전단응력은 다음과 같이 표현된다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x} \\ \sigma_ {y} \\ \tau_ {x y} \end{array} \right\} = \mathbf {C} ^ {(k)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o} + z \mathbf {K}\right) \tag {3.16.1} $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} \tau_ {x z} \\ \tau_ {y z} \end{array} \right\} = \int_ {\zeta = 0} ^ {\zeta = z} \left(\left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {C} ^ {(k)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o, x} + z \mathbf {K} _ {, x}\right) + \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {C} ^ {(k)} \left(\boldsymbol {\varepsilon} _ {o, y} + z \mathbf {K} _ {, y}\right)\right) d \zeta \tag {3.16.2} $$ Layered shell의 구성방정식에서 면내력의 효과를 무시했을 경우 (N=0), 중립면에서의 변형률와 곡률은 다음과 같이 표현된다. $$ \begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {o} = - \mathbf {A} ^ {- 1} \mathbf {B} \boldsymbol {\kappa} \tag {3.16.3} \\ \mathbf {\kappa} = \mathbf {D} ^ {* - 1} \mathbf {M} \\ \end{array} $$ 여기서 $D^{*}=D-B^{T}A^{-1}B$ 이다. (3.16.3)을 이용하여 횡방향 전단응력을 다시 표현하면 다음과 같다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \tau_ {x z} \\ \tau_ {y z} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \mathbf {F} (z) \mathbf {M} _ {, x} + \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \mathbf {F} (z) \mathbf {M} _ {, y} \tag {3.16.4} $$ $$ \mathbf {F} (z) = \left(\int_ {\zeta = 0} ^ {\zeta = z} \mathbf {C} ^ {(k)} d \zeta \mathbf {A} ^ {- 1} \mathbf {B} - \int_ {\zeta = 0} ^ {\zeta = z} \zeta \mathbf {C} ^ {(k)} d \zeta\right) \mathbf {D} ^ {* - 1} \tag {3.16.5} $$ x-축과 y-축 대해 원통형 굽힘 거동을 가정했을 경우, 모멘트의 면내 미분값과 횡방향 전단력은 다음과 같이 간단한 관계식으로 표현이 가능하다. $$ \left\{ \begin{array}{l} Q _ {x z} \\ Q _ {y z} \end{array} \right\} = - \left\{ \begin{array}{l} M _ {x, x} \\ M _ {y, y} \end{array} \right\} \tag {3.16.6} $$ 이를 이용하여 횡방향 전단응력을 표현하면 다음과 같다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \tau_ {x z} \\ \tau_ {y z} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{l l} F _ {1 1} & F _ {3 2} \\ F _ {3 1} & F _ {2 2} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} Q _ {x z} \\ Q _ {y z} \end{array} \right\} \tag {3.16.7} $$ 즉, 횡방향 전단응력은 적층판을 구성하는 물질의 물성치 및 두께, 적층각에 의한 형상함수 $\mathbf{F}(z)$ 와 횡방향 전단력에 의해 결정된다. 이를 이용하면 적층이론에 의해 적분하여 계산된 횡방향 전단 강성 G 를 다음과 같이 수정 표현할 수 있다. $$ \tilde {\mathbf {H}} = \left[ \int \left[ \begin{array}{l l} F _ {1 1} & F _ {3 2} \\ F _ {3 1} & F _ {2 2} \end{array} \right] ^ {T} \mathbf {G} ^ {- 1} \left[ \begin{array}{l l} F _ {1 1} & F _ {3 2} \\ F _ {3 1} & F _ {2 2} \end{array} \right] \right] ^ {- 1} \tag {3.16.8} $$