# 1. 등매개 선형 솔리드 요소 3차원 부피가 있는 구조물의 모델링에 주로 사용 절점당 3개의 이동 변위 자유도를 가짐 회전 변위가 없기 때문에 보 요소나 판요소와 같이 사용시 Singular 오류 주의 요소 aspect ratio가 1에 가까울수록 결과가 정확 # 2. 정식화 # 1) 요소 위치와 변위 3차원 솔리드 요소의 위치 는 아래와 같이 형상 함수를 이용해 표현할 수 있다.x $$ \begin{array}{l} \mathbf {x} = \{x, y, z \} \\ \mathbf {x} (\xi) = \sum N _ {i} (\xi) \mathbf {x} _ {i} \\ \end{array} $$ 또한 Isoparametric 요소의 변위도 아래와 같이 형상 함수를 이용해 표현 할 수 있다. 솔리드 요소는 회전 변위 없이 이동 변위만 가진다. $$ \begin{array}{l} \mathbf {u} = \{u, v, w \} \\ \mathbf {u} (\xi) = \sum N _ {i} (\xi) \mathbf {u} _ {i} \\ \end{array} $$ 여기서 $N _ { i }$ 은 솔리드 요소 절점에서의 형상 함수이고 $\mathbf { x } _ { i }$ 는 절점의 위치, $\mathbf { u } _ { i }$ 는 절점의 변위 벡터이다. 솔리드 요소는 4절점 사면체, 5절점 피라미드, 6절점 삼각기둥, 8절점 육면체만 설명하며 요소Natural 좌표계와 형상 함수는 아래와 같다. 

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ζ (0, 0, 1) 4 8 10 9 (0, 0, 0) 7 3 (0, 1, 0) 1 5 6 2 (1, 0, 0) η ξ


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(0, 0, 1) 5 12 13 10 4 11 3 (1, 1, 0) ξ η ξ (0, 0, 0) 9 1 (-1, -1, 0) 6 2 7


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ξ (0, 0, 1) 15 6 13 14 (0, 0, 0) 10 12 ξ (1, 0, -1) 2 11 7 8 9 3 (0, 1, -1)


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20 8 19 7 5 17 6 18 15 16 η ξ 14 12 4 11 3 1 9 2 10

4절점 사면체 $$ N _ {1} = 1 - \xi - \eta - \zeta \quad N _ {2} = \xi \quad N _ {3} = \eta \quad N _ {4} = \zeta $$ 5절점 피라미드 $$ N _ {1} = \frac {1}{4} \{(1 - \xi) (1 - \eta) - \zeta + \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \} \quad N _ {2} = \frac {1}{4} \{(1 + \xi) (1 - \eta) - \zeta - \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \} $$ $$ N _ {3} = \frac {1}{4} \{(1 + \xi) (1 + \eta) - \zeta + \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \} \quad N _ {4} = \frac {1}{4} \{(1 - \xi) (1 + \eta) - \zeta - \frac {\xi \eta \zeta}{1 - \zeta} \} $$ $$ N _ {5} = \zeta $$ 6절점 삼각기둥 $$ \lambda = 1 - \xi - \eta $$ $$ N _ {1} = \frac {\lambda}{2} (1 - \zeta) \quad N _ {2} = \frac {\xi}{2} (1 - \zeta) \quad N _ {3} = \frac {\eta}{2} (1 - \zeta) $$ $$ N _ {4} = \frac {\lambda}{2} (1 + \zeta) \qquad N _ {5} = \frac {\xi}{2} (1 + \zeta) \qquad N _ {6} = \frac {\eta}{2} (1 + \zeta) $$ 8절점 육면체 $$ N _ {1} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) \quad N _ {2} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) $$ $$ N _ {3} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) \qquad N _ {4} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) $$ $$ N _ {5} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) \quad N _ {6} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) $$ $$ N _ {7} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) \quad N _ {8} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) $$ # 2) 변형률-변위 관계 솔리드 요소의 변형률-변위의 관계는 아래와 같이 표현할 수 있다. $$ \varepsilon_ {x x} = \frac {\partial u}{\partial x} $$ $$ \varepsilon_ {y y} = \frac {\partial v}{\partial y} $$ $$ \varepsilon_ {z z} = \frac {\partial w}{\partial z} $$ $$ \varepsilon_ {x y} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial u}{\partial y} + \frac {\partial v}{\partial x},\right) $$ $$ \varepsilon_ {y z} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial v}{\partial z} + \frac {\partial w}{\partial y},\right) $$ $$ \varepsilon_ {x z} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial u}{\partial z} + \frac {\partial w}{\partial x}\right) $$ 위 식들을 정리해 행렬 형태로 나타내면 아래와 같다. $$ \varepsilon = \mathbf {B u} $$ $$ = \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} u _ {i} \\ v _ {i} \\ w _ {i} \\ . \\ . \\ . \end{array} \right\} $$ 위의 형상 함수들은 모두 Natural Coordinates에 대해 정의되었기 때문에 아래와 같은 관계를 이용해 형상 함수들의 미분을 표현할 수 있다. $$ \left\{ \begin{array}{c} \frac {\partial}{\partial \xi} \\ \frac {\partial}{\partial \eta} \\ \frac {\partial}{\partial \eta} \end{array} \right\} = \mathbf {J} \left\{ \begin{array}{c} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z} \end{array} \right\} \qquad \mathbf {J} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial x}{\partial \xi} & \frac {\partial y}{\partial \xi} & \frac {\partial z}{\partial \xi} \\ \frac {\partial x}{\partial \eta} & \frac {\partial y}{\partial \eta} & \frac {\partial z}{\partial \eta} \\ \frac {\partial x}{\partial \zeta} & \frac {\partial y}{\partial \zeta} & \frac {\partial z}{\partial \zeta} \end{array} \right] $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z} \end{array} \right\} = \frac {1}{| \mathbf {J} |} \mathbf {J} ^ {- 1} \left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial}{\partial \xi} \\ \frac {\partial}{\partial \eta} \\ \frac {\partial}{\partial \eta} \end{array} \right\} $$ # 3) 응력-변형률 관계 응력과 변형률의 관계는 Hooke's 법칙에 의해 아래와 같이 나타낼 수 있다. $$ \boldsymbol {\sigma} = \mathbf {D} \boldsymbol {\varepsilon} $$ $$ \pmb {D} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 - \nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1 - \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1 - \nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac {1 - 2 \nu}{2} \end{array} \right] $$ # 4) 강성 행렬 솔리드 요소의 강성 행렬은 아래 식을 통해 계산 할 수 있다. $$ \begin{array}{l} \mathbf {K} = \int_ {V} \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} d V \\ = \iiint \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} | \mathbf {J} | d \xi d \eta d \zeta \\ \end{array} $$ 위 식은 가우스 적분을 통해 계산하며 각 요소별 가우스 적분점은 아래와 같다. 4절점 사면체 1차 형상함수 적분점 (1점 적분) $$ g _ {1} = \{0. 2 5, 0. 2 5, 0. 2 5 \} \quad w _ {1} = \frac {1}{6} $$ 5절점 피라미드 1차 형상함수 적분점 (8점 적분) $$ a = \left\{0. 8 7 7 4 8 5 1 7 7 3 4 4 5 5 9, 0. 4 5 5 8 4 8 1 5 5 9 8 8 7 7 \right\} $$ $$ b = \left\{0. 2 3 2 5 4 7 4 5 1 2 5 3 5 0 8, 0. 1 0 0 7 8 5 8 8 2 0 7 9 8 2 5 \right\} $$ $$ g _ {1} = \left\{- \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, - \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {1} \right\} \quad w _ {1} = b _ {1} $$ $$ g _ {2} = \left\{\frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, - \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {1} \right\} \quad w _ {2} = b _ {1} $$ $$ g _ {3} = \left\{\frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {1} \right\} \quad w _ {3} = b _ {1} $$ $$ g _ {4} = \left\{- \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, \frac {a _ {1}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {1} \right\} \quad w _ {4} = b _ {1} $$ $$ g _ {5} = \left\{- \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, - \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {2} \right\} \quad w _ {5} = b _ {2} $$ $$ g _ {6} = \left\{\frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, - \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {2} \right\} \quad w _ {6} = b _ {2} $$ $$ g _ {7} = \left\{\frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {2} \right\} \quad w _ {7} = b _ {2} $$ $$ g _ {8} = \left\{- \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, \frac {a _ {2}}{\sqrt {3}}, 1 - a _ {2} \right\} \quad w _ {8} = b _ {2} $$ 6절점 삼각기둥 1차 형상함수 적분점 (6점 적분) $$ g _ {1} = \left\{\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {1} = \frac {1}{6} $$ $$ g _ {2} = \left\{\frac {2}{3}, \frac {1}{6}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {2} = \frac {1}{6} $$ $$ g _ {3} = \left\{\frac {1}{6}, \frac {2}{3}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {3} = \frac {1}{6} $$ $$ g _ {4} = \left\{\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {4} = \frac {1}{6} $$ $$ g _ {5} = \left\{\frac {2}{3}, \frac {1}{6}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {5} = \frac {1}{6} $$ $$ g _ {6} = \left\{\frac {1}{6}, \frac {2}{3}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {6} = \frac {1}{6} $$ 8절점 육면체 1차 형상함수 적분점 (8점 적분) $$ g _ {1} = \left\{- \frac {1}{\sqrt {3}} - \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {1} = 1. 0 $$ $$ g _ {2} = \left\{\frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {2} = 1. 0 $$ $$ g _ {3} = \left\{\frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {3} = 1. 0 $$ $$ g _ {4} = \left\{- \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {4} = 1. 0 $$ $$ g _ {5} = \left\{- \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {5} = 1. 0 $$ $$ g _ {6} = \left\{\frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {6} = 1. 0 $$ $$ g _ {7} = \left\{\frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {7} = 1. 0 $$ $$ g _ {8} = \left\{- \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}} \right\} \quad w _ {8} = 1. 0 $$ 따라서 강성행렬은 다음과 같이 계산할 수 있다. $$ \mathbf {K} = \sum w \mathbf {B} ^ {T} \mathbf {D B J} $$ # 5) 비적합 모드 비적합 모드는 솔리드 요소의 잠김 현상을 보완하기 위해 사용하며 요소 내에 추가 자유도를 도입하여 계산할 수 있다. 6절점 삼각기둥과 8점점 육면체 요소에서 사용되며 비적합 모드에 대한 변위와 보간 함수는 아래와 같다. 6절점 삼각기둥 $$ \mathbf {u} _ {i n c} = \left\{\alpha_ {1}, \beta_ {1}, \gamma_ {1} \right\} $$ $$ u = \sum N _ {i} u _ {i} + P _ {1} \alpha_ {1} \quad v = \sum N _ {i} v _ {i} + P _ {1} \beta_ {1} \quad w = \sum N _ {i} w _ {i} + P _ {1} \gamma_ {1} $$ $$ P _ {1} = 1 - \zeta^ {2} $$ 8절점 육면체 $$ \mathbf {u} _ {i n c} = \left\{\alpha_ {1}, \beta_ {1}, \gamma_ {1}, \alpha_ {2}, \beta_ {2}, \gamma_ {2}, \alpha_ {3}, \beta_ {3}, \gamma_ {3} \right\} $$ $$ u = \sum N _ {i} u _ {i} + \sum P _ {i} \alpha_ {i} \quad v = \sum N _ {i} v _ {i} + \sum P _ {i} \beta_ {i} \quad w = \sum N _ {i} w _ {i} + \sum P _ {i} \gamma_ {i} $$ $$ P _ {1} = 1 - \xi^ {2} \quad P _ {2} = 1 - \eta^ {2} \quad P _ {3} = 1 - \zeta^ {2} $$ $$ \mathbf {B} _ {i n c} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial P _ {i}}{\partial z} \\ \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {i}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial P _ {i}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] $$ 따라서 비적합 모드가 포함된 변형률-변위 행렬은 아래와 같이 표현 할 수 있다. $$ \mathbf {B} _ {t o t} = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {B} & \mathbf {B} _ {i n c} \end{array} \right] $$ $$ \mathbf {K} = \sum w \mathbf {B} _ {t o t} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {t o t} \mathbf {J} $$ 비적합 모드에 대한 자유도는 전체 행렬 분해시 계산량을 줄이기 위해 정적 응축을 통해 제거하여계산하게 된다.